Rozważ rozkład normalny. Korzystanie z funkcjiMS EXCELROZKŁAD NORMALNY() Narysujmy dystrybuantę i gęstość prawdopodobieństwa. Wygenerujemy tablicę liczb losowych o rozkładzie zgodnym z prawem normalnym i ocenimy parametry rozkładu, wartość średnią i odchylenie standardowe.
Normalna dystrybucja(zwany także rozkładem Gaussa) jest najważniejszy zarówno w teorii, jak i w zastosowaniach systemów kontroli jakości. Znaczenie wartości Normalna dystrybucja(Język angielski) Normalnadystrybucja) w wielu dziedzinach nauki wynika z teorii prawdopodobieństwa.
Definicja: Wartość losowa X rozproszone normalne prawo jeśli ma:
Normalna dystrybucja zależy od dwóch parametrów: μ (mu)- jest i σ ( sigma)- jest (odchylenie standardowe). Parametr μ określa położenie środka gęstości prawdopodobieństwa normalna dystrybucja, a σ to rozpiętość względem środka (średnia).
Notatka: Wpływ parametrów μ i σ na kształt rozkładu opisano w artykule o i w przykładowy plik na arkuszu Wpływ parametrów Można go używać do obserwacji zmiany kształtu krzywej.
Rozkład normalny w MS EXCEL
W MS EXCEL od wersji 2010 dla Normalna dystrybucja istnieje funkcja ROZKŁ.NORMALNY(), jej angielska nazwa to ROZKŁ.NORMALNY(), która pozwala na obliczenia gęstości prawdopodobieństwa(patrz wzór powyżej) i Dystrybuanta(prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X jest rozłożona normalne prawo, przyjmie wartość mniejszą lub równą x). Obliczenia w tym drugim przypadku przeprowadza się według następującego wzoru:
Wyznaczono powyższy rozkład N(μ; σ). Notacja poprzez N(μ; σ 2).
Notatka: Przed wersją MS EXCEL 2010 program EXCEL miał tylko funkcję ROZKŁAD.NORMALNY(), która umożliwiała również obliczenie funkcji rozkładu i gęstości prawdopodobieństwa. ROZKŁAD.NORMALNY() pozostawiono w MS EXCEL 2010 ze względu na kompatybilność.
Standardowy rozkład normalny
Standardowy rozkład normalny zwany normalna dystrybucja przy μ=0 i σ=1. Wyznaczono powyższy rozkład N(0;1).
Notatka: W literaturze dla zmiennej losowej rozłożonej standard normalne prawo przypisane jest specjalne oznaczenie z.
Każdy normalna dystrybucja można przekształcić w wersję standardową poprzez zmienną wymianę z=(X-μ)/σ . Ten proces konwersji nazywa się normalizacja.
Notatka: MS EXCEL posiada funkcję NORMALIZE(), która wykonuje powyższą konwersję. Chociaż w MS EXCEL ta transformacja jest nazywana z jakiegoś powodu normalizacja. Wzory =(x-μ)/σ i =NORMALIZACJA(x;μ;σ) zwróci ten sam wynik.
W MS EXCEL 2010 dla Istnieje specjalna funkcja ROZKŁAD.ST.NORMALNY() i jej starszy wariant ROZKŁAD.NORMALNY(), które wykonują podobne obliczenia.
Zademonstrujemy, jak przebiega proces normalizacji w programie MS EXCEL normalna dystrybucja N(1,5; 2).
Aby to zrobić, obliczamy prawdopodobieństwo rozłożenia zmiennej losowej normalne prawo N(1,5; 2), mniejszy lub równy 2,5. Formuła wygląda następująco: =ROZKŁ.NORMALNY(2,5; 1,5; 2; PRAWDA)=0,691462. Dokonując zmiennej zmiany z=(2,5-1,5)/2=0,5 , zapisz wzór do obliczeń Standardowy rozkład normalny:=ROZKŁ.ST.NORMALNY(0,5; PRAWDA)=0,691462.
Oczywiście oba wzory dają te same wyniki (patrz. przykładowy plik arkusza Przykład).
zauważ to normalizacja dotyczy tylko (argument całka równa się PRAWDA), a nie gęstości prawdopodobieństwa.
