Koncept paralelograma
Definicija 1
Paralelogram je četverokut u kojem su nasuprotne stranice međusobno paralelne (slika 1).
Slika 1.
Paralelogram ima dva glavna svojstva. Razmotrimo ih bez dokaza.
Svojstvo 1: Nasuprotne stranice i kutovi paralelograma su jednaki.
Svojstvo 2: Dijagonale nacrtane u paralelogramu dijele se na dva dijela svojim sjecištem.
Znakovi paralelograma
Razmotrimo tri karakteristike paralelograma i predstavimo ih u obliku teorema.
Teorem 1
Ako su dvije stranice četverokuta međusobno jednake i paralelne, tada će taj četverokut biti paralelogram.
Dokaz.
Neka nam je dan četverokut $ABCD$. U kojem $AB||CD$ i $AB=CD$ Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (sl. 2).
Slika 2.
Promotrimo paralelne pravce $AB$ i $CD$ i njihovu sekantu $AC$. Zatim
\[\kut CAB=\kut DCA\]
poput iskrižanih uglova.
Prema $I$ kriteriju jednakosti trokuta,
budući da im je $AC$ zajednička stranica, a $AB=CD$ po uvjetu. Sredstva
\[\kut DAC=\kut ACB\]
Promotrimo pravce $AD$ i $CB$ i njihovu sekansu $AC$; posljednjom jednakošću između ležećih kutova dobivamo da je $AD||CB$.) Prema tome, po definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.
Teorem je dokazan.
Teorem 2
Ako su nasuprotne stranice četverokuta međusobno jednake, onda je on paralelogram.
Dokaz.
Neka nam je dan četverokut $ABCD$. U kojem je $AD=BC$ i $AB=CD$. Nacrtajmo u njemu dijagonalu $AC$ (sl. 3).
Slika 3.
Kako je $AD=BC$, $AB=CD$, a $AC$ zajednička stranica, onda po $III$ kriteriju jednakosti trokuta,
\[\trokut DAC=\trokut ACB\]
\[\kut DAC=\kut ACB\]
Promotrimo pravce $AD$ i $CB$ i njihovu sekansu $AC$; posljednjom jednakošću među kutovima dobivamo da je $AD||CB$. Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverokut je paralelogram.
\[\kut DCA=\kut CAB\]
Promotrimo pravce $AB$ i $CD$ i njihovu sekansu $AC$, a posljednjom jednakošću između ležećih kutova dobivamo da je $AB||CD$. Prema tome, prema definiciji 1, ovaj četverokut je paralelogram.
Teorem je dokazan.
Teorem 3
Ako su dijagonale nacrtane u četverokutu sjecištem podijeljene na dva jednaka dijela, tada je taj četverokut paralelogram.
Dokaz.
Neka nam je dan četverokut $ABCD$. Nacrtajmo u njoj dijagonale $AC$ i $BD$. Neka se sijeku u točki $O$ (sl. 4).
Slika 4.
Kako je po uvjetu $BO=OD,\ AO=OC$ i kutovi $\angle COB=\angle DOA$ okomiti, onda je po $I$ kriteriju jednakosti trokuta
\[\trokut BOC=\trokut AOD\]
\[\kut DBC=\kut BDA\]
Promotrimo pravce $BC$ i $AD$ i njihovu sekansu $BD$; posljednjom jednakošću između ležećih kutova dobivamo da je $BC||AD$. Također $BC=AD$. Prema teoremu $1$, ovaj četverokut je paralelogram.
Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice paralelne, tj. leže na paralelnim pravcima
Svojstva paralelograma: 
Teorem 22.
Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.
Dokaz. Paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC. Trokuti ACD i ACB su jednaki jer imaju zajedničku stranicu AC i dva para jednaki kutovi. njemu susjedni: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (kao poprečni kutovi s usporednim pravcima AD i BC). To znači da je AB = CD i BC = AD, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta itd. Iz jednakosti ovih trokuta također slijedi da su odgovarajući kutovi trokuta jednaki:
Teorem 23.
Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki: ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D.
Jednakost prvog para proizlazi iz jednakosti trokuta ABD i CBD, a drugog - ABC i ACD.
Teorem 24.
Susjedni kutovi paralelograma, tj. kutovi uz jednu stranu zbroje do 180 stupnjeva.
To je tako jer su unutarnji jednostrani kutovi.
Teorem 25.
