Progresiones aritméticas y geométricas.
Información teórica
Información teórica
Progresión geométrica |
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Definición |
Progresión aritmética un es una secuencia en la que cada miembro, comenzando por el segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número d (d- diferencia de progresión) |
Progresión geométrica bn es una secuencia de números distintos de cero, cada término del cual, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por el mismo número q (q- denominador de progresión) |
Fórmula de recurrencia |
Para cualquier natural norte |
Para cualquier natural norte |
Fórmula enésimo término |
un norte = un 1 + re (norte – 1) |
segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 , segundo norte ≠ 0 |
| Propiedad característica |  |
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| Suma de los primeros n términos |  |
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Ejemplos de tareas con comentarios.
Ejercicio 1
En progresión aritmética ( un) un 1 = -6, un 2
Según la fórmula del enésimo término:
un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 días
Por condición:
un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21 re .
Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:
re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Respuesta : un 22 = -48.
Tarea 2
Encuentra el quinto término de la progresión geométrica: -3; 6;....
1er método (usando la fórmula de n términos)
Según la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica:
segundo 5 = segundo 1 ∙ q 5 - 1 = segundo 1 ∙ q 4.
Porque segundo 1 = -3,
Segundo método (usando fórmula recurrente)
Como el denominador de la progresión es -2 (q = -2), entonces:
segundo 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
segundo 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
segundo 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Respuesta : segundo 5 = -48.
Tarea 3
En progresión aritmética ( un n ) un 74 = 34; un 76= 156. Encuentra el término septuagésimo quinto de esta progresión.
Para una progresión aritmética, la propiedad característica tiene la forma 
.
Por lo tanto:
.
Sustituyamos los datos en la fórmula:
Respuesta: 95.
Tarea 4
En progresión aritmética ( un norte ) un norte= 3n - 4. Encuentra la suma de los primeros diecisiete términos.
Para encontrar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se utilizan dos fórmulas:
.
cual esta en en este caso¿Más cómodo de usar?
Por condición, se conoce la fórmula para el enésimo término de la progresión original ( un) un= 3n - 4. Puedes encontrar inmediatamente y un 1, Y un 16 sin encontrar d. Por tanto, utilizaremos la primera fórmula.
Respuesta: 368.
Tarea 5
En progresión aritmética ( un) un 1 = -6; un 2= -8. Encuentra el vigésimo segundo término de la progresión.
Según la fórmula del enésimo término:
un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21 peniques.
Por condición, si un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21d . Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:
re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Respuesta : un 22 = -48.
Tarea 6
Se escriben varios términos consecutivos de la progresión geométrica:
Encuentra el término de la progresión indicada por x.
Al resolver, usaremos la fórmula para el enésimo término. segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 Para progresiones geométricas. El primer término de la progresión. Para encontrar el denominador de la progresión q, debes tomar cualquiera de los términos dados de la progresión y dividirlo por el anterior. En nuestro ejemplo, podemos tomar y dividir por. Obtenemos que q = 3. En lugar de n, sustituimos 3 en la fórmula, ya que es necesario encontrar el tercer término de una progresión geométrica dada.
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula, obtenemos:
.
Respuesta : .
Tarea 7
De las progresiones aritméticas dadas por la fórmula del enésimo término, seleccione aquella para la cual se cumple la condición un 27 > 9:
Dado que la condición dada debe cumplirse para el término 27 de la progresión, sustituimos 27 en lugar de n en cada una de las cuatro progresiones. En la cuarta progresión obtenemos:
.
Respuesta: 4.
Tarea 8
En progresión aritmética un 1= 3, d = -1,5. Especificar valor más alto n para el cual se cumple la desigualdad un > -6.
O la aritmética es un tipo de secuencia numérica ordenada, cuyas propiedades se estudian en un curso de álgebra escolar. Este artículo analiza en detalle la cuestión de cómo encontrar la suma de una progresión aritmética.
¿Qué tipo de progresión es esta?
Antes de pasar a la pregunta (cómo encontrar la suma de una progresión aritmética), conviene entender de qué estamos hablando.
Cualquier secuencia de números reales que se obtiene sumando (restando) algún valor de cada número anterior se llama progresión algebraica (aritmética). Esta definición, traducida al lenguaje matemático, toma la forma:
Aquí i está el número de serie del elemento de la fila a i. Por lo tanto, conociendo solo un número inicial, puede restaurar fácilmente toda la serie. El parámetro d en la fórmula se llama diferencia de progresión.
