Темы кодификатора ЕГЭ: интерференция света.
В предыдущем листке, посвящённом принципу Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн. Но что это значит - "наложением"? В чём состоит конкретный физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? Этим вопросам и посвящён данный листок.
Сложение колебаний.
Сейчас мы будем рассматривать взаимодействие двух волн. Природа волновых процессов роли не играет - это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме.
Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.
Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности.
Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).
Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.
Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.
Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!
Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис. 1 ).
Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны - на минимумы синей (левая часть рис. 1 ). Складываясь в фазе, красная и синяя волны усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (справа на рис. 1 ).
Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот - минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 2 , слева).
Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе - разность фаз колебаний станет равна . Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 2 , справа).
Когерентные источники.
Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.
Когерентность . Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными.
Итак, рассматриваем два когерентных источника и . Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. В общем, эти источники являются "точными копиями" друг друга (в оптике, например, источник служит изображением источника в какой-либо оптической системе).
Наложение волн, излучённых данными источниками, наблюдается в некоторой точке . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке не будут равны друг другу - ведь, как мы помним, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях и амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка расположена достаточно далеко от источников - на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками . В такой ситуации различие в расстояниях и не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке также совпадают.
Условие максимума и минимума.
Однако величина , называемая разностью хода , имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке .
В ситуации на рис. 3 разность хода равна длине волны . Действительно, на отрезке укладываются три полных волны, а на отрезке - четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длина таких отрезков составляет порядка миллиона длин волн). Легко видеть, что волны в точке складываются в фазе и создают колебания удвоенной амплитуды - наблюдается, как говорят, интерференционный максимум .
Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.
Условие максимума . При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:
(1)
Теперь посмотрим на рис. 4 . На отрезке укладываются две с половиной волны, а на отрезке -три волны. Разность хода составляет половину длины волны (d=\lambda /2 ).
Теперь нетрудно видеть, что волны в точке складываются в противофазе и гасят друг друга - наблюдается интерференционный минимум . То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн.
Условие минимума
.
Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн:
(2)
Равенство (2) можно переписать следующим образом:
Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.
Интерференционная картина.
А что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцелому числу длин волн? Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A амплитуды одной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.
Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентных источников и , наблюдается устойчивая интерференционная картина - фиксированное не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке данной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью хода приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.
Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников. Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.
Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.
Интерференция - это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитуд результирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.
Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорят попросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут только когерентные волны. Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокруг них чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данном случае источники некогерентны.
На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии - например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Но никакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины. Наибольшее количество энергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционных минимумов энергия не поступает совсем.
На рис. 5 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников и . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрии интерференционной картины.
Цвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белого через промежуточные оттенки серого. Чёрный цвет - интерференционные минимумы, белый цвет - интерференционные максимумы; серый цвет - промежуточное значение амплитуды, и чем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.
Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины. Здесь расположены так называемые центральные максимумы . Действительно, любая точка данной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точке будет наблюдаться является интерференционный максимум.
Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, что они являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянии от источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почти прямыми.
Интерференционный опыт, изображённый на рис. 5
, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга
. Эта схема лежит в основе знаменитного
опыта Юнга (речь о котором пойдёт в теме Дифракция света). Многие эксперименты по интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.
В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 5
и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.
На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос
.
На рис. 6 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум. Первый максимум в верхней части экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.
Рис. 6. Интерференционная картина на экране |
Расстояние , равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумами или минимумами, называется шириной интерференционной полосы . Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.
Пусть источники находятся на расстоянии друг от друга, а экран расположен на расстоянии от источников (рис. 7 ). Экран заменён осью ; начало отсчёта , как и выше, отвечает центральному максимуму.
Точки и служат проекциями точек и на ось и расположены симметрично относительно точки . Имеем: .
Точка наблюдения может находиться на оси (на экране) где угодно. Координату точки
мы обозначим . Нас интересует, при каких значениях в точке будет наблюдаться интерференционный максимум.
