Za rješavanje nekih problema bit će korisna tablica trigonometrijskih identiteta koja će znatno olakšati izvođenje transformacija funkcija:

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Kvocijent dijeljenja sinusa kuta alfa s kosinusom istog kuta jednak je tangensu tog kuta (Formula 1). Vidi i dokaz ispravnosti transformacije najjednostavnijih trigonometrijskih identiteta.
Kvocijent dijeljenja kosinusa kuta alfa sa sinusom istog kuta jednak je kotangensu istog kuta (Formula 2)
Sekans kuta jednak je jedinici podijeljenoj kosinusom istog kuta (Formula 3)
Zbroj kvadrata sinusa i kosinusa istog kuta jednak je jedan (Formula 4). vidi i dokaz zbroja kvadrata kosinusa i sinusa.
Zbroj jedinice i tangensa kuta jednak je omjeru jedinice i kvadrata kosinusa ovog kuta (Formula 5)
Jedinica plus kotangens kuta jednaka je kvocijentu dijeljenja jedinice s kvadratom sinusa ovog kuta (Formula 6)
Umnožak tangensa i kotangensa istog kuta jednak je jedan (Formula 7).

Pretvaranje negativnih kutova trigonometrijskih funkcija (parnih i neparnih)

Kako biste se riješili negativne vrijednosti stupnjeve mjere kuta pri izračunavanju sinusa, kosinusa ili tangensa, možete koristiti sljedeće trigonometrijske transformacije (identitete) temeljene na principima parnih ili neparnih trigonometrijskih funkcija.

Kao što se vidi, kosinus a sekans je ravnomjerna funkcija, sinus, tangens i kotangens su neparne funkcije.

Sinus negativnog kuta jednak je negativnoj vrijednosti sinusa tog istog pozitivnog kuta (minus sinus alfa).
Kosinus "minus alfa" dat će istu vrijednost kao kosinus kuta alfa.
Tangens minus alfa jednak je minus tangens alfa.

Formule za smanjenje dvostrukog kuta (sinus, kosinus, tangens i kotangens dvostrukog kuta)

Ako trebate kut podijeliti na pola ili obrnuto, prijeći s dvostrukog kuta na jedan, možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:

Pretvorba dvostrukog kuta (sinus dvostrukog kuta, kosinus dvostrukog kuta i tangens dvostrukog kuta) u jedan odvija se prema sljedećim pravilima:

Sinus dvostrukog kuta jednak je dvostrukom umnošku sinusa i kosinusa jednog kuta

Kosinus dvostrukog kuta jednak je razlici između kvadrata kosinusa jednog kuta i kvadrata sinusa tog kuta

Kosinus dvostrukog kuta jednako dvostrukom kvadratu kosinusa jednog kuta minus jedan

Kosinus dvostrukog kuta jednak je jedan minus dvostruki sinus kvadrat jednog kuta

Tangenta dvostrukog kuta jednako je razlomku čiji je brojnik dvostruki tangens jednog kuta, a nazivnik jednak jedan minus tangens kvadrata jednog kuta.

Kotangens dvostrukog kuta jednak je razlomku čiji je brojnik kvadrat kotangensa jednog kuta minus jedan, a nazivnik je jednak dvostrukom kotangensu jednog kuta

Univerzalne trigonometrijske supstitucijske formule

Formule za pretvorbu u nastavku mogu biti korisne kada argument trigonometrijske funkcije (sin α, cos α, tg α) trebate podijeliti s dva i dovesti izraz na vrijednost polovice kuta. Iz vrijednosti α dobivamo α/2 .

Te se formule nazivaju formule univerzalne trigonometrijske supstitucije. Njihova je vrijednost u tome što se trigonometrijski izraz uz njihovu pomoć svodi na izraz tangensa polovice kuta, bez obzira na to koje su trigonometrijske funkcije (sin cos tg ctg) izvorno bile u izrazu. Nakon toga, jednadžbu s tangensom pola kuta puno je lakše riješiti.

