W tym artykule ustalimy związek między podstawowymi jednostkami miary kąta - stopniami i radianami. To połączenie ostatecznie pozwoli nam przeprowadzić zamiana stopni na radiany i odwrotnie. Aby procesy te nie sprawiały trudności, otrzymamy wzór na przeliczanie stopni na radiany oraz wzór na przeliczanie radianów na stopnie, po czym szczegółowo przeanalizujemy rozwiązania przykładów.

Nawigacja po stronie.

Związek między stopniami a radianami

Związek między stopniami i radianami zostanie ustalony, jeśli znany jest zarówno stopień, jak i radian miary kąta (stopień i radian miary kąta można znaleźć w rozdziale).

Weź kąt środkowy na podstawie średnicy koła o promieniu r. Miarę tego kąta możemy obliczyć w radianach: w tym celu musimy podzielić długość łuku przez długość promienia koła. Kąt ten odpowiada długości łuku równej połowie obwód, to jest, . Dzieląc tę ​​​​długość przez długość promienia r, otrzymujemy radianową miarę przyjętego kąta. Więc nasz kąt to rad. Z drugiej strony kąt ten jest rozszerzony, jest równy 180 stopni. Dlatego liczba pi radianów wynosi 180 stopni.

Wyraża się to więc wzorem π radiany = 180 stopni, to jest, .

Formuły przeliczające stopnie na radiany i radiany na stopnie

Z równości formy , którą uzyskaliśmy w poprzednim akapicie, łatwo to wyprowadzić wzory do zamiany radianów na stopnie i stopni na radiany.

Dzieląc obie strony równania przez pi, otrzymujemy wzór wyrażający jeden radian w stopniach: . Ten wzór oznacza, że ​​miara stopnia kąta jednego radiana wynosi 180/π. Jeśli zamienimy lewą i prawą część równości, a następnie podzielimy obie części przez 180, otrzymamy formułę postaci . Wyraża jeden stopień w radianach.

Aby zaspokoić naszą ciekawość, obliczamy przybliżoną wartość kąta jednego radiana w stopniach oraz wartość kąta jednego stopnia w radianach. Aby to zrobić, weź wartość liczby pi z dokładnością do dziesięciu tysięcznych, podstaw ją do wzorów I , i wykonaj obliczenia. Mamy I . Tak więc jeden radian to około 57 stopni, a jeden stopień to 0,0175 radiana.

Na koniec z uzyskanych relacji I przejdźmy do wzorów do konwersji radianów na stopnie i odwrotnie, a także rozważmy przykłady zastosowania tych wzorów.

Wzór na zamianę radianów na stopnie wygląda jak: . Zatem, jeśli znana jest wartość kąta w radianach, to mnożąc ją przez 180 i dzieląc przez pi, otrzymujemy wartość tego kąta w stopniach.

Przykład.

Biorąc pod uwagę kąt 3,2 radiana. Jaka jest miara tego kąta w stopniach?

Rozwiązanie.

Używamy wzoru na konwersję z radianów na stopnie, mamy

Odpowiedź:

.

Wzór na przeliczanie stopni na radiany ma formę . Oznacza to, że jeśli znana jest wartość kąta w stopniach, to mnożąc ją przez pi i dzieląc przez 180, otrzymujemy wartość tego kąta w radianach. Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Potrzeba mierzenia kątów pojawiła się u ludzi odkąd cywilizacja osiągnęła minimalny poziom techniczny. Wszyscy znają fenomenalną dokładność przestrzegania nachylenia i orientacji względem punktów kardynalnych, zapewnioną przez budowniczych Piramidy egipskie. Obecnie uważa się, że współczesna miara kątów została wynaleziona przez starożytnych Akadyjczyków.

Co to są stopnie?

