Za uspješno korištenje operacije vađenja korijena u praksi, morate se upoznati sa svojstvima ove operacije.
Sva svojstva su formulirana i dokazana samo za ne-negativne vrijednosti varijabli sadržanih pod predznacima korijena.
Teorem 1. Korijen n-ti stupanj(n=2, 3, 4,...) iz umnoška dva nenegativna čipa jednak je umnošku n-tih korijena ovih brojeva:
Komentar:
1.
Teorem 1 ostaje vrijedan za slučaj kada je radikalni izraz umnožak više od dva nenegativna broja.
Teorem 2.Ako,
i n - prirodni broj, veći od 1, onda je jednakost istinita
Kratak(iako netočna) formulacija, koja je praktičnija za korištenje u praksi: korijen razlomka jednak je razlomku korijena.
Teorem 1 nam omogućuje množenje t samo korijeni istog stupnja
, tj. samo korijeni s istim indeksom.
Teorem 3.Ako ,k je prirodan broj i n je prirodan broj veći od 1, onda je jednakost istinita
Drugim riječima, izgraditi korijen prirodni stupanj, dovoljno je podići radikalni izraz na ovu snagu.
Ovo je posljedica teorema 1. Zapravo, na primjer, za k = 3 dobivamo: Možemo razmišljati na potpuno isti način u slučaju bilo koje druge prirodne vrijednosti eksponenta k.
Teorem 4.Ako ,k, n prirodni brojevi veći od 1, onda je jednakost istinita
Drugim riječima, da biste izvukli korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti pokazatelje korijena.
Na primjer,
Budi oprezan! Naučili smo da se nad korijenima mogu izvoditi četiri operacije: množenje, dijeljenje, stepenovanje i vađenje korijena (iz korijena). Ali što je s zbrajanjem i oduzimanjem korijena? Nema šanse.
Na primjer, umjesto da napišete Stvarno, Ali očito je da
Teorem 5.Ako pokazatelji korijenskog i radikalnog izraza množe ili dijele s istim prirodnim brojem, tada se vrijednost korijena neće promijeniti, tj.
Primjeri rješavanja problema
Primjer 1. Izračunati
Riješenje. Koristeći prvo svojstvo korijena (teorem 1), dobivamo:
Primjer 2. Izračunati
Riješenje. Pretvorite mješoviti broj u nepravi razlomak.
Imamo koristeći drugo svojstvo korijena ( Teorem 2
), dobivamo:
Primjer 3. Izračunati: 
Riješenje. Svaka formula u algebri, kao što dobro znate, koristi se ne samo "s lijeva na desno", već i "s desna na lijevo". Dakle, prvo svojstvo korijena znači da se oni mogu prikazati u obliku i, obrnuto, mogu se zamijeniti izrazom. Isto vrijedi i za drugo svojstvo korijena. Uzimajući ovo u obzir, izvršimo izračune.
Čestitamo: danas ćemo gledati korijenje - jednu od najzanimljivijih tema u 8. razredu. :)
Mnogi se zbunjuju oko korijena, ne zato što su složeni (što je tu komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što se u većini školskih udžbenika korijeni definiraju kroz takvu džunglu da samo autori udžbenika ne znaju ništa o tome. sami mogu razumjeti ovo pisanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)
Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju biste zaista trebali zapamtiti. A onda ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.
Ali prvo zapamtite jedno važna točka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":
Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i sve vrste $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (sve vrste $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.
Vjerojatno 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima krije se u ovom jebenom "nešto drugačijem". Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:
Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ je takav da je $((b)^(n))=a$. A neparni korijen istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.
U svakom slučaju, korijen se označava ovako:
\(a)\]
Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "favorit" Korijen(usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ je kubni (neparni stupanj), što se također često nalazi u problemima i jednadžbama.
Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Usput, $\sqrt(0)=0$, a $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično, jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Kockasti korijeni su također uobičajeni - ne morate ih se bojati:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Pa, par “egzotičnih primjera”:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!
U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.
Zašto su korijeni uopće potrebni?
Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: "Što su matematičari pušili kad su ovo smislili?" I stvarno: zašto su uopće potrebni svi ti korijeni?
Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak osnovne razrede. Zapamtite: u ta davna vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je pravilno množiti brojeve. Pa, nešto poput "pet po pet - dvadeset pet", to je sve. Ali brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa im je bilo teško da ovako zapišu množenje deset petica:
Zato su smislili diplome. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Nešto kao ovo:
Vrlo je povoljno! Svi izračuni značajno su smanjeni i ne morate gubiti hrpu listova pergamenta i bilježnica da biste zapisali nekih 5183. Ovaj rekord nazvali su potencijom broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali pokazalo se da je sreća bila kratkog vijeka.
Nakon grandioznog pijančevanja, organiziranog samo za “otkriće” stupnjeva, neki posebno tvrdoglavi matematičar iznenada je upitao: “Što ako znamo stupanj broja, ali je sam broj nepoznat?” Sada, doista, ako znamo da određeni broj $b$, recimo, na 5. potenciju daje 243, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?
Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “gotovih” snaga nema takvih “početnih” brojeva. Prosudite sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]
Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebamo pronaći određeni broj koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3, budući da je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Odnosno ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali nećete razumjeti čemu je jednak.
Upravo zbog toga su matematičari došli do $n$-tih korijena. Upravo je zato uveden radikalni simbol $\sqrt(*)$. Označiti upravo taj broj $b$, koji će nam do naznačenog stupnja dati unaprijed poznatu vrijednost
\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]
Ne raspravljam: često se ti korijeni lako izračunaju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. Ali ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj i zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, bit ćete u strašnoj nevolji.
Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako unesete ovaj broj u kalkulator, vidjet ćete ovo:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]
Ili evo još jednog primjera:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]
Ali sva ta zaokruživanja, prvo, prilično su gruba; i drugo, također morate biti u mogućnosti raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina usporedbe i zaokruživanja potrebna je za testiranje na jedinstvenom državnom ispitu profila).
Dakle, u ozbiljnoj matematici ne možete bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, baš kao i razlomci i cijeli brojevi koji su nam odavno poznati.
Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, potencije, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.
Razmotrimo nekoliko primjera u kojima će, nakon svih izračuna, iracionalni brojevi i dalje ostati u odgovoru.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]
Naravno, prema izgled root gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, možete računati na kalkulator, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je puno ispravnije odgovore pisati u obliku $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Upravo zbog toga su izmišljeni. Za praktično snimanje odgovora.
Zašto su potrebne dvije definicije?
Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa barem od nule. Ali kubni korijeni mogu se mirno izvući iz apsolutno bilo kojeg broja - bio on pozitivan ili negativan.
Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:
Raspored kvadratna funkcija daje dva korijena: pozitivan i negativan Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, nacrtajte vodoravnu liniju $y=4$ na grafikonu (označenu crvenom bojom), koja se siječe s parabolom u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer
S prvim brojem je sve jasno - pozitivan je, dakle korijen:
Ali što onda učiniti s drugom točkom? Kao što četiri ima dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve postove kao da vas žele pojesti? :)
Problem je u tome što ako ne nametnete nikakve dodatne uvjete, tada će četvorka imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne prihvaća negativne vrijednosti.
Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:
- Strogo govoreći, svaki pozitivni broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
- Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.
Zato je u definiciji korijena parnog stupnja $n$ posebno propisano da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.
Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:
Kubna parabola može imati bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:
- Grane kubične parabole, za razliku od obične, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, bez obzira na kojoj visini povučemo vodoravnu crtu, ova linija će se sigurno presijecati s našim grafikonom. Posljedično, kubni korijen uvijek se može izvući iz apsolutno bilo kojeg broja;
- Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji se broj smatra "ispravnim" korijenom, a koji zanemariti. Zato je određivanje korijena za neparni stupanj jednostavnije nego za parni stupanj (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).
Šteta što ovi jednostavne stvari nisu objašnjeni u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.
Da, ne raspravljam: također morate znati što je aritmetički korijen. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o tome, jer bez toga bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.
Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.
Sve što trebate učiniti je razumjeti razliku između parnih i neparnih pokazatelja. Stoga, sakupimo još jednom sve što stvarno trebate znati o korijenima:
- Korijen parnog stupnja postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
- Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.
Je li teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, potpuno je očito! Sada ćemo malo vježbati s izračunima.
