Instrukcje
Jeżeli wykres jest linią prostą przechodzącą przez początek współrzędnych i tworzącą kąt α z osią OX (kąt nachylenia prostej do dodatniej półosi OX). Funkcja opisująca tę prostą będzie miała postać y = kx. Współczynnik proporcjonalności k jest równy tan α. Jeśli linia prosta przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę współrzędnych, to k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcja rośnie. Niech reprezentuje linię prostą położoną w różny sposób względem osi współrzędnych. Jest to funkcja liniowa mająca postać y = kx + b, gdzie zmienne x i y są podniesione do pierwszej potęgi, a k i b mogą być dodatnie lub ujemne. wartości ujemne lub równe zeru. Linia jest równoległa do prostej y = kx i odcina się na osi |b| jednostki. Jeżeli prosta jest równoległa do osi odciętych, to k = 0, jeśli do osi rzędnych, to równanie ma postać x = const.
Krzywa składająca się z dwóch gałęzi znajdujących się w różnych ćwiartkach i symetrycznych względem początku współrzędnych to hiperbola. Wykres ten jest odwrotną zależnością zmiennej y od x i jest opisany równaniem y = k/x. Tutaj k ≠ 0 jest współczynnikiem proporcjonalności. Ponadto, jeśli k > 0, funkcja maleje; jeśli k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.
Funkcja kwadratowa ma postać y = ax2 + bx + c, gdzie a, b i c są wielkościami stałymi, a a 0. Gdy spełniony jest warunek b = c = 0, równanie funkcji wygląda następująco y = ax2 (najprostszy przypadek ), a jej wykresem jest parabola przechodząca przez początek układu współrzędnych. Wykres funkcji y = ax2 + bx + c ma taki sam kształt jak najprostszy przypadek funkcji, ale jej wierzchołek (punkt przecięcia z osią OY) nie leży w początku układu współrzędnych.
Wykres jest także parabolą funkcja zasilania, wyrażone równaniem y = xⁿ, jeśli n istnieje Liczba parzysta. Jeśli n jest liczbą nieparzystą, wykres takiej funkcji potęgi będzie wyglądał jak parabola sześcienna.
Jeżeli n jest dowolne, równanie funkcji przyjmuje postać. Wykres funkcji dla nieparzystego n będzie hiperbolą, a dla parzystego n ich gałęzie będą symetryczne względem osi op.
Nawet w latach szkolnych funkcje są szczegółowo badane i konstruowane są ich wykresy. Ale niestety praktycznie nie uczą, jak czytać wykres funkcji i znajdować jej typ na podstawie prezentowanego rysunku. To właściwie całkiem proste, jeśli pamięta się podstawowe typy funkcji.
Instrukcje
Jeżeli przedstawiony wykres ma postać , czyli poprzez początek współrzędnych i z osią OX kąt α (który jest kątem nachylenia prostej do dodatniej półosi), to funkcja opisująca taką prostą będzie miała postać przedstawiane jako y = kx. W tym przypadku współczynnik proporcjonalności k jest równy tangensowi kąta α.
Jeśli dana prosta przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę współrzędnych, to k jest równe 0 i funkcja rośnie. Niech przedstawiony wykres będzie linią prostą położoną w dowolny sposób względem osi współrzędnych. Następnie funkcja np sztuki graficzne będzie liniowy, co przedstawia postać y = kx + b, gdzie zmienne y i x znajdują się w pierwszej kolejności, a b i k mogą przyjmować zarówno wartości ujemne, jak i wartości dodatnie Lub .
Jeżeli prosta jest równoległa do prostej z wykresem y = kx i odcina b jednostki na osi rzędnych, to równanie ma postać x = const, jeżeli wykres jest równoległy do osi odciętych, to k = 0.
Zakrzywiona linia składająca się z dwóch gałęzi, symetrycznych względem początku i znajdujących się w różnych ćwiartkach, to hiperbola. Taki wykres przedstawia odwrotną zależność zmiennej y od zmiennej x i jest opisany równaniem w postaci y = k/x, gdzie k nie powinno być równe zero, gdyż jest współczynnikiem odwrotnej proporcjonalności. Ponadto, jeśli wartość k jest większa od zera, funkcja maleje; jeśli k jest mniejsze od zera, wzrasta.
Jeżeli proponowany wykres jest parabolą przechodzącą przez początek układu współrzędnych, to jej funkcja, pod warunkiem, że b = c = 0, będzie miała postać y = ax2. Jest to najprostszy przypadek funkcji kwadratowej. Wykres funkcji w postaci y = ax2 + bx + c będzie miał taką samą postać jak w najprostszym przypadku, jednak wierzchołek (punkt przecięcia wykresu z osią rzędnych) nie będzie początkiem układu współrzędnych. W funkcji kwadratowej, reprezentowanej przez postać y = ax2 + bx + c, wartości a, b i c są stałe, natomiast a nie jest równe zero.
