Método gaussiano para resolver el desprendimiento. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método gaussiano.

Sea un sistema de lineal ecuaciones algebraicas, que debe resolverse (encuentre los valores de las incógnitas xi que conviertan cada ecuación del sistema en igualdad).

Sabemos que un sistema de ecuaciones algebraicas lineales puede:

1) No tener soluciones (ser no conjunto).
2) Tener infinitas soluciones.
3) Tener una solución única.

Como recordamos, la regla de Cramer y el método matricial no son adecuados en los casos en que el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente. método de gauss – la herramienta más poderosa y universal para encontrar una solución a cualquier sistema ecuaciones lineales , cual en todos los casos¡Nos llevará a la respuesta! El algoritmo del método en sí funciona igual en los tres casos. Si los métodos de Cramer y matriciales requieren conocimiento de los determinantes, entonces para aplicar el método de Gauss solo necesitas conocimiento operaciones aritméticas, lo que lo hace accesible incluso para estudiantes de primaria.

Transformaciones matriciales aumentadas ( esta es la matriz del sistema - una matriz compuesta sólo por los coeficientes de las incógnitas, más una columna de términos libres) sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en el método de Gauss:

1) Con troki matrices Poder arreglar de nuevo en algunos lugares.

2) si aparecen (o existen) filas proporcionales (como caso especial, idénticas) en la matriz, entonces debería borrar Todas estas filas son de la matriz excepto una.

3) si aparece una fila cero en la matriz durante las transformaciones, entonces también debería ser borrar.

4) una fila de la matriz puede ser multiplicar (dividir) a cualquier número distinto de cero.

5) a una fila de la matriz puedes agregar otra cadena multiplicada por un número, diferente de cero.

En el método de Gauss, las transformaciones elementales no cambian la solución del sistema de ecuaciones.

El método de Gauss consta de dos etapas:

"Movimiento directo": mediante transformaciones elementales, lleva la matriz extendida de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a una forma escalonada "triangular": los elementos de la matriz extendida ubicados debajo de la diagonal principal son iguales a cero (movimiento de arriba hacia abajo). Por ejemplo, a este tipo:

Para hacer esto, realice los siguientes pasos:

1) Consideremos la primera ecuación de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y el coeficiente para x 1 es igual a K. La segunda, tercera, etc. Transformamos las ecuaciones de la siguiente manera: dividimos cada ecuación (coeficientes de incógnitas, incluidos los términos libres) por el coeficiente de la incógnita x 1, que está en cada ecuación, y multiplicamos por K. Después de esto, restamos el primero del segundo. ecuación (coeficientes para incógnitas y términos libres). Para x 1 en la segunda ecuación obtenemos el coeficiente 0. De la tercera ecuación transformada restamos la primera ecuación hasta que todas las ecuaciones excepto la primera, para x 1 desconocida, tengan un coeficiente 0.

2) Pasemos a la siguiente ecuación. Sea esta la segunda ecuación y el coeficiente para x 2 igual a M. Procedemos con todas las ecuaciones “inferiores” como se describió anteriormente. Por tanto, “debajo” de la incógnita x 2 habrá ceros en todas las ecuaciones.

3) Pasar a la siguiente ecuación y así sucesivamente hasta que quede una última incógnita y el término libre transformado.

El “movimiento inverso” del método de Gauss consiste en obtener una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (el movimiento “de abajo hacia arriba”).

De la última ecuación “inferior” obtenemos una primera solución: la incógnita x n. Para hacer esto, resolvemos la ecuación elemental A * x n = B. En el ejemplo anterior, x 3 = 4. Sustituimos el valor encontrado en la siguiente ecuación "superior" y lo resolvemos con respecto a la siguiente incógnita. Por ejemplo, x 2 – 4 = 1, es decir x 2 = 5. Y así sucesivamente hasta encontrar todas las incógnitas.

Ejemplo.

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss, como aconsejan algunos autores:

Escribamos la matriz extendida del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma escalonada:
Nos fijamos en el “paso” superior izquierdo. Deberíamos tener uno allí. El problema es que no hay ninguna unidad en la primera columna, por lo que reorganizar las filas no resolverá nada. En tales casos, la unidad debe organizarse mediante una transformación elemental. Por lo general, esto se puede hacer de varias maneras. Hagamos esto: 1 paso

. A la primera línea le sumamos la segunda línea, multiplicada por –1. Es decir, multiplicamos mentalmente la segunda línea por –1 y sumamos la primera y la segunda línea, mientras que la segunda línea no cambió.