Osnovna svojstva i ograničenja
Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - o tome će biti riječi u zasebnoj lekciji. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "trik", koji se odnosi samo na korijene s jednakim indeksom. Zapišimo ovo svojstvo kao formulu:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]
Drugim riječima, ako broj dignemo na parnu potenciju i zatim izvučemo korijen iste potencije, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji se može lako dokazati (dovoljno je zasebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim zasebno negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi koje sadrže radikalni predznak), učenici jednoglasno zaborave ovu formulu.
Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo odmah izračunati dva broja:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]
Ovo je vrlo jednostavni primjeri. Većina ljudi će riješiti prvi primjer, ali mnogi ljudi zapnu na drugom. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:
- Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit ćete novi broj koji se može naći čak iu tablici množenja;
- A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući četvrti korijen. Oni. ne događa se "redukcija" korijena i moći - to su sekvencijalne radnje.
Pogledajmo prvi izraz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:
Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo podižemo broj −3 na četvrtu potenciju, što zahtijeva množenje samog sa sobom 4 puta:
\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]
Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u umnošku 4 i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvlačimo korijen:
U principu, ova rečenica nije mogla biti napisana, jer nije pametno da bi odgovor bio isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od običnog modula:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3 \desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]
Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a predznak radikala također uvijek sadrži nenegativan broj. Inače, korijen je nedefiniran.
Napomena o postupku
- Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Stoga možemo biti sigurni da ispod predznaka korijena uvijek postoji nenegativan broj, jer $((a)^(2))\ge 0$ u svakom slučaju;
- Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da prvo vadimo korijen određenog broja $a$ pa tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev uključen u definiciju.
Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako korijen ima negativan broj, a eksponent mu je paran, imamo hrpu problema.
Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.
Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena
Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo koje u principu ne postoji kod parnih. Naime:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ukratko, možete ukloniti minus ispod znaka korijena neparnih stupnjeva. Ovo je vrlo korisno svojstvo, koji vam omogućuje da "izbacite" sve negative:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz bio skriven ispod korijena, ali se stupanj u korijenu pokazao jednakim? Dovoljno je samo “izbaciti” sve minuse izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greška.
I tu na scenu stupa druga definicija - ista ona kojom u većini škola započinju proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!
Aritmetički korijen
Pretpostavimo na trenutak da ispod znaka korijena mogu biti samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula. Zaboravimo parne brojeve/ neparni pokazatelji, zaboravimo na sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?
I tada ćemo dobiti aritmetički korijen - on se djelomično preklapa s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.
Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.
Kao što vidimo, paritet nas više ne zanima. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.
Kako bismo bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafove kvadratne i kubične parabole s kojima smo već upoznati:
Područje pretraživanja aritmetičkog korijena - nenegativni brojevi Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo staviti negativan broj pod korijen ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.
Možete se zapitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"
Pa, navest ću samo jedno svojstvo zbog kojeg nova definicija postaje primjerena. Na primjer, pravilo za potenciranje:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo primjera:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
Pa u čemu je problem? Zašto ovo nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ - ovaj broj je sasvim normalan u našem klasičnom razumijevanju, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kao što vidite, u prvom smo slučaju uklonili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, budući da je eksponent neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. S matematičke točke gledišta, sve se radi po pravilima.
WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja izvrsno funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje proizvoditi potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.
To su se dosjetili kako bi se riješili takve dvosmislenosti aritmetički korijeni. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se već pokazala predugom.
Algebarski korijen: za one koji žele znati više
Dugo sam razmišljao da li da stavim ovu temu u poseban paragraf ili ne. Na kraju sam ga odlučio ostaviti ovdje. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.
Dakle: osim "klasične" definicije $n$-tog korijena broja i pripadajuće podjele na parne i neparne eksponente, postoji "odraslija" definicija koja uopće ne ovisi o paritetu i ostalim sitnicama. To se zove algebarski korijen.
Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji utvrđena oznaka za takve korijene, pa ćemo samo staviti crticu na vrh:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]
Temeljna razlika u odnosu na standardnu definiciju danu na početku lekcije je ta algebarski korijen- ovo nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj set dolazi u samo tri vrste:
- Prazan set. Javlja se kada trebate pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
- Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija nule, spadaju u ovu kategoriju;
- Konačno, skup može uključivati dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na graf kvadratne funkcije. Prema tome, takav raspored je moguć samo kada se iz pozitivnog broja vadi korijen parnog stupnja.
Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.
Primjer. Procijenite izraze:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:
\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]
To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]
Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, budući da je korijenski eksponent neparan.
