Expresia „creștere exponențială” a intrat în lexicul nostru pentru a însemna creștere rapidă, de obicei neîntreruptă. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie creșterea rapidă a numărului de orașe sau creșterea populației. Cu toate acestea, în matematică, acest termen are un sens și un mijloc precis anumit fel creştere.
Creșterea exponențială are loc la acele populații în care creșterea numărului (numărul de nașteri minus numărul deceselor) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de cupluri reproductive, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul de oameni din populație (să o notăm N). Apoi, la o aproximare rezonabilă,
creşterea populaţiei = numărul de naşteri - numărul de decese
(Aici r- așa-zisul factor de proporționalitate, ceea ce ne permite să scriem expresia proporționalității ca o ecuație.)
Fie d N este numărul de indivizi adăugați la populație în timp d t, atunci dacă în populație în total N indivizi, atunci condițiile de creștere exponențială vor fi îndeplinite dacă
d N = rN d t
Deoarece Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație pentru N— mărimea populației în orice moment dat. (Pentru referință: o astfel de ecuație se numește diferenţial.) Iată soluția lui:
N = N0 e rt
Unde N 0 este numărul de indivizi din populația de la origine și t este timpul scurs de la acel moment. Simbolul e reprezintă un astfel de număr special, se numește baza logaritmul natural (și este aproximativ egal cu 2,7) și se numește întreaga parte dreaptă a ecuației functie exponentiala.
Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație care a constat inițial dintr-o singură bacterie. După un anumit timp (după câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel dimensiunea populației. În următoarea perioadă de timp, fiecare dintre aceste două bacterii se va împărți din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou - acum vor fi patru bacterii. După zece astfel de dubleri, vor exista deja mai mult de o mie de bacterii, după douăzeci - mai mult de un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare diviziune, creșterea acesteia va continua la nesfârșit.
Există o legendă (cel mai probabil nu este adevărată) că omul care a inventat șahul i-a făcut sultanului său o asemenea plăcere, încât i-a promis că îi va îndeplini oricare dintre cereri. Omul i-a cerut sultanului să pună un bob de grâu pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea și așa mai departe. Sultanul, considerând această cerere neînsemnată în comparație cu serviciul prestat de el, a cerut subiectului său să vină cu o altă cerere, dar a refuzat. Desigur, până la a 64-a dublare, numărul de boabe devenise astfel încât cantitatea necesară de grâu nu ar fi fost găsită în întreaga lume pentru a satisface această cerere. În versiunea legendei care îmi este cunoscută, Sultanul a ordonat în acel moment să fie decapitat inventatorul. Morala, așa cum le spun studenților mei, este: uneori nu ar trebui să fii prea deștepți!
Exemplul tablei de șah (precum și bacteriile imaginare) ne arată că nicio populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, pur și simplu va rămâne fără resurse - spațiu, energie, apă, orice altceva. Prin urmare, populațiile pot crește exponențial doar pentru o perioadă, iar mai devreme sau mai târziu creșterea lor trebuie să încetinească. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația, astfel încât atunci când dimensiunea populației se apropie de maximul posibil (care poate fi susținut de mediul extern), rata de creștere să încetinească. Să numim această dimensiune maximă a populației K. Apoi, ecuația modificată va arăta astfel:
d N = rN(1 — (N/K)) d t
Când N mult mai putin K, membru N/K poate fi neglijat și revenim la ecuația originală a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, când N apropiindu-se de a lui valoare maximă K, valoarea 1 - ( N/K) tinde spre zero, respectiv tinde spre zero și creșterea populației. Mărimea totală a populației în acest caz se stabilizează și rămâne la nivel K. Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația însăși, au mai multe denumiri − curba S, ecuația logistică, Ecuația Volterra, Ecuația Lotka–Volterra. (Vito Volt e rra, 1860-1940 - un matematician și profesor italian remarcabil; Alfred Lotka, 1880-1949 - matematician și analist de asigurări american.) Indiferent de numele său, este o expresie destul de simplă a mărimii unei populații care crește exponențial brusc și apoi încetinește pe măsură ce se apropie de o anumită limită. Și reflectă creșterea numărului de populații reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.
