O piramidă triunghiulară este o piramidă bazată pe un triunghi. Înălțimea acestei piramide este perpendiculară, care este coborâtă de la vârful piramidei până la bazele acesteia.
Găsirea înălțimii unei piramide
Cum să afli înălțimea unei piramide? Foarte simplu! Pentru a afla înălțimea oricărei piramide triunghiulare, puteți folosi formula de volum: V = (1/3)Sh, unde S este aria bazei, V este volumul piramidei, h este înălțimea acesteia. Din această formulă, derivați formula înălțimii: pentru a găsi înălțimea unei piramide triunghiulare, trebuie să înmulțiți volumul piramidei cu 3 și apoi să împărțiți valoarea rezultată la aria de bază, aceasta va fi: h \u003d (3V ) / S. Deoarece baza unei piramide triunghiulare este un triunghi, puteți utiliza formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Dacă știm: aria triunghiului S și latura sa z, atunci conform formulei ariei S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, unde h este înălțimea piramidei, γ este marginea triunghiului; unghiul dintre laturile triunghiului și cele două laturi în sine, folosind următoarea formulă: S = (1/2)γφsinQ, unde γ, φ sunt laturile triunghiului, găsim aria triunghiului. Valoarea sinusului unghiului Q trebuie vizualizată în tabelul sinusurilor, care se află pe Internet. Apoi, înlocuim valoarea ariei în formula înălțimii: h = (2S)/γ. Dacă sarcina necesită calcularea înălțimii unei piramide triunghiulare, atunci volumul piramidei este deja cunoscut.
Piramidă triunghiulară regulată
Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, adică a unei piramide în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cunoscând dimensiunea muchiei γ. În acest caz, marginile piramidei sunt laturile triunghiurilor echilaterale. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate va fi: h = γ√(2/3), unde γ este marginea unui triunghi echilateral, h este înălțimea piramidei. Dacă aria bazei (S) este necunoscută și sunt date numai lungimea muchiei (γ) și volumul (V) poliedrului, atunci variabila necesară din formula din pasul anterior trebuie înlocuită. prin echivalentul său, care se exprimă în termeni de lungime a muchiei. Aria unui triunghi (regulat) este egală cu 1/4 din produsul lungimii laturii acestui triunghi, la pătrat cu rădăcina pătrată a lui 3. Înlocuim această formulă în locul ariei de bază în formula anterioară , și obținem următoarea formulă: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Volumul unui tetraedru poate fi exprimat în funcție de lungimea muchiei acestuia, apoi toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul a înălțimii unei figuri și poate fi lăsată doar latura feței triunghiulare a figurii. Volumul unei astfel de piramide poate fi calculat prin împărțirea la 12 din produsul lungimii feței sale cuburi cu rădăcina pătrată a lui 2.
Înlocuim această expresie în formula anterioară, obținem următoarea formulă de calcul: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. De asemenea, corect prisma triunghiulara poate fi înscris într-o sferă, iar cunoscând doar raza sferei (R) se poate găsi chiar înălțimea tetraedrului. Lungimea muchiei tetraedrului este: γ = 4R/√6. Înlocuim variabila γ cu această expresie în formula anterioară și obținem formula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Aceeași formulă se poate obține cunoscând raza (R) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea marginii triunghiului va fi egală cu 12 rapoarte între rădăcină pătrată de 6 si raza. Înlocuim această expresie în formula anterioară și avem: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Cum să găsiți înălțimea unei piramide patruunghiulare obișnuite
Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți lungimea înălțimii piramidei, trebuie să știți ce este o piramidă obișnuită. O piramidă patruunghiulară este o piramidă bazată pe un patrulater. Dacă în condițiile problemei avem: volumul (V) și aria bazei (S) a piramidei, atunci formula pentru calcularea înălțimii poliedrului (h) va fi următoarea - împărțiți volumul înmulțit cu 3 cu aria S: h \u003d (3V) / S. Cu o bază pătrată a unei piramide cu: volumul (V) și lungimea laturii γ cunoscute, înlocuiți aria (S) din formula anterioară cu pătratul lungimii laturii: S = γ 2 ; H = 3V/y2. Înălțimea piramidei regulate h = SO trece chiar prin centrul cercului, care este circumscris lângă bază. Deoarece baza acestei piramide este un pătrat, punctul O este punctul de intersecție al diagonalelor AD și BC. Avem: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. În plus, găsim într-un triunghi dreptunghic SOC (conform teoremei lui Pitagora): SO = √(SC 2 -OC 2). Acum știi cum să găsești înălțimea unei piramide obișnuite.