Ahora arriba a la izquierda aparece “menos uno”, lo que nos viene bastante bien. Cualquiera que quiera obtener +1 puede realizar una acción adicional: multiplicar la primera línea por –1 (cambiar su signo). . La primera línea, multiplicada por 5, se añadió a la segunda línea. La primera línea, multiplicada por 3, se añadió a la tercera línea.

Paso 3 . La primera línea se multiplicó por –1, en principio, esto es por belleza. También se cambió el signo de la tercera línea y se pasó al segundo lugar, de modo que en el segundo “escalón” tuviéramos la unidad requerida.

Paso 4 . La tercera línea se sumó a la segunda línea, multiplicada por 2.

Paso 5 . La tercera línea se dividió por 3.

Una señal que indica un error en los cálculos (más raramente, un error tipográfico) es un resultado final “malo”. Es decir, si obtuvimos algo como (0 0 11 |23) a continuación y, en consecuencia, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, entonces con un alto grado de probabilidad podemos decir que se cometió un error durante la primaria. transformaciones.

Hagamos lo contrario; en el diseño de ejemplos, el sistema en sí a menudo no se reescribe, sino que las ecuaciones se “toman directamente de la matriz dada”. El movimiento inverso, les recuerdo, funciona de abajo hacia arriba. En este ejemplo, el resultado fue un regalo:

x3 = 1
x2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, por lo tanto x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Respuesta:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Resolvamos el mismo sistema usando el algoritmo propuesto. obtenemos

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Dividimos la segunda ecuación por 5 y la tercera por 3. Obtenemos:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplicando la segunda y tercera ecuaciones por 4 obtenemos:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Reste la primera ecuación de la segunda y tercera ecuaciones, tenemos:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divide la tercera ecuación por 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multiplica la tercera ecuación por 0,4.

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Restando la segunda de la tercera ecuación, obtenemos una matriz extendida “escalonada”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Así, dado el error acumulado durante los cálculos, obtenemos x 3 = 0,96 o aproximadamente 1.

x2 = 3 y x1 = –1.

Resolviendo de esta forma, nunca te confundirás en los cálculos y, a pesar de los errores de cálculo, obtendrás el resultado.

Este método para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es fácilmente programable y no tiene en cuenta las características específicas de los coeficientes para incógnitas, porque en la práctica (en cálculos económicos y técnicos) hay que lidiar con coeficientes no enteros.

¡Te deseo éxito! ¡Nos vemos en clase! Tutor Dmitri Aistrajánov.

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Uno de los métodos universales y efectivos para resolver sistemas algebraicos lineales es método gaussiano , consistente en la eliminación secuencial de incógnitas.

Recuerde que los dos sistemas se llaman equivalente (equivalente) si los conjuntos de sus soluciones coinciden. En otras palabras, los sistemas son equivalentes si cada solución de uno de ellos es solución del otro y viceversa. Los sistemas equivalentes se obtienen cuando transformaciones elementales ecuaciones del sistema:

multiplicar ambos lados de la ecuación por un número distinto de cero;

sumar a alguna ecuación las partes correspondientes de otra ecuación, multiplicadas por un número distinto de cero;

reordenando dos ecuaciones.

Sea un sistema de ecuaciones dado

El proceso de resolución de este sistema mediante el método gaussiano consta de dos etapas. En la primera etapa (movimiento directo), el sistema, mediante transformaciones elementales, se reduce a paso a paso , o triangular forma, y en la segunda etapa (inversa) hay una determinación secuencial, comenzando desde el último número de variable, de las incógnitas del sistema de pasos resultante.

Supongamos que el coeficiente de este sistema
, de lo contrario, en el sistema, la primera fila se puede intercambiar con cualquier otra fila para que el coeficiente en era diferente de cero.

Transformemos el sistema eliminando lo desconocido en todas las ecuaciones excepto en la primera. Para hacer esto, multiplica ambos lados de la primera ecuación por y sumar término por término con la segunda ecuación del sistema. Luego multiplica ambos lados de la primera ecuación por y sumarlo a la tercera ecuación del sistema. Continuando este proceso obtenemos el sistema equivalente

Aquí
– nuevos valores de coeficientes y términos libres que se obtienen tras el primer paso.

Del mismo modo, considerando el elemento principal
, excluir lo desconocido de todas las ecuaciones del sistema excepto la primera y la segunda. Continuaremos este proceso el mayor tiempo posible y, como resultado, obtendremos un sistema paso a paso.

