Energia cinetică de rotație. Energia de rotație

« Fizica - clasa a X-a"

De ce se întinde un patinator de-a lungul axei de rotație pentru a crește viteza unghiulară de rotație?
Ar trebui un elicopter să se rotească atunci când rotorul său se rotește?

Întrebările adresate sugerează că, dacă forțele externe nu acționează asupra corpului sau acțiunea lor este compensată și o parte a corpului începe să se rotească într-o direcție, atunci cealaltă parte ar trebui să se rotească în cealaltă direcție, la fel ca atunci când combustibilul este evacuat din o rachetă, racheta însăși se mișcă în direcția opusă.

Moment de impuls.

Dacă luăm în considerare un disc care se rotește, devine evident că impulsul total al discului este zero, deoarece orice particulă a corpului corespunde unei particule care se mișcă cu o viteză egală, dar în sens opus (Fig. 6.9).

Dar discul se mișcă, viteza unghiulară de rotație a tuturor particulelor este aceeași. Cu toate acestea, este clar că, cu cât o particulă este mai departe de axa de rotație, cu atât impulsul său este mai mare. Prin urmare, pentru mișcare de rotație este necesar să se introducă o altă caracteristică asemănătoare impulsului – momentul unghiular.

Momentul unghiular al unei particule care se mișcă într-un cerc este produsul dintre impulsul particulei și distanța de la aceasta la axa de rotație (Fig. 6.10):

Vitezele liniare și unghiulare sunt legate prin relația v = ωr, atunci

Toate punctele unui obiect solid se mișcă în raport cu o axă fixă de rotație cu aceeași viteză unghiulară. Un corp solid poate fi reprezentat ca o colecție de puncte materiale.

Impuls solid egal cu produsul dintre momentul de inerție și viteza unghiulară de rotație:

Momentul unghiular este o mărime vectorială; conform formulei (6.3), momentul unghiular este direcționat în același mod ca și viteza unghiulară.

Ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație în formă de puls.

Accelerația unghiulară a unui corp este egală cu modificarea vitezei unghiulare împărțită la perioada de timp în care a avut loc această modificare: Înlocuiți această expresie în ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație deci I(ω 2 - ω 1) = MΔt, sau IΔω = MΔt.

Prin urmare,

ΔL = MΔt. (6,4)

Modificarea momentului unghiular este egală cu produsul dintre momentul total al forțelor care acționează asupra unui corp sau sistem și durata de acțiune a acestor forțe.

Legea conservării momentului unghiular:

Dacă momentul total al forțelor care acționează asupra unui corp sau a unui sistem de corpuri având o axă fixă de rotație este egal cu zero, atunci modificarea momentului unghiular este, de asemenea, zero, adică momentul unghiular al sistemului rămâne constant.

ΔL = 0, L = const.

Modificarea impulsului sistemului este egală cu impulsul total al forțelor care acționează asupra sistemului.

Un patinator care se rotește își întinde brațele în lateral, crescând astfel momentul de inerție pentru a reduce viteza unghiulară de rotație.

Legea conservării momentului unghiular poate fi demonstrată folosind următorul experiment, numit „experimentul Jukovski pe bancă”. O persoană stă pe o bancă care are o axă verticală de rotație care trece prin centru. Un bărbat ține gantere în mâini. Dacă banca este făcută să se rotească, persoana poate schimba viteza de rotație apăsând ganterele la piept sau coborând brațele și apoi ridicându-le. Destinde brațele, crește momentul de inerție, iar viteza unghiulară de rotație scade (Fig. 6.11, a), coborând brațele, reduce momentul de inerție, iar viteza unghiulară de rotație a bancului crește (Fig. 6.11, b).

De asemenea, o persoană poate face o bancă să se rotească mergând de-a lungul marginii acesteia. În acest caz, banca se va roti în direcția opusă, deoarece momentul unghiular total ar trebui să rămână egal cu zero.

Principiul de funcționare al dispozitivelor numite giroscoape se bazează pe legea conservării momentului unghiular. Proprietatea principală a giroscopului este păstrarea direcției axei de rotație dacă forțele externe nu acționează asupra acestei axe. În secolul 19 Giroscoapele erau folosite de marinari pentru orientarea pe mare.

Energia cinetică a unui corp rigid rotativ.