Un exponent este un număr care indică de câte ori o valoare trebuie înmulțită cu ea însăși. De exemplu, dacă exponentul este 3 și mărimea este 4, atunci expresia 4 3 înseamnă 4 x 4x4, care este 64. Expresie matematică la 2 mijloace la X la, iar numărul 2 este exponentul.
Cum este creșterea exponențială diferită de creșterea liniară? Cu o creștere liniară, valoarea crește în fiecare etapă cu unul si acelasi, nu pe multiplu număr. Dacă capitalul meu de pornire este de 1.000 USD și crește cu 100 USD în fiecare an, atunci în 10 ani îl voi dubla și voi avea 2.000 USD. Aceasta este o creștere liniară, cu aceeași valoare în fiecare an. Dar dacă capitalul meu de pornire de 1.000 de dolari crește cu 10 la sută în fiecare an, atunci în zece ani voi avea 2.594 de dolari. Acesta este un exemplu de creștere exponențială cu un multiplu constant al creșterii anuale de 1,1. Dacă îmi continui afacerea încă 10 ani, atunci creșterea liniară îmi va oferi un total de 3.000 USD, în timp ce creșterea exponențială îmi va oferi 6.727 USD.
Orice piață sau afacere care menține o rată de creștere de 10% sau mai mult pentru o perioadă lungă de timp va avea un efect de creare de valoare mult mai mare decât intuim. Unele companii precum IBM sau McDonald's din 1950 până
1985, sau Microsoft în anii 1990, au reușit să atingă o rată de creștere de peste 15% pe an și și-au mărit capitalul de mai multe ori. Dacă începeți cu 100 USD și creșteți capitalul cu 15% pe an timp de 15 ani, ajungeți la 3.292 USD, de aproape 33 de ori mai mult decât ați început. O ușoară creștere a procentului de creștere duce la o diferență mare a rezultatelor.
De exemplu, brokerul american William O'Neill a creat un fond pentru colegii săi și l-a gestionat din 1961 până în 1986. În acest timp, cei 850 de dolari inițiali s-au transformat în suma de 51.653 de dolari după ce a plătit toate taxele *. Peste 25 de ani, creșterea medie a fost de 17, 85 la sută pe an, ceea ce a avut ca rezultat o creștere a sumei inițiale cu un factor de 61. Astfel, vedem că dacă, peste 25 de ani, o creștere de 15 la sută crește capitalul de 33 de ori, apoi adăugând mai puțin. de 3 puncte procentuale față de rata anuală de creștere crește rezultatul de 61 de ori.
Creșterea exponențială schimbă lucrurile nu numai cantitativ, ci și calitativ. De exemplu, odată cu creșterea rapidă a industriei - Peter Drucker numește cifra de 40 la sută în 10 ani - însăși structura sa se schimbă și noi lideri de piață ies în prim-plan. Crestere rapida Piețele sunt promovate de inovație, lipsa de modele, produse noi, tehnologii sau consumatori. Inovatorii, prin definiție, fac lucrurile diferit. Noile moduri rareori se potrivesc cu obiceiurile, ideile, procedurile și structurile firmelor existente. Inovatorilor li se oferă adesea oportunitatea de a trece mai mulți ani până când liderii tradiționali decid să contraatace, dar atunci poate fi prea târziu.
Dacă creșterea populației este proporțională cu numărul de indivizi, populația va crește exponențial.
Expresia „creștere exponențială” a intrat în lexicul nostru pentru a însemna creștere rapidă, de obicei neîntreruptă. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie creșterea rapidă a numărului de orașe sau creșterea populației. Cu toate acestea, în matematică, acest termen are un sens precis și denotă un anumit tip de creștere.
Creșterea exponențială are loc la acele populații în care creșterea numărului (numărul de nașteri minus numărul deceselor) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de cupluri reproductive, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul de oameni din populație (să-i spunem N). Apoi, la o aproximare rezonabilă,
creşterea populaţiei = numărul de naşteri - numărul de decese
(Aici r este așa-numitul factor de proporționalitate, care ne permite să scriem expresia proporționalității ca o ecuație.)