Piramidă este un poliedru, care are o singură față - baza piramidei - un poligon arbitrar, iar restul - fetele laterale- triunghiuri cu un vârf comun, numit vârful piramidei. Perpendiculara coborâtă de la vârful piramidei până la baza ei se numește înălțimea piramidei. O piramidă se numește triunghiular, patrulater etc., dacă baza piramidei este un triunghi, patrulater etc. O piramidă triunghiulară este un tetraedru - un tetraedru. Patraunghiular - pentaedru etc.
Piramidă, Piramida trunchiată
Piramida corectă
Dacă baza piramidei este un poligon regulat, iar înălțimea scade la centrul bazei, atunci piramida este regulată. Într-o piramidă obișnuită, toate marginile laterale sunt egale, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale. Înălțimea triunghiului feței laterale a unei piramide regulate se numește − apotema piramidei drepte.
Piramida trunchiată
secțiune transversală bază paralelă piramida împarte piramida în două părți. Partea piramidei dintre baza ei și această secțiune este trunchi de piramidă . Această secțiune pentru o piramidă trunchiată este una dintre bazele sale. Distanța dintre bazele unei piramide trunchiate se numește înălțimea piramidei trunchiate. O piramidă trunchiată se numește corectă dacă piramida din care a fost obținută a fost corectă. Toate fețele laterale ale unei piramide trunchiate obișnuite sunt trapeze isoscele egale. Înălțimea feței laterale trapezoidale a unei piramide trunchiate obișnuite se numește - apotema unei piramide trunchiate obișnuite.
Continuăm să luăm în considerare sarcinile incluse în examenul de matematică. Am studiat deja problemele în care este dată condiția și se cere să găsim distanța dintre două puncte date sau unghiul.
O piramidă este un poliedru a cărui bază este un poligon, celelalte fețe sunt triunghiuri și au un vârf comun.
O piramidă obișnuită este o piramidă la baza căreia se află un poligon regulat, iar vârful său este proiectat în centrul bazei.
O piramidă patruunghiulară obișnuită - baza este un pătrat.Vârful piramidei este proiectat în punctul de intersecție al diagonalelor bazei (pătratului).
ML - apotema
∠MLO - unghi diedru la baza piramidei
∠MCO - unghiul dintre marginea laterală și planul bazei piramidei
În acest articol, vom lua în considerare sarcinile pentru rezolvarea piramidei corecte. Este necesar să găsiți orice element, suprafață laterală, volum, înălțime. Desigur, trebuie să cunoașteți teorema lui Pitagora, formula pentru aria suprafeței laterale a piramidei, formula pentru găsirea volumului piramidei.
In articol Sunt prezentate formule „” care sunt necesare pentru rezolvarea problemelor de stereometrie. Deci sarcinile sunt:
SABCD punct O- centrul bazeiS vârf, ASA DE = 51, AC= 136. Aflați marginea lateralăSC.
ÎN acest caz baza este un pătrat. Aceasta înseamnă că diagonalele AC și BD sunt egale, se intersectează și bisectează în punctul de intersecție. Rețineți că într-o piramidă obișnuită, înălțimea coborâtă din vârful acesteia trece prin centrul bazei piramidei. Deci SO este înălțimea și triunghiulSOCdreptunghiular. Apoi, după teorema lui Pitagora:
Cum să scoți root un numar mare.
Raspuns: 85
Decideți singuri:
Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, ASA DE = 4, AC= 6. Găsiți o margine laterală SC.
Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, SC = 5, AC= 6. Aflați lungimea segmentului ASA DE.
Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită SABCD punct O- centrul bazei S vârf, ASA DE = 4, SC= 5. Aflați lungimea segmentului AC.
SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 7 și SR= 16. Aflați aria suprafeței laterale.
Aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare obișnuite este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema (apotema este înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, desenată din vârful acesteia):
Sau puteți spune acest lucru: aria suprafeței laterale a piramidei este egală cu suma ariilor celor trei fețe laterale. Fețele laterale dintr-o piramidă triunghiulară regulată sunt triunghiuri de arie egală. În acest caz:
Raspuns: 168
Decideți singuri:
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 1 și SR= 2. Aflați aria suprafeței laterale.
