Instrucciones

Si la ecuación se presenta en la forma: dy/dx = q(x)/n(y), clasifíquelas como ecuaciones diferenciales con variables separables. Se pueden resolver escribiendo la condición en diferenciales de la siguiente manera: n(y)dy = q(x)dx. Luego integra ambos lados. En algunos casos, la solución se escribe en forma de integrales tomadas de funciones conocidas. Por ejemplo, en el caso de dy/dx = x/y, obtenemos q(x) = x, n(y) = y. Escríbelo en la forma ydy = xdx e integra. Debería ser y^2 = x^2 + c.

a lineal ecuaciones relacionar las ecuaciones con “primero”. Una función desconocida con sus derivadas entra en dicha ecuación sólo en primer grado. Lineal tiene la forma dy/dx + f(x) = j(x), donde f(x) y g(x) son funciones que dependen de x. La solución se escribe usando integrales tomadas de funciones conocidas.

Tenga en cuenta que muchos ecuaciones diferenciales- estas son ecuaciones de segundo orden (que contienen segundas derivadas), por ejemplo, esta es la ecuación del movimiento armónico simple, escrita en la forma general: md 2x/dt 2 = –kx. Tales ecuaciones tienen, en , soluciones particulares. La ecuación del movimiento armónico simple es un ejemplo de algo bastante importante: ecuaciones diferenciales lineales que tienen un coeficiente constante.

Si solo hay una ecuación lineal en las condiciones del problema, entonces se le ha dado condiciones adicionales, gracias al cual se puede encontrar una solución. Lea atentamente el problema para encontrar estas condiciones. Si variables x e y indican distancia, velocidad y peso; siéntase libre de establecer el límite x≥0 e y≥0. Es muy posible que x o y oculten el número de manzanas, etc. – entonces los valores sólo pueden ser . Si x es la edad del hijo, está claro que no puede ser mayor que su padre, así que indíquelo en las condiciones del problema.

Fuentes:

cómo resolver una ecuación con una variable

Los problemas de cálculo diferencial e integral son elementos importantes consolidación de la teoría Análisis matemático, sección Matemáticas avanzadas, estudió en universidades. Diferencial la ecuacion resuelto por el método de integración.

Instrucciones

El cálculo diferencial explora las propiedades de . Y viceversa, integrar una función permite propiedades dadas, es decir derivadas o diferenciales de una función para encontrarla por sí misma. Esta es la solución de la ecuación diferencial.

Cualquier cosa es una relación entre una cantidad desconocida y datos conocidos. En el caso de una ecuación diferencial, el papel de la incógnita lo desempeña una función y el de las cantidades conocidas, sus derivadas. Además, la relación puede contener una variable independiente: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, donde x es una incógnita variable, y (x) es la función a determinar, el orden de la ecuación es el orden máximo de la derivada (n).

Esta ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria. Si la relación contiene varias variables independientes y derivadas parciales (diferenciales) de la función con respecto a estas variables, entonces la ecuación se llama ecuación diferencial parcial y tiene la forma: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , donde z(x, y) es la función requerida.

Entonces, para aprender a resolver ecuaciones diferenciales, debes poder encontrar antiderivadas, es decir, Resuelve el problema inverso a la diferenciación. Por ejemplo: resuelve la ecuación de primer orden y’ = -y/x.

SoluciónReemplace y’ con dy/dx: dy/dx = -y/x.

Reduzca la ecuación a una forma conveniente para la integración. Para hacer esto, multiplica ambos lados por dx y divide por y:dy/y = -dx/x.

Integrar: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ln |x| +C.

Esta solución se llama ecuación diferencial general. C es una constante cuyo conjunto de valores determina el conjunto de soluciones de la ecuación. Para cualquier valor específico de C, la solución será única. Esta solución es una solución parcial de la ecuación diferencial.

Resolver la mayoría de las ecuaciones de orden superior grados no tiene una fórmula clara para encontrar raíces cuadradas ecuaciones. Sin embargo, existen varios métodos de reducción que le permiten transformar una ecuación de mayor grado en una forma más visual.