Notatka: W literaturze funkcja obliczająca prawdopodobieństwa zmiennej losowej rozłożonej standard normalne prawo ustala się specjalne oznaczenie Ф(z). W MS EXCEL tę funkcję oblicza się ze wzoru
= ROZKŁAD.ST.NORMALNY(z;PRAWDA). Obliczeń dokonuje się za pomocą wzoru
Ze względu na parzystość funkcji rozkład f(x), czyli f(x)=f(-x), funkcja standardowy rozkład normalny ma właściwość Ф(-x)=1-Ф(x).
Funkcje odwrotne
Funkcjonować ROZKŁAD.ST.NORMALNY(x;PRAWDA) oblicza prawdopodobieństwo P, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą lub równą x. Ale często wymagane jest odwrotne obliczenie: znając prawdopodobieństwo P, musisz obliczyć wartość x. Obliczona wartość x nazywa się standard normalna dystrybucja.
Do obliczeń w MS EXCEL kwantyle użyj funkcji ROZKŁ.NORMALNY() i ROZKŁAD.NORMALNY().
Wykresy funkcji
Przykładowy plik zawiera wykresy gęstości dystrybucji prawdopodobieństwa i Dystrybuanta.
Jak wiadomo, około 68% wartości wybranych z populacji posiada normalna dystrybucja, mieszczą się w granicach 1 odchylenia standardowego (σ) od μ (średnia lub oczekiwanie matematyczne); około 95% mieści się w granicach 2 σ, a już 99% wartości mieści się w granicach 3 σ. Upewnij się o tym dla standardowy rozkład normalny możesz napisać formułę:
=ROZKŁAD.ST.NORMALNY(1,PRAWDA)-ROZKŁ.ST.NORMALNY(-1,PRAWDA)
co zwróci wartość 68,2689% - jest to procent wartości mieszczących się w granicach +/-1 odchylenia standardowego przeciętny(cm. Arkusz wykresu w przykładowym pliku).
Ze względu na parzystość funkcji standard gęstości normalny dystrybucje: F(X)= F(-X), funkcja standardowy rozkład normalny ma właściwość F(-x)=1-F(x). Zatem powyższy wzór można uprościć:
=2*ROZKŁ.NORMALNY(1;PRAWDA)-1
Za darmo funkcje rozkładu normalnego N(μ; σ) podobne obliczenia należy wykonać korzystając ze wzoru:
2* ROZKŁAD NORMALNY(μ+1*σ;μ;σ;TRUE)-1
Powyższe obliczenia prawdopodobieństwa są wymagane dla .
Notatka: Dla ułatwienia zapisu w przykładowym pliku utworzono formuły na parametry rozkładu: μ i σ.
Generowanie liczb losowych
Wygenerujmy 3 tablice po 100 liczb, każda z różnymi μ i σ. Aby to zrobić w oknie Pokolenie losowe liczby ustaw następujące wartości dla każdej pary parametrów:
Notatka: Jeśli ustawisz tę opcję Losowe rozproszenie (Losowe ziarno), możesz wybrać konkretny losowy zestaw wygenerowanych liczb. Przykładowo ustawiając tę opcję na 25, możesz wygenerować te same zestawy liczb losowych na różnych komputerach (o ile oczywiście inne parametry rozkładu są takie same). Wartość opcji może przyjmować wartości całkowite od 1 do 32 767. Nazwa opcji Losowe rozproszenie może być mylące. Lepiej byłoby przetłumaczyć to jako Wybierz numer z losowymi numerami.
W rezultacie będziemy mieli 3 kolumny liczb, na podstawie których możemy oszacować parametry rozkładu, z którego została pobrana próbka: μ i σ . Oszacowanie μ można wykonać za pomocą funkcji ŚREDNIA(), a dla σ za pomocą funkcji STANDARDEV.B(), patrz przykładowy arkusz plików Generacja.
Notatka: Aby wygenerować tablicę liczb rozproszonych normalne prawo, możesz skorzystać ze wzoru =NORMALNY.INV(RANDA(),μ,σ). Funkcja LOS() generuje liczbę od 0 do 1, co dokładnie odpowiada zakresowi zmian prawdopodobieństwa (patrz. przykładowy arkusz plików Generacja).
Zadania
Problem 1. Firma produkuje nici nylonowe o średniej wytrzymałości 41 MPa i odchyleniu standardowym 2 MPa. Konsument chce kupić nici o wytrzymałości co najmniej 36 MPa. Oblicz prawdopodobieństwo, że partie żarnika wyprodukowane przez firmę dla klienta będą spełniać lub przekraczać specyfikacje.