Se puede demostrar fácilmente que para la serie de números considerados se cumple la siguiente igualdad:
una norte = una 1 + d * (n - 1).
Es decir, para encontrar el valor del enésimo elemento en orden, debes sumar la diferencia d al primer elemento a 1 n-1 veces.
¿Cuál es la suma de una progresión aritmética: fórmula?
Antes de dar la fórmula para la cantidad indicada, conviene considerar un sencillo caso especial. La progresión está dada. números naturales Del 1 al 10, necesitas encontrar su suma. Como hay pocos términos en la progresión (10), es posible resolver el problema de frente, es decir, sumar todos los elementos en orden.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Una cosa que vale la pena considerar cosa interesante: dado que cada término difiere del siguiente por el mismo valor d = 1, entonces la suma por pares del primero con el décimo, el segundo con el noveno, y así sucesivamente dará mismo resultado. En realidad:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Como puedes ver, de estas sumas solo hay 5, es decir, exactamente dos veces menos que el número de elementos de la serie. Luego multiplicando el número de sumas (5) por el resultado de cada suma (11), llegarás al resultado obtenido en el primer ejemplo.
Si generalizamos estos argumentos, podemos escribir la siguiente expresión:
S norte = norte * (un 1 + un norte) / 2.
Esta expresión muestra que no es necesario sumar todos los elementos de una fila, basta con conocer el valor del primero a 1 y del último a n , así como numero total n términos.
Se cree que Gauss fue el primero en pensar en esta igualdad cuando buscaba una solución a un problema determinado. Profesor de escuela tarea: sumar los primeros 100 números enteros.
Suma de elementos de m a n: fórmula
La fórmula dada en el párrafo anterior responde a la pregunta de cómo encontrar la suma de una progresión aritmética (los primeros elementos), pero a menudo en los problemas es necesario sumar una serie de números en el medio de la progresión. ¿Cómo hacerlo?
La forma más sencilla de responder a esta pregunta es considerando el siguiente ejemplo: sea necesario encontrar la suma de términos del m-ésimo al n-ésimo. Para resolver el problema, debes presentar el segmento dado de ma n de la progresión en forma de una nueva serie numérica. De tal representación m-ésima el término a m será el primero, y an se numerará n-(m-1). En este caso, aplicando la fórmula estándar para la suma, se obtendrá la siguiente expresión:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Ejemplo de uso de fórmulas
Sabiendo cómo encontrar la suma de una progresión aritmética, vale la pena considerar un ejemplo simple del uso de las fórmulas anteriores.
A continuación se da secuencia numérica, debes encontrar la suma de sus términos, comenzando desde el 5 y terminando en el 12:
Los números dados indican que la diferencia d es igual a 3. Usando la expresión para el enésimo elemento, puedes encontrar los valores de los términos quinto y duodécimo de la progresión. Resulta:
un 5 = un 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
un 12 = un 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Conocer los valores de los números en los extremos del dado. progresión algebraica, y sabiendo además qué números de la fila ocupan, puedes utilizar la fórmula de la cantidad obtenida en el párrafo anterior. Resultará:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Vale la pena señalar que este valor podría obtenerse de otra manera: primero encuentre la suma de los primeros 12 elementos usando la fórmula estándar, luego calcule la suma de los primeros 4 elementos usando la misma fórmula, luego reste el segundo de la primera suma.
Suma de una progresión aritmética.
La suma de una progresión aritmética es algo simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. Desde básico hasta bastante sólido.
Primero, comprendamos el significado y la fórmula de la cantidad. Y luego decidiremos. Para su propio placer.) El significado de la cantidad es tan simple como un mugido. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesitas sumar cuidadosamente todos sus términos. Si estos términos son pocos, puede agregarlos sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho... la adición es molesta.) En este caso, la fórmula viene al rescate.
La fórmula para la cantidad es simple:
Averigüemos qué tipo de letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho las cosas.
sn - la suma de una progresión aritmética. Resultado de la suma todos miembros, con primero Por último. Es importante. Suman exactamente Todo miembros seguidos, sin saltar ni saltar. Y, precisamente, a partir de primero. En problemas como encontrar la suma de los términos tercero y octavo, o la suma de los términos quinto al vigésimo, la aplicación directa de la fórmula resultará decepcionante.)
un 1 - primero miembro de la progresión. Aquí todo está claro, es simple. primero numero de fila.
un- último miembro de la progresión. El último número de la serie. No es un nombre muy familiar, pero aplicado a la cantidad, resulta muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.
norte - número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de términos añadidos.