Волна, излучённая источником , проходит расстояние:
. (3)
Теперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: . Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата точки наблюдения также гораздо меньше . Это означает, что второе слагаемое под корнем в выражении (3) много меньше единицы:
Раз так, можно использовать приближённую формулу:
(4)
Применяя её к выражению (4) , получим:
(5)
Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника до точки наблюдения:
. (6)
Применяя к выражению (6) приближённую формулу (4) , получаем:
. (7)
Вычитая выражения (7) и (5) , находим разность хода:
. (8)
Пусть - длина волны, излучаемой источниками. Согласно условию (1) , в точке будет наблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:
Отсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумы идут симметрично):
При получаем, разумеется, (центральный максимум). Первый максимум рядом с центральным соответствует значению и имеет координату .Такой же будет и ширина интерференционной полосы.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется не один, а несколько источников волн (осцилляторов). Излучаемые ими волны в некоторой области пространства будут оказывать совокупное действие. Прежде чем начать анализ того, что может произойти в результате, остановимся сначала на очень важном физическом принципе, которым неоднократно будем пользоваться в нашем курсе, - принципе суперпозиции. Суть его проста.
Предположим, что имеется не один, а несколько источников возмущения (ими могут быть механические осцилляторы, электрические заряды, и др.). Что будет отмечать прибор, регистрирующий одновременно возмущения среды от всех источников? Если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности независимо от наличия остальных - это и есть принцип суперпозиции, т.е. наложения. Этот принцип един для многих явлений, но его математическая запись может быть разной в зависимости от характера рассматриваемых явлений - векторного или скалярного.
Принцип суперпозиции волн выполняется не во всех случаях, а только в так называемых линейных средах. Среду, например, можно считать линейной, если ее частицы находятся под действием упругой (квазиупругой) возвращающей силы. Среды, в которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. Так, при распространении волн большой интенсивности линейная среда может становиться нелинейной. Возникают чрезвычайно интересные и технически важные явления. Это наблюдается при распространении в среде ультразвука большой мощности (в акустике) или лазерных лучей в кристаллах (в оптике). Научные и технические направления, занимающиеся изучением этих явлений, получили название нелинейной акустики и нелинейной оптики, соответственно.
Будем рассматривать только линейные эффекты. Применительно к волнам принцип суперпозиции утверждает, что каждая из них?,(х, t) распространяется независимо от того, есть ли в данной среде источники других волн или нет. Математически, в случае распространения N волн вдоль оси х, он выражается так
где с(х, 1) - суммарная (результирующая) волна.
Рассмотрим наложение двух монохроматических волн одинаковой частоты со и поляризации, распространяющихся по одному направлению (ось х) из двух источников
Будем наблюдать результат их сложения в определенной точке М, т.е. зафиксируем координату х = х м в уравнениях, описывающих обе волны:
При этом мы устранили двойную периодичность процесса и превратили волны в колебания, совершающиеся в одной точке М с одним временным периодом Т= 2л/со и различающиеся начальными фазами Ф, = к г х м и ф 2 = крс м, т.е.
и
Теперь для нахождения результирующего процесса t{t) в точке М мы должны сложить 2,! и q 2: W) = ^i(0 + с 2 (0- Мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее в подразделе 2.3.1. Используя формулу (2.21), получим амплитуду суммарного колебания А, выраженную через А, ф! и А 2 , фг, как
Значение А м (амплитуда суммарного колебания в точке М) зависит от разности фаз колебаний Аф = ф 2 - ф). Что происходит в случае разных значений Дф, подробно рассмотрено в подразделе 2.3.1. В частности, если эта разность Аф остается все время постоянной, то в зависимости от ее значения может получиться так, что в случае равенства амплитуд А = А 2 = А результирующая амплитуда А м будет равной нулю или 2А.
Чтобы явление увеличения или уменьшения амплитуды при наложении волн (интерференции) можно было наблюдать, необходимо, как уже говорилось, чтобы разность фаз Дф = ф 2 - ф! оставалась постоянной. Это требование означает, чтобы колебания были когерентными. Источники колебаний называются когерентными ", если разность фаз возбуждаемых ими колебаний не изменяется с течением времени. Волны, порожденные такими источниками, также являются когерентными. Кроме того, необходимо, чтобы складываемые волны были одинаково поляризованными, т.е. чтобы смещения частиц в них происходили, например, в одной плоскости.
Видно, что осуществление интерференции волн требует соблюдения нескольких условий. В волновой оптике это означает создание когерентных источников и реализации способа сложения возбуждаемых ими волн.
1 Различают когерентность (от лат. cohaerens - «находящийся в связи») временную, связанную с монохроматичностью волн, о которой и идет речь в данном разделе, и пространственную когерентность, нарушение которой характерно для протяженных источников излучения (нагретых тел, в частности). Особенности пространственной когерентности (и некогерентности) мы не рассматриваем.
Волновая природа света наиболее ярко проявляется в явлениях интерференции и дифракции света, в основе которых лежит сложение волн . Явление интерференции и дифракции имеют, помимо их теоретического значения, широкое применение их на практике.
Этот термин в 1801 году предложил английский учёный Юнг. В буквальном переводе он означает вмешательство, столкновение, встреча.
Для наблюдения интерференции необходимы условия её возникновения, их два:
интерференция возникает лишь тогда, когда налагающие волны имеют одинаковую длину λ (частоту ν);
неизменность (постоянство) разности фаз колебаний.
Примеры сложения волн :
Источники, обеспечивающие явление интерференции, называются когерентными , а волны –когерентными волнами .
Для выяснения вопроса о том, что будет в данной точке max илиmin , нужно знать в каких фазах волны встретятся, а для знания фаз необходимо знатьразность хода волн . Что это такое?
при (r 2 –r 1) =Δr, равной целому числу длин волн или четному числу полуволн, в точке М будет усиление колебаний;
при d, равной нечетному числу полуволн в точке М будет ослабление колебаний.
Сложение световых волн происходит аналогично.
Сложение электромагнитных волн одной частоты колебаний, идущих от различных источников света, называется интерференцией света .
Для электромагнитных волн при их наложении применим принцип суперпозиции, фактически впервые сформулированный итальянским учёным эпохи Возрождения Леонардо да Винчи:
Подчеркните, что принцип суперпозиции точно справедлив лишь для волн бесконечно малой амплитуды.
Монохроматическая световая волна описывается уравнением гармонических колебаний:
,
где y – величины напряжённостей и, векторы которых колеблются во взаимоперпендикулярных плоскостях.
Если имеются две волны одинаковой частоты:
и
;
приходящие в одну точку, то результирующее поле равно их сумме (в общем случае – геометрической):
Если ω 1 = ω 2 и (φ 01 – φ 02) =const, волны называютсякогерентными .
Величина А в зависимости от разности фаз лежит в пределах:
|А 1 – А 2 | ≤ А ≤ (А 1 + А 2)
(0 ≤ А ≤ 2А, если А 1 =А 2)
Если А 1 = А 2 , (φ 01 – φ 02) = π или (2k+ 1)π,cos(φ 01 – φ 02) = –1, то А = 0, т.е. интерферирующие волны полностью гасят друг друга (minосвещённости, если учесть, что Е 2 J, гдеJ– интенсивность).
Если А 1 = А 2 , (φ 01 – φ 02) = 0 или 2kπ, то А 2 = 4А 2 , т.е. интерферирующие волны усиливают друг друга (имеет местоmaxосвещённости).
Если (φ 01 – φ 02) – изменяется хаотически со временем, с очень большой частотой, то А 1 = 2А 1 , т.е. равна просто алгебраической сумме обоих амплитуд волн, излучаемых каждым источником. В этом случае положенияmax иmin быстро меняют своё положение в пространстве, и мы будем видеть некоторую среднюю освещённость с интенсивностью 2А 1 . Эти источники –некогерентные .
Любые два независимых источника света – некогерентны.
Когерентные волны можно получить от одного источника, путём разбиения пучка света на несколько пучков, имеющих постоянную разность фаз.
Интерференция -это перераспределение потока электромагнитной энергии в пространстве, возникающее в результате наложения волн, приходящих в данную область пространства от разных источников. Если в области интерференции световых волн поставить экран, то на нем будут
наблюдаться светлые и темные области, например полосы.
Интерферировать могут толькокогерентные волны. Источники(волны) называют когерентными, если они имеют одинаковую частотуи постоянную во времени разность фаз, излучаемых ими волн.
Когерентными могут быть только точечные монохроматические источники. К ним по свойствам близки лазеры. Обычные источники излучения некогерентны, так как немонохроматичны и не являются точечными.
Немонохроматичность излучения обычных источников обусловлена тем, что их излучение создается атомами, испускающими в течение времени порядка =10 -8 с волновые цуги длиной L=c =3м. Излучения разных атомов не коррелированы друг с другом.
Однако наблюдать интерференцию волн можно и при использовании обычных источников, если с помощью какого-либо приема создать два или более источников, подобных первичному источнику. Существует два метода получения когерентных световых пучков или волн: метод деления волнового фронта иметод деления амплитуды волны. В методе деления волнового фронта пучок или волна делится, проходя через близко расположенные щели или отверстия (дифракционная решетка), либо с помощью отражающих и преломляющих препятствий (бизеркало и бипризма Френеля, отражательная дифракционная решетка).
