Para expresar una parte como fracción del todo, es necesario dividir la parte en el todo.
Tarea 1. Hay 30 estudiantes en la clase, cuatro están ausentes. ¿Qué proporción de estudiantes están ausentes?
Solución:
Respuesta: No hay estudiantes en la clase.
Encontrar una fracción de un número
Resolver problemas en los que es necesario encontrar una parte de un todo que sea justa. siguiente regla:
Si una parte de un todo se expresa como una fracción, entonces para encontrar esta parte, puedes dividir el todo por el denominador de la fracción y multiplicar el resultado por su numerador.
Tarea 1. Había 600 rublos, esta cantidad se gastó. ¿Cuánto dinero gastaste?
Solución: Para encontrar 600 rublos o más, debemos dividir esta cantidad en 4 partes, así sabremos cuánto dinero es una cuarta parte:
600: 4 = 150 (r.)
Respuesta: Gasté 150 rublos.
Tarea 2. Había 1000 rublos, esta cantidad se gastó. ¿Cuánto dinero se gastó?
Solución: Del planteamiento del problema sabemos que 1000 rublos constan de cinco partes iguales. Primero, encontremos cuántos rublos son un quinto de 1000, y luego averiguaremos cuántos rublos son dos quintos:
1) 1000: 5 = 200 (r.) - una quinta parte.
2) 200 · 2 = 400 (r.) - dos quintos.
Estas dos acciones se pueden combinar: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).
Respuesta: Se gastaron 400 rublos.
La segunda forma de encontrar una parte de un todo:
Para encontrar una parte de un todo, puedes multiplicar el todo por la fracción que expresa esa parte del todo.
Tarea 3. Según los estatutos de la cooperativa, para que la reunión de presentación de informes sea válida, deben estar presentes al menos al menos miembros de la organización. La cooperativa tiene 120 miembros. ¿Qué composición puede tener una reunión de presentación de informes?
Solución: 
Respuesta: la reunión de presentación de informes puede tener lugar si hay 80 miembros de la organización.
Encontrar un número por su fracción
Para resolver problemas en los que es necesario encontrar un todo a partir de su parte, se aplica la siguiente regla:
Si parte del todo deseado se expresa como una fracción, entonces, para encontrar este todo, puedes dividir esta parte por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por su denominador.
Tarea 1. Gastamos 50 rublos, menos que la cantidad original. Encuentra la cantidad de dinero original.
Solución: De la descripción del problema vemos que 50 rublos es 6 veces menos que la cantidad original, es decir, la cantidad original es 6 veces más que 50 rublos. Para encontrar esta cantidad, debes multiplicar 50 por 6:
50 · 6 = 300 (r.)
Respuesta: la cantidad inicial es de 300 rublos.
Tarea 2. Gastamos 600 rublos, menos que la cantidad de dinero original. Encuentra la cantidad original.
Solución: Supondremos que el número requerido consta de tres tercios. Según la condición, dos tercios de la cantidad equivalen a 600 rublos. Primero, encontremos un tercio de la cantidad original y luego cuántos rublos son tres tercios (la cantidad original):
1) 600: 2 3 = 900 (r.)
Respuesta: la cantidad inicial es de 900 rublos.
La segunda forma de encontrar un todo a partir de su parte:
Para encontrar un entero por el valor que expresa su parte, puedes dividir este valor por la fracción que expresa esta parte.
Tarea 3. Segmento de línea AB, igual a 42 cm, es la longitud del segmento CD. Encuentra la longitud del segmento. CD.
Solución: 
Respuesta: longitud del segmento CD 70cm.
Tarea 4. Trajeron sandías a la tienda. Antes del almuerzo, la tienda vendió las sandías que trajo y después del almuerzo quedaban 80 sandías para vender. ¿Cuántas sandías trajiste a la tienda?
Solución: Primero, averigüemos qué parte de las sandías traídas es el número 80. Para hacer esto, tomemos el número total de sandías traídas como uno y restemos el número de sandías que se vendieron (vendieron):
Y así supimos que 80 sandías componen el número total de sandías traídas. Ahora averiguamos cuántas sandías hay de la cantidad total, y luego cuántas sandías hay (la cantidad de sandías traídas):
2) 80: 4 15 = 300 (sandías)
Respuesta: En total, se llevaron a la tienda 300 sandías.
Contenido de la lecciónSumar fracciones con denominadores iguales
Hay dos tipos de suma de fracciones:
- Sumar fracciones con denominadores iguales;
- Sumar fracciones con diferentes denominadores.
Primero, estudiemos la suma de fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios.
Por ejemplo, sumemos las fracciones y . Suma los numeradores y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si agregas pizza a pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2. Suma fracciones y .
La respuesta no fue fracción adecuada. Cuando llega el final de la tarea, se acostumbra deshacerse de las fracciones impropias. Para deshacerse de una fracción impropia, debes seleccionar la parte completa. En nuestro caso, toda la parte se puede aislar fácilmente: dos divididos por dos serán uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos una pizza que está dividida en dos partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes una pizza entera:
Ejemplo 3. Suma fracciones y .
Nuevamente sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si agregas más pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, no hay nada complicado en sumar fracciones con el mismo denominador. Basta entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios;
Sumar fracciones con diferentes denominadores
Ahora aprendamos a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de las fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar de inmediato, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy veremos sólo uno de ellos, ya que los demás métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método es que primero se busca el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego, el MCM se divide por el denominador de la primera fracción para obtener el primer factor adicional. Se hace lo mismo con la segunda fracción: el MCM se divide por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones.
Ejemplo 1. Sumemos las fracciones y
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, divide el MCM por el denominador de la primera fracción y obtén el primer factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Dividimos 6 entre 3 y obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer multiplicador adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, traza una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribe el factor adicional que se encuentra encima:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Dividimos 6 entre 2 y obtenemos 3.
El número 3 resultante es el segundo multiplicador adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, trazamos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y anotamos el factor adicional que se encuentra encima:
Ahora tenemos todo listo para sumar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales:
Mire atentamente a dónde hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Esto completa el ejemplo. Resulta sumar .
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si agregas pizza a una pizza, obtienes una pizza entera y otra sexta parte de una pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo las fracciones y a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por los mismos trozos de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo representa una fracción (cuatro piezas de seis) y el segundo dibujo representa una fracción (tres piezas de seis). Sumando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es impropia, por eso resaltamos la parte completa. Como resultado, obtuvimos (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos descrito este ejemplo con demasiado detalle. EN Instituciones educacionales No es costumbre escribir con tanto detalle. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también hay parte trasera medallas. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces empiezan a aparecer preguntas de este tipo. “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puedes utilizar las siguientes instrucciones paso a paso:
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción;
- Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tengan los mismos denominadores;
- Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
.
Utilicemos las instrucciones dadas anteriormente.
Paso 1. Encuentra el MCM de los denominadores de las fracciones.
Encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4.
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un factor adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2 y obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 entre 3 y obtenemos 4. Obtenemos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4 y obtenemos 3. Obtenemos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de las fracciones por sus factores adicionales.
Multiplicamos los numeradores y denominadores por sus factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones con los mismos denominadores
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Ya sólo queda sumar estas fracciones. Agrégalo:
La suma no cabía en una línea, por lo que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se pasa a la siguiente línea, y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio de la nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que se trata de una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, seleccione la parte completa.
Nuestra respuesta resultó ser una fracción impropia. Tenemos que resaltar toda una parte de ello. Resaltamos:
Recibimos una respuesta
Restar fracciones con denominadores iguales
Hay dos tipos de resta de fracciones:
- Restar fracciones con denominadores iguales
- Restar fracciones con diferentes denominadores
Primero, aprendamos a restar fracciones con denominadores similares. Aquí todo es sencillo. Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción, pero dejar el mismo denominador.
Por ejemplo, encontremos el valor de la expresión. Para resolver este ejemplo, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, resta el numerador de la segunda fracción y deja el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si recordamos la pizza, que está dividida en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción debes restar los numeradores de las fracciones restantes:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Basta entender las siguientes reglas:
- Para restar otra de una fracción, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador sin cambios;
- Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, entonces debes resaltar la parte completa.
Restar fracciones con diferentes denominadores
Por ejemplo, puedes restar una fracción de una fracción porque las fracciones tienen los mismos denominadores. Pero no se puede restar una fracción de una fracción, ya que estas fracciones tienen denominadores diferentes. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra usando el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe encima de la primera fracción. De manera similar, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, que se escribe encima de la segunda fracción.
Luego las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones.
Ejemplo 1. Encuentra el significado de la expresión:
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes reducirlas al mismo denominador (común).
Primero encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divide 12 entre 3 y obtenemos 4. Escribe un cuatro encima de la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divide 12 entre 4 y obtenemos 3. Escribe un tres sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Llevemos este ejemplo hasta el final:
Recibimos una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando un dibujo. Si cortas pizza de una pizza, obtienes pizza.
Esta es la versión detallada de la solución. Si estuviéramos en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo en menos tiempo. Una solución de este tipo se vería así:
La reducción de fracciones a un denominador común también se puede representar mediante una imagen. Reduciendo estas fracciones a un denominador común, obtuvimos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez divididas en partes iguales (reducidas al mismo denominador):
La primera imagen muestra una fracción (ocho piezas de doce) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes reducirlas al mismo denominador (común).
Encontremos el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, divide el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la primera fracción es el número 10. Dividimos 30 entre 10 y obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos encima de la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 30 entre 3 y obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos encima de la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30 y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividimos 30 entre 5 y obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos encima de la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que fracciones que tenían diferentes denominadores se convertían en fracciones que tenían los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar esas fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que la movemos a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción regular, y todo parece convenirnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más sencillo. ¿Qué se puede hacer? Puedes acortar esta fracción.
Para reducir una fracción, debes dividir su numerador y denominador por (MCD) de los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el mcd de los números 20 y 30:
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mcd encontrado, es decir, por 10.
Recibimos una respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción por ese número y dejar el denominador sin cambios.
Ejemplo 1. Multiplica una fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1.
Se puede entender que la grabación toma la mitad del tiempo. Por ejemplo, si tomas pizza una vez, obtendrás pizza.
Por las leyes de la multiplicación sabemos que si se intercambian el multiplicando y el factor, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta notación puede entenderse como tomar la mitad de uno. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y le quitamos la mitad, entonces nos quedará pizza:
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4.
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
La expresión puede entenderse como tomar dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas 4 pizzas, obtendrás dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
El número que se está multiplicando por la fracción y el denominador de la fracción se resuelven si tienen común divisor, mayor que uno.
Por ejemplo, una expresión se puede evaluar de dos maneras.
primera manera. Multiplica el número 4 por el numerador de la fracción y deja el denominador de la fracción sin cambios:
Segunda forma. El cuatro que se multiplica y el cuatro en el denominador de la fracción se pueden reducir. Estos cuatros se pueden reducir a 4, ya que el máximo común divisor de dos cuatros es el cuatro mismo:
Obtuvimos el mismo resultado 3. Después de reducir los cuatro, en su lugar se forman nuevos números: dos unos. Pero multiplicar uno por tres y luego dividir por uno no cambia nada. Por tanto, la solución se puede escribir brevemente:
La reducción se puede realizar incluso cuando decidimos usar el primer método, pero en la etapa de multiplicar el número 4 y el numerador 3 decidimos usar la reducción:
Pero, por ejemplo, la expresión solo se puede calcular de la primera manera: multiplica 7 por el denominador de la fracción y deja el denominador sin cambios:
Esto se debe a que el número 7 y el denominador de la fracción no tienen un divisor común mayor que uno y, en consecuencia, no se cancelan.
Algunos estudiantes acortan por error el número que se multiplica y el numerador de la fracción. No puedes hacer esto. Por ejemplo, la siguiente entrada no es correcta:
Reducir una fracción significa que tanto el numerador como el denominador se dividirá por el mismo número. En la situación con la expresión, la división se realiza solo en el numerador, ya que escribir esto es lo mismo que escribir . Vemos que la división se realiza solo en el numerador y no se produce ninguna división en el denominador.
Multiplicar fracciones
Para multiplicar fracciones, debes multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta resulta ser una fracción impropia, debes resaltar la parte completa.
Ejemplo 1. Encuentra el valor de la expresión.
Recibimos una respuesta. Es aconsejable reducir esta fracción. La fracción se puede reducir en 2. Entonces decisión definitiva tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Haremos pizza. Recuerda cómo se ve la pizza dividida en tres partes:
Un trozo de esta pizza y los dos trozos que cogimos tendrán las mismas dimensiones:
Es decir, estamos hablando de pizza del mismo tamaño. Por lo tanto el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta fue una fracción impropia. Resaltemos toda la parte:
Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta resultó ser una fracción regular, pero sería bueno si la acortaran. Para reducir esta fracción, debes dividir el numerador y el denominador de esta fracción por el máximo común divisor (MCD) de los números 105 y 450.
Entonces, encontremos el mcd de los números 105 y 450:
Ahora dividimos el numerador y denominador de nuestra respuesta por el mcd que ahora hemos hallado, es decir, por 15
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como. Esto no cambiará el significado de cinco, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y este, como sabemos, es igual a cinco:
Números recíprocos
Ahora nos familiarizaremos con un tema muy interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al númeroa es un número que multiplicado pora da uno.
Sustituyamos en esta definición en lugar de la variable a número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es un número que multiplicado por 5 da uno.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé uno? Resulta que es posible. Imaginemos cinco como fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multipliquemos la fracción por sí misma, sólo que al revés:
¿Qué pasará como resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número , ya que al multiplicar 5 por se obtiene uno.
El recíproco de un número también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, simplemente déle la vuelta.
Dividir una fracción por un número
Digamos que tenemos media pizza:
Dividámoslo en partes iguales entre dos. ¿Cuánta pizza recibirá cada persona?
Se puede observar que luego de dividir la mitad de la pizza se obtuvieron dos porciones iguales, cada una de las cuales constituye una pizza. Entonces todos reciben una pizza.
Objetivos de la lección:
- Promover el desarrollo de habilidades para comparar fracciones,
- Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores,
- Reforzar el conocimiento sobre cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números.
Hoy en la lección continuamos trabajando en el tema “Suma y resta de fracciones con diferentes denominadores”.
Esta es nuestra segunda lección sobre el tema, te enfrentarás a objetivo:
Si en la primera lección trabajamos con fracciones cuyos denominadores son mutuamente primos o múltiplos entre sí, hoy nuestra tarea se vuelve más complicada; para algunos casos tendremos que encontrar un denominador común descomponiendo los denominadores en factores primos según la regla para encontrar el LOC.
Al final de la lección deberías conocer bien la regla:
cómo sumar fracciones con distintos denominadores y poder aplicar esta regla a la hora de resolver problemas.
Después de 3 lecciones habrá una prueba, en la que habrá tareas que comprobarán si dominas el tema. En trabajo de prueba Habrá 2 tareas sobre nuestro tema: la tercera tarea: sumar y restar fracciones con diferentes denominadores y la cuarta tarea: resolver un problema sobre la aplicación de la regla. Entonces, hoy estamos trabajando en tareas para el estándar.
1. a) Trabajemos oralmente.
| 42 | 48 | 6 |
| 36 | 54 | 12 |
| 30 | 24 | 18 |
Mira atentamente este rectángulo e intenta recordar la ubicación de los números, tal vez notes algún tipo de patrón.
Ahora intenta restaurar estos números en el borrador.
¿Quién recordó qué números?
¿Cómo podrías recordar bien la ubicación de estos números?
(Los números que son múltiplos de 6 están ordenados en orden ascendente en el sentido de las agujas del reloj, comenzando desde el rectángulo superior derecho)
Repitamos la comparación de fracciones con distintos denominadores y con numeradores iguales.
Compara las siguientes fracciones: ; .
Organícelos en orden ascendente.
b) Observa atentamente la siguiente serie de números:
16, 10, 8, , 2007, 1961.
¿Cuántos números hay en total?
Cuántos Números pares? Nómbralos.
Nombra el tercer número.
Segundo número desde el final.
Número de tres dígitos.
Un número que es múltiplo de 5.
Múltiplo de 10
Múltiplo de 3.
Múltiplo de 9. ¿Por qué es famoso el número 1961?
¿Qué número es diferente del resto, es decir, no encaja en la serie de números?
¿Esta fracción es propia o impropia?
¿Reducible o irreductible?
Reducir esta fracción.
2. Revisar la tarea.
¿Cómo se comparan dos fracciones con diferentes denominadores?
¿Cómo se suman fracciones con diferentes denominadores?
¿Cómo se restan fracciones con diferentes denominadores?
¿Hay alguna pregunta sobre tarea? Consultar por fila por el profesor.
3. Trabajar con la regla según el libro de texto después de respuestas inexactas de los estudiantes.
En matemáticas, no puedes saltarte una sola palabra en algunas reglas. El denominador común y el mínimo común denominador no siempre son iguales.
Escuche la parábola de un alcalde.
Cuando todavía no había electricidad, al alcalde de una ciudad le encantaba caminar por las calles de la ciudad por la noche. Un día se topó con un ciudadano y le apareció un bulto en la frente. al día siguiente emitió un decreto: “En la oscuridad, sal a la calle con una linterna”. Y por la noche se topó con él el mismo ciudadano. El alcalde le pidió una linterna.
“Aquí”, dijo el transeúnte.
¿Dónde está la vela? – preguntó el alcalde.
“Pero el decreto no dice que deba haber una vela en la lámpara”, respondió.
El alcalde emitió un segundo decreto: “En la oscuridad, sal afuera con una linterna y una vela”.
Al tercer día la historia se repitió.
El alcalde ya ha perdido los estribos.
¿Qué crees que le respondió el transeúnte al alcalde?
La orden no dice que se deba encender la vela del farol.
El alcalde tuvo que emitir el decreto por tercera vez, sólo después el transeúnte lo dejó en paz.
Nuestra tarea es conocer bien la regla y poder aplicarla. Repito una vez más, estamos trabajando en una norma.
4. Hacer ejercicios.
Resuelva los siguientes ejemplos en la pizarra como desee.
Resolviste ejemplos donde los denominadores son números coprimos y donde el denominador mayor es múltiplo del menor.
En esta lección resolveremos problemas más complejos de suma y resta de fracciones con diferentes denominadores.
Anota la tarea:
Si un estudiante lo resuelve como lo hicimos nosotros, significa que sabe bien cómo encontrar el MCM de dos números y sabe aislar la parte entera de una fracción impropia, y sabe que los denominadores no son números coprimos.
Y si un estudiante encuentra un denominador común multiplicando los denominadores, demuestra ignorancia de cómo encontrar el MCM, es decir, las reglas: cómo se suman fracciones con diferentes denominadores. Por lo tanto, en primer lugar, si los denominadores no son números coprimos ni múltiplos entre sí, necesitamos encontrar el MCM de los denominadores.
En la pizarra están escritos los números que hay que resolver en clase: 309 d – i, 328, 340 (repetición)
d) 
; realizado en el tablero,
mi) 
; repitió la reducción de fracciones, esta tarea está en la prueba, se comprueba la asimilación del estándar.
y) 
(por propia cuenta)
h) 
; encontramos MCM(21,15) = 3*7*5 =105.
