Fórmula de Newton-Leibniz
Teorema principal de análisis. o Fórmula de Newton-Leibniz da una relación entre dos operaciones: tomar una integral definida y calcular la primitiva
Formulación
Considere la integral de la función. y = F(X) que van desde numero constante a hasta el numero X, que consideraremos variable. Escribamos la integral de la siguiente forma:
Este tipo de integral se llama integral con límite superior variable. Utilizando el teorema del valor medio en una integral definida, es fácil demostrar que esta función es continua y diferenciable. Y también la derivada de una función dada en el punto x es igual a la propia función integrable. De esto se deduce que cualquier función continua tiene una antiderivada en forma de cuadratura: . Y dado que la clase de funciones primitivas de la función f difiere en una constante, es fácil demostrar que: la integral definida de la función f es igual a la diferencia en los valores de las primitivas en los puntos by a
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Avance:
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Títulos de diapositivas:
Integral. Fórmula de Newton-Leibniz. Compilado por: Profesora de matemáticas de la Institución Educativa Estatal de la Institución Educativa PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Objetivo de la lección: Introducir el concepto de integral y su cálculo utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conocimientos sobre la antiderivada y las reglas para su cálculo; Ilustrar la aplicación práctica de la integral utilizando ejemplos de cómo encontrar el área de un trapecio curvo; Reforza lo aprendido durante los ejercicios.
Definición: Que se dé función positiva f(x) definida en el segmento finito [ a;b ] . La integral de una función f(x) sobre [ a;b ] es el área de su trapecio curvilíneo. y=f(x) b a 0 x y
Designación: “integral de a a b eff de x de x”
Referencia histórica: Leibniz derivó la notación de la integral a partir de la primera letra de la palabra “Summa”. Newton no propuso un simbolismo alternativo para la integral en sus obras, aunque intentó varias opciones. El término integral fue acuñado por Jacob Bernoulli. Suma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Euler introdujo la notación para la integral indefinida. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler El diseño de la integral definida en la forma que conocemos fue inventado por Fourier.
Fórmula de Newton-Leibniz
Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución:
Ejemplo 2. Calcular integrales definidas: 5 9 1
Ejemplo 3. S y x Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y el eje x. Primero, encontremos los puntos de intersección del eje x con la gráfica de la función. Para hacer esto, resolvamos la ecuación. = Solución: S =
y x S A B D C Ejemplo 4. Calcula el área de la figura delimitada por las rectas y encuentra los puntos de intersección (abscisas) de estas rectas resolviendo la ecuación S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4.5 = 4.5 ver ejemplo 1 Solución:
REGLAS SINCWAIN 1 línea - el tema del vino sincronizado 1 palabra 2 líneas - 2 adjetivos que describen los signos y propiedades del tema 3 líneas - 3 verbos que describen la naturaleza de la acción 4 líneas - una oración corta de 4 palabras que muestra su actitud personal hacia el tema 5 líneas - 1 palabra, sinónimo o su asociación tema del tema.
Integral 2. Definida, positiva Contar, sumar, multiplicar 4. Calcular usando la fórmula de Newton-Leibniz 5. Área
Lista de literatura usada: libro de texto de A.N. Kolmagorov. y otros Álgebra e inicios del análisis 10 - 11 grados.
¡Gracias por su atención! “El TALENTO es el 99% del trabajo y el 1% de la capacidad” sabiduría popular
Ejemplo 1. Calcular la integral definida: = Solución: ejemplo 4
Avance:
Materia: matemáticas (álgebra e inicios del análisis), grado: 11° grado.
Tema de la lección: "Integral. Fórmula de Newton-Leibniz."
Tipo de lección: Aprender material nuevo.
Duración de la lección: 45 minutos.
Objetivos de la lección: introducir el concepto de integral y su cálculo mediante la fórmula de Newton-Leibniz, utilizando conocimientos sobre la antiderivada y las reglas para su cálculo; ilustrar la aplicación práctica de la integral utilizando ejemplos de cómo encontrar el área de un trapecio curvilíneo; Consolida lo aprendido durante los ejercicios.
