La videolección “Periodicidad de funciones y = sin x, y = cos x” revela el concepto de periodicidad de una función, considera una descripción de ejemplos de resolución de problemas en los que se utiliza el concepto de periodicidad de una función. Este vídeotutorial es ayuda visual para explicar el tema a los estudiantes. Además, este manual puede convertirse en una parte independiente de la lección, liberando al profesor para realizar un trabajo individual con los estudiantes.
La visibilidad en la presentación de este tema es muy importante. Para representar el comportamiento de una función, graficarla, es necesario visualizarla. No siempre es posible realizar construcciones utilizando pizarra y tiza de tal forma que sean comprensibles para todos los alumnos. En el video tutorial, es posible resaltar partes del dibujo con color durante la construcción y realizar transformaciones mediante animación. De este modo, las construcciones se vuelven más comprensibles para la mayoría de los estudiantes. Además, las funciones de las lecciones en vídeo contribuyen a una mejor memorización del material.
La demostración comienza presentando el tema de la lección, además de recordar a los estudiantes el material aprendido en lecciones anteriores. En particular, se resume la lista de propiedades que se identificaron en las funciones y = sen x, así como y = cos x. Entre las propiedades de las funciones consideradas, se destacan el dominio de definición, el rango de valores, la paridad (rareza) y otras características: acotación, monotonicidad, continuidad, puntos de menor (mayor) valor. Se informa a los estudiantes que Esta lección Se estudia otra propiedad de la función: la periodicidad.
Se presenta la definición de una función periódica y=f(x), donde xϵX, en la que se cumple la condición f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) para algunos Т≠0. De lo contrario, el número T se llama período de la función.
Para las funciones seno y coseno consideradas, el cumplimiento de la condición se verifica mediante fórmulas de reducción. Es obvio que la forma de la identidad sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) corresponde a la forma de la expresión que define la condición de periodicidad de la función. La misma igualdad se puede observar para coseno cos(x-2π)= cos x= cos (x+2π). Entonces los datos funciones trigonométricas son periódicos.
Además, se observa cómo la propiedad de la periodicidad ayuda a construir gráficas de funciones periódicas. Se considera la función y = sen x. La pantalla se está construyendo. Plano coordinado, en el que las abscisas están marcadas desde -6π hasta 8π en incrementos de π. Una parte del gráfico del seno se traza en el plano, representada por una onda en el segmento. La figura demuestra cómo se forma la gráfica de una función en todo el dominio de definición desplazando el fragmento construido, lo que da como resultado una sinusoide larga.
Se construye una gráfica de la función y = cos x utilizando la propiedad de su periodicidad. Para hacer esto, se construye un plano de coordenadas en la figura, en el que se representa un fragmento del gráfico. Cabe señalar que dicho fragmento suele construirse en el segmento [-π/2;3π/2]. De manera similar a la gráfica de la función seno, la construcción de la gráfica del coseno se realiza desplazando el fragmento. Como resultado de la construcción, se forma una larga sinusoide.
Graficar una función periódica tiene características que se pueden utilizar. Por lo tanto se dan en forma generalizada. Cabe señalar que para construir una gráfica de dicha función, primero se construye una rama de la gráfica en un cierto intervalo de longitud T. Luego es necesario desplazar la rama construida hacia la derecha y hacia la izquierda en T, 2T, 3T, etc. Al mismo tiempo, se señala otra característica del período: para cualquier número entero k≠0, el número kT es también el período de la función. Sin embargo, a T se le llama período principal, ya que es el más pequeño de todos. Para las funciones trigonométricas seno y coseno, el período básico es 2π. Sin embargo, los periodos también son 4π, 6π, etc.
A continuación, se propone considerar encontrar el período principal de la función y = cos 5x. La solución comienza con el supuesto de que T es el período de la función. Esto significa que se debe cumplir la condición f(x-T)= f(x)= f(x+T). En esta identidad, f(x)= cos 5x, y f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). En este caso, cos (5x+5T)= cos 5x, por lo tanto 5T=2πn. Ahora puedes encontrar T=2π/5. El problema esta resuelto.
En el segundo problema, necesitas encontrar el período principal de la función y=sin(2x/7). Se supone que el período principal de la función T para una función dada es f(x)= sin(2x/7), y después de un período f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = pecado(2x/7 +(2/7)T). después de la reducción obtenemos (2/7)Т=2πn. Sin embargo, necesitamos encontrar el período principal, por lo que tomamos el valor más pequeño (2/7)T=2π, del cual encontramos T=7π. El problema esta resuelto.
Al final de la demostración, los resultados de los ejemplos se resumen para formar una regla para determinar el período básico de la función. Cabe señalar que para las funciones y=sinkx e y=coskx los períodos principales son 2π/k.