Dónde ,
,…,– elementos principales del sistema
.

Si, en el proceso de reducir el sistema a una forma escalonada, aparecen ecuaciones, es decir, igualdades de la forma
, se descartan ya que están satisfechos con cualquier conjunto de números
.
si en aparecerá ecuación de la forma

, que no tiene solución, entonces esto indica la incompatibilidad del sistema. Durante el movimiento inverso, la primera incógnita se expresa a partir de la última ecuación del sistema de pasos transformado.
a través de todas las otras incógnitas que se llaman . gratis Entonces la expresión variable
de la última ecuación del sistema se sustituye en la penúltima ecuación y la variable se expresa a partir de ella
. Las variables se definen secuencialmente de manera similar.
. variables , expresados a través de variables libres, se llaman básico

(dependiente). El resultado es una solución general al sistema de ecuaciones lineales. para encontrar sistemas, gratis desconocido
en la solución general se asignan valores arbitrarios y se calculan los valores de las variables
.

Es técnicamente más conveniente someter a transformaciones elementales no las ecuaciones del sistema en sí, sino la matriz extendida del sistema.

El método de Gauss es un método universal que le permite resolver no solo sistemas cuadrados, sino también rectangulares en los que el número de incógnitas
no es igual al número de ecuaciones
.

La ventaja de este método es también que en el proceso de resolución examinamos simultáneamente la compatibilidad del sistema, ya que, habiendo dado la matriz extendida
En forma gradual, es fácil determinar los rangos de la matriz. y matriz extendida
y aplicar Teorema de Kronecker-Capelli .

Ejemplo 2.1 Resuelve el sistema usando el método de Gauss.

Solución. Número de ecuaciones
y el número de incógnitas
.

Creemos una matriz extendida del sistema asignando coeficientes a la derecha de la matriz. columna de miembros gratuitos .

Presentemos la matriz. a una vista triangular; Para ello obtendremos “0” debajo de los elementos ubicados en la diagonal principal mediante transformaciones elementales.

Para obtener el "0" en la segunda posición de la primera columna, multiplique la primera fila por (-1) y súmela a la segunda fila.

Escribimos esta transformación como el número (-1) en la primera línea y la denotamos con una flecha que va de la primera a la segunda línea.

Para obtener "0" en la tercera posición de la primera columna, multiplique la primera fila por (-3) y súmela a la tercera fila; Mostremos esta acción usando una flecha que va desde la primera línea a la tercera.

En la matriz resultante, escrita en segundo lugar en la cadena de matrices, obtenemos "0" en la segunda columna en la tercera posición. Para ello, multiplicamos la segunda línea por (-4) y la sumamos a la tercera. En la matriz resultante, multiplica la segunda fila por (-1) y divide la tercera por (-8). Todos los elementos de esta matriz que se encuentran debajo de los elementos diagonales son ceros.

Porque , el sistema es colaborativo y definido.

El sistema de ecuaciones correspondiente a la última matriz tiene forma triangular:

De la última (tercera) ecuación
. Sustituimos en la segunda ecuación y obtenemos
.

sustituyamos
Y
en la primera ecuación encontramos

.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. Supongamos que necesitamos encontrar una solución al sistema a partir de norte ecuaciones lineales con norte variables desconocidas
cuyo determinante de la matriz principal es diferente de cero.

La esencia del método Gauss. consiste en eliminar secuencialmente variables desconocidas: primero eliminando x1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, se excluye además x2 de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida en la última ecuación xn. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar la progresión directa del método gaussiano, de la última ecuación encontramos xn, usando este valor de la penúltima ecuación calculamos xn-1, y así sucesivamente, de la primera ecuación encontramos x1. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminar la variable desconocida x1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, hasta enésimo a la ecuación le sumamos el primero, multiplicado por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y .

Llegaríamos al mismo resultado si expresáramos x1 a través de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y la expresión resultante se sustituyó en todas las demás ecuaciones. Entonces la variable x1 excluido de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente hasta enésimo a la ecuación le sumamos el segundo, multiplicado por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

donde y . Entonces la variable x2 excluido de todas las ecuaciones a partir de la tercera.