Objetivos de la lección:
Educativo:
- formar el concepto de integral;
- desarrollar habilidades para calcular una integral definida;
- formación de habilidades aplicación práctica Integral para encontrar el área de un trapezoide curvo.
Educativo:
- desarrollo interés cognitivo estudiantes, desarrollar el habla matemática, la capacidad de observar, comparar y sacar conclusiones;
- Desarrollar el interés por el tema utilizando las TIC.
Educativo:
- intensificar el interés por adquirir nuevos conocimientos, desarrollar la precisión y exactitud en el cálculo de la integral y realizar dibujos.
Equipo: ORDENADOR PERSONAL, Sistema operativo Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; proyector multimedia, pantalla.
Literatura: libro de texto de Kolmagorov A.N. y otros Álgebra y principios de análisis 10-11 grados.
Tecnologías: TIC, entrenamiento individual.
DURANTE LAS CLASES
etapa de lección | actividades docentes | Actividades estudiantiles | Tiempo |
|
Parte introductoria | ||||
Organizar el tiempo | Saluda, comprueba la preparación de los estudiantes para la lección, organiza la atención. Distribuye notas de apoyo. | Escucha, anota la fecha. | 3 minutos |
|
Comunicar el tema y los objetivos de la lección. | Actualización de conocimientos básicos y experiencia subjetiva con acceso a los objetivos de la lección. | Escuche y escriba el tema de la lección en su cuaderno.Participa activamente en la actividad mental. Analizar, comparar, sacar conclusiones para alcanzar los objetivos de la lección. | Presentación TIC 3 minutos |
|
Parte principal de la lección. Presentación de material nuevo con una prueba de conocimiento de temas anteriores. | ||||
Definición de la integral (diapositiva 3) | Da una definición. TIC ¿Qué es un trapecio curvo? | Una figura acotada por la gráfica de una función, un segmento y las rectas x=a y x=b. | 10 minutos |
|
Notación integral (diapositiva 4) | Presenta la notación de la integral y cómo se lee. | Escuche, escriba. | ||
Historia de la integral (diapositivas 5 y 6) | Cuenta la historia del término "integral". | Escuche y escriba brevemente. | ||
Fórmula de Newton-Leibniz (diapositiva 7) | Da la fórmula de Newton-Leibniz. ¿Qué significa F en la fórmula? | Escuche, tome notas, responda las preguntas del profesor. Antiderivada. | ||
La parte final de la lección. | ||||
Fijación del material. Resolver ejemplos utilizando el material estudiado. | ||||
Ejemplo 1 (diapositiva 8) | Analiza la solución del ejemplo, haciendo preguntas sobre cómo encontrar antiderivadas para los integrandos. | Escuchar, anotar, demostrar conocimiento de la tabla de antiderivadas. | 20 minutos |
|
Ejemplo 2 (diapositiva 9). Ejemplos para decisión independiente estudiantes. | Supervisa la solución de ejemplos. | Completa la tarea uno por uno, comentando (tecnología de aprendizaje individual), escucharse unos a otros, escribir, mostrar conocimiento de temas pasados. | ||
Ejemplo 3 (diapositiva 10) | Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección del eje x con la gráfica de una función? | Escuchan, responden preguntas, demuestran conocimientos de temas anteriores y anotan. Iguala el integrando a 0 y resuelve la ecuación. | ||
Ejemplo 4 (diapositiva 11) | Analiza la solución del ejemplo. ¿Cómo encontrar los puntos de intersección (abscisas) de gráficas de funciones? Determina el tipo de triángulo ABC. ¿Cómo encontrar el área de un triángulo rectángulo? | Escuchan y responden preguntas. Iguala las funciones entre sí y resuelve la ecuación resultante. Rectangular. donde a y b son los catetos de un triángulo rectángulo. | ||
Resumiendo la lección (diapositivas 12 y 13) | Organiza el trabajo de compilación de syncwine. | Participa en la preparación del vino sincronizado. Analizar, comparar, sacar conclusiones sobre el tema. | 5 minutos. |
|
Asignación de tareas según el nivel de dificultad. | Da tarea y explica. | Escuche, escriba. | 1 minuto. |
|
Evaluar el trabajo de los estudiantes en clase. | Evalúa el trabajo de los estudiantes en la lección y lo analiza. | Estan escuchando. | 1 minuto |
Avance:
Resumen básico sobre el tema “Integral. Fórmula de Newton-Leibniz."