Trigonometrijski transformacijski identiteti polukuta

Sljedeće su formule za trigonometrijsku pretvorbu polovice vrijednosti kuta u njegovu cjelobrojnu vrijednost.
Vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α/2 svodi se na vrijednost argumenta trigonometrijske funkcije α.

Trigonometrijske formule za zbrajanje kutova

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Tangens i kotangens zbroja kutova alfa i beta mogu se pretvoriti prema sljedećim pravilima za pretvorbu trigonometrijskih funkcija:

Tangens zbroja kutova jednak je razlomku, čiji je brojnik zbroj tangensa prvog i tangensa drugog kuta, a nazivnik je jedan minus umnožak tangensa prvog kuta i tangensa drugog kuta.

Tangens kutne razlike jednak je razlomku, čiji je brojnik jednak razlici između tangensa smanjenog kuta i tangensa kuta koji se oduzima, a nazivnik je jedan plus umnožak tangensa tih kutova.

Kotangens zbroja kutova jednak je razlomku čiji je brojnik jednak umnošku kotangensa ovih kutova plus jedan, a nazivnik je jednak razlici između kotangensa drugog kuta i kotangensa prvog kuta.

Kotangens kutne razlike jednak je razlomku čiji je brojnik umnožak kotangenata ovih kutova minus jedan, a nazivnik je jednak zbroju kotangenata tih kutova.

Ovi trigonometrijski identiteti prikladni su za korištenje kada trebate izračunati, na primjer, tangens od 105 stupnjeva (tg 105). Ako je predstavljen kao tg (45 + 60), tada možete koristiti dane identične transformacije tangensa zbroja kutova, nakon čega jednostavno zamijenite tablične vrijednosti tangensa od 45 i tangensa od 60 stupnjeva.

Formule za pretvorbu zbroja ili razlike trigonometrijskih funkcija

Izrazi koji predstavljaju zbroj oblika sin α + sin β mogu se pretvoriti pomoću sljedećih formula:

Formule trostrukog kuta - pretvorite sin3α cos3α tg3α u sinα cosα tgα

Ponekad je potrebno pretvoriti trostruku vrijednost kuta tako da kut α postane argument trigonometrijske funkcije umjesto 3α.
U ovom slučaju možete koristiti formule (identitete) za transformaciju trostrukog kuta:

Formule za transformaciju umnoška trigonometrijskih funkcija

Ako postane potrebno pretvoriti umnožak sinusa različitih kutova u kosinuse različitih kutova, ili čak umnožak sinusa i kosinusa, tada možete koristiti sljedeće trigonometrijske identitete:


U tom će se slučaju umnožak funkcija sinusa, kosinusa ili tangensa različitih kutova pretvoriti u zbroj ili razliku.

Formule za redukciju trigonometrijskih funkcija

Morate upotrijebiti stol za cast na sljedeći način. U retku odaberite funkciju koja nas zanima. Stupac je kut. Na primjer, sinus kuta (α+90) u sjecištu prvog retka i prvog stupca, saznajemo da je sin (α+90) = cos α .

Kako pronaći sinus?

Proučavanje geometrije pomaže u razvoju mišljenja. Ovaj predmet je uključen u nastavni plan i program. U životu poznavanje ove teme može biti korisno - na primjer, prilikom planiranja stana.

Iz povijesti

U sklopu kolegija geometrije izučava se i trigonometrija koja istražuje trigonometrijske funkcije. U trigonometriji proučavamo sinuse, kosinuse, tangente i kotangense kuta.

Ali za sada, počnimo s najjednostavnijim - sinusom. Pogledajmo pobliže prvi koncept - sinus kuta u geometriji. Što je sinus i kako ga pronaći?

Pojam "sinusa kuta" i sinusoide

Sinus kuta je omjer vrijednosti suprotne noge i hipotenuze pravokutnog trokuta. Ovo je izravna trigonometrijska funkcija, koja se pismeno piše kao "sin (x)", gdje je (x) kut trokuta.