Instrucciones

El método más común para resolver ecuaciones de grado superior es la expansión. Este enfoque es una combinación de selección de raíces enteras, divisores del término libre y posterior división del polinomio general en la forma (x – x0).

Por ejemplo, resuelve la ecuación x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Solución: El término libre de este polinomio es -3, por lo tanto, sus divisores enteros pueden ser los números ±1 y ±3. Sustitúyelos uno por uno en la ecuación y descubre si obtienes la identidad: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Segunda raíz x = -1. Dividir por la expresión (x + 1). Escribe la ecuación resultante (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. El grado se ha reducido al segundo, por lo tanto, la ecuación puede tener dos raíces más. Para encontrarlos, resuelve la ecuación cuadrática: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

El discriminante es un valor negativo, lo que significa que la ecuación ya no tiene raíces reales. Encuentra las raíces complejas de la ecuación: x = (-2 + i·√11)/2 y x = (-2 – i·√11)/2.

Otro método para resolver una ecuación de grado superior es cambiar las variables para hacerla cuadrática. Este enfoque se utiliza cuando todas las potencias de la ecuación son pares, por ejemplo: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Ahora encuentra las raíces de la ecuación original: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Consejo 10: Cómo determinar las ecuaciones redox

Una reacción química es un proceso de transformación de sustancias que se produce con un cambio en su composición. Las sustancias que reaccionan se denominan sustancias iniciales y las que se forman como resultado de este proceso se denominan productos. Sucede que durante reacción química los elementos que componen las sustancias de partida cambian su estado de oxidación. Es decir, pueden aceptar los electrones de otra persona y ceder los suyos. En ambos casos, su cargo cambia. Estas reacciones se denominan reacciones redox.

Notas de clase sobre

ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales

Introducción

Al estudiar ciertos fenómenos, a menudo surge una situación en la que el proceso no se puede describir utilizando la ecuación y=f(x) o F(x;y)=0. Además de la variable x y la función desconocida, la derivada de esta función entra en la ecuación.

Definición: La ecuación que conecta la variable x, la función desconocida y(x) y sus derivadas se llama ecuación diferencial. EN vista general la ecuación diferencial se ve así:

F(x;y(x); ;;...;y(n))=0

Definición: El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta incluida en ella.

–ecuación diferencial de 1er orden

–ecuación diferencial de 3er orden

Definición: La solución de una ecuación diferencial es una función que, cuando se sustituye en la ecuación, la convierte en una identidad.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Definición: Ecuación de la forma =f(x;y) o F(x;y; )=0se llama ecuación diferencial de primer orden.

Definición: La solución general de una ecuación diferencial de primer orden es la función y=γ(x;c), donde (c –const), que, cuando se sustituye en la ecuación, la convierte en una identidad. Geométricamente, en el plano, la solución general corresponde a una familia de curvas integrales que dependen del parámetro c.

Definición: La curva integral que pasa por un punto del plano de coordenadas (x 0 ;y 0) corresponde a una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial:

Teorema sobre la existencia de unicidad de una solución a una ecuación diferencial de primer orden

Dada una ecuación diferencial de primer orden
y la función f(x;y) es continua junto con derivadas parciales en alguna región D del plano XOY, luego por el punto M 0 (x 0 ;y 0) D pasa por la única curva correspondiente a una solución particular de la ecuación diferencial correspondiente a la condición inicial y(x 0)=y 0

Una curva integral pasa por un punto del plano con coordenadas dadas.

Si no es posible obtener una solución general a una ecuación diferencial de primer orden en forma explícita, es decir
, entonces se puede obtener implícitamente:

F(x; y; c) =0 – forma implícita

La solución general en esta forma se llama integral general ecuación diferencial.

En relación a la ecuación diferencial de 1er orden se plantean 2 problemas:

1) Encuentra la solución general (integral general)

2) Encuentre una solución particular (integral parcial) que satisfaga la condición inicial dada. Este problema se llama problema de Cauchy para una ecuación diferencial.