Energia cinetică a unui corp solid în rotație este egală cu suma energiilor cinetice ale particulelor sale individuale. Să împărțim corpul în elemente mici, fiecare dintre acestea putând fi considerat un punct material. Atunci energia cinetică a corpului este egală cu suma energiilor cinetice ale punctelor materiale din care constă:

Viteza unghiulară de rotație a tuturor punctelor corpului este aceeași, prin urmare,

Valoarea dintre paranteze, după cum știm deja, este momentul de inerție al corpului rigid. În cele din urmă, formula pentru energia cinetică a unui corp rigid având o axă fixă de rotație are forma

În cazul general al mișcării unui corp rigid, când axa de rotație este liberă, energia sa cinetică este egală cu suma energiilor mișcării de translație și rotație. Astfel, energia cinetică a unei roți, a cărei masă este concentrată în jantă, rulând de-a lungul drumului cu viteza constanta, este egal

Tabelul compară formulele pentru mecanica mișcării de translație a unui punct material cu formule similare pentru mișcarea de rotație a unui corp rigid.

Principalele caracteristici dinamice ale mișcării de rotație - moment unghiular față de axa de rotație z:

și energie cinetică

În general, energia în timpul rotației cu viteza unghiulară se găsește prin formula:

, unde este tensorul de inerție.

În termodinamică

Prin exact același raționament ca și în cazul mișcării de translație, echipartiția implică faptul că, la echilibrul termic, energia de rotație medie a fiecărei particule dintr-un gaz monoatomic este: (3/2)k B T. În mod similar, teorema de echipartiție ne permite să calculăm viteza unghiulară medie pătrată a moleculelor.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce înseamnă „Energia mișcării de rotație” în alte dicționare:

Acest termen are alte semnificații, vezi Energie (sensuri). Energie, dimensiune... Wikipedia

MIȘCĂRI- MIȘCĂRI. Cuprins: Geometrie D...................452 Cinematica D...................456 Dinamica D. . ..................461 Mecanisme motorii................465 Metode de studiere a mișcării umane......471 Patologia umană D............. 474… … Marea Enciclopedie Medicală

Energia cinetică este energia unui sistem mecanic, în funcție de viteza de mișcare a punctelor sale. Energia cinetică a mișcării de translație și rotație este adesea eliberată. Mai strict, energia cinetică este diferența dintre totalul... ... Wikipedia

Mișcarea termică a peptidei α. Mișcarea complexă tremurătoare a atomilor care alcătuiesc peptida este aleatorie, iar energia unui atom individual fluctuează foarte mult, dar folosind legea echipartiției se calculează ca energia cinetică medie a fiecărui ... ... Wikipedia

- (franceză marées, germană Gezeiten, engleză maree) fluctuații periodice ale nivelului apei datorită atracției Lunii și Soarelui. Informații generale. P. este cel mai vizibil de-a lungul țărmurilor oceanelor. Imediat dupa apă scăzută cea mai joasă maree, nivelul oceanului începe... ... Dicţionar enciclopedic F. Brockhaus și I.A. Efron

Vasul frigorific Ivory Tirupati stabilitatea inițială este negativă Capacitatea de stabilitate ... Wikipedia

Nava frigorifică Ivory Tirupati Stabilitatea inițială este negativă Stabilitatea este capacitatea unei ambarcațiuni plutitoare de a rezista forțelor externe care o fac să se rostogolească sau să se acopere și să revină la o stare de echilibru după încheierea perturbării... ... Wikipedia

Să determinăm energia cinetică a unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe. Să împărțim acest corp în n puncte materiale. Fiecare punct se deplasează cu viteza liniară υ i =ωr i , apoi energia cinetică a punctului

Energia cinetică totală a unui corp rigid rotativ este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sale materiale:

(3.22)

(J este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație)

Dacă traiectoriile tuturor punctelor se află în planuri paralele (ca un cilindru care se rostogolește pe un plan înclinat, fiecare punct se mișcă în planul său), aceasta mișcare plană. Conform principiului lui Euler, mișcarea plană poate fi întotdeauna descompusă în mișcare de translație și rotație în nenumărate moduri. Dacă o minge cade sau alunecă de-a lungul unui plan înclinat, aceasta se mișcă numai translațional; când mingea se rostogolește, se rotește și ea.

Dacă un corp efectuează simultan mișcare de translație și rotație, atunci energia sa cinetică totală este egală cu

(3.23)

Dintr-o comparație a formulelor pentru energia cinetică pentru mișcările de translație și rotație, este clar că măsura inerției în timpul mișcării de rotație este momentul de inerție al corpului.