Na grafu je sinus kuta označen sinusoidom sa svojim karakteristikama. Sinusoida izgleda kao kontinuirana valovita linija koja leži unutar određenih granica na koordinatnoj ravnini. Funkcija je neparna, stoga je simetrična u odnosu na 0 na koordinatnoj ravnini (napušta ishodište koordinata).

Domena ove funkcije nalazi se u rasponu od -1 do +1 na Kartezijevom koordinatnom sustavu. Period funkcije sinusa kuta je 2 Pi. To znači da se svaka 2 Pi uzorak ponavlja i sinusni val prolazi kroz puni ciklus.

Jednadžba sinusoide

• sin x = a / c
• gdje je a krak nasuprot kutu trokuta
• c - hipotenuza pravokutnog trokuta

Svojstva sinusa kuta

1. sin(x) = - sin(x). Ova značajka pokazuje da je funkcija simetrična, a ako su vrijednosti x i (-x) ostavljene na koordinatnom sustavu u oba smjera, onda će ordinate ovih točaka biti suprotne. Oni će biti na jednakoj udaljenosti jedan od drugog.
2. Još jedna značajka ove funkcije je da graf funkcije raste na segmentu [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], gdje je n bilo koji cijeli broj. Smanjenje grafa sinusa kuta primijetit će se na segmentu: [P / 2 + 2 Pn]; [3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 kada je x u rasponu (2Pn, P + 2Pn)
4. (x)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Vrijednosti sinusa kuta određene su posebnim tablicama. Takve su tablice stvorene kako bi se olakšao proces izračunavanja složenih formula i jednadžbi. Jednostavan je za korištenje i sadrži vrijednosti ne samo funkcije sin(x), već i vrijednosti drugih funkcija.

Štoviše, tablica standardnih vrijednosti ovih funkcija uključena je u obveznu studiju memorije, poput tablice množenja. To posebno vrijedi za razrede s fizičkim i matematičkim predrasudama. U tablici možete vidjeti vrijednosti glavnih kutova koji se koriste u trigonometriji: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 i 360 stupnjeva.

Tu je i tablica koja definira vrijednosti trigonometrijskih funkcija nestandardnih kutova. Koristeći različite tablice, možete jednostavno izračunati sinus, kosinus, tangens i kotangens nekih kutova.

Jednadžbe se sastavljaju s trigonometrijskim funkcijama. Rješavanje ovih jednadžbi je jednostavno ako znate jednostavne trigonometrijske identitete i redukcije funkcija, na primjer, kao što su sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) i drugi. Za takve odljeve sastavljena je i posebna tablica.

Kako pronaći sinus kuta

Kada je zadatak pronaći sinus kuta, a prema uvjetu imamo samo kosinus, tangens ili kotangens kuta, možemo lako izračunati što nam je potrebno pomoću trigonometrijskih identiteta.

• sin 2 x + cos 2 x = 1

Iz ove jednadžbe možemo pronaći i sinus i kosinus, ovisno o tome koja je vrijednost nepoznata. Dobivamo trigonometrijsku jednadžbu s jednom nepoznatom:

• sin 2 x = 1 - cos 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sin 2 x

Iz ove jednadžbe možete pronaći vrijednost sinusa, znajući vrijednost kotangensa kuta. Da pojednostavimo, zamijenimo sin 2 x = y i tada imate jednostavnu jednadžbu. Na primjer, vrijednost kotangensa je 1, tada:

• 1 + 1 = 1/g
• 2 = 1 / god
• 2y = 1
• y = 1/2

Sada izvodimo obrnutu zamjenu igrača:

• sin 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Budući da smo uzeli vrijednost kotangensa za standardni kut (45 0), dobivene vrijednosti mogu se provjeriti u tablici.

Ako imate vrijednost tangensa, ali trebate pronaći sinus, drugi trigonometrijski identitet će vam pomoći:

• tg x * ctg x = 1

Iz toga slijedi da:

• ctg x = 1 / tg x

Da biste pronašli sinus nestandardnog kuta, na primjer, 240 0, morate koristiti formule za smanjenje kuta. Znamo da π za nas odgovara 180 0. Stoga ćemo svoju jednakost izraziti pomoću standardnih kutova širenjem.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Trebamo pronaći sljedeće: sin (180 0 + 60 0). U trigonometriji postoje redukcijske formule koje su korisne u ovom slučaju. Ovo je formula:

• sin (π + x) = - sin (x)

Dakle, sinus kuta od 240 stupnjeva je:

• sin (180 0 + 60 0) = - sin (60 0) = - √3/2

U našem slučaju x = 60, a P 180 stupnjeva. Vrijednost (-√3/2) pronašli smo iz tablice vrijednosti funkcija standardnih kutova.

Na ovaj način se mogu rastaviti nestandardni kutovi, na primjer: 210 = 180 + 30.

Osnovne formule trigonometrije su formule koje uspostavljaju odnose između osnovnih trigonometrijskih funkcija. Sinus, kosinus, tangens i kotangens međusobno su povezani mnogim odnosima. U nastavku dajemo glavne trigonometrijske formule, a radi praktičnosti grupiramo ih prema njihovoj namjeni. Pomoću ovih formula možete riješiti gotovo svaki problem iz standardnog tečaja trigonometrije. Odmah napominjemo da su u nastavku dane samo same formule, a ne njihovo izvođenje, čemu će biti posvećeni zasebni članci.

Osnovni identiteti trigonometrije

Trigonometrijski identiteti daju odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta, omogućujući da se jedna funkcija izrazi pomoću druge.

Trigonometrijski identiteti

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Ovi identiteti slijede izravno iz definicija jedinične kružnice, sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) i kotangensa (ctg).

Cast formule

Formule lijevanja omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim i proizvoljno velikim kutovima na rad s kutovima u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Cast formule

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Redukcijske formule su posljedica periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske adicijske formule

Formule zbrajanja u trigonometriji omogućuju vam da izrazite trigonometrijsku funkciju zbroja ili razlike kutova u smislu trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Trigonometrijske adicijske formule

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Na temelju adicijskih formula izvode se trigonometrijske formule za višestruki kut.

Formule više kutova: dvostruki, trostruki, itd.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α s t g 2 α \u003d s t g 2 α - 1 2 s t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule polukuta

Formule polukuta u trigonometriji posljedica su formula dvostrukog kuta i izražavaju odnos između osnovnih funkcija polukuta i kosinusa cijelog kuta.

Formule polukuta

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule redukcije

Formule redukcije

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Često je u izračunima nezgodno raditi s glomaznim moćima. Formule za smanjenje stupnja omogućuju smanjenje stupnja trigonometrijske funkcije s proizvoljno velikog na prvi. Ovo je njihov opći prikaz:

Opći oblik redukcijskih formula

za čak n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

za neparan n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija

Razlika i zbroj trigonometrijskih funkcija mogu se prikazati kao umnožak. Rastavljanje na faktore razlika sinusa i kosinusa vrlo je zgodno za korištenje pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi i pojednostavljivanju izraza.

Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produkt trigonometrijskih funkcija

Ako vam formule za zbroj i razliku funkcija omogućuju prijelaz na njihov proizvod, tada formule za proizvod trigonometrijskih funkcija provode obrnuti prijelaz - s proizvoda na zbroj. Razmatraju se formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.

Formule za umnožak trigonometrijskih funkcija

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Sve osnovne trigonometrijske funkcije - sinus, kosinus, tangens i kotangens - mogu se izraziti preko tangensa polukuta.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Bilješka. Ova tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija koristi znak √ za označavanje kvadratnog korijena. Za označavanje razlomka - simbol "/".

vidi također korisni materijali:

Za određivanje vrijednosti trigonometrijske funkcije, pronađite ga na sjecištu crte koja označava trigonometrijsku funkciju. Na primjer, sinus od 30 stupnjeva - tražimo stupac s naslovom sin (sinus) i nalazimo sjecište ovog stupca tablice s linijom "30 stupnjeva", na njihovom sjecištu čitamo rezultat - jedan drugi. Slično, nalazimo kosinus 60 stupnjevi, sinus 60 stupnjeva (još jednom, na sjecištu stupca sin (sinus) i reda od 60 stupnjeva nalazimo vrijednost sin 60 = √3/2), itd. Na isti način se pronalaze vrijednosti sinusa, kosinusa i tangensa drugih "popularnih" kutova.

Sinus od pi, kosinus od pi, tangens od pi i drugi kutovi u radijanima

Tablica kosinusa, sinusa i tangensa u nastavku također je prikladna za pronalaženje vrijednosti trigonometrijskih funkcija čiji je argument dano u radijanima. Da biste to učinili, koristite drugi stupac vrijednosti kuta. Zahvaljujući tome, možete pretvoriti vrijednost popularnih kutova iz stupnjeva u radijane. Na primjer, pronađimo kut od 60 stupnjeva u prvom retku i ispod njega pročitaj njegovu vrijednost u radijanima. 60 stupnjeva jednako je π/3 radijana.

Broj pi jednoznačno izražava ovisnost opsega kruga o stupnjskoj mjeri kuta. Dakle, pi radijana je jednako 180 stupnjeva.

Svaki broj izražen u pi (radijan) može se lako pretvoriti u stupnjeve zamjenom broja pi (π) sa 180.

Primjeri:
1. sinus pi.
sin π = sin 180 = 0
dakle, sinus od pi je isti kao sinus od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

2. kosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
prema tome, kosinus od pi je isti kao kosinus od 180 stupnjeva i jednak je minus jedan.

3. Tangenta pi
tg π = tg 180 = 0
prema tome, tangens od pi je isti kao tangens od 180 stupnjeva i jednak je nuli.

Tablica vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa za kutove 0 - 360 stupnjeva (česte vrijednosti)

kut α (stupnjevi)	kut α u radijanima (putem pi)	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	uzrok (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ako je u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija umjesto vrijednosti funkcije navedena crtica (tangens (tg) 90 stupnjeva, kotangens (ctg) 180 stupnjeva), tada je za zadanu vrijednost mjere stupnja kut, funkcija nema određenu vrijednost. Ako nema crtice, ćelija je prazna, dakle još nismo unijeli željenu vrijednost. Zanima nas po kakvim zahtjevima nam se korisnici obraćaju i dopunjuju tablicu novim vrijednostima, unatoč tome što su trenutni podaci o vrijednostima kosinusa, sinusa i tangensa najčešćih vrijednosti kutova dovoljni za rješavanje većine problema.

Tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija sin, cos, tg za najpopularnije kutove
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupnjeva
(brojčane vrijednosti "prema Bradisovim tablicama")

vrijednost kuta α (stupnjevi)	vrijednost kuta α u radijanima	grijeh (sinus)	cos (kosinus)	tg (tangenta)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Koncepti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa glavne su kategorije trigonometrije - grane matematike, i neraskidivo su povezani s definicijom kuta. Posjedovanje ove matematičke znanosti zahtijeva pamćenje i razumijevanje formula i teorema, kao i razvijeno prostorno razmišljanje. Zato trigonometrijski izračuni često stvaraju poteškoće školarcima i studentima. Da biste ih prevladali, trebali biste se bolje upoznati s trigonometrijskim funkcijama i formulama.

Pojmovi u trigonometriji

Da biste razumjeli osnovne koncepte trigonometrije, prvo morate odlučiti što su pravokutni trokut i kut u krugu i zašto su svi osnovni trigonometrijski izračuni povezani s njima. Trokut u kojem je jedan od kutova 90 stupnjeva je pravokutni trokut. Povijesno gledano, ovu figuru često su koristili ljudi u arhitekturi, navigaciji, umjetnosti, astronomiji. U skladu s tim, proučavajući i analizirajući svojstva ove figure, ljudi su došli do izračuna odgovarajućih omjera njegovih parametara.

Glavne kategorije povezane s pravokutnim trokutima su hipotenuza i katete. Hipotenuza je stranica trokuta koja je nasuprot pravog kuta. Noge su, odnosno, druge dvije strane. Zbroj kutova bilo kojeg trokuta uvijek je 180 stupnjeva.

Sferna trigonometrija dio je trigonometrije koji se ne uči u školi, ali u primijenjenim znanostima poput astronomije i geodezije znanstvenici ga koriste. Značajka trokuta u sfernoj trigonometriji je da uvijek ima zbroj kutova veći od 180 stupnjeva.

Kutovi trokuta

U pravokutnom trokutu, sinus kuta je omjer katete nasuprot željenom kutu i hipotenuze trokuta. Prema tome, kosinus je omjer susjedne noge i hipotenuze. Obje ove vrijednosti uvijek imaju vrijednost manju od jedan, budući da je hipotenuza uvijek duža od noge.

Tangens kuta je vrijednost jednaka omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka željenog kuta, ili sinusa prema kosinusu. Kotangens je pak omjer susjednog kraka željenog kuta u odnosu na suprotni katet. Kotangens kuta također se može dobiti dijeljenjem jedinice s vrijednošću tangensa.

jedinični krug

Jedinična kružnica u geometriji je kružnica čiji je radijus jednak jedinici. Takva se kružnica konstruira u kartezijevom koordinatnom sustavu, pri čemu se središte kružnice poklapa s ishodištem, a početni položaj radijus vektora određen je pozitivnim smjerom osi X (apscisne osi). Svaka točka kružnice ima dvije koordinate: XX i YY, odnosno koordinate apscise i ordinate. Odabirom bilo koje točke na kružnici u ravnini XX i s nje spustimo okomicu na apscisnu os, dobivamo pravokutni trokut koji tvori polumjer do odabrane točke (označimo ga slovom C), okomicu povučenu na os X (sjecište je označeno slovom G), a isječak apscisna os između ishodišta (točka je označena slovom A) i sjecišta G. Rezultirajući trokut ACG je pravokutni trokut upisan u krug, gdje je AG hipotenuza, a AC i GC katete. Kut između polumjera kružnice AC i segmenta apscisne osi s oznakom AG definiramo kao α (alfa). Dakle, cos α = AG/AC. S obzirom da je AC polumjer jedinične kružnice, a jednak je jedinici, ispada da je cos α=AG. Slično, sin α=CG.

Osim toga, znajući ove podatke, moguće je odrediti koordinatu točke C na kružnici, jer je cos α=AG, a sin α=CG, što znači da točka C ima zadane koordinate (cos α; sin α). Znajući da je tangens jednak omjeru sinusa i kosinusa, možemo odrediti da je tg α \u003d y / x i ctg α \u003d x / y. Uzimajući u obzir kutove u negativnom koordinatnom sustavu, može se izračunati da vrijednosti sinusa i kosinusa nekih kutova mogu biti negativne.

Izračuni i osnovne formule

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Razmotrivši bit trigonometrijskih funkcija kroz jediničnu kružnicu, možemo izvesti vrijednosti ovih funkcija za neke kutove. Vrijednosti su navedene u donjoj tablici.

Najjednostavniji trigonometrijski identiteti

Jednadžbe u kojima se ispod predznaka trigonometrijske funkcije nalazi nepoznata vrijednost nazivamo trigonometrijskim. Identiteti s vrijednošću sin x = α, k je bilo koji cijeli broj:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteti s vrijednošću cos x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nema rješenja.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, h = ±arccos α + 2πk.

Identiteti s vrijednošću tg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteti s vrijednošću ctg x = a, gdje je k bilo koji cijeli broj:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formule

Ova kategorija konstantnih formula označava metode pomoću kojih možete prijeći s trigonometrijskih funkcija oblika na funkcije argumenta, odnosno pretvoriti sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta bilo koje vrijednosti u odgovarajuće pokazatelje kuta interval od 0 do 90 stupnjeva za veću praktičnost izračuna.

