Norint išspręsti kai kurias problemas, pravers trigonometrinių tapatybių lentelė, kuri leis daug lengviau atlikti funkcijų transformacijas:

Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės

Kampo alfa sinuso dalijimosi iš to paties kampo kosinuso koeficientas yra lygus šio kampo tangentei (1 formulė). Taip pat žiūrėkite paprasčiausių trigonometrinių tapatybių transformacijos teisingumo įrodymą.
Kampo alfa kosinuso dalijimosi iš to paties kampo sinuso koeficientas yra lygus to paties kampo kotangentui (2 formulė)
Kampo sekantas yra lygus vienam, padalytam iš to paties kampo kosinuso (3 formulė)
To paties kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi vienetui (4 formulė). taip pat žr. kosinuso ir sinuso kvadratų sumos įrodymą.
Vieneto ir kampo liestinės suma yra lygi vieneto ir šio kampo kosinuso kvadrato santykiui (5 formulė)
Vienetas ir kampo kotangentas yra lygus vieneto dalijimosi iš šio kampo sinuso kvadrato koeficientui (6 formulė)
To paties kampo liestinės ir kotangento sandauga lygi vienetui (7 formulė).

Trigonometrinių funkcijų neigiamų kampų (lyginių ir nelyginių) konvertavimas

Norėdami atsikratyti neigiamos kampo laipsnio matavimo reikšmės skaičiuojant sinusą, kosinusą ar liestinę, galite naudoti šias trigonometrines transformacijas (tapatybes), pagrįstus lyginių arba nelyginių trigonometrinių funkcijų principais.

Kaip matyta, kosinusas o sekantas yra lygi funkcija, sinusas, tangentas ir kotangentas yra nelyginės funkcijos.

Neigiamojo kampo sinusas yra lygus neigiamai to paties teigiamo kampo sinuso vertei (atėmus alfa sinusą).
Kosinusas „minusas alfa“ duos tokią pat reikšmę kaip ir kampo alfa kosinusas.
Tangentas minus alfa yra lygus minus tangentas alfa.

Dvigubo kampo mažinimo formulės (dvigubo kampo sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas)

Jei reikia padalyti kampą per pusę arba atvirkščiai, pereikite nuo dvigubo kampo į vieną, galite naudoti šias trigonometrines tapatybes:

Dvigubo kampo konversija (dvigubo kampo sinusas, dvigubo kampo kosinusas ir dvigubo kampo liestinė) į vieną įvyksta pagal šias taisykles:

Dvigubo kampo sinusas yra lygus vieno kampo sinuso ir kosinuso sandaugai

Dvigubo kampo kosinusas yra lygus skirtumui tarp vieno kampo kosinuso kvadrato ir šio kampo sinuso kvadrato

Dvigubo kampo kosinusas lygus vieno kampo kosinuso kvadratui, atėmus vieną, du kartus

Dvigubo kampo kosinusas lygus vienetui atėmus vieno kampo dvigubo sinuso kvadratą

Dvigubo kampo liestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra du kartus didesnis už vieno kampo liestinę, o vardiklis lygus vienetui atėmus vieno kampo kvadrato liestinę.

Dvigubo kampo kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra vieno kampo kotangento atėmus vienetą kvadratas, o vardiklis lygus dvigubam vieno kampo kotangentui

Universalios trigonometrinės pakeitimo formulės

Toliau pateiktos konvertavimo formulės gali būti naudingos, kai reikia padalyti trigonometrinės funkcijos argumentą (sin α, cos α, tg α) iš dviejų ir išraišką padalyti iki pusės kampo vertės. Iš α reikšmės gauname α/2 .

Šios formulės vadinamos universalaus trigonometrinio pakeitimo formulės. Jų vertė slypi tame, kad trigonometrinė išraiška jų pagalba sumažinama iki pusės kampo liestinės išraiškos, neatsižvelgiant į tai, kokios trigonometrinės funkcijos (sin cos tg ctg) iš pradžių buvo išraiškoje. Po to lygtį su pusės kampo liestine išspręsti daug lengviau.

