Para resolver algunos problemas, será útil una tabla de identidades trigonométricas, que facilitará mucho la realización de transformaciones de funciones:

Las identidades trigonométricas más simples.

El cociente de dividir el seno del ángulo alfa por el coseno del mismo ángulo es igual a la tangente de este ángulo (Fórmula 1). Ver también la prueba de la corrección de la transformación de las identidades trigonométricas más simples.
El cociente de dividir el coseno del ángulo alfa por el seno del mismo ángulo es igual a la cotangente del mismo ángulo (Fórmula 2)
La secante de un ángulo es igual a uno dividido por el coseno del mismo ángulo (Fórmula 3)
La suma de los cuadrados del seno y coseno del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 4). ver también la prueba de la suma de cuadrados de coseno y seno.
La suma de la unidad y la tangente del ángulo es igual a la razón de la unidad al cuadrado del coseno de este ángulo (Fórmula 5)
La unidad más la cotangente del ángulo es igual al cociente de dividir la unidad por el seno al cuadrado de este ángulo (Fórmula 6)
El producto de la tangente y la cotangente del mismo ángulo es igual a uno (Fórmula 7).

Conversión de ángulos negativos de funciones trigonométricas (pares e impares)

Para deshacerse del valor negativo de la medida en grados del ángulo al calcular el seno, el coseno o la tangente, puede usar las siguientes transformaciones trigonométricas (identidades) basadas en los principios de las funciones trigonométricas pares o impares.

Como se vio, coseno y la secante es incluso función, seno, tangente y cotangente son funciones impares.

El seno de un ángulo negativo es igual al valor negativo del seno de ese mismo ángulo positivo (menos el seno de alfa).
El coseno "menos alfa" dará el mismo valor que el coseno del ángulo alfa.
Tangente menos alfa es igual a menos tangente alfa.

Fórmulas de reducción de doble ángulo (seno, coseno, tangente y cotangente de un doble ángulo)

Si necesitas dividir el ángulo por la mitad, o viceversa, pasar de un ángulo doble a uno simple, puedes usar las siguientes identidades trigonométricas:

Conversión de doble ángulo (seno de doble ángulo, coseno de doble ángulo y tangente de doble ángulo) en uno solo se produce de acuerdo con las siguientes reglas:

Seno de un doble ángulo es igual al doble del producto del seno y el coseno de un solo ángulo

Coseno de un ángulo doble es igual a la diferencia entre el cuadrado del coseno de un solo ángulo y el cuadrado del seno de este ángulo

Coseno de un ángulo doble igual al doble del cuadrado del coseno de un solo ángulo menos uno

Coseno de un ángulo doble es igual a uno menos el doble seno cuadrado de un solo ángulo

tangente de doble ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el doble de la tangente de un solo ángulo, y cuyo denominador es igual a uno menos la tangente del cuadrado de un solo ángulo.

Cotangente de doble ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el cuadrado de la cotangente de un solo ángulo menos uno, y el denominador es igual al doble de la cotangente de un solo ángulo

Fórmulas universales de sustitución trigonométrica

Las fórmulas de conversión a continuación pueden ser útiles cuando necesita dividir el argumento de la función trigonométrica (sin α, cos α, tg α) por dos y llevar la expresión al valor de la mitad del ángulo. Del valor de α obtenemos α/2.

Estas fórmulas se llaman fórmulas de la sustitución trigonométrica universal. Su valor radica en el hecho de que la expresión trigonométrica con su ayuda se reduce a la expresión de la tangente de medio ángulo, independientemente de qué funciones trigonométricas (sin cos tg ctg) estaban originalmente en la expresión. Después de eso, la ecuación con la tangente de medio ángulo es mucho más fácil de resolver.

Identidades de transformación trigonométricas de medio ángulo

Las siguientes son las fórmulas para la conversión trigonométrica de la mitad del valor de un ángulo a su valor entero.
El valor del argumento de la función trigonométrica α/2 se reduce al valor del argumento de la función trigonométrica α.

Fórmulas trigonométricas para sumar ángulos

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α

sen (α - β) = sen α cos β - sen β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

Tangente y cotangente de la suma de ángulos alfa y beta se pueden convertir de acuerdo con las siguientes reglas para convertir funciones trigonométricas:

Tangente de la suma de los ángulos es igual a una fracción, cuyo numerador es la suma de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo, y el denominador es uno menos el producto de la tangente del primer ángulo y la tangente del segundo ángulo.

tangente de diferencia de ángulo es igual a una fracción, cuyo numerador es igual a la diferencia entre la tangente del ángulo reducido y la tangente del ángulo a restar, y el denominador es uno más el producto de las tangentes de estos ángulos.

