Simetrinės lygtys. Simetrinių lygčių sistemų sprendimas Simetrinė lygčių sistema internete

Pamokos tikslai:

edukacinis: mokomasi spręsti lygčių sistemas, turinčias vienalytę lygtį, simetriškas lygčių sistemas;
besivystantis: mąstymo, dėmesio, atminties ugdymas, gebėjimas pabrėžti pagrindinį dalyką;
edukacinis: bendravimo įgūdžių ugdymas.

Pamokos tipas: pamoka mokantis naujos medžiagos.

Naudojamos mokymosi technologijos:

darbas grupėse;
projektavimo metodas.

Įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius.

Likus savaitei iki pamokos mokiniai gauna kūrybinių užduočių temas (pagal pasirinkimus).
I variantas. Simetrinės lygčių sistemos. Sprendimai.
II variantas. Sistemos, kuriose yra vienalytė lygtis. Sprendimai.

Kiekvienas mokinys, naudodamasis papildoma mokomąja literatūra, turi susirasti tinkamą mokomąją medžiagą, parinkti lygčių sistemą ir ją išspręsti.
Vienas mokinys iš kiekvieno varianto kuria multimedijos pristatymus kūrybinės užduoties tema. Mokytojas, esant poreikiui, mokiniams teikia patarimus.

I. Mokinių mokymosi veiklos motyvavimas

Mokytojo įžanginė kalba
Ankstesnėje pamokoje nagrinėjome lygčių sistemų sprendimą nežinomųjų keitimo metodu. Nėra bendros naujų kintamųjų pasirinkimo taisyklės. Tačiau, kai yra pagrįstas kintamųjų pasirinkimas, galima išskirti dviejų tipų lygčių sistemas:

simetrinės lygčių sistemos;
lygčių sistemos, iš kurių viena yra vienalytė.

II. Naujos medžiagos mokymasis

Antrojo varianto mokiniai atsiskaito apie savo namų darbus.

1. Multimedijos pristatymo skaidrių demonstracija „Sistemos, kuriose yra vienalytė lygtis“ (1 pristatymas).

2. Darbas prie vieno stalo sėdinčių mokinių poromis: antrojo varianto studentas kaimynui prie stalo paaiškina sistemos, kurioje yra vienalytė lygtis, sprendimą.

1-ojo varianto studentų ataskaita.

1. Multimedijos pristatymo „Simetrinės lygčių sistemos“ skaidrių demonstracija (2 pristatymas).

Mokiniai į sąsiuvinius rašo:

2. Darbas prie vieno stalo sėdinčių mokinių poromis: I varianto studentas kaimynui prie stalo paaiškina simetrinės lygčių sistemos sprendimą.

III. Studijuotos medžiagos konsolidavimas

Darbas grupėse (4 mokinių grupėje suvienyti studentai, sėdintys prie gretimų stalų).
Kiekviena iš 6 grupių atlieka šią užduotį.

Nustatykite sistemos tipą ir išspręskite:

Mokiniai grupėse analizuoja sistemas, nustato jų tipą, tada frontalinio darbo metu aptaria sistemų sprendimus.

a) sistema

simetriškas, pristatome naujus kintamuosius x+y=u, xy=v

b) sistema

yra vienalytė lygtis.

Skaičių pora (0;0) nėra sistemos sprendimas.

IV. Mokinių žinių kontrolė

Savarankiškas darbas su pasirinkimais.

Išspręskite lygčių sistemą:

Mokiniai savo sąsiuvinius atiduoda mokytojui peržiūrėti.

V. Namų darbai

1. Atlieka visi mokiniai.

Išspręskite lygčių sistemą:

2. Atlikite „stiprius“ mokinius.

Išspręskite lygčių sistemą:

VI. Pamokos santrauka

Klausimai:
Kokių tipų lygčių sistemų išmokote klasėje?
Koks lygčių sistemų sprendimo būdas naudojamas joms išspręsti?

Mokinių per pamoką gautų pažymių atsiskaitymas.

Pagrindinis puslapis > Sprendimas

Racionaliosios lygtys ir nelygybės

I. Racionaliosios lygtys.

Tiesinės lygtys.

Tiesinių lygčių sistemos.

Grąžinimo lygtys.

Vietos formulė aukštesniųjų laipsnių daugianariams.

Antrojo laipsnio lygčių sistemos.

Naujų nežinomųjų įvedimo metodas sprendžiant lygtis ir lygčių sistemas.

Homogeninės lygtys.

Simetrinių lygčių sistemų sprendimas.

Lygtys ir lygčių sistemos su parametrais.

Grafinis netiesinių lygčių sistemų sprendimo metodas.

Modulio ženklą turinčios lygtys.

Pagrindiniai racionaliųjų lygčių sprendimo metodai

II. Racionalios nelygybės.

Ekvivalentinių nelygybių savybės.

Algebrinės nelygybės.

intervalo metodas.

Trupmeninės-racionalinės nelygybės.

Nelygybės, kuriose yra nežinomasis po absoliučios vertės ženklu.

Nelygybės su parametrais.

Racionaliųjų nelygybių sistemos.

Grafinis nelygybių sprendimas.

III. Patikrinimo testas.

Racionalios lygtys

peržiūros funkcija

P(x) \u003d a 0 x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + ... + a n - 1 x + a n,

kur n yra natūralusis skaičius, a 0 , a 1 ,…, a n yra kai kurie realieji skaičiai, vadinama visa racionalia funkcija.

P(x) = 0 formos lygtis, kur P(x) yra visa racionali funkcija, vadinama visa racionalia lygtimi.

