ონლაინ ლოგიკური განტოლებების ამოხსნა კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ლოგიკა. ლოგიკური ფუნქციები. განტოლებების ამოხსნა

ნოსკინი ანდრეი ნიკოლაევიჩი,
კომპიუტერული მეცნიერების მასწავლებელი
უმაღლესი კვალიფიკაციის კატეგორია,
სამხედრო მეცნიერებათა კანდიდატი, ასოცირებული პროფესორი
GBOU ლიცეუმი No. 1575, მოსკოვი

ოპტიმიზებული რუკების მეთოდი 23 პრობლემის გადასაჭრელად KIM ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან კომპიუტერულ მეცნიერებაში და ICT-ში

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის KIM-ის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანაა 23-ე პრობლემა, რომელშიც თქვენ უნდა იპოვოთ ლოგიკური ცვლადების მნიშვნელობების სხვადასხვა ნაკრების რაოდენობა, რომლებიც აკმაყოფილებენ მითითებულ პირობას.
ეს ამოცანა ალბათ ყველაზე მეტადაა რთული ამოცანა KIM ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა ინფორმატიკასა და ICT-ში. როგორც წესი, ამას უმკლავდება გამომცდელთა არაუმეტეს 5% (1).
სტუდენტების ასეთი მცირე პროცენტი, რომლებმაც დაასრულეს ეს დავალება, აიხსნება შემდეგით:
- მოსწავლეებმა შეიძლება აირიონ (დაივიწყონ) ლოგიკური მოქმედებების ნიშნები;
- მათემატიკური შეცდომები გამოთვლების შესრულების პროცესში;
- შეცდომები გამოსავლის ძიებისას მსჯელობაში;
- შეცდომები ლოგიკური გამონათქვამების გამარტივების პროცესში;
- მასწავლებლები გვირჩევენ ამ პრობლემის გადაჭრას ყველა სამუშაოს დასრულების შემდეგ, რადგან ამის ალბათობაა
შეცდომები ძალიან დიდია და ამოცანის „წონა“ მხოლოდ ერთი ძირითადი წერტილია.
გარდა ამისა, ზოგიერთ მასწავლებელს თავადაც უჭირს ამ ტიპის პრობლემის გადაჭრა და ამიტომ ცდილობს ბავშვებთან უფრო მარტივი პრობლემების გადაჭრას.
ასევე ართულებს სიტუაციას, რომ ამ ბლოკში არის დიდი რაოდენობასხვადასხვა ამოცანები და შეუძლებელია შაბლონური გადაწყვეტის არჩევა.
ამ სიტუაციის გამოსასწორებლად პედაგოგიური საზოგადოება სრულყოფს პრობლემების გადაჭრის ძირითად ორ მეთოდს ამ ტიპის: გამოსავალი ბიტის ჯაჭვების (2) და რუკების მეთოდის (3) გამოყენებით.
ამ მეთოდების დახვეწის (ოპტიმიზაციის) აუცილებლობა განპირობებულია იმით, რომ ამოცანები მუდმივად იცვლება როგორც სტრუქტურაში, ასევე ცვლადების რაოდენობაში (მხოლოდ ერთი ტიპის ცვლადი X, ორი ტიპის ცვლადი X და Y, სამი ტიპი: X, Y. , ზ).
პრობლემების გადაჭრის ამ მეთოდების დაუფლების სირთულეს ადასტურებს ის ფაქტი, რომ K.Yu-ს ვებგვერდზე. პოლიაკოვი, ამ ტიპის პრობლემის 38 ანალიზია (4). ზოგიერთი ანალიზი იძლევა პრობლემის ერთზე მეტ გადაწყვეტას.
ბოლო დროს KIM ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში კომპიუტერულ მეცნიერებაში არის პრობლემები X და Y ცვლადების ორი ტიპით.
მე გავაუმჯობესე ჩვენების მეთოდი და მოვუწოდებ ჩემს სტუდენტებს გამოიყენონ გაუმჯობესებული მეთოდი.
ეს იძლევა შედეგს. ჩემი სტუდენტების პროცენტი, რომლებიც უმკლავდებიან ამ დავალებას, 43%-მდე მერყეობს. როგორც წესი, ყოველწლიურად მე-11 კლასიდან 25-დან 33-მდე ადამიანი აბარებს ერთიან სახელმწიფო გამოცდას კომპიუტერულ მეცნიერებაში.
ორი ტიპის ცვლადთან დაკავშირებული პრობლემების გაჩენამდე მოსწავლეები ძალიან წარმატებით იყენებდნენ რუკების მეთოდს, მაგრამ ლოგიკურ გამოხატულებაში Y-ის გამოჩენის შემდეგ დავიწყე იმის შემჩნევა, რომ ბავშვების პასუხები ტესტებს აღარ ემთხვეოდა. აღმოჩნდა, რომ მათ არ იცოდნენ, თუ როგორ უნდა შექმნან რუკების ცხრილი ახალი ტიპის ცვლადით. შემდეგ გამიჩნდა აზრი, რომ მოხერხებულობისთვის, მთელი გამოხატულება უნდა შემცირდეს ერთ ტიპის ცვლადზე, როგორც ეს მოსახერხებელია ბავშვებისთვის.
მე მივცემ ამ ტექნიკას უფრო დეტალურად. მოხერხებულობისთვის განვიხილავ მას (4-ში) მოცემული ლოგიკური გამონათქვამების სისტემის მაგალითის გამოყენებით.
რამდენი სხვადასხვა გადაწყვეტილებებიაქვს ლოგიკური განტოლებების სისტემა

(x 1 ^ y 1)=(¬x 2 ვ ¬ წ 2 )
(x 2 ^ y 2)= (¬ x 3 ვ ¬ წ 3 )
...
(x 5 ^ y 5) = (¬ x 6 ვ ¬ წ 6 )

სადx 1 , …, x 6 , წ 1 , …, წ 6 , - ლოგიკური ცვლადები? პასუხს არ სჭირდება ცვლადის მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომლებისთვისაც ეს თანასწორობაა. პასუხად, თქვენ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.
გამოსავალი:
1. ლოგიკური განტოლებათა სისტემის ანალიზიდან ვხედავთ, რომ არსებობს 6 ცვლადი Xდა 6 ცვლადი უ. ვინაიდან რომელიმე ამ ცვლადს შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა (0 და 1), ჩვენ ვცვლით ამ ცვლადებს იმავე ტიპის 12 ცვლადით, მაგალითად Z.
2. ახლა მოდით გადავიწეროთ სისტემა იმავე ტიპის ახალი ცვლადებით. ამოცანის სირთულე იქნება ცვლადების ჩანაცვლებისას ფრთხილად შენიშვნების გაკეთება.

