Zapravo, da biste pronašli površinu figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu koristeći određeni integral" uvijek uključuje konstruiranje crteža, tako da će vaše znanje i vještine konstruiranja crteža biti mnogo hitnije pitanje. S tim u vezi, korisno je osvježiti pamćenje grafova osnovnih elementarnih funkcija i, barem, znati konstruirati ravnu liniju i hiperbolu.
Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i grafom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-os:
Tada je površina krivocrtnog trapeza brojčano jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.
S geometrijskog gledišta određeni integral- ovo je PODRUČJE.
Odnosno, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara području određene figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.
Primjer 1
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija točka u odluci je crtež. Štoviše, crtež mora biti konstruiran ISPRAVNO.
Prilikom konstruiranja crteža preporučujem sljedeći redoslijed: prvo je bolje konstruirati sve ravne linije (ako postoje), a tek onda - parabole, hiperbole i grafove drugih funkcija. Isplativije je konstruirati grafove funkcija točku po točku.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):
Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad osi, dakle:
Odgovor:
Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U u ovom slučaju„Okom“ brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.
Primjer 3
Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako se zakrivljeni trapez nalazi ispod osi (ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvih geometrijsko značenje, onda može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Pronađite područje ravna figura, omeđen linijama , .
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:
To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Bolje je, ako je moguće, ne koristiti ovu metodu.
Puno je isplativije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Usprkos tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.
Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:
A sada radna formula: Ako je na segmentu neka kontinuirana funkcija veća ili jednaka nekoj kontinuirana funkcija, tada se površina slike ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule: 
Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, a, grubo rečeno, važno je koji je grafikon VIŠI (u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od
Gotovo rješenje može izgledati ovako:
Željena figura ograničena je parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:
Odgovor:
Primjer 4
Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .
Rješenje: Prvo, napravimo crtež:
Figura čije područje trebamo pronaći je osjenčana plavom bojom (pažljivo pogledajte stanje - koliko je figura ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "greška" da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelena!
Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala.
stvarno:
1) Na segmentu iznad osi nalazi se graf ravne linije;
2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbole.
Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
Kako umetnuti matematičke formule na web stranicu?
Ako ikada budete trebali dodati jednu ili dvije matematičke formule na web stranicu, najlakši način da to učinite je kako je opisano u članku: matematičke formule se lako umeću na stranicu u obliku slika koje automatski generira Wolfram Alpha . Osim jednostavnosti, ova univerzalna metoda pomoći će poboljšati vidljivost stranice u tražilice. Djeluje već dugo (i, mislim, radit će zauvijek), ali je već moralno zastario.
Ako redovito koristite matematičke formule na svojoj stranici, preporučujem da koristite MathJax - posebnu JavaScript biblioteku koja prikazuje matematičku notaciju u web preglednicima koristeći MathML, LaTeX ili ASCIIMathML označavanje.
Postoje dva načina da počnete koristiti MathJax: (1) pomoću jednostavnog koda možete brzo povezati MathJax skriptu sa svojom web stranicom, koja će se automatski učitati s udaljenog poslužitelja u pravo vrijeme (popis poslužitelja); (2) preuzmite skriptu MathJax s udaljenog poslužitelja na svoj poslužitelj i povežite je sa svim stranicama svoje stranice. Druga metoda - složenija i dugotrajnija - ubrzat će učitavanje stranica vašeg web-mjesta, a ako nadređeni MathJax poslužitelj iz nekog razloga postane privremeno nedostupan, to ni na koji način neće utjecati na vaše web-mjesto. Unatoč ovim prednostima, odabrao sam prvu metodu jer je jednostavnija, brža i ne zahtijeva tehničke vještine. Slijedite moj primjer i za samo 5 minuta moći ćete koristiti sve značajke MathJaxa na svojoj stranici.
Skriptu biblioteke MathJax možete povezati s udaljenog poslužitelja koristeći dvije opcije koda preuzete s glavnog MathJax web mjesta ili na stranici dokumentacije:
Jednu od ovih opcija koda potrebno je kopirati i zalijepiti u kôd vaše web stranice, po mogućnosti između oznaka i ili odmah nakon oznake. Prema prvoj opciji, MathJax se brže učitava i manje usporava stranicu. Ali druga opcija automatski prati i učitava najnovije verzije MathJaxa. Ako umetnete prvi kod, morat ćete ga povremeno ažurirati. Ako umetnete drugi kod, stranice će se učitavati sporije, ali nećete morati stalno pratiti ažuriranja MathJaxa.
Najlakši način povezivanja MathJaxa je u Bloggeru ili WordPressu: na kontrolnoj ploči web-mjesta dodajte widget dizajniran za umetanje JavaScript koda treće strane, kopirajte prvu ili drugu verziju koda za preuzimanje prikazanog gore u njega i postavite widget bliže na početak predloška (usput, to uopće nije potrebno, jer se MathJax skripta učitava asinkrono). To je sve. Sada naučite sintaksu označavanja MathML-a, LaTeX-a i ASCIIMathML-a i spremni ste za umetanje matematičkih formula u web stranice svoje web stranice.
Svaki fraktal je konstruiran prema određeno pravilo, koji se uzastopno primjenjuje neograničen broj puta. Svako takvo vrijeme naziva se iteracija.
Iterativni algoritam za konstruiranje Mengerove spužve prilično je jednostavan: originalna kocka sa stranicom 1 podijeljena je ravninama paralelnim s njezinim stranama na 27 jednakih kocki. Iz nje se uklanjaju jedna središnja kocka i 6 kocki uz nju duž strana. Rezultat je set koji se sastoji od preostalih 20 manjih kockica. Postupivši isto sa svakom od ovih kockica, dobivamo set od 400 manjih kockica. Nastavljajući ovaj proces beskrajno, dobivamo Mengerovu spužvu.
Prijeđimo na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji ćemo pogledati tipičan i najčešći problem izračunavanja površine ravnog lika pomoću određenog integrala. Napokon, svi koji traže smisao viša matematika- neka ga nađu. Nikad ne znaš. Morat ćemo to približiti u životu područje seoske vikendice elementarne funkcije i pronaći njezino područje koristeći određeni integral.
Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:
1) Razumjeti neodređeni integral barem na prosječnoj razini. Dakle, glupani bi se prvo trebali upoznati s lekcijom He.
2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. Tople prijateljske odnose s određenim integralima možete uspostaviti na stranici Određeni integral. Primjeri rješenja. Zadatak "izračunaj površinu koristeći određeni integral" uvijek uključuje konstruiranje crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja također biti važno pitanje. Najmanje morate biti u stanju konstruirati ravnu liniju, parabolu i hiperbolu.
Počnimo s zakrivljenim trapezom. Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena grafom neke funkcije g = f(x), os VOL i linije x = a; x = b.
Površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu
Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. U lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA. Odnosno, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara području određene figure. Promotrimo određeni integral
Integrand
definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam određeni integral brojčano je jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.
Primjer 1
, , , .
Ovo je tipična izjava o dodjeli. Najvažnija točka rješenja – crtež. Štoviše, crtež mora biti konstruiran ISPRAVNO.
Prilikom konstruiranja crteža preporučujem sljedeći redoslijed: prvo je bolje konstruirati sve ravne linije (ako ih ima), a tek onda parabole, hiperbole i grafove drugih funkcija. Tehniku konstrukcije po točkama možete pronaći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.
U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba g= 0 određuje os VOL):
Zakrivljeni trapez nećemo sjenčati, ovdje je očito o kojem području govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:
Na segmentu [-2; 1] graf funkcije g = x 2 + 2 koji se nalazi iznad osi VOL, Zato:
Odgovor: .
Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule
,
Vidi predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja. Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.
Primjer 2
Izračunajte površinu figure omeđene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os VOL.
Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.
Što učiniti ako se zakrivljeni trapez nalazi ispod osi VOL?
Primjer 3
Izračunajte površinu figure omeđene linijama g = e-x, x= 1 i koordinatne osi.
Rješenje: Napravimo crtež:
Ako se zakrivljeni trapez potpuno nalazi ispod osi VOL, tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:
.
Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:
1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.
2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.
U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.
Primjer 4
Odredite površinu ravne figure omeđene linijama g = 2x – x 2 , g = -x.
Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole g = 2x – x 2 i ravno g = -x. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:
To znači da je donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je profitabilnije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Usprkos tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu crtu, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:
Ponovimo da se kod točkaste konstrukcije granice integracije najčešće određuju “automatski”.
A sada radna formula:
Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veća je ili jednaka nekoj kontinuiranoj funkciji g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:
Ovdje više ne morate razmišljati gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, već je bitno koji je graf VIŠE (u odnosu na drugi graf), a koji ISPOD.
U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa stoga od 2 x – x 2 se mora oduzeti – x.
Gotovo rješenje može izgledati ovako:
Željena figura ograničena je parabolom g = 2x – x 2 na vrhu i ravno g = -x ispod.
Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:
Odgovor: .
Zapravo, školska formula za površinu krivocrtnog trapeza u donjoj poluravnini (vidi primjer br. 3) poseban je slučaj formule
.
Budući da os VOL zadan jednadžbom g= 0, te graf funkcije g(x) koji se nalazi ispod osi VOL, To
.
A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje
Primjer 5
Primjer 6
Pronađite površinu figure omeđene linijama
Prilikom rješavanja zadataka koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješan događaj. Crtež je dovršen ispravno, izračuni su bili točni, ali zbog nepažnje... pronađeno je područje krive figure.
Primjer 7
Prvo napravimo crtež:
Figura čije područje trebamo pronaći je osjenčana plavom bojom (pažljivo pogledajte stanje - koliko je figura ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, ljudi često odluče da moraju pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!
Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala. Stvarno:
1) Na segmentu [-1; 1] iznad osi VOL grafikon se nalazi ravno g = x+1;
2) Na segmentu iznad osi VOL nalazi se graf hiperbole g = (2/x).
Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:
Odgovor:
Primjer 8
Izračunajte površinu figure omeđene linijama
Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku
i nacrtajte točku po točku:
Iz crteža je jasno da je naša gornja granica "dobra": b = 1.
Ali koja je donja granica?! Jasno je da to nije cijeli broj, ali što je to?
Može biti, a=(-1/3)? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati a=(-1/4). Što ako smo krivo napravili graf?
U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.
Nađimo sjecišne točke grafova
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:
.
Stoga, a=(-1/3).
Daljnje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Izračuni ovdje nisu najjednostavniji. Na segmentu
, 
,
prema odgovarajućoj formuli:
Odgovor: 
Za kraj lekcije, pogledajmo još dva teža zadatka.
Primjer 9
Izračunajte površinu figure omeđene linijama
Rješenje: Nacrtajmo ovu figuru na crtežu.
Da biste nacrtali crtež od točke do točke morate znati izgled sinusoide. Općenito, korisno je poznavati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke sinusne vrijednosti. Nalaze se u tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije. U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju) moguće je konstruirati shematski crtež na kojem bi grafikoni i granice integracije trebali biti temeljno ispravno prikazani.
Ovdje nema problema s granicama integracije, one izravno proizlaze iz uvjeta:
– “x” se mijenja od nule do “pi”. Donesimo daljnju odluku:
Na segmentu, graf funkcije g= grijeh 3 x koji se nalazi iznad osi VOL, Zato:
(1) Kako se sinusi i kosinusi integriraju u neparne potencije možete vidjeti u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Uštinemo jedan sinus.
(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obrascu
(3) Promijenimo varijablu t=cos x, tada: se nalazi iznad osi, dakle:
.
.
Napomena: obratite pozornost na to kako se uzima integral tangente u kocki; ovdje se koristi korolar glavnog trigonometrijski identitet
.
Primjena integrala na rješavanje primijenjenih problema
Izračun površine
Određeni integral kontinuirane nenegativne funkcije f(x) brojčano je jednak površini krivocrtnog trapeza omeđenog krivuljom y = f(x), osi O x i ravnim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:
Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.
Zadatak br. 1. Izračunajte površinu omeđenu pravcima y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Riješenje. Konstruirajmo lik čiju ćemo površinu morati izračunati.
y = x 2 + 1 je parabola čiji su ogranci usmjereni prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).
Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1
Zadatak br. 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.
 |
Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta u odnosu na O y os za jednu jedinicu prema dolje (slika 2).
Slika 2. Graf funkcije y = x 2 – 1
Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama
y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.
Riješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga linija je pravac koji siječe obje koordinatne osi.
Da bismo konstruirali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa tjemena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.
Nađimo sad sjecišta parabole i pravca rješavanjem sustava jednadžbi:
Izjednačavanje desnih strana jednadžbe čije su lijeve strane jednake.
Dobivamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle 
.
Dakle, točke su sjecišta parabole i pravca (slika 1).
Slika 3. Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4
Konstruirajmo ravnu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz točke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osima.
Da biste konstruirali parabolu, također možete koristiti njezine sjecišne točke s osi 0x, odnosno korijene jednadžbe 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietin teorem, lako je pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2) omeđen ovim linijama.
Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određenog integrala prema formuli 
.
Primijenjeno na ovo stanje, dobivamo integral: 
2 Izračunavanje obujma rotacijskog tijela
Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y = f(x) oko osi O x izračunava se po formuli:
Kod rotacije oko O y osi formula izgleda ovako:
Zadatak br. 4. Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog ravnim linijama x = 0 x = 3 i krivuljom y = oko osi O x.
Riješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).
Slika 4. Grafik funkcije y =
Potreban volumen je 
Zadatak br. 5. Izračunajte obujam tijela dobivenog rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnim linijama y = 0 i y = 4 oko osi O y.
Riješenje. Imamo:
Pregled pitanja
U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći površinu figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili učenje određenih integrala i kada je vrijeme da se pristupi geometrijskoj interpretaciji stečenog znanja u praksi.
Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:
- Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
- Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
- Sposobnost da se "vidi" opcija isplativijeg rješenja - tj. razumjeti kako će biti prikladnije provesti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
- Pa, gdje bismo bili bez točnih izračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.
Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:
1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kariranom komadu papira, u velikom mjerilu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafa. Potpisivanje grafikona vrši se isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijete grafikon željene brojke, u većini slučajeva bit će odmah jasno koje će se granice integracije koristiti. Dakle, grafički rješavamo problem. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.
2. Ako granice integracije nisu eksplicitno navedene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo jesu li naši grafičko rješenje s analitičkim.
3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafikoni funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Razmotrimo različiti primjeri o pronalaženju površine figure pomoću integrala.
3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Što je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osi (y = 0), ravnim linijama x = a, x = b i bilo kojom krivuljom kontinuiranom u intervalu od a do b. Štoviše, ova brojka nije negativna i ne nalazi se ispod x-osi. U ovom slučaju, površina krivuljastog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću formule Newton-Leibniz:
Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Kojim je linijama omeđena figura? Imamo parabolu y = x2 - 3x + 3, koja se nalazi iznad OX osi, ona je nenegativna, jer sve točke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Zatim su dane ravne linije x = 1 i x = 3 koje idu paralelno s osi op-amp-a i granične su linije slike s lijeve i desne strane. Pa, y = 0, što je također x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se može vidjeti na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.
3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.
Primjer 2. Izračunajte površinu lika omeđenog linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koja izlazi ispod osi OX, ravne linije x = -4, x = -1, y = 0. Ovdje y = 0 ograničava željenu brojku odozgo. Pravci x = -4 i x = -1 su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što navedena funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanih x-ova ima isključivo “negativne” koordinate, što moramo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo pomoću formule Newton-Leibniz, samo s znakom minus na početku.
Članak nije dovršen.