Rozwiązanie 1: =ROZKŁ.1-NORMALNY(36,41,2,PRAWDA)
Problem 2. Firma produkuje rury o średniej średnicy zewnętrznej 20,20 mm i odchyleniu standardowym 0,25 mm. Zgodnie ze specyfikacjami technicznymi rury uważa się za odpowiednie, jeśli średnica mieści się w granicach 20,00 +/- 0,40 mm. Jaka część wyprodukowanych rur jest zgodna ze specyfikacjami?
Rozwiązanie 2: = ROZKŁAD.NORMALNY(20,00+0,40;20,20;0,25;PRAWDA)- ROZKŁ.NORMALNY(20,00-0,40;20,20;0,25)
Na poniższym rysunku zaznaczono zakres wartości średnic spełniający wymagania specyfikacji.
Rozwiązanie jest podane przykładowy arkusz zadań pliku.
Problem 3. Firma produkuje rury o średniej średnicy zewnętrznej 20,20 mm i odchyleniu standardowym 0,25 mm. Średnica zewnętrzna nie może przekraczać określonej wartości (zakładając, że dolna granica nie jest istotna). Jaki górny limit w specyfikacjach technicznych należy ustalić, aby spełniał go 97,5% wszystkich produkowanych wyrobów?
Rozwiązanie 3: =NORMALNA.OBR(0,975; 20,20; 0,25)=20,6899 lub
=NORMALNY.ST.REV(0,975)*0,25+20,2(„przeprowadzono destandaryzację”, patrz wyżej)
Problem 4. Znajdowanie parametrów normalna dystrybucja według wartości 2 (lub ).
Załóżmy, że wiadomo, że zmienna losowa ma rozkład normalny, ale nie są znane jej parametry, a jedynie druga percentyl(na przykład 0,5- percentyl, tj. mediana i 0,95 percentyl). Ponieważ jest znane, to wiemy, tj. μ. Aby znaleźć, musisz użyć .
Rozwiązanie jest podane przykładowy arkusz zadań pliku.
Notatka: Przed MS EXCEL 2010, EXCEL posiadał funkcje NORMINV() i NORMSINV(), które są odpowiednikami ROZKŁAD.NORMALNY() i ROZKŁAD.NORMALNY.ST.INV(). NORMBR() i NORMSINV() pozostawiono w MS EXCEL 2010 i nowszych wersjach tylko ze względu na kompatybilność.
Kombinacje liniowe zmiennych losowych o rozkładzie normalnym
Wiadomo, że jest to kombinacja liniowa zmiennych losowych o rozkładzie normalnym X(I) z parametrami µ (I) i σ (I) ma również rozkład normalny. Przykładowo, jeżeli zmienna losowa Y=x(1)+x(2) to Y będzie miało rozkład o parametrach μ (1)+ μ(2) I PIERWSZ(σ(1)^2+ σ(2)^2). Sprawdźmy to za pomocą programu MS EXCEL.
Krótka teoria
Normalny to rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, której gęstość ma postać:
gdzie jest oczekiwaniem matematycznym i jest odchyleniem standardowym.
Prawdopodobieństwo, że przyjmie wartość należącą do przedziału:
gdzie jest funkcja Laplace'a:
Prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna odchylenia jest mniejsza niż liczba dodatnia:
W szczególności, gdy zachodzi równość:
Rozwiązując problemy, jakie stawia praktyka, trzeba mieć do czynienia z różnymi rozkładami ciągłych zmiennych losowych.
Oprócz rozkładu normalnego obowiązują podstawowe prawa rozkładu ciągłych zmiennych losowych:
Przykład rozwiązania problemu
Część jest wykonywana na maszynie. Jego długość jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z parametrami , . Znajdź prawdopodobieństwo, że długość części będzie wynosić od 22 do 24,2 cm. Jakie odchylenie długości części można zagwarantować z prawdopodobieństwem 0,92; 0,98? W jakich granicach, symetrycznie względem , będą znajdować się prawie wszystkie wymiary części?
Rozwiązanie:
Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym będzie mieścić się w przedziale:
Otrzymujemy:
Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym odbiega od średniej o nie więcej niż .
Prawo normalnego rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej zajmuje szczególne miejsce wśród różnych praw teoretycznych, ponieważ ma fundamentalne znaczenie w wielu badaniach praktycznych. Opisuje większość zjawisk losowych związanych z procesami produkcyjnymi.
Zjawiska losowe podlegające prawu rozkładu normalnego obejmują błędy pomiaru parametrów produkcyjnych, rozkład technologicznych błędów produkcyjnych, wysokość i wagę większości obiektów biologicznych itp.