(z 1 ^ z 2)= (¬z 3ვ¬ ზ 4 )
(z 3 ^ z 4)= (¬ ზ 5 ვ¬ ზ 6 )
...
(z 9 ^ z 10) = (¬ ზ 11 ვ¬ ზ 12)

3. ავაშენოთ ცხრილი, რომელშიც გავივლით ყველა ვარიანტს ზ 1 , ზ 2 , ზ 3 , ზ 4 , ვინაიდან პირველ ლოგიკურ განტოლებაში ოთხი ცვლადია, ცხრილს ექნება 16 მწკრივი (16=2 4); ამოიღეთ ასეთი მნიშვნელობები ცხრილიდან ზ 4 , რომლის პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი (გადახაზული რიცხვები).


0	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1
1	0	0	0
			1
		1	0
			1
	1	0	0
			1
		1	0
			1

4. ცხრილის გაანალიზებისას ვაშენებთ წესს ცვლადების წყვილის (მაგალითად, წყვილის ზ 1 ზ 2 =00 შეესაბამებაწყვილი ზ 3 ზ 4 = 11) .

5. შეავსეთ ცხრილი იმ ცვლადების წყვილის რაოდენობის გამოთვლით, რომელთა ამოხსნაც სისტემას აქვს.

6. შეკრიბეთ ყველა შედეგი: 9 + 9 + 9 + 27 = 54
7. პასუხი: 54.
ზემოაღნიშნული ოპტიმიზებული მეთოდოლოგია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის KIM-ის 23-ე პრობლემის გადაჭრის საშუალებას აძლევს სტუდენტებს დაებრუნებინათ ნდობა და წარმატებით გადაეჭრათ ამ ტიპის პრობლემა.

ლიტერატურა:

1. FIPI. მეთოდური რეკომენდაციებიმასწავლებლებისთვის, მომზადებული 2015 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მონაწილეთა მიერ დაშვებული ტიპიური შეცდომების ანალიზის საფუძველზე საინფორმაციო მეცნიერებაში და ისტ-ში. წვდომის რეჟიმი: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf

2. კ.იუ. პოლიაკოვი, მ.ა. როიტბერგი.ლოგიკური განტოლებათა სისტემები: ამონახსნი ბიტის სტრიქონების გამოყენებით. ჟურნალი ინფორმატიკა, No12, 2014, გვ. 4-12.გამომცემლობა "პირველი სექტემბერი", მოსკოვი.
3. ე.ა. მირონჩიკი, ჩვენების მეთოდი.ჟურნალი ინფორმატიკა, No10, 2013, გვ. 18-26. გამომცემლობა "პირველი სექტემბერი", მოსკოვი.

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, სადაც J, K, L, M, N არის ლოგიკური ცვლადები?

ახსნა.

გამოთქმა (N ∨ ¬N) მართალია ნებისმიერი N-ისთვის, შესაბამისად

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

გამოვიყენოთ უარყოფა ლოგიკური განტოლების ორივე მხარეს და გამოვიყენოთ დე მორგანის კანონი ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. მივიღებთ ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

ლოგიკური ჯამი უდრის 1-ს, თუ მისი შემადგენელი დებულებებიდან ერთი მაინც უდრის 1-ს. შესაბამისად, მიღებული განტოლება კმაყოფილდება ლოგიკური ცვლადების ნებისმიერი კომბინაციით, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც განტოლებაში შემავალი ყველა სიდიდე 0-ის ტოლია. 4 ცვლადი შეიძლება იყოს 1 ან 0-ის ტოლი, ამიტომ ყველა შესაძლო კომბინაციაა 2·2·2·2 = 16. მაშასადამე, განტოლებას აქვს 16 −1 = 15 ამონახსნები.

გასათვალისწინებელია, რომ ნაპოვნი 15 გამოსავალი შეესაბამება ამ ორიდან რომელიმეს შესაძლო ღირებულებები N ლოგიკური ცვლადის მნიშვნელობები, ამიტომ თავდაპირველ განტოლებას აქვს 30 ამონახსნი.

პასუხი: 30

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

სადაც J, K, L, M, N არის ლოგიკური ცვლადები?

პასუხს არ სჭირდება J, K, L, M და N მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომლებისთვისაც ეს თანასწორობაა. პასუხად, თქვენ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.

ახსნა.

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს A → B = ¬A ∨ B და ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

განვიხილოთ პირველი ქვეფორმულა:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

განვიხილოთ მეორე ქვეფორმულა

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

განვიხილოთ მესამე ქვეფორმულა

1) M → J = 1 ამიტომ,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

გავაერთიანოთ:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 შესაბამისად 4 ხსნარი.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

გავაერთიანოთ:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L შესაბამისად 4 ხსნარი.

გ) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

პასუხი: 4 + 4 = 8.

პასუხი: 8

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

სადაც K, L, M, N არის ლოგიკური ცვლადები? პასუხს არ სჭირდება K, L, M და N მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომლებისთვისაც ეს თანასწორობა მოქმედებს. პასუხად თქვენ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.

ახსნა.

მოდით გადავწეროთ განტოლება ოპერაციებისთვის უფრო მარტივი აღნიშვნის გამოყენებით:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) "იმპლიკაციური" ოპერაციის ჭეშმარიტების ცხრილიდან (იხ. პირველი ამოცანა) გამომდინარეობს, რომ ეს თანასწორობა მართალია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამავე დროს

K + L = 1 და L M N = 0

2) პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მინიმუმ ერთი ცვლადი, K ან L, უდრის 1-ს (ან ორივე ერთად); ასე რომ, განვიხილოთ სამი შემთხვევა

3) თუ K = 1 და L = 0, მაშინ მეორე ტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი M და N; ვინაიდან არსებობს ორი ლოგიკური ცვლადის 4 კომბინაცია (00, 01, 10 და 11), ჩვენ გვაქვს 4 განსხვავებული ამონახსნი

4) თუ K = 1 და L = 1, მაშინ მეორე თანასწორობა მოქმედებს M · N = 0-ისთვის; არის 3 ასეთი კომბინაცია (00, 01 და 10), გვაქვს კიდევ 3 გამოსავალი

5) თუ K = 0, მაშინ L = 1 (პირველი განტოლებიდან); ამ შემთხვევაში, მეორე თანასწორობა დაკმაყოფილებულია, როდესაც M · N = 0; არის 3 ასეთი კომბინაცია (00, 01 და 10), გვაქვს კიდევ 3 გამოსავალი

6) ჯამში ვიღებთ 4 + 3 + 3 = 10 ხსნარს.

