Jak sprawdzić parzystość funkcji. Jak rozpoznać funkcje parzyste i nieparzyste

Które były ci w takim czy innym stopniu znane. Zaznaczono tam także, że zasób właściwości funkcjonalnych będzie sukcesywnie uzupełniany. W tej sekcji zostaną omówione dwie nowe właściwości.

Definicja 1.

Funkcja y = f(x), x є X, jest wywoływana nawet wtedy, gdy dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = f (x).

Definicja 2.

Funkcję y = f(x), x є X nazywamy nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X zachodzi równość f (-x) = -f (x).

Udowodnić, że y = x 4 jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale(-x) 4 = x 4. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f(-x) = f(x), tj. funkcja jest parzysta.

Podobnie można udowodnić, że funkcje y – x 2, y = x 6, y – x 8 są parzyste.

Udowodnić, że y = x 3 ~ dziwna funkcja.

Rozwiązanie. Mamy: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. Oznacza to, że dla dowolnego x zachodzi równość f (-x) = -f (x), tj. funkcja jest nieparzysta.

Podobnie można udowodnić, że funkcje y = x, y = x 5, y = x 7 są nieparzyste.

Niejednokrotnie byliśmy już przekonani, że nowe terminy w matematyce mają najczęściej „ziemskie” pochodzenie, tj. można je jakoś wytłumaczyć. Dzieje się tak zarówno w przypadku funkcji parzystych, jak i nieparzystych. Zobacz: y - x 3, y = x 5, y = x 7 to funkcje nieparzyste, natomiast y = x 2, y = x 4, y = x 6 to funkcje parzyste. I ogólnie dla dowolnej funkcji postaci y = x” (poniżej szczegółowo przeanalizujemy te funkcje), gdzie n jest liczbą naturalną, możemy stwierdzić: jeśli n nie jest Liczba parzysta, to funkcja y = x" jest nieparzysta; jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja y = xn jest parzysta.

Istnieją również funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Taka jest na przykład funkcja y = 2x + 3. Rzeczywiście f(1) = 5 i f (-1) = 1. Jak więc widać, tutaj zatem ani tożsamość f(-x) = f ( x), ani tożsamość f(-x) = -f(x).

Zatem funkcja może być parzysta, nieparzysta lub żadna z nich.

Studiując pytanie, czy tę funkcję parzyste lub nieparzyste jest zwykle nazywane badaniem funkcji parzystości.

Definicje 1 i 2 odnoszą się do wartości funkcji w punktach x i -x. Zakłada się, że funkcja jest zdefiniowana zarówno w punkcie x, jak i w punkcie -x. Oznacza to, że punkt -x należy do dziedziny definicji funkcji jednocześnie z punktem x. Jeśli zestaw liczb X wraz z każdym swoim elementem x zawiera także element przeciwny -x, wówczas X nazywa się zbiorem symetrycznym. Powiedzmy, że (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) są zbiorami symetrycznymi, podczas gdy \).

Ponieważ \(x^2\geqslant 0\) , to lewa strona równania (*) jest większa lub równa \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Zatem równość (*) może być prawdziwa tylko wtedy, gdy obie strony równania są równe \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to oznacza, że \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Dlatego odpowiada nam wartość \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Odpowiedź:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Zadanie 2 #3923

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich wykres funkcji \

symetrycznie względem początku.

Jeżeli wykres funkcji jest symetryczny względem początku, to taka funkcja jest nieparzysta, to znaczy \(f(-x)=-f(x)\) zachodzi dla dowolnego \(x\) z dziedziny definicji funkcji. Dlatego wymagane jest znalezienie tych wartości parametrów, dla których \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Ostatnie równanie musi być spełnione dla wszystkich \(x\) z dziedziny \(f(x)\), zatem \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odpowiedź:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Zadanie 3 #3069

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdej z nich równanie \ ma 4 rozwiązania, gdzie \(f\) jest parzystą funkcją okresową z okresem \(T=\dfrac(16)3\) zdefiniowany na całej osi liczbowej i \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadanie od subskrybentów)

Ponieważ \(f(x)\) jest funkcją parzystą, jej wykres jest symetryczny względem osi rzędnych, zatem gdy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=topór^2\) . Zatem kiedy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a to jest odcinek długości \(\dfrac(16)3\) , funkcja \(f(x)=ax^2\) .

