Alguien desconfía de la palabra "progresión", como un término muy complejo de las ramas de las matemáticas superiores. Mientras tanto, la progresión aritmética más simple es el trabajo del taxímetro (donde aún permanecen). Y comprender la esencia (y en matemáticas no hay nada más importante que "comprender la esencia") de la secuencia aritmética no es tan difícil, habiendo analizado varios conceptos elementales.
Secuencia de números matemáticos
Es costumbre nombrar una serie de números mediante una secuencia numérica, cada uno de los cuales tiene su propio número.
a 1 - el primer miembro de la secuencia;
y 2 es el segundo miembro de la secuencia;
y 7 es el séptimo miembro de la secuencia;
y n es el n-ésimo miembro de la secuencia;
Sin embargo, no estamos interesados en ningún conjunto arbitrario de números y números. Centraremos nuestra atención en la secuencia numérica, en la que el valor del enésimo término está asociado con su número ordinal por una dependencia que puede ser claramente formulada matemáticamente. En otras palabras: el valor numérico del n-ésimo número es una función de n.
a - valor de un miembro de una secuencia numérica;
n es su número de serie;
f (n) es una función donde el ordinal en la secuencia numérica n es un argumento.
Definición
Una progresión aritmética generalmente se denomina secuencia numérica en la que cada término subsiguiente es mayor (menor) que el anterior por el mismo número. La fórmula para el enésimo miembro de una secuencia aritmética es la siguiente:
a n - el valor del miembro actual de la progresión aritmética;
a n + 1 - la fórmula para el siguiente número;
d - diferencia (un cierto número).
Es fácil determinar que si la diferencia es positiva (d> 0), entonces cada término subsiguiente de la serie bajo consideración será más grande que el anterior, y dicha progresión aritmética aumentará.
En el gráfico a continuación, es fácil ver por qué la secuencia numérica se llamó "ascendente".
En los casos en que la diferencia sea negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
El valor del miembro especificado
A veces es necesario determinar el valor de cualquier miembro arbitrario y n de una progresión aritmética. Puede hacer esto calculando secuencialmente los valores de todos los miembros de la progresión aritmética, comenzando desde el primero hasta el deseado. Sin embargo, este camino no siempre es aceptable si, por ejemplo, es necesario encontrar el significado del miembro cinco milésimo u ocho millones. El cálculo tradicional llevará mucho tiempo. Sin embargo, se puede investigar una progresión aritmética específica utilizando fórmulas específicas. También hay una fórmula para el enésimo término: el valor de cualquier miembro de una progresión aritmética se puede definir como la suma del primer término de la progresión con la diferencia de la progresión, multiplicado por el número del término deseado, disminuido por una.
La fórmula es universal tanto para la progresión creciente como para la decreciente.
Un ejemplo de cálculo del valor de un miembro dado
Resolvamos el siguiente problema de encontrar el valor del enésimo término de una progresión aritmética.
Condición: hay una progresión aritmética con parámetros:
El primer término de la secuencia es 3;
La diferencia en la serie de números es 1,2.
Asignación: necesita encontrar el valor de 214 miembros
Solución: para determinar el valor de un término dado, usamos la fórmula:
a (norte) = a1 + d (n-1)
Sustituyendo los datos del enunciado del problema en la expresión, tenemos:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Respuesta: El término 214 de la secuencia es 258,6.
Las ventajas de este método de cálculo son obvias: la solución completa no ocupa más de 2 líneas.
Suma de un número determinado de miembros
Muy a menudo, en una serie aritmética dada, se requiere determinar la suma de los valores de un cierto segmento de la misma. Esto tampoco requiere calcular los valores de cada término y luego sumar. Este método es aplicable si el número de términos, cuya suma debe ser calculada, es pequeño. En otros casos, es más conveniente utilizar la siguiente fórmula.
La suma de los miembros de la progresión aritmética de 1 an es igual a la suma del primer y n-ésimo miembro, multiplicada por el número del miembro n y dividida por dos. Si en la fórmula el valor del enésimo término se reemplaza por la expresión del párrafo anterior del artículo, obtenemos:
Ejemplo de cálculo
Por ejemplo, solucionemos un problema con las siguientes condiciones:
El primer término de la secuencia es cero;
La diferencia es 0,5.
En el problema, debe determinar la suma de los miembros de la serie del 56 al 101.
Solución. Usemos la fórmula para determinar la suma de la progresión:
s (n) = (2 ∙ a1 + re ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Primero, determinamos la suma de los valores de 101 miembros de la progresión, sustituyendo los datos de sus condiciones de nuestro problema en la fórmula:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525
Obviamente, para encontrar la suma de los miembros de la progresión del 56 al 101, es necesario restar S 55 de S 101.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0.5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742.5
Por lo tanto, la suma de la progresión aritmética para este ejemplo:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5
Un ejemplo de aplicación práctica de progresión aritmética.
Al final del artículo, volvamos al ejemplo de la secuencia aritmética dada en el primer párrafo: el taxímetro (el contador de un taxi). Consideremos un ejemplo.
Subir a un taxi (que incluye 3 km de recorrido) cuesta 50 rublos. Cada kilómetro subsiguiente se paga a razón de 22 rublos / km. Distancia de viaje 30 km. Calcula el costo del viaje.
1. Descartemos los primeros 3 km, cuyo precio está incluido en el precio de aterrizaje.
30 - 3 = 27 km.
2. El cálculo adicional no es más que un análisis de una serie de números aritméticos.
Número de miembro: la cantidad de kilómetros recorridos (menos los tres primeros).
El valor del miembro es la suma.
El primer término de este problema será igual a 1 = 50 p.
Diferencia de progresión d = 22 p.
el número que nos interesa es el valor del (27 + 1) -ésimo término de la progresión aritmética - la lectura del contador al final del kilómetro 27 es 27,999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Los cálculos de los datos del calendario para un período arbitrariamente largo se basan en fórmulas que describen ciertas secuencias numéricas. En astronomía, la longitud de la órbita depende geométricamente de la distancia de un cuerpo celeste a una luminaria. Además, varias series numéricas se utilizan con éxito en estadística y otras ramas aplicadas de las matemáticas.
Otro tipo de secuencia numérica es geométrica.
La progresión geométrica se caracteriza por grandes tasas de cambio, en comparación con la aritmética. No es casualidad que en política, sociología, medicina, se suele decir que el proceso se desarrolla exponencialmente para mostrar la alta tasa de propagación de tal o cual fenómeno, por ejemplo, una enfermedad durante una epidemia.
El enésimo término de la serie numérica geométrica difiere del anterior en que se multiplica por algún número constante: el denominador, por ejemplo, el primer término es 1, el denominador es 2, respectivamente, luego:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5:16 ∙ 2 = 32,
b n - el valor del miembro actual de la progresión geométrica;
b n + 1 - la fórmula del siguiente término de la progresión geométrica;
q es el denominador de una progresión geométrica (número constante).