პასუხი: 10

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

ახსნა.

გამოთქმა მართალია სამ შემთხვევაში, როდესაც (K ∧ L) და (M ∧ N) უდრის 01, 11, 10, შესაბამისად.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N უდრის 1-ს და K და L არის ყველაფერი, გარდა ერთდროულად 1-ისა. აქედან გამომდინარე, არსებობს 3 ამონახსნი.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 ხსნარი.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 ხსნარი.

პასუხი: 7.

პასუხი: 7

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

სადაც X, Y, Z, P არის ლოგიკური ცვლადები? პასუხს არ სჭირდება მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომელთათვისაც ეს თანასწორობაა. პასუხად, თქვენ მხოლოდ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.

ახსნა.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

ლოგიკური OR მცდარია მხოლოდ ერთ შემთხვევაში: როდესაც ორივე გამონათქვამი მცდარია.

აქედან გამომდინარე,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

აქედან გამომდინარე, განტოლების მხოლოდ ერთი გამოსავალია.

პასუხი: 1

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

სადაც K, L, M, N არის ლოგიკური ცვლადები? პასუხს არ სჭირდება K, L, M და N მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომლებისთვისაც ეს თანასწორობაა. პასუხად, თქვენ მხოლოდ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.

ახსნა.

ლოგიკური და მართალია მხოლოდ ერთ შემთხვევაში: როცა ყველა გამოთქმა მართალია.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

თითოეული განტოლება იძლევა 3 ამონახსანს.

განვიხილოთ განტოლება A ∧ B = 1, თუ ორივე A და B იღებენ ნამდვილ მნიშვნელობებს თითოეულში სამ შემთხვევაში, მაშინ საერთო ჯამში განტოლებას აქვს 9 ამონახსნი.

ამიტომ პასუხი არის 9.

პასუხი: 9

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

სადაც A, B, C, D არის ლოგიკური ცვლადები?

პასუხს არ სჭირდება A, B, C, D მნიშვნელობების ყველა სხვადასხვა ნაკრების ჩამოთვლა, რომლებისთვისაც ეს თანასწორობაა. პასუხად, თქვენ უნდა მიუთითოთ ასეთი კომპლექტების რაოდენობა.

ახსნა.

ლოგიკური "OR" არის ჭეშმარიტი, როდესაც მინიმუმ ერთი განცხადება არის ჭეშმარიტი.

(D ∧ ¬D)= 0 ნებისმიერი D-სთვის.

აქედან გამომდინარე,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, რომელიც გვაძლევს 3 შესაძლო ამოხსნას თითოეული D-სთვის.

(D ∧ ¬ D)= 0 ნებისმიერი D, რომელიც გვაძლევს ორ ამონახსანს (D = 1-ისთვის, D = 0).

აქედან გამომდინარე: მთლიანი გადაწყვეტილებები 2*3 = 6.

სულ 6 გამოსავალი.

პასუხი: 6

რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს განტოლებას?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

ახსნა.

გამოვიყენოთ უარყოფა განტოლების ორივე მხარეს:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

ლოგიკური OR მართალია სამ შემთხვევაში.

ვარიანტი 1.

K ∧ L ∧ M = 1, შემდეგ K, L, M = 1 და ¬L ∧ M ∧ N = 0. N არის თვითნებური, ანუ 2 ამონახსნი.

ვარიანტი 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, შემდეგ N, M = 1; L = 0, K ნებისმიერი, ანუ 2 გამოსავალი.

ამიტომ პასუხი არის 4.

პასუხი: 4

A, B და C არის მთელი რიცხვები, რომლებისთვისაც განცხადება მართალია

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

რას უდრის B, თუ A = 45 და C = 43?

ახსნა.

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) ეს მარტივი განცხადებები დაკავშირებულია ∧ ოპერაციით (AND, კავშირი), ანუ ისინი ერთდროულად უნდა შესრულდეს;

3) ¬(A = B)=1-დან მაშინვე გამოდის, რომ A B;

4) დავუშვათ, რომ A > B, მაშინ მეორე პირობიდან ვიღებთ 1→(B > C)=1; ეს გამოთქმა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ B > C = 1;

5) ამიტომ გვაქვს A > B > C, მხოლოდ რიცხვი 44 შეესაბამება ამ მდგომარეობას;

6) ყოველი შემთხვევისთვის, მოდი ასევე შევამოწმოთ ვარიანტი A 0 →(B > C)=1;

ეს გამოთქმა მართალია ნებისმიერი B-სთვის; ახლა ჩვენ ვუყურებთ მესამე პირობას და მივიღებთ

ეს გამოთქმა შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ C > B, და აქ გვაქვს წინააღმდეგობა, რადგან არ არსებობს ისეთი რიცხვი B, რომლისთვისაც C > B > A.

პასუხი: 44.

პასუხი: 44

შექმენით სიმართლის ცხრილი ლოგიკური ფუნქციისთვის

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

რომელშიც A არგუმენტის მნიშვნელობების სვეტი არის 27 რიცხვის ორობითი წარმოდგენა, B არგუმენტის მნიშვნელობების სვეტი არის ნომერი 77, არგუმენტის C მნიშვნელობების სვეტი არის ნომერი 120. ნომერი სვეტში იწერება ზემოდან ქვემოდან ყველაზე მნიშვნელოვანიდან ყველაზე ნაკლებად მნიშვნელოვანამდე (ნულოვანი ნაკრების ჩათვლით). გადაიყვანეთ X ფუნქციის მნიშვნელობების შედეგად მიღებული ორობითი წარმოდგენა ათობითი რიცხვების სისტემაში.

ახსნა.

მოდით დავწეროთ განტოლება ოპერაციებისთვის უფრო მარტივი აღნიშვნის გამოყენებით:

1) ეს არის გამოხატულება სამი ცვლადით, ასე რომ იქნება ხაზები ჭეშმარიტების ცხრილში; ამრიგად, A, B და C ცხრილის სვეტების ასაგებად გამოყენებული რიცხვების ორობითი წარმოდგენა უნდა შედგებოდეს 8 ციფრისგან.