Ecuaciones diferenciales con variables separables

Ecuaciones de la forma:
se llama ecuación diferencial con variables separables.

sustituyamos

multiplicar por dx

separemos las variables

dividido por

Nota: es necesario considerar el caso especial cuando

las variables están separadas

integremos ambos lados de la ecuación

- decisión común

Una ecuación diferencial con variables separables se puede escribir como:

Un caso aislado
!

Integramos ambos lados de la ecuación:

2)
comienzo condiciones:

Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1er orden.

Definición: Función
se llama homogéneo de orden n si

Ejemplo: - función homogénea de ordenn=2

Definición: Una función homogénea de orden 0 se llama homogéneo.

Definición: Ecuación diferencial
se llama homogéneo si
- función homogénea, es decir

Por tanto, la ecuación diferencial homogénea se puede escribir como:

Usando reemplazo , donde t es función de la variable x, la ecuación diferencial homogénea se reduce a una ecuación con variables separables.

- sustituir en la ecuación

Variables separadas, integremos ambos lados de la ecuación

Hagamos la sustitución inversa sustituyendo , obtenemos una solución general en forma implícita.

Una ecuación diferencial homogénea se puede escribir en forma diferencial.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, donde M(x;y) y N(x;y) son funciones homogéneas del mismo orden.

Dividir por dx y expresar

Ecuación diferencial ordinaria Es una ecuación que relaciona una variable independiente, una función desconocida de esta variable y sus derivadas (o diferenciales) de varios órdenes.

El orden de la ecuación diferencial. se llama orden de la derivada más alta contenida en él.

Además de las ordinarias, también se estudian las ecuaciones diferenciales parciales. Son ecuaciones que relacionan variables independientes, una función desconocida de estas variables y sus derivadas parciales con respecto a las mismas variables. Pero sólo consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias y por lo tanto, en aras de la brevedad, omitiremos la palabra “ordinario”.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

La ecuación (1) es de cuarto orden, la ecuación (2) es de tercer orden, las ecuaciones (3) y (4) son de segundo orden, la ecuación (5) es de primer orden.

Ecuación diferencial norte El orden no necesariamente tiene que contener una función explícita, todas sus derivadas desde la primera hasta la norte-ésimo orden y variable independiente. No puede contener explícitamente derivadas de ciertos órdenes, una función o una variable independiente.

Por ejemplo, en la ecuación (1) claramente no hay derivadas de tercer y segundo orden, ni tampoco una función; en la ecuación (2) - la derivada de segundo orden y la función; en la ecuación (4) - la variable independiente; en la ecuación (5) - funciones. Sólo la ecuación (3) contiene explícitamente todas las derivadas, la función y la variable independiente.

Resolver una ecuación diferencial cada función se llama y = f(x), cuando se sustituye en la ecuación se convierte en una identidad.

El proceso de encontrar una solución a una ecuación diferencial se llama integración.

Ejemplo 1. Encuentra la solución a la ecuación diferencial.

Solución. Escribamos esta ecuación en la forma. La solución es encontrar la función a partir de su derivada. La función original, como se sabe en el cálculo integral, es una antiderivada de, es decir,

Eso es lo que es solución a esta ecuación diferencial . cambiando en ello C, obtendremos diferentes soluciones. Descubrimos que existe un número infinito de soluciones para una ecuación diferencial de primer orden.

Solución general de la ecuación diferencial. norte El orden es su solución, expresada explícitamente con respecto a la función desconocida y que contiene norte constantes arbitrarias independientes, es decir

La solución de la ecuación diferencial del ejemplo 1 es general.

Solución parcial de la ecuación diferencial. Se llama una solución en la que a constantes arbitrarias se les dan valores numéricos específicos.

Ejemplo 2. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y una solución particular para .

Solución. Integramos ambos lados de la ecuación un número de veces igual al orden de la ecuación diferencial.

Como resultado, recibimos una solución general:

de una ecuación diferencial de tercer orden dada.