Tipo lygtis

P 1 (x) / Q 1 (x) + P 2 (x) / Q 2 (x) + ... + P m (x) / Q m (x) = 0,

kur P 1 (x), P 2 (x), …, P m (x), Q 1 (x), Q 2 (x), …, Q m (x) yra visos racionalios funkcijos, vadinama racionalia lygtimi .

Išsprendus racionaliąją lygtį P (x) / Q (x) = 0, kur P (x) ir Q (x) yra daugianariai (Q (x)  0), redukuoja iki lygties P (x) = 0 išsprendimo ir patikrinimo ar šaknys tenkina sąlygą Q (x)  0.

Tiesinės lygtys.

Formos ax+b=0 lygtis, kur a ir b yra tam tikros konstantos, vadinama tiesine lygtimi.

Jei a0, tai tiesinė lygtis turi vieną šaknį: x = -b /a.

Jei a=0; b0, tai tiesinė lygtis neturi sprendinių.

Jei a=0; b=0, tada perrašant pirminę lygtį į formą ax = -b, nesunku pastebėti, kad bet kuris x yra tiesinės lygties sprendimas.

Tiesios linijos lygtis yra tokia: y = ax + b.

Jei tiesė eina per tašką, kurio koordinatės X 0 ir Y 0, tai šios koordinatės tenkina tiesės lygtį, ty Y 0 = aX 0 + b.

1.1 pavyzdys. išspręskite lygtį

2x - 3 + 4 (x - 1) = 5.

Sprendimas. Išplėskime skliaustus po vieną, suteikime panašius terminus ir raskime x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

1.2 pavyzdys. išspręskite lygtį

2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7.

Sprendimas. 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7, 0x = -6.

Atsakymas: .

1.3 pavyzdys. Išspręskite lygtį.

2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5.

Sprendimas. 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 - 4x,

4x + 4x = 9 - 9,

Atsakymas: bet koks skaičius.

Tiesinių lygčių sistemos.

Tipo lygtis

a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b,

kur a 1 , b 1 , … ,a n , b yra tam tikros konstantos, vadinama tiesine lygtimi su n nežinomųjų x 1 , x 2 , …, x n .

Lygčių sistema vadinama tiesine, jei visos sistemos lygtys yra tiesinės. Jei sistema susideda iš n nežinomųjų, galimi šie trys atvejai:

sistema neturi sprendimų;

sistema turi tiksliai vieną sprendimą;

Sistema turi be galo daug sprendimų.

2.4 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

Sprendimas. Tiesinių lygčių sistemą galima išspręsti pakeitimo metodu, kuris susideda iš to, kad bet kuri sistemos lygtis išreiškia vieną nežinomąjį kitais nežinomaisiais, o tada pakeičia šio nežinomo reikšmę likusiose lygtyse.

Iš pirmosios lygties išreiškiame: x = (8 - 3y) / 2. Šią išraišką pakeičiame antrąja lygtimi ir gauname lygčių sistemą

X \u003d (8 - 3y) / 2, 3 (8 - 3y) / 2 + 2y \u003d 7. Iš antrosios lygties gauname y \u003d 2. Atsižvelgiant į tai, iš pirmosios lygties x \u003d 1. Atsakymas: (1; 2) 2.5 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Sistema neturi sprendinių, nes negali būti tenkinamos dvi sistemos lygtys vienu metu (iš pirmosios lygties x + y = 3, o iš antrosios x + y = 3,5).

Atsakymas: sprendimų nėra.

2.6 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

Sprendimas. Sistema turi be galo daug sprendinių, nes antroji lygtis gaunama iš pirmosios, padauginus iš 2 (t. y. iš tikrųjų yra tik viena lygtis su dviem nežinomaisiais).

Atsakymas: be galo daug sprendimų.

2.7 pavyzdys. išspręsti lygčių sistemą

x + y - z = 2,

2x – y + 4z = 1,

Sprendimas. Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas patogu naudoti Gauso metodą, kuris susideda iš sistemos transformavimo į trikampę formą.

Pirmąją sistemos lygtį padauginame iš - 2 ir, sudėjus su antrąja lygtimi gautą rezultatą, gauname - 3y + 6z \u003d - 3. Šią lygtį galima perrašyti į y - 2z \u003d 1. Pridedant pirmąją lygtį su trečiuoju gauname 7y \u003d 7 arba y = 1.

Taigi sistema įgavo trikampę formą

x + y - z = 2,

Antroje lygtyje pakeitę y = 1, randame z = 0. Pirmojoje lygtyje pakeitę y =1 ir z = 0, randame x = 1. Atsakymas: (1; 1; 0) 2.8 pavyzdys. kokioms parametro reikšmėms lygčių sistema

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

turi be galo daug sprendimų? Sprendimas. Iš pirmosios lygties išreiškiame x:

x = - (a / 2)y + a / 2 +1.

Pakeitę šią išraišką į antrąją lygtį, gauname

(a + 1) (– (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

(a + 1) (a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1) = (a + 2) (4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Analizuodami paskutinę lygtį, pastebime, kad a = 3 ji turi formą 0y = 0, t.y. jis patenkinamas bet kokiomis y reikšmėmis. Atsakymas: 3.

Kvadratinės lygtys ir į jas redukuojančios lygtys.

Formos ax 2 + bx + c = 0 lygtis, kur a, b ir c yra kai kurie skaičiai (a0);

x yra kintamasis, vadinamas kvadratine lygtimi.