§ 3.6 Lucrul forțelor exterioare în timpul rotației unui corp rigid

Când un corp rigid se rotește, energia sa potențială nu se modifică, prin urmare munca elementară a forțelor externe este egală cu creșterea energiei cinetice a corpului:

dA = dE sau

Ținând cont că Jβ = M, ωdr = dφ, avem α al corpului la un unghi finit φ este egal cu

(3.25)

Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, munca forțelor externe este determinată de acțiunea momentului acestor forțe față de această axă. Dacă momentul forțelor în raport cu axa este zero, atunci aceste forțe nu produc muncă.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 2.1. Masa volantuluim=5kg și razar= 0,2 m se rotește în jurul unei axe orizontale cu frecvențăν 0 =720 min -1 iar la frânare se oprește în spatet=20 s. Găsiți cuplul de frânare și numărul de rotații înainte de oprire.

Pentru a determina cuplul de frânare, aplicăm ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

unde I=mr 2 – momentul de inerție al discului; Δω =ω - ω 0, iar ω =0 este viteza unghiulară finală, ω 0 =2πν 0 este inițială. M este momentul de frânare al forțelor care acționează asupra discului.

Cunoscând toate cantitățile, puteți determina cuplul de frânare

Domnul 2 2πν 0 = Δt (1)

(2)

Din cinematica mișcării de rotație, unghiul de rotație în timpul rotației discului înainte de oprire poate fi determinat prin formula

(3)

unde β este accelerația unghiulară.

După condițiile problemei: ω =ω 0 – βΔt, deoarece ω=0, ω 0 = βΔt

Atunci expresia (2) poate fi scrisă ca:

Exemplul 2.2. Două volante sub formă de discuri cu raze și mase identice au fost rotite până la o viteză de rotațien= 480 rpm și lăsat în voia noastră. Sub influența forțelor de frecare ale arborilor asupra rulmenților, primul sa opritt=80 s, iar al doilea a făcut-oN= 240 rpm pentru oprire. Care volant a avut un moment mai mare de frecare între arbori și rulmenți și de câte ori?

Vom găsi momentul forțelor spinului M 1 al primului volant folosind ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație.

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

unde Δt este timpul de acțiune al momentului forțelor de frecare, I=mr 2 este momentul de inerție al volantului, ω 1 = 2πν și ω 2 = 0 – vitezele unghiulare inițiale și finale ale volantelor

Apoi

Momentul forțelor de frecare M 2 al celui de-al doilea volant va fi exprimat prin legătura dintre lucrul A al forțelor de frecare și modificarea energiei sale cinetice ΔE k:

unde Δφ = 2πN este unghiul de rotație, N este numărul de rotații ale volantului.

Atunci de unde

DESPRE raportul va fi egal

Momentul de frecare al celui de-al doilea volant este de 1,33 ori mai mare.

Exemplul 2.3. Masa unui disc solid omogen m, masa sarcinilor m 1 si m 2 (Fig. 15). Nu există alunecare sau frecare a filetului în axa cilindrului. Aflați accelerația sarcinilor și raportul tensiunilor firuluiîn procesul de mișcare.

Nu există nicio alunecare a filetului, prin urmare, atunci când m 1 și m 2 fac mișcare de translație, cilindrul se va roti în jurul axei care trece prin punctul O. Să presupunem ca m 2 > m 1.

Apoi sarcina m 2 este coborâtă și cilindrul se rotește în sensul acelor de ceasornic. Să notăm ecuațiile de mișcare ale corpurilor incluse în sistem

Primele două ecuații sunt scrise pentru corpuri cu mase m 1 și m 2 aflate în mișcare de translație, iar a treia ecuație este scrisă pentru un cilindru rotativ. În cea de-a treia ecuație din stânga este momentul total al forțelor care acționează asupra cilindrului (momentul forței T 1 este luat cu semnul minus, deoarece forța T 1 tinde să rotească cilindrul în sens invers acelor de ceasornic). În dreapta I este momentul de inerție al cilindrului față de axa O, care este egal cu

unde R este raza cilindrului; β este accelerația unghiulară a cilindrului.