Trigonometrinės pusės kampo transformacijos tapatybės

Toliau pateikiamos pusės kampo vertės trigonometrinio konvertavimo į sveikąjį skaičių formulės.
Trigonometrinės funkcijos α/2 argumento reikšmė sumažinama iki trigonometrinės funkcijos α argumento reikšmės.

Trigonometrinės formulės kampams pridėti

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Kampų sumos liestinė ir kotangentas alfa ir beta versijas galima konvertuoti pagal šias trigonometrinių funkcijų konvertavimo taisykles:

Kampų sumos liestinė yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra pirmojo ir antrojo kampo liestinės suma, o vardiklis yra vienas atėmus pirmojo kampo liestinės ir antrojo kampo liestinės sandaugą.

Kampų skirtumo liestinė yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis lygus skirtumui tarp sumažinto kampo liestinės ir atimamo kampo liestinės, o vardiklis yra vienas plius šių kampų liestinių sandauga.

Kampų sumos kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis lygus šių kampų kotangentų sandaugai plius vienas, o vardiklis lygus antrojo kampo kotangento ir pirmojo kampo kotangento skirtumui.

Kampų skirtumo kotangentas yra lygus trupmenai, kurios skaitiklis yra šių kampų kotangentų sandauga atėmus vieną, o vardiklis lygus šių kampų kotangentų sumai.

Šiuos trigonometrinius tapatumus patogu naudoti, kai reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, 105 laipsnių liestinę (tg 105). Jei jis pavaizduotas kaip tg (45 + 60), tuomet galite naudoti pateiktas identiškas kampų sumos liestinės transformacijas, po kurių tiesiog pakeiskite 45 liestinės ir liestinės lentelės reikšmes. 60 laipsnių.

Trigonometrinių funkcijų sumos arba skirtumo konvertavimo formulės

Išraiškos, vaizduojančios formos sin α + sin β sumą, gali būti konvertuojamos naudojant šias formules:

Trigubos kampo formulės – sin3α cos3α tg3α konvertuokite į sinα cosα tgα

Kartais reikia paversti trigubą kampo reikšmę, kad kampas α taptų trigonometrinės funkcijos argumentu, o ne 3α.
Šiuo atveju trigubo kampo transformavimui galite naudoti formules (tapatybes):

Trigonometrinių funkcijų sandaugos transformavimo formulės

Jei reikia konvertuoti skirtingų kampų skirtingų kampų sinusų sandaugą arba net sinuso ir kosinuso sandaugą, galite naudoti šiuos trigonometrinius tapatumus:


Tokiu atveju skirtingų kampų sinuso, kosinuso arba liestinės funkcijų sandauga bus paversta suma arba skirtumu.

Trigonometrinių funkcijų mažinimo formulės

Liejimo lentelę turite naudoti taip. Eilutėje pasirinkite mus dominančią funkciją. Stulpelis yra kampas. Pavyzdžiui, kampo sinusas (α+90) pirmos eilutės ir pirmo stulpelio sankirtoje, sužinome, kad sin (α+90) = cos α .

Kaip rasti sinusą?

Geometrijos studijos padeda lavinti mąstymą. Šis dalykas yra įtrauktas į mokymo programą. Gyvenime šio dalyko žinios gali praversti – pavyzdžiui, planuojant butą.

Iš istorijos

Geometrijos kurso metu taip pat tiriama trigonometrija, kuri tiria trigonometrines funkcijas. Trigonometrijoje tiriame kampo sinusus, kosinusus, tangentus ir kotangentus.

Bet kol kas pradėkime nuo paprasčiausio – sinuso. Pažvelkime atidžiau į pačią pirmąją koncepciją – kampo sinusą geometrijoje. Kas yra sinusas ir kaip jį rasti?

„Kampo sinuso“ ir sinusoidų sąvoka

Kampo sinusas yra priešingos kojos ir stačiojo trikampio hipotenuzės dydžių santykis. Tai tiesioginė trigonometrinė funkcija, kuri raštu parašyta kaip "sin (x)", kur (x) yra trikampio kampas.