Kvadratinės lygties sprendimo formulė.

Pirma, mes padalijame abi lygties ax 2 + bx + c = 0 puses iš a – tai nepakeis jos šaknų. Norėdami išspręsti gautą lygtį

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

kairėje pusėje pasirinkite visą kvadratą

x 2 + (b / a) + (c / a) = (x 2 + 2 (b / 2a)x + (b / 2a) 2) - (b / 2a) 2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a)) 2 - (b 2) / (4a 2) + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - ((b 2 - 4ac) / (4a 2) )).

Trumpumo dėlei išraišką (b 2 - 4ac) žymime D. Tada gauta tapatybė įgauna formą

Galimi trys atvejai:

jei skaičius D yra teigiamas (D > 0), tai tokiu atveju galima paimti kvadratinę šaknį iš D ir įrašyti D kaip D = (D) 2 . Tada

D / (4a 2) = (D) 2 / (2a) 2 = (D / 2a) 2 , todėl tapatybė įgauna formą

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / 2a) 2 .

Pagal kvadratų skirtumo formulę gauname iš čia:

x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (D / 2a)) (x + (b / 2a) + (D / 2a)) =

= (x - ((-b + D) / 2a)) (x - ((- b - D) / 2a)).

Teorema: Jei tapatybė galioja

ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2),

tada kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0 X 1  X 2 turi dvi šaknis X 1 ir X 2, o X 1 \u003d X 2 - tik vieną šaknį X 1.

Remiantis šia teorema, iš anksčiau gautos tapatybės išplaukia, kad lygtis

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0,

taigi lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis:

X 1 \u003d (-b +  D) / 2a; X 2 \u003d (-b -  D) / 2a.

Taigi x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x - x1) (x - x2).

Paprastai šios šaknys rašomos viena formule:

kur b 2 - 4ac \u003d D.

jei skaičius D lygus nuliui (D = 0), tai tapatybė

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

įgauna formą x 2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 .

Iš to išplaukia, kad jei D = 0, lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi vieną daugybos 2 šaknį: X 1 = - b / 2a

3) Jei skaičius D yra neigiamas (D< 0), то – D >0, taigi ir išraiška

x 2 + (b / a) x + (c / a) = (x + (b / 2a)) 2 - (D / (4a 2))

yra dviejų dėmenų, iš kurių vienas yra neneigiamas, o kitas teigiamas, suma. Tokia suma negali būti lygi nuliui, todėl lygtis

x 2 + (b / a) x + (c / a) = 0

neturi tikrų šaknų. Lygtis ax 2 + bx + c = 0 taip pat nėra.

Taigi, norint išspręsti kvadratinę lygtį, reikia apskaičiuoti diskriminantą

D \u003d b 2 - 4ac.

Jei D = 0, tada kvadratinė lygtis turi unikalų sprendimą:

Jei D > 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis:

X 1 \u003d (-b + D) / (2a); X 2 \u003d (-b - D) / (2a).

Jeigu D< 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Jei vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai kvadratinę lygtį galima išspręsti neskaičiuojant diskriminanto:

b = 0; c  0; c/a<0; X1,2 = (-c / a)

b  0; c = 0; X1 = 0, X2 = -b / a.

Bendrosios kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 šaknys randamos pagal formulę

Kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas ties x 2 yra lygus 1, vadinama redukuota. Paprastai duotoji kvadratinė lygtis žymima taip:

x 2 + px + q = 0.

Vietos teorema.

Mes išvedėme tapatybę

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d (x - x1) (x - x2),

kur X 1 ir X 2 yra kvadratinės lygties ax 2 + bx + c =0 šaknys. Išplėskime skliaustus dešinėje šios tapatybės pusėje.

x 2 + (b / a)x + (c / a) \u003d x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 .

Iš to išplaukia, kad X 1 + X 2 = - b / a ir X 1 X 2 = c / a. Įrodėme tokią teoremą, kurią pirmą kartą nustatė prancūzų matematikas F. Vietas (1540 - 1603):

1 teorema (Vieta). Kvadratinės lygties šaknų suma lygi koeficientui X, paimtam su priešingu ženklu ir padalytam iš koeficiento, esančio X 2; šios lygties šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui, padalytam iš koeficiento X 2 .

2 teorema (atvirkščiai). Jei lygybės

X 1 + X 2 \u003d - b / a ir X 1 X 2 \u003d c / a,

tada skaičiai X 1 ir X 2 yra kvadratinės lygties ax 2 + bx + c = 0 šaknys.

komentuoti. Formulės X 1 + X 2 \u003d - b / a ir X 1 X 2 \u003d c / a išlieka teisingos net ir tuo atveju, kai lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0 turi vieną šaknį X 1 iš daugybos 2, jei įdedame į nurodytas formules X 2 = X 1 . Todėl visuotinai priimta, kad D = 0 lygtis ax 2 + bx + c = 0 turi dvi šaknis, kurios sutampa viena su kita.

Sprendžiant uždavinius, susijusius su Vietos teorema, pravartu naudotis ryšiais

(1 / X 1) + (1 / X 2) \u003d (X 1 + X 2) / X 1 X 2;

X 1 2 + X 2 2 \u003d (X 1 + X 2) 2 - 2 X 1 X 2;

X 1 / X 2 + X 2 / X 1 \u003d (X 1 2 + X 2 2) / X 1 X 2 \u003d ((X 1 + X 2) 2 - 2X 1 X 2) / X 1 X 2;

X 1 3 + X 2 3 = (X 1 + X 2) (X 1 2 - X 1 X 2 + X 2 2) =

\u003d (X 1 + X 2) ((X 1 + X 2) 2 - 3X 1 X 2).

