La teoría de la probabilidad es una sección especial de matemáticas, que solo aprende los estudiantes de instituciones educativas más altas. ¿Te gustan los cálculos y fórmulas? ¿No está asustado por las perspectivas de conocimientos con la distribución normal, la entropía del conjunto, la expectativa matemática y la dispersión de la variable aleatoria discreta? Entonces este tema será muy interesante. Familemos con varios conceptos básicos esenciales de esta sección de la ciencia.
Recordar lo básico
Incluso si recuerda los conceptos más simples de la teoría de la probabilidad, no descuide los primeros párrafos del artículo. El hecho es que sin una comprensión clara de los conceptos básicos, no podrá trabajar con las fórmulas consideradas a continuación.
Entonces, hay algún evento aleatorio, un cierto experimento. Como resultado de las acciones, podemos obtener varios resultados, algunos de ellos son más comunes, otros, con menos frecuencia. La probabilidad de un evento es la proporción del número de resultados obtenidos en realidad del mismo tipo al número total de posibles. Solo sabiendo la definición clásica de este concepto, puede proceder al estudio de la expectativa matemática y la dispersión de las variables aleatorias continuas.
Promedio
Aún en la escuela en las lecciones de las matemáticas, comenzó a trabajar con una aritmética promedio. Este concepto se usa ampliamente en la teoría de la probabilidad, y por lo tanto es imposible pasar por alto el lado. Lo principal para nosotros en este momento es que lo enfrentaremos en las fórmulas de la expectativa matemática y la dispersión de una variable aleatoria.
Tenemos una secuencia de números y queremos encontrar el promedio aritmético. Todo lo que se requiere de nosotros es resumir todo lo dispuesto y dividido por el número de elementos en la secuencia. Permita que tengamos números de 1 a 9. La cantidad de los elementos será igual a 45, y este valor dividimos por 9. Respuesta: - 5.
Dispersión
Hablando por lenguaje científico, la dispersión es el cuadrado promedio de desviaciones de los signos obtenidos de la característica de la aritmética promedio. Está indicado por un título Latítimo D. ¿Qué necesita para calcularlo? Para cada elemento de la secuencia, calculamos la diferencia entre el número existente y la aritmética promedio y se erigen en el cuadrado. Los valores saldrán exactamente tanto como los eventos considerados por nosotros pueden ser. A continuación, resumimos todo lo obtenido y dividido por el número de elementos en la secuencia. Si tenemos cinco resultados, dividimos cinco.
La dispersión tiene las propiedades que deben recordarse para aplicarse al resolver tareas. Por ejemplo, con un aumento en la variable aleatoria en X veces, la dispersión aumenta a X en los tiempos cuadrados (es decir, x * x). Nunca sucede menos que cero y no depende del cambio de valores a un valor igual en un lado grande o más pequeño. Además, para las pruebas independientes, la cantidad de dispersión es igual a la cantidad de dispersiones.
Ahora debemos considerar ejemplos de dispersión de la varianza aleatoria discreta y la expectativa matemática.
Supongamos que pasamos 21 experimentos y recibimos 7 resultados diferentes. Cada uno de ellos observamos, respectivamente, 1,2,2,3,4,4 y 5 veces. ¿A qué será la dispersión?
Primero, considere el promedio aritmético: la suma de los elementos, por supuesto, es igual a 21. Lo dividimos a 7, el rendimiento 3. Ahora, de cada número de la secuencia inicial se restará 3, cada valor se construye en un cuadrado , y los resultados se sumarán juntos. Resulta 12. Ahora tenemos que dividir el número en el número de elementos, y parece que todo. ¡Pero hay un obstáculo! Vamos a discutirlo.
Dependencia de la cantidad de experimentos.
Resulta que al calcular la dispersión en el denominador puede ser uno de los dos números: N o N-1. Aquí N es el número de experimentos o el número de elementos en la secuencia (que es esencialmente la misma). ¿De qué depende?
Si el número de pruebas se mide por cientos, debemos poner en el N. denominador si las unidades, luego N-1. Los científicos fronterizos decidieron sostener de manera bastante simbólica: hoy pasa de acuerdo con la Figura 30. Si pasamos menos de 30 experimentos, dividiremos la cantidad en N-1, y si más, entonces, en N.
Una tarea
Volvamos a nuestro ejemplo resolviendo el problema de la dispersión y la expectativa matemática. Obtuvimos un número intermedio 12, que fue necesario dividir en N o N-1. Dado que los experimentos realizamos 21, lo cual es menor que 30, elija la segunda opción. Entonces, la respuesta: la dispersión es 12/2 \u003d 2.
Valor esperado
Veamos al segundo concepto que debemos considerar este artículo. La expectativa matemática es el resultado de la adición de todos los resultados posibles, multiplicado por las probabilidades correspondientes. Es importante entender que el valor obtenido, así como el resultado del cálculo de la dispersión, resulta solo una vez por toda una tarea, sin importar la forma en que no se considere los resultados.