Dijagonale paralelograma međusobno se raspolavljaju u sjecištima.
Dokaz. Promotrimo trokute BOC i AOD. Prema prvom svojstvu AD=BC ∠ OAD=∠ OCB i ∠ ODA=∠ OBC unakrsno ležeći za paralelne pravce AD i BC. Prema tome, trokuti BOC i AOD imaju jednake stranice i susjedne kutove. To znači BO=OD i AO=OS, kao odgovarajuće stranice jednakih trokuta, itd.
Znakovi paralelograma
Teorem 26.
Ako su nasuprotne stranice četverokuta u parovima jednake, onda je on paralelogram.
Dokaz. Neka četverokut ABCD ima jednake stranice AD i BC, AB i CD (slika 2). Nacrtajmo dijagonalu AC. Trokuti ABC i ACD jednaki su na tri strane. Tada su kutovi BAC i DCA jednaki pa je AB paralelan s CD. Paralelnost stranica BC i AD slijedi iz jednakosti kutova CAD i ACB.
Teorem 27.
Ako su nasuprotni kutovi četverokuta u parovima jednaki, tada je on paralelogram.
Neka je ∠ A=∠ C i ∠ B=∠ D. Jer ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, zatim ∠ A+∠ B=180 o i stranice AD i BC su paralelne (na temelju paralelnosti ravnih pravaca). Također ćemo dokazati paralelnost stranica AB i CD i zaključiti da je ABCD po definiciji paralelogram.
Teorem 28.
Ako su susjedni kutovi četverokuta, tj. Kutovi uz jednu stranu zbroje se do 180 stupnjeva, tada je to paralelogram.
Ako zbroj unutarnjih jednostranih kutova iznosi 180 stupnjeva, tada su ravne linije paralelne. Dakle, AB je paralelan s CD, a BC je paralelan s AD. Ispada da je četverokut po definiciji paralelogram.
Teorem 29.
Ako se dijagonale četverokuta međusobno raspolovljuju u točki presjeka, tada je četverokut paralelogram.
Dokaz. Ako je AO = OC, BO = OD, tada su trokuti AOD i BOC jednaki, jer imaju jednake (okomite) kutove u vrhu O, zatvoreni između parova jednakih stranica. Iz jednakosti trokuta zaključujemo da su AD i BC jednaki. Stranice AB i CD također su jednake, a četverokut se prema kriteriju 1 pokazuje kao paralelogram.
Teorem 30.
Ako četverokut ima par jednakih, paralelnih stranica, onda je to paralelogram.
Neka su stranice AB i CD četverokuta ABCD paralelne i jednake. Nacrtajmo dijagonale AC i BD. Iz paralelnosti ovih pravaca slijedi da su poprečni kutovi ABO = CDO i BAO = OCD jednaki. Trokuti ABO i CDO imaju jednake stranice i susjedne kutove. Prema tome AO=OS, VO=OD,tj. Dijagonale su podijeljene napola sjecišnom točkom i četverokut se ispostavlja kao paralelogram prema kriteriju 4.
U geometriji se razmatraju posebni slučajevi paralelograma.
Prilikom rješavanja problema na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:
- Simetrala unutarnjeg kuta paralelograma odsijeca od njega jednakokračni trokut
- Simetrale unutarnjih kutova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite.
- Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutarnjih kutova paralelograma međusobno su paralelne ili leže na istoj ravnoj crti
- Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
- Površina paralelograma jednaka je polovici umnoška dijagonala i sinusa kuta između njih
Razmotrimo probleme u kojima se ta svojstva koriste.
Zadatak 1.
Simetrala kuta C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u točki M, a nastavak stranice AB iza točke A u točki E. Odredi opseg paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.
Riješenje.
1. Trokut CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.
2. Trokut EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Opseg ABCD = 20 cm.
Odgovor. 20 cm.
Zadatak 2.
U konveksnom četverokutu ABCD nacrtane su dijagonale. Poznato je da su površine trokuta ABD, ACD, BCD jednake. Dokažite da je taj četverokut paralelogram.
Riješenje.
1. Neka je BE visina trokuta ABD, CF visina trokuta ACD. Kako su prema uvjetima zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu AD, tada su i visine tih trokuta jednake. BE = CF.
2. BE, CF su okomite na AD. Točke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na ravnu liniju AD. BE = CF. Prema tome, pravac BC || OGLAS. (*)
3. Neka je AL visina trokuta ACD, BK visina trokuta BCD. Kako su prema uvjetima zadatka površine trokuta jednake i imaju zajedničku osnovicu CD, tada su i visine tih trokuta jednake. AL = BK.