Вметоде деления амплитуда волны излучение делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Примером является интерференция лучей, отраженных от тонкой пленки.
Точки А, В и С на рис. являются точками деления амплитуды волны
Количественное описание интерференции волн.
Пусть две волны, приходят в точку Оот источников S 1 и S 2 по разным оптическим путям L 1 =n 1 l 1 и L 2 =n 2 l 2 .
Напряженность результирующего поля в точке наблюдения равна
E=E 1 +E 2 . (1)
Детектор излучения(глаз) регистрирует не амплитуду, а интенсивность волны, поэтому возведем соотношение (1)в квадрат и перейдем к интенсивностям волн
E 2 =E 1 2 +E 2 2 +E 1 E 2 (2)
Усредним это выражение по времени
Последнее слагаемое в (3)
2
2<E 1 E 2 >=2
где -угол между векторами E 1 и E 2 .Если /2, тo cos=0и интерференционный член будет равен нулю. Это означает, что волны, поляризованные в двух взаимно перпендикулярных плоскостях интерферировать не могут. Если вторичные источники, от которых наблюдают интерференцию, получены от одного первичного источника, то векторыE 1 иE 2 параллельны иcos=1.В этом случае (3)можно записать в виде
где усредняемые по времени функции имеют вид
E 1 =E 10 cos(t+), E 2 =E 20 cos(t+), (6)
=-k 1 l 1 + 1 , =-k 2 l 2 + 2 .
Вычислим в начале среднее по времени значение интерференционного члена
(7)
откуда при =:
Обозначая I 1 =E 2 10 ,
I 2 =E 2 20
и
,
формулу (5) можно записать в терминах
интенсивности волн. Если источники
некогерентны, то
I=I 1 +I 2 , (9)
а если когерентны, то
I=I 1 +I 2 +2
cos (10)
k 2 l 2 -k 1 l 1 + - (11)
есть разность фаз складываемых волн. Для источников. полученных от одного первичного источника 1 = 2 ,поэтому
=k 2 l 2 -k 1 l 1 =k 0 (n 2 l 2 -n 1 l 1)=(2/ ) (12)
где К 0 =2 -волновое число в вакууме, -оптическая разность хода лучей 1и 2от S 1 и S 2 до точки наблюдения интерференции 0. Получили
(13)
Из формулы (10)следует, что в точке 0будет максимум интерференции, если cos = 1,откуда
m, или=m (m=0,1,2,…) (14)
Условие минимума интерференции будет при cos = -1,откуда
=2(m+½), или=(m+½) (m=0,1,2,…) (14)
Таким образом, волны в точке наложения усилят друг друга, если их оптическая разность хода равна четному числу полуволн ослабят друг друга
если она равна нечетному числу полуволн.
Степень когерентности излучения источника. Интерференция частично когеретных волн.
Реальные световые пучки, приходящие в точку наблюдения интерференции, частично когерентны, т.о. содержат когерентный и некогерентный свет. Для характеристики частично когерентного света вводят степень когерентности 0< < 1которая представляет собой долю некогерентного света в световом пучке. При интерференции частично когерентных пучков получим
I= неког +(1-)I ког =(I 1 +I 2)+(1-)(I 1 +I 2 +2I 1 I 2 cos
ОткудаI=I 1 +I 2 +2I 1 I 2 cos (17)
Если =0 или=1, то приходим к случаям некогерентного и когерентного сложения интерферентностей волн.
Опыт Юнга (деление волнового фронта)
П
ервый
опыт по наблюдению интерференции был
осуществлен Юнгом (1802). Излучение от
точечного источника Sпроходило через два точечных отверстияS 1
иS 2
в диафрагмеD и в точке
Р на экране Э наблюдалась интерференция
лучей 1 и 2, проходящим по геометрическим
путямSS 1 P
иSS 2 P.
Рассчитаем интерференционную картину на экране. Геометрическая разность хода лучей 1 и 2 от источника S до точки Р на экране равна
l=(l` 2 +l 2) (l` 1 +l 1)= (l` 2 1` 1)+(l 2 l 1) (1)
Пусть d – расстояние междуS 1 иS 2 , b – расстояние от плоскости источникаS до диафрагмы Д,a – расстояние от диафрагмы Д до экрана Э,x – координата точкиP на экране отностительно его центра, аx` - координата источникаS относительно центра плоскости источника. Тогда согласно рисунку по теореме Пифагора получим