2) გადაიყვანეთ რიცხვები 27, 77 და 120 ორობით სისტემაში, დაუყონებლივ დაამატეთ ნულის 8 ციფრი რიცხვების დასაწყისში.

3) ნაკლებად სავარაუდოა, რომ თქვენ შეძლებთ დაუყოვნებლივ ჩაწეროთ X ფუნქციის მნიშვნელობები თითოეული კომბინაციისთვის, ამიტომ მოსახერხებელია ცხრილში დამატებითი სვეტების დამატება შუალედური შედეგების გამოსათვლელად (იხ. ცხრილი ქვემოთ)

ა	IN	თან
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) შეავსეთ ცხრილის სვეტები:

ა	IN	თან					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

მნიშვნელობა არის 1 მხოლოდ იმ ხაზებში, სადაც A = B

მნიშვნელობა არის 1 იმ ხაზებში, სადაც B ან C = 1

მნიშვნელობა არის 0 მხოლოდ იმ ხაზებში, სადაც A = 1 და B + C = 0

მნიშვნელობა არის წინა სვეტის ინვერსია (0 იცვლება 1-ით, ხოლო 1 იცვლება 0-ით)

X-ის შედეგი (ბოლო სვეტი) არის ორი სვეტის ლოგიკური ჯამი და

5) პასუხის მისაღებად, ჩაწერეთ ბიტები X სვეტიდან ზემოდან ქვემოდან:

6) გადაიყვანეთ ეს რიცხვი ათობითი სისტემაში:

პასუხი: 171

რა არის უდიდესი X მთელი რიცხვი, რომლისთვისაც ჭეშმარიტია დებულება (10 (X+1)·(X+2))?

ახსნა.

განტოლება არის მოქმედება ორ მიმართებას შორის:

1) რა თქმა უნდა, აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე მეთოდი, როგორც მაგალითში 2208, მაგრამ თქვენ უნდა გადაჭრათ კვადრატული განტოლებები(არ მინდა...);

2) გაითვალისწინეთ, რომ პირობით ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ მთელი რიცხვები, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვცადოთ როგორმე გარდაქმნას ორიგინალური გამოხატულება, მივიღოთ ექვივალენტური განცხადება (ჩვენ საერთოდ არ გვაინტერესებს ფესვების ზუსტი მნიშვნელობები!);

3) განვიხილოთ უტოლობა: ცხადია, ეს შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი რიცხვი;

4) ადვილია იმის შემოწმება, რომ დომენში განცხადება არის ჭეშმარიტი ყველა მთელი რიცხვისთვის, ხოლო დომენში - ყველა რიცხვისთვის (იმისთვის, რომ არ დაბნეული იყოს, უფრო მოსახერხებელია არა მკაცრი უტოლობების გამოყენება, და ნაცვლად. და );

5) ამიტომ, მთელი რიცხვებისთვის ის შეიძლება შეიცვალოს ექვივალენტური გამოსახულებით

6) გამონათქვამის ჭეშმარიტების სფერო არის ორი უსასრულო ინტერვალის გაერთიანება;

7) ახლა განვიხილოთ მეორე უტოლობა: აშკარაა, რომ ის ასევე შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი რიცხვი;

8) დომენში განცხადება მართალია ყველა მთელი რიცხვისთვის, ხოლო დომენში - ყველა რიცხვისთვის, შესაბამისად მთელი რიცხვებისთვის ის შეიძლება შეიცვალოს ექვივალენტური გამოსახულებით

9) გამოხატვის ჭეშმარიტების დომენი არის დახურული ინტერვალი;

10) მოცემული გამოთქმა ჭეშმარიტია ყველგან, გარდა იმ ადგილებისა, სადაც და ;

11) გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მნიშვნელობა აღარ არის შესაფერისი, რადგან იქ და, ანუ, იმპლიკაცია იძლევა 0-ს;

12) 2-ის ჩანაცვლებისას, (10 (2+1) · (2+2)), ან 0 → 0, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას.

ასე რომ პასუხი არის 2.

პასუხი: 2

რა არის ყველაზე დიდი X მთელი რიცხვი, რომლისთვისაც ეს განცხადება მართალია

(50 (X+1)·(X+1))?

ახსნა.

მოდით გამოვიყენოთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია და გამოვხატოთ გამონათქვამი:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

ლოგიკური OR არის ჭეშმარიტი, როდესაც მინიმუმ ერთი ლოგიკური განცხადება არის ჭეშმარიტი. ორივე უტოლობის ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ ჩვენ ვხედავთ, რომ ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლისთვისაც ერთი მათგანი მაინც დაკმაყოფილებულია არის 7 (სურათზე, მეორე უტოლობის დადებითი ამონახვა ნაჩვენებია ყვითლად, ხოლო პირველი ლურჯად).

პასუხი: 7

მიუთითეთ K, L, M, N ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებზეც არის ლოგიკური გამოხატულება

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

ყალბი. ჩაწერეთ პასუხი 4 სიმბოლოსგან შემდგარი სტრიქონის სახით: K, L, M და N ცვლადების მნიშვნელობები (ამ თანმიმდევრობით). ასე, მაგალითად, 1101 სტრიქონი შეესაბამება იმას, რომ K=1, L=1, M=0, N=1.

ახსნა.

დავალების დუბლიკატი 3584.

პასუხი: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

ახსნა.

მოდით გამოვიყენოთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

გამოვიყენოთ უარყოფა განტოლების ორივე მხარეს:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

გადავიყვანოთ:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

ამიტომ, M = 0, N = 0, ახლა განვიხილოთ (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

იქიდან, რომ M = 0, N = 0, გამოდის, რომ M ∧ L = 0, შემდეგ ¬K ∧ L = 1, ანუ K = 0, L = 1.

პასუხი: 0100

მიუთითეთ K, L, M, N ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც არის ლოგიკური გამოხატულება

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

ყალბი. ჩაწერეთ თქვენი პასუხი ოთხი სიმბოლოს სტრიქონში: K, L, M და N ცვლადების მნიშვნელობები (ამ თანმიმდევრობით). ასე, მაგალითად, 1101 სტრიქონი შეესაბამება იმას, რომ K=1, L=1, M=0, N=1.

ახსნა.