La fórmula de la expectativa matemática es bastante simple: tomamos el resultado, multiplicamos su probabilidad, agregamos lo mismo para el segundo, tercer resultado, etc. Todo lo relacionado con este concepto se calcula fácilmente. Por ejemplo, la cantidad de Matchmakers es igual a la suma de la cantidad. Porque el trabajo es relevante lo mismo. Tales operaciones simples hacen posible realizar lejos de cada valor en la teoría de la probabilidad. Tomemos la tarea y consideremos la importancia de los conceptos que estudiamos a la vez. Además, nos distraíamos por la teoría, es hora de practicar.
Un ejemplo mas
Pasamos 50 pruebas y recibimos 10 tipos de resultados: números de 0 a 9, apareciendo en varios porcentajes. Esto, respectivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Recuerde que para obtener probabilidades, es necesario dividir los valores en porcentaje por 100. Por lo tanto, obtenemos 0.02; 0.1, etc. Imagínese para la dispersión de la varianza aleatoria y el ejemplo de expectativa matemática de una solución al problema.
El promedio aritmético se calcula por la fórmula que recuerdo de la escuela más joven: 50/10 \u003d 5.
Ahora transferiremos la probabilidad al número de resultados "en pedazos" para que sea más conveniente contar. Obtenemos 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5 y 9. De cada valor obtenido, la aritmética promedio se resta, después de lo cual Cada uno de los resultados obtenidos erigidos en el cuadrado. Mire cómo hacer esto, en el ejemplo del primer elemento: 1 - 5 \u003d (-4). Siguiente: (-4) * (-4) \u003d 16. Para los valores restantes, haga estas operaciones usted mismo. Si hiciste todo bien, entonces después de la adición obtienes 90.
Continúe calculando la dispersión y la expectativa matemática, dividiendo 90 en N. ¿Por qué elegimos N, y NO N-1? Así es, porque la cantidad de experimentos realizados supera los 30. SO 90/10 \u003d 9. La dispersión que recibimos. Si tienes otro número, no te desesperes. Lo más probable es que haya realizado un error banal al calcular. Compruebe escrito, y seguramente todo caerá en su lugar.
Finalmente, recuerda la fórmula de la expectativa. No daremos todos los cálculos, escriba solo la respuesta que pueda manejar, completando todos los procedimientos requeridos. La materialización será igual a 5.48. Recuerde solo cómo llevar a cabo operaciones, en el ejemplo de los primeros elementos: 0 * 0.02 + 1 * 0,1 ... y así sucesivamente. Como puede ver, simplemente multiplicamos el valor del resultado de su probabilidad.
Desviación
Otro concepto, estrechamente asociado con la dispersión y la expectativa matemática, la desviación cuadrática promedio. Está indicado por las letras latinas de SD, o un "Sigma" en minúsculas griego. Este concepto muestra cómo se desvían los valores del signo central. Para encontrar su valor, debe calcular la raíz cuadrada de la dispersión.
Si construye un gráfico de distribución normal y desea ver directamente en ella de una desviación cuadrática, esto se puede hacer en varias etapas. Tome la mitad de la imagen hacia la izquierda o la derecha del modo (valor central), realice perpendicular al eje horizontal para que el área de las figuras haya sido igual. El tamaño del segmento entre la mitad de la distribución y la proyección resultante en el eje horizontal será una desviación cuadrática secundaria.
Software
Como se puede ver en las descripciones de las fórmulas y los ejemplos presentados, los cálculos de la dispersión y la expectativa matemática no son el procedimiento más sencillo de un punto de vista aritmético. Para no pasar tiempo, tiene sentido utilizar el programa utilizado en instituciones educativas más altas, se llama "R". Tiene funciones que le permiten calcular los valores para muchos conceptos de las estadísticas y la teoría de la probabilidad.
Por ejemplo, usted especifica los valores del vector. Esto se hace de la siguiente manera: Vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Finalmente
La dispersión y la expectativa matemática son, sin las cuales es difícil calcular nada más. En el año principal de las conferencias en las universidades, ya están consideradas en los primeros meses de estudio del tema. Se debe a la mala interpretación de estos conceptos y la incapacidad más simples de calcularlos, muchos estudiantes comienzan a retrasarse detrás del programa y luego obtener malas marcas en función de los resultados de la sesión, que los priva de becas.
Practique al menos una semana media hora por día, resolviendo tareas similares a las presentadas en este artículo. Luego, en cualquier control sobre la teoría de la probabilidad, manejará ejemplos sin consejos y cuna extranjeros.
La expectativa matemática es el valor promedio de una variable aleatoria.La expectativa matemática de la variable aleatoria discreta se llama la cantidad de obras de todos sus valores posibles para sus probabilidades:
Ejemplo.
X -4 6 10
P 0.2 0.3 0.5
Solución: La expectativa matemática es igual a la cantidad de productos de todos los valores X posibles en su probabilidad:
M (x) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0.3 + 10 * 0.5 \u003d 6.
Para calcular la expectativa matemática, es conveniente llevar a cabo los cálculos en Excel (especialmente cuando hay muchos datos), proponemos usar el patrón terminado ().
Un ejemplo para una solución independiente (puede aplicar la calculadora).