Stopień jest powszechną jednostką miary kątów. W pełnym kole 360 ​​stopni. Przyczyna wyboru tego konkretnego numeru jest nieznana. Akadyjczycy prawdopodobnie podzielili koło na sektory za pomocą kąta trójkąta równobocznego, a następnie ponownie podzielili powstałe segmenty na 60 części zgodnie ze swoim systemem liczbowym. Stopień dzieli się również na 60 minut, a minuty na 60 sekund. Powszechnie akceptowane oznaczenia to:

° - stopnie kątowe

' - minuty,

'' - sekundy.

Przez tysiąclecia miara kątów mocno wkroczyła w wiele sfer działalności człowieka. Nadal jest niezastąpiony we wszystkich dziedzinach nauki i techniki - od kartografii po obliczanie orbit sztucznych satelitów Ziemi.

Co to są radiany?

Archimedesowi przypisuje się odkrycie stałości stosunku obwodu koła do jego średnicy. Nazywamy to pi. Jest irracjonalny, to znaczy nie można go wyrazić w postaci ułamka zwykłego lub okresowego. Najczęściej podawana jest wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku - 3,14. Obwód L o promieniu R łatwo obliczyć ze wzoru: L=2πR.

Okrąg o promieniu R=1 ma długość 2π. Zależność ta jest używana w geometrii jako sformułowanie radianowej miary kąta.

Z definicji radian to kąt z wierzchołkiem w środku koła, oparty na łuku o długości równej promieniowi koła. Międzynarodowe oznaczenie radianu to rad, krajowe to rad. Nie ma wymiaru.

Łuk koła o promieniu R, o wartości kątowej α radianów, ma długość α * R.

Dlaczego konieczne było wprowadzenie nowej jednostki miary kąta?

Rozwój nauki i techniki doprowadził do powstania trygonometrii i analizy matematycznej, niezbędnych do dokładnych obliczeń urządzeń mechanicznych i optycznych. Jednym z jego zadań jest pomiar długości zakrzywionej linii. Najczęstszym przypadkiem jest określenie długości łuku koła. Wykorzystanie w tym celu stopniowej miary kątów jest wyjątkowo niewygodne. Pomysł porównania długości łuku z promieniem koła narodził się wśród wielu matematyków, ale sam termin „radian” został wprowadzony do użytku naukowego dopiero w drugiej połowie XIX wieku. Teraz wszystkie funkcje trygonometryczne są włączone Analiza matematyczna domyślnie używana jest miara kąta w radianach.

Jak zamienić stopnie na radiany

Ze wzoru na obwód koła wynika, że ​​mieszczą się w nim promienie 2π. Oznacza to, że: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

I prosta formuła konwersji z radianów na stopnie: 1 rad = 180/π.

Powiedzmy, że mamy kąt N stopni. Wówczas wzór na zamianę stopni na radiany będzie wyglądał następująco: α(radian) = N/(180/π) = N*π/180.

Czy masz jakieś pytania?

Odpowiedzi na nie można znaleźć tam, gdzie pojęcia obwodu koła, radianowej miary kątów i dalej konkretne przykłady Pokazuje konwersję stopni na radiany. Znajomość ww. jest niezwykle ważna dla zrozumienia matematyki, bez której istnienie współczesnej cywilizacji jest niemożliwe.

Często zdarza się, że ludzie zajmujący się matematyką stają przed zadaniem przeliczania stopni na radiany lub odwrotnie. Wykonanie tego zadania jest dość proste i do tego nie trzeba mieć głębokiej wiedzy z różnych nauk stosowanych czy matematyki. Więc najpierw musisz poradzić sobie z tymi wartościami pomiarowymi. Stopień i radian to podstawowe jednostki miary kątów płaskich w matematyce i fizyce. Jednostki te są również używane w kartografii do określania współrzędnych w dowolnym miejscu na świecie.