მოდით დავწეროთ განტოლება ოპერაციების უფრო მარტივი აღნიშვნის გამოყენებით (პირობა „გამოხატვა მცდარია“ ნიშნავს, რომ ის ტოლია ლოგიკური ნულისა):

1) პირობის ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გამონათქვამი მცდარი უნდა იყოს მხოლოდ ცვლადების ერთი ნაკრებისთვის

2) "იმპლიკაციური" ოპერაციის სიმართლის ცხრილიდან გამომდინარეობს, რომ ეს გამოთქმა მცდარია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამავე დროს

3) პირველი ტოლობა (ლოგიკური ნამრავლი 1-ის ტოლია) დაკმაყოფილებულია თუ და მხოლოდ მაშინ და ; აქედან გამომდინარეობს (ლოგიკური ჯამი ნულის ტოლია), რაც შეიძლება მოხდეს მხოლოდ მაშინ, როცა ; ამრიგად, ჩვენ უკვე განვსაზღვრეთ სამი ცვლადი

4) მეორე პირობიდან, , for და ვიღებთ .

დუბლირებს ამოცანას

პასუხი: 1000

მიუთითეთ ლოგიკური ცვლადების მნიშვნელობები P, Q, S, T, რომლებზეც არის ლოგიკური გამოხატულება

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) არის მცდარი.

ჩაწერეთ პასუხი ოთხი სიმბოლოს სტრიქონში: P, Q, S, T ცვლადების მნიშვნელობები (ამ თანმიმდევრობით).

ახსნა.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 გამოვიყენოთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

პასუხი: 0100

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

ახსნა.

ლოგიკური ან მცდარია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე განცხადება მცდარია.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

მოდით გამოვიყენოთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია პირველი გამონათქვამისთვის:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

განვიხილოთ მეორე გამოთქმა:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (იხ. პირველი გამოხატვის შედეგი) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

პასუხი: 1001.

პასუხი: 1001

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

მართალია. ჩაწერეთ თქვენი პასუხი ოთხი სიმბოლოს სტრიქონში: K, L, M და N ცვლადების მნიშვნელობები (ამ თანმიმდევრობით). ასე, მაგალითად, 1101 სტრიქონი შეესაბამება იმას, რომ K=1, L=1, M=0, N=1.

ახსნა.

ლოგიკური "AND" მართალია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე განცხადება მართალია.

1) (K → M) = 1 გამოიყენეთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 გამოიყენეთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია: ¬K ∨ ¬M = 1

აქედან გამომდინარეობს, რომ K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 გამოიყენეთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 იქიდან, რომ K = 0 მივიღებთ:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

პასუხი: 0011

ცნობილია, რომ X, Y და Z მთელი რიცხვებისთვის სწორია შემდეგი განცხადება:

(Z რისი ტოლია Z, თუ X=25 და Y=48?

ახსნა.

რიცხვების ჩანაცვლების შემდეგ მივიღებთ, რომ Z = 47.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ეს რთული განცხადება შედგება სამი მარტივისგან

1) (Z 2) ეს მარტივი განცხადებები დაკავშირებულია ∧ ოპერაციით (AND, კავშირი), ანუ ისინი ერთდროულად უნდა შესრულდეს.

3) ¬(Z+1 24-დან და ¬(Z+1 47-დან.

4)-დან (Z Z პასუხი: 47.

პასუხი: 47

A, B და C არის მთელი რიცხვები, რომლებისთვისაც შემდეგი განცხადება მართალია:

(C რა არის C-ის მნიშვნელობა, თუ A=45 და B=18?

ახსნა.

მოდით ჩავანაცვლოთ რიცხვები გამოსახულებაში:

1) (C (C 2) ¬(C+1, C ≥ 44.

3) ¬(C+1, C ≥ 17.

2) და 1)-დან გამომდინარეობს, რომ C

პასუხი: 44

¬(A = B) ∧ ((B A)) ∧ ((A 2C))

რა არის A-ს მნიშვნელობა, თუ C = 8 და B = 18?

ახსნა.

1) ¬(A = B) = 1, ანუ A ≠ 18 = 1.

2) ((B A)) გამოიყენეთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია: (18 > A) ∨ (16 > A) = 1

3) (A 2C) გამოიყენეთ იმპლიკაციური ტრანსფორმაცია: (A > 18) ∨ (A > 16) = 1

2) და 3)-დან გამომდინარეობს, რომ (18 > A) და (A > 16), რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში წარმოიქმნება წინააღმდეგობა: A = 17.

პასუხი: 17

A, B და C არის მთელი რიცხვები, რომლებისთვისაც განცხადება მართალია

¬(A = B) ∧ ((A > B) → (C = B)) ∧ ((B > A) → (C = A))

რა არის B-ის მნიშვნელობა, თუ A = 45 და C = 18?

ახსნა.

ლოგიკური "AND" მართალია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა განცხადება მართალია.

თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვადასხვა გზებილოგიკური განტოლებების სისტემების ამოხსნა. ეს არის შემცირება ერთ განტოლებამდე, სიმართლის ცხრილის აგება და დაშლა.

ამოცანა:ამოხსენით ლოგიკური განტოლებათა სისტემა:

განვიხილოთ შემცირების მეთოდი ერთ განტოლებამდე . ეს მეთოდი გულისხმობს ლოგიკური განტოლებების ტრანსფორმაციას ისე, რომ მათი მარჯვენა მხარეები ტოლი იყოს ჭეშმარიტების მნიშვნელობის (ანუ 1). ამისათვის გამოიყენეთ ლოგიკური უარყოფის ოპერაცია. შემდეგ, თუ განტოლებები შეიცავს რთულ ლოგიკურ ოპერაციებს, ჩვენ მათ ვცვლით ძირითადი ოპერაციებით: "AND", "OR", "NOT". შემდეგი ნაბიჯი არის განტოლებების გაერთიანება ერთ, სისტემის ეკვივალენტად, ლოგიკური ოპერაციის "AND" გამოყენებით. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გადააკეთოთ მიღებული განტოლება ლოგიკური ალგებრის კანონების საფუძველზე და მიიღოთ კონკრეტული გადაწყვეტასისტემები.

გამოსავალი 1:გამოიყენეთ ინვერსია პირველი განტოლების ორივე მხარეს:

წარმოვიდგინოთ მნიშვნელობა ძირითადი ოპერაციების "OR" და "NOT" მეშვეობით:

ვინაიდან განტოლებების მარცხენა მხარეები 1-ის ტოლია, ჩვენ შეგვიძლია გავაერთიანოთ ისინი "AND" ოპერაციის გამოყენებით ერთ განტოლებაში, რომელიც ორიგინალური სისტემის ექვივალენტურია:

ჩვენ ვხსნით პირველ ფრჩხილს დე მორგანის კანონის მიხედვით და მიღებულ შედეგს გარდაქმნით:

მიღებულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: A =0, B=0 და C=1.