Si la gráfica de la progresión aritmética es una línea recta, entonces la geométrica pinta una imagen ligeramente diferente:
Como en el caso de la aritmética, una progresión geométrica tiene una fórmula para el valor de un término arbitrario. Cualquier enésimo término de la progresión geométrica es igual al producto del primer término por el denominador de la progresión a la potencia de n, reducido en uno:
Ejemplo. Tenemos una progresión geométrica con el primer término igual a 3 y el denominador de la progresión igual a 1,5. Encuentra el quinto término de la progresión
b 5 = segundo 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
La suma de un número determinado de miembros se calcula de la misma forma utilizando una fórmula especial. La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es igual a la diferencia entre el producto del enésimo término de la progresión y su denominador y el primer término de la progresión, dividido por el denominador reducido por uno:
Si b n se reemplaza utilizando la fórmula considerada anteriormente, el valor de la suma de los primeros n términos de la serie numérica considerada tomará la forma:
Ejemplo. La progresión geométrica comienza con el primer término igual a 1. El denominador se establece en 3. Calcula la suma de los primeros ocho términos.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280
I. V. Yakovlev | Materiales de matemáticas | MathUs.ru
Progresión aritmética
Una progresión aritmética es un tipo especial de secuencia. Por lo tanto, antes de definir una progresión aritmética (y luego geométrica), necesitamos discutir brevemente el concepto importante de una secuencia numérica.
Secuencia
Imagine un dispositivo en la pantalla en el que se muestran algunos números uno tras otro. Digamos 2; 7; trece; una; 6; 0; 3; ::: Este conjunto de números es solo un ejemplo de una secuencia.
Definición. Una secuencia numérica es un conjunto de números en los que a cada número se le puede asignar un número único (es decir, asociar un solo número natural) 1. El número n se denomina enésimo miembro de la secuencia.
Entonces, en el ejemplo anterior, el primer número tiene el número 2, este es el primer miembro de la secuencia, que se puede denotar a1; el número cinco tiene el número 6, este es el quinto término de la secuencia, que se puede denotar a5. En general, el enésimo término de la secuencia se indica como an (o bn, cn, etc.).
La situación es muy conveniente cuando el enésimo término de la secuencia se puede especificar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula an = 2n 3 define la secuencia: 1; una; 3; 5; 7; ::: La fórmula an = (1) n define la secuencia: 1; una; una; una; :::
No todo conjunto de números es una secuencia. Entonces, un segmento no es una secuencia; contiene "demasiados" números para volver a numerarlos. El conjunto R de todos los números reales tampoco es una secuencia. Estos hechos se prueban en el curso del análisis matemático.
Progresión aritmética: definiciones básicas
Ahora estamos listos para definir una progresión aritmética.
Definición. Una progresión aritmética es una secuencia, cada término del cual (comenzando desde el segundo) es igual a la suma del término anterior y algún número fijo (llamado la diferencia de la progresión aritmética).
Por ejemplo, secuencia 2; 5; ocho; once; ::: es una progresión aritmética con el primer término 2 y la diferencia 3. Secuencia 7; 2; 3; ocho; ::: es una progresión aritmética con el primer término 7 y la diferencia 5. Secuencia 3; 3; 3; ::: es una progresión aritmética con diferencia cero.
Definición equivalente: una secuencia an se llama progresión aritmética si la diferencia an + 1 an es un valor constante (independiente de n).
Una progresión aritmética se llama creciente si su diferencia es positiva y decreciente si su diferencia es negativa.
1 Y aquí hay una definición más lacónica: una secuencia es una función definida en el conjunto de números naturales. Por ejemplo, una secuencia de números reales es una función f: N! R.
Por defecto, las secuencias se consideran infinitas, es decir, contienen un número infinito de números. Pero nadie se molesta en considerar también secuencias finitas; de hecho, cualquier conjunto finito de números puede llamarse secuencia finita. Por ejemplo, la secuencia final es 1; 2; 3; 4; 5 consta de cinco números.
Fórmula del enésimo término de una progresión aritmética
Es fácil entender que la progresión aritmética está completamente determinada por dos números: el primer término y la diferencia. Por tanto, surge la pregunta: ¿cómo, conociendo el primer término y la diferencia, encontrar un miembro arbitrario de la progresión aritmética?
No es difícil obtener la fórmula requerida para el enésimo término de una progresión aritmética. Deja un
progresión aritmética con diferencia d. Tenemos: |
|
an + 1 = an + d (n = 1; 2; :: :): |
|
En particular, escribimos: |
|
a2 = a1 + d; |
|
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; |
|
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; |
|
y ahora queda claro que la fórmula para an es: |
|
an = a1 + (n 1) d: |
Problema 1. En progresión aritmética 2; 5; ocho; once; ::: encontrar la fórmula para el enésimo término y calcular el centésimo término.
Solución. Según la fórmula (1), tenemos:
an = 2 + 3 (n 1) = 3n 1:
a100 = 3100 1 = 299:
Propiedad y signo de progresión aritmética
Propiedad de progresión aritmética. En progresión aritmética para cualquier
En otras palabras, cada miembro de la progresión aritmética (a partir del segundo) es la media aritmética de los miembros vecinos.
Prueba. Tenemos: |
||||
a n 1 + a n + 1 |
(an d) + (an + d) |
|||
según sea necesario.
De manera más general, la progresión aritmética satisface la igualdad
una norte = una norte k + una norte + k
para cualquier n> 2 y cualquier k natural< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Resulta que la fórmula (2) no solo es una condición necesaria, sino también suficiente para que una secuencia sea una progresión aritmética.
Un signo de progresión aritmética. Si la igualdad (2) se cumple para todo n> 2, entonces la secuencia an es una progresión aritmética.
Prueba. Reescribamos la fórmula (2) de la siguiente manera:
a n a n 1 = a n + 1 a n:
Esto muestra que la diferencia an + 1 an no depende de n, y esto solo significa que la secuencia an es una progresión aritmética.
La propiedad y característica de una progresión aritmética se pueden formular como una sola declaración; Por conveniencia, haremos esto para tres números (esta es la situación que ocurre a menudo en los problemas).
Caracterización de la progresión aritmética. Tres números a, b, c forman una progresión aritmética si y solo si 2b = a + c.
Problema 2. (Universidad Estatal de Moscú, Facultad de Economía, 2007) Tres números 8x, 3 x2 y 4 en el orden indicado forman una progresión aritmética decreciente. Encuentre x e indique la diferencia de esta progresión.
Solución. Por la propiedad de la progresión aritmética, tenemos:
2 (3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:
Si x = 1, obtenemos una progresión decreciente 8, 2, 4 con una diferencia de 6. Si x = 5, obtenemos una progresión creciente 40, 22, 4; este caso no funcionará.
Respuesta: x = 1, la diferencia es 6.
Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
Cuenta la leyenda que un día la maestra les dijo a los niños que encontraran la suma de los números del 1 al 100 y se sentaron a leer tranquilamente el periódico. Sin embargo, menos de unos minutos después, un niño dijo que había resuelto el problema. Fue Karl Friedrich Gauss, de 9 años, más tarde uno de los más grandes matemáticos de la historia.
La idea del pequeño Gauss fue la siguiente. Dejar
S = 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:
Escribamos esta cantidad en orden inverso:
S = 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;
y agregue estas dos fórmulas:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Cada término entre paréntesis es igual a 101, y hay 100 de esos términos en total. Por lo tanto,
2S = 101 100 = 10100;
Usamos esta idea para derivar la fórmula de la suma
S = a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)
Se obtiene una modificación útil de la fórmula (3) sustituyendo la fórmula por el enésimo término an = a1 + (n 1) d en él:
2a1 + (n 1) d |
|||||
Problema 3. Calcula la suma de todos los números positivos de tres dígitos divisibles por 13.
Solución. Los números de tres dígitos divisibles por 13 forman una progresión aritmética con el primer término 104 y la diferencia 13; El enésimo término de esta progresión es:
an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:
Averigüemos cuántos miembros contiene nuestra progresión. Para hacer esto, resolvemos la desigualdad:
un 6 999; 91 + 13n 6 999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Entonces, hay 69 miembros en nuestra progresión. Usando la fórmula (4), encontramos la suma requerida:
S = 2104 + 68 13 69 = 37674: 2
Por ejemplo, la secuencia \ (2 \); \ (5 \); \(ocho\); \(once\); \ (14 \) ... es una progresión aritmética, porque cada elemento siguiente difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior agregando un triplete):
En esta progresión, la diferencia \ (d \) es positiva (igual a \ (3 \)), y por lo tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Tales progresiones se llaman creciente.