Encuentre una expectativa matemática de un valor aleatorio discreto de x según lo define la ley de distribución:
X 0,21 0,54 0,61
p 0.1 0.5 0.4
La expectativa matemática tiene las siguientes propiedades.
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la más constante: m (c) \u003d p.
Propiedad 2. Se puede hacer un multiplicador constante para un signo de expectativa matemática: M (CX) \u003d CM (X).
Propiedad 3. La expectativa matemática del trabajo de variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de las expectativas matemáticas de los factores: M (x1x2 ... HP) \u003d m (x1) m (x2) *. .. * M (xn)
Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de las variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los componentes: M (xg + x2 + ... + xn) \u003d m (xg) + m (x2) + ... + m (xn).
Tarea 189. Encuentre la expectativa matemática de la deuda al azar Z, si se conocen las expectativas matemáticas de x h y: z \u003d x + 2y, m (x) \u003d 5, m (y) \u003d 3;
Solución: utilizando las propiedades de la expectativa matemática (la expectativa matemática de la cantidad es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los componentes; El factor constante se puede hacer para un signo de la expectativa matemática), obtenemos m (z) \u003d M (x + 2y) \u003d m (x) + m (2y) \u003d m (x) + 2m (y) \u003d 5 + 2 * 3 \u003d 11.
190. Uso de las propiedades de la expectativa maatativa, para demostrar que: a) m (x - y) \u003d m (x) -m (y); b) La expectativa matemática de la desviación X-M (X) es cero.
191. El valor aleatorio discreto X toma tres valores posibles: X1 \u003d 4 con una probabilidad P1 \u003d 0.5; X3 \u003d 6 con una probabilidad P2 \u003d 0.3 y X3 con una probabilidad de P3. Buscar: x3 y p3, sabiendo que m (x) \u003d 8.
192. DAN Una lista de posibles valores de la variable aleatoria discreta X: X1 \u003d -1, X2 \u003d 0, X3 \u003d 1, las expectativas matemáticas de esta magnitud y su cuadrado también se conocen: m (x) \u003d 0.1, m (x ^ 2) \u003d 0, nueve. Encuentra las probabilidades P1, P2, P3 correspondientes a los valores posibles de XI
194. La parte de las 10 partes contiene tres no estándar. Mentes seleccionados dos detalles. Encuentre la expectativa matemática del valor aleatorio discreto de X es el número de partes no estándar entre las dos seleccionadas.
196. Encuentre una expectativa matemática de una variable aleatoria discreta del número X de dicha fundición de cinco huesos de juego, cada uno de los cuales es un punto en dos huesos, si el número total de elenco es de veinte.
La expectativa matemática de la distribución binomial es igual al producto del número de pruebas en la probabilidad de eventos en una prueba:
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta se llama la cantidad de obras de todos sus valores posibles para sus probabilidades.
Deje que un valor aleatorio pueda tomar solo los valores de las probabilidades de las cuales son respectivamente iguales, entonces la expectativa matemática de una variable aleatoria está determinada por la igualdad
Si un valor aleatorio discreto toma un conjunto contable de posibles valores, entonces
Además, la expectativa matemática existe si la fila en el lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Comentario. A partir de la definición, se deduce que la expectativa matemática de la variable aleatoria discreta es el valor no aleatorio (constante).
Definición de la expectativa matemática en el caso general.
Definimos la expectativa matemática de una variable aleatoria, cuya distribución no es necesariamente discreta. Vamos a empezar con el caso de variables aleatorias no negativas. La idea será aproximarse a dichas variables aleatorias con la ayuda de la ayuda de discreto, por lo que ya se define la expectativa matemática, y la expectativa matemática es ser igual al límite de las expectativas matemáticas de sus variables aleatorias discretas. Por cierto, esta es una idea general muy útil, que es que algunas características se determinan por primera vez para objetos simples, y luego para objetos más complejos, se determina por aproximación por su más sencillo.
LEMMA 1. Deja que haya un valor aleatorio no negativo arbitrario. Luego hay una secuencia de variables aleatorias discretas de modo que
Evidencia. Rompemos semi-ejes en segmentos de igual longitud y definir.
Luego, las propiedades 1 y 2 se siguen fácilmente de la definición de una variable aleatoria y
LEMMA 2. Deje un valor aleatorio no negativo y dos secuencias de variables aleatorias discretas con propiedades del 1-3 de LEMMA 1. Luego
Evidencia. Tenga en cuenta que para variables aleatorias no negativas, admitimos
Debido a las propiedades de 3, es fácil ver que hay una secuencia de números positivos, de modo que
Por lo tanto, sigue eso
Usando las propiedades de las expectativas matemáticas para las variables aleatorias discretas, obtenemos
Volviendo al límite cuando obtenemos la aprobación de LEMMA 2.
Definición 1. Supongamos: un valor aleatorio no negativo, la secuencia de variables aleatorias discretas con las propiedades del 1-3 de LEMMA 1. La expectativa matemática de una variable aleatoria se llama el número
LEMMA 2 garantiza que no dependa de la selección de la secuencia aproximada.
Deja que ahora sea un valor aleatorio arbitrario. Determinar
Desde la definición y se sigue fácilmente.
Definición 2. La expectativa matemática de una variable aleatoria arbitraria se llama el número
Si al menos uno de los números en la parte correcta de esta igualdad, por supuesto.
Propiedades de la expectativa matemática.
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor permanente es igual a la más permanente:
Evidencia. Consideraremos constantemente como un valor aleatorio discreto, que tiene un valor posible y lo acepta con probabilidad, en consecuencia,
Observación 1. Determine el producto de un valor constante en un valor aleatorio discreto como un valor aleatorio discreto posible de los cuales son iguales a la constante de trabajos para los posibles valores; Las probabilidades de los posibles valores son iguales a las probabilidades de los valores posibles correspondientes, por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es igual a la probabilidad de que el valor también tome el valor igual a
Propiedad 2. Se puede hacer un multiplicador constante para un signo de expectativa matemática:
Evidencia. Deje un valor aleatorio especificado por la ley de la distribución de la probabilidad:
Dado el comentario 1, escriba la ley de la distribución de la variable aleatoria.
Observación 2. Antes de proceder a la siguiente propiedad, indicamos que dos variables aleatorias se denominan independientes si la transacción la ley de distribución no depende de qué opciones aparecen además del otro valor recibido. De lo contrario, las variables aleatorias dependen. Varias variables aleatorias se denominan mutuamente independientes si las leyes de la distribución de cualquier número de ellos no dependen de lo que los valores posibles permanecieron en los valores restantes.
NOTA 3. Definimos el producto de variables aleatorias independientes y, como un valor aleatorio de los valores posibles, que son iguales a las obras de cada valor posible para cada valor posible de la probabilidad de posibles valores del producto son iguales. A las obras de las probabilidades de posibles valores de los factores. Por ejemplo, si la probabilidad de un posible valor es igual, la probabilidad de un valor posible es igual a la probabilidad de un posible valor igual a
Propiedad 3. La expectativa matemática del trabajo de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Evidencia. Deje que las variables aleatorias independientes se dan por sus leyes de distribución de probabilidad:
Haremos todos los valores que el valor aleatorio pueda cambiar todos los valores posibles para cada valor posible; Como resultado, obtenemos y considerando el comentario 3, escriba la ley de la distribución se asume para la simplicidad, que todos los valores posibles del trabajo son diferentes (si no, la prueba se lleva a cabo de manera similar):
La expectativa matemática es igual a la cantidad de obras de todos los valores posibles para sus probabilidades:
Corolario. La expectativa matemática del trabajo de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
Evidencia. Deje que las variables aleatorias se dan por las siguientes leyes de distribución:
Haremos todos los valores posibles de los valores para esto a cada valor posible, agregue cada valor posible; Asumiremos que estos valores posibles son diferentes (si no es así, la prueba se lleva a cabo de manera similar), y denotamos su probabilidad, respectivamente, a través de y
La expectativa matemática de la magnitud es igual a la cantidad de productos de posibles valores para sus probabilidades:
Probamos que un evento que tomará un valor (la probabilidad de que este evento sea igual a), conlleva un evento que tomará un valor o (la probabilidad de este evento mediante el teorema de su adición es igual a), y de vuelta . Desde aquí se deduce que la igualdad se prueba de manera similar.
Sustituyendo las partes correctas de estas igualdad en la relación (*), obtenemos
o finalmente
Dispersión y desviación cuadrática promedio.
En la práctica, a menudo es necesario estimar la dispersión de los posibles valores de la variable aleatoria alrededor de su valor promedio. Por ejemplo, es importante que la artillería sepa cómo se reducirán las conchas de dormitorios cerca de la meta que debería sorprenderse.
A primera vista, puede parecer que estimar la dispersión, la forma más fácil de calcular todos los valores posibles de la desviación de una variable aleatoria y luego los encuentre promedio. Sin embargo, este camino no dará nada, ya que el valor promedio de la desviación, es decir,. Para cualquier variable aleatoria es igual a cero. Esta propiedad se explica por el hecho de que algunas desviaciones posibles son positivas, y otras son negativas; Como resultado de su reembolso mutuo, el valor de desviación promedio es cero. Estas consideraciones hablan sobre la adecuación para reemplazar las posibles desviaciones por sus valores absolutos o sus cuadrados. Así que ven en la práctica. Es cierto, en el caso de que las posibles desviaciones las reemplacen con valores absolutos, es necesario operar con valores absolutos, lo que a veces conduce a grandes dificultades. Por lo tanto, la mayoría a menudo pasa por otro camino, es decir, Calcule el valor cuadrado de desviación promedio, que se llama dispersión.
Expectativas y dispersión matemáticas: la mayoría a menudo aplican características numéricas de una variable aleatoria. Caracterizan las características de distribución más importantes: su posición y el grado de dispersión. En muchas tareas, la práctica tiene una característica completa e integral de una variable aleatoria, la ley de distribución, o no se puede obtener en absoluto, o no se necesita en absoluto. En estos casos, limitado por una descripción aproximada de una variable aleatoria utilizando características numéricas.