Ahora busquemos una solución particular bajo las condiciones especificadas. Para hacer esto, sustituya sus valores en lugar de coeficientes arbitrarios y obtenga

Si, además de la ecuación diferencial, la condición inicial se da en la forma , entonces dicho problema se llama problema de cauchy . Sustituye los valores y en la solución general de la ecuación y encuentra el valor de una constante arbitraria. C, y luego una solución particular de la ecuación para el valor encontrado C. Ésta es la solución al problema de Cauchy.

Ejemplo 3. Resuelva el problema de Cauchy para la ecuación diferencial del Ejemplo 1 sujeto a.

Solución. Sustituyamos los valores de la condición inicial en la solución general. y = 3, X= 1. Obtenemos

Anotamos la solución al problema de Cauchy para esta ecuación diferencial de primer orden:

Resolver ecuaciones diferenciales, incluso las más simples, requiere buenas habilidades de integración y derivación, incluidas funciones complejas. Esto se puede ver en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.

Solución. La ecuación está escrita de tal forma que puedas integrar ambos lados inmediatamente.

Aplicamos el método de integración por cambio de variable (sustitución). Que así sea entonces.

Requerido para tomar dx y ahora - atención - hacemos esto de acuerdo con las reglas de diferenciación de una función compleja, ya que X y ahí está función compleja("manzana" - extracción raíz cuadrada o, lo que es lo mismo, elevar a la potencia "la mitad" y "carne picada" es la expresión misma debajo de la raíz):

Hallamos la integral:

Volviendo a la variable X, obtenemos:

Esta es la solución general a esta ecuación diferencial de primer grado.

Para resolver ecuaciones diferenciales, no solo se requerirán habilidades de secciones anteriores de matemáticas superiores, sino también habilidades de matemáticas elementales, es decir, escolares. Como ya se mencionó, en una ecuación diferencial de cualquier orden puede no haber una variable independiente, es decir, una variable X. El conocimiento sobre las proporciones de la escuela que no se ha olvidado (sin embargo, dependiendo de quién) de la escuela ayudará a resolver este problema. Este es el siguiente ejemplo.

Ya se han resuelto con respecto a la derivada o se pueden resolver con respecto a la derivada. .

Solución general de ecuaciones diferenciales del tipo en el intervalo. X, que está dado, se puede encontrar tomando la integral de ambos lados de esta igualdad.

Obtenemos .

Si miras las propiedades integral indefinida, entonces encontramos la solución general deseada:

y = F(x) + C,

Dónde F(x)- uno de funciones antiderivadas f(x) entre X, A CON- Constante arbitraria.

Tenga en cuenta que en la mayoría de los problemas el intervalo X no indicar. Esto significa que hay que encontrar una solución para todos. X, para el cual y la función deseada y, y la ecuación original tiene sentido.

Si necesita calcular una solución particular a una ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial y(x 0) = y 0, luego de calcular la integral general y = F(x) + C, aún es necesario determinar el valor de la constante C = C 0, utilizando la condición inicial. Es decir, una constante C = C 0 determinado a partir de la ecuación F(x 0) + C = y 0, y la solución parcial deseada de la ecuación diferencial tomará la forma:

y = F(x) + C 0.

Veamos un ejemplo:

Encontremos una solución general a la ecuación diferencial y verifiquemos la exactitud del resultado. Encontremos una solución particular a esta ecuación que satisfaga la condición inicial.

Solución:

Después de integrar la ecuación diferencial dada, obtenemos:

Tomemos esta integral usando el método de integración por partes:

Eso., es una solución general de la ecuación diferencial.

Para asegurarnos de que el resultado sea correcto, hagamos una verificación. Para hacer esto, sustituimos la solución que encontramos en la ecuación dada:

Eso es cuando la ecuación original se convierte en una identidad:

por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial se determinó correctamente.

La solución que encontramos es una solución general a la ecuación diferencial para cada valor real del argumento. X.

Queda por calcular una solución particular de la EDO que satisfaga la condición inicial. En otras palabras, es necesario calcular el valor de la constante. CON, en el que la igualdad será verdadera:

Luego, sustituyendo C = 2 en la solución general de la EDO, obtenemos una solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial:

Ecuación diferencial ordinaria La derivada se puede resolver dividiendo los 2 lados de la ecuación entre f(x). Esta transformación será equivalente si f(x) no llega a cero bajo ninguna circunstancia X del intervalo de integración de la ecuación diferencial X.