Sin embargo, \ (d \) también puede ser negativo. por ejemplo, en progresión aritmética \ (16 \); \ (10 \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... la diferencia de la progresión \ (d \) es igual a menos seis.
Y en este caso, cada elemento siguiente será más pequeño que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.
Notación de progresión aritmética
La progresión se indica con una letra latina pequeña.
Los números que forman la progresión lo llaman miembros de(o elementos).
Se indican con la misma letra que la progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.
Por ejemplo, la progresión aritmética \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) consta de los elementos \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) y así sucesivamente.
En otras palabras, para la progresión \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)
Resolución de problemas de progresión aritmética
En principio, la información anterior ya es suficiente para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética se especifica mediante las condiciones \ (b_1 = 7; d = 4 \). Encuentra \ (b_5 \).
Solución:
Respuesta: \ (b_5 = 23 \)
Ejemplo (OGE).
Se dan los primeros tres términos de la progresión aritmética: \ (62; 49; 36 ... \) Encuentra el valor del primer término negativo de esta progresión.
Solución:
|
Se nos dan los primeros elementos de la secuencia y sabemos que es una progresión aritmética. Es decir, cada elemento se diferencia del vecino por el mismo número. Averigüe cuál, restando el anterior del siguiente elemento: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Ahora podemos restaurar nuestra progresión al elemento (primer negativo) que necesitamos. |
|
|
Listo. Puede escribir una respuesta. |
Respuesta: \(-3\)
Ejemplo (OGE).
Se dan varios elementos consecutivos de la progresión aritmética: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Encuentra el valor del elemento indicado por la letra \ (x \).
Solución:
|
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Para encontrar \ (x \), necesitamos saber cuánto difiere el siguiente elemento del anterior, en otras palabras, la diferencia de progresión. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos conocidos: \ (d = 12.5-10 = 2.5 \). |
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Y ahora encontramos el deseado sin ningún problema: \ (x = 5 + 2.5 = 7.5 \). |
|
|
Listo. Puede escribir una respuesta. |
Respuesta: \(7,5\).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética se especifica mediante las siguientes condiciones: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:
|
Necesitamos encontrar la suma de los primeros seis términos de la progresión. Pero no conocemos sus significados, solo se nos da el primer elemento. Por lo tanto, primero calculamos los valores a su vez, usando lo que nos dieron: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Se encontró la cantidad que buscaba. |
Respuesta: \ (S_6 = 9 \).
Ejemplo (OGE).
En progresión aritmética \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Encuentra la diferencia entre esta progresión.
Solución:
Respuesta: \ (d = 7 \).
Fórmulas importantes para la progresión aritmética
Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada elemento siguiente en esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (la diferencia de la progresión).
Sin embargo, a veces hay situaciones en las que es muy inconveniente decidir "de frente". Por ejemplo, imagina que en el primer ejemplo necesitamos encontrar no el quinto elemento \ (b_5 \), sino el trescientos ochenta y sexto \ (b_ (386) \). ¿Qué es, \ (385 \) veces sumamos cuatro? O imagina que en el penúltimo ejemplo necesitas encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Serás torturado para contar ...
Por lo tanto, en tales casos, no resuelven "de frente", sino que utilizan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y las principales son la fórmula para el enésimo término de la progresión y la fórmula para la suma \ (n \) de los primeros términos.
Fórmula \ (n \) - th miembro: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), donde \ (a_1 \) es el primer término de la progresión;
\ (n \) - número del elemento que se busca;
\ (a_n \) es un miembro de la progresión con el número \ (n \).
Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente al menos el elemento trescientos, incluso el millonésimo, conociendo solo el primero y la diferencia de progresión.
Ejemplo.
La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8.2 \). Encuentra \ (b_ (246) \).
Solución:
Respuesta: \ (b_ (246) = 1850 \).
La fórmula para la suma de los primeros n términos: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), donde
\ (a_n \) - el último término sumado;
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética está especificada por las condiciones \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Encuentra la suma de los primeros \ (25 \) miembros de esta progresión.
Solución:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Para calcular la suma de los primeros veinticinco elementos, necesitamos conocer el valor del primer y vigésimo quinto término. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3.4 1-0.6 = 2.8 \) |
Ahora encontramos el término veinticinco, sustituyendo veinticinco en lugar de \ (n \). |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3.4 25-0.6 = 84.4 \) |
Bueno, ahora podemos calcular la cantidad requerida sin ningún problema. |
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\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
La respuesta esta lista. |
Respuesta: \ (S_ (25) = 1090 \).
Para la suma \ (n \) de los primeros términos, puede obtener otra fórmula: solo necesita \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) en lugar de \ (a_n \) sustitúyelo por la fórmula \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Obtenemos:
La fórmula para la suma de los primeros n términos: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), donde
\ (S_n \) - la suma requerida \ (n \) de los primeros elementos;
\ (a_1 \) - el primer término sumado;
\ (d \) - diferencia de progresión;
\ (n \): el número de elementos en la suma.
Ejemplo.
Encuentre la suma de los primeros \ (33 \) - ex miembros de la progresión aritmética: \ (17 \); \ (15,5 \); \ (14 \)…
Solución:
Respuesta: \ (S_ (33) = - 231 \).
Problemas de progresión aritmética más complejos
Ahora tiene toda la información que necesita para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Concluimos el tema considerando problemas en los que no solo necesitas aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas, esto puede ser útil ☺)
Ejemplo (OGE).
Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \ (- 19,3 \); \(-diecinueve\); \ (- 18,7 \) ...
Solución:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
La tarea es muy similar a la anterior. Empezamos a resolver también: primero encontramos \ (d \). |
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\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \) |
Ahora sustituiríamos \ (d \) en la fórmula por la suma ... y aquí surge un pequeño matiz: no sabemos \ (n \). En otras palabras, no sabemos cuántos términos será necesario agregar. ¿Cómo averiguarlo? Pensemos. Dejaremos de agregar elementos cuando lleguemos al primer elemento positivo. Es decir, debe averiguar el número de este elemento. ¿Cómo? Escribamos la fórmula para calcular cualquier elemento de la progresión aritmética: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) para nuestro caso. |
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\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
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\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \) |
Necesitamos que \ (a_n \) sea mayor que cero. Averigüemos en qué \ (n \) sucederá esto. |
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\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \) |
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\ ((n-1) 0.3> 19.3 \) \ (|: 0.3 \) |
Dividimos ambos lados de la desigualdad por \ (0,3 \). |
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\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Muévete menos uno, recordando cambiar los signos |
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\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Calculamos ... |
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\ (n> 65,333 ... \) |
... y resulta que el primer elemento positivo tendrá el número \ (66 \). En consecuencia, el último negativo tiene \ (n = 65 \). Vamos a comprobarlo por si acaso. |
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\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Por lo tanto, necesitamos agregar los primeros elementos \ (65 \). |
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\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
La respuesta esta lista. |
Respuesta: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética está especificada por las condiciones: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Encuentre la suma desde \ (26 \) th a \ (42 \) elemento inclusive.