6. Resuelva usted mismo el problema número 327.
7. Repetición de material previamente estudiado. N° 340.
Reducir fracciones:
También hay una reducción de fracciones en la prueba, esta es una tarea estándar.
8. Resumen de la lección.
a) ¿Cómo se suman y restan fracciones con diferentes denominadores?
b) Hacer marcas.
c) Tareas para casa: párrafo 11,
Acciones con fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)
Entonces, ¿qué son las fracciones, los tipos de fracciones, las transformaciones? Lo recordamos. Vayamos al tema principal.
¿Qué puedes hacer con las fracciones? Si, todo lo que es con números ordinarios. Sumar, restar, multiplicar, dividir.
Todas estas acciones con decimal trabajar con fracciones no es diferente de trabajar con números enteros. En realidad, eso es lo bueno de ellos, los decimales. Lo único es que debes poner la coma correctamente.
Numeros mezclados, como ya dije, son de poca utilidad para la mayoría de acciones. Todavía es necesario convertirlos a fracciones ordinarias.
Pero las acciones con fracciones ordinarias Serán más astutos. ¡Y mucho más importante! Déjame recordarte: todas las acciones con expresiones fraccionarias con letras, senos, incógnitas, etc., no son diferentes de las acciones con fracciones ordinarias.! Las operaciones con fracciones ordinarias son la base de todo el álgebra. Es por ello que aquí analizaremos toda esta aritmética con gran detalle.
Sumar y restar fracciones.
Todos pueden sumar (restar) fracciones con los mismos denominadores (¡eso realmente lo espero!). Bueno, permítanme recordarles a los que son completamente olvidadizos: al sumar (restar), el denominador no cambia. Los numeradores se suman (resta) para dar el numerador del resultado. Tipo:
En resumen, en vista general:
¿Qué pasa si los denominadores son diferentes? Luego, usando la propiedad básica de una fracción (¡aquí vuelve a ser útil!), ¡hacemos que los denominadores sean iguales! Por ejemplo:
Aquí teníamos que formar la fracción 4/10 a partir de la fracción 2/5. Con el único propósito de igualar los denominadores. Déjame señalar, por si acaso, que 2/5 y 4/10 son la misma fracción! Sólo 2/5 nos resultan incómodos y 4/10 están realmente bien.
Por cierto, esta es la esencia de la resolución de cualquier problema matemático. cuando nosotros de incómodo hacemos expresiones Lo mismo, pero más conveniente para resolver..
Otro ejemplo:
La situación es similar. Aquí obtenemos 48 a partir de 16. Por simple multiplicación por 3. Todo esto está claro. Pero nos encontramos con algo como:
¡¿Cómo ser?! ¡Es difícil sacar un nueve de un siete! ¡Pero somos inteligentes, conocemos las reglas! transformemos cada fracción para que los denominadores sean iguales. A esto se le llama “reducir a un denominador común”:
¡Guau! ¿Cómo supe del 63? ¡Muy simple! 63 es un número que es divisible por 7 y 9 al mismo tiempo. Este número siempre se puede obtener multiplicando los denominadores. Si multiplicamos un número por 7, por ejemplo, ¡el resultado seguramente será divisible por 7!
Si necesitas sumar (restar) varias fracciones, no es necesario hacerlo de dos en dos, paso a paso. Sólo necesitas encontrar el denominador común a todas las fracciones y reducir cada fracción a este mismo denominador. Por ejemplo:
¿Y cuál será el denominador común? Por supuesto, puedes multiplicar 2, 4, 8 y 16. Obtenemos 1024. Pesadilla. Es más fácil estimar que el número 16 es perfectamente divisible entre 2, 4 y 8. Por lo tanto, a partir de estos números es fácil obtener 16. Este número será el denominador común. Convirtamos 1/2 en 8/16, 3/4 en 12/16, y así sucesivamente.
Por cierto, si tomas 1024 como denominador común, todo saldrá bien, al final todo se reducirá. Pero no todos llegarán a este extremo, debido a los cálculos...