Hay situaciones probables en las que, para algunos valores del argumento X ∈ X funciones f(x) Y gramo(x) simultáneamente se vuelven cero. Para valores similares X la solución general de una ecuación diferencial es cualquier función y, que está definido en ellos, porque .

Si para algunos valores de argumento X ∈ X la condición se cumple, lo que significa que en este caso la EDO no tiene soluciones.

Para todos los demás X desde el intervalo X la solución general de la ecuación diferencial se determina a partir de la ecuación transformada.

Veamos ejemplos:

Ejemplo 1.

Busquemos una solución general a la ODE: .

Solución.

De las propiedades de las funciones elementales básicas se desprende claramente que la función logaritmo natural se define para valores de argumentos no negativos, por lo que el alcance de la expresión es en(x+3) hay un intervalo X > -3 . Esto significa que la ecuación diferencial dada tiene sentido para X > -3 . Para estos valores de argumento, la expresión x+3 no desaparece, por lo que puedes resolver la EDO para la derivada dividiendo las 2 partes entre x + 3.

Obtenemos .

A continuación integramos la ecuación diferencial resultante, resuelta respecto de la derivada: . Para tomar esta integral, utilizamos el método de subsumirla bajo el signo diferencial.

El contenido del artículo.

ECUACIONES DIFERENCIALES. Muchas leyes físicas que gobiernan ciertos fenómenos están escritas en la forma ecuación matemática, expresando una determinada relación entre algunas cantidades. A menudo hablamos de la relación entre cantidades que cambian con el tiempo, por ejemplo, la eficiencia del motor, medida por la distancia que puede recorrer un automóvil con un litro de combustible, depende de la velocidad del automóvil. La ecuación correspondiente contiene una o más funciones y sus derivadas y se llama ecuación diferencial. (La tasa de cambio de la distancia a lo largo del tiempo está determinada por la velocidad; por lo tanto, la velocidad es una derivada de la distancia; de manera similar, la aceleración es una derivada de la velocidad, ya que la aceleración determina la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo). Gran importancia, que las ecuaciones diferenciales tienen para las matemáticas y especialmente para sus aplicaciones, se explican por el hecho de que el estudio de muchos problemas físicos y técnicos se reduce a la resolución de dichas ecuaciones. Las ecuaciones diferenciales también desempeñan un papel importante en otras ciencias, como la biología, la economía y la ingeniería eléctrica; de hecho, surgen dondequiera que sea necesaria una descripción cuantitativa (numérica) de los fenómenos (ya que el mundo cambia con el tiempo y las condiciones cambian de un lugar a otro).

Ejemplos.

Los siguientes ejemplos proporcionan una mejor comprensión de cómo se formulan diversos problemas en el lenguaje de ecuaciones diferenciales.

1) La ley de desintegración de algunas sustancias radiactivas es que la tasa de desintegración es proporcional a la cantidad disponible de esta sustancia. Si X– la cantidad de sustancia en un momento determinado t, entonces esta ley se puede escribir de la siguiente manera:

Dónde dx/dt es la tasa de desintegración, y k– alguna constante positiva que caracterice una sustancia determinada. (El signo menos en el lado derecho indica que X disminuye con el tiempo; un signo más, siempre implícito cuando el signo no se indica explícitamente, significaría que X aumenta con el tiempo.)