Solución:
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\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
En este problema, también necesita encontrar la suma de los elementos, pero no comenzando desde el primero, sino desde \ (26 \) - th. Para tal caso, no tenemos una fórmula. ¿Cómo decidir? |
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Para nuestra progresión \ (a_1 = -33 \), y la diferencia \ (d = 4 \) (después de todo, sumamos los cuatro al elemento anterior para encontrar el siguiente). Sabiendo esto, encontramos la suma de los primeros elementos \ (42 \) - yh. |
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\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Ahora la suma de los primeros elementos \ (25 \) - ty. |
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\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Finalmente, calculamos la respuesta. |
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\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Respuesta: \ (S = 1683 \).
Hay varias fórmulas más para la progresión aritmética que no consideramos en este artículo debido a su baja utilidad práctica. Sin embargo, puede encontrarlos fácilmente.
Sí, sí: la progresión aritmética no es un juguete para ti :) Bueno, amigos, si están leyendo este texto, entonces la obviedad del límite interno me dice que aún no saben qué es una progresión aritmética, pero ustedes realmente (no, así: ¡SOOOOO!) Quieren saber. Por lo tanto, no lo atormentaré con largas presentaciones y me pondré manos a la obra de inmediato.
Comencemos con un par de ejemplos. Considere varios conjuntos de números:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
¿Qué tienen todos estos conjuntos en común? A primera vista, nada. Pero en realidad hay algo. A saber: cada elemento siguiente se diferencia del anterior por el mismo número.
Juzga por ti mismo. El primer conjunto son simplemente números consecutivos, cada uno más próximo que el anterior. En el segundo caso, la diferencia entre los números adyacentes ya es cinco, pero esta diferencia sigue siendo constante. En el tercer caso, raíces en general. Sin embargo, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, y $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, es decir y en este caso, cada elemento siguiente simplemente aumenta en $ \ sqrt (2) $ (y no tema que este número sea irracional).
Entonces: todas estas secuencias se llaman simplemente progresiones aritméticas. Demos una definición estricta:
Definición. Una secuencia de números en la que cada siguiente difiere del anterior exactamente en la misma cantidad se llama progresión aritmética. La misma cantidad en la que difieren los números se llama diferencia de la progresión y, con mayor frecuencia, se denota con la letra $ d $.
Designación: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - la progresión en sí, $ d $ - su diferencia.
Y solo un par de comentarios importantes. Primero, solo ordenado secuencia de números: pueden leerse estrictamente en el orden en que están escritos, y nada más. No puede reorganizar ni intercambiar números.
En segundo lugar, la secuencia en sí puede ser finita o infinita. Por ejemplo, el conjunto (1; 2; 3) es obviamente una progresión aritmética finita. Pero si escribe algo en el espíritu (1; 2; 3; 4; ...), esto ya es una progresión sin fin. La elipsis después de los cuatro, por así decirlo, insinúa que todavía hay bastantes números en marcha. Infinitamente muchos, por ejemplo. :)
También me gustaría señalar que las progresiones aumentan y disminuyen. Ya hemos visto los crecientes: el mismo conjunto (1; 2; 3; 4; ...). Y aquí hay ejemplos de progresiones decrecientes:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Está bien, está bien: este último ejemplo puede parecer demasiado complicado. Pero el resto, creo, está claro para ti. Por tanto, introduciremos nuevas definiciones:
Definición. Una progresión aritmética se llama:
- ascendente si cada elemento siguiente es más grande que el anterior;
- decreciente si, por el contrario, cada elemento posterior es menor que el anterior.
Además, existen las llamadas secuencias "estacionarias", que consisten en el mismo número repetido. Por ejemplo, (3; 3; 3; ...).
Solo queda una pregunta: ¿cómo distinguir una progresión creciente de una decreciente? Afortunadamente, todo depende del signo del número $ d $, es decir, progresión de la diferencia:
- Si $ d \ gt 0 $, entonces la progresión aumenta;
- Si $ d \ lt 0 $, entonces la progresión es obviamente decreciente;
- Finalmente, está el caso $ d = 0 $; en este caso, toda la progresión se reduce a una secuencia estacionaria de números idénticos: (1; 1; 1; 1; ...), etc.
Intentemos calcular la diferencia $ d $ para las tres progresiones decrecientes dadas arriba. Para hacer esto, es suficiente tomar dos elementos adyacentes (por ejemplo, el primero y el segundo) y restar el número de la izquierda del número de la derecha. Se verá así:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Como puede ver, en los tres casos, la diferencia realmente resultó ser negativa. Y ahora que hemos descubierto más o menos las definiciones, es hora de averiguar cómo se describen las progresiones y cuáles son sus propiedades.
Miembros de progresión y fórmula recurrente
Dado que los elementos de nuestras secuencias no se pueden intercambiar, se pueden numerar:
\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ derecho \) \]
Los elementos individuales de este conjunto se denominan miembros de la progresión. Se indican con un número: el primer término, el segundo término, etc.
Además, como ya sabemos, los miembros adyacentes de la progresión están relacionados por la fórmula:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Flecha derecha ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
En resumen, para encontrar el $ n $ ésimo término en la progresión, necesita conocer el $ n-1 $ ésimo término y la diferencia $ d $. Dicha fórmula se llama recurrente, porque con su ayuda puede encontrar cualquier número, solo conociendo el anterior (y de hecho, todos los anteriores). Esto es muy inconveniente, por lo que hay una fórmula más complicada que reduce los cálculos al primer término y la diferencia:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]
Seguro que ya has cumplido con esta fórmula. Les encanta incluirlo en todo tipo de libros de referencia y reshebniks. Y en cualquier libro de texto sensato sobre matemáticas, ella es una de las primeras.
Sin embargo, sugiero que practiquemos un poco.
Problema número 1. Escribe los primeros tres términos de la progresión aritmética $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Solución. Entonces, conocemos el primer término $ ((a) _ (1)) = 8 $ y la diferencia de la progresión $ d = -5 $. Usemos la fórmula que acabamos de dar y sustituyamos $ n = 1 $, $ n = 2 $ y $ n = 3 $:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ izquierda (1-1 \ derecha) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ izquierda (2-1 \ derecha) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ izquierda (3-1 \ derecha) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (alinear) \]
Respuesta: (8; 3; −2)
¡Eso es todo! Tenga en cuenta: nuestra progresión está disminuyendo.
Por supuesto, $ n = 1 $ no podría haber sido sustituido; ya conocemos el primer término. Sin embargo, sustituyendo uno, nos aseguramos de que nuestra fórmula funcione incluso para el primer período. En otros casos, todo se redujo a una aritmética trivial.
Problema número 2. Escribe los primeros tres términos de la progresión aritmética si su séptimo término es −40 y el decimoséptimo término es −50.
Solución. Anotemos la condición del problema en los términos habituales:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ derecho. \]
Pongo el signo del sistema porque estos requisitos deben cumplirse simultáneamente. Y ahora tenga en cuenta que si restamos la primera de la segunda ecuación (tenemos derecho a hacer esto, ya que tenemos un sistema), obtenemos esto:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (alinear) \]
¡Así de fácil encontramos la diferencia en la progresión! Queda por sustituir el número encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, en el primero:
\ [\ begin (matriz) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Flecha hacia abajo \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matriz) \]
Ahora, conociendo el primer término y la diferencia, queda por encontrar el segundo y tercer término:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (alinear) \]
¡Listo! El problema ha sido resuelto.