Definición: Sea una función positiva f(x) , definido en un segmento finito.Integral de la función f(x) ense llama área de su trapecio curvilíneo. | ||
Designación: Lee: “integral de a a b ef de x de x” | ||
Fórmula de Newton-Leibniz | ||
Ejemplo 1. Calcula la integral definida: Solución: | ||
Ejemplo 3. y eje x. Solución: | ||
Ejemplo 3. Calcular el área de una figura delimitada por líneas. Y . |
Por una integral definida de una función continua F(X) en el segmento final [ a, b] (donde ) es el incremento de algunas de sus antiderivadas en este segmento. (En general, la comprensión será notablemente más fácil si repites el tema de la integral indefinida) En este caso, se utiliza la notación
Como se puede ver en los gráficos siguientes (el incremento de la función antiderivada se indica con ), una integral definida puede ser un número positivo o negativo(Se calcula como la diferencia entre el valor de la antiderivada en el límite superior y su valor en el límite inferior, es decir, como F(b) - F(a)).
Números a Y b se denominan límites de integración inferior y superior, respectivamente, y el segmento [ a, b] – segmento de integración.
Así, si F(X) – alguna función antiderivada para F(X), entonces, según la definición,
(38)
La igualdad (38) se llama Fórmula de Newton-Leibniz . Diferencia F(b) – F(a) se escribe brevemente de la siguiente manera:
Por tanto, escribiremos la fórmula de Newton-Leibniz así:
(39)
Demostremos que la integral definida no depende de qué antiderivada del integrando se tome al calcularla. Dejar F(X) y F( X) son antiderivadas arbitrarias del integrando. Como son antiderivadas de la misma función, se diferencian por un término constante: Ф( X) = F(X) + C. Es por eso
Esto establece que en el segmento [ a, b] incrementa todo funciones antiderivadas F(X) emparejar.
Por tanto, para calcular una integral definida, es necesario encontrar cualquier antiderivada del integrando, es decir Primero necesitas encontrar la integral indefinida. Constante CON excluidos de los cálculos posteriores. Luego se aplica la fórmula de Newton-Leibniz: el valor del límite superior se sustituye en la función antiderivada b , además - el valor del límite inferior a y se calcula la diferencia F(b) - F(a) . El número resultante será una integral definida..
En a = b por definición aceptado
Ejemplo 1.
Solución. Primero, encontremos la integral indefinida:
Aplicando la fórmula de Newton-Leibniz a la antiderivada
(en CON= 0), obtenemos
Sin embargo, al calcular una integral definida, es mejor no encontrar la primitiva por separado, sino escribir inmediatamente la integral en la forma (39).
Ejemplo 2. Calcular integral definida
Solución. Usando fórmula
Propiedades de la integral definida
Teorema 2.El valor de la integral definida no depende de la designación de la variable de integración., es decir.
(40)
Dejar F(X) – antiderivada para F(X). Para F(t) la antiderivada es la misma función F(t), en el que la variable independiente sólo se designa de forma diferente. Por eso,
Según la fórmula (39), la última igualdad significa la igualdad de las integrales.
Teorema 3.El factor constante se puede sacar del signo de la integral definida., es decir.
(41)
Teorema 4.La integral definida de una suma algebraica de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de integrales definidas de estas funciones, es decir.