Fie dN numărul de indivizi adăugați la populație în timpul dt, atunci dacă există un total de N indivizi în populație, atunci condițiile de creștere exponențială vor fi îndeplinite dacă
De când Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație pentru N, dimensiunea populației la un moment dat. (Pentru referință: o astfel de ecuație se numește ecuație diferențială.) Iată soluția ei:
unde N 0 este numărul de indivizi din populație la începutul referinței și t este timpul scurs de la acel moment. Simbolul e reprezintă un astfel de număr special, se numește baza logaritmului natural (și este aproximativ egal cu 2,7), iar toată partea dreaptă a ecuației se numește funcție exponențială.
Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație care a constat inițial dintr-o singură bacterie. După un anumit timp (după câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel dimensiunea populației. În următoarea perioadă de timp, fiecare dintre aceste două bacterii se va împărți din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou - acum vor fi patru bacterii. După zece astfel de dubleri, vor exista deja mai mult de o mie de bacterii, după douăzeci - mai mult de un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare diviziune, creșterea acesteia va continua la nesfârșit.
Există o legendă (cel mai probabil nu este adevărată) că omul care a inventat șahul i-a făcut sultanului său o asemenea plăcere, încât i-a promis că îi va îndeplini oricare dintre cereri. Omul i-a cerut sultanului să pună un bob de grâu pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea și așa mai departe. Sultanul, considerând această cerere neînsemnată în comparație cu serviciul prestat de el, a cerut subiectului său să vină cu o altă cerere, dar a refuzat. Desigur, până la a 64-a dublare, numărul de boabe devenise astfel încât cantitatea necesară de grâu nu ar fi fost găsită în întreaga lume pentru a satisface această cerere. În versiunea legendei care îmi este cunoscută, Sultanul a ordonat în acel moment să fie decapitat inventatorul. Morala, așa cum le spun studenților mei, este: uneori nu ar trebui să fii prea deștepți!
Exemplul tablei de șah (precum și bacteriile imaginare) ne arată că nicio populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, pur și simplu va rămâne fără resurse - spațiu, energie, apă, orice altceva. Prin urmare, populațiile pot crește exponențial doar pentru o perioadă, iar mai devreme sau mai târziu creșterea lor trebuie să încetinească. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația, astfel încât atunci când dimensiunea populației se apropie de maximul posibil (care poate fi susținut de mediul extern), rata de creștere să încetinească. Să numim această dimensiune maximă a populației K. Atunci ecuația modificată va arăta astfel:
dN = rN(1 - (N/K)) dt
Când N este mult mai mic decât K, termenul N/K poate fi ignorat și revenim la ecuația originală a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, atunci când N se apropie de valoarea sa maximă K, valoarea lui 1 - (N/K) tinde spre zero și, în consecință, creșterea populației tinde, de asemenea, spre zero. Mărimea totală a populației în acest caz se stabilizează și rămâne la nivelul K. Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația însăși, au mai multe denumiri - curba S, ecuația logistică, ecuația Volterra, ecuația Lotka-Volterra. (Vito Volterra (1860-1940) - eminent matematician și profesor italian; Alfred Lotka (1880-1949) - matematician și analist de asigurări american.) Indiferent cum se numește, este o expresie destul de simplă a dimensiunii unei populații în creștere exponențială, iar apoi încetinirea când se apropie de o anumită limită. Și reflectă creșterea numărului de populații reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.
Crestere exponentiala
Dacă creșterea populației este proporțională cu numărul de indivizi, populația va crește exponențial.
Expresia „creștere exponențială” a intrat în lexicul nostru pentru a însemna creștere rapidă, de obicei neîntreruptă. Este adesea folosit, de exemplu, pentru a descrie creșterea rapidă a numărului de orașe sau creșterea populației. Cu toate acestea, în matematică, acest termen are un sens precis și denotă un anumit tip de creștere.