2) El recipiente contiene inicialmente 10 kg de sal disueltos en 100 m 3 de agua. Si agua pura se vierte en el recipiente a una velocidad de 1 m 3 por minuto y se mezcla uniformemente con la solución, y la solución resultante sale del recipiente a la misma velocidad, entonces, ¿cuánta sal habrá en el recipiente en cualquier momento posterior? Si X– cantidad de sal (en kg) en el recipiente a la vez t, entonces en cualquier momento t 1 m 3 de solución en el recipiente contiene X/100 kg de sal; por lo tanto la cantidad de sal disminuye a un ritmo X/100 kg/min, o

3) Que haya masas en el cuerpo. metro suspendido del extremo del resorte, una fuerza de restauración actúa proporcionalmente a la cantidad de tensión en el resorte. Dejar X– la cantidad de desviación del cuerpo desde la posición de equilibrio. Entonces, de acuerdo con la segunda ley de Newton, que establece que la aceleración (la segunda derivada de X por tiempo, designado d 2 X/dt 2) proporcional a la fuerza:

El lado derecho tiene un signo menos porque la fuerza de restauración reduce el estiramiento del resorte.

4) La ley del enfriamiento corporal establece que la cantidad de calor en un cuerpo disminuye en proporción a la diferencia en la temperatura corporal y ambiente. Si una taza de café calentada a una temperatura de 90°C se encuentra en una habitación donde la temperatura es de 20°C, entonces

Dónde t– temperatura del café en el momento t.

5) El Ministro de Asuntos Exteriores del Estado de Blefuscu afirma que el programa armamentista adoptado por Lilliput obliga a su país a aumentar al máximo el gasto militar. El Ministro de Asuntos Exteriores de Lilliput hace declaraciones similares. La situación resultante (en su interpretación más simple) puede describirse con precisión mediante dos ecuaciones diferenciales. Dejar X Y y- gastos de armamento de Lilliput y Blefuscu. Suponiendo que Lilliput aumenta sus gastos en armamento a una tasa proporcional a la tasa de aumento de los gastos en armamento de Blefuscu, y viceversa, obtenemos:

donde están los miembros hacha Y - por describir los gastos militares de cada país, k Y yo son constantes positivas. (Este problema fue formulado de esta manera por primera vez en 1939 por L. Richardson).

Una vez que el problema esté escrito en el lenguaje de ecuaciones diferenciales, debes intentar resolverlos, es decir, Encuentre las cantidades cuyas tasas de cambio están incluidas en las ecuaciones. A veces las soluciones se encuentran en forma de fórmulas explícitas, pero más a menudo sólo se pueden presentar de forma aproximada o se puede obtener información cualitativa sobre ellas. A menudo puede resultar difícil determinar si existe una solución, y mucho menos encontrarla. Una sección importante de la teoría de ecuaciones diferenciales son los llamados "teoremas de existencia", en los que se demuestra la existencia de una solución para uno u otro tipo de ecuación diferencial.

La formulación matemática original de un problema físico suele contener supuestos simplificadores; el criterio de su razonabilidad puede ser el grado de coherencia de la solución matemática con las observaciones disponibles.

Soluciones de ecuaciones diferenciales.

Ecuación diferencial, por ejemplo. dy/dx = X/y, no se satisface con un número, sino con una función, en este caso particular tal que su gráfica en cualquier punto, por ejemplo en un punto con coordenadas (2,3), es tangente a pendiente, igual a la relación de coordenadas (en nuestro ejemplo 2/3). Esto es fácil de verificar si construyes Número grande puntos y de cada uno apartar un segmento corto con una pendiente correspondiente. La solución será una función cuya gráfica toca cada uno de sus puntos con el segmento correspondiente. Si hay suficientes puntos y segmentos, entonces podemos delinear aproximadamente el curso de las curvas de solución (tres de estas curvas se muestran en la Fig. 1). Hay exactamente una curva solución que pasa por cada punto con y No. 0. Cada solución individual se llama solución parcial de una ecuación diferencial; si es posible encontrar una fórmula que contenga todas las soluciones particulares (con la posible excepción de algunas especiales), entonces se dice que se ha obtenido una solución general. Una solución particular representa una función, mientras que una solución general representa una familia completa de ellas. Resolver una ecuación diferencial significa encontrar su solución particular o general. En el ejemplo que estamos considerando, la solución general tiene la forma y 2 – X 2 = C, Dónde C- cualquier número; una solución particular que pasa por el punto (1,1) tiene la forma y = X y resulta cuando C= 0; una solución particular que pasa por el punto (2,1) tiene la forma y 2 – X 2 = 3. La condición que requiere que la curva solución pase, por ejemplo, por el punto (2,1), se llama condición inicial (ya que especifica el punto inicial en la curva solución).