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC R- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că AB= 1, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului SR.
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC L- mijlocul coastei î.Hr, S- de sus. Se știe că SL= 2, iar aria suprafeței laterale este 3. Aflați lungimea segmentului AB.
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC M. Aria unui triunghi ABC este 25, volumul piramidei este 100. Aflați lungimea segmentului DOMNIȘOARĂ.
Baza piramidei este un triunghi echilateral. De aceea Meste centrul bazei șiDOMNIȘOARĂ- înălțimea unei piramide regulateSABC. Volumul piramidei SABC este egal cu: inspectați soluția
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează într-un punct M. Aria unui triunghi ABC este 3, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați volumul piramidei.
Într-o piramidă triunghiulară regulată SABC medianele bazei se intersectează într-un punct M. Volumul piramidei este 1, DOMNIȘOARĂ= 1. Aflați aria triunghiului ABC.
Să terminăm cu asta. După cum puteți vedea, sarcinile sunt rezolvate în unul sau doi pași. Pe viitor vom lua în considerare și alte probleme din această parte, unde se dau corpuri de revoluție, nu ratați!
Vă doresc succes!
Cu stimă, Alexander Krutitskikh.
P.S: Aș fi recunoscător dacă ai spune despre site în rețelele de socializare.
Acest tutorial video va ajuta utilizatorii să-și facă o idee despre tema Pyramid. Piramida corectă. În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție. Luați în considerare ce este o piramidă obișnuită și ce proprietăți are. Apoi demonstrăm teorema pe suprafața laterală a unei piramide regulate.
În această lecție, ne vom familiariza cu conceptul de piramidă, ne vom da o definiție.
Luați în considerare un poligon A 1 A 2...A n, care se află în planul α și un punct P, care nu se află în planul α (Fig. 1). Să conectăm punctul P cu vârfuri A 1, A 2, A 3, … A n. obține n triunghiuri: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rși așa mai departe.
Definiție. Poliedru RA 1 A 2 ... A n, alcătuit din n-gon A 1 A 2...A nȘi n triunghiuri RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1, sunat n- piramida carbunelui. Orez. 1.
Orez. 1
Luați în considerare o piramidă patruunghiulară PABCD(Fig. 2).
R- vârful piramidei.
ABCD- baza piramidei.
RA- coasta laterala.
AB- marginea bazei.
De la un punct R scade perpendiculara RN pe planul solului ABCD. Perpendiculara desenată este înălțimea piramidei.
Orez. 2
Suprafața totală a piramidei constă din suprafața laterală, adică aria tuturor fețelor laterale și zona de bază:
S complet \u003d S lateral + S principal
O piramidă se numește corectă dacă:
- baza sa este un poligon regulat;
- segmentul care leagă vârful piramidei cu centrul bazei este înălțimea acesteia.
Explicație pe exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite
Luați în considerare o piramidă patruunghiulară obișnuită PABCD(Fig. 3).
R- vârful piramidei. baza piramidei ABCD- un patrulater regulat, adică un pătrat. Punct DESPRE, punctul de intersecție al diagonalelor, este centrul pătratului. Mijloace, RO este înălțimea piramidei.
Orez. 3
Explicaţie: in dreapta n-gon, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid. Acest centru se numește centrul poligonului. Uneori se spune că vârful este proiectat în centru.
Înălțimea feței laterale a unei piramide obișnuite, trasă din vârful ei, se numește apotemăși notat h a.
1. toate marginile laterale ale unei piramide regulate sunt egale;
2. fețele laterale sunt triunghiuri isoscele egale.
Să demonstrăm aceste proprietăți folosind exemplul unei piramide patruunghiulare obișnuite.
Dat: RABSD- piramida patruunghiulara regulata,
ABCD- pătrat,
RO este înălțimea piramidei.
Dovedi:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Vezi Fig. 4.
Orez. 4
Dovada.
RO este înălțimea piramidei. Adică drept RO perpendicular pe plan ABC, și, prin urmare, direct AO, VO, SOȘi DO culcat în ea. Deci triunghiurile ROA, ROV, ROS, ROD- dreptunghiular.
Luați în considerare un pătrat ABCD. Din proprietăţile unui pătrat rezultă că AO = BO = CO = DO.
Apoi triunghiurile dreptunghiulare ROA, ROV, ROS, ROD picior RO- general si picioare AO, VO, SOȘi DO egale, deci aceste triunghiuri sunt egale în două catete. Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea segmentelor, RA = PB = PC = PD. Punctul 1 este dovedit.
Segmente ABȘi soare sunt egale pentru că sunt laturile aceluiași pătrat, RA = RV = PC. Deci triunghiurile AVRȘi VCR - isoscel și egal pe trei laturi.
În mod similar, obținem că triunghiurile ABP, BCP, CDP, DAP sunt isoscele și egale, ceea ce trebuia să fie demonstrat la punctul 2.
Aria suprafeței laterale a unei piramide regulate este egală cu jumătate din produsul dintre perimetrul bazei și apotema:
Pentru demonstrație, alegem o piramidă triunghiulară obișnuită.
Dat: RAVS este o piramidă triunghiulară regulată.
AB = BC = AC.
RO- înălțime.
Dovedi: 
. Vezi fig. 5.
Orez. 5
Dovada.
RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Acesta este AB= AC = BC. Lăsa DESPRE- centrul triunghiului ABC, Apoi RO este înălțimea piramidei. Baza piramidei este un triunghi echilateral. ABC. observa asta 
.
triunghiuri RAV, RVS, RSA- triunghiuri isoscele egale (după proprietate). O piramidă triunghiulară are trei fețe laterale: RAV, RVS, RSA. Deci, aria suprafeței laterale a piramidei este:
Partea S = 3S RAB
Teorema a fost demonstrată.
Raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare obișnuite este de 3 m, înălțimea piramidei este de 4 m. Aflați aria suprafeței laterale a piramidei.
Dat: piramidă patruunghiulară regulată ABCD,
ABCD- pătrat,
r= 3 m,
RO- înălțimea piramidei,
RO= 4 m.
Găsi: partea S. Vezi fig. 6.
Orez. 6
Soluţie.
Conform teoremei dovedite, .
Găsiți mai întâi partea bazei AB. Știm că raza unui cerc înscris la baza unei piramide patruunghiulare regulate este de 3 m.
Apoi, m.
Aflați perimetrul pătratului ABCD cu latura de 6 m:
Luați în considerare un triunghi BCD. Lăsa M- partea de mijloc DC. Deoarece DESPRE- mijloc BD, Acea 
(m).
Triunghi DPC- isoscel. M- mijloc DC. Acesta este, RM- mediana, deci și înălțimea în triunghi DPC. Apoi RM- apotema piramidei.
RO este înălțimea piramidei. Apoi, drept RO perpendicular pe plan ABC, și de aici direct OM culcat în ea. Să găsim o apotema RM dintr-un triunghi dreptunghic ROM.
Acum putem găsi suprafata laterala piramide:
Răspuns: 60 m2.
Raza unui cerc circumscris lângă baza unei piramide triunghiulare regulate este m. Aria suprafeței laterale este de 18 m 2. Aflați lungimea apotemului.
Dat: ABCP- piramida triunghiulara regulata,
AB = BC = SA,
R= m,
Latura S = 18 m 2.
Găsi: . Vezi fig. 7.
Orez. 7
Soluţie.
Într-un triunghi dreptunghic ABC dată fiind raza cercului circumscris. Să găsim o parte AB acest triunghi folosind teorema sinusului.
Cunoscând latura unui triunghi regulat (m), găsim perimetrul acestuia.
Conform teoremei privind suprafața laterală a unei piramide regulate, unde h a- apotema piramidei. Apoi:
Răspuns: 4 m.
Deci, am examinat ce este o piramidă, ce este o piramidă obișnuită, am demonstrat teorema pe suprafața laterală a unei piramide obișnuite. În lecția următoare, ne vom familiariza cu piramida trunchiată.
Bibliografie
- Geometrie. Clasele 10-11: manual pentru elevi institutii de invatamant(bază și niveluri de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Ed. a 5-a, Rev. si suplimentare - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
- Geometrie. Clasele 10-11: Manual pentru învățământul general institutii de invatamant/ Sharygin I.F. - M.: Butard, 1999. - 208 p.: ill.
- Geometrie. Clasa a 10-a: Manual pentru instituții de învățământ general cu studiu aprofundat și de profil al matematicii / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Ed. a VI-a, stereotip. - M.: Butard, 008. - 233 p.: ill.
- Portalul de internet „Yaklass” ()
- Portalul de internet „Festivalul de Idei Pedagogice „Primul Septembrie” ()
- Portalul de internet „Slideshare.net” ()
Teme pentru acasă
- Poate un poligon regulat să fie baza unei piramide neregulate?
- Demonstrați că muchiile care nu se intersectează ale unei piramide regulate sunt perpendiculare.
- Aflați valoarea unghiului diedrului de pe latura bazei unei piramide patruunghiulare regulate, dacă apotema piramidei este egală cu latura bazei acesteia.
- RAVS este o piramidă triunghiulară regulată. Construiți unghiul liniar al unghiului diedric de la baza piramidei.
Conceptul de piramidă
Definiția 1
Figura geometrică, format dintr-un poligon și un punct care nu se află în planul care conține acest poligon, legat de toate vârfurile poligonului, se numește piramidă (Fig. 1).
Poligonul din care este compusa piramida se numeste baza piramidei, triunghiurile obtinute prin legatura cu punctul sunt fetele laterale ale piramidei, laturile triunghiurilor sunt laturile piramidei, iar punctul comun tuturor triunghiuri este vârful piramidei.
Tipuri de piramide
În funcție de numărul de colțuri de la baza piramidei, aceasta poate fi numită triunghiulară, patruunghiulară și așa mai departe (Fig. 2).
Figura 2.
Un alt tip de piramidă este o piramidă obișnuită.
Să introducem și să demonstrăm proprietatea unei piramide obișnuite.
Teorema 1
Toate fețele laterale ale unei piramide obișnuite sunt triunghiuri isoscele care sunt egale între ele.
Dovada.
Considerăm o piramidă $n-$gonală regulată cu vârf $S$ de înălțime $h=SO$. Să descriem un cerc în jurul bazei (Fig. 4).
Figura 4
Luați în considerare triunghiul $SOA$. Prin teorema lui Pitagora, obținem
Evident, orice margine laterală va fi definită în acest fel. Prin urmare, toate marginile laterale sunt egale între ele, adică toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele. Să demonstrăm că sunt egali unul cu celălalt. Deoarece baza este un poligon regulat, bazele tuturor fețelor laterale sunt egale între ele. În consecință, toate fețele laterale sunt egale conform semnului III al egalității triunghiurilor.
Teorema a fost demonstrată.
Introducem acum următoarea definiție legată de conceptul de piramidă obișnuită.
Definiția 3
Apotema unei piramide obișnuite este înălțimea feței sale laterale.
Evident, după teorema 1, toate apotemele sunt egale.
Teorema 2
Suprafața laterală a unei piramide obișnuite este definită ca produsul dintre semiperimetrul bazei și apotema.
Dovada.
Să notăm latura bazei $n-$piramidei cărbunelui ca $a$, iar apotema ca $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu
Deoarece, prin teorema 1, toate laturile sunt egale, atunci
Teorema a fost demonstrată.
Un alt tip de piramidă este piramida trunchiată.
Definiția 4
Dacă un plan paralel cu baza sa este trasat printr-o piramidă obișnuită, atunci figura formată între acest plan și planul bazei se numește piramidă trunchiată (Fig. 5).
Figura 5. Piramida trunchiată
Fețele laterale ale trunchiului piramidei sunt trapeze.
Teorema 3
Aria suprafeței laterale a unei piramide trunchiate obișnuite este definită ca produsul dintre suma semiperimetrelor bazelor și apotema.
Dovada.
Să notăm laturile bazelor $n-$piramidei cărbunelui cu $a\ și, respectiv, b$, iar apotema cu $d$. Prin urmare, aria feței laterale este egală cu
Din moment ce toate părțile sunt egale, atunci
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu de sarcină
Exemplul 1
Găsiți aria suprafeței laterale a unei piramide triunghiulare trunchiate dacă este obținută dintr-o piramidă regulată cu latura de bază 4 și apotema 5 prin tăierea printr-un plan care trece prin linia mediană a fețelor laterale.
Soluţie.
Conform teoremei dreptei medii, obținem că baza superioară a piramidei trunchiate este egală cu $4\cdot \frac(1)(2)=2$, iar apotema este egală cu $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5$.
Apoi, prin teorema 3, obținem