Normalna jest prawem rozkładu prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej opisanej funkcją różniczkową
a - matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej;
Odchylenie standardowe rozkładu normalnego.
Wykres różnicowej funkcji rozkładu normalnego nazywa się krzywą normalną (krzywą Gaussa) (ryc. 7).
Ryż. 7 Krzywa Gaussa
Właściwości krzywej normalnej (krzywa Gaussa):
1. krzywa jest symetryczna względem prostej x = a;
2. krzywa normalna znajduje się powyżej osi X, tj. dla wszystkich wartości X funkcja f(x) jest zawsze dodatnia;
3. Oś wołu jest poziomą asymptotą wykresu, ponieważ
4. dla x = a funkcja f(x) ma maksimum równe
,
w punktach A i B, a krzywa ma punkty przegięcia, których rzędne są równe.
Jednocześnie prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna odchylenia zmiennej losowej o rozkładzie normalnym od jej oczekiwań matematycznych nie przekroczy odchylenia standardowego, wynosi 0,6826.
w punktach E i G dla i wartość funkcji f(x) jest równa
oraz prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna odchylenia zmiennej losowej o rozkładzie normalnym od jej oczekiwań matematycznych nie przekroczy dwukrotności odchylenia standardowego, wynosi 0,9544.
Asymptotycznie zbliżając się do osi odciętych, krzywa Gaussa w punktach C i D, w i , bardzo blisko zbliża się do osi odciętych. W tych punktach wartość funkcji f(x) jest bardzo mała
oraz prawdopodobieństwo, że wartość bezwzględna odchylenia zmiennej losowej o rozkładzie normalnym od jej oczekiwań matematycznych nie przekroczy trzykrotności odchylenia standardowego, wynosi 0,9973. Ta właściwość krzywej Gaussa nazywa się „ reguła trzech sigm".
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny, to wartość bezwzględna jej odchylenia od oczekiwań matematycznych nie przekracza trzykrotności odchylenia standardowego.
Zmiana wartości parametru a (oczekiwania matematycznego zmiennej losowej) nie powoduje zmiany kształtu krzywej normalnej, a jedynie prowadzi do jej przemieszczenia wzdłuż osi X: w prawo, jeśli a rośnie, i w lewo, jeśli a maleje.
Gdy a=0, krzywa normalna jest symetryczna względem rzędnej.
Zmiana wartości parametru (odchylenie standardowe) powoduje zmianę kształtu krzywej normalnej: wraz ze wzrostem rzędnych krzywej normalnej zmniejszają się, krzywa rozciąga się wzdłuż osi X i dociska do niej. W miarę zmniejszania się rzędne krzywej normalnej rosną, krzywa kurczy się wzdłuż osi X i staje się bardziej „spiczasta”.
Jednocześnie dla dowolnych wartości i obszar ograniczony krzywą normalną i osią X pozostaje równy jedności (tj. prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym przyjmie wartość ograniczoną na osi X krzywej normalnej jest równe 1).
Rozkład normalny z dowolnymi parametrami i, tj. opisany funkcją różniczkową
zwany ogólny rozkład normalny.
Nazywa się rozkładem normalnym z parametrami rozkład znormalizowany(ryc. 8). W rozkładzie znormalizowanym funkcja rozkładu różniczkowego jest równa:
Ryż. 8 Znormalizowana krzywa
Skumulowana funkcja ogólnego rozkładu normalnego ma postać:
Niech zmienna losowa X zostanie rozłożona zgodnie z prawem normalnym w przedziale (c, d). Wtedy prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału (c, d) jest równe
Przykład. Rozkład zmiennej losowej X następuje zgodnie z prawem normalnym. Oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe tej zmiennej losowej są równe a=30 i . Znajdź prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość z przedziału (10, 50).
Według warunku: . Następnie
Korzystając z gotowych tabel Laplace'a (patrz Załącznik 3) mamy.
(prawdziwy, ściśle pozytywny)
Normalna dystrybucja, nazywane również Rozkład Gaussa Lub Gaussa – Laplace’a- rozkład prawdopodobieństwa, który w przypadku jednowymiarowym określa funkcja gęstości prawdopodobieństwa zbieżna z funkcją Gaussa:
fa (x) = 1 σ 2 π mi - (x - μ) 2 2 σ 2 , (\ Displaystyle f (x) = (\ Frac (1) (\ sigma (\ sqrt (2 \ pi )))) \ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)gdzie parametr μ to oczekiwanie (wartość średnia), mediana i sposób rozkładu, a parametr σ to odchylenie standardowe (σ² to dyspersja) rozkładu.