Creșterea exponențială are loc la acele populații în care creșterea numărului (numărul de nașteri minus numărul deceselor) este proporțională cu numărul de indivizi din populație. Pentru o populație umană, de exemplu, rata natalității este aproximativ proporțională cu numărul de cupluri reproductive, iar rata mortalității este aproximativ proporțională cu numărul de oameni din populație (să o notăm ) . Apoi, la o aproximare rezonabilă,
creşterea populaţiei = numărul de naşteri - numărul de decese
sau
(Aici, așa-numitul factor de proporționalitate, care ne permite să scriem expresia proporționalității ca o ecuație.)
Fie numărul de indivizi adăugați la populație în timpul , atunci dacă există un total de indivizi în populație, atunci condițiile pentru creșterea exponențială vor fi îndeplinite dacă
Din moment ce Isaac Newton a inventat calculul diferențial în secolul al XVII-lea, știm cum să rezolvăm această ecuație pentru - mărimea populației în orice moment dat. (Pentru referință: o astfel de ecuație se numește ecuație diferențială.) Iată soluția ei:
unde este numărul de indivizi din populație la începutul referinței și este timpul scurs de la acel moment. Simbolul reprezintă un astfel de număr special, se numește baza logaritmului natural (și este aproximativ egal cu 2,7), iar toată partea dreaptă a ecuației se numește funcție exponențială.
Pentru a înțelege mai bine ce este creșterea exponențială, imaginați-vă o populație care a constat inițial dintr-o singură bacterie. După un anumit timp (după câteva ore sau minute), bacteria se împarte în două, dublând astfel dimensiunea populației. În următoarea perioadă de timp, fiecare dintre aceste două bacterii se va împărți din nou în două, iar dimensiunea populației se va dubla din nou - acum vor fi patru bacterii. După zece astfel de dubleri, vor exista deja mai mult de o mie de bacterii, după douăzeci - mai mult de un milion și așa mai departe. Dacă populația se dublează cu fiecare diviziune, creșterea acesteia va continua la nesfârșit.
Există o legendă (cel mai probabil nu este adevărată) că omul care a inventat șahul i-a făcut sultanului său o asemenea plăcere, încât i-a promis că îi va îndeplini oricare dintre cereri. Omul i-a cerut sultanului să pună un bob de grâu pe primul pătrat al tablei de șah, două pe al doilea, patru pe al treilea și așa mai departe. Sultanul, considerând această cerere neînsemnată în comparație cu serviciul prestat de el, a cerut subiectului său să vină cu o altă cerere, dar a refuzat. Desigur, până la a 64-a dublare, numărul de boabe devenise astfel încât cantitatea necesară de grâu nu ar fi fost găsită în întreaga lume pentru a satisface această cerere. În versiunea legendei care îmi este cunoscută, Sultanul a ordonat în acel moment să fie decapitat inventatorul. Morala, așa cum le spun studenților mei, este: uneori nu ar trebui să fii prea deștepți!
Exemplul tablei de șah (precum și bacteriile imaginare) ne arată că nicio populație nu poate crește pentru totdeauna. Mai devreme sau mai târziu, pur și simplu va rămâne fără resurse - spațiu, energie, apă, orice altceva. Prin urmare, populațiile pot crește exponențial doar pentru o perioadă, iar mai devreme sau mai târziu creșterea lor trebuie să încetinească. Pentru a face acest lucru, trebuie să modificați ecuația, astfel încât atunci când dimensiunea populației se apropie de maximul posibil (care poate fi susținut de mediul extern), rata de creștere să încetinească. Să numim această dimensiune maximă a populației. Apoi, ecuația modificată va arăta astfel:
Când este mult mai mic decât , termenul poate fi neglijat și revenim la ecuația originală a creșterii exponențiale obișnuite. Cu toate acestea, atunci când se apropie de valoarea sa maximă, valoarea tinde spre zero și, în consecință, creșterea dimensiunii populației tinde și ea spre zero. Mărimea totală a populației în acest caz se stabilizează și rămâne la nivelul . Curba descrisă de această ecuație, precum și ecuația în sine, au mai multe denumiri - curba S, ecuația logistică, ecuația Volterra, ecuația Lotka-Volterra. (Vito Volterra, 1860-1940 - eminent matematician și profesor italian; Alfred Lotka, 1880-1949 - matematician și analist de asigurări american.) Oricum s-ar numi, este o expresie destul de simplă a dimensiunii unei populații care crește exponențial brusc și apoi încetinește la apropierea unei anumite limită. Și reflectă creșterea numărului de populații reale mult mai bine decât funcția exponențială obișnuită.
