Ovaj članak je zbirka detaljnih informacija koje se odnose na temu svojstava korijena. S obzirom na temu, počet ćemo sa svojstvima, proučiti sve formulacije i pružiti dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stupnja.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Svojstva korijena
Razgovarat ćemo o svojstvima.
- Vlasništvo umnoženi brojevi a I b, koja se prikazuje kao jednakost a · b = a · b. Može se prikazati u obliku faktora, pozitivnih ili jednakih nuli a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k ;
- iz kvocijenta a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b;
- Svojstvo iz potencije broja a s parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, npr. svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a.
U bilo kojoj od prikazanih jednadžbi možete zamijeniti dijelove prije i iza znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b transformira se kao a · b = a · b. Svojstva jednakosti često se koriste za pojednostavljenje složenih jednadžbi.
Dokaz prvih svojstava temelji se na definiciji kvadratnog korijena i svojstvima potencija s prirodni pokazatelj. Za opravdanje trećeg svojstva potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.
Prije svega potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b. Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tijekom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao umnožak nenegativnih brojeva. Svojstvo potencije umnoženih brojeva omogućuje nam da jednakost prikažemo u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Prema definiciji kvadratnog korijena, a 2 = a i b 2 = b, tada je a · b = a 2 · b 2 = a · b.
Na sličan način može se dokazati da iz proizvoda k množitelji a 1 , a 2 , … , a k bit će jednak umnošku kvadratni korijeni od ovih faktora. Doista, a 1 · a 2 · … · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · a k 2 = a 1 · a 2 · … · a k .
Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k.
Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.
Primjer 1
3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 i 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 · 0 , 2 (1) .
Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvocijenta: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo nam omogućuje da napišemo jednakost a: b 2 = a 2: b 2, i a 2: b 2 = a: b, dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj će izraz postati dokaz.
Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30,121 = 30,121.
Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena iz kvadrata broja. Može se napisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i kod a< 0 .
Očito, za a ≥ 0 vrijedi jednakost a 2 = a. Na a< 0 bit će istinita jednakost a 2 = - a. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti, a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjer 2
5 2 = 5 = 5 i - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.
Dokazano svojstvo pomoći će da se opravda 2 m = a m, gdje a– pravi, i m- prirodni broj. Doista, svojstvo podizanja potencije omogućuje nam zamjenu potencije a 2 m izraz (a m) 2, tada je a 2 m = (a m) 2 = a m.
Primjer 3
3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .
Svojstva n-tog korijena
Prvo, moramo razmotriti osnovna svojstva n-tih korijena:
- Svojstvo umnoška brojeva a I b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, može se izraziti kao jednakost a · b n = a n · b n , ovo svojstvo vrijedi za umnožak k brojevima a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 · a 2 · … · a k n = a 1 n · a 2 n · … · a k n ;
- iz razlomačkog broja ima svojstvo a b n = a n b n, gdje je a je bilo koji realan broj koji je pozitivan ili jednak nuli, i b– pozitivan realni broj;
- Za bilo koje a pa čak i pokazatelji n = 2 m a 2 · m 2 · m = a vrijedi, a za nepar n = 2 m − 1 vrijedi jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
- Svojstvo izdvajanja iz a m n = a n m , gdje je a– bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n I m – cijeli brojevi, ovo se svojstvo također može prikazati u obliku. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . · n k ;
- Za svako nenegativno a i proizvoljno n I m, koji su prirodni, također možemo definirati pravednu jednakost a m n · m = a n ;
- Svojstvo stupnja n iz snage broja a, koja je pozitivna ili jednaka nuli, prirodnoj snazi m, definiran jednakošću a m n = a n m ;
- Svojstvo usporedbe koje ima iste eksponente: za sve pozitivne brojeve a I b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
- Svojstvo usporedbe koje pod korijenom imaju iste brojeve: if m I n – prirodni brojevi koji m > n, zatim na 0 < a < 1 nejednakost a m > a n je istinita, a kada a > 1 izvršio m< a n .
Gore navedene jednakosti vrijede ako su dijelovi ispred i iza znaka jednakosti zamijenjeni. Mogu se koristiti i u ovom obliku. Ovo se često koristi kada se izrazi pojednostavljuju ili transformiraju.
Dokaz navedenih svojstava korijena temelji se na definiciji, svojstvima stupnja i definiciji modula broja. Ta se svojstva moraju dokazati. Ali sve je u redu.