Formule za smanjenje funkcija za sinus kuta izgledaju ovako:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Za kosinus kuta:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Korištenje gornjih formula moguće je uz dva pravila. Prvo, ako se kut može prikazati kao vrijednost (π/2 ± a) ili (3π/2 ± a), vrijednost funkcije se mijenja:

• od grijeha do cos;
• od cos do grijeha;
• od tg do ctg;
• od ctg do tg.

Vrijednost funkcije ostaje nepromijenjena ako se kut može prikazati kao (π ± a) ili (2π ± a).

Drugo, predznak smanjene funkcije se ne mijenja: ako je u početku bio pozitivan, takav i ostaje. Isto vrijedi i za negativne funkcije.

Formule zbrajanja

Ove formule izražavaju vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa zbroja i razlike dvaju kutova rotacije u smislu njihovih trigonometrijskih funkcija. Kutovi se obično označavaju kao α i β.

Formule izgledaju ovako:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ove formule vrijede za sve kutove α i β.

Formule dvostrukog i trostrukog kuta

Trigonometrijske formule dvostrukog i trostrukog kuta su formule koje povezuju funkcije kutova 2α odnosno 3α s trigonometrijskim funkcijama kuta α. Izvedeno iz adicijskih formula:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prijelaz sa zbroja na umnožak

Uzimajući u obzir da je 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), pojednostavljujući ovu formulu, dobivamo identitet sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Slično, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prijelaz s umnoška na zbroj

Ove formule slijede iz identiteta za prijelaz zbroja u umnožak:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule redukcije

U ovim identitetima, kvadratni i kubični potencije sinusa i kosinusa mogu se izraziti u terminima sinusa i kosinusa prve potencije višestrukog kuta:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzalna zamjena

Univerzalne trigonometrijske supstitucijske formule izražavaju trigonometrijske funkcije u smislu tangensa polukuta.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), dok je x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), gdje je x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), gdje je x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), dok je x \u003d π + 2πn.

Posebni slučajevi

Dolje su navedeni pojedini slučajevi najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi (k je bilo koji cijeli broj).

Privatno za sinus:

sin x vrijednost	x vrijednost
0	pak
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ili 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ili -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ili 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ili -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ili 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ili -2π/3 + 2πk

Kosinusni kvocijenti:

vrijednost cos x	x vrijednost
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privatno za tangentu:

tg x vrijednost	x vrijednost
0	pak
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangens kvocijenti:

ctg x vrijednost	x vrijednost
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Sinusni teorem

Postoje dvije verzije teorema - jednostavna i proširena. Jednostavni sinusni teorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. U ovom slučaju a, b, c su stranice trokuta, a α, β, γ suprotni kutovi, redom.

Prošireni sinusni teorem za proizvoljni trokut: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. U ovom identitetu R označava polumjer kružnice u koju je upisan dati trokut.

Kosinusni teorem

Identitet se prikazuje na ovaj način: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. U formuli su a, b, c stranice trokuta, a α je kut nasuprot stranici a.

Teorem o tangenti

Formula izražava odnos između tangenti dvaju kutova i duljina stranica nasuprot njima. Stranice su označene a, b, c, a odgovarajući nasuprotni kutovi su α, β, γ. Formula teorema o tangenti: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorem o kotangensu

Povezuje polumjer kruga upisanog u trokut s duljinama njegovih stranica. Ako su a, b, c stranice trokuta, a A, B, C njihovi suprotni kutovi, r je polumjer upisane kružnice, a p polumjer trokuta, sljedeći identiteti držati:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Prijave

Trigonometrija nije samo teorijska znanost povezana s matematičkim formulama. Njegova svojstva, teoreme i pravila koriste u praksi razne grane ljudske djelatnosti - astronomija, zračna i pomorska navigacija, teorija glazbe, geodezija, kemija, akustika, optika, elektronika, arhitektura, ekonomija, strojarstvo, mjerni poslovi, računalna grafika, kartografija, oceanografija i mnogi drugi.

Sinus, kosinus, tangens i kotangens osnovni su pojmovi trigonometrije, pomoću kojih možete matematički izraziti odnos između kutova i duljina stranica u trokutu, te pronaći željene veličine pomoću identiteta, teorema i pravila.