La expectativa matemática a menudo se llama simplemente un valor promedio de una variable aleatoria. La dispersión de la variable aleatoria es la característica de la dispersión, la dispersión de una variable aleatoria cerca de su expectativa matemática.
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta
Vamos al concepto de expectativas matemáticas, primero sobre la base de la interpretación mecánica de la distribución de la variable aleatoria discreta. Deje que la unidad se asija entre los puntos del eje de Abscissa. x.1 , x.2 , ..., x.nORTE.Además, cada punto de material tiene la masa correspondiente de él. pag.1 , pag.2 , ..., pag.nORTE.. Se requiere elegir un punto en el eje de abscisa, que caracteriza la posición de todo el sistema de puntos materiales, teniendo en cuenta sus masas. Naturalmente, como tal punto, tome el centro del sistema masivo de puntos materiales. Este es el valor promedio ponderado de una variable aleatoria. X.que es la abscisa de cada punto x.i. Entra en el "peso" igual a la probabilidad correspondiente. El valor promedio de la variable aleatoria así obtenida. X. Se llama su expectativa matemática.
La expectativa matemática de la variable aleatoria discreta es la cantidad de obras de todos sus valores posibles sobre la probabilidad de estos valores:
Ejemplo 1. Se organiza una lotería de ganar-ganar. Hay 1000 ganancias, de las cuales 400 son 10 rublos. 300 - 20 rublos. 200 - 100 rublos. y 100 - 200 rublos. ¿Cuál es el tamaño promedio de la victoria para comprar un boleto?
Decisión. Las ganancias promedio encontraremos si la cantidad total de ganancias, que es igual a 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 \u003d 50,000 rublos, divida por 1000 (ganancias totales). Luego obtenemos 50000/1000 \u003d 50 rublos. Pero la expresión para el cálculo promedio ganador puede representarse de la siguiente manera:
Por otro lado, en estas condiciones, la cantidad de ganancias es un valor aleatorio que puede tomar valores 10, 20, 100 y 200 rublos. con probabilidades igual a 0.4, respectivamente; 0.3; 0.2; 0.1. En consecuencia, las ganancias promedio esperadas son iguales a la cantidad de tamaño del producto de las ganancias sobre la probabilidad de su recibo.
Ejemplo 2. El editor decidió publicar un nuevo libro. Venderá el libro por 280 rublos, de los cuales 200 recibirán, 50 - Librería y 30 autores. La tabla proporciona información sobre el costo de publicar un libro y la probabilidad de vender un cierto número de copias del libro.
Encuentra el editor de ganancias esperado.
Decisión. La magnitud aleatoria "Beneficio" es igual a la diferencia en los ingresos de la venta y el costo de los costos. Por ejemplo, si se vendan 500 copias del libro, entonces los ingresos de la venta son iguales a 200 * 500 \u003d 100000, y el costo de la edición es de 225,000 rublos. Por lo tanto, el editor amenaza una pérdida de 125,000 rublos. La siguiente tabla resume los valores esperados de la variable aleatoria: ganancias:
| Número | Lucro x.i. | Probabilidad pag.i. | x.i. pag.i. |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Por lo tanto, obtenemos una expectativa matemática de las ganancias del editor:
.
Ejemplo 3. Probabilidad de golpear un tiro pag. \u003d 0.2. Determine los cargos de flujo que proporcionan una expectativa matemática de la cantidad de hits igual a 5.
Decisión. De la misma fórmula para la expectativa que utilizamos hasta ahora, Express x. - Consumo de conchas:
.
Ejemplo 4. Determinar la expectativa matemática de una variable aleatoria x. el número de éxitos en tres tiros, si la probabilidad de golpear cada disparo pag. = 0,4 .
Sugerencia: la probabilidad de valores aleatorios para encontrar fórmula Bernoulli .
Propiedades de la expectativa matemática.
Considere las propiedades de la expectativa matemática.
Propiedad 1.La expectativa matemática de un valor permanente es igual a esta constante:
Propiedad 2.Se puede hacer un multiplicador permanente para un signo de expectativa matemática:
Propiedad 3.La expectativa matemática de la cantidad (diferencia) de variables aleatorias es igual a la cantidad (diferencia) de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 4.La expectativa matemática del trabajo de las variables aleatorias es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Propiedad 5.Si todos los valores de la variable aleatoria. X. Reducir (ampliar) en el mismo número DEReducirá sus expectativas matemáticas (aumentará) en el mismo número:
Cuando no se puede limitar a la expectativa matemática.
En la mayoría de los casos, solo una expectativa matemática no puede caracterizar suficientemente una cantidad aleatoria.
Dejar variables aleatorias X. y Y especificado por las siguientes leyes de distribución:
| Valor X. | Probabilidad |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Valor Y | Probabilidad |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Las expectativas matemáticas de estos valores son las mismas: cero es igual:
Sin embargo, la naturaleza de la distribución es diferente. Valor aleatorio X. puede tomar solo valores que difieran poco de la expectativa matemática, pero un valor aleatorio Y Puede tomar valores que se desvían significativamente de la expectativa matemática. Ejemplo similar: el salario promedio no permite juzgar el peso específico de los trabajadores altamente pagados. En otras palabras, de acuerdo con la expectativa matemática, es imposible juzgar las desviaciones de ella, al menos en promedio, son posibles. Para hacer esto, debe encontrar una dispersión de una variable aleatoria.
Dispersión discreta variable aleatoria
Dispersión variable aleatoria discreta X. Se llama la expectativa matemática de la plaza de su desviación de la expectativa matemática:
Desviación cuadrática media de la variable aleatoria X. Se llama el valor aritmético de la raíz cuadrada de su dispersión:
.
Ejemplo 5.Calcular dispersiones y desviaciones medianas cuadráticas de variables aleatorias. X. y Y, cuyas leyes de distribución se muestran en las tablas anteriores.
Decisión. Expectativas matemáticas de variables aleatorias. X. y YCómo se encontró arriba son cero. Según la fórmula de dispersión. MI.(h.)=MI.(y) \u003d 0 Obtén:
Luego las desviaciones cuadráticas promedio de las variables aleatorias. X. y Y inventar
.
Así, con las mismas expectativas matemáticas de la dispersión de la variable aleatoria. X. Muy pequeño, pero una variable aleatoria. Y - Significativo. Esta es una consecuencia de las diferencias en su distribución.
Ejemplo 6. El inversor tiene 4 proyectos de inversión alternativa. La tabla resume los datos sobre el beneficio esperado en estos proyectos con una probabilidad adecuada.
| Proyecto 1. | Proyecto 2. | Proyecto 3. | Proyecto 4. |
| 500, pag.=1 | 1000, pag.=0,5 | 500, pag.=0,5 | 500, pag.=0,5 |
| 0, pag.=0,5 | 1000, pag.=0,25 | 10500, pag.=0,25 | |
| 0, pag.=0,25 | 9500, pag.=0,25 |
Encuentre para cada expectativa matemática alternativa, dispersión y desviación cuadrática secundaria.
Decisión. Mostramos cómo estos valores se calculan para la tercera alternativa:
La tabla resume los valores encontrados para todas las alternativas.
Todas las alternativas son las mismas expectativas matemáticas. Esto significa que a largo plazo, todos tienen el mismo ingreso. La desviación estándar se puede interpretar como una unidad de medición de riesgo, que más, mayor será el riesgo de inversión. Un inversor que no quiere un gran riesgo elegirá un proyecto 1, ya que tiene la desviación estándar más pequeña (0). Si el inversionista prefiere el riesgo y los mayores ingresos en un período corto, elegirá el proyecto con la mayor desviación estándar - Proyecto 4.
Propiedades de la dispersión.
Damos las propiedades de la dispersión.
Propiedad 1.La dispersión de un valor constante es cero:
Propiedad 2.Se puede hacer un multiplicador permanente para una señal de dispersión, mientras lo coloca en el cuadrado:
.
Propiedad 3.La dispersión de una variable aleatoria es igual a la expectativa matemática del cuadrado de este valor, desde donde se deduce el cuadrado de la expectativa matemática del valor:
,
dónde 
.
Propiedad 4.La dispersión de la cantidad (diferencia) de variables aleatorias es igual a la cantidad (diferencia) de sus dispersiones:
Ejemplo 7. Se sabe que el valor aleatorio discreto. X. Se necesitan solo dos valores: -3 y 7. Además, se conoce una expectativa matemática: MI.(X.) \u003d 4. Encuentre la dispersión de una variable aleatoria discreta.
Decisión. Denotamos por pag. La probabilidad con la que un valor aleatorio toma el valor. x.1 = −3 . Entonces la probabilidad de significado x.2 = 7 será 1 - pag. . Derivamos una ecuación para la expectativa matemática:
MI.(X.) = x.1 pag. + x.2 (1 − pag.) = −3pag. + 7(1 − pag.) = 4 ,
donde obtienes probabilidades: pag. \u003d 0.3 y 1 - pag. = 0,7 .
La ley de la distribución de la variable aleatoria:
| X. | −3 | 7 |
| pag. | 0,3 | 0,7 |
La dispersión de esta variable aleatoria se calcula mediante la fórmula de las propiedades de dispersión 3:
D.(X.) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Encuentre una expectativa matemática de una variable aleatoria usted mismo, y luego vea la decisión.
Ejemplo 8. Variabilidad aleatoria discreta X. Toma solo dos valores. Más de los valores 3 se necesita con una probabilidad de 0.4. Además, se conoce la dispersión de una variable aleatoria. D.(X.) \u003d 6. Encuentre una expectativa matemática de una variable aleatoria.
Ejemplo 9. En la urna de 6 blancos y 4 bolas negras. De las urnas se sacan 3 bolas. El número de bolas blancas entre los cortes de las bolas es una variable aleatoria discreta. X. . Encuentre una expectativa matemática y dispersión de esta variable aleatoria.
Decisión. Valor aleatorio X. puede tomar valores 0, 1, 2, 3. La probabilidad correspondiente a ellos puede ser calculada por la regla de la multiplicación de probabilidad. . La ley de la distribución de la variable aleatoria:
| X. | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pag. | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De ahí la expectativa matemática de esta variable aleatoria:
METRO.(X.) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Dispersión de esta variable aleatoria:
D.(X.) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Expectativa matemática y dispersión de una variable aleatoria continua.
Para una variable aleatoria continua, la interpretación mecánica de la expectativa matemática conservará el mismo significado: el centro de masa para una sola masa, distribuida continuamente en el eje de abscisa con densidad f.(x.). A diferencia de un valor aleatorio discreto, que tiene una función de argumento x.i. Cambia la lúpula, en una variable aleatoria continua, el argumento cambia continuamente. Pero la expectativa matemática de una variable aleatoria continua también se asocia con su valor promedio.
Para encontrar una expectativa y dispersión matemática de una variable aleatoria continua, debe encontrar ciertas integrales. . Si la función de densidad se le da una variable aleatoria continua, entonces ingresa directamente a la integración. Si se da la función de distribución de probabilidad, entonces, diferenciándola, debe encontrar la función de densidad.
El promedio aritmético de todos los valores posibles de la variable aleatoria continua se llama. expectativa matemáticadenotado o.
La expectativa matemática del valor aleatorio de X se denomina valor promedio.
1. m (c) \u003d c
2. M (cx) \u003d cm (x)dónde C. \u003d const
3. m (x ± y) \u003d m (x) ± m (y)
4. Si variables aleatorias X. y Y Independiente, T. M (xy) \u003d m (x) · m (y)
Dispersión
La dispersión de la variable aleatoria se llama
D (x) \u003d s (x - m (x)) 2 p \u003d m (x 2 ) - M. 2 (X).
La dispersión es una medida de desviaciones de valores aleatorios de su valor promedio.
1. D (c) \u003d 0
2. D (x + c) \u003d d (x)
3. D (cx) \u003d c 2 D (x)dónde C. \u003d const
4. Para variables aleatorias independientes.
D (x ± y) \u003d d (x) + d (y)
5. D (x ± y) \u003d d (x) + d (y) ± 2cov (x, y)
La raíz cuadrada de la dispersión de un valor aleatorio X se llama una desviación cuadrática promedio. 
.
@ Tarea 3.: Deje que el valor aleatorio de x reciba solo dos valores (0 o 1) con probabilidades p, P.dónde p + q \u003d 1. Encuentra una expectativa y dispersión matemática.
Decisión:
M (x) \u003d 1 · p + 0 · q \u003d p; D (x) \u003d (1 - p) 2 p + (0 - P) 2 q \u003d pq.
@ Tarea 4.: Expectativa matemática y dispersión de la variable aleatoria. X. igual a 8. Encuentre una expectativa matemática y dispersión de variables aleatorias: a) X - 4.; B) 3x - 4..
Solución: m (x - 4) \u003d m (x) - 4 \u003d 8 - 4 \u003d 4; D (x - 4) \u003d d (x) \u003d 8; M (3x - 4) \u003d 3m (x) - 4 \u003d 20; D (3x - 4) \u003d 9d (x) \u003d 72.
@ Tarea 5.: La combinación de familias tiene la siguiente distribución por el número de niños:
| x I. | x 1 | x 2 | ||
| pI. | 0,1 | p 2. | 0,4 | 0,35 |
Determinar x 1, x 2 y p 2.Si se sabe que M (x) \u003d 2; D (x) \u003d 0.9.
Solución: la probabilidad P 2 es P 2 \u003d 1 - 0.1 - 0.4 - 0.35 \u003d 0.15. X desconocido x son de ecuaciones: m (x) \u003d x 1 · 0.1 + x 2 · 0.15 + 2 · 0.4 + 3 · 0.35 \u003d 2; D (x) \u003d · 0.1 + · 0.15 + 4 · 0.4 + 9 · 0.35 - 4 \u003d 0.9. x 1 \u003d 0; x 2 \u003d 1.
Agregado general y muestra. Estimaciones de los parámetros
Observación selectiva
La observación estadística se puede organizar sólidos y no sólidos. La observación sólida proporciona una encuesta de todas las unidades del agregado común (población general). Agregado general Estas son muchas entidades físicas o legales que el investigador estudia de acuerdo a su tarea. Esto a menudo es económicamente no rentable, y a veces imposible. En este sentido, solo se está estudiando parte de la población general. agregado selectivo .
Los resultados obtenidos sobre la base del agregado selectivo se pueden extender a la agguración general, si sigue los siguientes principios:
1. El conjunto selectivo debe determinarse al azar.
2. El número de unidades del agregado selectivo debe ser suficiente.
3. Debe proporcionado representatividad ( revisión) Muestreo. La muestra representativa es de un tamaño más pequeño, pero el modelo exacto de la población general, que debe reflejar.
Tipos de muestras
Los siguientes tipos de muestra se utilizan en la práctica:
a) En realidad, aleatorio, b) mecánico, c) típico, d) serial, e) combinado.
En realidad muestra la muestra aleatoria
Para muestra auto-al azar La selección de las unidades del agregado selectivo se produce al azar, por ejemplo, por medio de un sorteo o generador de números aleatorios.