Respuesta: (-34; -35; -36)
Preste atención a una propiedad interesante de la progresión que descubrimos: si tomamos los términos $ n $ ésimo y $ m $ ésimo y los restamos, obtenemos la diferencia de la progresión multiplicada por el número $ n-m $:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]
Una propiedad simple, pero muy útil que definitivamente necesita conocer: con su ayuda, puede acelerar significativamente la solución de muchos problemas en progresiones. Aquí tienes un buen ejemplo:
Problema número 3. El quinto término de la progresión aritmética es 8.4 y su décimo término es 14.4. Encuentra el decimoquinto término de esta progresión.
Solución. Dado que $ ((a) _ (5)) = 8.4 $, $ ((a) _ (10)) = 14.4 $, y necesita encontrar $ ((a) _ (15)) $, observamos lo siguiente :
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (alinear) \]
Pero por condición $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14.4-8.4 = $ 6, por lo tanto $ 5d = $ 6, de donde tenemos:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (alinear) \]
Respuesta: 20,4
¡Eso es todo! No tuvimos que componer algunos sistemas de ecuaciones y calcular el primer término y la diferencia; todo se resolvió en solo un par de líneas.
Ahora consideremos otro tipo de tareas: encontrar miembros negativos y positivos de la progresión. No es ningún secreto que si la progresión aumenta, mientras que el primer término es negativo, tarde o temprano aparecerán términos positivos en él. Y por el contrario: los miembros de la progresión decreciente tarde o temprano se volverán negativos.
Al mismo tiempo, está lejos de ser siempre posible tantear este momento "de frente", pasando secuencialmente por los elementos. A menudo, los problemas se diseñan de tal manera que, sin conocer las fórmulas, los cálculos tomarían varias hojas; simplemente nos quedaríamos dormidos mientras encontramos la respuesta. Por tanto, intentaremos solucionar estos problemas de forma más rápida.
Problema número 4. Cuántos términos negativos hay en la progresión aritmética -38,5; −35,8; ...?
Solución. Entonces, $ ((a) _ (1)) = - 38.5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35.8 $, de donde inmediatamente encontramos la diferencia:
Tenga en cuenta que la diferencia es positiva, por lo que la progresión aumenta. El primer término es negativo, por lo que en algún momento realmente tropezaremos con números positivos. La única pregunta es cuándo sucederá.
Intentemos averiguar: cuánto tiempo (es decir, hasta qué número natural $ n $) se conserva la negatividad de los términos:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ derecha. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Flecha derecha ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (alinear) \]
La última línea necesita una explicación. Entonces, sabemos que $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Por otro lado, estaremos satisfechos con solo valores enteros del número (además: $ n \ in \ mathbb (N) $), por lo que el mayor número permitido es exactamente $ n = 15 $, y en ningún caso es 16.
Problema número 5. En progresión aritmética $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Calcula el número del primer término positivo de esta progresión.
Sería exactamente el mismo problema que el anterior, pero no sabemos $ ((a) _ (1)) $. Pero los términos vecinos son conocidos: $ ((a) _ (5)) $ y $ ((a) _ (6)) $, por lo que podemos encontrar fácilmente la diferencia de la progresión:
Además, intentaremos expresar el quinto término en términos del primero y la diferencia según la fórmula estándar:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (alinear) \]
Ahora procedemos por analogía con la tarea anterior. Descubrimos en qué punto de nuestra secuencia habrá números positivos:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Flecha derecha ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (alinear) \]
La solución entera más pequeña de esta desigualdad es 56.
Tenga en cuenta: en la última tarea, todo se redujo a una desigualdad estricta, por lo que la opción $ n = 55 $ no nos conviene.
Ahora que hemos aprendido a resolver problemas simples, pasemos a los más complejos. Pero primero, estudiemos otra propiedad muy útil de las progresiones aritméticas, que en el futuro nos ahorrará mucho tiempo y celdas desiguales. :)
Media aritmética y sangrías iguales
Considere varios miembros consecutivos de la progresión aritmética creciente $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Intentemos marcarlos en la recta numérica:
Miembros de una progresión aritmética en una recta numéricaSeñalé específicamente términos arbitrarios $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, no cualquier $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $, etc. Porque la regla, de la que hablaré ahora, funciona igual para cualquier "segmento".
Y la regla es muy sencilla. Recordemos la fórmula de recursividad y anotémosla para todos los miembros marcados:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (alinear) \]
Sin embargo, estas igualdades se pueden reescribir de manera diferente:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (alinear) \]
Bueno, ¿y qué? Y el hecho de que los términos $ ((a) _ (n-1)) $ y $ ((a) _ (n + 1)) $ se encuentran a la misma distancia de $ ((a) _ (n)) $ . Y esta distancia es igual a $ d $. Lo mismo puede decirse de los términos $ ((a) _ (n-2)) $ y $ ((a) _ (n + 2)) $ - también se eliminan de $ ((a) _ (n) ) $ la misma distancia igual a $ 2d $. Puede continuar indefinidamente, pero el significado está bien ilustrado por la imagen.
Los miembros de la progresión se encuentran a la misma distancia del centro ¿Qué significa esto para nosotros? Esto significa que puede encontrar $ ((a) _ (n)) $ si se conocen los números vecinos:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Hemos deducido un enunciado excelente: ¡cada miembro de la progresión aritmética es igual a la media aritmética de los términos vecinos! Además: podemos desviarnos de nuestro $ ((a) _ (n)) $ izquierda y derecha, no un paso, sino $ k $ pasos, y aún así la fórmula será correcta:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Aquellos. podemos encontrar fácilmente algunos $ ((a) _ (150)) $ si conocemos $ ((a) _ (100)) $ y $ ((a) _ (200)) $, porque $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. A primera vista, puede parecer que este hecho no nos aporta nada útil. Sin embargo, en la práctica, muchos problemas se "agudizan" especialmente para el uso de la media aritmética. Echar un vistazo:
Problema número 6. Encuentre todos los valores de $ x $ para los cuales los números $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ y $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ son miembros consecutivos de la progresión aritmética (en orden).
Solución. Dado que los números indicados son miembros de la progresión, la condición de la media aritmética se satisface para ellos: el elemento central $ x + 1 $ se puede expresar en términos de elementos adyacentes:
\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (alinear) \]
El resultado es una ecuación cuadrática clásica. Sus raíces: $ x = 2 $ y $ x = -3 $ - estas son las respuestas.
Respuesta: −3; 2.
Problema número 7. Encuentre los valores $$ para los cuales los números $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ forman una progresión aritmética (en ese orden).
Solución. Nuevamente, expresamos el término medio en términos de la media aritmética de los términos vecinos:
\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ derecha.; \\ y 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (alinear) \]
Nuevamente la ecuación cuadrática. Y nuevamente hay dos raíces: $ x = 6 $ y $ x = 1 $.
Respuesta 1; 6.
Si en el proceso de resolver un problema obtiene algunos números brutales, o no está completamente seguro de la exactitud de las respuestas encontradas, entonces existe una técnica maravillosa que le permite verificar: ¿resolvimos el problema correctamente?
Por ejemplo, en el problema nº 6 recibimos las respuestas -3 y 2. ¿Cómo comprobar que estas respuestas son correctas? Simplemente conectémoslos a la condición inicial y veamos qué sucede. Permítanme recordarles que tenemos tres números ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ y $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), que deben formar una progresión aritmética. Sustituir $ x = -3 $:
\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (alinear) \]
Números recibidos -54; −2; 50, que difieren en 52, es sin duda una progresión aritmética. Lo mismo ocurre con $ x = 2 $:
\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (alinear) \]
De nuevo una progresión, pero con una diferencia de 27. Así, el problema se resuelve correctamente. Los interesados pueden comprobar el segundo problema por su cuenta, pero les diré enseguida: allí también todo es correcto.