- Prije svega, dokažimo svojstva n-tog korijena umnoška a · b n = a n · b n . Za a I b, koji su pozitivan ili jednak nuli , vrijednost a n · b n također je pozitivna ili jednaka nuli, jer je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo umnoška na prirodnu snagu dopušta nam da napišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n-ti stupanj a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Dobivena jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.
Ovo se svojstvo može dokazati na sličan način za proizvod k množitelji: za nenegativne brojeve a 1, a 2, …, a n, a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0.
Ovdje su primjeri korištenja svojstva root n-ta potencija iz umnoška: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 · 5 7 4 .
- Dokažimo svojstvo korijena kvocijenta a b n = a n b n . Na a ≥ 0 I b > 0 zadovoljen je uvjet a n b n ≥ 0, a a n b n n = a n n b n n = a b .
Pokažimo primjere:
Primjer 4
8 27 3 = 8 3 27 3 i 2, 3 10: 2 3 10 = 2, 3 : 2 3 10.
- Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stupnja od broja do stupnja n. Zamislimo ovo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koji realni a i prirodno m. Na a ≥ 0 dobivamo a = a i a 2 m = a 2 m, čime je dokazana jednakost a 2 m 2 m = a, a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očita. Na a< 0 dobivamo redom a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu potencije. Upravo to dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a, a a 2 m - 1 2 m - 1 = a bit će točna, budući da se u obzir uzima neparni stupanj - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.
Kako bismo konsolidirali primljene informacije, razmotrimo nekoliko primjera korištenja svojstva:
Primjer 5
7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 i (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.
- Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n m . Da biste to učinili, trebate zamijeniti brojeve ispred i iza znaka jednakosti a n · m = a m n . To će značiti da je unos točan. Za a,što je pozitivno ili jednaka nuli , oblika a m n je broj pozitivan ili jednak nuli. Osvrnimo se na svojstvo podizanja potence na potenciju i njegovu definiciju. Uz njihovu pomoć možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Ovo dokazuje svojstvo korijena korijena koji se razmatra.
Slično se dokazuju i ostala svojstva. Stvarno,. . . a n k n 2 n 1 n 1 · n 2 · . . . · n k = . . . a n k n 3 n 2 n 2 · n 3 · . . . · n k = . . . a n k n 4 n 3 n 3 · n 4 · . . . · n k = . . . = a n k n k = a .
Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0,0009 6 = 0,0009 2 2 6 = 0,0009 24.
- Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da bismo to učinili, potrebno je pokazati da je n broj, pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na potenciju n m je jednako a m. Ako broj a je tada pozitivan ili jednak nuli n-ti stupanj iz red a je pozitivan broj ili jednak nuli.U ovom slučaju je a n · m n = a n n m , što je i trebalo dokazati.
Kako bismo učvrstili stečeno znanje, pogledajmo nekoliko primjera.
- Dokažimo sljedeće svojstvo – svojstvo korijena potencije oblika a m n = a n m . Očito je da kada a ≥ 0 stupanj a n m je nenegativan broj. Štoviše, nju n th snaga je jednaka a m, doista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ovo dokazuje svojstvo razmatranog stupnja.
Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.
- Potrebno je dokazati da za bilo koje pozitivne brojeve a i b uvjet je zadovoljen a< b . Promotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .
Na primjer, dajmo 12 4< 15 2 3 4 .
- Razmotrite svojstvo korijena n- stupanj. Potrebno je prvo razmotriti prvi dio nejednadžbe. Na m > n I 0 < a < 1 istinito a m > a n. Pretpostavimo da je a m ≤ a n. Svojstva će vam omogućiti da pojednostavite izraz na a n m · n ≤ a m m · n. Tada prema svojstvima stupnja s prirodnim eksponentom vrijedi nejednakost a n m · n m · n ≤ a m m · n m · n, tj. a n ≤ a m. Dobivena vrijednost pri m > n I 0 < a < 1 ne odgovara gore navedenim svojstvima.
Na isti se način može dokazati da kada m > n I a > 1 uvjet a m je istinit< a n .
Kako bismo konsolidirali gore navedena svojstva, razmotrite nekoliko konkretni primjeri. Pogledajmo nejednakosti koristeći određene brojeve.
Primjer 6
0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Važne bilješke!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u svom pregledniku:
2. Prije nego što počnete čitati članak, najviše obratite pozornost na naš navigator koristan izvor Za
Pokušajmo shvatiti što je taj koncept "korijena" i "s čime se jede". Da bismo to učinili, pogledajmo primjere s kojima ste se već susreli u nastavi (dobro, ili ćete se tek susresti s ovime).