(42)
Teorema 5.Si el segmento de integración se divide en partes, entonces la integral definida sobre todo el segmento igual a la suma integrales definidas sobre sus partes, es decir. Si
(43)
Teorema 6.Al reorganizar los límites de integración, el valor absoluto de la integral definida no cambia, solo cambia su signo., es decir.
(44)
Teorema 7(teorema del valor medio). Una integral definida es igual al producto de la longitud del segmento de integración por el valor del integrando en algún punto dentro de él., es decir.
(45)
Teorema 8.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y el integrando no es negativo (positivo), entonces la integral definida también es no negativa (positiva), es decir Si
Teorema 9.Si el límite superior de integración es mayor que el inferior y las funciones y son continuas, entonces la desigualdad
se puede integrar término por término, es decir.
(46)
Las propiedades de la integral definida permiten simplificar el cálculo directo de integrales.
Ejemplo 5. Calcular integral definida
Usando los teoremas 4 y 3, y al encontrar antiderivadas - integrales de tabla (7) y (6), obtenemos
Integral definida con límite superior variable
Dejar F(X) – continua en el segmento [ a, b] función, y F(X) es su antiderivada. Considere la integral definida
(47)
y mediante t la variable de integración está designada para no confundirla con limite superior. cuando cambia X la integral definida (47) también cambia, es decir es una función del límite superior de integración X, que denotamos por F(X), es decir.
(48)
Demostremos que la función F(X) es una antiderivada de F(X) = F(t). En efecto, diferenciando F(X), obtenemos
porque F(X) – antiderivada para F(X), A F(a) es un valor constante.
Función F(X) – una del número infinito de antiderivadas para F(X), es decir, el que X = a va a cero. Esta afirmación se obtiene si en igualdad (48) ponemos X = a y utilice el Teorema 1 del párrafo anterior.
Cálculo de integrales definidas por el método de integración por partes y el método de cambio de variable
donde, por definición, F(X) – antiderivada para F(X). Si cambiamos la variable en el integrando
entonces, de acuerdo con la fórmula (16), podemos escribir
en esta expresión
función antiderivada para
De hecho, su derivada, según regla de diferenciación de funciones complejas, es igual
Sean α y β los valores de la variable t, para lo cual la función
toma valores en consecuencia a Y b, es decir.
Pero, según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(b) – F(a) Hay
Sea alguna función continua f en un determinado segmento del eje Ox. Supongamos que esta función no cambia de signo en todo el segmento.
Si f es una función continua y no negativa en un segmento determinado, y F es una primitiva de ella en este segmento, entonces el área del trapezoide curvilíneo S es igual al incremento de la primitiva en este segmento.
Este teorema se puede escribir de la siguiente manera:
S = F(b) - F(a)
La integral de la función f(x) de a a b será igual a S. Aquí y además, para denotar la integral definida de alguna función f(x), con los límites de integración de a a b, usaremos la siguiente notación (a;b)∫f( x). A continuación se muestra un ejemplo de cómo se verá.
Fórmula de Newton-Leibniz
Esto significa que podemos equiparar estos dos resultados. Obtenemos: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), siempre que F sea una antiderivada de la función f en . Esta fórmula se llama Fórmulas de Newton-Leibniz. Será cierto para cualquier función continua f en un intervalo.
La fórmula de Newton-Leibniz se utiliza para calcular integrales. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: calcula la integral. Encuentra la primitiva de la función integrando x 2. Una de las antiderivadas será la función (x 3)/3.
Ahora usamos la fórmula de Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Respuesta: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Ejemplo 2: calcula la integral (0;pi)∫sen(x)dx.
Encuentra la primitiva de la función integrando sin(x). Una de las antiderivadas será la función -cos(x). Usemos la fórmula de Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Respuesta: (0;pi)∫sin(x)dx=2
A veces, para simplificar y facilitar la grabación, el incremento de la función F en el segmento (F(b)-F(a)) se escribe de la siguiente manera:
Usando esta notación para el incremento, la fórmula de Newton-Leibniz se puede reescribir de la siguiente manera:
Como se señaló anteriormente, esto es sólo una abreviatura de facilidad de grabación; esta grabación no afecta nada más. Esta notación y la fórmula (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) serán equivalentes.