Relația prădător-pradă
Relațiile dintre prădători și prada lor se dezvoltă ciclic, fiind o ilustrare a unui echilibru neutru.
Uneori, un model matematic simplu descrie bine unul complex. sistem biologic. Un exemplu în acest sens este relația pe termen lung dintre speciile de prădători și prada dintr-un ecosistem. Calculele matematice ale creșterii populației unei singure specii (a se vedea mai sus) arată că limitele densității populației pot fi descrise prin ecuații simple, care la ieșire dau o curbă S caracteristică. Este o curbă a mărimii populației care crește exponențial în timp ce este mică și apoi se aplatizează când atinge limitele capacității ecosistemului de a o susține. O simplă extensie a acestui concept ne permite să înțelegem un ecosistem în care două specii interacționează - prădător și pradă.
Deci, dacă numărul de pradă erbivoră este , iar numărul de prădători carnivori este , atunci probabilitatea ca un prădător să întâlnească un erbivor este proporțională cu produsul de . Cu alte cuvinte, cu cât abundența uneia dintre specii este mai mare, cu atât este mai mare probabilitatea unor astfel de întâlniri. În absența prădătorilor, populația de pradă va crește exponențial (cel puțin inițial), iar în absența prădătorilor, populația de prădători se va micșora la zero, fie din cauza înfometării, fie din cauza migrației. Acum, dacă este modificarea populației de ierbivore în timp și schimbarea populației de carnivore în același interval de timp, atunci cele două populații sunt descrise prin ecuațiile:
Aici este rata de creștere a numărului de ierbivore în absența prădătorilor și este rata de scădere a numărului de carnivore în absența ierbivorelor. Constantele și sunt rata cu care întâlnirile prădători-pradă îndepărtează ierbivorele dintr-o populație și rata cu care aceste întâlniri le permit prădătorilor să se adauge la populația lor. Semnul minus din prima ecuație indică faptul că întâlnirile reduc populația de pradă, în timp ce semnul plus din a doua indică faptul că întâlnirile cresc populația de prădători. După cum puteți vedea, orice modificare a numărului de ierbivore afectează numărul de carnivore și invers. Cele două populații trebuie considerate împreună.
Rezolvarea acestor ecuații arată că ambele populații se dezvoltă ciclic. Dacă populația de erbivore crește, probabilitatea de întâlniri prădători-pradă crește și, în consecință (după o întârziere de timp), populația de prădători crește. Dar o creștere a populației de prădători duce la o scădere a populației de ierbivore (tot după o anumită întârziere), ceea ce duce la o scădere a numărului de descendenți ai prădătorilor, iar acest lucru crește numărul de ierbivore și așa mai departe. Aceste două populații par să danseze un vals în timp - când una dintre ele se schimbă, cealaltă se schimbă după ea.
Enciclopedia lui James Trefil „Natura științei. 200 de legi ale universului.
James Trefil este profesor de fizică la Universitatea George Mason (SUA), unul dintre cei mai cunoscuți autori occidentali de cărți de popularizare.
Când un bulgăre de zăpadă se rostogolește pe un munte, continuă să devină mai mare. Cu cât devine mai mare, cu atât se rostogolește mai repede, cu atât se rostogolește mai repede, cu atât crește mai repede.