Te wielkości pomiarowe są oznaczone w następujący sposób:

• rad - radian
• stopień - º

Jak zamienić stopnie na radiany

Na początek, aby formuła konwersji stopni na radiany stała się jasna, musisz nauczyć się tłumaczyć kąt na radiany i radiany na kąt:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57,295779513 gdzie wiadomo, że π wynosi 3,14
• 1° = (π/180) rad π 0,017453293 rad

Zgodnie z powyższymi wzorami od razu staje się jasne, że π rad \u003d 180 °, to od nich pochodzą proste i zrozumiałe wzory do tłumaczenia wartości pomiarowych. Przyjrzyjmy się teraz głównym formułom używanym w tłumaczeniu:

1. Stopnie do radianów

Zº=Z rad × (180/π), gdzie Zº to kąt w stopniach, a Z rad to kąt w radianach, π = 3,14

2. Radiany na stopnie

Z rad = Z° × (π/180)

Teraz spójrzmy na przykład, aby wyjaśnić, jak używać powyższych formuł w praktyce. Aby to zrobić, weź dwa kąty 20º i 100º:

1. Zamień stopnie na radiany

• 20º = 20 rad × (π/180) π 0,35 rad
• 100º = 100 rad × (180/π) π 1,7453 rad

2. Zamień radiany na stopnie

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146,15 gdzie π = 3,14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729,577 gdzie π = 3,14

Po rozważeniu wzorów do przeliczania wartości pomiarowych staje się jasne, że dość łatwo jest poradzić sobie z zadaniem. Dla osób, które nie chcą samodzielnie wykonywać obliczeń, istnieje wiele witryn w Internecie, w których można użyć kalkulatorów online do konwersji stopni na radiany lub odwrotnie, ich użycie znacznie ułatwi wykonywanie różnych zadań trygonometrycznych.

Kalkulator online działa zamień stopnie na radiany, zamień radiany na stopnie, konwersja stopni ułamkowych (stopnie reprezentowane dziesiętny) jako stopnie, minuty i sekundy i wyświetla formuły ze szczegółowymi rozwiązaniami.

Zamień stopnie na radiany: stopnie należy pomnożyć przez π/180. Jeżeli stopnie podane są w postaci „stopni, minut i sekund”, to należy je najpierw przeliczyć na postać dziesiętną za pomocą wzoru: stopnie + minuty / 60 + sekundy / 3600;

Wzór na zamianę radianów na stopnie: jeśli kąt wynosi α rad radianów, to tak jest wzór na zamianę radianów na stopnie stopni, gdzie π ≈ 3,1415.

Zamień radiany na stopnie: radiany należy pomnożyć przez 180/π. Całkowitą częścią otrzymanego iloczynu jest liczba stopni. Aby przeliczyć część ułamkową na minuty, należy ją pomnożyć przez 60. Część całkowita wynikowego iloczynu to liczba minut. Aby obliczyć sekundy, musisz ponownie pomnożyć ułamkową część poprzedniej operacji przez 60, zaokrąglić wynikowy produkt do najbliższej liczby całkowitej - jest to liczba sekund.

Wzór na przeliczanie stopni na radiany: jeśli kąt wynosi α stopni radianów, to tak wzór na zamianę stopni na radiany radiany, gdzie π ≈ 3,1415.

Pomoc w rozwoju projektu strony

Drogi odwiedzający witrynę.
Jeśli nie znalazłeś tego, czego szukałeś - koniecznie napisz o tym w komentarzach, czego obecnie brakuje na stronie. Pomoże nam to zrozumieć, w jakim kierunku musimy iść dalej, a inni odwiedzający wkrótce będą mogli zdobyć niezbędny materiał.
Jeśli witryna okazała się dla Ciebie przydatna, przekaż ją do projektu tylko 2 ₽ i będziemy wiedzieć, że idziemy we właściwym kierunku.

Dziękuję, że nie przechodzisz obok!

Notuję:

1. Wyniki obliczeń są zaokrąglane do określonej liczby miejsc po przecinku (domyślnie zaokrąglane są do dziesięciu tysięcznych).

II. Na przykład:

1. Stopniowa miara kąta- miara kątowa, w której kąt 1 stopień jest przyjmowany jako jednostka i pokazuje, ile razy stopień i jego części (minuta i sekunda) mieszczą się w danym kącie.
2. Radianowa miara kąta- miara kątowa, w której kąt 1 radiana jest przyjmowana jako jednostka i pokazuje, ile razy radian mieści się w danym kącie.
3. Stopnie i radiany- jednostki miary kątów płaskich w geometrii.
4. jeden stopień równy 1/180 kąta wyprostowanego.
5. Radian jest kątem odpowiadającym łukowi, którego długość jest równa jego promieniowi.

Nomogram do konwersji radianów na stopnie i stopni na radiany.

Tabela wartości funkcje trygonometryczne

Notatka. Ta tabela wartości funkcji trygonometrycznych używa znaku √ do oznaczenia pierwiastek kwadratowy. Aby oznaczyć ułamek - symbol „/”.

Zobacz też przydatne materiały:

Dla wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej, znajdź go na przecięciu linii wskazującej funkcję trygonometryczną. Np. sinus 30 stopni - szukamy kolumny z nagłówkiem sin (sinus) i znajdujemy przecięcie tej kolumny tabeli z linią "30 stopni", na ich przecięciu odczytujemy wynik - jeden drugi. Podobnie znajdujemy cosinus 60 stopni, sinus 60 stopni (ponownie na przecięciu kolumny sin (sinus) i rzędu 60 stopni znajdujemy wartość sin 60 = √3/2) itd. W ten sam sposób znajdują się wartości sinusów, cosinusów i tangensów innych „popularnych” kątów.

Sinus pi, cosinus pi, tangens pi i inne kąty w radianach

Poniższa tabela cosinusów, sinusów i stycznych jest również odpowiednia do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, których argumentem jest podane w radianach. Aby to zrobić, użyj drugiej kolumny wartości kątów. Dzięki temu możesz przeliczyć wartość popularnych kątów ze stopni na radiany. Na przykład znajdźmy kąt 60 stopni w pierwszym wierszu i przeczytajmy pod nim jego wartość w radianach. 60 stopni jest równe π/3 radianów.

Liczba pi jednoznacznie wyraża zależność obwodu koła od miary stopnia kąta. Zatem pi radianów równa się 180 stopni.

Każdą liczbę wyrażoną w pi (radianach) można łatwo zamienić na stopnie, zastępując liczbę pi (π) liczbą 180.

Przykłady:
1. sinus pi.
grzech π = grzech 180 = 0
zatem sinus pi jest taki sam jak sinus 180 stopni i jest równy zeru.

2. cosinus pi.
sałata π = sałata 180 = -1
zatem cosinus pi jest taki sam jak cosinus 180 stopni i jest równy minus jeden.

3. Styczna pi
tg π = tg 180 = 0
zatem tangens pi jest taki sam jak tangens 180 stopni i jest równy zeru.

Tabela wartości sinusów, cosinusów, tangensów dla kątów 0 - 360 stopni (częste wartości)

Jeżeli w tabeli wartości funkcji trygonometrycznych zamiast wartości funkcji wskazana jest kreska (styczna (tg) 90 stopni, cotangens (ctg) 180 stopni), to dla danej wartości miary stopnia kąt, funkcja nie ma określonej wartości. Jeśli nie ma myślnika, komórka jest pusta, więc nie wprowadziliśmy jeszcze żądanej wartości. Interesuje nas, z jakimi prośbami zgłaszają się do nas użytkownicy i uzupełniają tabelę o nowe wartości, mimo że aktualne dane o wartościach cosinusów, sinusów i tangensów najczęściej spotykanych wartości kątów wystarczą do rozwiązania większości problemy.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych sin, cos, tg dla najpopularniejszych kątów
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stopni
(wartości liczbowe „według tabel Bradisa”)