Cotangente de la suma de los ángulos es igual a una fracción cuyo numerador es igual al producto de las cotangentes de estos ángulos más uno, y el denominador es igual a la diferencia entre la cotangente del segundo ángulo y la cotangente del primer ángulo.

Cotangente de diferencia de ángulo es igual a una fracción cuyo numerador es el producto de las cotangentes de estos ángulos menos uno, y el denominador es igual a la suma de las cotangentes de estos ángulos.

Estas identidades trigonométricas son convenientes para usar cuando necesita calcular, por ejemplo, la tangente de 105 grados (tg 105). Si se representa como tg (45 + 60), entonces puede usar las transformaciones idénticas dadas de la tangente de la suma de los ángulos, después de lo cual simplemente sustituye los valores tabulares de la tangente de 45 y la tangente de 60 grados.

Fórmulas para convertir la suma o diferencia de funciones trigonométricas

Las expresiones que representan la suma de la forma sin α + sin β se pueden convertir usando las siguientes fórmulas:

Fórmulas de triple ángulo: convertir sin3α cos3α tg3α a sinα cosα tgα

A veces es necesario convertir el valor triple del ángulo para que el ángulo α se convierta en el argumento de la función trigonométrica en lugar de 3α.
En este caso, puedes usar las fórmulas (identidades) para la transformación del triple ángulo:

Fórmulas para transformar el producto de funciones trigonométricas

Si es necesario convertir el producto de senos de diferentes ángulos de cosenos de diferentes ángulos, o incluso el producto de seno y coseno, entonces puedes usar las siguientes identidades trigonométricas:


En este caso, el producto de las funciones seno, coseno o tangente de diferentes ángulos se convertirá en una suma o diferencia.

Fórmulas para reducir funciones trigonométricas

Necesita usar la mesa de reparto de la siguiente manera. En la línea, seleccione la función que nos interese. La columna es un ángulo. Por ejemplo, el seno del ángulo (α+90) en la intersección de la primera fila y la primera columna, encontramos que sen (α+90) = cos α.

¿Cómo encontrar el seno?

El estudio de la geometría ayuda a desarrollar el pensamiento. Esta materia está incluida en el plan de estudios. En la vida, el conocimiento de este tema puede ser útil, por ejemplo, al planificar un apartamento.

de la historia

Como parte del curso de geometría, también se estudia la trigonometría, que explora las funciones trigonométricas. En trigonometría, estudiamos los senos, cosenos, tangentes y cotangentes de un ángulo.

Pero por ahora, comencemos con lo más simple: seno. Echemos un vistazo más de cerca al primer concepto: el seno de un ángulo en geometría. ¿Qué es un seno y cómo encontrarlo?

El concepto de "seno del ángulo" y sinusoides

El seno de un ángulo es la razón de los valores del cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Esta es una función trigonométrica directa, que se escribe por escrito como "sin (x)", donde (x) es el ángulo del triángulo.

En el gráfico, el seno de un ángulo se indica mediante una sinusoide con características propias. Una sinusoide parece una línea ondulada continua que se encuentra dentro de ciertos límites en el plano de coordenadas. La función es impar, por tanto es simétrica respecto a 0 en el plano de coordenadas (sale del origen de coordenadas).

El dominio de esta función se encuentra en el rango de -1 a +1 en el sistema de coordenadas cartesianas. El período de la función del ángulo del seno es 2 Pi. Esto significa que cada 2 Pi se repite el patrón y la onda sinusoidal realiza un ciclo completo.

Ecuación sinusoidal

• sen x = a / c
• donde a es el cateto opuesto al ángulo del triángulo
• c - hipotenusa de un triángulo rectángulo

Propiedades del seno de un ángulo

1. sen(x) = - sen(x). Esta característica demuestra que la función es simétrica, y si los valores x y (-x) se dejan de lado en el sistema de coordenadas en ambas direcciones, entonces las ordenadas de estos puntos serán opuestas. Estarán a la misma distancia entre sí.
2. Otra característica de esta función es que la gráfica de la función crece en el segmento [- P / 2 + 2 Pn]; [P/2 + 2Pn], donde n es cualquier número entero. Se observará una disminución en la gráfica del seno del ángulo sobre el segmento: [P / 2 + 2 Pn]; [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 cuando x está en el rango (2Pn, P + 2Pn)
4. (X)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Los valores de los senos del ángulo están determinados por tablas especiales. Estas tablas se han creado para facilitar el proceso de cálculo de fórmulas y ecuaciones complejas. Es fácil de usar y contiene los valores no solo de la función sin(x), sino también los valores de otras funciones.

Además, la tabla de valores estándar de estas funciones se incluye en el estudio de memoria obligatorio, al igual que la tabla de multiplicar. Esto es especialmente cierto para las clases con un sesgo físico y matemático. En la tabla puedes ver los valores de los principales ángulos utilizados en trigonometría: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 y 360 grados.

También hay una tabla que define los valores de las funciones trigonométricas de ángulos no estándar. Usando diferentes tablas, puedes calcular fácilmente el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de algunos ángulos.

Las ecuaciones se hacen con funciones trigonométricas. Resolver estas ecuaciones es fácil si conoce identidades trigonométricas simples y reducciones de funciones, por ejemplo, como sin (P / 2 + x) \u003d cos (x) y otras. También se ha compilado una tabla separada para tales moldes.

Cómo encontrar el seno de un ángulo

Cuando la tarea es encontrar el seno de un ángulo, y por condición tenemos solo el coseno, la tangente o la cotangente del ángulo, podemos calcular fácilmente lo que necesitamos usando identidades trigonométricas.

• sen 2 x + cos 2 x = 1

A partir de esta ecuación, podemos encontrar tanto el seno como el coseno, según el valor que se desconozca. Obtenemos una ecuación trigonométrica con una incógnita:

• sen 2 x = 1 - cos 2 x
• sen x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / sen 2 x

A partir de esta ecuación, puedes encontrar el valor del seno, conociendo el valor de la cotangente del ángulo. Para simplificar, reemplaza sen 2 x = y, y luego tienes una ecuación simple. Por ejemplo, el valor de la cotangente es 1, entonces:

• 1 + 1 = 1/año
• 2 = 1 / año
• 2 años = 1
• y = 1/2

Ahora realizamos el reemplazo inverso del reproductor:

• sen 2 x = ½
• sen x = 1 / √2

Dado que tomamos el valor de la cotangente para el ángulo estándar (45 0), los valores obtenidos se pueden verificar con la tabla.

Si tiene un valor de tangente, pero necesita encontrar el seno, otra identidad trigonométrica le ayudará:

• tg x * ctg x = 1

Resulta que:

• ctg x = 1 / tg x

Para encontrar el seno de un ángulo no estándar, por ejemplo, 240 0, debe usar las fórmulas de reducción de ángulo. Sabemos que π corresponde a 180 0 para nosotros. Por lo tanto, expresaremos nuestra igualdad usando ángulos estándar por desarrollo.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Necesitamos encontrar lo siguiente: sin (180 0 + 60 0). En trigonometría, existen fórmulas de reducción que son útiles en este caso. Esta es la fórmula:

• sen (π + x) = - sen (x)

Por lo tanto, el seno de un ángulo de 240 grados es:

• sen (180 0 + 60 0) = - sen (60 0) = - √3/2

En nuestro caso, x = 60 y P, respectivamente, 180 grados. Encontramos el valor (-√3/2) de la tabla de valores de las funciones de los ángulos estándar.

De esta forma se pueden descomponer ángulos no estándar, por ejemplo: 210 = 180 + 30.

Las fórmulas básicas de trigonometría son fórmulas que establecen relaciones entre funciones trigonométricas básicas. Seno, coseno, tangente y cotangente están interconectados por muchas relaciones. A continuación damos las principales fórmulas trigonométricas y, por conveniencia, las agrupamos según su propósito. Usando estas fórmulas, puede resolver casi cualquier problema del curso de trigonometría estándar. Notamos de inmediato que solo las fórmulas en sí se dan a continuación, y no su derivación, a las que se dedicarán artículos separados.

Identidades básicas de la trigonometría

Las identidades trigonométricas dan una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, lo que permite expresar una función en términos de otra.

Identidades trigonométricas

sen 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sen α cos α , c t g α = cos α sen α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sen 2α

Estas identidades se derivan directamente de las definiciones del círculo unitario, seno (sin), coseno (cos), tangente (tg) y cotangente (ctg).