La lección en video “Periodicidad de las funciones y = sin x, y = cos x” se puede utilizar en una lección de matemáticas tradicional para aumentar la efectividad de la lección. Este material también se recomienda para que lo utilicen los profesores que implementan la educación a distancia para mejorar la claridad de la explicación. El video se puede recomendar a un estudiante con dificultades para profundizar su comprensión del tema.
DECODIFICACIÓN DE TEXTO:
"Periodicidad de las funciones y = cos x, y = sen x".
Para construir gráficas de las funciones y = sin x e y = cos x, se utilizaron las propiedades de las funciones:
1 área de definición,
2 áreas de valor,
3 pares o impares,
4 monotonía,
5 limitación,
6 continuidad,
7 valor más alto y más bajo.
Hoy estudiaremos otra propiedad: la periodicidad de una función.
DEFINICIÓN. La función y = f (x), donde x ϵ X (en griego es igual a ef de x, donde x pertenece al conjunto x), se llama periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x de en el conjunto X se cumple la doble igualdad: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff de x menos te es igual a ef de x e igual a ef de x más te). El número T que satisface esta doble igualdad se llama período de la función.
Y dado que el seno y el coseno están definidos en toda la recta numérica y para cualquier x se satisfacen las igualdades sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) (el seno de x menos dos pi es igual al seno de x e igual al seno de x más dos pi ) y
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (el coseno de x menos dos pi es igual al coseno de x e igual al coseno de x más dos pi), entonces el seno y el coseno son funciones periódicas con un período de 2π.
La periodicidad le permite construir rápidamente una gráfica de una función. De hecho, para construir una gráfica de la función y = sin x, es suficiente trazar una onda (la mayoría de las veces en un segmento (de cero a dos pi), y luego desplazar la parte construida de la gráfica a lo largo de la x -eje hacia la derecha y hacia la izquierda en 2π, luego en 4π y así sucesivamente para obtener una onda sinusoidal.
(muestra desplazamiento hacia la derecha e izquierda en 2π, 4π)
Lo mismo ocurre con la gráfica de la función
y = cos x, pero la mayoría de las veces construimos una onda en el segmento [; ] (de menos pi sobre dos a tres pi sobre dos).
Resumamos lo anterior y saquemos una conclusión: para construir una gráfica de una función periódica con un período T, primero debe construir una rama (u onda, o parte) de la gráfica en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces esto es un intervalo con extremos en los puntos 0 y T o - y (menos te por dos y te por dos), y luego mueve esta rama a lo largo del eje x(x) hacia la derecha y hacia la izquierda por T, 2T, 3T, etc.
Obviamente, si una función es periódica con período T, entonces para cualquier número entero k0 (ka distinto de cero) un número de la forma kT (ka te) es también el período de esta función. Por lo general, intentan aislar el período positivo más pequeño, que se denomina período principal.
Como período de las funciones y = cos x, y = sen x, se podría tomar - 4π, 4π, - 6π, 6π, etc. (menos cuatro pi, cuatro pi, menos seis pi, seis pi, etc.) . Pero el número 2π es el período principal de ambas funciones.
Veamos ejemplos.
EJEMPLO 1. Encuentra el período principal de la función y = cos5x (la y es igual al coseno de cinco x).
Solución. Sea T el período principal de la función y = cos5x. Pongamos
f (x) = cos5x, entonces f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (efecto de x más te es igual al coseno de cinco multiplicado por la suma de x y te es igual al coseno de la suma de cinco x y cinco te).
porque (5x + 5T) = cos5x. Por lo tanto, 5T = 2πn (cinco te equivalen a dos pi en), pero según la condición es necesario encontrar el período principal, lo que significa 5T = 2π. Obtenemos T=
(el período de esta función es dos pi dividido por cinco).
Respuesta: T=.
EJEMPLO 2. Encuentra el período principal de la función y = sin (la y es igual al seno del cociente de dos x entre siete).
Solución. Sea T el período principal de la función y = sin. Pongamos
f (x) = sin, entonces f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef de x más te es igual al seno del producto de dos séptimos y la suma de x y te es igual al seno de la suma de dos séptimos x y dos séptimos te).
Para que el número T sea el período de la función, se debe satisfacer la identidad
pecado (x + T) = pecado. Por lo tanto T= 2πn (dos séptimos te es igual a dos pi en), pero de acuerdo con la condición es necesario encontrar el período principal, lo que significa T= 2π. Obtenemos T=7
(el período de esta función es siete pi).
Respuesta: T=7.
Resumiendo los resultados obtenidos en los ejemplos, podemos concluir: el período principal de las funciones y = sin kx o y = cos kx (y es igual al seno ka x o y es igual al coseno ka x) es igual a (dos pi dividido por ka).