Zatem jednowymiarowy rozkład normalny jest dwuparametrową rodziną rozkładów. Przypadek wielowymiarowy opisano w artykule „Wielowymiarowy rozkład normalny”.
Standardowy rozkład normalny nazywa się rozkładem normalnym z oczekiwaniem matematycznym μ = 0 i odchyleniem standardowym σ = 1.
Encyklopedyczny YouTube
-
1 / 5
Znaczenie rozkładu normalnego w wielu dziedzinach nauki (np. statystyce matematycznej i fizyce statystycznej) wynika z centralnego twierdzenia granicznego teorii prawdopodobieństwa. Jeśli wynik obserwacji jest sumą wielu losowych, słabo współzależnych wielkości, z których każda ma niewielki udział w sumie, to wraz ze wzrostem liczby wyrazów rozkład wyśrodkowanego i znormalizowanego wyniku wydaje się być normalny. To prawo teorii prawdopodobieństwa skutkuje powszechnym rozkładem rozkładu normalnego, co było jednym z powodów jego nazwy.
Nieruchomości
Chwile
Jeśli zmienne losowe X 1 (\ displaystyle X_ (1)) I X 2 (\ displaystyle X_ (2)) są niezależne i mają rozkład normalny z oczekiwaniami matematycznymi μ 1 (\ displaystyle \ mu _ (1)) I μ 2 (\ displaystyle \ mu _ (2)) i odchylenia σ 1 2 (\ Displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2)) I σ 2 2 (\ Displaystyle \ sigma _ (2) ^ (2)) zatem odpowiednio X 1 + X 2 (\ displaystyle X_ (1) + X_ (2)) ma również rozkład normalny z oczekiwaniami matematycznymi μ 1 + μ 2 (\ Displaystyle \ mu _ (1) + \ mu _ (2)} i wariancja σ 1 2 + σ 2 2 . (\ Displaystyle \ sigma _ (1) ^ (2) + \ sigma _ (2) ^ (2).) Wynika z tego, że normalną zmienną losową można przedstawić jako sumę dowolnej liczby niezależnych normalnych zmiennych losowych.
Maksymalna entropia
Rozkład normalny ma maksymalną entropię różnicową spośród wszystkich rozkładów ciągłych, których wariancja nie przekracza danej wartości.
Modelowanie normalnych zmiennych pseudolosowych
Najprostsze przybliżone metody modelowania opierają się na centralnym twierdzeniu granicznym. Mianowicie, jeśli dodasz kilka niezależnych wielkości o identycznym rozkładzie i skończonej wariancji, wówczas suma zostanie rozdzielona około Cienki. Na przykład, jeśli standardowo dodasz 100 niezależnych równomiernie rozłożone zmienne losowe, wówczas rozkład sumy będzie w przybliżeniu normalna.
Do programowego generowania zmiennych pseudolosowych o rozkładzie normalnym zaleca się użycie transformacji Boxa-Mullera. Pozwala wygenerować jedną wartość o rozkładzie normalnym na podstawie jednej wartości o rozkładzie równomiernie.
Rozkład normalny w przyrodzie i zastosowaniach
Rozkład normalny często występuje w przyrodzie. Na przykład następujące zmienne losowe są dobrze modelowane za pomocą rozkładu normalnego:
- odchylenie podczas fotografowania.
- błędy pomiaru (jednak błędy niektórych przyrządów pomiarowych nie mają rozkładów normalnych).
- niektóre cechy organizmów żywych w populacji.
Rozkład ten jest tak powszechny, ponieważ jest to nieskończenie podzielny rozkład ciągły ze skończoną wariancją. Dlatego niektórzy inni podchodzą do tego w limicie, na przykład dwumianowy i Poissona. Rozkład ten modeluje wiele niedeterministycznych procesów fizycznych.
Związek z innymi dystrybucjami
- Rozkład normalny to rozkład Pearsona typu XI.
- Stosunek pary niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład Cauchy’ego. To znaczy, jeśli zmienna losowa X (\ displaystyle X) reprezentuje relację X = Y / Z (\ displaystyle X = Y / Z)(Gdzie Y (\ displaystyle Y) I Z (\ displaystyle Z)- niezależne standardowe normalne zmienne losowe), wówczas będzie miał rozkład Cauchy'ego.