Grafike kampo sinusas žymimas sinusoidu, turinčiu savo charakteristikas. Sinusoidas atrodo kaip ištisinė banguota linija, esanti tam tikrose koordinačių plokštumos ribose. Funkcija nelyginė, todėl koordinačių plokštumoje yra simetriška 0 atžvilgiu (išeina iš koordinačių pradžios).

Šios funkcijos sritis yra diapazone nuo -1 iki +1 Dekarto koordinačių sistemoje. Sinuso kampo funkcijos periodas yra 2 Pi. Tai reiškia, kad kas 2 Pi modelis kartojasi ir sinusinė banga pereina visą ciklą.

Sinusoidinė lygtis

• sin x = a / c
• kur a yra kojelė, priešinga trikampio kampui
• c - stačiojo trikampio hipotenuzė

Kampo sinuso savybės

1. sin(x) = - sin(x). Ši savybė parodo, kad funkcija yra simetriška, o jei reikšmės x ir (-x) yra atskirtos koordinačių sistemoje abiem kryptimis, tada šių taškų ordinatės bus priešingos. Jie bus vienodu atstumu vienas nuo kito.
2. Kitas šios funkcijos bruožas yra tai, kad funkcijos grafikas didėja atkarpoje [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], kur n yra bet koks sveikasis skaičius. Atkarpoje bus stebimas kampo sinuso grafiko sumažėjimas: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0, kai x yra diapazone (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Kampo sinusų reikšmės nustatomos specialiomis lentelėmis. Tokios lentelės buvo sukurtos siekiant palengvinti sudėtingų formulių ir lygčių skaičiavimo procesą. Jį paprasta naudoti, jame yra ne tik sin(x) funkcijos, bet ir kitų funkcijų reikšmės.

Be to, šių funkcijų standartinių reikšmių lentelė yra įtraukta į privalomą atminties tyrimą, kaip ir daugybos lentelė. Tai ypač pasakytina apie klases su fiziniu ir matematiniu šališkumu. Lentelėje galite pamatyti pagrindinių trigonometrijoje naudojamų kampų reikšmes: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 ir 360 laipsnių.

Taip pat yra lentelė, kurioje apibrėžiamos nestandartinių kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės. Naudodami skirtingas lenteles galite lengvai apskaičiuoti kai kurių kampų sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą.

Lygtys sudaromos naudojant trigonometrines funkcijas. Šias lygtis lengva išspręsti, jei žinote paprastas trigonometrines tapatybes ir funkcijų redukcijas, pvz., Sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) ir kt. Tokiems metimams taip pat buvo sudaryta atskira lentelė.

Kaip rasti kampo sinusą

Kai užduotis yra rasti kampo sinusą ir pagal sąlygą turime tik kampo kosinusą, liestinę arba kotangentą, galime lengvai apskaičiuoti, ko mums reikia, naudodami trigonometrinius tapatumus.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iš šios lygties galime rasti ir sinusą, ir kosinusą, priklausomai nuo to, kuri reikšmė nežinoma. Mes gauname trigonometrinę lygtį su vienu nežinomu:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / nuodėmė 2 x

Iš šios lygties galite rasti sinuso vertę, žinodami kampo kotangento reikšmę. Norėdami supaprastinti, pakeiskite sin 2 x = y, tada gausite paprastą lygtį. Pavyzdžiui, kotangento reikšmė yra 1, tada:

• 1 + 1 = 1 per metus
• 2 = 1 / m
• 2y = 1
• y = 1/2

Dabar atliekame atvirkštinį grotuvo pakeitimą:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Kadangi mes paėmėme standartinio kampo kotangento reikšmę (45 0), gautas vertes galima patikrinti pagal lentelę.

Jei turite liestinės reikšmę, bet jums reikia rasti sinusą, padės kita trigonometrinė tapatybė:

• tg x * ctg x = 1

Tai seka:

• ctg x = 1 / tg x

Norint rasti nestandartinio kampo sinusą, pavyzdžiui, 240 0, reikia naudoti kampo mažinimo formules. Žinome, kad π mums atitinka 180 0. Taigi, mes išreikšime savo lygybę naudodami standartinius kampus plėtimosi būdu.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Turime rasti: sin (180 0 + 60 0). Trigonometrijoje yra redukcijos formulės, kurios yra naudingos šiuo atveju. Tai yra formulė:

• sin (π + x) = - sin (x)

Taigi 240 laipsnių kampo sinusas yra:

• nuodėmė (180 0 + 60 0) = - nuodėmė (60 0) = - √3/2

Mūsų atveju x = 60 ir P atitinkamai 180 laipsnių. Reikšmę (-√3/2) radome iš standartinių kampų funkcijų verčių lentelės.

Tokiu būdu galima išskaidyti nestandartinius kampus, pavyzdžiui: 210 = 180 + 30.

Pagrindinės trigonometrijos formulės yra formulės, nustatančios ryšius tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų. Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra tarpusavyje susiję daugybe ryšių. Žemiau pateikiame pagrindines trigonometrines formules, o patogumui jas sugrupuojame pagal paskirtį. Naudodami šias formules galite išspręsti beveik bet kokią problemą iš standartinio trigonometrijos kurso. Iš karto pažymime, kad toliau pateikiamos tik pačios formulės, o ne jų išvedimas, kuriam bus skirti atskiri straipsniai.

Pagrindinės trigonometrijos tapatybės

Trigonometrinės tapatybės suteikia ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento, leidžiantį vieną funkciją išreikšti kita.

Trigonometrinės tapatybės

nuodėm

Šios tapatybės tiesiogiai išplaukia iš vienetinio apskritimo, sinuso (sin), kosinuso (cos), tangento (tg) ir kotangento (ctg) apibrėžimų.

Liejamos formulės

Liejimo formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkai ir savavališkai dideliais kampais prie darbo su kampais nuo 0 iki 90 laipsnių.

Liejamos formulės

nuodėm cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π , 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z =, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z , co sin π + α + 2 π z π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, = α sin α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 ϱ 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijos formulės yra trigonometrinių funkcijų periodiškumo pasekmė.

Trigonometrinės sudėties formulės

Sudėties formulės trigonometrijoje leidžia išreikšti kampų sumos arba skirtumo trigonometrinę funkciją šių kampų trigonometrinėmis funkcijomis.

Trigonometrinės sudėties formulės

nuodėmę t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Remiantis sudėjimo formulėmis, išvedamos kelių kampų trigonometrinės formulės.

Kelių kampų formulės: dviguba, triguba ir kt.

Dvigubo ir trigubo kampo formulės

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u002d α \u003d α 2 cos u003d 2 t g α 1 - t g 2 α su t g 2 α \u003d su t g 2 α - 1 2 su t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α 3 α, sinu 3 α 3 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α ct gt 1 - 23 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Pusės kampo formulės

Pusinio kampo formulės trigonometrijoje yra dvigubo kampo formulių pasekmė ir išreiškia ryšį tarp pagrindinių pusės kampo funkcijų ir viso kampo kosinuso.

Pusės kampo formulės

sin 2 α 2 = 1 – cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Sumažinimo formulės

Sumažinimo formulės

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Dažnai skaičiuojant yra nepatogu dirbti su sudėtingomis galiomis. Laipsnio mažinimo formulės leidžia sumažinti trigonometrinės funkcijos laipsnį nuo savavališkai didelio iki pirmojo. Štai jų bendras vaizdas:

Bendroji redukcijos formulių forma

net n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

už nelyginį n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Trigonometrinių funkcijų suma ir skirtumas

Trigonometrinių funkcijų skirtumas ir suma gali būti pavaizduoti kaip sandauga. Sinusų ir kosinusų skirtumų faktorinavimą labai patogu naudoti sprendžiant trigonometrines lygtis ir supaprastinant išraiškas.

Trigonometrinių funkcijų suma ir skirtumas

nuodėm 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Trigonometrinių funkcijų sandauga

Jei funkcijų sumos ir skirtumo formulės leidžia pereiti prie jų sandaugos, tai trigonometrinių funkcijų sandaugos formulės atlieka atvirkštinį perėjimą – nuo ​​sandaugos prie sumos. Nagrinėjamos sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formulės.

Trigonometrinių funkcijų sandaugos formulės

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (nuodėmė (α - β) + nuodėmė (α + β))

Universalus trigonometrinis pakeitimas

Visos pagrindinės trigonometrinės funkcijos – sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas – gali būti išreikštos pusės kampo liestine.

Universalus trigonometrinis pakeitimas

nuodėmės α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 g t g 2 α 2 c t 1 α 2 2 t g α 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Trigonometrinių funkcijų verčių lentelė

Pastaba. Šioje trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje kvadratinei šaknei žymėti naudojamas ženklas √. Trupmenai pažymėti – simbolis „/“.

taip pat žr naudingos medžiagos:

Dėl nustatant trigonometrinės funkcijos reikšmę, raskite jį tiesės, rodančios trigonometrinę funkciją, sankirtoje. Pavyzdžiui, 30 laipsnių sinusas - ieškome stulpelio su antrašte sin (sinusas) ir randame šios lentelės stulpelio sankirtą su eilute "30 laipsnių", jų sankirtoje skaitome rezultatą - vienas antra. Panašiai randame kosinusas 60 laipsnių, sinusas 60 laipsnių (dar kartą sin (sinuso) stulpelio ir 60 laipsnių eilutės sankirtoje randame reikšmę sin 60 = √3/2) ir kt. Lygiai taip pat randamos sinusų, kosinusų ir kitų „populiarių“ kampų tangentų reikšmės.

Pi sinusas, pi kosinusas, pi tangentas ir kiti kampai radianais

Žemiau esanti kosinusų, sinusų ir liestinių lentelė taip pat tinka norint rasti trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra pateikiami radianais. Norėdami tai padaryti, naudokite antrą kampo verčių stulpelį. Dėl to galite konvertuoti populiarių kampų vertę iš laipsnių į radianus. Pavyzdžiui, pirmoje eilutėje suraskime 60 laipsnių kampą ir po juo perskaitykime jo reikšmę radianais. 60 laipsnių yra lygus π/3 radianams.

Skaičius pi vienareikšmiškai išreiškia apskritimo perimetro priklausomybę nuo kampo laipsnio mato. Taigi pi radianai yra lygus 180 laipsnių.

Bet kurį skaičių, išreikštą pi (radianu), galima lengvai konvertuoti į laipsnius, pakeitus skaičių pi (π) 180.

Pavyzdžiai:
1. sine pi.
sin π = sin 180 = 0
taigi, pi sinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių sinusas ir lygus nuliui.

2. kosinusas pi.
cos π = cos 180 = -1
taigi, pi kosinusas yra toks pat kaip 180 laipsnių kosinusas ir yra lygus minus vienetui.

3. Tangentas pi
tg π = tg 180 = 0
taigi, pi liestinė yra tokia pati kaip 180 laipsnių liestinė ir lygi nuliui.

Sinuso, kosinuso, liestinės verčių lentelė kampams nuo 0 iki 360 laipsnių (dažnos reikšmės)

kampas α (laipsniai)	kampas α radianais (per pi)	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)	sek (sekantas)	priežastis (kosekantas)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Jei trigonometrinių funkcijų verčių lentelėje vietoj funkcijos reikšmės nurodomas brūkšnys (liestinė (tg) 90 laipsnių, kotangentė (ctg) 180 laipsnių), tada tam tikrai laipsnio mato vertei kampas, funkcija neturi apibrėžtos reikšmės. Jei brūkšnelio nėra, langelis tuščias, todėl norimos reikšmės dar neįvedėme. Domimės, kokių užklausų kreipiasi į mus vartotojai ir papildo lentelę naujomis reikšmėmis, nepaisant to, kad dabartinių duomenų apie dažniausiai pasitaikančių kampų reikšmių kosinusų, sinusų ir tangentų vertes pakanka daugeliui problemų išspręsti. problemų.

Populiariausių kampų trigonometrinių funkcijų sin, cos, tg verčių lentelė
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 laipsnių
(skaitinės reikšmės "pagal Bradis lenteles")

kampo vertė α (laipsniais)	kampo α reikšmė radianais	nuodėmė (sinusas)	cos (kosinusas)	tg (liestinė)	ctg (kotangentas)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos yra pagrindinės trigonometrijos – matematikos šakos – kategorijos ir yra neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Norint turėti šį matematikos mokslą, reikia įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išlavintas erdvinis mąstymas. Štai kodėl trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų moksleiviams ir studentams. Norėdami juos įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.

Trigonometrijos sąvokos

Norėdami suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas, pirmiausia turite nuspręsti, kas yra stačiakampis trikampis ir apskritimo kampas ir kodėl su jais susieti visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai. Trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą dažnai naudojo architektūros, navigacijos, meno, astronomijos žmonės. Atitinkamai, tyrinėdami ir analizuodami šio paveikslo savybes, žmonės priėjo prie atitinkamų jo parametrų santykio skaičiavimo.

Pagrindinės kategorijos, susijusios su stačiakampiais trikampiais, yra hipotenuzė ir kojos. Hipotenuzė yra trikampio kraštinė, kuri yra priešinga stačiajam kampui. Atitinkamai, kojos yra kitos dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.

Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos dalis, kuri nėra mokoma mokykloje, tačiau mokslininkai ją naudoja taikomuosiuose moksluose, tokiuose kaip astronomija ir geodezija. Sferinės trigonometrijos trikampio ypatybė yra ta, kad jo kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių.

Trikampio kampai

Stačiakampiame trikampyje kampo sinusas yra kojos, esančios priešingos norimam kampui, santykis su trikampio hipotenuze. Atitinkamai, kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada turi mažesnę reikšmę nei viena, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.

Kampo liestinė yra vertė, lygi priešingos kojos ir gretimos norimo kampo kojos santykiui arba sinuso ir kosinuso santykiui. Savo ruožtu kotangentas yra norimo kampo gretimos kojos ir priešingos kakteto santykis. Kampo kotangentą taip pat galima gauti padalijus vienetą iš liestinės vertės.

vieneto ratas

Vienetinis apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys lygus vienetui. Toks apskritimas konstruojamas Dekarto koordinačių sistemoje, kai apskritimo centras sutampa su pradžios tašku, o pradinė spindulio vektoriaus padėtis nustatoma pagal teigiamą X ašies kryptį (abscisių ašį). Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisės ir ordinatės koordinates. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir numetę nuo jo statmeną į abscisių ašį, gauname stačiakampį trikampį, suformuotą spinduliu į pasirinktą tašką (žymime jį raide C), statmeną nubrėžtą X ašis (susikirtimo taškas žymimas raide G) ir abscisių ašies segmentas tarp pradžios (taškas žymimas raide A) ir susikirtimo taško G. Gautas trikampis ACG yra stačiakampis trikampis, įrašytas apskritimas, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampą tarp apskritimo spindulio AC ir abscisių ašies segmento su žymėjimu AG apibrėžiame kaip α (alfa). Taigi, cos α = AG/AC. Atsižvelgiant į tai, kad AC yra vienetinio apskritimo spindulys ir jis lygus vienetui, paaiškėja, kad cos α=AG. Panašiai sin α=CG.

Be to, žinant šiuos duomenis, galima nustatyti apskritimo taško C koordinatę, nes cos α=AG, o sin α=CG, tai reiškia, kad taškas C turi duotas koordinates (cos α; sin α). Žinodami, kad liestinė yra lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tg α \u003d y / x ir ctg α \u003d x / y. Atsižvelgiant į kampus neigiamoje koordinačių sistemoje, galima apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti neigiamos.

Skaičiavimai ir pagrindinės formulės

Trigonometrinių funkcijų reikšmės

Atsižvelgdami į trigonometrinių funkcijų per vienetinį apskritimą esmę, galime išvesti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės pateiktos žemiau esančioje lentelėje.

Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės

Lygtys, kuriose po trigonometrinės funkcijos ženklu yra nežinoma reikšmė, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės su reikšme sin x = α, k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Tapatybės su reikšme cos x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Tapatybės su reikšme tg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Tapatybės, kurių reikšmė ctg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Liejamos formulės

Ši pastovių formulių kategorija žymi metodus, kuriais galite pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, ty konvertuoti bet kokios reikšmės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą į atitinkamus kampo rodiklius. intervalas nuo 0 iki 90 laipsnių, kad būtų patogiau skaičiuoti.

Kampo sinuso funkcijų mažinimo formulės atrodo taip:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Kampo kosinusui:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip vertė (π/2 ± a) arba (3π/2 ± a), funkcijos reikšmė pasikeičia:

• iš nuodėmės į cos;
• iš cos į nuodėmę;
• nuo tg iki ctg;
• nuo ctg iki tg.

Funkcijos reikšmė lieka nepakitusi, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ± a) arba (2π ± a).

Antra, sumažintos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių buvo teigiamas, toks ir lieka. Tas pats pasakytina apie neigiamas funkcijas.

Papildymo formulės

Šios formulės išreiškia dviejų sukimosi kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes pagal jų trigonometrines funkcijas. Kampai paprastai žymimi α ir β.

Formulės atrodo taip:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β.

Dvigubo ir trigubo kampo formulės

Dvigubo ir trigubo kampo trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvesta iš papildymo formulių:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α – 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Perėjimas nuo sumos prie produkto

Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), supaprastinus šią formulę, gauname tapatybę sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Panašiai sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Perėjimas nuo produkto prie sumos

Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į sandaugą tapatybių:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Sumažinimo formulės

Šiose tapatybėse sinuso ir kosinuso kvadratinės ir kubinės galios gali būti išreikštos daugybinio kampo pirmojo laipsnio sinusu ir kosinusu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universalus pakaitalas

Universaliosios trigonometrinės pakeitimo formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestine.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), o x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 – tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), o x \u003d π + 2πn.

Ypatingi atvejai

Toliau pateikiami konkretūs paprasčiausių trigonometrinių lygčių atvejai (k yra bet koks sveikasis skaičius).

Privatus sine:

sin x reikšmė	x reikšmė
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk arba 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk arba -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk arba 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk arba -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk arba 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk arba -2π/3 + 2πk

Kosinuso koeficientai:

cos x vertė	x reikšmė
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privatus liestine:

tg x reikšmė	x reikšmė
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangentiniai koeficientai:

ctg x vertė	x reikšmė
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremos

Sinuso teorema

Yra dvi teoremos versijos – paprasta ir išplėstinė. Paprastoji sinuso teorema: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šiuo atveju a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ yra atitinkamai priešingi kampai.

Išplėstinė sinuso teorema savavališkam trikampiui: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas nurodytas trikampis, spindulį.

Kosinuso teorema

Tapatybė rodoma taip: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas kraštinei a.

Tangento teorema

Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgio. Kraštinės pažymėtos a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Liestinės teoremos formulė: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangentės teorema

Į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį susieja su jo kraštinių ilgiu. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C yra jų priešingi kampai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusės perimetras, tai tokios tapatybės laikyti:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Programos

Trigonometrija yra ne tik teorinis mokslas, susijęs su matematinėmis formulėmis. Jo savybes, teoremas ir taisykles praktikoje naudoja įvairios žmogaus veiklos šakos – astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechanikos inžinerija, matavimo darbai, kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija ir daugelis kitų.

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kuriomis galite matematiškai išreikšti santykį tarp kampų ir trikampio kraštinių ilgių ir per tapatybes, teoremas ir taisykles rasti norimus dydžius.