A continuación procedemos a eliminar lo desconocido. x3, en este caso actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos a la inversa del método gaussiano: calculamos xn de la última ecuación como, usando el valor obtenido xn encontramos xn-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x1 de la primera ecuación.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Desde principios de los siglos XVI-XVIII, los matemáticos comenzaron a estudiar intensamente las funciones, gracias a las cuales muchas cosas han cambiado en nuestras vidas. tecnología informática sin este conocimiento simplemente no existiría. para resolver tareas complejas, Se han creado ecuaciones y funciones lineales, diversos conceptos, teoremas y técnicas de solución. Uno de estos universales y formas racionales y los métodos para resolver ecuaciones lineales y sus sistemas se convirtieron en el método de Gauss. Matrices, su rango, determinante: todo se puede calcular sin utilizar operaciones complejas.

¿Qué es SLAU?

En matemáticas, existe el concepto de SLAE, un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. ¿Cómo es ella? Este es un conjunto de m ecuaciones con las n cantidades desconocidas deseadas, generalmente indicadas como x, y, z o x 1, x 2 ... x n, u otros símbolos. Resolver un sistema dado utilizando el método gaussiano significa encontrar todas las incógnitas. Si un sistema tiene el mismo número de incógnitas y ecuaciones, entonces se llama sistema de enésimo orden.

Los métodos más populares para resolver SLAE

EN instituciones educativas Los alumnos de Educación Secundaria estudian diversos métodos para resolver este tipo de sistemas. La mayoría de las veces se trata de ecuaciones simples que constan de dos incógnitas, por lo que cualquier método existente No tomará mucho tiempo encontrarles la respuesta. Esto puede ser como un método de sustitución, cuando se deriva otra de una ecuación y se sustituye en la original. O el método de resta y suma término por término. Pero el método de Gauss se considera el más sencillo y universal. Permite resolver ecuaciones con cualquier número de incógnitas. ¿Por qué esta técnica particular se considera racional? Es sencillo. Lo bueno del método matricial es que no requiere reescribir símbolos innecesarios varias veces como incógnitas; basta con realizar operaciones aritméticas con los coeficientes y obtendrá un resultado confiable.

¿Dónde se utilizan los SLAE en la práctica?

La solución a los SLAE son los puntos de intersección de líneas en las gráficas de funciones. En nuestra alta tecnología era de la computadora Las personas que participan estrechamente en el desarrollo de juegos y otros programas necesitan saber cómo resolver dichos sistemas, qué representan y cómo comprobar la exactitud del resultado resultante. Muy a menudo, los programadores desarrollan programas especiales de calculadora de álgebra lineal, que también incluyen un sistema de ecuaciones lineales. El método gaussiano te permite calcularlo todo. soluciones existentes. También se utilizan otras fórmulas y técnicas simplificadas.

Criterio de compatibilidad SLAU

Un sistema así sólo puede solucionarse si es compatible. Para mayor claridad, representemos el SLAE en la forma Ax=b. Tiene solución si rang(A) es igual a rang(A,b). En este caso, (A,b) es una matriz en forma extendida que se puede obtener de la matriz A reescribiéndola con términos libres. Resulta que resolver ecuaciones lineales utilizando el método gaussiano es bastante fácil.

Quizás algunos de los símbolos no sean del todo claros, por lo que es necesario considerar todo con un ejemplo. Digamos que hay un sistema: x+y=1; 2x-3y=6. Consta de sólo dos ecuaciones, en las que hay 2 incógnitas. El sistema tendrá solución sólo si el rango de su matriz es igual al rango de la matriz extendida. ¿Qué es el rango? Este es el número de líneas independientes del sistema. En nuestro caso, el rango de la matriz es 2. La matriz A estará formada por coeficientes ubicados cerca de las incógnitas, y los coeficientes ubicados detrás del signo "=" también encajarán en la matriz extendida.

¿Por qué se pueden representar los SLAE en forma matricial?

Según el criterio de compatibilidad según el probado teorema de Kronecker-Capelli, es posible representar un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial. Utilizando el método de la cascada gaussiana, puede resolver la matriz y obtener una única respuesta confiable para todo el sistema. Si el rango de una matriz ordinaria es igual al rango de su matriz extendida, pero es menor que el número de incógnitas, entonces el sistema tiene un número infinito de respuestas.

Transformaciones matriciales

Antes de pasar a resolver matrices, es necesario saber qué acciones se pueden realizar sobre sus elementos. Hay varias transformaciones elementales:

Al reescribir el sistema en forma matricial y resolverlo, puedes multiplicar todos los elementos de la serie por el mismo coeficiente.
Para transformar la matriz en forma canónica, puedes intercambiar dos filas paralelas. La forma canónica implica que todos los elementos de la matriz que se encuentran a lo largo de la diagonal principal se convierten en unos y los restantes en ceros.
Los elementos correspondientes de filas paralelas de la matriz se pueden sumar entre sí.