En general, al resolver los últimos problemas, nos encontramos con otro dato interesante, que también hay que recordar:
Si tres números son tales que el segundo es la media aritmética del primero y el último, entonces estos números forman una progresión aritmética.
En el futuro, comprender esta afirmación nos permitirá "construir" literalmente las progresiones necesarias, en función de la condición del problema. Pero antes de pasar a tal "construcción", debemos prestar atención a un hecho más, que se deriva directamente de lo que ya se ha considerado.
Agrupación y suma de elementos
Volvamos de nuevo al eje numérico. Observemos allí varios miembros de la progresión, entre los cuales, quizás. hay muchos otros miembros:
La recta numérica tiene 6 elementos marcadosIntentemos expresar "cola izquierda" en términos de $ ((a) _ (n)) $ y $ d $, y "cola derecha" en términos de $ ((a) _ (k)) $ y $ d $ . Es muy simple:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (alinear) \]
Ahora, tenga en cuenta que las siguientes sumas son iguales:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (alinear) \]
En pocas palabras, si consideramos como inicio dos elementos de la progresión, que en total son iguales a un número de $ S $, y luego comenzamos a caminar desde estos elementos en direcciones opuestas (uno hacia el otro o viceversa para alejarnos) , entonces las sumas de los elementos con los que nos tropezaremos también serán iguales$ S $. Esto se puede representar gráficamente con mayor claridad:
La misma sangría da cantidades iguales Comprender este hecho nos permitirá resolver problemas de un nivel de complejidad fundamentalmente superior a los que consideramos anteriormente. Por ejemplo, tal:
Problema número 8. Determina la diferencia de la progresión aritmética en la que el primer término es 66 y el producto del segundo y el duodécimo término es el menor posible.
Solución. Anotemos todo lo que sabemos:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (alinear) \]
Entonces, no conocemos la diferencia de la progresión $ d $. En realidad, toda la solución se construirá alrededor de la diferencia, ya que el producto $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ se puede reescribir de la siguiente manera:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ end (alinear) \]
Para aquellos en el tanque: Saqué el factor común de 11 del segundo paréntesis. Por tanto, el producto buscado es una función cuadrática con respecto a la variable $ d $. Por lo tanto, considere la función $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - su gráfica será una parábola con ramas hacia arriba, ya que si expandimos los corchetes, obtenemos:
\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Como puede ver, el coeficiente para el término principal es 11; este es un número positivo, por lo que realmente estamos tratando con una parábola con ramas hacia arriba:
gráfico de función cuadrática - parábola
Atención: esta parábola toma su valor mínimo en su vértice con abscisa $ ((d) _ (0)) $. Por supuesto, podemos calcular esta abscisa de acuerdo con el esquema estándar (también existe la fórmula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), pero sería mucho más razonable para notar que el vértice deseado se encuentra en el eje de simetría de la parábola, por lo que el punto $ ((d) _ (0)) $ es equidistante de las raíces de la ecuación $ f \ left (d \ right) = 0 $:
\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (alinear) \]
Por eso no tenía prisa por abrir los soportes: en la forma original, las raíces eran muy, muy fáciles de encontrar. Por lo tanto, la abscisa es igual a la media aritmética de los números −66 y −6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]
¿Qué nos da el número descubierto? Con él, el producto requerido toma el valor más pequeño (por cierto, no hemos contado $ ((y) _ (\ min)) $; esto no es requerido por nosotros). Al mismo tiempo, este número es la diferencia entre la progresión original, es decir encontramos la respuesta. :)
Respuesta: −36
Problema número 9. Inserta tres números entre los números $ - \ frac (1) (2) $ y $ - \ frac (1) (6) $ para que junto con los números dados formen una progresión aritmética.
Solución. Básicamente, necesitamos hacer una secuencia de cinco números, con el primer y último número ya conocidos. Denotemos los números faltantes con las variables $ x $, $ y $ y $ z $:
\ [\ izquierda (((a) _ (n)) \ derecha) = \ izquierda \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ derecha \ ) \]
Tenga en cuenta que el número $ y $ es el "medio" de nuestra secuencia; es equidistante de los números $ x $ y $ z $, y de los números $ - \ frac (1) (2) $ y $ - \ frac (1) (6) $. Y si por el momento no podemos obtener $ y $ de los números $ x $ y $ z $, entonces la situación es diferente con los extremos de la progresión. Recordando la media aritmética:
Ahora, conociendo $ y $, encontraremos los números restantes. Tenga en cuenta que $ x $ se encuentra entre los números $ - \ frac (1) (2) $ y $ y = - \ frac (1) (3) $ que acaba de encontrar. Entonces
Razonando de manera similar, encontramos el número restante:
¡Listo! Encontramos los tres números. Escribámoslos en la respuesta en el orden en que deben insertarse entre los números originales.
Respuesta: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Problema número 10. Inserta varios números entre los números 2 y 42, que junto con estos números forman una progresión aritmética, si sabes que la suma del primero, segundo y último de los números insertados es 56.
Solución. Una tarea aún más difícil, que, sin embargo, se resuelve de acuerdo con el mismo esquema que los anteriores: a través de la media aritmética. El problema es que no sabemos exactamente cuántos números insertar. Por lo tanto, para mayor precisión, supongamos que después de insertar todo habrá exactamente $ n $ números, y el primero de ellos es 2 y el último es 42. En este caso, la progresión aritmética deseada se puede representar como:
\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ derecha \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Sin embargo, tenga en cuenta que los números $ ((a) _ (2)) $ y $ ((a) _ (n-1)) $ se obtienen a partir de los números 2 y 42 en los bordes por un paso uno hacia el otro, es decir ... al centro de la secuencia. Esto significa que
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Pero entonces la expresión escrita arriba se puede reescribir de la siguiente manera:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ izquierda (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ derecha) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (alinear) \]
Sabiendo $ ((a) _ (3)) $ y $ ((a) _ (1)) $, podemos encontrar fácilmente la diferencia de progresión:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ izquierda (3-1 \ derecha) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Flecha derecha d = 5. \\ \ end (alinear) \]
Solo queda encontrar el resto de los miembros:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (alinear) \]
Por lo tanto, ya en el noveno paso llegaremos al extremo izquierdo de la secuencia, el número 42. En total, fue necesario insertar solo 7 números: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Respuesta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Problemas verbales con progresiones
En conclusión, me gustaría considerar un par de problemas relativamente simples. Bueno, qué simple: para la mayoría de los estudiantes que estudian matemáticas en la escuela y no han leído lo que está escrito arriba, estas tareas pueden parecer una lata. Sin embargo, son precisamente estos problemas los que se encuentran en la OGE y USE en matemáticas, por lo que le recomiendo que se familiarice con ellos.
Problema número 11. La brigada produjo 62 piezas en enero, y en cada mes siguiente produjo 14 piezas más que en el anterior. ¿Cuántas piezas hizo el equipo en noviembre?
Solución. Evidentemente, el número de partes, programadas por mes, representará una progresión aritmética creciente. Es más:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (align) \]
Noviembre es el undécimo mes del año, por lo que necesitamos encontrar $ ((a) _ (11)) $:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
En consecuencia, 202 piezas se fabricarán en noviembre.
Problema número 12. El taller de encuadernación encuadernó 216 libros en enero, y cada mes encuadernó 4 libros más que el anterior. ¿Cuántos libros encuadernó el taller en diciembre?
Solución. Todos iguales:
$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (align) $
Diciembre es el último mes 12 del año, por lo que buscamos $ ((a) _ (12)) $:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
Esta es la respuesta: 260 libros estarán encuadernados en diciembre.