Las muestras se repiten y se repiten. Cuando se muestra repetidamente, la unidad que cayó en la muestra se devuelve y ahorra una oportunidad misma para volver a entrar en la muestra. Con una muestra corpitiva, una unidad de una totalidad que cayó en la muestra no está involucrada en la muestra.
Erronnciado por observación selectiva, resultante del hecho de que el conjunto selectivo no reproduce completamente la población general, se llama errores estándar . Son una discrepancia cuadrática promedio entre los valores de los indicadores obtenidos por la muestra, y los valores correspondientes de los indicadores de la población general.
Las fórmulas calculadas del error estándar en caso de re-selección aleatoria son las siguientes:, y lo siguiente es como una selección de no cancelación aleatoria: 
donde S 2 es la dispersión del agregado selectivo, n / n -muestreo n, N.- El número de unidades en la población selectiva y general. Para n \u003d n. Error estándar m \u003d 0.
Muestra mecánica
Para Muestra mecánica El agregado general se divide en intervalos iguales y de cada intervalo se selecciona al azar en una unidad.
Por ejemplo, con una fracción del 2% de la muestra de la lista de la población general, se selecciona cada 50ª unidad.
El error de muestreo mecánico estándar se define como un error de un muestreo no accidental aleatorio.
Muestra típica
Para muestra típica El agregado general se divide en grupos típicos homogéneos, las unidades se seleccionan aleatoriamente de cada grupo.
La muestra típica se utiliza en el caso de una población general inhomogénica. La muestra típica proporciona resultados más precisos, porque se proporciona representatividad.
Por ejemplo, los maestros, como población general, se dividen en grupos sobre las siguientes características: género, experiencia, calificaciones, educación, ciudad y escuelas rurales, etc.
Los errores de muestreo típicos estándar se definen como errores de una muestra aleatoria, con la única diferencia que S 2.reemplazado con tamaño mediano de las dispersiones intragrupas.
Muestra serial
Para Muestra serial El agregado general se divide en grupos separados (serie), luego los grupos seleccionados al azar se someten a una observación sólida.
Los errores de muestreo serial estándar se definen como errores de una muestra aleatoria, con la única diferencia que S 2. Reemplazado con un promedio de dispersiones intergrupales.
Muestra combinada
Muestra combinada Es una combinación de dos o más tipos de muestras.
Punto estimado
El objetivo final de la observación selectiva es encontrar las características de la población general. Dado que es imposible hacerse directamente, las características de un conjunto selectivo propagado en la población general.
La posibilidad principal de determinar la población general aritmética promedio de acuerdo con la muestra promedio está probada teorema chebyshev. Con aumento ilimitado nORTE. La probabilidad de que la diferencia entre el promedio selectivo del promedio general sea pequeño, busque 1.
Esto significa que la característica de la población general con precisión. Esta evaluación se llama moteado .
Estimación de intervalo
La base de la estimación del intervalo es teorema del límite central..
Estimación de intervalo Le permite responder la pregunta: ¿En qué intervalo y con qué probabilidad son los desconocidos, el valor deseado del parámetro de población general?
Por lo general, habla de una probabilidad de confianza. pag. = 1 – A, con el que estará en el intervalo. – D.< < + D, где D = t krm\u003e 0 error máximo Muestras, a - nivel significativo (La probabilidad de que la desigualdad sea incorrecta), t kr - Valor crítico que depende de los valores. nORTE. y a. Con una pequeña muestra n< 30 t kr Establece el valor crítico de la distribución T de la bilateral para el crituración bilateral. nORTE. - 1 grados de libertad con un nivel de significación a ( t kr(n -1, a) se encuentra desde la "Distribución T Distribución T Crítica", Apéndice 2). Para n\u003e 30, t kr - Este es un cuantista de la Ley de Distribución Normal ( t kr Es de la tabla de los valores del Laplace F (T) \u003d (1 – a) / 2 como argumento). En P \u003d 0,954 valor crítico t kr \u003d 2 en P \u003d 0,997 valor crítico t kr \u003d 3. Esto significa que el error límite suele ser más que un error estándar 2-3 veces.
Por lo tanto, la esencia del método de muestreo es que, sobre la base de datos estadísticos, una pequeña parte de la población general, es posible encontrar un intervalo en el que con una probabilidad de confianza pag. Hay una característica deseada de la población general (el número promedio de trabajadores, el puntaje promedio, el rendimiento promedio, la desviación cuadrática promedio, etc.).
@ Tarea 1.Para determinar la tasa de cálculos con los acreedores de las empresas de corporación en el banco comercial, se realizó una muestra aleatoria de 100 documentos de pago, para los cuales el plazo de elevación promedio y la recepción del dinero fue igual a 22 días (\u003d 22) con un estándar desviación de 6 días (s \u003d 6). Con probabilidad pag. \u003d 0.954 Determine el límite del medio selectivo y el intervalo de confianza de la duración promedio de los asentamientos de las empresas de esta corporación.
Solución: Utilidad media selectiva(1) igualD \u003d 2· 0.6 \u003d 1.2, y el intervalo de confianza se define como (22 - 1.2; 22 + 1.2), es decir, (20.8; 23.2).
§6.5 Correlación y regresión.