La resolución de problemas aplicados se reduce a calcular la integral, pero no siempre es posible hacerlo con precisión. A veces es necesario conocer el valor de una determinada integral con cierto grado de precisión, por ejemplo, hasta la milésima.
Hay problemas en los que sería necesario encontrar el valor aproximado de una determinada integral con la precisión requerida, entonces se utiliza integración numérica como el método de Simposny, trapecios y rectángulos. No todos los casos nos permiten calcularlo con cierta precisión.
Este artículo examina la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz. Esto es necesario para un cálculo preciso de la integral definida. Será dado ejemplos detallados, se consideran cambios de variable en la integral definida y encontramos los valores de la integral definida al integrar por partes.
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Fórmula de Newton-Leibniz
Definición 1Cuando la función y = y (x) es continua desde el intervalo [ a ; b ] , y F (x) es una de las primitivas de la función de este segmento, entonces Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Escribámoslo así: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Esta fórmula se considera La fórmula básica del cálculo integral.
Para demostrar esta fórmula, es necesario utilizar el concepto de integral con un límite superior variable disponible.
Cuando la función y = f (x) es continua desde el intervalo [ a ; b ], entonces el valor del argumento x ∈ a; b , y la integral tiene la forma ∫ a x f (t) d t y se considera una función del límite superior. Es necesario tomar la notación de la función que tomará la forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , es continua, y una desigualdad de la forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f(x) es válida para ello.
Fijemos que el incremento de la función Φ (x) corresponde al incremento del argumento ∆ x , es necesario utilizar la quinta propiedad principal de la integral definida y obtenemos
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆x
donde valor c ∈ x; x + ∆ x .
Fijemos la igualdad en la forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Por definición de la derivada de una función, es necesario ir al límite como ∆ x → 0, luego obtenemos una fórmula de la forma Φ " (x) = f (x). Encontramos que Φ (x) es una de las primitivas de una función de la forma y = f (x), ubicada en [a;b]. De lo contrario, la expresión se puede escribir
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, donde el valor de C es constante.
Calculemos F (a) usando la primera propiedad de la integral definida. Entonces entendemos eso
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, por lo tanto obtenemos que C = F (a). El resultado es aplicable al calcular F (b) y obtenemos:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), en otras palabras, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( a) . La igualdad se demuestra mediante la fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Tomamos el incremento de la función como F x a b = F (b) - F (a) . Usando la notación, la fórmula de Newton-Leibniz toma la forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Para aplicar la fórmula es necesario conocer una de las primitivas y = F (x) de la función integrando y = f (x) del segmento [ a ; b ], calcule el incremento de la antiderivada de este segmento. Veamos algunos ejemplos de cálculos que utilizan la fórmula de Newton-Leibniz.
Ejemplo 1
Calcula la integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.
Solución
Considere que el integrando de la forma y = x 2 es continuo desde el intervalo [ 1 ; 3 ], entonces es integrable en este intervalo. Según la tabla Integrales indefinidas vemos que la función y = x 2 tiene un conjunto de primitivas para todos los valores reales de x, lo que significa x ∈ 1; 3 se escribirá como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Es necesario tomar la antiderivada con C = 0, luego obtenemos que F (x) = x 3 3.
Usamos la fórmula de Newton-Leibniz y encontramos que el cálculo de la integral definida toma la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.
Respuesta:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Ejemplo 2
Calcula la integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.
Solución
La función dada es continua desde el intervalo [-1; 2 ], lo que significa que es integrable en él. Es necesario encontrar el valor de la integral indefinida ∫ x · e x 2 + 1 d x usando el método de subsumir bajo el signo diferencial, luego obtenemos ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 mi x 2 + 1 + C .
Por tanto tenemos un conjunto de antiderivadas de la función y = x · e x 2 + 1, que son válidas para todo x, x ∈ - 1; 2.