Definamos el concepto último miembro un. Pregunta capciosa: ¿qué miembro será el último si se da sin fin¿progresión aritmética?)
Para responder con seguridad, es necesario comprender el significado elemental de la progresión aritmética y... ¡leer la tarea con atención!)
En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética, siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debería ser limitado. De lo contrario, una cantidad final y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa si la progresión es dada: finita o infinita. No importa cómo se dé: una serie de números o una fórmula para el enésimo término.
Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el término con número norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula es el siguiente: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, es decir norte, está determinado únicamente por la tarea. En una tarea, toda esta valiosa información suele estar cifrada, sí... Pero no importa, en los ejemplos siguientes desvelamos estos secretos.)
Ejemplos de tareas sobre la suma de una progresión aritmética.
En primer lugar, informacion util:
La principal dificultad en las tareas que implican la suma de una progresión aritmética es definición correcta elementos de la fórmula.
Los redactores de las tareas cifran estos mismos elementos con una imaginación ilimitada). Lo principal aquí es no tener miedo. Para comprender la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Veamos algunos ejemplos en detalle. Empecemos con una tarea basada en un GIA real.
1. La progresión aritmética viene dada por la condición: a n = 2n-3,5. Encuentra la suma de sus primeros 10 términos.
Buen trabajo. Fácil.) Para determinar la cantidad usando la fórmula, ¿qué necesitamos saber? Primer miembro un 1, ultimo plazo un, sí el número del último miembro norte.
¿Dónde puedo conseguir el número del último miembro? norte? Sí, ahí mismo, ¡con condición! Dice: encuentra la suma. primeros 10 miembros. Bueno, ¿con qué número será? último, décimo miembro?) No lo creerás, ¡su número es el décimo!) Por lo tanto, en lugar de un Sustituiremos en la fórmula. un 10, y en cambio norte- diez. Repito, el número del último integrante coincide con el número de integrantes.
Queda por determinar un 1 Y un 10. Esto se calcula fácilmente utilizando la fórmula para el enésimo término, que se proporciona en el planteamiento del problema. ¿No sabes cómo hacer esto? Asiste a la lección anterior, sin esta no hay manera.
un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
un 10=2·10 - 3,5 =16,5
sn = S 10.
Hemos descubierto el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Sólo queda sustituirlos y contar:
Eso es todo. Respuesta: 75.
Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:
2. Dada una progresión aritmética (an), cuya diferencia es 3,7; a 1 = 2,3. Encuentra la suma de sus primeros 15 términos.
Inmediatamente escribimos la fórmula de la suma:
Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier término por su número. Buscamos una sustitución simple:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Queda por sustituir todos los elementos en la fórmula de la suma de una progresión aritmética y calcular la respuesta:
Respuesta: 423.
Por cierto, si en la fórmula de suma en lugar de un Simplemente sustituimos la fórmula por el enésimo término y obtenemos:
Presentemos otros similares y obtengamos una nueva fórmula para la suma de términos de una progresión aritmética:
 |
Como puedes ver, aquí no es necesario. enésimo término un. En algunos problemas esta fórmula ayuda mucho, sí... Puedes recordar esta fórmula. O simplemente puedes mostrarlo en el momento adecuado, como aquí. Después de todo, siempre es necesario recordar la fórmula de la suma y la fórmula del enésimo término).
Ahora la tarea en forma de cifrado breve):
3. Encuentra la suma de todos los positivos. números de dos dígitos, múltiplos de tres.
¡Guau! Ni tu primer integrante, ni el último, ni progresión alguna... ¿¡Cómo vivir!?
Tendrás que pensar con la cabeza y sacar de la condición todos los elementos de la suma de la progresión aritmética. Sabemos qué son los números de dos cifras. Consisten en dos números.) ¿Qué número de dos dígitos será primero? 10, presumiblemente). última cosa número de dos dígitos? ¡99, por supuesto! Los de tres dígitos lo seguirán...
Múltiplos de tres... Hm... ¡Estos son números que son divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible... 12... ¡es divisible! Entonces algo está surgiendo. Ya puedes anotar una serie según las condiciones del problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Ciertamente! Cada término se diferencia del anterior estrictamente en tres. Si sumas 2 o 4 a un término, digamos, el resultado, es decir el nuevo número ya no es divisible por 3. Puedes determinar inmediatamente la diferencia de la progresión aritmética: re = 3.¡Sera util!)
Entonces, podemos anotar con seguridad algunos parámetros de progresión:
¿Cuál será el número? norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que el 99 está fatalmente equivocado... Los números siempre van seguidos, pero nuestros miembros saltan por encima del tres. No coinciden.
Hay dos soluciones aquí. Una forma es para los súper trabajadores. Puede escribir la progresión, la serie completa de números y contar el número de miembros con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Debes recordar la fórmula para el enésimo término. Si aplicamos la fórmula a nuestro problema, encontramos que 99 es el trigésimo término de la progresión. Aquellos. norte = 30.
Veamos la fórmula para la suma de una progresión aritmética:
Miramos y nos regocijamos). Sacamos del planteamiento del problema todo lo necesario para calcular la cantidad:
un 1= 12.
un 30= 99.
sn = S 30.
Todo lo que queda es aritmética elemental. Sustituimos los números en la fórmula y calculamos:
Respuesta: 1665
Otro tipo de rompecabezas popular:
4. Dada una progresión aritmética:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Encuentra la suma de términos del vigésimo al treinta y cuatro.
Miramos la fórmula de la cantidad y... nos enojamos.) La fórmula, permítanme recordarles, calcula la cantidad. desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el veinte... La fórmula no funcionará.
Por supuesto, puedes escribir toda la progresión en una serie y agregar términos del 20 al 34. Pero... es algo estúpido y lleva mucho tiempo, ¿verdad?)
Hay una solución más elegante. Dividamos nuestra serie en dos partes. La primera parte será desde el primer mandato hasta el decimonoveno. Segunda parte - de veinte a treinta y cuatro. Está claro que si calculamos la suma de los términos de la primera parte T 1-19, sumémoslo con la suma de los términos de la segunda parte T 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer término hasta el trigésimo cuarto T 1-34. Como esto:
T 1-19 + T 20-34 = T 1-34
De esto podemos ver que encuentra la suma. T 20-34 se puede hacer con una simple resta
T 20-34 = T 1-34 - T 1-19
Se consideran ambas cantidades del lado derecho desde el principio miembro, es decir la fórmula de suma estándar es bastante aplicable a ellos. ¿Empecemos?
Extraemos los parámetros de progresión del planteamiento del problema:
re = 1,5.
un 1= -21,5.
Para calcular las sumas de los primeros 19 y 34 términos, necesitaremos los términos 19 y 34. Los calculamos usando la fórmula del enésimo término, como en el problema 2:
un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
No queda nada. De la suma de 34 términos resta la suma de 19 términos:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Respuesta: 262,5
¡Una nota importante! Existe un truco muy útil para solucionar este problema. En lugar de cálculo directo lo que necesitas (S 20-34), contamos algo que parecería no ser necesario - S 1-19. Y luego determinaron T 20-34, descartando lo innecesario del resultado completo. Este tipo de “finta con los oídos” a menudo te salva de problemas complicados.)
En esta lección analizamos problemas para los que basta con comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas conocer un par de fórmulas).
Al resolver cualquier problema que involucre la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente las dos fórmulas principales de este tema.
Fórmula para el enésimo término:
Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar y en qué dirección pensar para resolver el problema. Ayuda.
Y ahora las tareas para solución independiente.
5. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.
¿Genial?) La pista está oculta en la nota del problema 4. Bueno, el problema 3 ayudará.
6. La progresión aritmética viene dada por la condición: a 1 = -5,5; un norte+1 = un norte +0,5. Encuentra la suma de sus primeros 24 términos.
¿Inusual?) Esta es una fórmula recurrente. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el vínculo, este tipo de problemas se encuentran a menudo en la Academia Estatal de Ciencias.
7. Vasya ahorró dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a mi persona favorita (yo mismo) unos días de felicidad). Vive bellamente sin negarte nada. ¡Gasta 500 rublos el primer día y cada día siguiente gasta 50 rublos más que el anterior! Hasta que se acabe el dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?
¿Difícil?) Una fórmula adicional de la tarea 2 ayudará.
Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.
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Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
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