3.9 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x 2 + 5x - 1 = 0.

Sprendimas. D = 25 – 42 (– 1) = 33 >0;

X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

Atsakymas: X 1 \u003d (- 5 + 33) / 4; X 2 \u003d (- 5 -33) / 4.

3.10 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 3 - 5x 2 + 6x = 0

Sprendimas. Paskaičiuokime kairę lygties pusę x(x 2 - 5x + 6) = 0,

taigi x \u003d 0 arba x 2 - 5x + 6 \u003d 0.

Išspręsdami kvadratinę lygtį, gauname X 1 \u003d 2, X 2 \u003d 3.

Atsakymas: 0; 2; 3.

3.11 pavyzdys.

x 3 - 3x + 2 = 0. Sprendimas. Perrašykime lygtį, įrašydami -3x \u003d - x - 2x, x 3 - x - 2x + 2 \u003d 0, o dabar sugrupuojame x (x 2 - 1) - 2 (x - 1) \u003d 0, ( x - 1) (x( x + 1) - 2) = 0,x - 1 = 0, x 1 = 1,x 2 + x - 2 = 0, x 2 = - 2, x 3 = 1. Atsakymas: x 1 = x 3 = 1, x 2 = - 2. 3.12 pavyzdys. Išspręskite 7 lygtį

(x - 1) (x - 3) (x - 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)Sprendimas. Raskime leistinų verčių diapazoną x:X + 2  0; x – 6  0; 2x – 7  0 arba x  – 2; x  6; x  3.5. Lygtį perkeliame į formą (7x - 14) (x 2 - 7x + 12) \u003d (14 - 4x) (x 2 - 4x - 12), atidarome skliaustus. 7x 3 - 49x 2 + 84x - 14x 2 + 98x - 168 + 4x 3 - 16x 2 - 48x - 14x 2 + 56x + 168 = 0,11x 3 - 93x 2 + 190x = 0,x (11x 2 - 903x) = 0,1. 011x2 – 93x + 190 = 0,93(8649-8360) 93 17 x 2,3 = = ,

Tie. x 1 = 5; x 2 = 38/11.

Rastos vertės atitinka ODZ.

Atsakymas: x 1 = 0; x 2 \u003d 5; x 3 \u003d 38/11.

3.13 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 6 - 5x 3 + 4 = 0

Sprendimas. Pažymėkite y = x 3 , tada pradinė lygtis įgauna formą

y 2 - 5y + 4 = 0, kurį išsprendę gauname Y 1 = 1; Y2=4.

Taigi pradinė lygtis yra lygi aibei

lygtys: x 3 \u003d 1 arba x 3 \u003d 4, t.y. X 1 \u003d 1 arba X 2 \u003d 3 4

Atsakymas: 1; 3 4.

3.14 pavyzdys. Išspręskite lygtį (x 3 - 27) / (x - 3) = 27

Sprendimas. Skaitiklį išskaidome į veiksnius (pagal kubelių skirtumo formulę):

Pranešimas

Vadovas: Kulabukhovas Sergejus Jurjevičius, fizinių ir matematikos mokslų kandidatas, papildomo ugdymo mokytojas, MOU DOD DTDM, Rostovas prie Dono.

1. Lygtys vadinamos 3 laipsnio simetrinės lygtys jei jie atrodo kaip
ax 3 + bx 2 + bx + a = 0.

Norint sėkmingai išspręsti tokio tipo lygtis, naudinga žinoti ir mokėti naudoti šias paprastas abipusių lygčių savybes:

A) Bet kuri nelyginio laipsnio abipusė lygtis visada turi šaknį, lygią -1.

Išties, jei kairėje pusėje esančius terminus sugrupuotume taip: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, tai yra, galima išimti bendrą koeficientą, t.y. (x + 1) (ax 2 + (b - a) x + a) \u003d 0, todėl
x + 1 \u003d 0 arba ax 2 + (b - a) x + a \u003d 0, pirmoji lygtis ir įrodo mus dominantį teiginį.

b) Abipusė lygtis neturi nulio šaknų.

V) Nelyginio laipsnio daugianarį dalijant iš (x + 1), koeficientas vėl yra grįžtamasis daugianario, ir tai įrodoma indukcija.

Pavyzdys.

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.

Sprendimas.

Pradinė lygtis būtinai turi šaknį x \u003d -1, todėl x 3 + 2x 2 + 2x + 1 padalijame iš (x + 1) pagal Hornerio schemą:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1) (x 2 + x + 1) = 0.

Kvadratinė lygtis x 2 + x + 1 = 0 neturi šaknų.

Atsakymas: -1.

2. Lygtys vadinamos 4-ojo laipsnio simetrinės lygtys jei jie atrodo kaip
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Sprendimo algoritmas panašios lygtys yra:

A) Padalinkite abi pradinės lygties puses iš x 2. Šis veiksmas nepraras šaknies, nes x \u003d 0 nėra pateiktos lygties sprendimas.

b) Naudodami grupavimą perkelkite lygtį į formą:

a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

V)Įveskite naują nežinomąjį: t = (x + 1/x).

Padarykime transformacijas: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Jei dabar išreiškiame x 2 + 1/x 2, tai t 2 - 2 = x 2 + 1/x 2.

G) Išspręskite gautą kvadratinę lygtį naujais kintamaisiais:

esant 2 + bt + c - 2a = 0.

e) Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

Pavyzdys.