Din moment ce nu există nicio alunecare a firului, atunci
. Ținând cont de expresiile pentru I și β, obținem:

Adăugând ecuațiile sistemului, ajungem la ecuație

De aici găsim accelerația A marfă

Din ecuația rezultată este clar că tensiunile firului vor fi aceleași, adică. =1 dacă masa cilindrului este mult mai mică decât masa sarcinilor.

Exemplul 2.4. O bilă goală cu masa m = 0,5 kg are o rază exterioară R = 0,08 m și o rază interioară r = 0,06 m. Bila se rotește în jurul unei axe care trece prin centrul ei. La un moment dat, o forță începe să acționeze asupra mingii, în urma căreia unghiul de rotație al mingii se modifică conform legii
. Determinați momentul forței aplicate.

Rezolvăm problema folosind ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație
. Principala dificultate este de a determina momentul de inerție al unei bile goale și găsim accelerația unghiulară β ca
. Momentul de inerție I al unei bile goale este egal cu diferența dintre momentele de inerție ale unei bile cu raza R și ale unei bile cu raza r:

unde ρ este densitatea materialului bilei. Aflarea densității cunoscând masa unei bile goale

De aici determinăm densitatea materialului bilei

Pentru momentul forței M obținem următoarea expresie:

Exemplul 2.5. O tijă subțire cu o masă de 300 g și o lungime de 50 cm se rotește cu o viteză unghiulară de 10 s -1 într-un plan orizontal în jurul unei axe verticale care trece prin mijlocul tijei. Aflați viteza unghiulară dacă, în timpul rotației în același plan, tija se mișcă astfel încât axa de rotație să treacă prin capătul tijei.

Folosim legea conservării momentului unghiular

(1)

(J i este momentul de inerție al tijei față de axa de rotație).

Pentru un sistem izolat de corpuri, suma vectorială a momentului unghiular rămâne constantă. Datorită faptului că distribuția masei tijei în raport cu axa de rotație se modifică, momentul de inerție al tijei se modifică și în conformitate cu (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Se știe că momentul de inerție al tijei față de axa care trece prin centrul de masă și perpendicular pe tijă este egal cu

J0 = ml2/12. (3)

Conform teoremei lui Steiner

J = J0 +m A 2

(J este momentul de inerție al tijei față de o axă de rotație arbitrară; J 0 este momentul de inerție față de o axă paralelă care trece prin centrul de masă; A- distanta de la centrul de masa la axa de rotatie selectata).

Să găsim momentul de inerție în jurul axei care trece prin capătul ei și perpendicular pe tijă:

J2 =J0 +m A 2, J2 = mℓ 2/12 +m(l/2) 2 = mℓ 2/3. (4)

Să înlocuim formulele (3) și (4) în (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2,5s -1

Exemplul 2.6 . Om de masăm=60kg, stând pe marginea unei platforme cu masa M=120kg, rotindu-se prin inerție în jurul unei axe verticale fixe cu frecvența ν 1 = 12 min -1 , se deplasează în centrul său. Considerând că platforma este un disc rotund omogen și persoana este o masă punctuală, determinați cu ce frecvență ν 2 platforma se va roti apoi.

Dat: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0,2s -1 .

Găsi:ν 1

Soluţie:În funcție de condițiile problemei, platforma cu persoana se rotește prin inerție, adică. momentul rezultat al tuturor forțelor aplicate sistemului rotativ este zero. Prin urmare, pentru sistemul „persoană-platformă” legea conservării momentului unghiular este îndeplinită

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

Unde
- momentul de inerție al sistemului atunci când o persoană stă pe marginea platformei (țin cont că momentul de inerție al platformei este egal cu (R – raza n
platformă), momentul de inerție al unei persoane la marginea platformei este mR 2).

- momentul de inerție al sistemului când o persoană stă în centrul platformei (se ține cont că momentul unei persoane care stă în centrul platformei este zero). Viteza unghiulară ω 1 = 2π ν 1 și ω 1 = 2π ν 2.

Înlocuind expresiile scrise în formula (1), obținem

de unde vine viteza de rotatie dorita?

Răspuns: v2 =24min -1.

Energia cinetică este o mărime aditivă. Prin urmare, energia cinetică a unui corp care se mișcă într-o manieră arbitrară este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor n puncte materiale în care acest corp poate fi împărțit mental:

Dacă un corp se rotește în jurul unei axe staționare z cu viteză unghiulară, atunci viteza liniară al-lea punct , Ri – distanța față de axa de rotație. Prin urmare,

Prin comparație, putem observa că momentul de inerție al corpului I este o măsură a inerției în timpul mișcării de rotație, la fel cum masa m este o măsură a inerției în timpul mișcării de translație.