Na primjer, imamo jednadžbu. Koje je rješenje ove jednadžbe? Koji se brojevi mogu kvadrirati i dobiti? Sjećajući se tablice množenja, lako možete dati odgovor: i (uostalom, kada se dva negativna broja množe, dobiva se pozitivan broj)! Da pojednostavimo, matematičari su uveli poseban koncept kvadratnog korijena i dodijelili mu poseban simbol.
Definirajmo aritmetički kvadratni korijen.
Zašto broj mora biti nenegativan? Na primjer, čemu je to jednako? Pa, dobro, pokušajmo odabrati jedan. Možda tri? Provjerimo: , ne. Može biti, ? Opet provjeravamo: . Pa, ne odgovara? To je i očekivano – jer ne postoje brojevi koji kvadrirani daju negativan broj!
Ovo je ono što trebate zapamtiti: broj ili izraz pod znakom korijena mora biti nenegativan!
Međutim, oni najpažljiviji vjerojatno su već primijetili da definicija kaže da se rješenje kvadratnog korijena iz “broja zove ovo nenegativan broj čiji je kvadrat jednak ". Neki od vas će reći da smo na samom početku analizirali primjer, odabrali brojeve koji se mogu kvadrirati i dobili, odgovor je bio i, ali ovdje je riječ o nekakvom “nenegativnom broju”! Ova primjedba je sasvim na mjestu. Ovdje samo trebate razlikovati koncepte kvadratnih jednadžbi i aritmetičkog kvadratnog korijena broja. Na primjer, nije ekvivalentan izrazu.
Iz toga slijedi da, odnosno, ili. (Pročitajte temu "")
I iz toga slijedi.
Naravno, ovo je vrlo zbunjujuće, ali potrebno je zapamtiti da su predznaci rezultat rješavanja jednadžbe, budući da prilikom rješavanja jednadžbe moramo zapisati sve X-ove, koji će, kada se zamijene u izvornu jednadžbu, dati točan rezultat. U našem kvadratna jednadžba pogodan za oboje.
Međutim, ako samo izvadite kvadratni korijen od nečega, onda uvijek dobivamo jedan nenegativan rezultat.
Sada pokušajte riješiti ovu jednadžbu. Nije više sve tako jednostavno i glatko, zar ne? Probaj proći kroz brojke, možda nešto uspije? Krenimo od samog početka - od nule: - ne štima, idemo dalje - manje od tri, također pomesti u stranu, što ako. Provjerimo: - također nije prikladno, jer... to je više od tri. Ista je priča s negativnim brojevima. Što bismo sada trebali učiniti? Zar nam pretraga doista nije dala ništa? Nimalo, sada sigurno znamo da će odgovor biti neki broj između i, kao i između i. Također, očito rješenja neće biti cijeli brojevi. Štoviše, nisu racionalni. Dakle, što je sljedeće? Nacrtajmo graf funkcije i na njemu označimo rješenja.
Pokušajmo prevariti sustav i dobiti odgovor pomoću kalkulatora! Izvadimo iz toga korijen! Oh-oh-oh, ispada da. Ovom broju nikad kraja. Kako se toga sjetiti, kad na ispitu neće biti kalkulatora!? Sve je vrlo jednostavno, ne morate to zapamtiti, samo trebate zapamtiti (ili moći brzo procijeniti) približnu vrijednost. i sami odgovori. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim; da bi se pojednostavilo pisanje takvih brojeva uveden je pojam kvadratnog korijena.
Pogledajmo još jedan primjer da to potkrijepimo. Pogledajmo sljedeći problem: trebate dijagonalno prijeći kvadratno polje sa stranicom km, koliko km morate prijeći?
Najočitija stvar ovdje je razmatranje trokuta odvojeno i korištenje Pitagorinog teorema: . Tako, . Kolika je ovdje potrebna udaljenost? Očito, udaljenost ne može biti negativna, to shvaćamo. Korijen iz dva je približno jednak, ali, kao što smo ranije primijetili, - već je potpuni odgovor.
Da biste riješili primjere s korijenima bez izazivanja problema, morate ih vidjeti i prepoznati. Da biste to učinili, morate znati barem kvadrate brojeva od do, a također ih znati prepoznati. Na primjer, morate znati što je jednako kvadratu, a također, obrnuto, što je jednako kvadratu.
Jeste li shvatili što je kvadratni korijen? Zatim riješite neke primjere.
Primjeri.
Pa, kako je ispalo? Sada pogledajmo ove primjere:
odgovori:
Kockasti korijen
Pa, čini se da smo razjasnili koncept kvadratnog korijena, sada pokušajmo shvatiti što je kubni korijen i koja je njihova razlika.
Kubni korijen broja je broj čiji je kub jednak. Jeste li primijetili da je ovdje sve puno jednostavnije? Nema ograničenja za moguće vrijednosti i vrijednosti pod znakom kubnog korijena i broj koji se izvlači. To jest, kubni korijen se može izvući iz bilo kojeg broja: .
Razumijete li što je kockasti korijen i kako ga izvući? Zatim riješite primjere.
Primjeri.
odgovori:
Korijen - oh stupanj
Pa, razumjeli smo koncepte kvadratnih i kubnih korijena. Sažmimo sada znanje stečeno konceptom 1. korijen.
1. korijen broja je broj čija je potencija jednaka, tj.
ekvivalent.
Ako – čak, to:
- s negativnim, izraz nema smisla (parni korijeni negativnih brojeva ne može se ukloniti!);
- za nenegativnu() izraz ima jedan nenegativan korijen.
Ako je - neparan, tada izraz ima jedinstven korijen za bilo koji.
Nemojte se uznemiriti, ovdje vrijede isti principi kao i kod kvadratnih i kubnih korijena. To jest, principi koje smo primijenili kada smo razmatrali kvadratne korijene prošireni su na sve korijene parnog stupnja.
A svojstva koja su korištena za kubični korijen odnose se na korijene neparnog stupnja.
Pa, je li postalo jasnije? Pogledajmo primjere:
Ovdje je sve više-manje jasno: prvo gledamo - da, stupanj je paran, broj ispod korijena je pozitivan, što znači da je naš zadatak pronaći broj čija će nam četvrta potencija dati. Pa, ima li kakvih pretpostavki? Može biti, ? Točno!
Dakle, stupanj je jednak - neparan, broj ispod korijena je negativan. Naš zadatak je pronaći broj koji, kada se podigne na potenciju, proizvodi. Vrlo je teško odmah primijetiti korijen. Međutim, možete odmah suziti svoju pretragu, zar ne? Prvo, traženi broj je sigurno negativan, a drugo, može se primijetiti da je neparan, pa je stoga i traženi broj neparan. Pokušajte pronaći korijen. Naravno, možete ga sigurno odbaciti. Može biti, ?
Da, to je ono što smo tražili! Imajte na umu da smo za pojednostavljenje izračuna koristili svojstva stupnjeva: .
Osnovna svojstva korijena
To je jasno? Ako ne, onda bi nakon pogleda na primjere sve trebalo doći na svoje mjesto.
Množenje korijena
Kako umnožiti korijenje? Najjednostavnije i najosnovnije svojstvo pomaže odgovoriti na ovo pitanje:
Počnimo s nečim jednostavnim:
Nisu li korijeni dobivenih brojeva točno izvučeni? Nema problema - evo nekoliko primjera:
Što ako nema dva, nego više množitelja? Isto! Formula za množenje korijena funkcionira s bilo kojim brojem faktora:
Što možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte tri ispod korijena, imajući na umu da je tri kvadratni korijen od!
Zašto nam ovo treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti prilikom rješavanja primjera:
Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Čini li život puno lakšim? Za mene je to točno! Samo to morate zapamtiti Ispod predznaka korijena parnog stupnja možemo unositi samo pozitivne brojeve.
Pogledajmo gdje još ovo može biti korisno. Na primjer, problem zahtijeva usporedbu dva broja:
Još to:
Ne možete odmah reći. Pa, ajmo iskoristiti disassembled svojstvo unosa broja ispod znaka korijena? Onda samo naprijed:
Pa, znajući što veći broj pod znakom korijena, što je veći sam korijen! Oni. ako tada, . Iz ovoga čvrsto zaključujemo da. I nitko nas neće uvjeriti u suprotno!
Prije toga smo unijeli množitelj ispod znaka korijena, ali kako ga ukloniti? Samo ga trebate rastaviti na faktore i izdvojiti ono što ste izdvojili!
Bilo je moguće krenuti drugim putem i proširiti se na druge čimbenike:
Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako želite.