Argumento x, entonces se llama periódico si existe un número T tal que para cualquier x F(x + T) = F(x). Este número T se llama período de la función.
Puede haber varios períodos. Por ejemplo, la función F = const toma el mismo valor para cualquier valor del argumento y, por lo tanto, cualquier número puede considerarse su período.
Por lo general, le interesa el período más pequeño distinto de cero de una función. Por brevedad, se le llama simplemente punto.
Un ejemplo clásico de funciones periódicas es la trigonométrica: seno, coseno y tangente. Su período es el mismo e igual a 2π, es decir, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) y así sucesivamente. Sin embargo, por supuesto, las funciones trigonométricas no son las únicas periódicas.
Para funciones básicas y simples, la única forma de determinar si son periódicas o no periódicas es mediante el cálculo. Pero para funciones complejas ya hay varios reglas simples.
Si F(x) tiene un período T y se define una derivada para ella, entonces esta derivada f(x) = F′(x) también es una función periódica con un período T. Después de todo, el valor de la derivada en el punto x es igual a la tangente del ángulo tangente de la gráfica de su antiderivada en este punto al eje x, y dado que la antiderivada se repite periódicamente, la derivada también debe repetirse. Por ejemplo, la derivada de la función sin(x) es igual a cos(x) y es periódica. Tomando la derivada de cos(x) se obtiene –sin(x). La frecuencia permanece sin cambios.
Sin embargo, lo contrario no siempre es cierto. Por tanto, la función f(x) = const es periódica, pero su primitiva F(x) = const*x + C no lo es.
Si F(x) es una función periódica con período T, entonces G(x) = a*F(kx + b), donde a, byk son constantes y k no es igual a cero, también es una función periódica , y su periodo es T/k. Por ejemplo, sin(2x) es una función periódica y su período es π. Esto se puede representar visualmente de la siguiente manera: al multiplicar x por algún número, parece que se comprime la gráfica de la función horizontalmente exactamente esa misma cantidad de veces.
Si F1(x) y F2(x) son funciones periódicas y sus períodos son iguales a T1 y T2, respectivamente, entonces la suma de estas funciones también puede ser periódica. Sin embargo, su período no será una simple suma de los períodos T1 y T2. Si el resultado de la división T1/T2 es un número racional, entonces la suma de las funciones es periódica y su período es igual al mínimo común múltiplo (MCM) de los períodos T1 y T2. Por ejemplo, si el período de la primera función es 12 y el período de la segunda es 15, entonces el período de su suma será igual al mcm (12, 15) = 60.
Esto se puede representar visualmente de la siguiente manera: las funciones vienen con diferentes "anchos de paso", pero si la relación de sus anchos es racional, tarde o temprano (o más bien, precisamente a través del MCM de los pasos), volverán a ser iguales, y su suma comenzará a nuevo periodo.
Sin embargo, si la relación de períodos es irracional, entonces la función total no será periódica en absoluto. Por ejemplo, sea F1(x) = x mod 2 (el resto cuando x se divide por 2) y F2(x) = sin(x). T1 aquí será igual a 2 y T2 será igual a 2π. La proporción de períodos es igual a π, un número irracional. Por tanto, la función sin(x) + x mod 2 no es periódica.
>> Periodicidad de funciones y = sen x, y = cos x
§ 11. Periodicidad de las funciones y = sin x, y = cos x
En los párrafos anteriores utilizamos siete propiedades de las funciones: dominio, par o impar, monotonicidad, acotación, mayor y valor más pequeño, continuidad, rango de función. Usamos estas propiedades para construir la gráfica de una función (esto sucedió, por ejemplo, en el § 9) o para leer la gráfica construida (esto sucedió, por ejemplo, en el § 10). Ahora ha llegado el momento oportuno para introducir otra (octava) propiedad de las funciones, que es claramente visible en las gráficas de las funciones y = sin x (ver Fig. 37), y = cos x (ver Fig. 41) construidas arriba.
Definición. Una función se llama periódica si hay un número T distinto de cero tal que para cualquier x en los conjuntos se cumple la doble igualdad:
El número T que satisface la condición especificada se llama período de la función y = f(x).
De ello se deduce que, dado que para cualquier x las igualdades son válidas:
entonces las funciones y = sin x, y = cos x son periódicas y el número es 2 PAG sirve como período para ambas funciones.
La periodicidad de una función es la octava propiedad prometida de las funciones.
Ahora mira la gráfica de la función y = sen x (Fig. 37). Para construir una onda sinusoidal, basta con trazar una de sus ondas (en un segmento y luego desplazar esta onda a lo largo del eje x. Como resultado, usando una onda construiremos el gráfico completo.
