Prace badawcze dotyczące schematów ponownego testowania Bernoulliego. Powtórzenie testów. Schemat Bernoulliego

Slajd 2

Pn (k) = Cknpk (1-p) nk wzór w rachunku prawdopodobieństwa, który pozwala znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w niezależnych testach. Formuła Bernoulliego pozwala pozbyć się dużej liczby obliczeń - dodawania i mnożenia prawdopodobieństw - przy odpowiednio dużej liczbie testów.

Slajd 3

Tło historyczne JACOB BERNULLI (1654-1705) Data urodzenia: 27 grudnia 1654 Miejsce urodzenia: Bazylea Data śmierci: 16 sierpnia 1705 Miejsce śmierci: Bazylea Narodowość: Szwajcaria Kierunek nauki: Matematyk Miejsce pracy: Uniwersytet w Bazylei Leibniz Jacob Bernoulli (niem. Jakob Bernoulli, 27 grudnia 1654, Bazylea, - 16 sierpnia 1705, ibid.) - szwajcarski matematyk, brat Johanna Bernoulliego; profesor matematyki na uniwersytecie w Bazylei (od 1687). Jacob Bernoulli dokonał znaczących osiągnięć w teorii szeregów, rachunku różniczkowym rachunku wariacyjnego, rachunku prawdopodobieństwa i teorii liczb, gdzie jego imieniem nazwano liczby o określonych właściwościach. Jacob Bernoulli jest również właścicielem prac z zakresu fizyki, arytmetyki, algebry i geometrii.

Slajd 4

Przykład wykorzystania formuły Bernoulliego Każdego dnia akcje korporacji ABC rosną lub spadają o jeden punkt z prawdopodobieństwem odpowiednio 0,75 i 0,25. Znajdź prawdopodobieństwo, że akcje powrócą do swojej pierwotnej ceny po sześciu dniach. Zaakceptuj warunek, że wzrosty i spadki kursu akcji są zdarzeniami niezależnymi. ROZWIĄZANIE: Aby akcje powróciły do pierwotnej ceny w ciągu 6 dni, konieczne jest, aby w tym czasie cena wzrosła 3 razy, a cena spadła 3 razy. Pożądane prawdopodobieństwo oblicza się za pomocą wzoru Bernoulliego P6 (3) = C36 (3/4) 3 (1/4) 3 = 0,13

Slajd 5

Sprawdź się W urnie jest 20 białych i 10 czarnych kul. Wyjęli 4 kule z rzędu, a każda usunięta kula jest zwracana do urny przed usunięciem następnej, a kulki w urnie są mieszane. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z czterech wylosowanych bil dwie będą białe? ODPOWIEDŹ: ROZWIĄZANIE: ODPOWIEDŹ: ODPOWIEDŹ: ROZWIĄZANIE: ROZWIĄZANIE: Biegły rewident stwierdza nieprawidłowości finansowe w badanej firmie z prawdopodobieństwem 0,9. Znajdź prawdopodobieństwo, że ponad połowa z 4 firm naruszających zasady zostanie zidentyfikowana. Kości są rzucane 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 6 punktów pojawi się dokładnie 2 razy w tej serii wyzwań? 0,01389 8/27 0,9477

Slajd 6

Sprawdź się Moneta jest rzucana 6 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb zostanie narysowany nie więcej niż 2 razy. ODPOWIEDŹ: ROZWIĄZANIE: ODPOWIEDŹ: ROZWIĄZANIE: Niech kiełkowanie nasion pszenicy wyniesie 90%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z 7 wysianych nasion 5 wykiełkuje? 0,124 0,344

Slajd 7

Prawdopodobieństwo usunięcia białej kuli p = 20/30 = 2/3 można uznać za takie samo we wszystkich testach; 1-p = 1/3 Korzystając ze wzoru Bernoulliego otrzymujemy P4 (2) = C42 p2 (1-p) 2 = (12/2) (2/3) 2 (1/3) 2 = 8 / 27 POWRÓT ROZWIĄZANIE PROBLEMU 1

Slajd 8

POWRÓT ROZWIĄZANIE PROBLEMU 2 Wydarzenie polega na tym, że z 4 firm-naruszycieli zostaną zidentyfikowane trzy lub cztery, tj. P (A) = P4 (3) + P4 (4) P (A) = C340,93 ∙ 0,1 + C44 0,94 = 0,93 (0,4 + 0,9) = 0,9477

Slajd 1

Twierdzenie Bernoulliego
17.03.2017

Slajd 2

Przeprowadzana jest seria n niezależnych testów. Każde badanie ma 2 wyniki: A – „sukces” i – „porażka”. Prawdopodobieństwo „sukcesu” w każdym teście jest takie samo i wynosi P (A) = p. W związku z tym prawdopodobieństwo „porażki” również nie zmienia się z doświadczenia na doświadczenie i jest równe.
Schemat Bernoulliego
Jakie jest prawdopodobieństwo, że sukces nastąpi k razy w serii n eksperymentów? Znajdź Pn (k).