Bueno, si has leído hasta aquí, me apresuro a felicitarte: has completado con éxito el "Curso de Young Fighter" en progresiones aritméticas. Puede pasar de manera segura a la siguiente lección, donde estudiaremos la fórmula para la suma de la progresión, así como las consecuencias importantes y muy útiles de la misma.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")
Una progresión aritmética es una serie de números en los que cada número es mayor (o menor) que el anterior en la misma cantidad.
Este tema suele ser difícil e incomprensible. Índices de letras, el enésimo término de la progresión, la diferencia en la progresión, todo esto es de alguna manera vergonzoso, sí ... Vamos a descubrir el significado de la progresión aritmética y todo saldrá bien de inmediato).
Concepto de progresión aritmética.
La progresión aritmética es un concepto muy simple y claro. ¿Duda? En vano.) Véalo usted mismo.
Escribiré una serie inacabada de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
¿Puedes extender esta fila? ¿Qué números irán después del cinco? Todos ... uh-uh ..., en fin, todos se darán cuenta de que los números 6, 7, 8, 9, etc. llegarán más lejos.
Compliquemos la tarea. Doy una serie inacabada de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Podrás captar el patrón, extender la serie y nombrar séptimo¿numero de fila?
Si descubrió que este número es 20, ¡lo felicito! No solo te sentiste puntos clave de la progresión aritmética,¡pero también los usó con éxito en los negocios! Si no lo ha descubierto, siga leyendo.
Ahora traduzcamos los puntos clave de la sensación a las matemáticas).
Primer punto clave.
La progresión aritmética se ocupa de series de números. Esto es confuso al principio. Estamos acostumbrados a resolver ecuaciones, trazar gráficas y todo eso ... Y luego extender la serie, encontrar el número de la serie ...
Nada mal. Es solo que las progresiones son el primer contacto con una nueva rama de las matemáticas. La sección se llama "Filas" y funciona con series de números y expresiones. Acostumbrarse a él.)
Segundo punto clave.
En una progresión aritmética, cualquier número es diferente al anterior. por la misma cantidad.
En el primer ejemplo, esta diferencia es una. Cualquiera que sea el número que tome, es uno más que el anterior. En el segundo, tres. Cualquier número mayor que el anterior uno por tres. En realidad, es este momento el que nos da la oportunidad de captar el patrón y calcular los números subsiguientes.
El tercer punto clave.
Este momento no es llamativo, sí ... Pero es muy, muy importante. Aquí está: cada número en la progresión se coloca en su lugar. Está el primer número, está el séptimo, está el cuadragésimo quinto, etc. Si los mezcla al azar, el patrón desaparecerá. La progresión aritmética también desaparecerá. Solo quedará una fila de números.
Ese es todo el punto.
Por supuesto, aparecen nuevos términos y designaciones en el nuevo tema. Necesitas conocerlos. De lo contrario, no comprenderá la tarea. Por ejemplo, debes decidir algo como:
Escribe los primeros seis términos de la progresión aritmética (a n) si a 2 = 5, d = -2,5.
¿Te inspira?) Cartas, algunos índices ... Y la tarea, por cierto, no podría ser más sencilla. Solo necesita comprender el significado de los términos y designaciones. Ahora dominaremos este negocio y volveremos a la tarea.
Términos y designaciones.
Progresión aritmética es una serie de números en los que cada número es diferente al anterior por la misma cantidad.
Esta cantidad se llama ... Tratemos este concepto con más detalle.
Diferencia de progresión aritmética.
Diferencia de progresión aritmética es la cantidad por la cual cualquier número de la progresión más El anterior.
Un punto importante. Por favor, preste atención a la palabra "más". Matemáticamente, esto significa que cada número en la progresión se obtiene agregando la diferencia de la progresión aritmética al número anterior.
Para el cálculo, digamos segundo número de la serie, es necesario la primera el número agregar esta misma diferencia de progresión aritmética. Para el cálculo quinto- la diferencia es necesaria agregar A cuatro, bueno, etc.
Diferencia de progresión aritmética tal vez positivo, entonces cada número de la fila resultará realmente más que el anterior. Esta progresión se llama creciente. Por ejemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aquí se obtiene cada número agregando número positivo, +5 al anterior.
La diferencia puede ser negativo, entonces cada número en la fila será menos que el anterior. Tal progresión se llama (¡no lo vas a creer!) decreciente.
Por ejemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aquí también se obtienen todos los números agregando al número anterior, pero ya negativo, -5.
Por cierto, cuando se trabaja con una progresión, es muy útil determinar inmediatamente su naturaleza, ya sea que esté aumentando o disminuyendo. Es de gran ayuda navegar por la solución, detectar sus errores y corregirlos antes de que sea demasiado tarde.
Diferencia de progresión aritmética denotado, como regla, por la letra D.
Como encontrar D? Muy simple. Es necesario restar de cualquier número de la serie anterior número. Sustraer. Por cierto, el resultado de la resta se llama "diferencia").
Definamos, por ejemplo, D para aumentar la progresión aritmética:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Tomamos cualquier número de la fila que queramos, por ejemplo, 11. Restar de él número anterior, aquellos. ocho:
Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión aritmética, la diferencia es tres.
Puedes tomar exactamente cualquier número de progresión, ya que para una progresión específica D -siempre lo mismo. Al menos en algún lugar al principio de la fila, al menos en el medio, al menos en cualquier lugar. No puede tomar solo el primer número. Solo porque el primer número no hay uno anterior.)
Por cierto, sabiendo que d = 3, es muy fácil encontrar el séptimo número de esta progresión. Suma 3 al quinto número; obtenemos el sexto, será 17. Sume tres al sexto número, obtenemos el séptimo número: veinte.
Definimos D para una progresión aritmética decreciente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Les recuerdo que, independientemente de los signos, para determinar D es necesario de cualquier número quita el anterior. Elegimos cualquier número de progresión, por ejemplo -7. El anterior es -2. Entonces:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La diferencia de la progresión aritmética puede ser cualquier número: entero, fraccionario, irracional, lo que sea.
Otros términos y designaciones.
Cada número de la serie se llama un miembro de una progresión aritmética.
Cada miembro de la progresión tiene su propio número. Los números están estrictamente en orden, sin trucos. Primero, segundo, tercero, cuarto, etc. Por ejemplo, en la progresión 2, 5, 8, 11, 14, ... dos es el primer término, cinco es el segundo, once es el cuarto, bueno, entiendes ...) Por favor, comprenda claramente - los números mismos puede ser absolutamente cualquiera, entero, fraccional, negativo, lo que sea, pero numeración de números- ¡estrictamente en orden!
¿Cómo registrar una progresión general? ¡No hay problema! Cada número de la fila está escrito como una letra. Como regla general, la letra se usa para denotar una progresión aritmética a... El número de miembro se indica mediante un índice en la parte inferior derecha. Escribimos miembros separados por comas (o punto y coma), así:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....
un 1 es el primer número, un 3- tercero, etc. Nada complicado. Puede escribir brevemente esta serie así: (un).
Las progresiones son finito e interminable.
El último la progresión tiene un número limitado de miembros. Cinco, treinta y ocho, lo que sea. Pero - un número finito.
Sin fin progresión: tiene un número infinito de miembros, como puede adivinar).
Puedes escribir la progresión final a través de una serie como esta, todos los miembros y un punto al final:
un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.
O así, si hay muchos miembros:
un 1, un 2, ... un 14, un 15.
En una entrada breve, deberá indicar adicionalmente el número de miembros. Por ejemplo (para veinte miembros), así:
(una a n), n = 20
Una progresión sin fin se puede reconocer por los puntos suspensivos al final de la fila, como en los ejemplos de esta lección.