Na primjer, evo izraza:
U ovom primjeru stupanj je paran, ali što ako je neparan? Opet, primijenite svojstva eksponenata i faktorizirajte sve:
Čini se da je s ovim sve jasno, ali kako izvući korijen broja na potenciju? Evo, na primjer, ovo:
Prilično jednostavno, zar ne? Što ako je stupanj veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:
Pa, je li sve jasno? Zatim evo primjera:
Ovo su zamke, o njima uvijek vrijedno pamćenja. To se zapravo odražava u primjerima nekretnina:
| za neparno: za čak i: |
To je jasno? Pojačajte primjerima:
Da, vidimo da je korijen na parnu potenciju, negativan broj ispod korijena je također na parnu potenciju. Pa, radi li isto? Evo što:
To je sve! Evo nekoliko primjera:
kužiš Zatim riješite primjere.
Primjeri.
Odgovori.
Ako ste dobili odgovore, onda možete duševni mir krenuti dalje. Ako ne, shvatimo ove primjere:
Pogledajmo još dva svojstva korijena:
Ova svojstva moraju se analizirati na primjerima. Pa, idemo to učiniti?
kužiš Osigurajmo ga.
Primjeri.
Odgovori.
KORIJENI I NJIHOVA SVOJSTVA. PROSJEČNA RAZINA
Aritmetički kvadratni korijen
Jednadžba ima dva rješenja: i. To su brojevi čiji je kvadrat jednak.
Razmotrimo jednadžbu. Riješimo to grafički. Nacrtajmo graf funkcije i liniju na razini. Sjecišta ovih linija bit će rješenja. Vidimo da i ova jednadžba ima dva rješenja - jedno pozitivno, drugo negativno:
Ali u u ovom slučaju rješenja nisu cijeli brojevi. Štoviše, nisu racionalni. Kako bismo zapisali te iracionalne odluke, uvodimo poseban simbol kvadratnog korijena.
Aritmetički kvadratni korijen je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak. Kada izraz nije definiran, jer Ne postoji broj čiji je kvadrat jednak negativnom broju.
Korijen: .
Na primjer, . A iz toga slijedi da ili.
Još jednom da vam skrenem pažnju, ovo je vrlo važno: Kvadratni korijen uvijek je nenegativan broj: !
Kockasti korijen broja je broj čiji je kub jednak. Kubni korijen je definiran za sve. Može se izdvojiti iz bilo kojeg broja: . Kao što vidite, može imati i negativne vrijednosti.
Korijen broja je broj čija je potencija jednaka, tj.
Ako je paran, tada:
- ako, tada th korijen od a nije definiran.
- ako, tada se nenegativan korijen jednadžbe naziva aritmetički korijen th stupnja i označava se.
Ako je - neparan, tada jednadžba ima jedinstven korijen za bilo koji.
Jeste li primijetili da lijevo iznad znaka korijena pišemo njegov stupanj? Ali ne za kvadratni korijen! Ako vidite korijen bez stupnja, to znači da je kvadrat (stupnjevi).
Primjeri.
Osnovna svojstva korijena
KORIJENI I NJIHOVA SVOJSTVA. UKRATKO O GLAVNOM
Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) od nenegativnog broja zove se ovo nenegativan broj čiji je kvadrat
Svojstva korijena:
Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.
Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada ono najvažnije.
Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što to možda neće biti dovoljno...
Za što?
Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na proračun i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.
Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu primili. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?
USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.
Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.
Trebat će vam rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.
Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.
Kako? Postoje dvije mogućnosti:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR
Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.
Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.
U zaključku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Površina čestice kvadrata je 81 dm². Pronađite njegovu stranu. Pretpostavimo da je duljina stranice kvadrata x decimetara. Tada je površina parcele x² kvadratnih decimetara. Budući da je prema uvjetu ova površina jednaka 81 dm², onda x² = 81. Duljina stranice kvadrata je pozitivan broj. Pozitivan broj čiji je kvadrat 81 je broj 9. Prilikom rješavanja zadatka trebalo je pronaći broj x čiji je kvadrat 81, odnosno riješiti jednadžbu x² = 81. Ova jednadžba ima dva korijena: x 1 = 9 i x 2 = - 9, budući da je 9² = 81 i (- 9)² = 81. Oba broja 9 i - 9 nazivaju se kvadratnim korijenom iz 81.
Imajte na umu da je jedan od kvadratnih korijena x= 9 je pozitivan broj. Zove se aritmetički kvadratni korijen iz 81 i označava se s √81, pa je √81 = 9.
Aritmetički kvadratni korijen broja A je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak A.
Na primjer, brojevi 6 i - 6 kvadratni su korijeni iz broja 36. Međutim, broj 6 je aritmetički kvadratni korijen iz 36, budući da je 6 nenegativan broj i 6² = 36. Broj - 6 nije aritmetički korijen.
Aritmetički kvadratni korijen broja A označava se na sljedeći način: √ A.
Znak se naziva znak aritmetičkog kvadratnog korijena; A- zove se radikalni izraz. Izraz √ Ačitati ovako: aritmetički kvadratni korijen broja A. Na primjer, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. U slučajevima kada je jasno da je riječ o aritmetičkom korijenu, kratko se kaže: “kvadratni korijen iz A«.
Čin pronalaženja kvadratnog korijena broja naziva se kvadratnim korijenjem. Ova radnja je obrnuta od kvadriranja.
Možete kvadrirati bilo koji broj, ali ne možete izvući kvadratni korijen ni iz jednog broja. Na primjer, nemoguće je izvući kvadratni korijen broja - 4. Ako je takav korijen postojao, označite ga slovom x, dobili bismo netočnu jednakost x² = - 4, budući da postoji nenegativan broj s lijeve strane i negativan broj s desne strane.
Izraz √ A ima smisla samo kada a ≥ 0. Definicija kvadratnog korijena može se ukratko napisati kao: √ a ≥ 0, (√A)² = A. Jednakost (√ A)² = A vrijedi za a ≥ 0. Dakle, kako bi se osiguralo da je kvadratni korijen nenegativnog broja A jednaki b, tj. u činjenici da je √ A =b, morate provjeriti jesu li ispunjena sljedeća dva uvjeta: b ≥ 0, b² = A.
Kvadratni korijen razlomka
Idemo izračunati. Uočimo da je √25 = 5, √36 = 6 i provjerimo vrijedi li jednakost.
Jer 
i , tada je jednakost istinita. Tako, 
.
Teorema: Ako A≥ 0 i b> 0, odnosno korijen razlomka jednak je korijenu brojnika podijeljenom s korijenom nazivnika. Potrebno je dokazati da: i 
.
Od √ A≥0 i √ b> 0, tada .
O svojstvu dizanja razlomka na potenciju i definiciji kvadratnog korijena 
teorem je dokazan. Pogledajmo nekoliko primjera.
Izračunajte pomoću dokazanog teorema 
.
Drugi primjer: Dokažite to 
, Ako A ≤ 0, b < 0. 
.
Drugi primjer: Izračunaj.
.
Pretvorba kvadratnog korijena
Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena. Neka se da izraz. Ako A≥ 0 i b≥ 0, tada koristeći teorem o korijenu proizvoda možemo napisati:
Ova se transformacija naziva uklanjanjem faktora iz znaka korijena. Pogledajmo primjer;
Izračunajte na x= 2. Izravna supstitucija x= 2 u radikalnom izrazu dovodi do složene kalkulacije. Ovi se izračuni mogu pojednostaviti ako prvo uklonite faktore ispod znaka korijena: . Zamjenjujući sada x = 2, dobivamo:.
Dakle, kada se faktor uklanja ispod predznaka korijena, radikalni izraz se prikazuje u obliku umnoška u kojem su jedan ili više faktora kvadrati nenegativnih brojeva. Zatim primijenite teorem o korijenu produkta i izvadite korijen svakog faktora. Razmotrimo primjer: Pojednostavite izraz A = √8 + √18 - 4√2 tako da izbacite faktore u prva dva člana ispod znaka korijena, dobit ćemo:. Ističemo tu ravnopravnost 
vrijedi samo kada A≥ 0 i b≥ 0. ako A < 0, то .
Čestitamo: danas ćemo gledati korijenje - jednu od najzanimljivijih tema u 8. razredu. :)
Mnogi se zbunjuju oko korijena, ne zato što su složeni (što je tu komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što se u većini školskih udžbenika korijeni definiraju kroz takvu džunglu da samo autori udžbenika ne znaju ništa o tome. sami mogu razumjeti ovo pisanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)
Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju biste zaista trebali zapamtiti. A onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.
Ali prvo zapamtite jedno važna točka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":
Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i sve vrste $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (sve vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.
Vjerojatno 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima krije se u ovom jebenom "nešto drugačijem". Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:
Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ je takav da je $((b)^(n))=a$. A neparni korijen istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.
U svakom slučaju, korijen se označava ovako:
\(a)\]
Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji je također se često nalazi u problemima i jednadžbama.
Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Usput, $\sqrt(0)=0$, a $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično, jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Kockasti korijeni su također uobičajeni - ne morate ih se bojati:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Pa, par “egzotičnih primjera”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!
U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.
Zašto su korijeni uopće potrebni?
Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: "Što su matematičari pušili kad su ovo smislili?" I stvarno: zašto su uopće potrebni svi ti korijeni?
Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak osnovne razrede. Zapamtite: u ta davna vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je pravilno množiti brojeve. Pa, nešto poput "pet po pet - dvadeset pet", to je sve. Ali brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa im je bilo teško da ovako zapišu množenje deset petica:
Zato su smislili diplome. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Nešto kao ovo:
Vrlo je povoljno! Svi izračuni značajno su smanjeni i ne morate gubiti hrpu listova pergamenta i bilježnica da biste zapisali nekih 5183. Ovaj rekord nazvali su potencijom broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali pokazalo se da je sreća bila kratkog vijeka.
Nakon grandioznog pijančevanja, organiziranog samo za “otkriće” stupnjeva, neki posebno tvrdoglavi matematičar iznenada je upitao: “Što ako znamo stupanj broja, ali je sam broj nepoznat?” Sada, doista, ako znamo da određeni broj $b$, recimo, na 5. potenciju daje 243, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?
Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “gotovih” snaga nema takvih “početnih” brojeva. Prosudite sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]
Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebamo pronaći određeni broj koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3, budući da je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Odnosno ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali nećete razumjeti čemu je jednak.
Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tih korijena. Upravo je zato uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označiti upravo taj broj $b$, koji će nam do naznačenog stupnja dati unaprijed poznatu vrijednost
\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]
Ne raspravljam: često se ti korijeni lako izračunaju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. Ali ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj i zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, bit ćete u strašnoj nevolji.
Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako unesete ovaj broj u kalkulator, vidjet ćete ovo:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]
Ili evo još jednog primjera:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]
Ali sva ta zaokruživanja, prvo, prilično su gruba; i drugo, također morate biti u mogućnosti raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina usporedbe i zaokruživanja potrebna je za testiranje na jedinstvenom državnom ispitu profila).
Dakle, u ozbiljnoj matematici ne možete bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, baš kao i razlomci i cijeli brojevi koji su nam odavno poznati.
Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, potencije, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.
Razmotrimo nekoliko primjera u kojima će, nakon svih izračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]
Naravno, prema izgled root gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, možete računati na kalkulator, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je puno ispravnije odgovore pisati u obliku $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Upravo zbog toga su izmišljeni. Za praktično snimanje odgovora.
Zašto su potrebne dvije definicije?
Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa barem od nule. Ali kubni korijeni mogu se mirno izvući iz apsolutno bilo kojeg broja - bio on pozitivan ili negativan.
Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:
Raspored kvadratna funkcija daje dva korijena: pozitivan i negativan Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, nacrtajte vodoravnu liniju $y=4$ na grafikonu (označenu crvenom bojom), koja se siječe s parabolom u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer
S prvim brojem je sve jasno - pozitivan je, dakle korijen:
Ali što onda učiniti s drugom točkom? Kao što četiri ima dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve postove kao da vas žele pojesti? :)
Problem je u tome što ako ne nametnete nikakve dodatne uvjete, tada će četvorka imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne prihvaća negativne vrijednosti.
Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:
- Strogo govoreći, svaki pozitivni broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
- Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.
Zato je u definiciji korijena parnog stupnja $n$ posebno propisano da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.
Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:
Kubna parabola može imati bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:
- Grane kubične parabole, za razliku od obične, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, bez obzira na kojoj visini povučemo vodoravnu crtu, ova linija će se sigurno presijecati s našim grafikonom. Posljedično, kubni korijen uvijek se može izvući iz apsolutno bilo kojeg broja;
- Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji se broj smatra "ispravnim" korijenom, a koji zanemariti. Zato je određivanje korijena za neparni stupanj jednostavnije nego za parni stupanj (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).
Šteta što ovi jednostavne stvari nisu objašnjeni u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.
Da, ne raspravljam: također morate znati što je aritmetički korijen. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o tome, jer bez toga bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.
Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.
Sve što trebate učiniti je razumjeti razliku između parnih i neparnih pokazatelja. Stoga, sakupimo još jednom sve što stvarno trebate znati o korijenima:
- Korijen parnog stupnja postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
- Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.
Je li teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, potpuno je očito! Sada ćemo malo vježbati s izračunima.