შემდეგი მეთოდი არის სიმართლის ცხრილების აგება . ვინაიდან ლოგიკურ სიდიდეებს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა აქვთ, შეგიძლიათ უბრალოდ გაიაროთ ყველა ვარიანტი და იპოვოთ მათ შორის ის, რისთვისაც დაკმაყოფილებულია განტოლებების მოცემული სისტემა. ანუ ვაშენებთ ერთს ზოგადი მაგიდაჭეშმარიტება სისტემის ყველა განტოლებისთვის და იპოვნეთ ხაზი საჭირო მნიშვნელობებით.

გამოსავალი 2:მოდით შევქმნათ სიმართლის ცხრილი სისტემისთვის:








0	0	1	1	0	1

ხაზი, რომლისთვისაც დავალების პირობები დაკმაყოფილებულია, მონიშნულია თამამად. ასე რომ, A=0, B=0 და C=1.

გზა დაშლა . იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ დავაფიქსიროთ ერთ-ერთი ცვლადის მნიშვნელობა (დააყენოთ ის 0 ან 1-ის ტოლი) და ამით გავამარტივოთ განტოლებები. შემდეგ შეგიძლიათ დააფიქსიროთ მეორე ცვლადის მნიშვნელობა და ა.შ.

გამოსავალი 3:მოდით A = 0, შემდეგ:

პირველი განტოლებიდან ვიღებთ B = 0, ხოლო მეორედან - C = 1. სისტემის ამოხსნა: A = 0, B = 0 და C = 1.

კომპიუტერულ მეცნიერებაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ძალიან ხშირად საჭიროა ლოგიკური განტოლებების სისტემის ამონახსნების რაოდენობის დადგენა, თავად ამონახსნების გარეშეც არსებობს ამისთვის გარკვეული მეთოდები. ლოგიკური განტოლებათა სისტემის ამონახსნების რაოდენობის პოვნის მთავარი გზააცვლადების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, თქვენ უნდა გაამარტივოთ თითოეული განტოლება მაქსიმალურად, ლოგიკური ალგებრის კანონების საფუძველზე, შემდეგ კი შეცვალოთ განტოლებების რთული ნაწილები ახალი ცვლადებით და დაადგინოთ ამონახსნების რაოდენობა. ახალი სისტემა. შემდეგი, დაუბრუნდით ჩანაცვლებას და განსაზღვრეთ გადაწყვეტილებების რაოდენობა.

ამოცანა:რამდენი ამონახსნი აქვს განტოლებას (A →B) + (C →D) = 1? სადაც A, B, C, D არის ლოგიკური ცვლადები.

გამოსავალი:შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები: X = A →B და Y = C →D. ახალის გათვალისწინებით ცვლადი განტოლებადაიწერება სახით: X + Y = 1.

დისიუნქცია მართებულია სამ შემთხვევაში: (0;1), (1;0) და (1;1), ხოლო X და Y არის მინიშნებები, ანუ ის მართალია სამ შემთხვევაში და მცდარია ერთში. ამრიგად, შემთხვევა (0;1) შეესაბამება პარამეტრების სამ შესაძლო კომბინაციას. შემთხვევა (1;1) – შეესატყვისება საწყისი განტოლების პარამეტრების ცხრა შესაძლო კომბინაციას. ასე რომ, სულ შესაძლო გადაწყვეტილებებიამ განტოლების 3+9=15.

ლოგიკური განტოლებათა სისტემის ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრის შემდეგი გზაა ბინარული ხე. განვიხილოთ ამ მეთოდითმაგალითით.

ამოცანა:რამდენი განსხვავებული ამონახსნი აქვს ლოგიკურ განტოლებათა სისტემას:

განტოლებათა მოცემული სისტემა უდრის განტოლებას:

(x 1 → x 2 )*(x 2 → x 3 )*…*(x მ -1 → x მ) = 1.

დავუშვათ, რომ x 1 - მართალია, მაშინ პირველი განტოლებიდან ვიღებთ ამას x 2 ასევე მართალია, მეორედან - x 3 =1 და ასე შემდეგ სანამ x მ= 1. ეს ნიშნავს, რომ m ერთეულების სიმრავლე (1; 1; …; 1) არის სისტემის ამოხსნა. დაე, ახლავე x 1 =0, მაშინ პირველი განტოლებიდან გვაქვს x 2 =0 ან x 2 =1.

როცა x 2 true, მივიღებთ, რომ დარჩენილი ცვლადები ასევე ჭეშმარიტია, ანუ სიმრავლე (0; 1; ...; 1) არის სისტემის ამოხსნა. ზე x 2 =0 ჩვენ ამას მივიღებთ x 3 =0 ან x 3 = და ასე შემდეგ. ბოლო ცვლადის გაგრძელებით, აღმოვაჩენთ, რომ განტოლების ამონახსნები არის ცვლადების შემდეგი ნაკრები (m +1 ამონახსნი, თითოეული ამონახსნი შეიცავს ცვლადების m მნიშვნელობებს):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

ეს მიდგომა კარგად არის ილუსტრირებული ბინარული ხის აგებით. შესაძლო გადაწყვეტილებების რაოდენობა არის აგებული ხის სხვადასხვა ტოტების რაოდენობა. ადვილი მისახვედრია, რომ ის m +1-ის ტოლია.

	ხე	გადაწყვეტილებების რაოდენობა
x 1
x 2
x 3
		…

მსჯელობისას სირთულეების შემთხვევაში კვლევა და მშენებლობაგადაწყვეტილებები, რომლითაც შეგიძლიათ მოძებნოთ გამოსავალიგამოყენებით სიმართლის ცხრილები, ერთი ან ორი განტოლებისთვის.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა სახით:

და მოდით შევქმნათ სიმართლის ცხრილი ცალკე ერთი განტოლებისთვის:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

მოდით შევქმნათ ჭეშმარიტების ცხრილი ორი განტოლებისთვის:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

ლოგიკური განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდები

კირგიზოვა ე.ვ., ნემკოვა ა.ე.

ლესოსიბირსკის პედაგოგიური ინსტიტუტი -

ციმბირის ფედერალური უნივერსიტეტის ფილიალი, რუსეთი

თანმიმდევრულად აზროვნების, დამაჯერებლად მსჯელობის, ჰიპოთეზების აგების და ნეგატიური დასკვნების უარყოფის უნარს თავისით არ ავითარებს ეს უნარი ლოგიკის მეცნიერების მიერ. ლოგიკა არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მეთოდებს ზოგიერთი განცხადების სიმართლის ან სიცრუის დასადგენად სხვა განცხადებების ჭეშმარიტების ან მცდარი საფუძველზე.