4. AL i BK su okomiti na CD. Točke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na ravnu liniju CD. AL = BK. Prema tome, pravac AB || CD (**)
5. Iz uvjeta (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.
Odgovor. dokazano. ABCD je paralelogram.
Zadatak 3.
Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su točke M odnosno H tako da se duži BM i HD sijeku u točki O;<ВМD = 95 о,
Riješenje.
1. U trokutu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. U pravokutnom trokutu DHC Zatim<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ali CD = AB. Tada je AB:HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Zadatak 4. Jedna od dijagonala paralelograma duljine 4√6 zatvara s osnovicom kut od 60°, a druga dijagonala s istom osnovicom zatvara kut od 45°. Pronađite drugu dijagonalu. Riješenje.
1. AO = 2√6. 2. Sinusni teorem primjenjujemo na trokut AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Odgovor: 12.
Zadatak 5. Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji kut između dijagonala jednak je manjem kutu paralelograma. Nađi zbroj duljina dijagonala. Riješenje.
Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a kut između dijagonala i manjeg kuta paralelograma jednak je φ. 1. Nabrojimo dvije različite S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Dobivamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f odn. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Odnosom stranica i dijagonala paralelograma zapisujemo jednakost (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Kreirajmo sustav: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Pomnožimo drugu jednadžbu sustava s 2 i pribrojimo je prvoj. Dobivamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Stoga je Id 1 + d 2 I = 24. Kako su d 1, d 2 duljine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24. Odgovor: 24.
Zadatak 6. Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštri kut između dijagonala je 45 stupnjeva. Pronađite površinu paralelograma. Riješenje.
1. Iz trokuta AOB pomoću kosinusnog teorema ispisujemo odnos stranice paralelograma i dijagonala. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Slično pišemo relaciju za trokut AOD. Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dobivamo jednadžbu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Imamo sustav Oduzimanjem prve od druge jednadžbe dobivamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 odn. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sustav u potpunosti, predviđajući da nam je u ovom zadatku potreban umnožak dijagonala za izračunavanje površine. Odgovor: 10. Zadatak 7. Površina paralelograma je 96, a stranice su mu 8 i 15. Odredite kvadrat manje dijagonale. Riješenje.
1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli. Dobivamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Stoga je sin VAD = 4/5. 2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Prema uvjetima zadatka nalazimo duljinu manje dijagonale. Dijagonala VD bit će manja ako je kut VAD oštar. Tada je cos VAD = 3/5. 3. Iz trokuta ABD pomoću kosinusnog poučka nalazimo kvadrat dijagonale BD. VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD. VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Odgovor: 145.
Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti geometrijski problem? web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna. Paralelogram je četverokut čije su nasuprotne stranice u parovima paralelne. Sljedeća slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranicu AB paralelnu sa stranicom CD i stranicu BC paralelnu sa stranicom AD. Kao što ste možda pogodili, paralelogram je konveksni četverokut. Razmotrimo osnovna svojstva paralelograma. 1. U paralelogramu su nasuprotni kutovi i nasuprotne stranice jednaki. Dokažimo ovo svojstvo - razmotrimo paralelogram prikazan na sljedećoj slici. Dijagonala BD ga dijeli na dva jednaka trokuta: ABD i CBD. Oni su jednaki duž stranice BD i dvaju kutova uz nju, budući da su kutovi koji poprečno leže na sekanti BD paralelnih pravaca BC i AD odnosno AB i CD. Prema tome AB = CD i 2. Dijagonale paralelograma sjecištem dijeli popola. Neka je točka O sjecište dijagonala AC i BD paralelograma ABCD. Tada su trokut AOB i trokut COD međusobno jednaki, uzduž stranice i dva susjedna kuta. (AB = CD budući da su to suprotne strane paralelograma. A kut1 = kut2 i kut3 = kut4 su poput poprečnih kutova kada se pravci AB i CD sijeku sa sekantama AC odnosno BD.) Iz ovoga slijedi da je AO = OC i OB = OD, što je i trebalo dokazati. Sva glavna svojstva ilustrirana su na sljedeće tri slike. “Veliko znanstveno otkriće nudi rješenje za veliki problem, ali u rješenju bilo kojeg problema postoji zrno otkrića.” Paralelogram ima nasuprotne stranice koje su jednake. Dokaz. Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O. U paralelogramu su suprotni kutovi jednaki. Dokaz. Dijagonale paralelograma se sijeku iu točki presjeka raspolavljaju. Dokaz. Neka je ABCD zadani paralelogram. Nacrtajmo dijagonalu AC. Označimo na njemu sredinu O. Na nastavku dužine DO ostavit ćemo po strani dužinu OB 1 jednaku DO. U udžbenicima za redovne škole (npr. u Pogorelovu) to se dokazuje ovako: dijagonale dijele paralelogram na 4 trokuta. Razmotrimo jedan par i saznajmo - oni su jednaki: njihove baze su suprotne strane, odgovarajući kutovi uz njega su jednaki, poput okomitih kutova s paralelnim linijama. Odnosno, segmenti dijagonala su jednaki u parovima. Svi. Je li to sve? Smiješno je to što je ovaj dio puno teže dokazati. Ovo, uzgred, slijedi iz općenitijeg rezultata: svaki konveksni četverokut će imati dijagonale koje se sijeku, ali bilo koji nekonveksni četverokut neće. O jednakosti trokuta duž stranice i dva susjedna kuta (drugi znak jednakosti trokuta) i dr. Thales je pronašao važnu praktičnu primjenu teorema o jednakosti dvaju trokuta duž stranice i dvaju susjednih kutova. U luci Mileta sagrađen je daljinomjer za određivanje udaljenosti do broda na moru. Sastojala se od tri zabijena klina A, B i C (AB = BC) i označene ravne crte SC, okomite na CA. Kad se brod pojavio na SK ravnoj liniji, našli smo točku D tako da su točke D, .B i E bile na istoj ravnoj liniji. Kao što je jasno iz crteža, udaljenost CD na tlu je željena udaljenost do broda. Radili smo na lekciji Kuznjecov A.V. Poturnak S.A. Evgenij Petrov Možete postaviti pitanje o suvremenom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti gorući problem na Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnoj razini. Stvorivši blog, Ne samo da ćete unaprijediti svoj status kompetentnog učitelja, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na suradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.
(
(Budući da je u pravokutnom trokutu kateta koja leži nasuprot kutu od 30° jednaka polovici hipotenuze).
načine svoje područje.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!
Svojstva paralelograma
prije Krista = AD. A iz jednakosti kutova 1, 2, 3 i 4 slijedi da je kut A = kut 1 + kut 3 = kut 2 + kut 4 = kut C.
Tema lekcije
Ciljevi lekcije
Ciljevi lekcije
Plan učenja
Uvod
Svojstvo suprotnih stranica paralelograma
Kako je Δ AOB = Δ COD po prvom kriteriju jednakosti trokuta (∠ AOB = ∠ COD, kao okomitih, AO=OC, DO=OB, po svojstvu dijagonala paralelograma), onda je AB=CD. Na isti način iz jednakosti trokuta BOC i DOA slijedi da je BC = DA. Teorem je dokazan. Svojstvo nasuprotnih kutova paralelograma
Neka je ABCD zadani paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u točki O.
Iz dokazanog u teoremu o svojstvima suprotnih stranica paralelograma Δ ABC = Δ CDA na tri strane (AB=CD, BC=DA iz dokazanog, AC – općenito). Iz jednakosti trokuta slijedi ∠ ABC = ∠ CDA.
Također je dokazano da je ∠ DAB = ∠ BCD, što slijedi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Teorem je dokazan.Svojstvo dijagonala paralelograma
Prema prethodnom teoremu, AB 1 CD je paralelogram. Stoga je pravac AB 1 paralelan s DC. Ali kroz točku A može se povući samo jedan pravac paralelan s DC. To znači da se ravnica AB 1 podudara s ravnicom AB.
Također je dokazano da se BC 1 podudara s BC. To znači da se točka C poklapa s C 1. paralelogram ABCD poklapa se s paralelogramom AB 1 CD. Zbog toga se dijagonale paralelograma sijeku iu točki presjeka prepolovljuju. Teorem je dokazan.
Gore je dokazano da sjecište raspolavlja dijagonale - ako postoji. Gornje obrazloženje ni na koji način ne dokazuje samo njegovo postojanje. Odnosno, dio teorema "dijagonale paralelograma se sijeku" ostaje nedokazan.
Pitanja
Popis korištenih izvora