Se puede demostrar que en el ejemplo (1) la solución general tiene la forma X = CE –kt, Dónde C– una constante que puede determinarse, por ejemplo, indicando la cantidad de sustancia en t= 0. La ecuación del ejemplo (2) es un caso especial de la ecuación del ejemplo (1), correspondiente k= 1/100. Condición inicial X= 10 en t= 0 da una solución particular X = 10mi –t/100. La ecuación del ejemplo (4) tiene una solución general. t = 70 + CE –kt y solución privada 70 + 130 – kt; para determinar el valor k, se necesitan datos adicionales.

Ecuación diferencial dy/dx = X/y se llama ecuación de primer orden, ya que contiene la primera derivada (el orden de una ecuación diferencial generalmente se considera el orden de la derivada más alta incluida en ella). Para la mayoría (aunque no todas) de las ecuaciones diferenciales del primer tipo que surgen en la práctica, sólo una curva solución pasa por cada punto.

Hay varios tipos importantes de ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver en forma de fórmulas que contienen solo funciones elementales: potencias, exponentes, logaritmos, senos y cosenos, etc. Tales ecuaciones incluyen las siguientes.

Ecuaciones con variables separables.

Ecuaciones de la forma dy/dx = F(X)/gramo(y) se puede resolver escribiéndolo en diferenciales gramo(y)dy = F(X)dx e integrando ambas partes. En el peor de los casos, la solución se puede representar en forma de integrales de funciones conocidas. Por ejemplo, en el caso de la ecuación dy/dx = X/y tenemos F(X) = X, gramo(y) = y. Escribiéndolo en la forma ydy = xdx e integrando obtenemos y 2 = X 2 + C. Las ecuaciones con variables separables incluyen ecuaciones de los ejemplos (1), (2), (4) (se pueden resolver de la manera descrita anteriormente).

Ecuaciones en diferenciales totales.

Si la ecuación diferencial tiene la forma dy/dx = METRO(X,y)/norte(X,y), Dónde METRO Y norte son dos funciones dadas, entonces se puede representar como METRO(X,y)dx – norte(X,y)dy= 0. Si el lado izquierdo es el diferencial de alguna función F(X,y), entonces la ecuación diferencial se puede escribir como dF(X,y) = 0, que equivale a la ecuación F(X,y) = constante. Por tanto, las curvas solución de la ecuación son las “líneas de niveles constantes” de la función, o el lugar geométrico de los puntos que satisfacen las ecuaciones. F(X,y) = C. La ecuacion ydy = xdx(Fig.1) - con variables separables, y lo mismo - en diferenciales totales: para asegurarnos de esto último, lo escribimos en la forma ydy – xdx= 0, es decir d(y 2 – X 2) = 0. Función F(X,y) en este caso es igual a (1/2)( y 2 – X 2); Algunas de sus líneas de nivel constante se muestran en la Fig. 1.

Ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales son ecuaciones de "primer grado": la función desconocida y sus derivadas aparecen en tales ecuaciones sólo en primer grado. Por tanto, la ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma dy/dx + pag(X) = q(X), Dónde pag(X) Y q(X) – funciones que dependen sólo de X. Su solución siempre se puede escribir utilizando integrales de funciones conocidas. Muchos otros tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden se resuelven mediante técnicas especiales.

Ecuaciones de orden superior.