Método Jordan-Gauss

La esencia de resolver sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas utilizando el método gaussiano es eliminar gradualmente las incógnitas. Digamos que tenemos un sistema de dos ecuaciones en el que hay dos incógnitas. Para encontrarlos, debe verificar la compatibilidad del sistema. La ecuación se resuelve de forma muy sencilla mediante el método de Gauss. Es necesario anotar en forma matricial los coeficientes ubicados cerca de cada incógnita. Para resolver el sistema, necesitarás escribir la matriz extendida. Si una de las ecuaciones contiene un número menor de incógnitas, entonces se debe colocar "0" en lugar del elemento que falta. A la matriz se aplican todos los métodos de transformación conocidos: multiplicación, división por un número, suma de los elementos correspondientes de la serie entre sí, etc. Resulta que en cada fila es necesario dejar una variable con el valor “1”, el resto se debe poner a cero. Para una comprensión más precisa, es necesario considerar el método de Gauss con ejemplos.

Un ejemplo sencillo de resolución de un sistema 2x2.

Para empezar, tomemos un sistema simple de ecuaciones algebraicas, en el que habrá 2 incógnitas.

Reescribámoslo en una matriz extendida.

Para resolver este sistema de ecuaciones lineales sólo se requieren dos operaciones. Necesitamos llevar la matriz a su forma canónica para que haya unidades a lo largo de la diagonal principal. Entonces, transfiriendo de la forma matricial al sistema, obtenemos las ecuaciones: 1x+0y=b1 y 0x+1y=b2, donde b1 y b2 son las respuestas resultantes en el proceso de solución.

La primera acción al resolver una matriz extendida será la siguiente: la primera fila debe multiplicarse por -7 y agregar los elementos correspondientes a la segunda fila para eliminar una incógnita en la segunda ecuación.
Dado que resolver ecuaciones utilizando el método de Gauss implica reducir la matriz a una forma canónica, entonces es necesario realizar las mismas operaciones con la primera ecuación y eliminar la segunda variable. Para hacer esto, restamos la segunda línea de la primera y obtenemos la respuesta requerida: la solución del SLAE. O, como se muestra en la figura, multiplicamos la segunda fila por un factor de -1 y sumamos los elementos de la segunda fila a la primera fila. Es lo mismo.

Como podemos ver, nuestro sistema fue resuelto mediante el método de Jordan-Gauss. Lo reescribimos en la forma requerida: x=-5, y=7.

Un ejemplo de una solución SLAE 3x3

Supongamos que tenemos un sistema más complejo de ecuaciones lineales. El método gaussiano permite calcular la respuesta incluso para el sistema aparentemente más confuso. Por tanto, para profundizar en la metodología de cálculo, se puede pasar a más ejemplo complejo con tres incógnitas.

Como en el ejemplo anterior, reescribimos el sistema en forma de matriz extendida y comenzamos a llevarlo a su forma canónica.

Para resolver este sistema, necesitarás realizar muchas más acciones que en el ejemplo anterior.

Primero necesitas hacer que la primera columna sea un elemento unitario y el resto ceros. Para hacer esto, multiplica la primera ecuación por -1 y súmale la segunda ecuación. Es importante recordar que reescribimos la primera línea en su forma original y la segunda en su forma modificada.
A continuación, eliminamos esta misma primera incógnita de la tercera ecuación. Para hacer esto, multiplica los elementos de la primera fila por -2 y súmalos a la tercera fila. Ahora la primera y segunda línea se reescriben en su forma original, y la tercera, con cambios. Como puede ver en el resultado, obtuvimos el primero al comienzo de la diagonal principal de la matriz y los ceros restantes. Unos pocos pasos más y el sistema de ecuaciones mediante el método gaussiano se resolverá de forma fiable.
Ahora necesitas realizar operaciones en otros elementos de las filas. La tercera y cuarta acción se pueden combinar en una sola. Necesitamos dividir la segunda y tercera línea por -1 para eliminar las líneas negativas en la diagonal. Ya hemos llevado la tercera línea al formulario requerido.
A continuación llevamos la segunda línea a la forma canónica. Para hacer esto, multiplica los elementos de la tercera fila por -3 y súmalos a la segunda fila de la matriz. Del resultado se desprende claramente que la segunda línea también se reduce a la forma que necesitamos. Queda por realizar algunas operaciones más y eliminar los coeficientes de las incógnitas de la primera línea.
Para obtener 0 a partir del segundo elemento de una fila, debes multiplicar la tercera fila por -3 y sumarla a la primera fila.
El siguiente paso decisivo será agregar los elementos necesarios de la segunda fila a la primera fila. De esta forma obtenemos la forma canónica de la matriz y, en consecuencia, la respuesta.