6x 4 - 5x 3 - 38x 2 - 5x + 6 = 0.

Sprendimas.

6x 2 - 5x - 38 - 5 / x + 6 / x 2 \u003d 0.

6 (x 2 + 1 / x 2) - 5 (x + 1 / x) - 38 \u003d 0.

Įveskite t: pakeitimas (x + 1/x) = t. Pakeitimas: (x 2 + 1 / x 2) \u003d t 2 - 2, mes turime:

6 t 2 – 5 t – 50 = 0.

t = -5/2 arba t = 10/3.

Grįžkime prie x. Atlikę atvirkštinį pakeitimą, išsprendžiame dvi gautas lygtis:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 arba x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 arba x = 1/3.

Atsakymas: -2; -1/2; 1/3; 3.

Kai kurių tipų aukštesnio laipsnio lygčių sprendimo būdai

1. Lygtys, kurios atrodo kaip (x + a) n + (x + b) n = c, sprendžiami pakeitimu t = x + (a + b)/2. Šis metodas vadinamas simetrijos metodas.

Tokios lygties pavyzdys būtų (x + a) 4 + (x + b) 4 = c lygtis.

Pavyzdys.

(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.

Sprendimas.

Atliekame aukščiau minėtą pakeitimą:

t \u003d x + (3 + 1) / 2 \u003d x + 2, supaprastinus: x \u003d t - 2.

(t - 2 + 3) 4 + (t - 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t - 1) 4 = 272.

Pašalinę skliaustus naudodami formules, gauname:

t 4 + 4 t 3 + 6 t 2 + 4 t + 1 + t 4 - 4 t 3 + 6 t 2 - 4 t + 1 = 272.

2 t 4 + 12 t 2 - 270 = 0.

t 4 + 6t 2 - 135 = 0.

t 2 = 9 arba t 2 = -15.

Antroji lygtis neduoda šaknų, bet iš pirmosios gauname t = ±3.

Po atvirkštinio pakeitimo gauname x \u003d -5 arba x \u003d 1.

Atsakymas: -5; 1.

Norint išspręsti tokias lygtis, dažnai pasirodo, kad tai yra veiksminga ir kairiosios lygties pusės faktorizavimo metodas.

2. Formos lygtys (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, kur a + d = c + b.

Tokių lygčių sprendimo būdas yra iš dalies atidaryti skliaustus ir įvesti naują kintamąjį.

Pavyzdys.

(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 24.

Sprendimas.

Apskaičiuokite: 1 + 4 = 2 + 3. Sugrupuokite skliaustus poromis:

((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Pakeitę x 2 + 5x + 4 = t, gauname lygtį

t(t + 2) = 24, jis yra kvadratas:

t 2 + 2t - 24 = 0.

t = -6 arba t = 4.

Atlikę atvirkštinį pakeitimą, galime lengvai rasti pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: -5; 0.

3. Formos lygtys (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) \u003d Ax 2, kur skelbimas \u003d cb.

Sprendimo metodas susideda iš dalinio skliaustų atidarymo, abiejų dalių padalijimo iš x 2 ir kvadratinių lygčių rinkinio išsprendimo.

Pavyzdys.

(x + 12) (x + 2) (x + 3) (x + 8) = 4x 2.

Sprendimas.

Padauginus pirmuosius du ir paskutinius du skliaustus kairėje pusėje, gauname:

(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Padalinkite iš x 2 ≠ 0.

(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Pakeitę (x + 24/x) = t, gauname kvadratinę lygtį:

(t + 14) (t + 11) = 4;

t 2 + 25x + 150 = 0.

t=10 arba t=15.

Atlikdami atvirkštinį pakeitimą x + 24 / x \u003d 10 arba x + 24 / x \u003d 15, randame šaknis.

Atsakymas: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Išspręskite lygtį (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.

Sprendimas.

Šią lygtį iš karto sunku klasifikuoti ir pasirinkti sprendimo būdą. Todėl pirmiausia transformuojame naudodami kvadratų skirtumą ir kubelių skirtumą:

((3x + 5) 2 - 4x 2) + ((x + 6) 3 - 1) = 0. Tada, išėmę bendrą koeficientą, gauname paprastą lygtį:

(x + 5) (x 2 + 18x + 48) = 0.

Atsakymas: -5; -9±√33.

Užduotis.

Sudarykite trečiojo laipsnio daugianarį, kurio viena šaknis lygi 4, daugybinė 2, o šaknis lygi -2.

Sprendimas.

f(x)/((x - 4) 2 (x + 2)) = q(x) arba f(x) = (x - 4) 2 (x + 2) q(x).

Padauginę pirmuosius du skliaustus ir suvedę panašius terminus, gauname: f (x) \u003d (x 3 - 6x 2 + 32) q (x).

x 3 - 6x 2 + 32 yra trečiojo laipsnio daugianomas, todėl q (x) yra koks nors skaičius iš R(t.y. galioja). Tegul q(x) yra vienas, tada f(x) = x 3 - 6x 2 + 32.

Atsakymas: f (x) \u003d x 3 - 6x 2 + 32.

Ar turite kokių nors klausimų? Nežinote, kaip išspręsti lygtis?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!

tinklaraštis.svetainė, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Įvadas

Simetrija... yra idėja, per kurią žmogus šimtmečius bandė suvokti ir sukurti tvarką, grožį ir tobulumą.