1) Niech \(a>0\) . Wtedy wykres funkcji \(f(x)\) będzie wyglądał następująco:


Następnie, aby równanie miało 4 rozwiązania konieczne jest, aby wykres \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) przeszedł przez punkt \(A\) :


Stąd, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(wyrównane)\end(zebrane)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( zebrane)\prawo.\] Ponieważ \(a>0\) , odpowiedni jest \(a=\dfrac(18)(23)\).

2) Niech \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Konieczne jest, aby wykres \(g(x)\) przechodził przez punkt \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\] Ponieważ<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Przypadek, gdy \(a=0\) nie jest odpowiedni, ponieważ wtedy \(f(x)=0\) dla wszystkich \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i równanie będzie miało tylko 1 pierwiastek.

Odpowiedź:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Zadanie 4 #3072

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości \(a\) , dla każdej z nich równanie \

ma co najmniej jeden pierwiastek.

(Zadanie od subskrybentów)

Przepiszmy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcja \(g(x)\) jest parzysta i ma punkt minimalny \(x=0\) (oraz \(g(0)=49\) ).
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest malejąca, a dla \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Rzeczywiście, gdy \(x>0\) drugi moduł otworzy się dodatnio (\(|x|=x\) ), zatem niezależnie od tego, jak otworzy się pierwszy moduł, \(f(x)\) będzie równe do \( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem \(a\) i \(k\) jest równe \(-9\) lub \(-3\) . Kiedy \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Znajdźmy wartość \(f\) w maksymalnym punkcie: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-7\)\kubek\)

Zadanie 5 #3912

Poziom zadania: równy ujednoliconemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z nich równanie \

ma sześć różnych rozwiązań.

Dokonajmy zamiany \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Wtedy równanie przyjmie postać \ Stopniowo będziemy pisać warunki, w jakich pierwotne równanie będzie miało sześć rozwiązań.
Należy pamiętać, że równanie kwadratowe \((*)\) może mieć maksymalnie dwa rozwiązania. Każde równanie sześcienne \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) może mieć nie więcej niż trzy rozwiązania. Zatem jeśli równanie \((*)\) ma dwa różne rozwiązania (dodatnie!, ponieważ \(t\) musi być większe od zera) \(t_1\) i \(t_2\) , to dokonując odwrotnego podstawienia , otrzymujemy: \[\left[\begin(zebrane)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(wyrównane)\end(zebrane)\right.\] Ponieważ dowolną liczbę dodatnią można w pewnym stopniu przedstawić jako \(\sqrt2\), na przykład \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), to pierwsze równanie zbioru zostanie zapisane w postaci \ Jak już powiedzieliśmy, każde równanie sześcienne ma nie więcej niż trzy rozwiązania, dlatego każde równanie w zestawie będzie miało nie więcej niż trzy rozwiązania. Oznacza to, że cały zbiór będzie miał nie więcej niż sześć rozwiązań.
Oznacza to, że aby pierwotne równanie miało sześć rozwiązań, równanie kwadratowe \((*)\) musi mieć dwa różne rozwiązania, a każde wynikowe równanie sześcienne (ze zbioru) musi mieć trzy różne rozwiązania (a nie jedno rozwiązanie jedno równanie powinno pokrywać się z dowolnym - decyzją drugiego!)
Oczywiście, jeśli równanie kwadratowe \((*)\) ma jedno rozwiązanie, to nie otrzymamy sześciu rozwiązań pierwotnego równania.

W ten sposób plan rozwiązania staje się jasny. Zapiszmy punkt po punkcie warunki, które należy spełnić.

1) Aby równanie \((*)\) miało dwa różne rozwiązania, jego wyróżnik musi być dodatni: \

2) Konieczne jest również, aby oba pierwiastki były dodatnie (ponieważ \(t>0\) ). Jeśli iloczyn dwóch pierwiastków jest dodatni, a ich suma jest dodatnia, to same pierwiastki będą dodatnie. Dlatego potrzebujesz: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

W ten sposób zapewniliśmy sobie już dwa różne dodatnie pierwiastki \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Spójrzmy na to równanie \ Dla jakiego \(t\) będzie miał trzy różne rozwiązania?
Rozważmy funkcję \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Można rozłożyć na czynniki: \ Dlatego jego zera to: \(x=-1;2\) .
Jeśli znajdziemy pochodną \(f"(x)=3x^2-6x\) , to otrzymamy dwa ekstrema \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dlatego wykres wygląda następująco:


Widzimy, że dowolna linia pozioma \(y=k\) , gdzie \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) miał trzy różne rozwiązania, konieczne jest, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Zatem potrzebujesz: \[\begin(przypadki) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Zauważmy też od razu, że jeśli liczby \(t_1\) i \(t_2\) są różne, to liczby \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) będą różne, co oznacza równania \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) I \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) będzie miał inne korzenie.
System \((**)\) można przepisać w następujący sposób: \[\begin(przypadki) 1

Ustaliliśmy zatem, że oba pierwiastki równania \((*)\) muszą leżeć w przedziale \((1;4)\) . Jak napisać ten warunek?
Nie będziemy pisać wprost korzeni.
Rozważmy funkcję \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jej wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę, która ma dwa punkty przecięcia z osią x (warunek ten zapisaliśmy w paragrafie 1)). Jak powinien wyglądać jego wykres, aby punkty przecięcia z osią x znajdowały się w przedziale \((1;4)\)? Więc:


Po pierwsze, wartości \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcji w punktach \(1\) i \(4\) muszą być dodatnie, a po drugie, wierzchołek funkcji parabola \(t_0\ ) musi także należeć do przedziału \((1;4)\) . Możemy zatem napisać układ: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) zawsze ma co najmniej jeden pierwiastek \(x=0\) . Oznacza to, że aby spełnić warunki zadania konieczne jest spełnienie równania \

miał cztery różne pierwiastki, różne od zera, reprezentujące wraz z \(x=0\) postęp arytmetyczny.

Zauważ, że funkcja \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) jest parzysta, co oznacza, że ​​jeśli \(x_0\) jest pierwiastkiem równania \( (*)\ ) , wtedy \(-x_0\) będzie także jego korzeniem. Wtedy konieczne jest, aby pierwiastkami tego równania były liczby uporządkowane rosnąco: \(-2d, -d, d, 2d\) (wtedy \(d>0\)). Wtedy te pięć liczb utworzy ciąg arytmetyczny (z różnicą \(d\)).

Aby te pierwiastki były liczbami \(-2d, -d, d, 2d\) konieczne jest, aby liczby \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) były pierwiastkami równanie \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Następnie, zgodnie z twierdzeniem Viety:

Przepiszmy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcja \(g(x)\) ma maksymalny punkt \(x=0\) (i \(g_(\text(góra))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Pochodna zerowa: \(x=0\) . Kiedy \(x<0\) имеем: \(g">0\) , dla \(x>0\): \(g"<0\) .
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest rosnąca, a dla \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Rzeczywiście, gdy \(x>0\) pierwszy moduł otworzy się dodatnio (\(|x|=x\)), zatem niezależnie od tego, jak otworzy się drugi moduł, \(f(x)\) będzie równe do \( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem \(a\) , a \(k\) jest równe \(13-10=3\) lub \(13+10 =23\) . Kiedy \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Znajdźmy wartość \(f\) w punkcie minimalnym: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ Rozwiązując ten zbiór układów otrzymujemy odpowiedź: \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-2\)\kubek\)

Aby to zrobić, użyj papieru milimetrowego lub kalkulatora graficznego. Wybierz dowolną liczbę wartości zmiennych niezależnych x (\ displaystyle x) i podłącz je do funkcji, aby obliczyć wartości zmiennej zależnej y (\ displaystyle y). Narysuj znalezione współrzędne punktów na płaszczyźnie współrzędnych, a następnie połącz te punkty, aby zbudować wykres funkcji.

• Zastąp dodatnie wartości liczbowe w funkcji x (\ displaystyle x) i odpowiadające im ujemne wartości liczbowe. Na przykład, biorąc pod uwagę funkcję . Zastąp w nim następujące wartości x (\ displaystyle x):
  • fa (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ (2) +1 = 2 + 1 = 3) (1, 3) ​​(\ displaystyle (1,3)).
  • fa (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (2) = 2 (2) ^ (2) +1 = 2 (4) +1 =8+1=9). Mamy punkt ze współrzędnymi (2 , 9) (\ displaystyle (2,9)).
  • fa (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ Displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ (2) +1 = 2 + 1 = 3). Mamy punkt ze współrzędnymi (- 1 , 3) ​​\ (\ displaystyle (-1,3)).
  • fa (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ Displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ (2) + 1 = 2 ( 4)+1=8+1=9). Mamy punkt ze współrzędnymi (- 2, 9) (\ displaystyle (-2,9)).