Matematicienilor și fizicienilor le place foarte mult să descrie lumea cu numere. Și chiar mai mult - cu ajutorul funcțiilor. O funcție este o regulă conform căreia un număr (de exemplu, X) este pus în corespondență cu altul (de exemplu y). Funcțiile sunt simple, cum ar fi y=10x sau y=x2, dar sunt altele mai complicate ca y=10*sin(7x2+3x-9). Dacă în schimb XȘi yînlocuiți anumiți parametri fizici și găsiți funcția care îi leagă, obțineți legea naturii.
Funcțiile au și derivate. Aceasta este rata de schimbare a funcției. Adică cât de mult se va schimba y la mica schimbare X. De exemplu, în cazul funcției y=10x derivata este întotdeauna constantă: y va crește întotdeauna de 10 ori mai repede decât X. Și în cazul funcției y=x2 derivatul se va schimba. Dacă creștem X c 0 la 1, atunci y va crește și de la 0 la 1. Și dacă creștem X de la 1 la 2 atunci y va crește de la 1 la 4. Adică derivata cu creștere X a crescut.
Un exponent este o funcție y=e x, Unde e- un număr matematic complicat, care este aproximativ egal cu 2,72. Are proprietatea remarcabilă că derivata sa este egală cu ea însăși. Adică, dacă distanța pe care o parcurge un bulgăre de zăpadă depinde de timp ca exponent, atunci viteza sa este exprimată de același exponent. Această proprietate este foarte utilă pentru matematicieni pentru a rezolva diferite ecuatii diferentiale. Le place foarte mult să lucreze cu el și încearcă să transforme diverse alte funcții într-un exponent prin deplasarea, întinderea sau răsturnarea graficului. Toate aceste funcții pot fi numite exponențiale. Procesele exponențiale au o proprietate comună: pentru același interval de timp, parametrii lor se modifică de același număr de ori. Un depozit bancar crește cu 7% în fiecare an, un bulgăre de zăpadă se triplează într-un minut, iar cantitatea de uraniu-235 din centralele nucleare se înjumătățește la fiecare 700 de milioane de ani. Funcțiile exponențiale sunt peste tot în jurul nostru. Toate fenomenele se dezvoltă exponențial, în care există feedback, când rezultatul afectează viteza procesului. În cazul unui bulgăre de zăpadă, feedback-ul este pozitiv: cu cât rezultatul este mai mare, cu atât procesul este mai rapid. Și masa și viteza bulgărelui de zăpadă y crește exponențial în timp X. Banii din bancă se comportă în mod similar la o rată fixă a dobânzii. Cum mai mulți bani, cu cât este mai mare creșterea anuală - și mai repede decât banii suficient pentru o casă în Maldive. Numărul de animale crește și în absența amenințărilor externe: cu cât populația este mai mare, cu atât mai mulți indivizi reproducători, cu atât crește mai repede. Și totuși, când apropii microfonul de difuzor, cel mai liniștit foșnet dintr-o secundă se va transforma într-un zumzet.
Se întâmplă ca feedback-ul să fie negativ: cu cât rezultatul este mai mare, cu atât procesul este mai lent. De exemplu, când ne este foame, începem să absorbim rapid mâncarea, dar imediat ce senzația de foame scade, începem să mâncăm calm, apoi terminăm leneș desertul. De asemenea, ceaiul se răcește exponențial: cu cât diferența de temperatură dintre ceai și aer este mai mare, cu atât se răcește mai repede. Deci, dacă aveți nevoie urgent să fiți distras timp de 15 minute și doriți să beți ceai fierbinte, turnați lapte rece sau apă în el. Apoi diferența de temperatură va scădea, iar ceaiul nu se va răci la fel de repede ca și când ar fi fierbinte.
Cu cât o coardă de chitară se mișcă mai repede, cu atât încetinește mai repede în aer, astfel încât volumul sunetului după tragerea coardei scade exponențial. Un alt exemplu este fisiunea nucleară. Fiecare nucleu se poate descompune la un moment dat, dar cu cât mai multe nuclee, cu atât vor avea loc mai multe dezintegrari într-un minut. Cu cât nucleii se descompun mai repede, cu atât devin mai puțin, ceea ce înseamnă că intensitatea radiației scade în timp.