Fórmulas de reparto

Las fórmulas de fundición le permiten pasar de trabajar con ángulos arbitrarios y arbitrariamente grandes a trabajar con ángulos que van de 0 a 90 grados.

Fórmulas de reparto

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t gramo - α + 2 π z = - t gramo α , c t gramo - α + 2 π z = - c t gramo α sen π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sen α t gramo π 2 + α + 2 π z = - c t gramo α , c t gramo π 2 + α + 2 π z = - t gramo α sen π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sen α t gramo π 2 - α + 2 π z = c t gramo α , c t gramo π 2 - α + 2 π z = t gramo α sen π + α + 2 π z = - sen α , cos π + α + 2 π z = - cos α t gramo π + α + 2 π z = t gramo α , c t gramo π + α + 2 π z = c t gramo α sen π - α + 2 π z = sen α , cos π - α + 2 π z = - cos α t gramo π - α + 2 π z = - t gramo α , c t gramo π - α + 2 π z = - c t gramo α sen 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = pecado α t gramo 3 π 2 + α + 2 π z = - c t gramo α , c t gramo 3 π 2 + α + 2 π z = - t gramo α pecado 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sen α t gramo 3 π 2 - α + 2 π z = c t gramo α , c t gramo 3 π 2 - α + 2 π z = t gramo α

Las fórmulas de reducción son consecuencia de la periodicidad de las funciones trigonométricas.

Fórmulas de suma trigonométrica

Las fórmulas de suma en trigonometría te permiten expresar la función trigonométrica de la suma o diferencia de ángulos en términos de las funciones trigonométricas de estos ángulos.

Fórmulas de suma trigonométrica

sen α ± β = sen α cos β ± cos α sen β cos α + β = cos α cos β - sen α sen β cos α - β = cos α cos β + sen α sen β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Con base en las fórmulas de suma, se derivan fórmulas trigonométricas para un ángulo múltiple.

Fórmulas de múltiples ángulos: doble, triple, etc.

Fórmulas de doble y triple ángulo

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α con t g 2 α \u003d con t g 2 α - 1 2 con t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sen 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sen 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t gramo 3 α - 3 c t gramo α 3 c t gramo 2 α - 1

Fórmulas de medio ángulo

Las fórmulas de medio ángulo en trigonometría son una consecuencia de las fórmulas de doble ángulo y expresan la relación entre las funciones básicas del medio ángulo y el coseno del ángulo entero.

Fórmulas de medio ángulo

sen 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Fórmulas de reducción

Fórmulas de reducción

sen 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sen 3 α = 3 sen α - sen 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sen 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

A menudo, en los cálculos, es inconveniente operar con poderes engorrosos. Las fórmulas de reducción de grados le permiten reducir el grado de una función trigonométrica de un tamaño arbitrariamente grande al primero. Aquí está su visión general:

Forma general de las fórmulas de reducción

incluso para n

pecado norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 (- 1) norte 2 - k C k norte cos ((n - 2 k) α) cos norte α = C norte 2 norte 2 norte + 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte 2 - 1 C k norte porque ((n - 2 k) α)

para n impar

pecado norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte - 1 2 (- 1) norte - 1 2 - k C k norte pecado ((n - 2 k) α) porque norte α = 1 2 norte - 1 ∑ k = 0 norte - 1 2 C k norte porque ((n - 2 k) α)

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

La diferencia y la suma de funciones trigonométricas se pueden representar como un producto. Factorizar las diferencias de senos y cosenos es muy conveniente para resolver ecuaciones trigonométricas y simplificar expresiones.

Suma y diferencia de funciones trigonométricas

sen α + sen β = 2 sen α + β 2 cos α - β 2 sen α - sen β = 2 sen α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sen α + β 2 sen α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sen α + β 2 sen β - α 2

Producto de funciones trigonométricas

Si las fórmulas para la suma y la diferencia de funciones le permiten ir a su producto, entonces las fórmulas para el producto de funciones trigonométricas realizan la transición inversa: del producto a la suma. Se consideran fórmulas para el producto de senos, cosenos y seno por coseno.

Fórmulas para el producto de funciones trigonométricas

sen α sen β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sen α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Sustitución trigonométrica universal

Todas las funciones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente y cotangente) se pueden expresar en términos de la tangente de un medio ángulo.

Sustitución trigonométrica universal

sen α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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Tabla de valores de funciones trigonométricas

Nota. Esta tabla de valores para funciones trigonométricas usa el signo √ para denotar la raíz cuadrada. Para denotar una fracción - el símbolo "/".

ver también materiales útiles:

Para determinar el valor de una función trigonométrica, encuéntrelo en la intersección de la línea que indica la función trigonométrica. Por ejemplo, un seno de 30 grados: estamos buscando una columna con el encabezado sin (seno) y encontramos la intersección de esta columna de la tabla con la línea "30 grados", en su intersección leemos el resultado: uno segundo. Del mismo modo, encontramos coseno 60 grados, seno 60 grados (una vez más, en la intersección de la columna sin (seno) y la fila de 60 grados, encontramos el valor sin 60 = √3/2), etc. De la misma forma se encuentran los valores de senos, cosenos y tangentes de otros ángulos "populares".

Seno de pi, coseno de pi, tangente de pi y otros ángulos en radianes

La siguiente tabla de cosenos, senos y tangentes también es adecuada para encontrar el valor de las funciones trigonométricas cuyo argumento es dado en radianes. Para hacer esto, use la segunda columna de valores de ángulo. Gracias a esto, puedes convertir el valor de los ángulos populares de grados a radianes. Por ejemplo, busquemos el ángulo de 60 grados en la primera línea y leamos su valor en radianes debajo. 60 grados es igual a π/3 radianes.

El número pi expresa de manera única la dependencia de la circunferencia de un círculo con respecto a la medida en grados del ángulo. Entonces pi radianes es igual a 180 grados.

Cualquier número expresado en términos de pi (radianes) se puede convertir fácilmente a grados reemplazando el número pi (π) con 180.

Ejemplos:
1. seno pi.
sen π = sen 180 = 0
así, el seno de pi es igual al seno de 180 grados y es igual a cero.

2. coseno pi.
cos π = cos 180 = -1
así, el coseno de pi es igual al coseno de 180 grados y es igual a menos uno.

3. tangente pi
tg π = tg 180 = 0
así, la tangente de pi es igual a la tangente de 180 grados y es igual a cero.

Tabla de valores de seno, coseno, tangente para ángulos de 0 - 360 grados (valores frecuentes)

ángulo (grados)	ángulo en radianes (a través de pi)	pecado (seno)	porque (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)	segundo (secante)	causa (cosecante)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Si en la tabla de valores de funciones trigonométricas, en lugar del valor de la función, se indica un guión (tangente (tg) 90 grados, cotangente (ctg) 180 grados), entonces para un valor dado de la medida de grado de el ángulo, la función no tiene un valor definido. Si no hay guión, la celda está vacía, por lo que aún no hemos ingresado el valor deseado. Estamos interesados ​​​​en las solicitudes que nos solicitan los usuarios y complementamos la tabla con nuevos valores, a pesar de que los datos actuales sobre los valores de cosenos, senos y tangentes de los valores de ángulo más comunes son suficientes para resolver la mayoría problemas.

Tabla de valores de funciones trigonométricas sen, cos, tg para los ángulos más populares
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grados
(valores numéricos "según tablas de Bradis")

valor del ángulo α (grados)	valor del ángulo α en radianes	pecado (seno)	cos (coseno)	tg (tangente)	ctg (cotangente)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente son las categorías principales de la trigonometría, una rama de las matemáticas, y están íntimamente relacionados con la definición de un ángulo. La posesión de esta ciencia matemática requiere la memorización y comprensión de fórmulas y teoremas, así como un pensamiento espacial desarrollado. Es por eso que los cálculos trigonométricos a menudo causan dificultades a escolares y estudiantes. Para superarlos, debes familiarizarte más con las funciones y fórmulas trigonométricas.

Conceptos en trigonometría

Para comprender los conceptos básicos de trigonometría, primero debe decidir qué son un triángulo rectángulo y un ángulo en un círculo, y por qué todos los cálculos trigonométricos básicos están asociados con ellos. Un triángulo en el que uno de los ángulos es de 90 grados es un triángulo rectángulo. Históricamente, esta figura fue utilizada a menudo por personas en arquitectura, navegación, arte, astronomía. En consecuencia, al estudiar y analizar las propiedades de esta figura, las personas llegaron al cálculo de las proporciones correspondientes de sus parámetros.

Las principales categorías asociadas con los triángulos rectángulos son la hipotenusa y los catetos. La hipotenusa es el lado de un triángulo opuesto al ángulo recto. Las piernas, respectivamente, son los otros dos lados. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es siempre 180 grados.

La trigonometría esférica es una sección de trigonometría que no se estudia en la escuela, pero en ciencias aplicadas como la astronomía y la geodesia, los científicos la usan. Una característica de un triángulo en trigonometría esférica es que siempre tiene una suma de ángulos mayor a 180 grados.

Ángulos de un triángulo

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto al ángulo buscado y la hipotenusa del triángulo. En consecuencia, el coseno es la razón del cateto adyacente y la hipotenusa. Ambos valores siempre tienen un valor menor que uno, ya que la hipotenusa siempre es más larga que el cateto.

La tangente de un ángulo es un valor igual a la relación del cateto opuesto al cateto adyacente del ángulo deseado, o seno a coseno. La cotangente, a su vez, es la relación entre el cateto adyacente del ángulo deseado y el cacteto opuesto. La cotangente de un ángulo también se puede obtener dividiendo la unidad por el valor de la tangente.

circulo unitario

Un círculo unitario en geometría es un círculo cuyo radio es igual a uno. Dicho círculo se construye en el sistema de coordenadas cartesianas, con el centro del círculo coincidiendo con el punto de origen, y la posición inicial del radio vector está determinada por la dirección positiva del eje X (eje de abscisas). Cada punto del círculo tiene dos coordenadas: XX e YY, es decir, las coordenadas de la abscisa y la ordenada. Seleccionando cualquier punto del círculo en el plano XX, y soltando la perpendicular de este al eje de abscisas, obtenemos un triángulo rectángulo formado por un radio al punto seleccionado (lo denotaremos con la letra C), una perpendicular dibujada a el eje X (el punto de intersección se denota con la letra G), y un segmento el eje de abscisas entre el origen (el punto se denota con la letra A) y el punto de intersección G. El triángulo resultante ACG es un triángulo rectángulo inscrito en un círculo, donde AG es la hipotenusa y AC y GC son los catetos. El ángulo entre el radio del círculo AC y el segmento del eje de abscisas con la designación AG, lo definimos como α (alfa). Entonces, cos α = AG/AC. Dado que AC es el radio del círculo unitario, y es igual a uno, resulta que cos α=AG. De manera similar, sen α=CG.

Además, conociendo estos datos, es posible determinar la coordenada del punto C sobre la circunferencia, ya que cos α=AG, y sen α=CG, lo que significa que el punto C tiene las coordenadas dadas (cos α; sen α). Sabiendo que la tangente es igual a la relación entre el seno y el coseno, podemos determinar que tg α \u003d y / x, y ctg α \u003d x / y. Considerando ángulos en un sistema de coordenadas negativo, se puede calcular que los valores de seno y coseno de algunos ángulos pueden ser negativos.

Cálculos y fórmulas básicas

Valores de funciones trigonométricas

Habiendo considerado la esencia de las funciones trigonométricas a través del círculo unitario, podemos derivar los valores de estas funciones para algunos ángulos. Los valores se enumeran en la siguiente tabla.

Las identidades trigonométricas más simples.

Las ecuaciones en las que existe un valor desconocido bajo el signo de la función trigonométrica se denominan trigonométricas. Identidades con el valor sin x = α, k es cualquier número entero:

1. sen x = 0, x = πk.
2. 2. sen x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sen x = a, |a| > 1, sin soluciones.
5. sen x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsen α + πk.

Identidades con el valor cos x = a, donde k es cualquier número entero:

1. porque x = 0, x = π/2 + πk.
2. porque x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. porque x = a, |a| > 1, sin soluciones.
5. porque x = a, |a| ≦ 1, х = ±arcos α + 2πk.

Identidades con el valor tg x = a, donde k es cualquier número entero:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identidades con valor ctg x = a, donde k es cualquier número entero:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Fórmulas de reparto

Esta categoría de fórmulas constantes denota métodos mediante los cuales puede pasar de funciones trigonométricas de la forma a funciones del argumento, es decir, convertir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de cualquier valor a los indicadores correspondientes del ángulo de el intervalo de 0 a 90 grados para mayor comodidad de los cálculos.

Las fórmulas para reducir funciones para el seno de un ángulo se ven así:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sen(1800 - α) = sen α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sen(3600 + α) = sen α.

Para el coseno de un ángulo:

• cos(900 - α) = sen α;
• cos(900 + α) = -sen α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sen α;
• cos(2700 + α) = sen α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

El uso de las fórmulas anteriores es posible sujeto a dos reglas. Primero, si el ángulo se puede representar como un valor (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), el valor de la función cambia:

• del pecado al cos;
• de cos a sin;
• de tg a ctg;
• de ctg a tg.

El valor de la función permanece sin cambios si el ángulo se puede representar como (π ± a) o (2π ± a).

En segundo lugar, el signo de la función reducida no cambia: si inicialmente era positivo, lo sigue siendo. Lo mismo es cierto para las funciones negativas.

fórmulas de adición

Estas fórmulas expresan los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de la suma y diferencia de dos ángulos de rotación en términos de sus funciones trigonométricas. Los ángulos generalmente se denotan como α y β.

Las fórmulas se ven así:

1. sen(α ± β) = sen α * cos β ± cos α * sen.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sen α * sen.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Estas fórmulas son válidas para cualquier ángulo α y β.

Fórmulas de doble y triple ángulo

Las fórmulas trigonométricas de un ángulo doble y triple son fórmulas que relacionan las funciones de los ángulos 2α y 3α, respectivamente, con las funciones trigonométricas del ángulo α. Derivado de fórmulas de adición:

1. sen2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sen^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Transición de suma a producto

Considerando que 2senx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificando esta fórmula, obtenemos la identidad sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. De manera similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + senα = √2sen(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transición del producto a la suma

Estas fórmulas se derivan de las identidades para la transición de la suma al producto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• senα * cosβ = 1/2*.

Fórmulas de reducción

En estas identidades, las potencias cuadrada y cúbica del seno y el coseno se pueden expresar en términos del seno y el coseno de la primera potencia de un ángulo múltiple:

• sen^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sen^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

sustitución universal

Las fórmulas trigonométricas universales de sustitución expresan funciones trigonométricas en términos de la tangente de un medio ángulo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mientras que x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), donde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), donde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mientras que x \u003d π + 2πn.

Casos especiales

A continuación se dan casos particulares de las ecuaciones trigonométricas más simples (k es cualquier número entero).

Privado para seno:

valor de sen x	valor x
0	paquete
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk

Cocientes de coseno:

porque x valor	valor x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privado por tangente:

tg x valor	valor x
0	paquete
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Cocientes cotangentes:

ctg x valor	valor x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

teoremas

teorema del seno

Hay dos versiones del teorema: simple y extendida. Teorema del seno simple: a/sen α = b/sen β = c/sen γ. En este caso, a, b, c son los lados del triángulo y α, β, γ son los ángulos opuestos, respectivamente.

Teorema del seno extendido para un triángulo arbitrario: a/sen α = b/sen β = c/sen γ = 2R. En esta identidad, R denota el radio del círculo en el que está inscrito el triángulo dado.

teorema del coseno

La identidad se muestra de esta manera: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. En la fórmula, a, b, c son los lados del triángulo y α es el ángulo opuesto al lado a.

Teorema de la tangente

La fórmula expresa la relación entre las tangentes de dos ángulos y la longitud de los lados opuestos a ellos. Los lados están etiquetados como a, b, c, y los ángulos opuestos correspondientes son α, β, γ. La fórmula del teorema de la tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

teorema de la cotangente

Asocia el radio de un círculo inscrito en un triángulo con la longitud de sus lados. Si a, b, c son los lados de un triángulo, y A, B, C, respectivamente, son sus ángulos opuestos, r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semiperímetro del triángulo, las siguientes identidades sostener:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplicaciones

La trigonometría no es solo una ciencia teórica asociada con fórmulas matemáticas. Sus propiedades, teoremas y reglas son utilizados en la práctica por diversas ramas de la actividad humana: astronomía, navegación aérea y marítima, teoría musical, geodesia, química, acústica, óptica, electrónica, arquitectura, economía, ingeniería mecánica, trabajo de medición, gráficos por computadora, cartografía, oceanografía, y muchos otros.

Seno, coseno, tangente y cotangente son los conceptos básicos de la trigonometría, con los que puedes expresar matemáticamente la relación entre los ángulos y las longitudes de los lados de un triángulo, y encontrar las cantidades deseadas mediante identidades, teoremas y reglas.