ამ მეცნიერების საფუძვლების დაუფლება შეუძლებელია ლოგიკური პრობლემების გადაჭრის გარეშე. ახალ სიტუაციაში ცოდნის გამოყენების უნარების განვითარების ტესტირება ხორციელდება ჩაბარებით. კერძოდ, ეს არის გადაწყვეტილების მიღების უნარი ლოგიკური პრობლემები. ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში B15 ამოცანები გაზრდილი სირთულის ამოცანებია, რადგან ისინი შეიცავს ლოგიკური განტოლებების სისტემებს. ლოგიკური განტოლებების სისტემების ამოხსნის სხვადასხვა გზა არსებობს. ეს არის ერთ განტოლებამდე შემცირება, სიმართლის ცხრილის აგება, დაშლა, განტოლებების თანმიმდევრული ამოხსნა და ა.შ.

ამოცანა:ამოხსენით ლოგიკური განტოლებათა სისტემა:

განვიხილოთ შემცირების მეთოდი ერთ განტოლებამდე . ეს მეთოდი გულისხმობს ლოგიკური განტოლებების ტრანსფორმაციას ისე, რომ მათი მარჯვენა მხარეები ტოლი იყოს ჭეშმარიტების მნიშვნელობის (ანუ 1). ამისათვის გამოიყენეთ ლოგიკური უარყოფის ოპერაცია. შემდეგ, თუ განტოლებები შეიცავს რთულ ლოგიკურ ოპერაციებს, ჩვენ მათ ვცვლით ძირითადი ოპერაციებით: "AND", "OR", "NOT". შემდეგი ნაბიჯი არის განტოლებების გაერთიანება ერთ, სისტემის ეკვივალენტად, ლოგიკური ოპერაციის "AND" გამოყენებით. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული განტოლება ლოგიკური ალგებრის კანონების საფუძველზე და მიიღოთ სისტემის კონკრეტული გამოსავალი.

გამოსავალი 1:გამოიყენეთ ინვერსია პირველი განტოლების ორივე მხარეს:

მოდით წარმოვიდგინოთ მნიშვნელობა ძირითადი ოპერაციების "OR" და "NOT" მეშვეობით:

მიღებულ განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: A= 0, B =0 და C =1.

შემდეგი მეთოდი არის სიმართლის ცხრილების აგება . ვინაიდან ლოგიკურ სიდიდეებს მხოლოდ ორი მნიშვნელობა აქვთ, შეგიძლიათ უბრალოდ გაიაროთ ყველა ვარიანტი და იპოვოთ მათ შორის ის, რისთვისაც დაკმაყოფილებულია განტოლებების მოცემული სისტემა. ანუ, ჩვენ ვაშენებთ ერთ საერთო ჭეშმარიტების ცხრილს სისტემის ყველა განტოლებისთვის და ვპოულობთ ხაზს საჭირო მნიშვნელობებით.

გამოსავალი 2:მოდით შევქმნათ სიმართლის ცხრილი სისტემისთვის:








0	0	1	1	0	1

გამოსავალი 3:დაე A = 0, შემდეგ:

პირველი განტოლებიდან ვიღებთბ =0, ხოლო მეორედან – C=1. სისტემის ამოხსნა: A = 0, B = 0 და C = 1.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეთოდი განტოლებების თანმიმდევრული ამოხსნა , ყოველ საფეხურზე ერთი ცვლადის დამატება განსახილველ კომპლექტს. ამისათვის აუცილებელია განტოლებების გარდაქმნა ისე, რომ ცვლადები შეყვანილი იყოს ანბანური თანმიმდევრობით. შემდეგი, ჩვენ ვაშენებთ გადაწყვეტილების ხეს, თანმიმდევრულად ვამატებთ მას ცვლადებს.

სისტემის პირველი განტოლება დამოკიდებულია მხოლოდ A-ზე და B-ზე, ხოლო მეორე განტოლება A-ზე და C-ზე. ცვლად A-ს შეუძლია მიიღოს 2 მნიშვნელობა 0 და 1:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მაშ, როდის A = 0 და მივიღებთ B = 0, ხოლო A = 1-სთვის გვაქვს B = 1. ასე რომ, პირველ განტოლებას აქვს ორი ამონახსნი A და B ცვლადების მიმართ.

მოდით გამოვსახოთ მეორე განტოლება, საიდანაც განვსაზღვრავთ C-ის მნიშვნელობებს თითოეული ვარიანტისთვის. როდესაც A =1, მნიშვნელობა არ შეიძლება იყოს მცდარი, ანუ ხის მეორე ტოტს გამოსავალი არ აქვს. ზე A= 0 ჩვენ ვიღებთ ერთადერთ გამოსავალს C= 1 :

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ სისტემის გამოსავალი: A = 0, B = 0 და C = 1.

კომპიუტერულ მეცნიერებაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში ძალიან ხშირად საჭიროა ლოგიკური განტოლებების სისტემის ამონახსნების რაოდენობის დადგენა, თავად ამონახსნების გარეშეც არსებობს ამისთვის გარკვეული მეთოდები. ლოგიკური განტოლებების სისტემის ამონახსნების რაოდენობის პოვნის მთავარი გზაა ცვლადების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, თქვენ უნდა გაამარტივოთ თითოეული განტოლება მაქსიმალურად, ლოგიკური ალგებრის კანონების საფუძველზე, შემდეგ კი შეცვალოთ განტოლებების რთული ნაწილები ახალი ცვლადებით და დაადგინოთ ახალი სისტემის ამონახსნების რაოდენობა. შემდეგი, დაუბრუნდით ჩანაცვლებას და განსაზღვრეთ გადაწყვეტილებების რაოდენობა.

ამოცანა:რამდენი ამონახსნი აქვს განტოლებას ( A → B ) + (C → D ) = 1? სადაც A, B, C, D არის ლოგიკური ცვლადები.

გამოსავალი:მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები: X = A → B და Y = C → D . ახალი ცვლადების გათვალისწინებით, განტოლება დაიწერება შემდეგნაირად: X + Y = 1.

