Funkcijos kraštutinumas
2 apibrėžimas
Taškas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ tašku, jei šio taško kaimynystė yra tokia, kad visiems $x$ šioje kaimynystėje nelygybė $f(x)\le f(x_0) $ laikosi.
3 apibrėžimas
Taškas $x_0$ vadinamas maksimaliu funkcijos $f(x)$ tašku, jei šio taško kaimynystė yra tokia, kad visiems $x$ šioje kaimynystėje nelygybė $f(x)\ge f(x_0) $ laikosi.
Funkcijos ekstremumo sąvoka glaudžiai susijusi su funkcijos kritinio taško samprata. Leiskite mums pristatyti jo apibrėžimą.
4 apibrėžimas
$x_0$ vadinamas kritiniu funkcijos $f(x)$ tašku, jei:
1) $x_0$ - vidinis apibrėžimo srities taškas;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ arba neegzistuoja.
Ekstremalumo sąvokai galime suformuluoti teoremas dėl pakankamų ir būtinų jo egzistavimo sąlygų.
2 teorema
Pakankama sąlyga ekstremumui
Tegul taškas $x_0$ yra svarbus funkcijai $y=f(x)$ ir yra intervale $(a,b)$. Tegul kiekviename intervale $\left(a,x_0\right)\ ir\ (x_0,b)$ egzistuoja išvestinė $f"(x)$ ir palaiko pastovų ženklą. Tada:
1) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė yra $f"\left(x\right)>0$, o intervale $(x_0,b)$ išvestinė yra $f"\left( x\dešinė)
2) Jei intervale $(a,x_0)$ išvestinė $f"\left(x\right)0$, tai taškas $x_0$ yra mažiausias šios funkcijos taškas.
3) Jei ir intervale $(a,x_0)$ ir intervale $(x_0,b)$ išvestinė $f"\left(x\right) >0$ arba išvestinė $f"\left(x \dešinė)
Ši teorema pavaizduota 1 paveiksle.
1 pav. Pakankama sąlyga ekstremumams egzistuoti
Kraštutinių pavyzdžiai (2 pav.).
2 pav. Kraštutinių taškų pavyzdžiai
Ekstremumo funkcijos tyrimo taisyklė
2) Raskite išvestinę $f"(x)$;
7) Pagal 2 teoremą padarykite išvadas apie maksimumų ir minimumų buvimą kiekviename intervale.
Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas
Pirmiausia supažindinkime su didėjančių ir mažėjančių funkcijų apibrėžimais.
5 apibrėžimas
Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, didėja, jei bet kuriuose taškuose $x_1,x_2\in X$ ties $x_1
6 apibrėžimas
Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$, apibrėžta intervale $X$, mažėja, jei bet kuriuose $x_1f(x_2)$ taškuose $x_1,x_2\in X$.
Didinimo ir mažinimo funkcijos tyrimas
Galite ištirti didėjančias ir mažėjančias funkcijas naudodami išvestinę.
Norėdami ištirti funkciją didėjimo ir mažėjimo intervalams, turite atlikti šiuos veiksmus:
1) Raskite funkcijos $f(x)$ apibrėžimo sritį;
2) Raskite išvestinę $f"(x)$;
3) Raskite taškus, kuriuose galioja lygybė $f"\left(x\right)=0$;
4) Raskite taškus, kuriuose $f"(x)$ neegzistuoja;
5) Koordinačių tiesėje pažymėkite visus rastus taškus ir šios funkcijos apibrėžimo sritį;
6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename gautame intervale;
7) Padarykite išvadą: intervalais, kur $f"\left(x\right)0$ funkcija didėja.
Didinimo, mažinimo ir ekstremalių taškų buvimo funkcijų tyrimo problemų pavyzdžiai
1 pavyzdys
Ištirkite didinimo ir mažinimo funkciją bei didžiausių ir mažiausių taškų buvimą: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Kadangi pirmieji 6 taškai yra vienodi, pirmiausia atlikime juos.
1) Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ egzistuoja visuose apibrėžimo srities taškuose;
5) Koordinačių linija:
3 pav.
6) Nustatykite išvestinės $f"(x)$ ženklą kiekviename intervale:
\\, t.y. sinuso funkcija yra ribota. Funkcija nelyginė: sin(−x)=−sin x visiems x ∈ R. Funkcijos grafikas yra simetriškas pradžios atžvilgiu. 2 periodinė funkcija π : sin(x+2 π· k) = sin x, kur k ∈ Z visiems x ∈ R. sin x = 0, kai x = π·k, k ∈ Z. sin x > 0 (teigiamas) visiems x ∈ ( 2π k, π+2π·k), k ∈ Z. sin x< 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k, 2π+2π k), k ∈ Z.
Kosinuso funkcija
 |
||||||||||||||
Funkcijos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė R. Funkcijų reikšmių rinkinys yra segmentas [-1; 1], t.y. kosinuso funkcija yra ribota. Funkcija yra lyginė: cos(−x)=cos x visiems x ∈ R. Funkcija yra periodinė su mažiausiu teigiamu periodu 2 π
: cos(x+2 π·
k) = cos x, kur k∈ Z visiems x ∈ R.
|
Tangento funkcija
Kelios funkcijų reikšmės- visa skaičių eilutė, t.y. tangentas – funkcija neribotas.
Nelyginė funkcija: tg(-x)=-tg x
Funkcijos grafikas yra simetriškas OY ašiai.
Funkcija yra periodinė su mažiausiu teigiamu periodu π , t.y. tg(x+ π· k) = įdegis x, k ∈ Z visiems x iš apibrėžimo srities.
Kotangentinė funkcija
Kelios funkcijų reikšmės- visa skaičių eilutė, t.y. kotangentas – funkcija neribotas.
Nelyginė funkcija: ctg(-x)=-ctg x visiems x iš apibrėžimo srities.
Funkcijos grafikas yra simetriškas OY ašiai.
Funkcija yra periodinė su mažiausiu teigiamu periodu π , t.y. ctg(x+ π· k)=ctg x, k ∈ Z visiems x iš apibrėžimo srities.
| 20) Bendras funkcijos vaizdas | Transformacijos |
| y = f(x - b) | Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai x ašies į | b | vienetų
|
| y = f(x + b) |
|
| y = f(x) + m | Lygiagretus grafiko perkėlimas išilgai ordinačių ašies į | m | vienetų
|
| Grafiko atspindys | |
| y = f(- x) | ordinatės |
| y = - f(x) | Simetrinis grafiko atspindys ašies atžvilgiu abscisė. |
| Grafiko suspaudimas ir ištempimas | |
| y = f(kx) |
|
| y = kf(x) |
|
| Grafų transformacijos su moduliu | |
| y = | f(x) | |
|
| y = f(| x |) |
21)) Skaičių rinkinys, kurių kiekvienas turi savo numerį P (P = 1, 2, 3, ...), vadinama skaičių seka.
Atskiri sekos skaičiai vadinami jos nariais ir paprastai žymimi taip: pirmasis narys a 1, antra a 2 , .... P narys a n ir tt Viskas skaičių sekažymimas
a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n, ... arba ( a n}.
22) Aritmetinė progresija. Skaitinė seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, pridėtam prie pastovaus šios sekos skaičiaus d, paskambino aritmetinė progresija. Skaičius d paskambino progresijos skirtumas. Bet kuris narys aritmetinė progresija apskaičiuojamas pagal formulę:
a n = a 1 + d (n – 1) .
Pirmųjų n aritmetinės progresijos narių suma apskaičiuojamas taip:
Geometrinė progresija. Skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padauginta iš šios sekos skaičiaus konstantos q, paskambino geometrinis
progresija. Skaičius q paskambino progresijos vardiklis. Bet kuris narys geometrinė progresija apskaičiuojamas pagal formulę:
bn=b 1 qn- 1 .
Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma apskaičiuojamas taip:
Be galo mažėjanti geometrinė progresija yra begalinė geometrinė progresija, kurios vardiklis tenkina sąlygą.
Su neribotu padidinimu 
pirmieji be galo mažėjančios geometrinės progresijos nariai linkę į skaičių, vadinamą be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma.
) Funkcijos f(x), f′(x) išvestinė pati yra funkcija. Tai reiškia, kad jos išvestinę galime vadinti pirmosios eilės funkcijos f(x) išvestine. Funkcijos f(x) išvestinė vadinama antros eilės išvestine (arba antrasis vedinys).
Geometrinė reikšmė išvestinė. Išvestinė taške x 0 lygi nuolydis funkcijos grafiko liestinė y = f(x) Šiuo atveju.
Funkcijos grafiko liestinės lygtis: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a)
Fizinė prasmė išvestinė. Jei taškas juda išilgai x ašies ir jo koordinatė keičiasi pagal dėsnį x(t), tai taško momentinis greitis yra:
24)) Funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė
Algebrinės funkcijų sumos išvestinė išreiškiama tokia teorema.
Sumos išvestinė (skirtumas) dviejų diferencijuojamų funkcijų yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai (skirtumui):
Diferencijuojamų funkcijų baigtinės algebrinės sumos išvestinė lygi tai pačiai algebrinei terminų išvestinių sumai. Pavyzdžiui,