Es necesario tomar la antiderivada en C = 0 y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Luego obtenemos una expresión de la forma
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)
Respuesta:∫ - 1 2 x mi x 2 + 1 d x = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)
Ejemplo 3
Calcula las integrales ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x y ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Solución
Segmento - 4; - 1 2 dice que la función bajo el signo integral es continua, lo que significa que es integrable. A partir de aquí encontramos el conjunto de primitivas de la función y = 4 x 3 + 2 x 2. lo entendemos
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Es necesario tomar la antiderivada F (x) = 2 x 2 - 2 x, luego, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos la integral, que calculamos:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Procedemos al cálculo de la segunda integral.
Del segmento [-1; 1 ] tenemos que la función integrando se considera ilimitada, porque lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , entonces se sigue que una condición necesaria integrabilidad de un segmento. Entonces F (x) = 2 x 2 - 2 x no es antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [ - 1 ; 1 ], ya que el punto O pertenece al segmento, pero no está incluido en el dominio de definición. Esto significa que existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [- 1; 1 ] .
Respuesta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [- 1 ; 1 ] .
Antes de utilizar la fórmula de Newton-Leibniz, es necesario saber exactamente acerca de la existencia de una integral definida.
Cambiar una variable en una integral definida
Cuando la función y = f (x) es definida y continua desde el intervalo [ a ; b], luego el conjunto disponible [a; b] se considera el rango de valores de la función x = g (z), definido en el segmento α; β con la derivada continua existente, donde g (α) = a y g β = b, obtenemos de esto que ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.
Esta fórmula se usa cuando necesitas calcular la integral ∫ a b f (x) d x, donde la integral indefinida tiene la forma ∫ f (x) d x, la calculamos usando el método de sustitución.
Ejemplo 4
Calcula una integral definida de la forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Solución
La función integrando se considera continua en el intervalo de integración, lo que significa que existe una integral definida. Demos la notación que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. El valor x = 9 significa que z = 2 9 - 9 = 9 = 3, y para x = 18 obtenemos que z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, entonces g α = g (3) = 9, g β = gramo 3 3 = 18. Al sustituir los valores obtenidos en la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obtenemos que
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Según la tabla de integrales indefinidas tenemos que una de las primitivas de la función 2 z 2 + 9 toma el valor 2 3 a r c t g z 3 . Luego, al aplicar la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos que
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
El hallazgo podría realizarse sin utilizar la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .
Si usando el método de reemplazo usamos una integral de la forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, entonces podemos llegar al resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.
A partir de aquí realizaremos cálculos utilizando la fórmula de Newton-Leibniz y calcularemos la integral definida. lo entendemos
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18
Los resultados fueron los mismos.
Respuesta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Integración por partes al calcular una integral definida
Si en el segmento [ a ; b ] las funciones u (x) y v (x) son definidas y continuas, entonces sus derivadas de primer orden v " (x) · u (x) son integrables, por lo tanto a partir de este segmento para la función integrable u " (x) · v (x) la igualdad ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x es verdadera.
La fórmula se puede utilizar entonces, es necesario calcular la integral ∫ a b f (x) d x, y ∫ f (x) d x fue necesario buscarla mediante integración por partes.
Ejemplo 5
Calcula la integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sen x 3 + π 6 d x .
Solución
La función x · sin x 3 + π 6 es integrable en el intervalo - π 2 ; 3 π 2, lo que significa que es continua.
Sea u (x) = x, entonces d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, y d (u (x)) = u " (x) d x = d x, y v (x) = - 3 porque π 3 + π 6 . De la fórmula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obtenemos que
∫ - π 2 3 π 2 x · pecado x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 pecado π 2 + π 6 - pecado - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
El ejemplo se puede resolver de otra manera.
Encuentra el conjunto de primitivas de la función x · sen x 3 + π 6 usando integración por partes usando la fórmula de Newton-Leibniz:
∫ x · sen x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sen x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Respuesta: ∫ x · sen x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
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