Slajd 3

Moneta jest rzucana n razy. Karta jest wyciągana z talii n razy i za każdym razem, gdy karta jest zwracana, talia jest tasowana. Zbadano n przedmiotów pewnej produkcji, losowo wybranych pod kątem jakości. Strzelec strzela do celu n razy.
Przykłady

Slajd 4

Wyjaśnij, dlaczego poniższe pytania pasują do schematu Bernoulliego. Wskaż, co to jest „sukces”, a co to n i k. a) Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania „dwóch” trzy razy przy dziesięciu rzutach kostką? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy stu rzutach monetą „orzechy” pojawią się 73 razy? c) Dwadzieścia razy z rzędu rzucono parę kości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma punktów nigdy nie była równa dziesięciu? d) Z talii 36 kart wylosowano trzy karty, wynik zapisano i odłożono do talii, a następnie potasowano karty. Powtórzono to 4 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za każdym razem wśród wylosowanych kart znajdowała się dama pikowa?

Slajd 5

Liczba kombinacji od n do k spełnia wzór
Na przykład:

Slajd 6

Twierdzenie Bernoulliego
Prawdopodobieństwo Pn (k) dokładnie k sukcesów w n niezależnych powtórzeniach tego samego testu znajduje się za pomocą wzoru, gdzie p jest prawdopodobieństwem „sukcesu”, q = 1-p jest prawdopodobieństwem „niepowodzenie” w oddzielnym eksperymencie .

Slajd 7

Moneta jest rzucana 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że herb spadnie 0, 1,… 6 razy? Rozwiązanie. Liczba eksperymentów n = 6. Zdarzenie А - "sukces" - wypadnięcie emblematu. Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi
;
;
;
;
;
;

Slajd 8

Moneta jest rzucana 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że herb spadnie 0, 1,… 6 razy? Rozwiązanie. Liczba eksperymentów n = 6. Zdarzenie А - "sukces" - wypadnięcie emblematu.
;
;
;
;
;
;

Slajd 9

Moneta jest rzucana 10 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo dwukrotnego pojawienia się herbu? Rozwiązanie. Liczba eksperymentów n = 10, m = 2. Zdarzenie А - "sukces" - wypadnięcie emblematu. Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi
;
;
;
;
;
;

Slajd 10

W urnie znajduje się 20 białych i 10 czarnych kul. Wyjęli 4 kule, a każda usunięta kula wraca do urny przed usunięciem następnej, a kulki w urnie są mieszane. Znajdź prawdopodobieństwo, że z czterech wylosowanych bil będą 2 białe. Rozwiązanie. Zdarzenie A - dostał białą bilę. Następnie prawdopodobieństwa Ze wzoru Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi

Slajd 11

Określ prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci nie ma dziewczynek. Zakłada się, że prawdopodobieństwo posiadania chłopca i dziewczynki jest takie samo. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki, chłopca Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi

Slajd 12

Określ prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci będzie jedna dziewczynka. Zakłada się, że prawdopodobieństwo posiadania chłopca i dziewczynki jest takie samo. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki, chłopca Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi

Slajd 13

Określ prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci będą dwie dziewczynki. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki, chłopca Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi

Slajd 14

Określ prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci będą trzy dziewczynki. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki, chłopca Zgodnie ze wzorem Bernoulliego wymagane prawdopodobieństwo wynosi

Slajd 15

Określ prawdopodobieństwo, że w rodzinie z pięciorgiem dzieci będą nie więcej niż trzy dziewczynki. Zakłada się, że prawdopodobieństwo posiadania chłopca i dziewczynki jest takie samo. Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo urodzenia dziewczynki, chłopcaWymagane prawdopodobieństwo to
.

Slajd 16

Wśród części obrabianych przez pracownika średnio 4% jest niestandardowych. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 30 części pobranych do testów dwie będą niestandardowe. Rozwiązanie. Tutaj doświadczenie polega na sprawdzeniu każdej z 30 części pod kątem jakości. Zdarzenie A - "wygląd części niestandardowej",

Wzór Bernoulliego

Belyaeva T.Yu. GBPOU CC „AMT”, Armawir Nauczyciel matematyki

Jeden z twórców teorii prawdopodobieństwa i analizy matematycznej

członek zagraniczny Paryskiej Akademii Nauk (1699) i Berlińskiej Akademii Nauk (1701)

Starszy brat Johanna Bernoulliego (najsłynniejszego członka rodziny Bernoullich)

Jakub Bernoulli (1654 - 1705)

szwajcarski matematyk

Niech się wyprodukuje P niezależne próby, w każdej z których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A wynosi r , a zatem prawdopodobieństwo, że tak się nie stanie, wynosi q = 1 - p .

Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństwa, że dla P kolejne testy zdarzenie A wystąpi dokładnie T pewnego razu.

Wymagane prawdopodobieństwo jest oznaczone przez r P ( T ) .

To oczywiste, że

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

r 1 (1) + p 1 (0) = p + q = 1

W dwóch testach:

Możliwe są 4 wyniki:

p 2 (2) = p 2; p 2 (1) = 2p q; p 2 (0) = q 2

r 2 (2) + p 2 (1) + p 2 (0) = (p + q) 2 = 1

W trzech testach:

Możliwych jest 8 wyników:

Otrzymujemy:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

r 3 (3) + p 3 (2) + p 3 (1) + p 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Cel 1.

Moneta jest rzucana 8 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że „herb” zostanie zrzucony 4 razy?

Cel 2.

W urnie znajduje się 20 kul: 15 białych i 5 czarnych. Wyjęli 5 piłek z rzędu, przy czym każda usunięta piłka wracała do urny przed usunięciem kolejnej. Znajdź prawdopodobieństwo, że na pięć wylosowanych bil będą 2 białe.

Wzory do znajdowania prawdopodobieństwa, że v P impreza próbna nadejdzie :

a) mniej niż t razy

r P (0) + ... + p P (t-1)

b) więcej niż t razy

r P (m + 1) + ... + p P (P)

v) nie więcej niż t razy

r P (0) + ... + p P (T)

G) przynajmniej t razy

r P (t) + ... + p P (P)

Cel 3.

Prawdopodobieństwo wytworzenia niestandardowej części na automacie wynosi 0,02. Określ prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych sześciu części będzie więcej niż 4 standardowe.

Wydarzenie A - « więcej niż 4 standardowe części„(5 lub 6) oznacza

« nie więcej niż 1 wadliwa część„(0 lub 1)

Niech się wyprodukuje P niezależne testy. Z każdym takim testem może wystąpić zdarzenie A lub nie. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Wymagane jest znalezienie takiej liczby μ (0, 1, ..., n), dla których prawdopodobieństwo P n (μ) będzie największe.

Zadanie 4.

Udział produktów premium w tym przedsiębiorstwie wynosi 31%. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba pozycji „Ekstra” w przypadku wybrania partii 75 pozycji?

Według warunku: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Zadanie 6.

Dwóch strzelców strzela do celu. Prawdopodobieństwo chybienia w jednym strzale dla pierwszego strzelca wynosi 0,2, a dla drugiego 0,4. Znajdź najbardziej prawdopodobną liczbę salw, które nie trafią w cel, jeśli strzelcy wystrzelą 25 salw.

Według warunku: n = 25, p = 0,2 0,4 = 0,08, q = 0,92

https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Rozdział 9. Elementy statystyki matematycznej, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa §54. Zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa 3. NIEZALEŻNE POWTARZANIE BADAŃ. TWIERDZENIE BERNULLIEGO A STABILNOŚĆ STATYSTYCZNA.

Spis treści PRZYKŁAD 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem... Rozwiązanie 5a); rozwiązanie 5b); rozwiązanie 5c); Rozwiązanie 5d). Zauważ, że... W całej serii powtórzeń ważne jest, aby wiedzieć... Jacob Bernoulli połączył przykłady i pytania... TWIERDZENIE 3 (Twierdzenie Bernoulliego). PRZYKŁAD 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn (k). Rozwiązanie 6a); Rozwiązanie 6b); Rozwiązanie 6c); Rozwiązanie 6 d). Twierdzenie Bernoulliego dopuszcza... TWIERDZENIE 4. Dla dużej liczby niezależnych powtórzeń... Dla nauczyciela. Źródła. 02.08.2014 2

3. NIEZALEŻNE POWTARZANIE BADAŃ. TWIERDZENIE BERNULLIEGO A STABILNOŚĆ STATYSTYCZNA. Część 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 3

PRZYKŁAD 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem Zmieńmy nieco poprzedni przykład: zamiast dwóch różnych strzelców, ten sam strzelec będzie strzelał do tarczy. Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: a) zostanie trafiony trzy razy; b) nie będzie zdziwiony; c) zostanie uderzony przynajmniej raz; d) zostanie trafiony dokładnie raz. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 4

Rozwiązanie przykładu 5a) Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: a) zostanie trafiony trzy razy; 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 5

Rozwiązanie z przykładu 5b) Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: b) nie zostanie trafiony; Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 6

Rozwiązanie przykładu 5c) Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: c) zostanie trafiony co najmniej raz; Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 7

Rozwiązanie przykładu 5d) Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: d) zostanie trafiony dokładnie raz. Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 8