Ahora puedes resolver tareas. Las tareas son simples, puramente para comprender el significado de la progresión aritmética.
Ejemplos de tareas sobre progresión aritmética.
Analicemos la tarea en detalle, que se da arriba:
1. Escriba los primeros seis términos de la progresión aritmética (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.
Traducimos la tarea a un lenguaje comprensible. Se da una progresión aritmética infinita. Se conoce el segundo número de esta progresión: a 2 = 5. Se conoce la diferencia en la progresión: d = -2,5. Es necesario encontrar el primer, tercero, cuarto, quinto y sexto miembros de esta progresión.
Para mayor claridad, escribiré una serie de acuerdo con la condición del problema. Los primeros seis términos, donde el segundo término es un cinco:
un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6, ....
un 3 = un 2 + D
Sustituir en expresión a 2 = 5 y d = -2,5... ¡No te olvides del menos!
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
El tercer término es más pequeño que el segundo. Todo es lógico. Si el número es mayor que el anterior por negativo valor, entonces el número en sí resultará ser menor que el anterior. La progresión está disminuyendo. Vale, vamos a tenerlo en cuenta. Consideramos el cuarto miembro de nuestra serie:
un 4 = un 3 + D
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + D
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + D
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Entonces, se calculan los términos del tercero al sexto. El resultado es una serie de este tipo:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Queda por encontrar el primer término un 1 según el conocido segundo. Este es un paso en la otra dirección, a la izquierda.) Por lo tanto, la diferencia de la progresión aritmética D no es necesario agregar a un 2, a quitar:
un 1 = un 2 - D
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Eso es todo al respecto. Respuesta de la tarea:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
En el camino, notaré que resolvimos esta tarea. recurrente camino. Esta palabra aterradora solo significa buscar a un miembro de la progresión. por el número anterior (adyacente). Consideraremos otras formas de trabajar con la progresión más adelante.
Se puede sacar una conclusión importante de esta sencilla tarea.
Recordar:
Si conocemos al menos un término y la diferencia de una progresión aritmética, podemos encontrar cualquier miembro de esta progresión.
¿Te acuerdas? Esta simple conclusión le permite resolver la mayoría de las tareas del curso escolar sobre este tema. Todas las tareas giran en torno a tres parámetros principales: miembro de progresión aritmética, diferencia de progresión, número de miembro de la progresión. Todo.
Por supuesto, no se cancela todo el álgebra anterior). Las desigualdades, ecuaciones y otras cosas se adjuntan a la progresión. Pero por la misma progresión- todo gira en torno a tres parámetros.
Echemos un vistazo a algunas de las asignaciones populares sobre este tema como ejemplo.
2. Escriba la progresión aritmética final como una serie, si n = 5, d = 0.4 y a 1 = 3.6.
Aquí todo es sencillo. Ya se ha dado todo. Debe recordar cómo se cuentan, cuentan y anotan los miembros de una progresión aritmética. Es recomendable no perderse las palabras en la condición del trabajo: "final" y " n = 5". No contar hasta que esté completamente azul en la cara.) Solo hay 5 (cinco) miembros en esta progresión:
una 2 = una 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
una 3 = una 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Queda por anotar la respuesta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Otra tarea:
3. Determina si el número 7 es miembro de la progresión aritmética (a n), si a 1 = 4,1; d = 1,2.
Hmm ... ¿Quién sabe? ¿Cómo definir algo?
Cómo-cómo ... Sí, anote la progresión en forma de serie y vea si habrá un siete allí, ¡o no! Consideramos:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ahora se ve claramente que somos solo un siete deslizado a través de entre 6,5 y 7,7! El siete no entró en nuestra serie de números y, por lo tanto, el siete no será miembro de la progresión dada.
La respuesta es no.
Y aquí hay una tarea basada en una versión real del GIA:
4. Se escriben varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; 15; X; 9; 6; ...
Aquí se escribe una fila sin principio ni fin. Sin números de miembro, sin diferencia D... Nada mal. Para resolver el problema, basta con comprender el significado de la progresión aritmética. Miramos y pensamos en lo que es posible descubrir de esta serie? ¿Cuáles son los tres parámetros principales?
¿Números de miembros? No hay un solo número aquí.
Pero hay tres números y ¡atención! - palabra "consecutivo" en el estado. Esto significa que los números están estrictamente en orden, sin espacios. ¿Hay dos en esta fila? vecino números conocidos? ¡Sí tengo! Estos son 9 y 6. ¡Entonces podemos calcular la diferencia de la progresión aritmética! Restamos de los seis anterior número, es decir nueve:
Quedan meras bagatelas. ¿Cuál es el número anterior de la X? Quince. Esto significa que x se puede encontrar fácilmente mediante una simple suma. Suma la diferencia de la progresión aritmética a 15:
Eso es todo. Respuesta: x = 12
Nosotros mismos resolvemos los siguientes problemas. Nota: estos problemas no tienen que ver con fórmulas. Simplemente para entender el significado de una progresión aritmética. Simplemente escribimos una serie de números-letras, miramos y pensamos.
5. Encuentre el primer término positivo de la progresión aritmética si a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se sabe que el número 5.5 es miembro de la progresión aritmética (a n), donde a 1 = 1.6; d = 1,3. Determine el número n de este miembro.
7. Se sabe que en la progresión aritmética a 2 = 4; a 5 = 15,1. Encuentra un 3.
8. Escribió varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encuentra el término en la progresión denotado por la letra x.
9. El tren comenzó a moverse desde la estación, aumentando constantemente su velocidad en 30 metros por minuto. ¿Cuál será la velocidad del tren en cinco minutos? Dé su respuesta en km / h.
10. Se sabe que en la progresión aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encuentra un 1.
Respuestas (en desorden): 7.7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
¿Todo salió bien? ¡Maravilloso! Puede dominar la progresión aritmética a un nivel superior en las siguientes lecciones.
¿No salió todo bien? No hay problema. En la Sección Especial 555, todas estas tareas se ordenan en pedazos.) Y, por supuesto, se describe una técnica práctica simple que resalta inmediatamente la solución de tales tareas de manera clara, clara, ¡como si estuviera en la palma de su mano!
Por cierto, en el acertijo del tren hay dos problemas con los que la gente tropieza a menudo. Uno es puramente en progresión, y el segundo es común para cualquier problema de matemáticas y física también. Esta es una traslación de dimensiones de una a otra. En él se muestra cómo deben resolverse estos problemas.
En esta lección, examinamos el significado elemental de la progresión aritmética y sus principales parámetros. Esto es suficiente para resolver casi todos los problemas sobre este tema. Agregar D a los números, escribe una serie, todo se decidirá.
La solución de dedo funciona bien para partes muy cortas de una fila, como en los ejemplos de esta lección. Si la fila es más larga, los cálculos se vuelven más complicados. Por ejemplo, si en el problema 9 de la pregunta, reemplace "cinco minutos" sobre el "treinta y cinco minutos" el problema se volverá significativamente más enojado).
Y también hay tareas que son simples en esencia, pero increíbles en términos de cálculos, por ejemplo:
Se le da una progresión aritmética (una n). Encuentre 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
¿Y qué, agregaremos muchas, muchas veces por 1/6? ¡¿Puedes matarlo ?!
Puede hacerlo.) Si no conoce la fórmula simple mediante la cual tales tareas se pueden resolver en un minuto. Esta fórmula estará en la próxima lección. Y este problema se resuelve ahí. En un minuto.)
Si te gusta este sitio ...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