Parabola może być także wykresem funkcji potęgowej wyrażonej równaniem w postaci y = xⁿ tylko wtedy, gdy n jest dowolną liczbą parzystą. Jeśli wartość n jest liczbą nieparzystą, taki wykres funkcji potęgowej będzie reprezentowany przez parabolę sześcienną. Jeżeli zmienna n jest dowolną liczbą ujemną, równanie funkcji przyjmuje postać .
Wideo na ten temat
Współrzędna absolutnie dowolnego punktu na płaszczyźnie jest określona przez jego dwie wielkości: wzdłuż osi odciętej i osi rzędnych. Zbiór wielu takich punktów reprezentuje wykres funkcji. Można na nim zobaczyć, jak zmienia się wartość Y w zależności od zmiany wartości X. Można także określić, w którym odcinku (przedziale) funkcja rośnie, a w którym maleje.
Instrukcje
Co można powiedzieć o funkcji, jeśli jej wykres jest linią prostą? Sprawdź, czy ta linia przechodzi przez punkt początkowy współrzędnych (czyli ten, w którym wartości X i Y są równe 0). Jeśli przejdzie, to taką funkcję opisuje równanie y = kx. Łatwo zrozumieć, że im większa wartość k, tym bliżej osi rzędnych będzie ta prosta. A sama oś Y faktycznie odpowiada w nieskończoność wielkie znaczenie k.
1) Dziedzina funkcji i zakres funkcji.
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentów X(zmienny X), dla której funkcja y = f(x) określony. Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych y, co funkcja akceptuje.
W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.
2) Zera funkcji.
Funkcja zero to wartość argumentu, przy której wartość funkcji jest równa zero.
3) Przedziały stałego znaku funkcji.
Przedziały stałego znaku funkcji to zbiory wartości argumentów, w których wartości funkcji są tylko dodatnie lub tylko ujemne.
4) Monotoniczność funkcji.
Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, dla której wyższa wartość argument z tego przedziału odpowiada większej wartości funkcji.
Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada mniejszej wartości funkcji.
5) Funkcja parzysta (nieparzysta)..
Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = f(x). Harmonogram nawet funkcjonować symetrycznie względem osi rzędnych.
Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość jest prawdziwa f(-x) = - f(x). Harmonogram dziwna funkcja symetrycznie względem początku.
6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.
Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że |f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x. Jeżeli taka liczba nie istnieje, to funkcja jest nieograniczona.
7) Okresowość funkcji.
Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x z dziedziny definicji funkcji zachodzi: f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystko funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).
19. Podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy. Zastosowanie funkcji w ekonomii.
Podstawowe funkcje elementarne. Ich właściwości i wykresy
1. Funkcja liniowa.
Funkcja liniowa nazywa się funkcją postaci , gdzie x jest zmienną, a i b są liczbami rzeczywistymi.
Numer A zwane nachyleniem linii, jest ono równe tangensowi kąta nachylenia tej linii do dodatniego kierunku osi x. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Jest ona określona przez dwa punkty.
Własności funkcji liniowej
1. Dziedzina definicji - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D(y)=R
2. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: E(y)=R
3. Funkcja przyjmuje wartość zerową, gdy lub.
4. Funkcja rośnie (maleje) w całym obszarze definicji.
5. Funkcja liniowa ciągła w całym zakresie definicji, różniczkowalna i .
2. Funkcja kwadratowa.
Nazywa się funkcję postaci, w której x jest zmienną, a współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi kwadratowy.
Definicja funkcji liniowej
Wprowadźmy definicję funkcji liniowej
Definicja
Funkcję w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywa się funkcją liniową.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem linii.
Gdy $b=0$ funkcję liniową nazywamy funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.
Rozważ rysunek 1.
Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii
Rozważmy trójkąt ABC. Widzimy, że $ВС=kx_0+b$. Znajdźmy punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:
\ \
Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych boków:
\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]
Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\kąt A$.
Możemy zatem wyciągnąć następujący wniosek:
Wniosek
Znaczenie geometryczne współczynnik $k$. Współczynnik nachylenia prosta $k$ jest równa tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$.
Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykres
Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.
- $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx+b\prawo))"=k>0$. Stąd, tę funkcję rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Wykres (ryc. 2).
Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.
Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k
- Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
- Zakres wartości to wszystkie liczby.
- $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
- Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Gdy $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$
- $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Wykres (ryc. 3).