- Jeśli z 1 , … , z k (\ Displaystyle z_ (1), \ ldots, z_ (k))- wspólnie niezależne standardowe normalne zmienne losowe, tj z ja ∼ N (0, 1) (\ Displaystyle z_ (i) \ sim N \ lewo (0,1 \ prawo)), a następnie zmienna losowa x = z 1 2 + … + z k 2 (\ Displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + \ ldots + z_ (k) ^ (2)) ma rozkład chi-kwadrat z k stopniami swobody.
- Jeśli zmienna losowa X (\ displaystyle X) podlega rozkładowi lognormalnemu, to jego logarytm naturalny ma rozkład normalny. To znaczy, jeśli X ∼ L o sol N (μ, σ 2) (\ Displaystyle X \ sim \ operatorname (LogN) \ lewo (\ mu, \ sigma ^ (2) \ prawo)), To Y = ln (X) ∼ N (μ, σ 2) (\ Displaystyle Y = \ ln \ lewo (X \ prawo) \ sim \ operatorname (N) \ lewo (\ mu, \ sigma ^ (2) \ prawo )). I odwrotnie, jeśli Y ∼ N (μ, σ 2) (\ Displaystyle Y \ sim \ operatorname (N) \ lewo (\ mu, \ sigma ^ (2) \ prawo)}, To X = exp (Y) ∼ L o sol N (μ, σ 2) (\ Displaystyle X = \ exp \ lewo (Y \ prawo) \ sim \ operatorname (LogN) \ lewo (\ mu, \ sigma ^ (2) \Prawidłowy)).
- Stosunek kwadratów dwóch standardowych normalnych zmiennych losowych ma
Losowy, jeśli w wyniku eksperymentu może przyjmować wartości rzeczywiste z określonym prawdopodobieństwem. Najbardziej kompletną i wszechstronną cechą zmiennej losowej jest prawo dystrybucji. Prawo rozkładu to funkcja (tabela, wykres, wzór), która pozwala określić prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie określoną wartość xi lub wpadnie w określony przedział. Jeżeli zmienna losowa ma dane prawo rozkładu, to mówimy, że ma rozkład według tego prawa lub podlega temu prawu rozkładu.
Każdy prawo dystrybucyjne jest funkcją, która całkowicie opisuje zmienną losową z probabilistycznego punktu widzenia. W praktyce rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X często trzeba oceniać jedynie na podstawie wyników testów.
Normalna dystrybucja
Normalna dystrybucja, zwany także rozkładem Gaussa, jest rozkładem prawdopodobieństwa, który odgrywa kluczową rolę w wielu dziedzinach wiedzy, szczególnie w fizyce. Wielkość fizyczna ma rozkład normalny, gdy podlega wpływowi ogromnej liczby przypadkowych szumów. Wiadomo, że taka sytuacja jest niezwykle powszechna, dlatego można powiedzieć, że spośród wszystkich rozkładów rozkład normalny ma charakter najbardziej powszechny - stąd jedna z jego nazw.
Rozkład normalny zależy od dwóch parametrów - przemieszczenia i skali, czyli z matematycznego punktu widzenia nie jest to jeden rozkład, ale cała ich rodzina. Wartości parametrów odpowiadają wartościom średniej (oczekiwania matematycznego) i rozrzutu (odchylenie standardowe).
Standardowy rozkład normalny to rozkład normalny z oczekiwaniem matematycznym równym 0 i odchyleniem standardowym równym 1.
Współczynnik asymetrii
Współczynnik skośności jest dodatni, jeśli prawy ogon rozkładu jest dłuższy niż lewy, a w przeciwnym razie jest ujemny.
Jeśli rozkład jest symetryczny względem oczekiwań matematycznych, wówczas jego współczynnik asymetrii wynosi zero.
Współczynnik skośności próbki służy do testowania symetrii rozkładu, a także do przybliżonego wstępnego testu normalności. Pozwala odrzucić, ale nie pozwala zaakceptować hipotezy normalności.
Współczynnik Kurtozy
Współczynnik kurtozy (współczynnik szczytu) jest miarą ostrości piku rozkładu zmiennej losowej.
Na końcu wzoru wprowadza się „minus trzy”, tak aby współczynnik kurtozy rozkładu normalnego był równy zero. Jest dodatnia, jeśli pik rozkładu wokół oczekiwań matematycznych jest ostry, a ujemna, jeśli pik jest gładki.
Momenty zmiennej losowej
Moment zmiennej losowej jest liczbową charakterystyką rozkładu danej zmiennej losowej.