Como puedes ver, resolver ecuaciones utilizando el método de Gauss es bastante sencillo.

Un ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones 4x4.

Algunos sistemas de ecuaciones más complejos se pueden resolver mediante el método gaussiano utilizando programas de computadora. Es necesario ingresar los coeficientes de las incógnitas en las celdas vacías existentes y el programa mismo los calculará paso a paso. resultado requerido, describiendo cada acción en detalle.

Descrito a continuación instrucciones paso a paso soluciones a este ejemplo.

En el primer paso, se ingresan coeficientes libres y números para incógnitas en celdas vacías. Así, obtenemos la misma matriz extendida que escribimos manualmente.

Y se realizan todas las operaciones aritméticas necesarias para llevar la matriz extendida a su forma canónica. Es necesario entender que la respuesta a un sistema de ecuaciones no siempre son números enteros. A veces la solución puede provenir de números fraccionarios.

Comprobando la corrección de la solución.

El método Jordan-Gauss permite comprobar la exactitud del resultado. Para saber si los coeficientes se calcularon correctamente, basta con sustituir el resultado en el sistema de ecuaciones original. Lado izquierdo las ecuaciones deben coincidir lado derecho, ubicado detrás del signo igual. Si las respuestas no coinciden, entonces debe recalcular el sistema o intentar aplicarle otro método para resolver SLAE que conozca, como la sustitución o la resta y suma término por término. Después de todo, las matemáticas son una ciencia que tiene una gran cantidad de métodos de solución diferentes. Pero recuerda: el resultado siempre debe ser el mismo, sin importar el método de solución que utilices.

Método de Gauss: los errores más comunes a la hora de resolver SLAE

Al resolver sistemas lineales de ecuaciones, los errores más frecuentes se producen, como la transferencia incorrecta de coeficientes a forma matricial. Hay sistemas en los que faltan algunas incógnitas en una de las ecuaciones y luego, al transferir datos a una matriz extendida, se pueden perder. Como resultado, al resolver este sistema, es posible que el resultado no se corresponda con el real.

Otro error importante puede ser la escritura incorrecta. resultado final. Es necesario entender claramente que el primer coeficiente corresponderá a la primera incógnita del sistema, el segundo a la segunda, y así sucesivamente.

El método de Gauss describe en detalle la solución de ecuaciones lineales. Gracias a él, es fácil realizar las operaciones necesarias y encontrar el resultado correcto. Es más, esto remedio universal para encontrar una respuesta confiable a ecuaciones de cualquier complejidad. Quizás por eso se usa con tanta frecuencia al resolver SLAE.

Aquí podrás resolver un sistema de ecuaciones lineales gratis Método de Gauss en línea tallas grandes en números complejos con una solución muy detallada. Nuestra calculadora puede resolver online tanto los habituales sistemas de ecuaciones lineales definidos como indefinidos mediante el método de Gauss, que tiene un número infinito de soluciones. En este caso, en la respuesta recibirás la dependencia de unas variables a través de otras libres. También puede comprobar la coherencia del sistema de ecuaciones en línea utilizando la solución gaussiana.

Sobre el método

Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en línea utilizando el método gaussiano, se realizan los siguientes pasos.

Escribimos la matriz extendida.
De hecho, la solución se divide en pasos hacia adelante y hacia atrás del método gaussiano. El enfoque directo del método gaussiano es la reducción de una matriz a una forma escalonada. Contrarrestar El método gaussiano se denomina reducción de una matriz a una forma escalonada especial. Pero en la práctica, es más conveniente poner a cero inmediatamente lo que se encuentra tanto arriba como debajo del elemento en cuestión. Nuestra calculadora utiliza exactamente este enfoque.
Es importante tener en cuenta que al resolver mediante el método gaussiano, la presencia en la matriz de al menos una fila cero con un lado derecho distinto de cero (columna de términos libres) indica la incompatibilidad del sistema. Solución sistema lineal en este caso no existe.

Para comprender mejor cómo funciona el algoritmo gaussiano en línea, ingrese cualquier ejemplo, seleccione "solución muy detallada" y vea su solución en línea.