În cazul general, mișcarea unui corp rigid poate fi reprezentată ca suma a două mișcări - de translație cu viteza vc și de rotație cu viteza unghiulară ω în jurul axei instantanee care trece prin centrul de inerție. Apoi energia cinetică totală a acestui corp

Aici Ic este momentul de inerție în jurul axei instantanee de rotație care trece prin centrul de inerție.

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație.

Dinamica mișcării de rotație

Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație:

sau M=Je, unde M este momentul forței M=[ r · F ] , J - momentul de inerție este momentul de impuls al unui corp.

dacă M(extern)=0 - legea conservării momentului unghiular. - energia cinetică a unui corp în rotație.

lucrează în mișcare de rotație.

Legea conservării momentului unghiular.

Momentul unghiular (momentul de mișcare) al unui punct material A față de un punct fix O se numește cantitate fizica, definit de produsul vectorial:

unde r este vectorul rază trasat din punctul O în punctul A, p=mv este impulsul punctului material (Fig. 1); L este un pseudo-vector, a cărui direcție coincide cu direcția mișcării de translație a elicei din dreapta pe măsură ce se rotește de la r la r.

Modulul vectorului moment unghiular

unde α este unghiul dintre vectorii r și p, l este brațul vectorului p în raport cu punctul O.

Momentul unghiular relativ la o axă fixă z este mărimea scalară Lz, egală cu proiecția pe această axă a vectorului moment unghiular definit față de un punct arbitrar O al acestei axe. Momentul unghiular Lz nu depinde de poziția punctului O pe axa z.

Când un corp absolut rigid se rotește în jurul unei axe fixe z, fiecare punct al corpului se mișcă de-a lungul unui cerc de rază constantă ri cu o viteză vi. Viteza vi și impulsul mivi sunt perpendiculare pe această rază, adică raza este un braț al vectorului mivi. Aceasta înseamnă că putem scrie că momentul unghiular al unei particule individuale este egal cu

și este îndreptată de-a lungul axei în direcția determinată de regula cu șurub drept.

Momentul unui corp solid în raport cu o axă este suma momentului unghiular al particulelor individuale:

Folosind formula vi = ωri, obținem

Astfel, momentul unghiular al unui corp rigid față de o axă este egal cu momentul de inerție al corpului față de aceeași axă, înmulțit cu viteza unghiulară. Să diferențiem ecuația (2) în funcție de timp:

Această formulă este o altă formă a ecuației pentru dinamica mișcării de rotație a unui corp rigid față de o axă fixă: derivata momentului unghiular al unui corp rigid față de axă este egală cu momentul de forță față de aceeași formulă. axă.

Se poate demonstra că există o egalitate vectorială

Într-un sistem închis, momentul forțelor externe M = 0 și de unde

Expresia (4) reprezintă legea conservării momentului unghiular: momentul unghiular al unui sistem închis este conservat, adică nu se modifică în timp.

Legea conservării momentului unghiular, precum și legea conservării energiei, este o lege fundamentală a naturii. Este asociat cu proprietatea de simetrie a spațiului - izotropia acestuia, adică cu invarianța legilor fizice în ceea ce privește alegerea direcției axelor de coordonate ale sistemului de referință (față de rotația unui sistem închis în spațiu la orice unghi).

Aici vom demonstra legea conservării momentului unghiular folosind un banc Jukovsky. O persoană care stă pe o bancă care se rotește în jurul unei axe verticale și ține gantere în brațele întinse (Fig. 2) este rotită de un mecanism extern cu o viteză unghiulară ω1. Dacă o persoană apasă ganterele pe corp, momentul de inerție al sistemului va scădea. Dar momentul forțelor externe este zero, momentul unghiular al sistemului este conservat și viteza unghiulară de rotație ω2 crește. În mod similar, în timpul unui salt deasupra capului, o gimnastă își apasă brațele și picioarele spre corp pentru a-și reduce momentul de inerție și, prin urmare, a crește viteza unghiulară de rotație.

Presiune în lichid și gaz.