Miremos desde el mismo punto de vista la gráfica de la función y = cos x (Fig. 41). Vemos que aquí, para trazar un gráfico, basta con trazar primero una onda (por ejemplo, en el segmento
Y luego muévalo a lo largo del eje x por
Resumiendo, llegamos a la siguiente conclusión.
Si la función y = f(x) tiene un período T, entonces para construir una gráfica de la función primero debes construir una rama (onda, parte) de la gráfica en cualquier intervalo de longitud T (la mayoría de las veces toma un intervalo con extremos en puntos y luego mueva esta rama a lo largo del eje x hacia la derecha y hacia la izquierda a T, 2T, ZT, etc.
Una función periódica tiene infinitos períodos: si T es un período, entonces 2T es un período, ZT es un período y -T es un período; En general, un período es cualquier número de la forma KT, donde k = ±1, ±2, ± 3... Generalmente se intenta, si es posible, aislar el período positivo más pequeño, se llama período principal.
Entonces, cualquier número de la forma 2pk, donde k = ±1, ± 2, ± 3, es el período de las funciones y = sinn x, y = cos x; 2n es el período principal de ambas funciones.
Ejemplo. Encuentra el período principal de la función:
a) Sea T el período principal de la función y = sen x. Pongamos
Para que el número T sea un período de una función, la identidad Pero, como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos
b) Sea T el periodo principal de la función y = cos 0,5x. Pongamos f(x)=cos 0.5x. Entonces f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).
Para que el número T sea un período de la función, debe cumplirse la identidad cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
Esto significa 0,5t = 2pp. Pero, como estamos hablando de encontrar el período principal, obtenemos 0,5T = 2 l, T = 4 l.
La generalización de los resultados obtenidos en el ejemplo es la siguiente afirmación: el período principal de la función 
A.G. Álgebra de Mordkovich décimo grado
Contenido de la lección notas de la lección marco de soporte presentación de la lección métodos de aceleración tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios talleres de autoevaluación, capacitaciones, casos, misiones preguntas de discusión de tareas preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, videoclips y fotografías multimedia, imágenes, gráficos, tablas, diagramas, humor, anécdotas, chistes, historietas, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos consejos para los curiosos hojas de cuna libros de texto diccionario de términos básico y adicional otros Mejorar los libros de texto y las lecciones. corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento del libro de texto elementos de innovación en la lección reemplazar conocimientos obsoletos por otros nuevos Sólo para profesores Plan de calendario de lecciones ideal para el año. pautas programas de discusión Lecciones integradasEn julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un medio electrónico con los nombres de todos los participantes registrados en la expedición.
La inscripción de participantes está abierta. Consigue tu billete a Marte utilizando este enlace.
Si esta publicación resolvió tu problema o simplemente te gustó, comparte el enlace con tus amigos en las redes sociales.
Una de estas opciones de código debe copiarse y pegarse en el código de su página web, preferiblemente entre etiquetas o inmediatamente después de la etiqueta. Según la primera opción, MathJax se carga más rápido y ralentiza menos la página. Pero la segunda opción monitorea y carga automáticamente las últimas versiones de MathJax. Si inserta el primer código, deberá actualizarlo periódicamente. Si inserta el segundo código, las páginas se cargarán más lentamente, pero no necesitará monitorear constantemente las actualizaciones de MathJax.
La forma más sencilla de conectar MathJax es en Blogger o WordPress: en el panel de control del sitio, agregue un widget diseñado para insertar código JavaScript de terceros, copie la primera o segunda versión del código de descarga presentado anteriormente y coloque el widget más cerca. al principio de la plantilla (por cierto, esto no es necesario en absoluto, ya que el script MathJax se carga de forma asincrónica). Eso es todo. Ahora aprenda la sintaxis de marcado de MathML, LaTeX y ASCIIMathML y estará listo para insertar fórmulas matemáticas en las páginas web de su sitio.
Otra Nochevieja... clima helado y copos de nieve en el cristal de la ventana... Todo esto me impulsó a escribir nuevamente sobre... fractales y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. Hay un artículo interesante sobre este tema, que contiene ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí veremos más ejemplos complejos fractales tridimensionales.
Un fractal se puede representar (describir) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la propia figura original. Es decir, se trata de una estructura autosimilar, cuyos detalles, al ampliarla, veremos la misma forma que sin ampliación. Mientras que en el caso de los ordinarios figura geométrica(no es un fractal), al hacer zoom veremos detalles que tienen más forma simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que se repetirá una y otra vez con cada aumento.
Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, escribió en su artículo Fractales y arte en nombre de la ciencia: “Los fractales son formas geométricas, que son igualmente complejos en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte de un fractal se amplía al tamaño del todo, aparecerá como el todo, ya sea exactamente o quizás con una ligera deformación".