Na kraju, posljednji izraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Dobili smo prazan set. Zato što ne postoji niti jedan realan broj koji bi nam, kada se digne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dao negativan broj −16.
Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$, i mnoge druge čudne stvari.
Međutim, kompleksni brojevi gotovo se nikada ne pojavljuju u suvremenim školskim tečajevima matematike. Uklonjeni su iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".
To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pokriti sve ključna svojstva korijene i konačno naučite kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)
Lekcija i prezentacija na temu: "Svojstva n-tog korijena. Teoremi"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"
Svojstva n-tog korijena. Teoremi
Ljudi, nastavljamo proučavati n-to korijene realnog broja. Kao i gotovo svi matematički objekti, korijeni n-tog stupnja imaju određena svojstva, danas ćemo ih proučavati.Sva svojstva koja ćemo razmotriti formulirana su i dokazana samo za ne-negativne vrijednosti varijabli sadržanih pod znakom korijena.
U slučaju eksponenta neparnog korijena, također se izvode za negativne varijable.
Teorem 1. N-ti korijen umnoška dvaju nenegativnih brojeva jednak je umnošku n-tih korijena ovih brojeva: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b)$.
Dokažimo teorem.
Dokaz. Dečki, da dokažemo teorem, uvedimo nove varijable, označimo ih:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Moramo dokazati da je $x=y*z$.
Imajte na umu da sljedeći identiteti također vrijede:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tada vrijedi sljedeći identitet: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Potencije dvaju nenegativnih brojeva i njihovih eksponenata su jednake, tada su jednake i baze samih potencija. To znači $x=y*z$, što je trebalo dokazati.
Teorem 2. Ako je $a≥0$, $b>0$ i n prirodan broj veći od 1, vrijedi sljedeća jednakost: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.
To jest, n-ti korijen kvocijenta jednak je kvocijentu n-tih korijena.
Dokaz.
Da bismo to dokazali, poslužit ćemo se pojednostavljenim dijagramom u obliku tablice:
Primjeri izračunavanja n-tog korijena
Primjer.Izračunajte: $\sqrt(16*81*256)$.
Riješenje. Upotrijebimo teorem 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.
Primjer.
Izračunajte: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Riješenje. Predstavimo radikalni izraz u obliku nepravi razlomak: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Upotrijebimo teorem 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.
Primjer.
Izračunati:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Riješenje:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.
Teorem 3. Ako su $a≥0$, k i n prirodni brojevi veći od 1, tada vrijedi jednakost: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.
Da bi se korijen uzdigao do prirodne snage, dovoljno je uzdići radikalni izraz do ove snage.
Dokaz.
Pogledajmo poseban slučaj za $k=3$. Iskoristimo teorem 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Isto se može dokazati i za svaki drugi slučaj. Ljudi, dokažite sami za slučaj kada je $k=4$ i $k=6$.
Teorem 4. Ako su $a≥0$ b n,k prirodni brojevi veći od 1, tada vrijedi jednakost: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.
Da biste izvadili korijen iz korijena, dovoljno je pomnožiti pokazatelje korijena.
Dokaz.
Dokažimo to opet ukratko pomoću tablice. Da bismo to dokazali, poslužit ćemo se pojednostavljenim dijagramom u obliku tablice: 
Primjer.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
Teorem 5. Ako se eksponenti korijenskog i radikalnog izraza pomnože istim prirodnim brojem, tada se vrijednost korijena neće promijeniti: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .
Dokaz.
Princip dokazivanja našeg teorema je isti kao iu ostalim primjerima. Uvedimo nove varijable:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (po definiciji).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (po definiciji).
Podignimo posljednju jednakost na potenciju p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
dobio:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Odnosno, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, što je trebalo dokazati.
Primjeri:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (podijeljeno indikatore s 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (podijeljeno indikatore s 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (indikatori pomnoženi s 3).
Primjer.
Izvršite akcije: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Riješenje.
Indikatori korijena su različite brojeve, pa ne možemo koristiti teorem 1, ali primjenom teorema 5 možemo dobiti jednake pokazatelje.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (indikatori pomnoženi s 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (indikatori pomnoženi s 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.
Problemi koje treba samostalno riješiti
1. Izračunajte: $\sqrt(32*243*1024)$.2. Izračunajte: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Izračunajte:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Pojednostavite:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Izvršite akcije: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.