Moleculele de gaz, care efectuează o mișcare haotică, haotică, nu sunt conectate sau sunt mai degrabă slab legate prin forțe de interacțiune, motiv pentru care se mișcă aproape liber și, ca urmare a ciocnirilor, se împrăștie în toate direcțiile, în timp ce umplu întregul volum care le este oferit. , adică volumul de gaz este determinat de volumul recipientului ocupat de gaz.

Iar lichidul, având un anumit volum, ia forma vasului în care este închis. Dar, spre deosebire de gazele din lichide, distanța medie dintre molecule rămâne în medie constantă, astfel încât lichidul are un volum practic neschimbat.

Proprietățile lichidelor și gazelor sunt foarte diferite în multe privințe, dar în mai multe fenomene mecanice proprietățile lor sunt determinate de aceiași parametri și ecuații identice. Din acest motiv, hidroaeromecanica este o ramură a mecanicii care studiază echilibrul și mișcarea gazelor și lichidelor, interacțiunea dintre acestea și între corpurile solide care curg în jurul lor, adică. se aplică o abordare unificată a studiului lichidelor și gazelor.

În mecanică, lichidele și gazele sunt considerate cu un grad ridicat de acuratețe drept solide, distribuite continuu în partea de spațiu pe care o ocupă. Pentru gaze, densitatea depinde în mod semnificativ de presiune. A fost stabilit din experiență. că compresibilitatea lichidului și gazului poate fi adesea neglijată și se recomandă utilizarea concept unificat- incompresibilitatea unui lichid - un lichid cu aceeași densitate peste tot, care nu se modifică în timp.

Așezăm o placă subțire în repaus, ca urmare, părți din lichid situate de-a lungul laturi diferite din placă, va acționa asupra fiecăruia dintre elementele sale ΔS cu forțe ΔF, care vor fi egale ca mărime și îndreptate perpendicular pe platforma ΔS, indiferent de orientarea platformei, altfel prezența forțelor tangențiale ar determina particulele de fluid să mutați (Fig. 1)

O mărime fizică determinată de forța normală care acționează asupra unei părți a unui lichid (sau gaz) pe unitate de suprafață se numește presiune p/ a lichidului (sau gazului): p=ΔF/ΔS.

Unitatea de presiune este pascal (Pa): 1 Pa este egal cu presiunea creată de o forță de 1 N, care este distribuită uniform pe o suprafață normală acesteia cu o suprafață de 1 m2 (1 Pa = 1 N/ m2).

Presiunea în echilibrul lichidelor (gazelor) respectă legea lui Pascal: presiunea în orice loc a unui lichid în repaus este aceeași în toate direcțiile, iar presiunea este transmisă în mod egal pe întregul volum ocupat de lichidul în repaus.

Să studiem influența greutății lichidului asupra distribuției presiunii în interiorul unui lichid staționar incompresibil. Când un fluid este în echilibru, presiunea de-a lungul oricărei linii orizontale este întotdeauna aceeași, altfel nu ar exista echilibru. Aceasta înseamnă că suprafața liberă a unui lichid în repaus este întotdeauna orizontală (nu ținem cont de atracția lichidului de către pereții vasului). Dacă un fluid este incompresibil, atunci densitatea fluidului nu depinde de presiune. Apoi, cu o secțiune transversală S a coloanei de lichid, înălțimea sa h și densitatea ρ, greutatea P=ρgSh, în timp ce presiunea pe baza inferioară: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

adică presiunea variază liniar cu altitudinea. Presiunea ρgh se numește presiune hidrostatică.

Conform formulei (1), forța de presiune asupra straturilor inferioare ale lichidului va fi mai mare decât a straturilor superioare, prin urmare, asupra unui corp scufundat într-un lichid se acționează o forță determinată de legea lui Arhimede: un corp scufundat în lichid. un lichid (gaz) este acționat de o forță direcționată din această forță de plutire în sus a lichidului, egal cu greutatea lichid (gaz) deplasat de corp: FA = ρgV, unde ρ este densitatea lichidului, V este volumul corpului scufundat în lichid.

Mecanica.

Întrebarea nr. 1

Sistem de referință. Sisteme de referință inerțiale. Principiul relativității lui Galileo - Einstein.

Cadru de referință- acesta este un ansamblu de corpuri în raport cu care este descrisă mișcarea corp datși sistemul de coordonate asociat.

Sistem de referință inerțial (IRS) este un sistem în care un corp care se mișcă liber se află într-o stare de repaus sau de mișcare rectilinie uniformă.

Principiul relativității Galileo-Einstein- Toate fenomenele naturale din orice cadru inerțial de referință apar în același mod și au aceeași formă matematică. Cu alte cuvinte, toate ISO-urile sunt egale.

Întrebarea nr. 2

Ecuația mișcării. Tipuri de mișcare ale unui corp rigid. Sarcina principală a cinematicii.

Ecuațiile mișcării unui punct material:

- ecuația cinematică a mișcării

Tipuri de mișcare a corpului rigid:

1) Mișcare de translație - orice linie dreaptă trasată în corp se mișcă paralel cu ea însăși.

2) Mișcare de rotație - orice punct al corpului se mișcă într-un cerc.

φ = φ(t)

Sarcina principală a cinematicii- se obține dependența de timp a vitezei V = V(t) și coordonatele (sau vectorul rază) r = r(t) ale unui punct material din dependența de timp cunoscută a accelerației sale a = a(t) și condiţiile iniţiale cunoscute V 0 şi r 0 .

Întrebarea nr. 7

Puls (Cantitatea de mișcare) este o mărime fizică vectorială care caracterizează măsura mișcării mecanice a unui corp. În mecanica clasică, impulsul unui corp este egal cu produsul masei m acest punct prin viteza sa v, direcția impulsului coincide cu direcția vectorului viteză:

În mecanică teoretică impuls generalizat este derivata parțială a Lagrangianului sistemului în raport cu viteza generalizată

Dacă Lagrangianul sistemului nu depinde de unii coordonate generalizate, apoi din cauza Ecuații Lagrange .

Pentru o particulă liberă, funcția Lagrange are forma: , deci:

Independența lagrangianului unui sistem închis față de poziția sa în spațiu rezultă din proprietate omogenitatea spațiului: pentru un sistem bine izolat, comportamentul lui nu depinde de locul în care îl plasăm în spațiu. De teorema lui Noether Din această omogenitate rezultă conservarea unei mărimi fizice. Această cantitate se numește impuls (obișnuit, nu generalizat).

În mecanica clasică, complet impuls sistemul de puncte materiale se numește mărime vectorială egală cu suma produselor maselor punctelor materiale și viteza lor:

în consecință, mărimea se numește impulsul unui punct material. Aceasta este o mărime vectorială direcționată în aceeași direcție cu viteza particulei. Unitatea de impuls a Sistemului Internațional de Unități (SI) este kilogram-metru pe secundă(kg m/s)

Dacă avem de-a face cu un corp de dimensiuni finite, pentru a-i determina impulsul este necesar să spargem corpul în părți mici, care pot fi considerate puncte materiale și însumate peste ele, ca rezultat obținem:

Impulsul unui sistem care nu este afectat de nicio forță externă (sau sunt compensate) salvat la timp:

Conservarea impulsului în acest caz rezultă din a doua și a treia lege a lui Newton: prin scrierea celei de-a doua legi a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale care compun sistemul și însumând peste toate punctele materiale care compun sistemul, în virtutea celei de-a treia legi a lui Newton obținem egalitatea (* ).

În mecanica relativistă, impulsul tridimensional al unui sistem de puncte materiale care nu interacționează este cantitatea

Unde m i- greutate i al-lea punct material.

Pentru un sistem închis de puncte materiale care nu interacționează, această valoare este păstrată. Cu toate acestea, impulsul tridimensional nu este o mărime relativistic invariantă, deoarece depinde de cadrul de referință. O cantitate mai semnificativă va fi impulsul patrudimensional, care pentru un punct material este definit ca

În practică, sunt adesea folosite următoarele relații între masa, impulsul și energia unei particule:

În principiu, pentru un sistem de puncte materiale care nu interacționează, se însumează cele 4 momente ale acestora. Cu toate acestea, pentru particulele care interacționează în mecanica relativistă, este necesar să se țină seama nu numai de impulsul particulelor care alcătuiesc sistemul, ci și de impulsul câmpului de interacțiune dintre ele. Prin urmare, o cantitate mult mai semnificativă în mecanica relativistă este tensorul energie-impuls, care în la maxim satisface legile de conservare.

Întrebarea #8

Moment de inerție- o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație. Caracterizat prin distribuția maselor în corp: moment de inerție egal cu suma produse ale maselor elementare prin pătratul distanțelor lor față de mulțimea de bază

Momentul axial de inerție

Momentele axiale de inerție ale unor corpuri.

Momentul de inerție al unui sistem mecanic relativ la o axă fixă („momentul axial de inerție”) este mărimea J a, egal cu suma produselor maselor tuturor n punctele materiale ale sistemului prin pătratele distanțelor lor față de axă:

m i- greutate i al-lea punct,
r i- distanta de la i al-lea punct către axă.

Axial moment de inerție corp J a este o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație.

dm = ρ dV- masa unui element mic din volumul corpului dV,
ρ - densitate,
r- distanta fata de element dV la axa a.

Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este aceeași peste tot, atunci

Derivarea formulei

dmși momente de inerție dJ i. Apoi

Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)

Derivarea formulei

Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Împărțiți un cilindru cu pereți subțiri în elemente cu masă dmși momente de inerție dJ i. Apoi

Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) se transformă în forma

teorema lui Steiner

Moment de inerție a unui corp solid față de orice axă depinde nu numai de masa, forma și dimensiunea corpului, ci și de poziția corpului față de această axă. Conform teoremei lui Steiner (teorema Huygens-Steiner), moment de inerție corp J relativ la o axă arbitrară este egală cu suma moment de inerție acest corp J c relativ la o axă care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa luată în considerare și produsul masei corporale m pe pătrat de distanță d intre axe:

Dacă este momentul de inerție al unui corp față de o axă care trece prin centrul de masă al corpului, atunci momentul de inerție față de o axă paralelă situată la o distanță de aceasta este egal cu

unde este masa corporală totală.

De exemplu, momentul de inerție al unei tije față de o axă care trece prin capătul ei este egal cu:

Energia de rotație

Energia cinetică a mișcării de rotație- energia unui corp asociată cu rotația acestuia.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp sunt viteza sa unghiulară (ω) și accelerația unghiulară. Principalele caracteristici dinamice ale mișcării de rotație - moment unghiular față de axa de rotație z:

K z = Izω

și energie cinetică

unde I z este momentul de inerție al corpului față de axa de rotație.

Un exemplu similar poate fi găsit atunci când se consideră o moleculă rotativă cu axe principale de inerție eu 1, eu 2Și eu 3. Energia de rotație a unei astfel de molecule este dată de expresie

Unde ω 1, ω 2, Și ω 3- principalele componente ale vitezei unghiulare.

În general, energia în timpul rotației cu viteza unghiulară se găsește prin formula:

, Unde eu- tensor de inerție.

Întrebarea nr. 9

Moment de impuls (moment unghiular, moment unghiular, moment orbital, moment unghiular) caracterizează cantitatea de mișcare de rotație. O cantitate care depinde de cât de multă masă se rotește, de modul în care este distribuită în raport cu axa de rotație și cu ce viteză are loc rotația.

Trebuie remarcat faptul că rotația aici este înțeleasă într-un sens larg, nu doar ca rotație regulată în jurul unei axe. De exemplu, chiar și cu mișcare dreaptă corp trecut de un punct imaginar arbitrar care nu se află pe linia de mișcare, are și moment unghiular. Poate cel mai mare rol îl joacă momentul unghiular în descrierea mișcării de rotație actuale. Cu toate acestea, este extrem de important pentru o clasă mult mai largă de probleme (mai ales dacă problema are simetrie centrală sau axială, dar nu numai în aceste cazuri).

Legea conservării momentului unghiular(legea conservării momentului unghiular) - suma vectorială a tuturor momentului unghiular relativ la orice axă pentru un sistem închis rămâne constantă în cazul echilibrului sistemului. În conformitate cu aceasta, momentul unghiular al unui sistem închis în raport cu orice nederivată a momentului unghiular în raport cu timpul este momentul forței:

Astfel, cerința ca sistemul să fie închis poate fi slăbită la cerința ca momentul principal (total) al forțelor externe să fie egal cu zero:

unde este momentul uneia dintre forțele aplicate sistemului de particule. (Dar desigur, dacă nu există deloc forțe externe, această cerință este și ea satisfăcută).

Din punct de vedere matematic, legea conservării momentului unghiular decurge din izotropia spațiului, adică din invarianța spațiului față de rotația printr-un unghi arbitrar. Când este rotit cu un unghi infinitezimal arbitrar, vectorul rază al particulei cu număr se va schimba cu , iar viteza - . Funcția Lagrange a sistemului nu se va modifica cu o astfel de rotație, din cauza izotropiei spațiului. De aceea