Osnovna svojstva i ograničenja
Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - o tome će biti riječi u zasebnoj lekciji. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "trik", koji se odnosi samo na korijene s jednakim indeksom. Zapišimo ovo svojstvo kao formulu:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]
Drugim riječima, ako broj dignemo na parnu potenciju i zatim izvučemo korijen iste potencije, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji se može lako dokazati (dovoljno je zasebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim zasebno negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi koje sadrže radikalni predznak), učenici jednoglasno zaborave ovu formulu.
Kako bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo odmah izračunati dva broja:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]
Ovo je vrlo jednostavni primjeri. Većina ljudi će riješiti prvi primjer, ali mnogi ljudi zapnu na drugom. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:
- Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit ćete novi broj koji se može naći čak iu tablici množenja;
- A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući četvrti korijen. Oni. ne događa se "redukcija" korijena i moći - to su sekvencijalne radnje.
Pogledajmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:
Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo podižemo broj −3 na četvrtu potenciju, što zahtijeva množenje samog sa sobom 4 puta:
\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]
Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u umnošku 4 i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvlačimo korijen:
U principu, ova rečenica nije mogla biti napisana, jer nije pametno da bi odgovor bio isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od običnog modula:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3 \desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]
Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala također uvijek sadrži nenegativan broj. Inače, korijen je nedefiniran.
Napomena o postupku
- Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da ispod predznaka korijena uvijek postoji nenegativan broj, jer $((a)^(2))\ge 0$ u svakom slučaju;
- Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo vadimo korijen određenog broja $a$ pa tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev uključen u definiciju.
Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako korijen ima negativan broj, a eksponent mu je paran, imamo hrpu problema.
Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.
Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena
Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo koje u principu ne postoji kod parnih. Naime:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ukratko, možete ukloniti minus ispod znaka korijena neparnih stupnjeva. Ovo je vrlo korisno svojstvo, koji vam omogućuje da "izbacite" sve negative:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz bio skriven ispod korijena, ali se stupanj u korijenu pokazao jednakim? Dovoljno je samo “izbaciti” sve minuse izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greška.
I tu na scenu stupa druga definicija - ista ona kojom u većini škola započinju proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!
Aritmetički korijen
Pretpostavimo na trenutak da ispod znaka korijena mogu biti samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula. Zaboravimo par/nepar indikatore, zaboravimo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?
I tada ćemo dobiti aritmetički korijen - on se djelomično preklapa s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.
Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.
Kao što vidimo, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.
Kako bismo bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole s kojima smo već upoznati:
Područje pretraživanja aritmetičkog korijena - nenegativni brojevi Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo staviti negativan broj pod korijen ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.
Možete se zapitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"
Pa, navest ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje primjerena. Na primjer, pravilo za potenciranje:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo primjera:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Pa u čemu je problem? Zašto ovo nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ - ovaj broj je sasvim normalan u našem klasičnom razumijevanju, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kao što vidite, u prvom smo slučaju uklonili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, budući da je eksponent neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. S matematičke točke gledišta, sve se radi po pravilima.
WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja izvrsno funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje proizvoditi potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.
To su se dosjetili kako bi se riješili takve dvosmislenosti aritmetički korijeni. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se već pokazala predugom.
Algebarski korijen: za one koji žele znati više
Dugo sam razmišljao da li da stavim ovu temu u poseban paragraf ili ne. Na kraju sam ga odlučio ostaviti ovdje. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.
Dakle: osim "klasične" definicije $n$-tog korijena broja i pripadajuće podjele na parne i neparne eksponente, postoji "odraslija" definicija koja uopće ne ovisi o paritetu i ostalim sitnicama. To se zove algebarski korijen.
Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji utvrđena oznaka za takve korijene, pa ćemo samo staviti crticu na vrh:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]
Temeljna razlika u odnosu na standardnu definiciju danu na početku lekcije je ta algebarski korijen- ovo nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj set dolazi u samo tri vrste:
- Prazan set. Javlja se kada trebate pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
- Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija nule, spadaju u ovu kategoriju;
- Konačno, skup može uključivati dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na graf kvadratne funkcije. Prema tome, takav raspored je moguć samo kada se iz pozitivnog broja vadi korijen parnog stupnja.
Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.
Primjer. Procijenite izraze:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:
\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]
To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]
Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, budući da je korijenski eksponent neparan.
Na kraju, posljednji izraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Dobili smo prazan set. Zato što ne postoji niti jedan realan broj koji bi nam, kada se digne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dao negativan broj −16.
Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$, i mnoge druge čudne stvari.
Međutim, kompleksni brojevi gotovo se nikada ne pojavljuju u suvremenim školskim tečajevima matematike. Uklonjeni su iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".