Muchas ecuaciones diferenciales que encuentran los físicos son ecuaciones de segundo orden (es decir, ecuaciones que contienen segundas derivadas), como, por ejemplo, la ecuación del movimiento armónico simple del ejemplo (3), Maryland 2 X/dt 2 = –kx. En términos generales, podemos esperar que una ecuación de segundo orden tenga soluciones parciales que satisfagan dos condiciones; por ejemplo, se podría exigir que la curva solución pase por un punto determinado en una dirección determinada. En los casos en que la ecuación diferencial contiene un determinado parámetro (un número cuyo valor depende de las circunstancias), existen soluciones del tipo requerido solo para ciertos valores de este parámetro. Por ejemplo, considere la ecuación Maryland 2 X/dt 2 = –kx y lo exigiremos y(0) = y(1) = 0. Función yє 0 es obviamente una solución, pero si es un múltiplo entero pag, es decir. k = metro 2 norte 2 pag 2, donde norte es un número entero, pero en realidad sólo en este caso, existen otras soluciones, a saber: y= pecado npx. Los valores de los parámetros para los cuales la ecuación tiene soluciones especiales se denominan característicos o valores propios; Desempeñan un papel importante en muchas tareas.

La ecuación del movimiento armónico simple es un ejemplo de una clase importante de ecuaciones, a saber, las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Un ejemplo más general (también de segundo orden) es la ecuación

Dónde a Y b– constantes dadas, F(X) es una función dada. Este tipo de ecuaciones se pueden resolver diferentes caminos, por ejemplo, utilizando la transformada integral de Laplace. Lo mismo puede decirse de las ecuaciones lineales de órdenes superiores con coeficientes constantes. También juegan un papel importante ecuaciones lineales con probabilidades variables.

Ecuaciones diferenciales no lineales.

Las ecuaciones que contienen funciones desconocidas y sus derivadas a potencias superiores a la primera o de alguna manera más compleja se denominan no lineales. EN últimos años están atrayendo cada vez más atención. El hecho es que las ecuaciones físicas suelen ser lineales sólo en una primera aproximación; Una investigación adicional y más precisa, por regla general, requiere el uso de ecuaciones no lineales. Además, muchos problemas son de naturaleza no lineal. Dado que las soluciones de ecuaciones no lineales suelen ser muy complejas y difíciles de representar mediante fórmulas simples, una parte importante teoría moderna dedicado a analisis cualitativo su comportamiento, es decir el desarrollo de métodos que permitan, sin resolver la ecuación, decir algo significativo sobre la naturaleza de las soluciones en su conjunto: por ejemplo, que todas son limitadas, o tienen una naturaleza periódica, o dependen de cierta manera de los coeficientes.

Las soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales se pueden encontrar numéricamente, pero esto requiere mucho tiempo. Con la llegada de las computadoras de alta velocidad, este tiempo se redujo considerablemente, lo que abrió nuevas posibilidades para la solución numérica de muchos problemas que antes eran intratables para tal solución.

Teoremas de existencia.

Un teorema de existencia es un teorema que establece que, bajo ciertas condiciones, una ecuación diferencial dada tiene una solución. Hay ecuaciones diferenciales que no tienen soluciones o tienen más de las esperadas. El propósito de un teorema de existencia es convencernos de que una ecuación dada realmente tiene una solución y, más a menudo, asegurarnos de que tiene exactamente una solución del tipo requerido. Por ejemplo, la ecuación que ya hemos encontrado dy/dx = –2y tiene exactamente una solución que pasa por cada punto del plano ( X,y), y como ya hemos encontrado una de esas soluciones, hemos resuelto completamente esta ecuación. Por otro lado, la ecuación ( dy/dx) 2 = 1 – y 2 tiene muchas soluciones. Entre ellos están los heterosexuales. y = 1, y= –1 y curvas y= pecado( X + C). La solución puede consistir en varios segmentos de estas líneas rectas y curvas que se cruzan entre sí en los puntos de contacto (Fig. 2).

Ecuaciones diferenciales parciales.

Una ecuación diferencial ordinaria es un enunciado sobre la derivada de una función desconocida de una variable. Una ecuación diferencial parcial contiene una función de dos o más variables y derivadas de esa función con respecto a al menos dos variables diferentes.

En física, ejemplos de tales ecuaciones son la ecuación de Laplace.

X, y) dentro del círculo si los valores tu especificado en cada punto del círculo delimitador. Dado que los problemas con más de una variable en física son la regla y no la excepción, es fácil imaginar cuán vasto es el tema de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales.