Matrici. Tipuri de matrice. Operații pe matrice și proprietățile acestora.
Determinant al unei matrice de ordin al n-lea. N, Z, Q, R, C,
O matrice de ordinul m*n este un tabel dreptunghiular de numere care conține m-rânduri și n-coloane.
Egalitatea matricei:
Se spune că două matrici sunt egale dacă numărul de rânduri și coloane ale uneia dintre ele este egal cu numărul de rânduri și, respectiv, de coloane ale celeilalte. Elementele acestor matrici sunt egale.
Notă: e-mailurile care au aceiași indexuri sunt corespunzătoare.
Tipuri de matrice:
Matrice pătrată: O matrice se numește pătrată dacă numărul rândurilor sale este egal cu numărul de coloane.
Dreptunghiulară: O matrice se numește dreptunghiulară dacă numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane.
Matrice de rând: o matrice de ordinul 1*n (m=1) are forma a11,a12,a13 și se numește matrice de rând.
Coloana matricei:………….
Diagonala: Diagonala unei matrice pătrate, care merge de la colțul din stânga sus la colțul din dreapta jos, adică formată din elementele a11, a22...... se numește diagonală principală. (definiție: o matrice pătrată ale cărei elemente sunt toate zero, cu excepția celor situate pe diagonala principală, se numește matrice diagonală.
Identitate: O matrice diagonală se numește matrice de identitate dacă toate elementele sunt situate pe diagonala principală și sunt egale cu 1.
Triunghiular superior: A=||aij|| se numește matrice triunghiulară superioară dacă aij=0. Cu conditia i>j.
Triunghiul inferior: aij=0. i Zero: aceasta este o matrice ale cărei valori sunt egale cu 0. Operații pe matrice. 1.Transpunerea. 2. Înmulțirea unei matrice cu un număr. 3. Adunarea matricelor.
4.Înmulțirea matricei.
Proprietățile de bază ale acțiunilor pe matrice.
1.A+B=B+A (comutativitate)
2.A+(B+C)=(A+B)+C (asociativitate)
3.a(A+B)=aA+aB (distributivitate)
4.(a+b)A=aA+bA (distributiv)
5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoc.)
6.AB≠BA (fără comunicație)
7.A(BC)=(AB)C (asociat.) – executat dacă este definit. Produsele Matrix sunt realizate.
8.A(B+C)=AB+AC (distributiv)
(B+C)A=BA+CA (distributiv)
9.a(AB)=(aA)B=(aB)A
Determinant al unei matrice pătrate – definiție și proprietățile acesteia. Descompunerea determinantului în rânduri și coloane. Metode de calcul al determinanților.
Dacă matricea A are ordinul m>1, atunci determinantul acestei matrice este un număr.
Complementul algebric Aij al elementului aij al matricei A este Mij minor înmulțit cu numărul
TEOREMA 1: Determinantul matricei A egal cu suma produse ale tuturor elementelor unui rând (coloană) arbitrar prin complementele lor algebrice.
Proprietățile de bază ale determinanților.
1. Determinantul unei matrice nu se va schimba atunci când este transpusă.
2. La rearanjarea a două rânduri (coloane), determinantul își schimbă semnul, dar valoarea lui absolută nu se modifică.
3. Determinantul unei matrice care are două rânduri (coloane) identice este egal cu 0.
4. Când un rând (coloană) a unei matrice este înmulțit cu un număr, determinantul său este înmulțit cu acest număr.
5. Dacă unul dintre rândurile (coloanele) matricei este format din 0, atunci determinantul acestei matrice este egal cu 0.
6. Dacă toate elementele rândului i (coloanei) unei matrice sunt prezentate ca sumă a doi termeni, atunci determinantul său poate fi reprezentat ca suma determinanților a două matrice.
7. Determinantul nu se va modifica dacă elementele unei coloane (rând) sunt adăugate elementelor unei alte coloane (rând), respectiv, după înmulțire. pentru acelasi numar.
8. Suma elementelor arbitrare ale oricărei coloane (rând) a determinantului prin complementul algebric corespunzător al elementelor unei alte coloane (rând) este egală cu 0.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">
Metode de calcul a determinantului:
1. Prin definiție sau teorema 1.
2. Reducere la formă triunghiulară.
Definiția și proprietățile unei matrici inverse. Calculul matricei inverse. Ecuații matriceale.
Definiție: O matrice pătrată de ordin n se numește inversa matricei A de același ordin și se notează
Pentru ca matricea A să existe matrice inversă Este necesar și suficient ca determinantul matricei A să fie diferit de 0.
Proprietățile unei matrici inverse:
1. Unicitatea: pentru o matrice dată A, inversul acesteia este unic.
2. determinant matriceal
3. Operația de preluare a transpoziției și luarea matricei inverse.
Ecuații matriceale:
Fie A și B doi matrici pătrate de aceeasi ordine.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">
Conceptul de dependență liniară și independență a coloanelor matriceale. Proprietăți de dependență liniară și independență liniară a unui sistem de stâlpi.
Coloanele A1, A2...An se numesc dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu coloana 0.
Coloanele A1, A2...An se numesc liniar independente dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu coloana 0.
O combinație liniară se numește trivială dacă toți coeficienții C(l) sunt egali cu 0 și netriviali în caz contrar.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">
2. Pentru ca coloanele să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca o coloană să fie o combinație liniară a altor coloane.
Fie 1 dintre coloanele https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">să fie o combinație liniară a altor coloane.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> sunt dependente liniar, apoi toate coloanele sunt dependente liniar.
4. Dacă un sistem de coloane este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.
(Tot ceea ce se spune despre coloane este valabil și pentru rânduri).
Matrice minori. Minori de bază. Rangul matricei. Metoda limitării minorilor pentru calculul rangului unei matrice.
Un minor de ordinul k al unei matrice A este un determinant ale cărui elemente sunt situate la intersecția k-rândurilor și k-coloanelor matricei A.
Dacă toate minorele de ordinul k al matricei A = 0, atunci orice minor de ordinul k+1 este de asemenea egal cu 0.
Minor de bază.
Rangul unei matrice A este de ordinul bazei sale minore.
Metoda limitării minorilor: - Selectați un element diferit de zero al matricei A (Dacă un astfel de element nu există, atunci rangul A = 0)
Limităm minorul anterior de ordinul 1 cu un minor de ordinul 2. (Dacă acest minor nu este egal cu 0, atunci rangul este >=2) Dacă rangul acestui minor este =0, atunci limităm minorul de ordinul 1 selectat cu alți minori de ordinul 2. (Dacă toți minorii de ordinul 2 = 0, atunci rangul matricei = 1).
Rangul matricei. Metode de găsire a rangului unei matrice.
Rangul unei matrice A este de ordinul bazei sale minore.
Metode de calcul:
1) Metoda de margine a minorilor: - Selectați un element diferit de zero al matricei A (dacă nu există un astfel de element, atunci rang = 0) - Mărginiți minorul anterior de ordinul 1 cu un minor de ordinul 2..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0.
2) Reducerea matricei la o formă în trepte: această metodă se bazează pe transformări elementare. În timpul transformărilor elementare, rangul matricei nu se modifică.
Următoarele transformări se numesc transformări elementare:
Rearanjarea a două rânduri (coloane).
Înmulțirea tuturor elementelor unei anumite coloane (rând) cu un număr nu =0.
Adăugarea tuturor elementelor unei anumite coloane (rând) a elementelor unei alte coloane (rând), înmulțite anterior cu același număr.
Teorema pe baza minoră. O condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero.
Baza minoră a unei matrice A este minora de ordinul k-lea cel mai înalt diferit de 0.
Teorema minoră a bazei:
Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (coloană) al matricei A este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloanelor).
Note: Rândurile și coloanele la intersecția cărora există o bază minoră se numesc rânduri de bază și, respectiv, coloane.
a11 a12... a1r a1j
a21 a22….a2r a2j
a31 a32….a3r a3j
ar1 ar2….arr arj
ak1 ak2…..akr akj
Condiții necesare și suficiente pentru ca determinantul să fie egal cu zero:
Pentru ca un determinant de ordin al n-lea să fie =0, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) să fie dependente liniar.
Sisteme ecuatii lineare, formele lor de clasificare și înregistrare. regula lui Cramer.
Să considerăm un sistem de 3 ecuații liniare cu trei necunoscute:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id=">!}
se numește determinantul sistemului.
Să mai compunem trei determinanți astfel: înlocuiți secvențial 1, 2 și 3 coloane din determinantul D cu o coloană de termeni liberi
https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id=">!}
Dovada. Deci, să considerăm un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute. Să înmulțim prima ecuație a sistemului cu complementul algebric A11 al elementului a11, a doua ecuație cu A21 și a treia cu A31:
https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id=">!}
Să ne uităm la fiecare dintre paranteze și partea dreaptă a acestei ecuații. Prin teorema expansiunii determinantului în elementele coloanei I
https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id=">!}
În mod similar, se poate demonstra că și .
În cele din urmă, este ușor de observat asta 
Astfel, obținem egalitatea: .
Prin urmare, .
Egalitățile și sunt derivate similar, din care urmează enunțul teoremei.
Sisteme de ecuații liniare. Condiție de compatibilitate a ecuațiilor liniare. Teorema Kronecker-Capelli.
Soluție de sistem ecuații algebrice se numește o astfel de mulțime de n numere C1,C2,C3……Cn care, atunci când este substituită în sistemul original în locul x1,x2,x3…..xn, transformă toate ecuațiile sistemului în identități.
Un sistem de ecuații algebrice liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție.
Un sistem consistent se numește determinat dacă are o soluție unică și nedefinit dacă are infinite de soluții.
Condiții de consistență pentru sisteme de ecuații algebrice liniare.
a11 a12 ……a1n x1 b1
a21 a22 ……a2n x2 b2
……………….. .. = ..
am1 am2…..amn xn bn
TEOREMA: Pentru ca un sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei extinse să fie egal cu rangul matricei A.
Notă: Această teoremă oferă doar criterii pentru existența unei soluții, dar nu indică o metodă pentru găsirea unei soluții.
10 intrebare.
Sisteme de ecuații liniare. Metoda minoră de bază - metoda generala găsirea tuturor soluțiilor sistemelor de ecuații liniare.
A=a21 a22…..a2n
Metoda minoră de bază:
Fie sistemul consecvent și RgA=RgA’=r. Fie ca baza minoră să fie scrisă în colțul din stânga sus al matricei A.
https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a
d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)
… = …………..
Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)
https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">
Note: Dacă rangul matricei principale și al matricei luate în considerare este egal cu r=n, atunci în acest caz dj=bj și sistemul are o soluție unică.
Sisteme omogene de ecuații liniare.
Un sistem de ecuații algebrice liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.
AX=0 – sistem omogen.
AX =B este un sistem eterogen.
Sistemele omogene sunt întotdeauna consistente.
X1 =x2 =..=xn =0
Teorema 1.
Sistemele omogene au soluții neomogene atunci când rangul matricei sistemului număr mai mic necunoscut.
Teorema 2.
Sistem omogen ecuații n-liniare cu n-necunoscute are o soluție diferită de zero când determinantul matricei A este egal cu zero. (detA=0)
Proprietăți ale soluțiilor sistemelor omogene.
Orice combinație liniară de soluții sistem omogenîn sine este o soluție pentru acest sistem.
a1C1 +a2C2; α1 și α2 sunt niște numere.
A(α1C1 +α2C2) = A(α1C1) +A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, adică. k. (A C1) = 0; (AC2) = 0
Pentru un sistem neomogen această proprietate nu este valabilă.
Sistem fundamental de soluții.
Teorema 3.
Dacă rangul unui sistem matriceal al unei ecuații cu n-necunoscute este egal cu r, atunci acest sistem are n-r liniar independent deciziilor.
Lăsați baza minoră să fie în colțul din stânga sus. Dacă r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr
C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0)
C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.
……………………..
Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)
Un sistem de n-r soluții liniar independente la un sistem omogen de ecuații liniare cu n-necunoscute de rang r se numește sistem fundamental de soluții.
Teorema 4.
Orice soluție a unui sistem de ecuații liniare este o combinație liniară a unei soluții a sistemului fundamental.
С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r
Dacă r Întrebarea 12. Soluție generală a unui sistem eterogen. Somn (general eterogen) = Coo + Sch (particular) AX=B (sistem eterogen); AX= 0 (ASoo) + ASch = ASch = B, deoarece (ASoo) = 0 Somn= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch metoda Gauss. Aceasta este o metodă de eliminare secvențială a necunoscutelor (variabilelor) - constă în faptul că, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul original de ecuații este redus la un sistem echivalent de formă treptat, din care se găsesc toate celelalte variabile. secvenţial, începând cu ultimele variabile. Fie a≠0 (dacă nu este cazul, atunci acest lucru poate fi realizat prin rearanjarea ecuațiilor). 1) excludem variabila x1 din a doua, a treia...a-a ecuație, înmulțind prima ecuație cu numere potrivite și adunând rezultatele obținute la a 2-a, a 3-a...a-a ecuație, apoi obținem: Obținem un sistem echivalent cu cel original. 2) excludeți variabila x2 3) excludeți variabila x3 etc. Continuând procesul de eliminare secvenţială a variabilelor x4;x5...xr-1 obţinem pentru pasul (r-1). Numărul zero al ultimului n-r din ecuații înseamnă că partea stângă a acestora are forma: 0x1 +0x2+..+0xn Dacă cel puțin unul dintre numerele br+1, br+2... nu este egal cu zero, atunci egalitatea corespunzătoare este contradictorie și sistemul (1) nu este consecvent. Astfel, pentru orice sistem consistent acest br+1 ... bm este egal cu zero. Ultima ecuație n-r din sistem (1;r-1) sunt identități și pot fi ignorate. Există două cazuri posibile: a) numărul de ecuații ale sistemului (1;r-1) este egal cu numărul de necunoscute, adică r=n (în acest caz sistemul are formă triunghiulară). b)r Trecerea de la sistemul (1) la sistemul echivalent (1;r-1) se numește mișcare directă a metodei gaussiene. Găsirea unei variabile din sistem (1;r-1) este inversul metodei gaussiene. Este convenabil să se efectueze transformări gaussiene realizându-le nu cu ecuații, ci cu o matrice extinsă a coeficienților lor. Întrebarea 13. Matrici similare. Vom lua în considerare numai matrici pătrate de ordinul n/ Se spune că o matrice A este similară cu matricea B (A~B) dacă există o matrice nesingulară S astfel încât A=S-1BS. Proprietățile matricelor similare. 1) Matricea A este similară cu ea însăși. (A~A) Dacă S=E, atunci EAE=E-1AE=A 2) Dacă A~B, atunci B~A Dacă A=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3) Dacă A~B și în același timp B~C, atunci A~C Se da ca A=S1-1BS1, si B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, unde S3 = S2S1 4) Determinanții matricilor similare sunt egali. Având în vedere că A~B, este necesar să se demonstreze că detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (redus) = detB. 5) Rândurile matricelor similare coincid. Vectori proprii și valorile proprii ale matricelor. Numărul λ se numește valoare proprie a matricei A dacă există un vector X diferit de zero (coloana matricei) astfel încât AX = λ X, vectorul X se numește vector propriu al matricei A, iar mulțimea tuturor valorilor proprii se numește spectrul matricei A. Proprietăți ale vectorilor proprii. 1) Înmulțind un vector propriu cu un număr, obținem un vector propriu cu aceeași valoare proprie. AX = λ X; X≠0 α X => A(α X) = α (AX) = α(λ X) = = λ (αX) 2) Vectorii proprii cu valori proprii diferite în perechi sunt independenți liniar λ1, λ2,.. λk. Fie ca sistemul să fie format dintr-un vector, să facem un pas inductiv: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – înmulțiți cu A. C1 AX1 +C2 AX2 + .. +Cn AXn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Înmulțiți cu λn+1 și scădeți С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Este necesar ca C1 = C2 =... = Cn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Ecuație caracteristică. A-λE se numește matricea caracteristică pentru matricea A. Pentru ca un vector diferit de zero X să fie un vector propriu al matricei A, corespunzător valorii proprii λ, este necesar ca acesta să fie o soluție a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (A - λE)X = 0 Sistemul are o soluție netrivială când det (A - XE) = 0 - aceasta este ecuația caracteristică. Afirmație! Ecuațiile caracteristice ale unor astfel de matrici coincid. det(S-1AS – λE) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λE)S) = det S-1 det(A – λE) detS= det(A – λE) Polinom caracteristic. det(A – λE) - funcţie relativă la parametrul λ det(A – λE) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Acest polinom se numește polinomul caracteristic al matricei A. Consecinţă: 1) Dacă matricele sunt A~B, atunci suma elementelor lor diagonale coincide. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2) Setul de valori proprii ale matricilor similare coincide. Dacă ecuațiile caracteristice ale matricelor coincid, atunci ele nu sunt neapărat similare. Pentru matricea A Pentru matricea B https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Pentru ca o matrice A de ordinul n să fie diagonalizabilă, este necesar să existe vectori proprii liniar independenți ai matricei A. Consecinţă. Dacă toate valorile proprii ale unei matrice A sunt diferite, atunci aceasta este diagonalizabilă. Algoritm pentru găsirea vectorilor proprii și a valorilor proprii. 1) alcătuiți o ecuație caracteristică 2) găsiți rădăcinile ecuațiilor 3) compunem un sistem de ecuații pentru a determina vectorul propriu. λi (A-λi E)X = 0 4) găsiți un sistem fundamental de soluții x1,x2..xn-r, unde r este rangul matricei caracteristice. r =Rg(A - λi E) 5) vector propriu, valorile proprii λi sunt scrise ca: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, unde С12 +С22 +… С2n ≠0 6) verificați dacă matricea poate fi redusă la formă diagonală. 7) găsiți Ag Ag = S-1AS S= Întrebarea 15. Baza unei linii drepte, plan, spațiu. DIV_ADBLOCK410"> Modulul unui vector este lungimea acestuia, adică distanța dintre A și B (││, ││). Modulul unui vector este zero atunci când acest vector este zero (│ō│=0) 4. Orth vector. O ortă a unui vector dat este un vector care are aceeași direcție ca și vectorul dat și are un modul egal cu unu. Vectorii egali au vectori egali. 5.Unghiul dintre doi vectori. Aceasta este o parte mai mică a zonei, limitată de două raze care emană din același punct și direcționate în același mod cu vectorii dați. Adăugarea vectorului. Înmulțirea unui vector cu un număr. 1) Adunarea a doi vectori https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2) Înmulțirea unui vector cu un scalar. Produsul unui vector și al unui scalar este un vector nou care are: a) = produsul modulului vectorului fiind înmulțit cu valoarea absolută a scalarului. b) direcția este aceeași cu vectorul înmulțit dacă scalarul este pozitiv și opus dacă scalarul este negativ. λ а(vector)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Proprietăți ale operațiilor liniare pe vectori. 1. Legea comunicabilității. 2. Legea asociativității. 3. Adunarea cu zero. a(vector)+ō= a(vector) 4. Adăugarea cu opusul. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Legea distributivității. Exprimarea unui vector în termeni de modul și orth. Număr maxim vectori liniar independenți sunt numite bază. O bază pe o linie este orice vector diferit de zero. O bază pe plan este oricare doi vectori non-calenari. O bază în spațiu este un sistem de oricare trei vectori necoplanari. Coeficientul de expansiune al unui vector pe o anumită bază se numește componente sau coordonate ale vectorului în această bază. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> efectuează acțiunea de adunare și înmulțire cu un scalar, apoi, ca rezultat, orice număr de astfel de acțiuni obținem: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> sunt numite liniar independente dacă nu există o combinație liniară netrivială a acestora. Proprietățile vectorilor liniar dependenți și independenți: 1) un sistem de vectori care conțin un vector zero este dependent liniar. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> au fost dependente liniar, este necesar ca un vector să fie o combinație liniară a altor vectori. 3) dacă unii dintre vectorii din sistemul a1(vector), a2(vector)... ak(vector) sunt dependenți liniar, atunci toți vectorii sunt dependenți liniar. 4) dacă toți vectorii https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Operații liniare în coordonate. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λa3)DIV_ADBLOCK413"> Produsul scalar a 2 vectori este un număr egal cu produsul vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei. https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13"> 3. (a;b)=0, dacă și numai dacă vectorii sunt ortoganali sau unii dintre vectori sunt egali cu 0. 4. Distributivitatea (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Exprimarea produsului scalar al lui a și b în funcție de coordonatele lor https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> Când condiția () este îndeplinită, h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> și se numește al treilea vector care satisface următoarele ecuații: 3. – drept Proprietățile unui produs vectorial: 4. Produs vectorial al vectorilor unitar de coordonate Baza ortonormala. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Adesea, 3 simboluri sunt folosite pentru a desemna vectori unitari de bază ortonormală https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Dacă este o bază ortonormală, atunci DIV_ADBLOCK414"> Linie dreaptă pe un plan. Poziția relativă a 2 drepte. Distanța de la un punct la o linie dreaptă. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția paralelismului și perpendicularității a 2 drepte. 1. Un caz special de aranjare a 2 drepte pe un plan. 1) - ecuația unei drepte paralele cu axa OX 2) - ecuația unei linii drepte paralele cu axa amplificatorului operațional 2. Dispunerea reciprocă a 2 linii drepte. Teorema 1 Fie date ecuațiile dreptelor în raport cu un sistem de coordonate afín A) Atunci condiția necesară și suficientă pentru când se intersectează are forma: B) Atunci condiția necesară și suficientă pentru faptul că dreptele sunt paralele este condiția: B) Atunci, o condiție necesară și suficientă pentru faptul că liniile se îmbină într-una singură este condiția: 3. Distanța de la un punct la o dreaptă. Teorema. Distanța de la un punct la o dreaptă în raport cu sistemul de coordonate carteziene: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Unghiul dintre două linii drepte. Condiție de perpendicularitate. Fie definite 2 drepte relativ la sistemul de coordonate carteziene prin ecuații generale. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Dacă , atunci liniile sunt perpendiculare. Întrebarea 24. Avion în spațiu. Condiție pentru ca vectorul și planul să fie consecvenți. Distanța de la un punct la un plan. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două plane. 1. Condiția ca vectorul și planul să fie consistente. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Nameless4.jpg" width="111" height="39">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Nameless5.jpg" width="88" height="57">!} https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Unghiul dintre 2 planuri. Condiție de perpendicularitate. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Dacă , atunci planurile sunt perpendiculare. Întrebarea 25. Linie dreaptă în spațiu. Tipuri diferite ecuațiile unei linii drepte în spațiu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Ecuația vectorială a unei linii în spațiu. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Ecuația canonică este directă. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Nameless3.jpg" width="56" height="51">
!} Întrebarea 28. Elipsă. Derivarea ecuației elipsei canonice. Formă. Proprietăți Elipsa este locul punctelor pentru care suma distanțelor de la două distanțe fixe, numite focare, este număr dat 2a, mai mare decât distanța 2c dintre focare. în Fig. 2 r1=a+ex r2=a-ex Ur-e tangent la elipsă DIV_ADBLOCK417"> Ecuația canonică a hiperbolei Formă și sfinți y=±b/a înmulțit cu rădăcina lui (x2-a2) Axa de simetrie a unei hiperbole - axele sale Segmentul 2a - axa reală a hiperbolei Excentricitatea e=2c/2a=c/a Dacă b=a obținem o hiperbolă isoscelă O asimptotă este o linie dreaptă dacă, cu o distanță nelimitată a punctului M1 de-a lungul curbei, distanța de la punct la linie dreaptă tinde spre zero. lim d=0 la x-> ∞ d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c) tangenta hiperbolei xx0/a2 - yy0/b2 = 1 parabolă - un loc de puncte echidistant de un punct numit focar și de o linie dată numită directrice Ecuația parabolei canonice proprietăți axa de simetrie a unei parabole trece prin focarul ei și este perpendiculară pe directrice dacă rotiți o parabolă obțineți un paraboloid eliptic toate parabolele sunt similare întrebarea 30. Studiul ecuaţiei formei generale a unei curbe de ordinul doi. Tip curba def. cu termenii conducători A1, B1, C1 A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 1. AC=0 ->curba de tip parabolic A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0 A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0 Dacă E=0 => Ax2+2Dx+F=0 apoi x1=x2 - fuzionează într-unul singur x1≠x2 - linii paralele cu Оу x1≠x2 și rădăcinile sunt imaginare, nu are imagine geometrică С≠0 А=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0 Concluzie: o curbă de tip parabolic este fie o parabolă, fie 2 linii paralele, fie imaginară, fie se îmbină într-una singură. 2.AC>0 -> curbă eliptică Completând ecuația originală la un pătrat complet, o transformăm în cea canonică, apoi obținem cazurile (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - elipsa (x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - elipsă imaginară (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - punct cu coordonata x0 y0 Concluzie: e-curba. ca aceasta este fie o elipsă, fie una imaginară, fie un punct 3. AC<0 - кривая гиперболического типа (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hiperbola, axa reală paralelă cu Ox (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hiperbola, axa reală paralelă cu Oy (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 nivelul a două linii Concluzie: o curbă hiperbolică este fie o hiperbolă, fie două linii drepte O matrice este un obiect special în matematică. Este reprezentat sub forma unui tabel dreptunghiular sau pătrat, compus dintr-un anumit număr de rânduri și coloane. În matematică există o mare varietate de tipuri de matrice, care variază ca mărime sau conținut. Numerele rândurilor și coloanelor sale se numesc ordine. Aceste obiecte sunt folosite în matematică pentru a organiza înregistrarea sistemelor de ecuații liniare și pentru a căuta în mod convenabil rezultatele acestora. Ecuațiile folosind o matrice sunt rezolvate folosind metoda lui Carl Gauss, Gabriel Cramer, adunări minore și algebrice, precum și multe alte metode. Abilitatea de bază atunci când lucrați cu matrici este reducerea la o formă standard. Cu toate acestea, mai întâi, să ne dăm seama ce tipuri de matrice se disting de matematicieni. Toate componentele acestui tip de matrice sunt zerouri. Între timp, numărul rândurilor și coloanelor sale este complet diferit. Numărul de coloane și rânduri ale acestui tip de matrice este același. Cu alte cuvinte, este o masă în formă de „pătrat”. Numărul coloanelor (sau rândurilor) sale se numește ordine. Cazurile speciale sunt considerate a fi existența unei matrice de ordinul doi (matrice 2x2), de ordinul al patrulea (4x4), de ordinul al zecelea (10x10), de ordinul al șaptesprezecelea (17x17) și așa mai departe. Acesta este unul dintre cele mai simple tipuri de matrice, care conține o singură coloană, care include trei valori numerice. Reprezintă un număr de termeni liberi (numere independente de variabile) în sisteme de ecuații liniare. Vedere similară cu cea anterioară. Constă din trei elemente numerice, la rândul lor organizate într-o singură linie. Valorile numerice în forma diagonală a matricei iau numai componentele diagonalei principale (evidențiate cu verde). Diagonala principală începe cu elementul din colțul din dreapta sus și se termină cu numărul din a treia coloană a celui de-al treilea rând. Componentele rămase sunt egale cu zero. Tipul diagonal este doar o matrice pătrată de un anumit ordin. Dintre matricele diagonale se poate distinge pe cea scalară. Toate componentele sale iau aceleași valori. Un subtip de matrice diagonală. Toate valorile sale numerice sunt unități. Folosind un singur tip de tabel matrice, se efectuează transformările sale de bază sau se găsește o matrice inversă celei originale. Forma canonică a matricei este considerată una dintre cele principale; Reducerea la acesta este adesea necesară pentru muncă. Numărul de rânduri și coloane dintr-o matrice canonică variază și nu aparține neapărat tipului pătrat. Este oarecum similar cu matricea de identitate, dar în cazul ei nu toate componentele diagonalei principale iau o valoare egală cu unu. Pot exista două sau patru unități diagonale principale (totul depinde de lungimea și lățimea matricei). Sau este posibil să nu existe deloc unități (atunci este considerat zero). Componentele rămase de tip canonic, precum și elementele diagonale și unitare, sunt egale cu zero. Unul dintre cele mai importante tipuri de matrice, folosit la căutarea determinantului său și la efectuarea unor operații simple. Tipul triunghiular provine din tipul diagonal, deci matricea este și pătrată. Tipul triunghiular de matrice este împărțit în triunghiular superior și triunghiular inferior. Într-o matrice triunghiulară superioară (Fig. 1), numai elementele care se află deasupra diagonalei principale iau o valoare egală cu zero. Componentele diagonalei în sine și partea matricei situată sub ea conțin valori numerice. În matricea triunghiulară inferioară (Fig. 2), dimpotrivă, elementele situate în partea inferioară a matricei sunt egale cu zero. Tipul este necesar pentru a găsi rangul unei matrice, precum și pentru operații elementare asupra acestora (împreună cu tipul triunghiular). Matricea pașilor este numită așa deoarece conține „pași” caracteristici de zerouri (așa cum se arată în figură). În tipul de pas, se formează o diagonală de zerouri (nu neapărat cea principală), iar toate elementele de sub această diagonală au, de asemenea, valori egale cu zero. O condiție prealabilă este următoarea: dacă există un rând zero în matricea pașilor, atunci rândurile rămase de sub acesta nu conțin nici valori numerice. Astfel, am examinat cele mai importante tipuri de matrice necesare pentru a lucra cu acestea. Acum să ne uităm la problema conversiei matricei în forma necesară. Cum se aduce o matrice într-o formă triunghiulară? Cel mai adesea în sarcini trebuie să transformați o matrice într-o formă triunghiulară pentru a-i găsi determinantul, altfel numit determinant. Atunci când se efectuează această procedură, este extrem de important să se „pastreze” diagonala principală a matricei, deoarece determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul componentelor diagonalei sale principale. Permiteți-mi să reamintesc și metode alternative de găsire a determinantului. Determinantul tipului pătrat se găsește folosind formule speciale. De exemplu, puteți folosi metoda triunghiului. Pentru alte matrici se folosește metoda de descompunere pe rând, coloană sau elementele acestora. De asemenea, puteți utiliza metoda minorilor și adăugărilor de matrice algebrică. Să analizăm în detaliu procesul de reducere a unei matrice la o formă triunghiulară folosind exemple ale unor sarcini. Este necesar să se găsească determinantul matricei prezentate folosind metoda reducerii acesteia la formă triunghiulară. Matricea dată nouă este o matrice pătrată de ordinul trei. Prin urmare, pentru a o transforma într-o formă triunghiulară, va trebui să scoatem la zero două componente ale primei coloane și o componentă a celei de-a doua. Pentru a-l aduce la formă triunghiulară, începem transformarea din colțul din stânga jos al matricei - de la numărul 6. Pentru a o transforma la zero, înmulțiți primul rând cu trei și scădeți-l din ultimul rând. Important! Rândul de sus nu se modifică, dar rămâne același ca în matricea originală. Nu este nevoie să scrieți un șir de patru ori mai mare decât cel original. Dar valorile șirurilor ale căror componente trebuie setate la zero se schimbă constant. Rămâne doar ultima valoare - elementul celui de-al treilea rând al celei de-a doua coloane. Acesta este numărul (-1). Pentru a-l transforma la zero, scade pe al doilea din prima linie. Sa verificam: detA = 2 x (-1) x 11 = -22. Aceasta înseamnă că răspunsul la sarcină este -22. Este necesar să se găsească determinantul matricei reducându-l la formă triunghiulară. Matricea prezentată aparține tipului pătrat și este o matrice de ordinul al patrulea. Aceasta înseamnă că este necesar să transformați trei componente ale primei coloane, două componente ale celei de-a doua coloane și o componentă a celei de-a treia la zero. Să începem să o reducem cu elementul situat în colțul din stânga jos - cu numărul 4. Trebuie să transformăm acest număr la zero. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să înmulți linia de sus cu patru și apoi să o scazi din a patra. Să notăm rezultatul primei etape de transformare. Deci, componenta al patrulea rând este setată la zero. Să trecem la primul element al celei de-a treia rânduri, la numărul 3. Efectuăm o operație similară. Înmulțim prima linie cu trei, o scădem din a treia linie și notăm rezultatul. Am reușit să întoarcem la zero toate componentele primei coloane a acestei matrice pătrate, cu excepția numărului 1 - un element al diagonalei principale care nu necesită transformare. Acum este important să păstrăm zerourile rezultate, așa că vom efectua transformările cu rânduri, nu cu coloane. Să trecem la a doua coloană a matricei prezentate. Să începem din nou din partea de jos - cu elementul coloanei a doua a ultimului rând. Acest număr este (-7). Cu toate acestea, în acest caz, este mai convenabil să începeți cu numărul (-1) - elementul coloanei a doua a celui de-al treilea rând. Pentru a-l transforma la zero, scădeți al doilea din a treia linie. Apoi înmulțim a doua linie cu șapte și o scadem din a patra. Am primit zero în loc de elementul situat în al patrulea rând al celei de-a doua coloane. Acum să trecem la a treia coloană. În această coloană, trebuie să transformăm doar un număr la zero - 4. Acest lucru nu este dificil de făcut: pur și simplu adăugăm o treime la ultima linie și vedem zeroul de care avem nevoie. După toate transformările făcute, am adus matricea propusă într-o formă triunghiulară. Acum, pentru a-i găsi determinantul, trebuie doar să înmulți elementele rezultate ale diagonalei principale. Primim: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Prin urmare, soluția este 160. Deci, acum problema reducerii matricei la formă triunghiulară nu vă va deranja. Pentru operațiile elementare pe matrice, forma în trepte este mai puțin „la cerere” decât cea triunghiulară. Cel mai adesea este folosit pentru a găsi rangul unei matrice (adică numărul rândurilor sale diferite de zero) sau pentru a determina rânduri dependente și independente liniar. Cu toate acestea, tipul de matrice în trepte este mai universal, deoarece este potrivit nu numai pentru tipul pătrat, ci și pentru toate celelalte. Pentru a reduce o matrice la forma treptat, mai întâi trebuie să găsiți determinantul acesteia. Metodele de mai sus sunt potrivite pentru aceasta. Scopul găsirii determinantului este de a afla dacă acesta poate fi convertit într-o matrice de etape. Dacă determinantul este mai mare sau mai mic decât zero, atunci puteți trece în siguranță la sarcină. Dacă este egal cu zero, nu va fi posibilă reducerea matricei la o formă în trepte. În acest caz, trebuie să verificați dacă există erori în înregistrare sau în transformările matricei. Dacă nu există astfel de inexactități, sarcina nu poate fi rezolvată. Să ne uităm la cum să reduceți o matrice la o formă în pas folosind exemple de mai multe sarcini. Exercitiul 1. Găsiți rangul tabelului matriceal dat. În fața noastră este o matrice pătrată de ordinul trei (3x3). Știm că pentru a găsi rangul este necesar să-l reducem la o formă treptat. Prin urmare, mai întâi trebuie să găsim determinantul matricei. Să folosim metoda triunghiului: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12. Determinant = 12. Este mai mare decât zero, ceea ce înseamnă că matricea poate fi redusă la o formă în trepte. Să începem să-l transformăm. Să începem cu elementul coloanei din stânga a celei de-a treia linii - numărul 2. Înmulțiți linia de sus cu două și scădeți-o din a treia. Datorită acestei operații, atât elementul de care avem nevoie, cât și numărul 4 - elementul coloanei a doua a celui de-al treilea rând - s-au transformat la zero. Vedem că în urma reducerii s-a format o matrice triunghiulară. În cazul nostru, nu putem continua transformarea, deoarece componentele rămase nu pot fi reduse la zero. Aceasta înseamnă că concluzionăm că numărul de rânduri care conțin valori numerice în această matrice (sau rangul acesteia) este 3. Răspunsul la sarcină: 3. Sarcina 2. Determinați numărul de rânduri liniar independente ale acestei matrice. Trebuie să găsim șiruri care nu pot fi convertite la zero prin nicio transformare. De fapt, trebuie să găsim numărul de rânduri diferite de zero sau rangul matricei prezentate. Pentru a face acest lucru, să simplificăm. Vedem o matrice care nu aparține tipului pătrat. Măsoară 3x4. Să începem și reducerea cu elementul din colțul din stânga jos - numărul (-1). Transformările sale ulterioare sunt imposibile. Aceasta înseamnă că concluzionăm că numărul de linii liniar independente din el și răspunsul la sarcină este 3. Acum, reducerea matricei la o formă în trepte nu este o sarcină imposibilă pentru tine. Folosind exemple ale acestor sarcini, am examinat reducerea unei matrice la o formă triunghiulară și o formă în trepte. Pentru a transforma valorile dorite ale tabelelor matrice la zero, în unele cazuri trebuie să vă folosiți imaginația și să convertiți corect coloanele sau rândurile acestora. Mult succes la matematică și la lucrul cu matrice! Matrice
dimensiunea este un tabel de numere care conține rânduri și coloane. Numerele sunt numite elemente ale acestei matrice, unde este numărul rândului, este numărul coloanei la intersecția căreia se află acest element. O matrice care conține rânduri și coloane are forma: Tipuri de matrice: 1) la - pătrat
, și ei sună ordinea matricei
; 2) o matrice pătrată în care toate elementele nediagonale sunt egale cu zero – diagonală
; 3) o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale unitate - singur
și se notează cu ; 4) la - dreptunghiular
; 5) când – matricea rândului (vector rând); 6) când – matrice-coloană (vector-coloană); 7) pentru toți – matrice zero. Rețineți că principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate este determinantul acesteia. Determinantul corespunzător unei matrice de ordinul al treilea are și ordinul al treilea. Determinant al unei matrice de ordinul I
numărul apelat. Determinant al unei matrice de ordinul 2
numărul apelat Determinant al unei matrice de ordinul 3
numărul apelat Să prezentăm definițiile necesare pentru o prezentare ulterioară. Minor M
ij
element
A
ij
matrici n- ordinul A se numește determinantul matricei ( n-1)- ordinul obtinut din matricea A prin stergere i-a linia și j a coloana. Complementul algebric A
ij
element
A
ij
matrici n-
de ordinul A este minorul acestui element, luat cu semnul . Să formulăm proprietățile de bază ale determinanților care sunt inerente determinanților tuturor ordinelor și să simplificăm calculul acestora. 1. Când o matrice este transpusă, determinantul ei nu se schimbă. 2. La rearanjarea a două rânduri (coloane) ale unei matrice, determinantul acesteia își schimbă semnul. 3. Un determinant care are două rânduri (coloane) proporționale (egale) este egal cu zero. 4. Factorul comun al elementelor oricărui rând (coloană) al determinantului poate fi scos din semnul determinantului. 5. Dacă elementele oricărui rând (coloană) a unui determinant sunt suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi descompus în suma a doi determinanți corespunzători. 6. Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare din celălalt rând (coloană) a acestuia, înmulțite anterior cu orice număr, sunt adăugate elementelor oricăruia dintre rândurile (coloanelor) ale acestuia. 7. Determinantul unei matrice este egal cu suma produselor elementelor oricăreia dintre rândurile (coloanele) ale acesteia prin complementele algebrice ale acestor elemente. Să explicăm această proprietate folosind exemplul unui determinant de ordinul 3. În acest caz, proprietatea 7 înseamnă că Proprietatea 7 este o teoremă de descompunere determinantă formulată de Laplace. 8. Suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) a unui determinant prin complementele algebrice ale elementelor corespunzătoare ale celuilalt rând (coloană) a acestuia este egală cu zero. Ultima proprietate este adesea numită pseudo-descompunere a determinantului. Întrebări de autotest. 1. Ce se numește matrice? 2. Care matrice se numește pătrat? Ce se înțelege prin ordinul său? 3. Ce matrice se numește diagonală, identitate? 4. Care matrice se numește matrice de rând și matrice de coloană? 5. Care este principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate? 6. Ce număr se numește determinantul ordinului 1, 2 și 3? 7. Ce se numește complementul minor și algebric al unui element de matrice? 8. Care sunt principalele proprietăți ale determinanților? 9. Utilizând ce proprietate se poate calcula determinantul oricărei ordine? Acțiuni asupra matricelor(schema 2) Un număr de operații sunt definite pe un set de matrice, principalele fiind următoarele: 1) transpunere
– înlocuirea rândurilor matricei cu coloane, iar coloanelor cu rânduri; 2) înmulțirea unei matrice cu un număr se face element cu element, adică 3) adunarea matricei, definită numai pentru matrice de aceeași dimensiune; 4) înmulțirea a două matrici, definită numai pentru matrice potrivite. Suma (diferența) a două matrici
se numește o astfel de matrice rezultată, fiecare element al cărei element este egal cu suma (diferența) elementelor corespunzătoare comenzilor matricei. Cele două matrici sunt numite ne-am înțeles asupra
, dacă numărul de coloane al primei este egal cu numărul de rânduri al celuilalt. Produsul a două matrici potrivite
și o astfel de matrice rezultată se numește Unde , . Rezultă că elementul rândului al treilea și al coloanei a treia a matricei este egal cu suma produselor perechi ale elementelor din rândul al treilea al matricei și elementelor coloanei a treia a matricei. Produsul matricelor nu este comutativ, adică A .
B B .
A. O excepție este, de exemplu, produsul dintre matrice pătrate și unitatea A .
E = E .
A. Exemplul 1.1.Înmulțiți matricele A și B dacă: Soluţie. Deoarece matricele sunt consistente (numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri ale matricei), vom folosi formula (1.4): Întrebări de autotest. 1. Ce acțiuni se efectuează pe matrice? 2. Cum se numește suma (diferența) a două matrici? 3. Cum se numește produsul a două matrici? Metoda lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare(schema 3) Să dăm o serie de definiții necesare. Sistemul de ecuații liniare se numește eterogen
, dacă cel puțin unul dintre termenii săi liberi este diferit de zero și omogen
, dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. Rezolvarea unui sistem de ecuații
este un set ordonat de numere care, atunci când sunt înlocuite cu variabile dintr-un sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate. Sistemul de ecuații se numește comun
, dacă are cel puțin o soluție, și nearticulată
, daca nu are solutii. Sistemul de ecuații simultane se numește anumit
, dacă are o soluție unică, și incert
, dacă are mai multe soluții. Să considerăm un sistem pătratic neomogen de ecuații algebrice liniare având următoarea formă generală: Determinantul matricei principale a sistemului se numește determinant principal
si este desemnat . Determinantul auxiliar se obține din determinantul principal prin înlocuirea coloanei-a cu o coloană de termeni liberi. Teorema 1.1 (teorema lui Cramer). Dacă determinantul principal al unui sistem patratic de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, calculată prin formulele: Dacă determinantul principal este , atunci sistemul fie are un număr infinit de soluții (pentru toți determinanții auxiliari zero) fie nu are nicio soluție (dacă cel puțin unul dintre determinanții auxiliari diferă de zero) În lumina definițiilor de mai sus, teorema lui Cramer poate fi formulată diferit: dacă determinantul principal al unui sistem de ecuații algebrice liniare este diferit de zero, atunci sistemul este definit în comun și în același timp ;
dacă determinantul principal este zero, atunci sistemul este fie împreună nedefinit (pentru toți ) fie inconsecvent (dacă cel puțin unul dintre ei diferă de zero). După aceasta, soluția rezultată trebuie verificată. Exemplul 1.2. Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer Soluţie. Deoarece principalul determinant al sistemului Să folosim formulele lui Cramer (1.6): Întrebări de autotest. 1. Ce se numește rezolvarea unui sistem de ecuații? 2. Care sistem de ecuații se numește compatibil sau incompatibil? 3. Ce sistem de ecuații se numește definit sau nedefinit? 4. Care matrice a sistemului de ecuații se numește principală? 5. Cum se calculează determinanții auxiliari ai unui sistem de ecuații algebrice liniare? 6. Care este esența metodei lui Cramer pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare? 7. Cum poate fi un sistem de ecuații algebrice liniare dacă principalul său determinant este zero? Rezolvarea sistemelor pătratice de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei inverse(schema 4) Se numește o matrice care are un determinant diferit de zero nedegenerat
; având un determinant egal cu zero - degenerat
. Matricea se numește inversă
pentru o matrice pătrată dată, dacă la înmulțirea matricei cu inversul ei atât la dreapta cât și la stânga, se obține matricea de identitate, adică. (1.7)
Rețineți că în acest caz produsul matricelor și este comutativ. Teorema 1.2. O condiție necesară și suficientă pentru existența unei matrici inverse pentru o matrice pătrată dată este ca determinantul matricei date să fie diferit de zero Dacă matricea principală a sistemului se dovedește a fi singulară în timpul testării, atunci nu există inversă pentru aceasta și metoda luată în considerare nu poate fi aplicată. Dacă matricea principală este nesingulară, adică determinantul este 0, atunci matricea inversă poate fi găsită pentru aceasta folosind următorul algoritm. 1. Calculați complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei. 2. Scrieți adunările algebrice găsite în matricea transpusă. 3. Creați o matrice inversă folosind formula: 4. Verificați corectitudinea matricei găsite A-1 conform formulei (1.7). Rețineți că această verificare poate fi inclusă în verificarea finală a soluției de sistem în sine. Sistemul (1.5) de ecuații algebrice liniare poate fi reprezentat ca o ecuație matriceală: , unde este matricea principală a sistemului, este coloana de necunoscute și este coloana de termeni liberi. Să înmulțim această ecuație din stânga cu matricea inversă, obținem: Deoarece, prin definiția matricei inverse, ecuația ia forma Astfel, pentru a rezolva un sistem patratic de ecuații algebrice liniare, trebuie să înmulțiți coloana de termeni liberi din stânga cu inversul matricei matricei principale a sistemului. După aceasta, ar trebui să verificați soluția rezultată. Exemplul 1.3. Rezolvați sistemul folosind metoda matricei inverse Soluţie. Să calculăm principalul determinant al sistemului Să găsim complementele algebrice ale tuturor elementelor matricei principale: Să scriem adunările algebrice transpuse în matrice Întrebări de autotest. 1. Care matrice se numește singular, nedegenerată? 2. Ce matrice se numește inversa uneia date? Care este condiția existenței sale? 3. Care este algoritmul pentru găsirea matricei inverse pentru una dată? 4. Ce ecuație matriceală este echivalentă cu un sistem de ecuații algebrice liniare? 5. Cum se rezolvă un sistem de ecuații algebrice liniare folosind matricea inversă pentru matricea principală a sistemului? Studiul sistemelor neomogene de ecuații algebrice liniare(schema 5) Studiul oricărui sistem de ecuații algebrice liniare începe cu transformarea matricei sale extinse prin metoda Gaussiană. Fie dimensiunea matricei principale a sistemului egal cu . Matrice
numit extins
matricea sistemului ,
dacă, împreună cu coeficienții necunoscutelor, conține o coloană de termeni liberi. Prin urmare, dimensiunea este . Metoda Gaussiană se bazează pe transformări elementare
, care include: – rearanjarea rândurilor matriceale; – înmulțirea rândurilor matricei cu un număr diferit de cel al volanului; – adăugarea pe elemente a rândurilor matricei; – ștergerea liniei zero; – transpunerea matricei (în acest caz, transformările sunt efectuate pe coloane). Transformările elementare conduc sistemul original la un sistem echivalent cu acesta. Sisteme sunt numite echivalente
, dacă au același set de soluții. Rangul matricei
este numit cel mai înalt ordin al minorilor săi diferit de zero. Transformările elementare nu schimbă rangul matricei. Următoarea teoremă răspunde la întrebarea despre existența soluțiilor pentru un sistem neomogen de ecuații liniare. Teorema 1.3 (teorema Kronecker-Capelli). Un sistem neomogen de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei sale principale, i.e. Să notăm numărul de rânduri rămase în matrice după metoda Gaussiană prin (în consecință, numărul de ecuații rămase în sistem). Aceste linii
se numesc matrice de bază
. Dacă , atunci sistemul are o soluție unică (este definită în comun), matricea sa este redusă la o formă triunghiulară prin transformări elementare. Un astfel de sistem poate fi rezolvat folosind metoda Cramer, folosind matricea inversă, sau metoda universală Gauss. Dacă (numărul de variabile din sistem este mai mare decât ecuațiile), matricea este redusă la o formă în trepte prin transformări elementare. Un astfel de sistem are multe soluții și este incert în comun. În acest caz, pentru a găsi soluții la sistem, este necesar să se efectueze o serie de operațiuni. 1. Lăsați sistemul de necunoscute în partea stângă a ecuațiilor ( variabile de bază
), restul necunoscutelor sunt mutate în partea dreaptă ( variabile libere
). După împărțirea variabilelor în de bază și libere, sistemul ia forma: 2. Din coeficienții variabilelor de bază, alcătuiți un minor ( minor de bază
), care trebuie să fie diferit de zero. 3. Dacă minorul de bază al sistemului (1.10) este egal cu zero, atunci înlocuiți una dintre variabilele de bază cu una liberă; Verificați baza rezultată minoră pentru non-zero. 4. Aplicând formulele (1.6) ale metodei Cramer, considerând laturile drepte ale ecuațiilor drept termeni liberi ai acestora, găsiți o expresie pentru variabilele de bază în termenii celor libere în formă generală. Setul ordonat rezultat de variabile de sistem este acesta decizie generală
. 5. Dând variabilelor libere în (1.10) valori arbitrare, calculați valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Setul ordonat rezultat de valori ale tuturor variabilelor este numit soluție privată
sisteme corespunzătoare unor valori date ale variabilelor libere. Sistemul are un număr infinit de soluții particulare. 6. Ia solutie de baza
sistem – o soluție particulară obținută pentru valorile zero ale variabilelor libere. Rețineți că numărul de seturi de bază de variabile ale sistemului (1.10) este egal cu numărul de combinații de elemente pe elemente. Deoarece fiecare set de bază de variabile are propria soluție de bază, sistemul are și soluții de bază. Un sistem omogen de ecuații este întotdeauna consistent, deoarece are cel puțin o soluție – zero (trivială). Pentru ca un sistem omogen de ecuații liniare cu variabile să aibă soluții diferite de zero, este necesar și suficient ca determinantul său principal să fie egal cu zero. Aceasta înseamnă că rangul matricei sale principale este mai mic decât numărul de necunoscute. În acest caz, studiul unui sistem omogen de ecuații pentru soluții generale și particulare se realizează în mod similar cu studiul unui sistem neomogen. Soluțiile unui sistem omogen de ecuații au o proprietate importantă: dacă sunt cunoscute două soluții diferite ale unui sistem omogen de ecuații liniare, atunci combinația lor liniară este de asemenea o soluție pentru acest sistem. Este ușor de verificat validitatea următoarei teoreme. Teorema 1.4. Soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații este suma soluției generale a sistemului omogen corespunzător și o soluție particulară a sistemului neomogen de ecuații Exemplul 1.4. Explorați sistemul dat și găsiți o soluție specială: Soluţie. Să notăm matricea extinsă a sistemului și să îi aplicăm transformări elementare: Conform formulelor (1.6) avem Pentru valori specifice ale variabilelor libere, din soluția generală obținem o soluție particulară a sistemului. De exemplu, o soluție privată Întrebări de autotest. 1. Ce sistem de ecuații se numește omogen sau neomogen? 2. Care matrice se numește extinsă? 3. Enumeraţi transformările elementare de bază ale matricelor. Ce metodă de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare se bazează pe aceste transformări? 4. Care este rangul unei matrice? Cum o poți calcula? 5. Ce spune teorema Kronecker-Capelli? 6. La ce formă poate fi redus un sistem de ecuații algebrice liniare ca urmare a soluționării sale prin metoda Gauss? Ce înseamnă acest lucru? 7. Care rânduri ale matricei se numesc de bază? 8. Ce variabile de sistem se numesc de bază și care sunt libere? 9. Ce soluție a unui sistem neomogen se numește privat? 10.Care dintre soluțiile sale se numește de bază? Câte soluții de bază are un sistem neomogen de ecuații liniare? 11.Care soluție a unui sistem neomogen de ecuații algebrice liniare se numește generală? Formulați o teoremă despre soluția generală a unui sistem neomogen de ecuații. 12. Care sunt principalele proprietăți ale soluțiilor unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare? DEFINIȚIA MATRICEI. TIPURI DE MATRICE Matricea mărimii m× n numit set m·n numere dispuse într-un tabel dreptunghiular de m linii şi n coloane. Acest tabel este de obicei inclus între paranteze. De exemplu, matricea ar putea arăta astfel: Pentru concizie, o matrice poate fi desemnată cu o singură literă majusculă, de exemplu, A sau ÎN. În general, o matrice de mărime m× n scrie asa Se numesc numerele care alcătuiesc matricea elemente de matrice. Este convenabil să se furnizeze elemente de matrice cu doi indici a ij: Primul indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei. De exemplu, un 23– elementul se află în al 2-lea rând, a 3-a coloană. Dacă o matrice are același număr de rânduri ca și numărul de coloane, atunci matricea este numită pătrat, iar numărul rândurilor sau coloanelor sale este numit în ordine matrici. În exemplele de mai sus, a doua matrice este pătrată - ordinea sa este 3, iar a patra matrice este ordinea sa 1. Se numește o matrice în care numărul de rânduri nu este egal cu numărul de coloane dreptunghiular. În exemple, aceasta este prima matrice și a treia. Există, de asemenea, matrice care au un singur rând sau o coloană. Se numește o matrice cu un singur rând matrice - rând(sau șir) și o matrice cu o singură coloană matrice - coloană. Se numește o matrice ale cărei elemente sunt toate zero nulși este notat cu (0), sau pur și simplu 0. De exemplu, Diagonala principală a unei matrice pătrate numim diagonala care merge din colțul din stânga sus spre colțul din dreapta jos. Se numește o matrice pătrată în care toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero triunghiular matrice. Se numește o matrice pătrată în care toate elementele, cu excepția probabil celor de pe diagonala principală, sunt egale cu zero diagonală matrice. De exemplu, sau. Se numește o matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul singur matrice și este notat cu litera E. De exemplu, matricea de identitate de ordinul 3 are forma ACȚIUNI PE MATRICE Egalitatea matricei. Două matrice AȘi B se spune că sunt egale dacă au același număr de rânduri și coloane și elementele corespunzătoare sunt egale a ij = b ij. Astfel, dacă Transpune. Luați în considerare o matrice arbitrară A din m linii şi n coloane. Poate fi asociat cu următoarea matrice B din n linii şi m coloane, în care fiecare rând este o coloană matrice A cu același număr (deci fiecare coloană este un rând al matricei A cu același număr). Astfel, dacă Această matrice B numit transpus matrice A, și trecerea de la A La B transpunere. Astfel, transpunerea este o inversare a rolurilor rândurilor și coloanelor unei matrice. Matrice transpusă în matrice A, de obicei notat A T. Comunicarea între matrice A iar transpunerea lui poate fi scrisă sub forma . De exemplu. Aflați matricea transpusă celei date. Adăugarea matricei. Lasă matricele AȘi B constau din același număr de rânduri și același număr de coloane, adică avea aceleasi marimi. Apoi pentru a adăuga matrice AȘi B necesare pentru elementele matricei A adăugați elemente de matrice B stând în aceleași locuri. Astfel, suma a două matrice AȘi B numită matrice C, care este determinat de regulă, de exemplu, Exemple. Aflați suma matricelor: Este ușor de verificat că adunarea matricei respectă următoarele legi: comutativă A+B=B+Ași asociativ ( A+B)+C=A+(B+C). Înmulțirea unei matrice cu un număr. Pentru a multiplica o matrice A pe număr k fiecare element al matricei este necesar Aînmulțiți cu acest număr. Astfel, produsul matricei A pe număr k există o nouă matrice, care este determinată de regulă Pentru orice numere AȘi bși matrice AȘi B sunt valabile următoarele egalități: Exemple. Înmulțirea matricei. Această operațiune se efectuează conform unei legi speciale. În primul rând, observăm că dimensiunile matricelor factorilor trebuie să fie consistente. Puteți înmulți numai acele matrici în care numărul de coloane din prima matrice coincide cu numărul de rânduri din a doua matrice (adică lungimea primului rând este egală cu înălțimea celei de-a doua coloane). Munca matrici A nu o matrice B numită noua matrice C=AB, ale căror elemente sunt compuse după cum urmează: Astfel, de exemplu, pentru a obține produsul (adică în matrice C) element situat în rândul 1 și coloana a 3-a de la 13, trebuie să luați primul rând din prima matrice, a treia coloană în a doua, apoi să înmulțiți elementele rândului cu elementele de coloană corespunzătoare și să adăugați produsele rezultate. Și alte elemente ale matricei de produs sunt obținute folosind un produs similar dintre rândurile primei matrice și coloanele celei de-a doua matrice. În general, dacă înmulțim o matrice A = (a ij) mărimea m× n la matrice B = (b ij) mărimea n× p, apoi obținem matricea C mărimea m× p, ale căror elemente se calculează astfel: element c ij se obţine ca rezultat al produsului elementelor i al-lea rând al matricei A la elementele corespunzătoare j coloana a matricei Bși completările lor. Din această regulă rezultă că se pot înmulți oricând două matrice pătrate de același ordin și ca rezultat obținem o matrice pătrată de același ordin. În special, o matrice pătrată poate fi întotdeauna înmulțită cu ea însăși, adică pătratul. Un alt caz important este înmulțirea unei matrice de rând cu o matrice de coloană, iar lățimea primei trebuie să fie egală cu înălțimea celei de-a doua, rezultând o matrice de ordinul întâi (adică un element). Într-adevăr, Exemple. Astfel, aceste exemple simple arată că matricele, în general, nu fac naveta între ele, i.e. A∙B ≠ B∙A
. Prin urmare, atunci când înmulțiți matrice, trebuie să monitorizați cu atenție ordinea factorilor. Se poate verifica că înmulțirea matriceală se supune legilor asociative și distributive, i.e. (AB)C=A(BC)Și (A+B)C=AC+BC. De asemenea, este ușor să verificați acest lucru atunci când înmulțiți o matrice pătrată A la matricea identitară E de aceeași ordine obținem din nou o matrice A, și AE=EA=A. Următorul fapt interesant poate fi remarcat. După cum știți, produsul a 2 numere diferite de zero nu este egal cu 0. Pentru matrice, acesta poate să nu fie cazul, adică. produsul a 2 matrice nenule se poate dovedi a fi egal cu matricea zero. De exemplu, Dacă CONCEPTUL DE DETERMINANȚI Să fie dată o matrice de ordinul doi - o matrice pătrată formată din două rânduri și două coloane Determinant de ordinul doi corespunzător unei matrice date este numărul obținut după cum urmează: a 11 la 22 – a 12 la 21. Determinantul este indicat prin simbol Deci, pentru a găsi determinantul de ordinul doi, trebuie să scădeți produsul elementelor de-a lungul celei de-a doua diagonale din produsul elementelor diagonalei principale. Exemple. Calculați determinanții de ordinul doi. În mod similar, putem considera o matrice de ordinul trei și determinantul corespunzător. Determinant de ordinul trei, corespunzătoare unei matrice pătrate date de ordinul al treilea, este numărul notat și obținut după cum urmează: Astfel, această formulă oferă expansiunea determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând un 11, un 12, un 13și reduce calculul determinantului de ordinul trei la calculul determinanților de ordinul doi. Exemple. Calculați determinantul de ordinul trei. În mod similar, se pot introduce conceptele de determinanți ai al patrulea, al cincilea etc. ordine, coborându-și ordinea prin extinderea în elementele din primul rând, cu semnele „+” și „–” ale termenilor alternând. Deci, spre deosebire de o matrice, care este un tabel de numere, un determinant este un număr care este atribuit matricei într-un anumit mod. Operații pe matrice și proprietățile acestora. Conceptul de determinant al ordinului doi și al treilea.Proprietățile determinanților și calculul acestora. 3. Descrierea generală a sarcinii. 4. Finalizarea sarcinilor. 5. Întocmirea unui raport privind activitatea de laborator. Glosar Aflați definițiile următoare termeni: Dimensiune O matrice este o colecție de două numere, formată din numărul rândurilor sale m și numărul de coloane n. Dacă m=n, atunci matricea este numită pătrat matricea de ordin n. Operații pe matrice: transpunerea unei matrice, înmulțirea (împărțirea) unei matrice cu un număr, adunarea și scăderea, înmulțirea unei matrice cu o matrice. Trecerea de la o matrice A la o matrice A m, ale cărei rânduri sunt coloanele, iar coloanele sunt rândurile matricei A, se numește transpunere matricele A. Exemplu: A = , A t = . La înmulțiți matricea cu număr, trebuie să înmulțiți fiecare element al matricei cu acest număr. Exemplu: 2A= 2· = . Suma (diferența) matricele A și B de aceeași dimensiune se numesc matrice C=A B, ale cărei elemente sunt egale cu ij = a ij b ij pentru toți iȘi j. Exemplu: A = ; B = . A+B= Munca matricea A m n prin matricea B n k se numește matrice C m k , fiecare element al căruia c ij este egal cu suma produselor elementelor rândului i al matricei A cu elementul corespunzător al coloanei j. din matricea B: c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a în ·b nj . Pentru a putea înmulți o matrice cu o matrice, acestea trebuie să fie ne-am înțeles asupra pentru înmulțire și anume numar de coloaneîn prima matrice ar trebui să fie egală cu număr de liniiîn a doua matrice. Exemplu: A= și B=. А·В — imposibil, pentru că nu sunt consistente. VA= . = Proprietățile operației de înmulțire a matricei. 1. Dacă matricea A are dimensiunea m n, iar matricea B este dimensiunea n k, atunci produsul A·B există. Produsul BA poate exista numai atunci când m=k. 2. Înmulțirea matricelor nu este comutativă, adică. A·B nu este întotdeauna egal cu BA·A chiar dacă ambele produse sunt definite. Totuși, dacă relația А·В=В·А este satisfăcută, atunci matricele A și B se numesc permutabil. Exemplu. Calculati. Minor elementul este determinantul matricei de ordine, obținut prin ștergerea rândului al treilea al coloanei. Complement algebric elementul se numește . Teorema expansiunii Laplace: Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice. Exemplu. Calculati. Soluţie. . Proprietăți ale determinanților de ordin al n-lea: 1) Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile și coloanele sunt schimbate. 2) Dacă determinantul conține un rând (coloană) doar cu zerouri, atunci este egal cu zero. 3) La rearanjarea a două rânduri (coloane), determinantul își schimbă semnul. 4) Un determinant care are două rânduri (coloane) identice este egal cu zero. 5) Factorul comun al elementelor oricărui rând (coloană) poate fi scos din semnul determinant. 6) Dacă fiecare element dintr-un anumit rând (coloană) este suma a doi termeni, atunci determinantul este egal cu suma a doi determinanți, în fiecare dintre care toate rândurile (coloanele), cu excepția celui menționat, sunt aceleași cu în acest determinant, iar în rândul menționat ( Coloana) al primului determinant conține primii termeni, al doilea - al doilea. 7) Dacă două rânduri (coloane) din determinant sunt proporționale, atunci este egal cu zero. 8) Determinantul nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (coloană) sunt adăugate elementelor unui anumit rând (coloană), înmulțite cu același număr. 9) Determinanții matricilor triunghiulare și diagonale sunt egali cu produsul elementelor diagonalei principale. Metoda de acumulare a zerourilor pentru calcularea determinanților se bazează pe proprietățile determinanților. Exemplu. Calculati. Soluţie. Scădeți treimea dublă din primul rând, apoi utilizați teorema de expansiune din prima coloană. ~ Întrebări de control(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
1. Ce se numește determinant de ordinul doi? 2. Care sunt principalele proprietăți ale determinanților? 3. Care este minorul unui element? 4. Ce se numește complement algebric al unui element al unui determinant? 5. Cum se extinde determinantul de ordinul trei în elemente ale unui rând (coloană)? 6. Care este suma produselor elementelor unui rând (sau coloană), determinantul complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană)? 7. Care este regula triunghiurilor? 8. Cum se calculează determinanții comenzilor superioare folosind metoda reducerii comenzilor? 10. Care matrice se numește pătrat? Nul? Ce este o matrice de rând, o matrice de coloană? 11. Care matrice se numesc egale? 12. Dați definiții ale operațiilor de adunare, înmulțire a matricelor, înmulțire a unei matrici cu un număr 13. Ce condiții trebuie să îndeplinească dimensiunile matricelor în timpul adunării și înmulțirii? 14. Care sunt proprietățile operațiilor algebrice: comutativitatea, asociativitatea, distributivitatea? Care dintre ele sunt îndeplinite pentru matrice în timpul adunării și înmulțirii și care nu sunt? 15. Ce este o matrice inversă? Pentru ce matrice este definit? 16. Formulați o teoremă asupra existenței și unicității matricei inverse. 17.
Formulați o lemă privind transpunerea unui produs de matrici. Sarcini practice generale(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :
Numarul 1. Aflați suma și diferența matricelor A și B :
A) b) V) nr. 2. Urmați acești pași :
c) Z= -11A+7B-4C+D Dacă Numarul 3. Urmați acești pași :
V) nr. 4. Folosind patru metode de calculare a determinantului unei matrici pătrate, găsiți determinanții următoarelor matrici :
nr. 5. Găsiți determinanți de ordinul a n-a, pe baza elementelor coloanei (rândului) :
A) nr. 6. Găsiți determinantul unei matrice folosind proprietățile determinanților: A) 
https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="imagine043" width="81 height=44" height="44"> 0=!} 
Tip nul
Tip pătrat
Vector coloană
Tip diagonal
Tip canonic
Tip triunghiular
Reducerea la forma triunghiulara
Exercitiul 1
Sarcina 2
Reducerea la o formă în trepte
.
. (1.1)
. (1.2)
– descompunerea determinantului în elemente de pe primul rând. Rețineți că pentru descompunere, selectați rândul (coloana) în care există zero elemente, deoarece termenii corespunzători din descompunere devin zero.
, Unde ,
;
, Ce , (1.4)
.
. (1.5) Matricea principală a sistemului
ecuațiile algebrice liniare sunt o matrice compusă din coeficienți asociați cu necunoscutele: 
.
este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică. Să calculăm determinanții auxiliari
, , 
(1.8)
sau . (1.9)
. În consecință, matricea este nesingulară și matricea sa inversă există.
. Să folosim formulele (1.8) și (1.9) pentru a găsi o soluție la sistem
. (1.10)
. Deoarece și , atunci prin teorema 1.3 (Kronecker-Capelli) sistemul dat de ecuații algebrice liniare este consistent. Numărul de variabile, adică înseamnă că sistemul este incert. Numărul de seturi de bază de variabile de sistem este egal cu
. În consecință, 6 seturi de variabile pot fi de bază: . Să luăm în considerare una dintre ele. Apoi sistemul obtinut ca urmare a metodei Gauss poate fi rescris sub forma
. Principalul determinant 
. Folosind metoda lui Cramer, căutăm o soluție generală a sistemului. Calificative auxiliare
. Această expresie a variabilelor de bază în termeni de cele libere reprezintă soluția generală a sistemului:
corespunde valorilor variabilelor libere 
. La obținem soluția de bază a sistemului 
.
.
.
.
Și 
, Acea A=B, Dacă a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21Și a 22 = b 22.
, Acea 
.
sau .
.
, Acea
..
.
.
= .
= 
.
.
b) 
b) 