Simetrijos samprata eina per visą žmonijos istoriją. Jis randamas jau žmogaus žinių ištakose. Jis atsirado dėl gyvo organizmo, būtent žmogaus, tyrinėjimo, o skulptoriai jį naudojo jau V amžiuje prieš Kristų. e.
Žodis „simetrija“ yra graikiškas. Tai reiškia „proporcingumą“, „proporcingumą“, dalių išdėstymo vienodumą. Jis plačiai naudojamas visose be išimties šiuolaikinio mokslo srityse.
Daugelis puikių žmonių pagalvojo apie šį modelį. Pavyzdžiui, L.N.Tolstojus sakė: „Stovėdamas prieš juodą lentą ir kreida ant jos piešdamas įvairias figūras, netikėtai šovė į galvą mintis: kodėl akiai aiški simetrija? Kas yra simetrija? Tai įgimtas jausmas. Kuo ji pagrįsta?
Išties, simetrija džiugina akį. Kas nesižavėjo gamtos kūrinių simetrija: lapais, gėlėmis, paukščiais, gyvūnais; arba žmogaus kūriniai: pastatai, technologijos, – visa tai, kas mus supa nuo vaikystės, kas siekia grožio ir harmonijos.
Simetrija (kita graikiška συμμετρία - „proporcingumas“), plačiąja prasme - nekintamumas bet kokių transformacijų metu. Taigi, pavyzdžiui, kūno sferinė simetrija reiškia, kad kūno išvaizda nepasikeis, jei jis erdvėje pasukamas savavališkais kampais (išlaikant vieną tašką). Dvišalė simetrija reiškia, kad dešinė ir kairė pusės atrodo vienodai tam tikros plokštumos atžvilgiu.
Simetrijos sutinkame visur – gamtoje, technikoje, mene, moksle. Atkreipiame dėmesį į, pavyzdžiui, drugelio ir klevo lapo simetriją, automobilio ir lėktuvo simetriją, eilėraščio ir muzikinės frazės ritminės konstrukcijos simetriją, ornamentų ir kraštinių simetriją, molekulių ir kristalų atominė struktūra. Simetrijos samprata apima visą šimtmečių senumo žmogaus kūrybiškumo istoriją. Jis randamas jau žmogaus žinių ištakose; jį plačiai naudoja visos be išimties šiuolaikinio mokslo sritys. Simetrijos principai vaidina svarbų vaidmenį fizikoje ir matematikoje, chemijoje ir biologijoje, inžinerijoje ir architektūroje, tapyboje ir skulptūroje, poezijoje ir muzikoje. Gamtos dėsniai, valdantys reiškinių paveikslą, neišsemiamą savo įvairove, savo ruožtu paklūsta simetrijos principams.

Tikslai:

Apsvarstykite simetrijos tipus ir tipus;

Išanalizuoti, kaip ir kur naudojama simetrija;

Apsvarstykite, kaip simetrija naudojama mokykliniame algebros kurse

Simetrija.
Žodis „simetrija“ turi dvejopą reikšmę. Tam tikra prasme simetriškas reiškia kažką labai proporcingo, subalansuoto; simetrija rodo tą daugelio dalių derinimo būdą, kurio pagalba jos sujungiamos į visumą. Antroji šio žodžio reikšmė yra pusiausvyra. Net Aristotelis kalbėjo apie simetriją kaip apie būseną, kuriai būdingas kraštutinumų santykis. Iš šio teiginio išplaukia, kad Aristotelis, ko gero, buvo arčiausiai vieno iš pagrindinių gamtos dėsnių – jos dvilypumo dėsnių – atradimo.
Būtina pabrėžti aspektus, be kurių simetrija neįmanoma:
1) objektas yra simetrijos nešėjas; kaip simetriški objektai gali veikti daiktai, procesai, geometrinės figūros, matematinės išraiškos, gyvi organizmai ir kt.

2) kai kurie objekto požymiai - dydžiai, savybės, santykiai, procesai, reiškiniai, kurie lieka nepakitę simetrijos transformacijų metu; jie vadinami invariantais arba invariantais.

3) (objekto) pokyčiai, dėl kurių objektas yra identiškas sau pagal nekintamus požymius; tokie pokyčiai vadinami simetrijos transformacijomis;

4) daikto savybė pagal pasirinktus požymius pavirsti savimi po atitinkamų jo pasikeitimų.

Taigi simetrija išreiškia kažko išsaugojimą su tam tikrais pakeitimais arba kažko išsaugojimą nepaisant pasikeitimo. Simetrija reiškia ne tik paties objekto, bet ir bet kokių jo savybių nekintamumą objekte atliekamų transformacijų atžvilgiu. Tam tikrų objektų nekintamumas gali būti stebimas įvairių operacijų – sukimų, vertimų, tarpusavio dalių keitimo, atspindžių ir kt. Šiuo atžvilgiu yra įvairių simetrijos tipų.

Asimetrija

Asimetrija yra simetrijos nebuvimas arba pažeidimas.
Architektūroje simetrija ir asimetrija yra du priešingi erdvinės formos reguliaraus organizavimo metodai. Asimetriškos kompozicijos plėtojant architektūrą atsirado kaip sudėtingų gyvenimo procesų ir aplinkos sąlygų derinių įkūnijimas.

Dissimetrija

Sulaužyta, iš dalies nesuderinta simetrija vadiname disimetrija .
Disimetrija yra reiškinys, plačiai paplitęs laukinėje gamtoje. Tai būdinga ir žmonėms. Žmogus yra nesimetriškas, nepaisant to, kad jo kūno kontūrai turi simetrijos plokštumą. Dissimetrija paveikia
geresnis vienos rankos valdymas, asimetriškas širdies ir daugelio kitų organų išsidėstymas, šių organų sandara.
Žmogaus kūno disimetrijos yra panašios į tikslią architektūros simetriją ir nuo jos nukrypimų. Dažniausiai jas lemia praktinė būtinybė, tai, kad funkcijų įvairovė netelpa į griežtų simetrijos dėsnių ribas. Kartais tokie nukrypimai sukelia ūmų emocinį poveikį.

^ Matematikoje ir gamtos moksluose aptinkami simetrijų tipai:

Dvišalė simetrija- veidrodinio atspindžio simetrija, kai objektas turi vieną simetrijos plokštumą, kurios atžvilgiu dvi jo pusės yra veidrodinės simetriškos. Gyvūnams dvišalė simetrija pasireiškia kairiosios ir dešiniosios kūno dalių panašumu arba beveik visišku tapatumu. Tokiu atveju visada atsiranda atsitiktinių nukrypimų nuo simetrijos (pavyzdžiui, skiriasi papiliarinės linijos, kraujagyslės šakojasi. Dažnai yra nedideli, bet reguliarūs išorinės struktūros skirtumai, o reikšmingesni skirtumai tarp dešinės ir kairės kūno pusės vidaus organų vieta.Pavyzdžiui, žinduolių širdis dažniausiai išsidėsčiusi asimetriškai, nukrypusi į kairę.

Gyvūnams dvišalės simetrijos atsiradimas evoliucijoje yra susijęs su šliaužiojimu palei substratą (išilgai rezervuaro dugno), dėl kurio atsiranda nugaros ir ventralinė, taip pat dešinė ir kairė kūno pusės. Apskritai tarp gyvūnų dvišalė simetrija yra ryškesnė aktyviai judriose formose nei sėsliuose augaluose.Dvišalė simetrija dažniausiai yra ne visas organizmas, o atskiros jo dalys – lapai ar žiedai. Botaniškai abipusiai simetriškos gėlės vadinamos zigomorfinėmis.

^ n-osios eilės simetrija- simetrija sukimosi 360 ° / n kampu aplink bet kurią ašį atžvilgiu. Aprašė grupė Zn.

Ašinė simetrija(radialinė simetrija, spindulių simetrija) – simetrijos forma, kai kūnas (arba figūra) sutampa su savimi, kai objektas sukasi aplink tam tikrą tašką ar liniją. Dažnai šis taškas sutampa su objekto simetrijos centru, tai yra tašku, kuriame jis yra
kerta begalinį skaičių dvišalės simetrijos ašių. Radialinę simetriją turi geometriniai objektai, tokie kaip apskritimas, rutulys, cilindras ar kūgis. Apibūdinta SO(2) grupės.

^ Sferinė simetrija- simetrija sukimosi trimatėje erdvėje atžvilgiu savavališkais kampais. Apibūdinta SO(3) grupės. Vietinė erdvės ar terpės sferinė simetrija dar vadinama izotropija.

^ Sukimosi simetrija- terminas, reiškiantis objekto simetriją visų arba kai kurių tinkamų m-dimensinės Euklido erdvės sukimų atžvilgiu.

^ Simetrija gyvūnams ir žmonėms.

Simetrija yra gyvybiškai svarbus ženklas, atspindintis gyvūno sandaros, gyvenimo būdo ir elgesio ypatumus. Formos simetrija būtina žuvims plaukti; paukštis skristi. Taigi simetrija gamtoje egzistuoja ne be priežasties: ji taip pat naudinga arba, kitaip tariant, tikslinga. Biologijoje simetrijos centre yra: gėlės, medūzos, jūros žvaigždės ir tt Simetrijos formų buvimą galima atsekti jau paprasčiausiose – vienaląstėse (blakstienėlės, amebos).Žmogaus kūnas yra pastatytas dvišalės simetrijos principu. Smegenys yra padalintos į dvi dalis. Visiškai laikantis bendros žmogaus kūno simetrijos, kiekvienas pusrutulis yra beveik tikslus kito veidrodinis vaizdas. Pagrindinių žmogaus kūno judesių ir jutimo funkcijų valdymas yra tolygiai paskirstytas tarp dviejų smegenų pusrutulių. Kairysis pusrutulis valdo dešinę smegenų pusę, o dešinysis – kairę. Tyrimai parodė, kad simetriškas veidas yra patrauklesnis. Tyrėjai taip pat teigia, kad idealių proporcijų veidas yra ženklas, kad jo savininko kūnas yra gerai pasirengęs kovoti su infekcijomis. Labai tikėtina, kad peršalimas, astma ir gripas atsitrauks prieš žmones, kurių kairioji pusė yra lygiai tokia pati, kaip dešinė. O drabužiuose žmogus taip pat, kaip taisyklė, stengiasi išlaikyti simetrijos įspūdį: dešinė rankovė atitinka kairę, dešinė koja – kairė. Striukės ir marškinių sagos yra tiksliai per vidurį, o jei nuo jo atsitraukia, tada simetriškais atstumais. Ir kartu kartais žmogus stengiasi pabrėžti, sustiprinti skirtumą tarp kairės ir dešinės. Viduramžiais vyrai kažkada puikavosi kelnaitės su įvairių spalvų kojomis (pavyzdžiui, vienos raudonos, o kitos juodos ar baltos). Bet
tokia mada visada trumpalaikė. Ilgą laiką išlieka tik taktiški, kuklūs nukrypimai nuo simetrijos.