დისიუნქცია მართალია სამ შემთხვევაში: (0;1), (1;0) და (1;1), ხოლო X და Y არის იმპლიკამენტი, ანუ სამ შემთხვევაში მართალია და ერთში მცდარი. ამრიგად, შემთხვევა (0;1) შეესაბამება პარამეტრების სამ შესაძლო კომბინაციას. შემთხვევა (1;1) – შეესატყვისება საწყისი განტოლების პარამეტრების ცხრა შესაძლო კომბინაციას. ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლების შესაძლო ამონახსნები არის 3+9=15.

ლოგიკური განტოლებათა სისტემის ამონახსნების რაოდენობის განსაზღვრის შემდეგი გზაა ბინარული ხე. მოდით შევხედოთ ამ მეთოდს მაგალითის გამოყენებით.

განტოლებათა მოცემული სისტემა უდრის განტოლებას:

( x 1 → x 2 )*( x 2 → x 3 )*…*( x მ -1 → x მ) = 1.

დავუშვათ, რომx 1 - მართალია, მაშინ პირველი განტოლებიდან ვიღებთ ამასx 2 ასევე მართალია, მეორედან -x 3 =1 და ასე შემდეგ სანამ x მ= 1. ასე რომ კომპლექტი (1; 1; …; 1) ofმ ერთეული არის სისტემის გამოსავალი. დაე ახლაx 1 =0, მაშინ პირველი განტოლებიდან გვაქვსx 2 =0 ან x 2 =1.

როცა x 2 true, მივიღებთ, რომ დარჩენილი ცვლადები ასევე ჭეშმარიტია, ანუ სიმრავლე (0; 1; ...; 1) არის სისტემის ამოხსნა. ზეx 2 =0 ჩვენ ამას მივიღებთ x 3 =0 ან x 3 = და ასე შემდეგ. გავაგრძელოთ ბოლო ცვლადი, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ განტოლების ამონახსნები არის ცვლადების შემდეგი ნაკრები (მ +1 ხსნარი, თითოეულ ხსნარშიმ ცვლადი მნიშვნელობები):

(1; 1; 1; …; 1)

(0; 1; 1; …; 1)

(0; 0; 0; …; 0)

ეს მიდგომა კარგად არის ილუსტრირებული ბინარული ხის აგებით. შესაძლო გადაწყვეტილებების რაოდენობა არის აგებული ხის სხვადასხვა ტოტების რაოდენობა. ადვილი მისახვედრია, რომ ის თანაბარიამ +1.

ცვლადები	ხე	გადაწყვეტილებების რაოდენობა
x 1
x 2
x 3

მსჯელობისა და გადაწყვეტილების ხის აგების სირთულეების შემთხვევაში, შეგიძლიათ მოძებნოთ გამოსავალი გამოყენებით სიმართლის ცხრილები, ერთი ან ორი განტოლებისთვის.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა სახით:

და მოდით შევქმნათ სიმართლის ცხრილი ცალკე ერთი განტოლებისთვის:

x 1	x 2	(x 1 → x 2)

მოდით შევქმნათ ჭეშმარიტების ცხრილი ორი განტოლებისთვის:

x 1	x 2	x 3	x 1 → x 2	x 2 → x 3	(x 1 → x 2) (x 2 → x 3)*

შემდეგი, თქვენ ხედავთ, რომ ერთი განტოლება მართალია შემდეგ სამ შემთხვევაში: (0; 0), (0; 1), (1; 1). ორი განტოლების სისტემა მართებულია ოთხ შემთხვევაში (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1). ამ შემთხვევაში, მაშინვე ნათელია, რომ არსებობს გამოსავალი, რომელიც შედგება მხოლოდ ნულებისაგან და მეტისგან მგადაწყვეტილებები, რომლებშიც ერთდროულად ემატება ერთი ერთეული, ბოლო პოზიციიდან დაწყებული ყველა შესაძლო ადგილის შევსებამდე. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ზოგად ამოხსნას ექნება იგივე ფორმა, მაგრამ იმისთვის, რომ ასეთი მიდგომა გადაწყვეტად იქცეს, საჭიროა მტკიცებულება, რომ ვარაუდი სწორია.

ყოველივე ზემოაღნიშნულის შესაჯამებლად, მინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილო იმ ფაქტზე, რომ ყველა განხილული მეთოდი არ არის უნივერსალური. ლოგიკური განტოლებების თითოეული სისტემის ამოხსნისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული მისი მახასიათებლები, რის საფუძველზეც უნდა შეირჩეს ამოხსნის მეთოდი.

ლიტერატურა:

1. ლოგიკური პრობლემები / O.B. ბოგომოლოვი – მე-2 გამოცემა. – მ.: BINOM. ცოდნის ლაბორატორია, 2006. – 271 გვ.: ილ.

2. პოლიაკოვი კ.იუ. ლოგიკური განტოლებათა სისტემები / საგანმანათლებლო და მეთოდური გაზეთი კომპიუტერული მეცნიერების მასწავლებლებისთვის: ინფორმატიკა No14, 2011 წ.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. მათემატიკაში არის გარკვეული პრობლემები, რომლებიც ეხება წინადადების ლოგიკას. ამ სახის განტოლების გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გქონდეთ გარკვეული რაოდენობის ცოდნა: წინადადებების ლოგიკის კანონების ცოდნა, 1 ან 2 ცვლადის ლოგიკური ფუნქციების სიმართლის ცხრილების ცოდნა, ლოგიკური გამონათქვამების კონვერტაციის მეთოდები. გარდა ამისა, თქვენ უნდა იცოდეთ ლოგიკური მოქმედებების შემდეგი თვისებები: შეერთება, დისიუნქცია, ინვერსია, იმპლიკამენტი და ეკვივალენტობა.

\variables - \-ის ნებისმიერი ლოგიკური ფუნქცია შეიძლება განისაზღვროს ჭეშმარიტების ცხრილით.

მოდით ამოხსნათ რამდენიმე ლოგიკური განტოლება:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

დავიწყოთ ამოხსნა \[X1\]-ით და განვსაზღვროთ რა მნიშვნელობები შეიძლება მიიღოს ამ ცვლადმა: 0 და 1. შემდეგ განვიხილავთ თითოეულ ზემოთ ჩამოთვლილ მნიშვნელობას და ვნახოთ რა შეიძლება იყოს \[X2.\].

როგორც ცხრილიდან ჩანს, ჩვენი ლოგიკური განტოლებააქვს 11 გამოსავალი.

სად შემიძლია ამოხსნა ლოგიკური განტოლება ონლაინ?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ გამხსნელისაშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გამხსნელში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.