Uwaga Rozwiązanie podane w punkcie d) Przykładu 5, w konkretnym przypadku, powtarza dowód słynnego twierdzenia Bernoulliego, które odnosi się do jednego z najczęstszych modeli probabilistycznych: niezależne powtórzenia tego samego testu z dwoma możliwymi wynikami. Cechą charakterystyczną wielu problemów probabilistycznych jest to, że test, w wyniku którego może wystąpić interesujące nas zdarzenie, może być wielokrotnie powtarzany. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 9

W całej serii powtórzeń ważne jest, aby wiedzieć. W każdym z tych powtórzeń interesuje nas pytanie, czy to wydarzenie się wydarzy. I w całej serii powtórzeń ważne jest, abyśmy dokładnie wiedzieli, ile razy to zdarzenie może się zdarzyć lub nie. Na przykład kostką rzucono dziesięć razy z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że „czwórka” zostanie upuszczona dokładnie 3 razy? oddano 10 strzałów; jakie jest prawdopodobieństwo, że w cel będzie dokładnie 8 trafień? Albo jakie jest prawdopodobieństwo, że przy pięciu rzutach monetą dokładnie 4 razy wypadną reszki? 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 10

Jacob Bernoulli łączy przykłady i pytania Szwajcarski matematyk z początku XVIII wieku, Jacob Bernoulli, połączył przykłady i pytania tego typu w jeden schemat probabilistyczny. Niech prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A podczas jakiegoś testu będzie równe P (A). Rozważymy ten test jako test z tylko dwoma możliwymi wynikami: jednym wynikiem jest to, że nastąpi zdarzenie A, a drugim jest to, że zdarzenie A się nie wydarzy, czyli wystąpi zdarzenie Ᾱ. Dla zwięzłości nazwijmy pierwszy wynik (początek zdarzenia A) „sukcesem”, a drugi wynik (początek zdarzenia Ᾱ) „porażką”. Prawdopodobieństwo „sukcesu” P (A) będzie oznaczane przez p, a prawdopodobieństwo „porażki” P (Ᾱ) przez q. Stąd q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 11

TWIERDZENIE 3 (Twierdzenie Bernoulliego) Twierdzenie 3 (Twierdzenie Bernoulliego). Niech P n (k) będzie prawdopodobieństwem wystąpienia dokładnie k „sukcesów” w n niezależnych powtórzeniach tego samego testu. Wtedy P n (k) = С n k  p k  q n-k, gdzie p jest prawdopodobieństwem „sukcesu”, a q = 1 - p jest prawdopodobieństwem „niepowodzenie” w oddzielnym teście. Twierdzenie to (przedstawiamy je bez dowodu) ma ogromne znaczenie zarówno dla teorii, jak i praktyki. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 12

PRZYKŁAD 6. Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo P n (k). a) Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się dokładnie 7 „orzechów” przy 10 rzutach monetą? b) Każda z 20 osób samodzielnie wymienia jeden dzień tygodnia. „Złe” dni to poniedziałek i piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że „szczęście” wyniesie dokładnie połowę? c) Rzut kostką jest „udany”, jeśli rzut wynosi 5 lub 6 punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z 25 rzutów będzie „udanych”? d) Test polega na rzuceniu trzech różnych monet jednocześnie. „Porażka”: jest więcej „ogonów” niż „głów”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 7 rzutów będą dokładnie trzy „szczęście”? 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 13

Rozwiązanie 6a) Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo P n (k). a) Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się dokładnie 7 „orzechów” przy 10 rzutach monetą? Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 14

Rozwiązanie 6b) Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo P n (k). b) Każda z 20 osób samodzielnie wymienia jeden dzień tygodnia. „Złe” dni to poniedziałek i piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że „szczęście” wyniesie dokładnie połowę? Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 15

Rozwiązanie 6c) Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo P n (k). c) Rzut kostką jest „udany”, jeśli rzut wynosi 5 lub 6 punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z 25 rzutów będzie „udanych”? Decyzja: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 16

Rozwiązanie 6d) Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo P n (k). d) Test polega na rzuceniu trzech różnych monet jednocześnie. „Porażka”: jest więcej „ogonów” niż „głów”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 7 rzutów będą dokładnie trzy „szczęście”? Rozwiązanie: d) n = 7, k = 3. „Szczęście” w jednym rzucie polega na tym, że „ogonów” jest mniej niż „głów”. W sumie możliwych jest 8 wyników: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "ogony", O - "głowy"). Dokładnie w połowie z nich jest mniej ogonów: ROO, ORO, OOP, LLC. Stąd p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 17

Twierdzenie Bernoulliego pozwala... Twierdzenie Bernoulliego pozwala na ustalenie związku między podejściem statystycznym do definicji prawdopodobieństwa a klasyczną definicją prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Aby opisać ten związek, powróćmy do warunków w § 50 dotyczących statystycznego przetwarzania informacji. Rozważ sekwencję n niezależnych powtórzeń tej samej próby z dwoma wynikami — szczęściem i porażką. Wyniki tych testów stanowią szereg danych, składający się z sekwencji dwóch opcji: „szczęścia” i „porażki”. Mówiąc najprościej, istnieje ciąg o długości n, złożony z dwóch liter Y ("szczęście") i H ("pech"). Na przykład U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U lub H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H itd. n. Obliczmy krotność i częstość wariantów Y, czyli znajdziemy ułamek k / n, gdzie k jest liczbą „sukcesów” napotkanych wśród wszystkich n powtórzeń. Okazuje się, że przy nieograniczonym wzroście n częstość k/n występowania „sukcesów” będzie praktycznie nie do odróżnienia od prawdopodobieństwa p „sukcesu” w jednej próbie. Ten dość skomplikowany fakt matematyczny wywodzi się właśnie z twierdzenia Bernoulliego. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 18

TWIERDZENIE 4. Przy dużej liczbie niezależnych powtórzeń TWIERDZENIE 4. Przy dużej liczbie niezależnych powtórzeń tego samego testu częstość występowania zdarzenia losowego A z coraz większą dokładnością jest w przybliżeniu równa prawdopodobieństwu zdarzenia A: k / n P (A). Na przykład dla n> 2000 z prawdopodobieństwem większym niż 99% można argumentować, że błąd bezwzględny | k / n - P (A) | przybliżona równość k / n≈ P (A) będzie mniejsza niż 0,03. Dlatego w badaniach socjologicznych wystarczy przeprowadzić wywiad z około 2000 losowo wybranych osób (respondentów). Jeżeli np. 520 z nich odpowiedziało pozytywnie na zadane pytanie, to k/n = 520/2000 = 0,26 i jest praktycznie pewne, że dla większej liczby respondentów częstotliwość ta będzie się mieścić w przedziale od 0,23 do 0,29. Zjawisko to nazywa się zjawiskiem stabilności statystycznej. Tak więc twierdzenie Bernoulliego i jego następstwa pozwalają (w przybliżeniu) znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego w tych przypadkach, gdy jego jednoznaczne obliczenie jest niemożliwe. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 19

Dla nauczyciela 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 20

02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 21

02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 22

Źródła Algebra i początek analizy, klasy 10-11, część 1. Podręcznik, wyd. (Poziom podstawowy), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i początek analizy, klasy 10-11. (Poziom podstawowy) Podręcznik metodyczny dla nauczyciela, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabele zestawiono w MS Word i MS Excel. Zasoby internetowe Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki 08.02.2014 23

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż sobie konto Google (konto) i zaloguj się do niego: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Slajd 1
Rozdział 9. Elementy statystyki matematycznej, kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa
§54. Zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa 3. NIEZALEŻNE POWTARZANIE BADAŃ. TWIERDZENIE BERNULLIEGO A STABILNOŚĆ STATYSTYCZNA.

Slajd 2
Zawartość
PRZYKŁAD 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem... Rozwiązanie 5a); Rozwiązanie 5b); Rozwiązanie 5c); Rozwiązanie 5d) Zauważ, że... W całej serii powtórzeń ważne jest, aby wiedzieć... Jakub Bernoulli połączył przykłady i pytania ... TWIERDZENIE 3 (Twierdzenie Bernoulliego ).
PRZYKŁAD 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn(k).Rozwiązanie 6a),Rozwiązanie 6b); roztwór 6c);roztwór 6d). Twierdzenie Bernoulliego dopuszcza... TWIERDZENIE 4. Z dużą liczbą niezależnych powtórzeń... Dla nauczyciela Źródła.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 3
3. NIEZALEŻNE POWTARZANIE BADAŃ. TWIERDZENIE BERNULLIEGO A STABILNOŚĆ STATYSTYCZNA.
Część 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 4
PRZYKŁAD 5. Prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem
Zmieńmy nieco poprzedni przykład: zamiast dwóch różnych strzelców, ten sam strzelec będzie strzelał do tarczy Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia tarczy jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: a) zostanie trafiony trzy razy, b) nie zostanie trafiony, c) zostanie trafiony co najmniej raz, d) zostanie trafiony dokładnie raz.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 5
Rozwiązanie przykładu 5a)
Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: a) zostanie trafiony trzykrotnie;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 6
Rozwiązanie z przykładu 5b)
Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: b) nie zostanie trafiony; Rozwiązanie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 7
Przykład rozwiązania 5c)
Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: c) zostanie trafiony co najmniej raz; Rozwiązanie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 8
Przykład rozwiązania 5d)
Przykład 5. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Oddano 3 niezależne strzały. Znajdź prawdopodobieństwo, że cel: d) zostanie trafiony dokładnie raz.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 9
Notatka
Rozwiązanie podane w punkcie d) Przykładu 5, w konkretnym przypadku, powtarza dowód słynnego twierdzenia Bernoulliego, które odnosi się do jednego z najczęstszych modeli probabilistycznych: niezależnego powtórzenia tego samego testu z dwoma możliwymi wynikami. Cechą charakterystyczną wielu problemów probabilistycznych jest to, że test, w wyniku którego może wystąpić interesujące nas zdarzenie, może być wielokrotnie powtarzany.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 10
Podczas całego powtórzenia ważne jest, aby wiedzieć
W każdym z tych powtórzeń interesuje nas pytanie, czy to wydarzenie się wydarzy. I w całej serii powtórzeń ważne jest, abyśmy dokładnie wiedzieli, ile razy to zdarzenie może się zdarzyć lub nie. Na przykład kostką rzucono dziesięć razy z rzędu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że „czwórka” zostanie upuszczona dokładnie 3 razy? oddano 10 strzałów; jakie jest prawdopodobieństwo, że w cel będzie dokładnie 8 trafień? Albo jakie jest prawdopodobieństwo, że przy pięciu rzutach monetą dokładnie 4 razy wypadną reszki?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 11
Jacob Bernoulli połączył przykłady i pytania
Jacob Bernoulli, szwajcarski matematyk z początku XVIII wieku, połączył przykłady i pytania tego typu w jeden schemat probabilistyczny: Niech prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A w jakimś teście będzie równe P (A). Rozważymy ten test jako test z tylko dwoma możliwymi wynikami: jednym wynikiem jest to, że nastąpi zdarzenie A, a drugim jest to, że zdarzenie A się nie wydarzy, czyli wystąpi zdarzenie Ᾱ. Dla zwięzłości nazwijmy pierwszy wynik (początek zdarzenia A) „sukcesem”, a drugi wynik (początek zdarzenia Ᾱ) „porażką”. Prawdopodobieństwo „sukcesu” P (A) będzie oznaczane przez p, a prawdopodobieństwo „porażki” P (Ᾱ) przez q. Stąd q = P (Ᾱ) = 1 - P (A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 12
TWIERDZENIE 3 (Twierdzenie Bernoulliego)
Twierdzenie 3 (Twierdzenie Bernoulliego). Niech Pn (k) będzie prawdopodobieństwem wystąpienia dokładnie k „sukcesów” w n niezależnych powtórzeniach tego samego testu. Wtedy Pn (k) = Сnk pk qn-k, gdzie р jest prawdopodobieństwem "sukcesu", aq = 1-р jest prawdopodobieństwem "niepowodzenie" w osobnym teście. To twierdzenie (przedstawiamy je bez dowodu) ma ogromne znaczenie dla teorii i praktyki.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 13
PRZYKŁAD 6.
Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn(k).monety?b) Każda z 20 ludzie samodzielnie wymieniają jeden z dni tygodnia. „Złe” dni to poniedziałek i piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie dokładnie połowa „szczęścia”? Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 rzutów na 25 zakończy się sukcesem? D) Test polega na rzuceniu trzema różnymi monetami w tym samym czasie. „Porażka”: jest więcej „ogonów” niż „głów”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 7 rzutów będą dokładnie trzy „szczęście”?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 14
Rozwiązanie 6a)
Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn(k).monety?Rozwiązanie:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 15
Rozwiązanie 6b)
Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn (k) B) Każda z 20 osób niezależnie wymienia jeden z dni tygodnia. „Złe” dni to poniedziałek i piątek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie dokładnie połowa „szczęścia”?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 16
Rozwiązanie 6c)
Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn(k) C) Rzut kostką jest „udany” " jeśli wyrzucono 5 lub 6 punktów ... Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z 25 rzutów będzie „udanych”?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 17
Rozwiązanie 6d)
Przykład 6. W każdym z punktów a) - d) wyznacz wartości n, k, p, q i wpisz (bez obliczeń) wyrażenie na pożądane prawdopodobieństwo Pn (k) D) Test polega na jednoczesnym rzucanie trzema różnymi monetami. „Porażka”: jest więcej „ogonów” niż „głów”. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 7 rzutów będą dokładnie trzy „trafienia”? Rozwiązanie: d) n = 7, k = 3. „Szczęście” w jednym rzucie polega na tym, że jest mniej „reszek” niż „orzeł”. W sumie możliwych jest 8 wyników: PPR, PPO, POP, ORR, POO, ORO, OOP, LLC (R - "ogony", O - "głowy"). Dokładnie w połowie z nich jest mniej ogonów: ROO, ORO, OOP, LLC. Stąd p = q = 0,5; Р7 (3) = С73 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 18
Twierdzenie Bernoulliego pozwala ...
Twierdzenie Bernoulliego pozwala ustalić związek między podejściem statystycznym do definicji prawdopodobieństwa a klasyczną definicją prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. Aby opisać ten związek, powróćmy do warunków w § 50 dotyczących statystycznego przetwarzania informacji. Rozważ sekwencję n niezależnych powtórzeń tej samej próby z dwoma wynikami — szczęściem i porażką. Wyniki tych testów stanowią szereg danych, składający się z sekwencji dwóch opcji: „szczęścia” i „porażki”. Mówiąc najprościej, istnieje ciąg o długości n, złożony z dwóch liter Y ("szczęście") i H ("pech"). Na przykład U, U, H, H, U, H, H, H, ..., U lub H, U, U, H, U, U, H, H, U, ..., H itd. n. Obliczmy krotność i częstość wariantów Y, czyli znajdziemy ułamek k / n, gdzie k jest liczbą „sukcesów” napotkanych wśród wszystkich n powtórzeń. Okazuje się, że przy nieograniczonym wzroście n częstość k/n występowania „sukcesów” będzie praktycznie nie do odróżnienia od prawdopodobieństwa p „sukcesu” w jednej próbie. Ten dość skomplikowany fakt matematyczny wywodzi się właśnie z twierdzenia Bernoulliego.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 19
TWIERDZENIE 4. Dla dużej liczby niezależnych powtórzeń
TWIERDZENIE 4. Przy dużej liczbie niezależnych powtórzeń tego samego testu częstość występowania zdarzenia losowego A z coraz większą dokładnością jest w przybliżeniu równa prawdopodobieństwu zdarzenia A: k / n≈ P (A). dla n> 2000 z prawdopodobieństwem większym niż 99% , można argumentować, że błąd bezwzględny |k/n-P(A)| przybliżona równość k / n≈ P (A) będzie mniejsza niż 0,03. Dlatego w badaniach socjologicznych wystarczy przeprowadzić wywiad z około 2000 losowo wybranych osób (respondentów). Jeżeli np. 520 z nich odpowiedziało pozytywnie na zadane pytanie, to k/n = 520/2000 = 0,26 i jest praktycznie pewne, że dla większej liczby respondentów częstotliwość ta będzie się mieścić w przedziale od 0,23 do 0,29. Zjawisko to nazywane jest zjawiskiem stabilności statystycznej, stąd twierdzenie Bernoulliego i jego konsekwencje pozwalają (w przybliżeniu) znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia losowego w tych przypadkach, gdy jego jednoznaczne obliczenie jest niemożliwe.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 20
Dla nauczyciela
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
*

Slajd 23
Źródła
Algebra i początek analizy, klasy 10-11, część 1. Podręcznik, wyd. (Poziom podstawowy), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i początek analizy, klasy 10-11. (Poziom podstawowy) Poradnik metodyczny dla nauczycieli, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabele zestawiono w MS Word i MS Excel Zasoby internetowe
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nauczycielka matematyki
08.02.2014
*

Trwa seria niezależnych testów,
z których każdy jest możliwy 2 wyniki,
które warunkowo nazwiemy Sukcesem i Porażką.
Na przykład uczeń przystępuje do 4 egzaminów, każdy
z czego możliwe są 2 wyniki Sukces: student
zdał egzamin i niepowodzenie: nie zdał.

Prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie wynosi
P. Prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi q = 1-p.
Wymagane jest znalezienie prawdopodobieństwa, że w szeregu
z n testów sukces występuje m razy
Pn (m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
W każdym przypadku Sukces pojawia się m razy i
Awaria (n-m) razy.
Numer
ze wszystkich
kombinacje
równa się
numer
sposoby wyboru spośród n testów te m in
którym był Sukces, tj. Cm
n

Prawdopodobieństwo każdej takiej kombinacji wynosi
twierdzenie
o
mnożenie
prawdopodobieństwa
będzie Pmqn-m.
Ponieważ te kombinacje są niezgodne, to
pożądane prawdopodobieństwo zdarzenia Bm będzie
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
w sumie C mówimy О х C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Wiadomo, że moneta spada na oślep, studentu
idzie do kina, jeśli moneta wypadnie z ogona

studenci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
1) trzech z nich będzie na wykładzie
2) na wykładzie będzie co najmniej 3 studentów
2) czy przynajmniej jeden ze studentów będzie obecny na wykładzie?

1) W tym zadaniu szereg n = 5
niezależne testy. Nazwijmy to sukcesem
pójście na wykład (spadające głowy) i
Porażka - pójście do kina (utrata herbu).
p = q = 1/2.
Korzystając ze wzoru Bernoulliego, znajdujemy prawdopodobieństwo, że
że przy 5 rzutach monetą stanie się to trzy razy
powodzenie:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Aby znaleźć prawdopodobieństwo, że przy 5 rzutach
przynajmniej raz moneta wypadnie remami,
przejdźmy do prawdopodobieństwa przeciwieństwa
wydarzenia - moneta wypadnie z herbem wszystkie 5 razy:
P5 (0).
Wtedy wymagane prawdopodobieństwo będzie wynosić: P = 1 - P5 (0).
Zgodnie ze wzorem Bernoulliego:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Wtedy prawdopodobieństwo pożądanego zdarzenia będzie
P1 0,03125 0,96875

Bernoulli
student idzie
do kina, jeśli moneta wypadnie z ogona - uczeń idzie do
wykład. 5 uczniów rzuciło monetą. Co jest najbardziej
prawdopodobna liczba studentów uczęszczających na wykład?
Prawdopodobieństwo
wygrane za 1 kupon są równe 0,2. Co jest najbardziej
prawdopodobna liczba zwycięskich biletów?

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli

np q k np p

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Wzór na najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów
np q k np p
Jeśli np-q jest liczbą całkowitą, to ten przedział zawiera 2
wszystkie liczby. Oba są równie prawdopodobne.
Jeśli np-q jest liczbą niecałkowitą, to ten przedział zawiera 1
liczba całkowita

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Wiadomo, że moneta spada orłem,

- student idzie na wykład. Moneta rzucona 5

studenci chodzą na wykład?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Wiadomo, że moneta spada orłem,
student idzie do kina, jeśli moneta wypadnie z ogona
- student idzie na wykład. Moneta rzucona 5
studenci. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba
studenci chodzą na wykład?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np. q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Wiadomo, że moneta spada orłem,
student idzie do kina, jeśli moneta wypadnie z ogona
- student idzie na wykład. Moneta rzucona 5
studenci. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba
studenci chodzą na wykład?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Wiadomo, że moneta spada orłem,
student idzie do kina, jeśli moneta wypadnie z ogona
- student idzie na wykład. Moneta rzucona 5
studenci. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba
studenci chodzą na wykład?
prawdopodobieństwo, Pn (k)
Prawdopodobieństwo liczby uczęszczających studentów
wykład
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
liczba uczniów, k
4
5

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Zakupiono 10 losów na loterię.

bilety?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Zakupiono 10 losów na loterię.
Prawdopodobieństwo wygrania 1 losu wynosi 0,2.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba zwycięzców
bilety?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np. q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Zakupiono 10 losów na loterię.
Prawdopodobieństwo wygrania 1 losu wynosi 0,2.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba zwycięzców
bilety?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Zakupiono 10 losów na loterię.
Prawdopodobieństwo wygrania 1 losu wynosi 0,2.
Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba zwycięzców
bilety?
Prawdopodobieństwo liczby zwycięskich kuponów
prawdopodobieństwo, Pn (k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
liczba biletów, k
7
8
9
10

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli

10 zawartych umów

zapłacić sumę ubezpieczenia

jedna z umów

niż przy trzech kontraktach
d) znaleźć najbardziej prawdopodobną liczbę kontraktów według
kto będzie musiał zapłacić sumę ubezpieczenia?

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Średnio 20% umów posiada ubezpieczenie
firma wypłaca kwotę ubezpieczenia.
10 zawartych umów
a) Znajdź prawdopodobieństwo, że trzy będą miały
zapłacić sumę ubezpieczenia
0,201327

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Średnio 20% umów posiada ubezpieczenie
firma wypłaca kwotę ubezpieczenia.
10 zawartych umów
b) Suma ubezpieczenia również nie będzie musiała zostać opłacona
jedna z umów
0,107374

Najprawdopodobniej sukcesy w programie
Bernoulli
Przykład Średnio 20% umów posiada ubezpieczenie
firma wypłaca kwotę ubezpieczenia.
10 zawartych umów
c) nie będzie już trzeba płacić kwoty ubezpieczenia,
niż przy trzech kontraktach
0,753297

Jeśli n jest duże, to zastosowanie wzoru
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
żenująco
Dlatego używane są przybliżone wzory

Twierdzenie: Jeżeli prawdopodobieństwo p wystąpienia zdarzenia A
w każdym teście jest bliskie zeru,
a liczba niezależnych prób n jest wystarczająco duża,
to prawdopodobieństwo Pn (m), że w n niezależnych próbach
zdarzenie A wystąpi m razy, w przybliżeniu równe:
Pn (m)
m
m!
mi
gdzie λ = np
Ta formuła nazywa się formułą Poissona (prawo rzadkich zdarzeń)

Pn (m)
m
m!
e, np
Zwykle stosuje się przybliżoną formułę Poissona,
kiedy p<0,1, а npq<10.

Przykład Niech będzie wiadomo, że w produkcji pewnego leku
odpady (ilość opakowań niespełniających normy)
wynosi 0,2%. Oszacuj w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że
Wśród 1000 losowo wybranych pakietów znajdą się trzy pakiety,
niezgodny ze standardem.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3)?
mi,
np

nie więcej niż 5 umów jest związanych.

Przykład Średnio 1% umów to firma ubezpieczeniowa
opłaca ubezpieczoną kwotę. Znajdź prawdopodobieństwo, że
100 umów z początkiem zdarzenia ubezpieczeniowego zostanie
nie więcej niż 5 umów jest związanych.