Simetrija mene

Simetrija mene apskritai ir vizualiajame mene ypač kyla iš tikrovės, kupina simetriškai išdėstytų formų.
Simetriška kompozicijos organizacija pasižymi jos dalių pusiausvyra masės, tono, spalvos ir net formos atžvilgiu. Tokiais atvejais viena dalis yra beveik veidrodinis antrosios vaizdas. Simetriškose kompozicijose dažniausiai yra ryškus centras. Paprastai jis sutampa su paveikslo plokštumos geometriniu centru. Jei nykimo taškas yra išstumtas iš centro, viena iš dalių yra labiau apkrauta masės atžvilgiu arba vaizdas pastatytas įstrižai, visa tai informuoja apie kompozicijos dinamiškumą ir tam tikru mastu pažeidžia idealų balansą.
Simetrijos taisyklę naudojo senovės Graikijos skulptoriai. Pavyzdys yra Dzeuso ir Olimpijos šventyklos vakarinio frontono kompozicija. Jis pagrįstas lapitų (graikų) kova su kentaurais dievo Apolono akivaizdoje. Judėjimas palaipsniui didėja nuo kraštų iki centro. Jis pasiekia išraiškingumo ribą dviejų jaunų vyrų, kurie siūbavo į kentaurus, įvaizdyje. Augantis judesys, tarsi, iškart nutrūksta prie Apolono figūros, ramiai ir didingai stovinčios frontono centre.
Idėja apie prarastus V amžiaus prieš Kristų tapytojus. e. gali būti sudarytas iš senovės vazų tapybos ir Pompėjos freskų, įkvėptų, kaip tiki tyrinėtojai, klasikinės eros graikų meistrų darbų ...
Simetriškos kompozicijos buvo pastebėtos ir tarp IV-III a.pr.Kr. graikų meistrų. e. Tai galima spręsti pagal freskų kopijas. Pompėjos freskose pagrindinės figūros yra piramidinės kompozicijos centre, kuri išsiskiria simetrija.
Dailininkai dažnai griebdavosi simetrijos taisyklių, vaizduodami iškilmingus žmonių susirinkimus, paradus, susirinkimus didelėse salėse ir pan.
Daug dėmesio simetrijos taisyklei skyrė ankstyvojo Renesanso menininkai, tai liudija monumentalioji tapyba (pavyzdžiui, Giotto freskos). Aukštojo Renesanso laikotarpiu italų kompozicija pasiekė brandą. Pavyzdžiui, paveiksle „Šventoji Ana su Marija ir Kristaus kūdikiu“ Leonardo da Vinci tris figūras išdėsto į trikampį, nukreiptą į viršų. Apatiniame dešiniajame kampe jis duoda avinėlio, laikomo mažo Kristaus, figūrėlę. Viskas išdėstyta taip, kad šis trikampis tik spėjamas po tūrine-erdvine figūrų grupe.
Leonardo da Vinci Paskutinė vakarienė taip pat gali būti vadinama simetriška kompozicija. Šioje freskoje parodytas dramatiškas momentas, kai
Kristus pasakė savo mokiniams: „Vienas iš jūsų mane išduos“. Psichologinė apaštalų reakcija į šiuos pranašiškus žodžius sujungia veikėjus su kompoziciniu centru, kuriame yra Kristaus figūra. Vientisumo įspūdį iš šios įcentrinės kompozicijos dar labiau sustiprina tai, kad menininkas rodė reflektoriaus patalpą perspektyvoje su išnykusiu lygiagrečių linijų tašku lango viduryje, prieš kurį aiškiai nubrėžta Kristaus galva. Taigi žiūrovo žvilgsnis nevalingai nukreiptas į centrinę paveikslo figūrą.
Iš kūrinių, demonstruojančių simetrijos galimybes, galima įvardinti ir Rafaelio Marijos sužadėtuves, kur Renesansui būdingos kompozicijos technikos rado išbaigčiausią išraišką.
V. M. Vasnecovo paveikslas „Bogatyrs“ taip pat pastatytas simetrijos taisyklės pagrindu. Kompozicijos centre – Iljos Murometso figūra. Kairėje ir dešinėje, tarsi veidrodiniame vaizde, yra Alyosha Popovič ir Dobrynya Nikitich. Figūros išdėstytos palei paveikslo plokštumą ramiai sėdint ant arklių. Simetriška kompozicijos konstrukcija perteikia santykinio poilsio būseną. Kairės ir dešinės figūros nėra vienodos masiniu požiūriu, o tai lemia ideologinė autoriaus intencija. Tačiau abu jie yra mažiau galingi, palyginti su Murometo figūra, ir apskritai suteikia kompozicijai visišką pusiausvyrą.
Kompozicijos stabilumas leidžia žiūrovui pasitikėti herojų, Rusijos krašto gynėjų, nenugalimumu. Be to, „Bogatyruose“ perteikiama įtempto poilsio būsena ant perėjimo į veiksmą ribos. O tai reiškia, kad simetrija taip pat neša dinamiško judėjimo laike ir erdvėje užuomazgas.

Simetrija algebroje.

Paprasčiausios kvadratinės lygties šaknų simetrinės išraiškos yra Vietos teoremoje. Tai leidžia jas naudoti sprendžiant kai kurias su kvadratinėmis lygtimis susijusias problemas. Panagrinėkime keletą pavyzdžių.

1 pavyzdys:

Kvadratinė lygtis turi šaknis ir . Neišsprendę šios lygties, išreiškiame ir sumomis , . Išraiška yra simetriška ir atžvilgiu. Išreiškiame juos + ir , tada taikome Vieta teoremą.