Complete el ejemplo usted mismo. No es una especie de logaritmo... Debería ser 29/16.
Entonces, espero que la suma (resta) de fracciones sea clara. Por supuesto, es más fácil trabajar en una versión abreviada, con multiplicadores adicionales. Pero este placer está al alcance de quienes trabajaron honestamente en los grados inferiores... Y no olvidaron nada.
Y ahora haremos las mismas acciones, pero no con fracciones, sino con expresiones fraccionarias. Aquí se revelará un nuevo rastrillo, sí...
Entonces, necesitamos sumar dos expresiones fraccionarias:
Necesitamos que los denominadores sean iguales. Y solo con la ayuda multiplicación! Esto es lo que dicta la propiedad principal de una fracción. Por lo tanto, no puedo sumar uno a X en la primera fracción del denominador. (¡eso estaría bien!). Pero si multiplicas los denominadores, verás, ¡todo crece junto! Entonces escribimos la línea de la fracción, dejamos un espacio vacío en la parte superior, luego la sumamos y escribimos el producto de los denominadores debajo, para no olvidar:
Y, por supuesto, no multiplicamos nada del lado derecho, ¡no abrimos los paréntesis! Y ahora, mirando el denominador común del lado derecho, nos damos cuenta: para obtener el denominador x(x+1) en la primera fracción, necesitas multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por (x+1) . Y en la segunda fracción - a x. Esto es lo que obtienes:
¡Nota! ¡Aquí están los paréntesis! Éste es el rastrillo que mucha gente pisa. No los paréntesis, por supuesto, sino su ausencia. Los paréntesis aparecen porque estamos multiplicando. todo numerador y todo¡denominador! Y no sus piezas individuales...
En el numerador del lado derecho escribimos la suma de los numeradores, todo es como en fracciones numéricas, luego abra los corchetes en el numerador del lado derecho, es decir Multiplicamos todo y damos otros similares. ¡No es necesario abrir los paréntesis en los denominadores ni multiplicar nada! En general, en denominadores (cualquiera) ¡el producto siempre es más agradable! Obtenemos:
Entonces obtuvimos la respuesta. El proceso parece largo y difícil, pero depende de la práctica. Una vez que resuelvas los ejemplos, acostúmbrate, todo te resultará sencillo. Aquellos que dominan las fracciones a su debido tiempo hacen todas estas operaciones con una mano izquierda, ¡automáticamente!
Y una nota más. Muchos manejan inteligentemente fracciones, pero se quedan estancados en ejemplos con entero números. Como: 2 + 1/2 + 3/4 =? ¿Dónde sujetar el dos piezas? No es necesario fijarlo en ningún lado, es necesario hacer una fracción de dos. ¡No es fácil, pero sí muy sencillo! 2=2/1. Como esto. Cualquier número entero se puede escribir como fracción. El numerador es el número mismo, el denominador es uno. 7 es 7/1, 3 es 3/1 y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las letras. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Y luego trabajamos con estas fracciones según todas las reglas.
Bueno, se refrescaron los conocimientos de suma y resta de fracciones. Se repitió la conversión de fracciones de un tipo a otro. También puedes hacerte un chequeo. ¿Lo arreglamos un poco?)
Calcular:
Respuestas (en desorden):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Multiplicación/división de fracciones - en la próxima lección. También hay tareas para todas las operaciones con fracciones.
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)
Puede familiarizarse con funciones y derivadas.
En realidad proceso educativo No se necesitan muchos problemas para sumar y restar fracciones con los mismos denominadores; habrá suficientes problemas del libro de texto. Prestaremos más atención a los problemas en los que la cantidad total se toma como una sola. Además, al principio es mejor imaginarlo como 2/2, 3/3, etc. cantidades.
163 . La niña leyó 2/5, luego otro 1/5 del libro. ¿Cuánto del libro leyó?
164 . Los turistas caminaron 1/7 y luego otros 3/7 de toda la ruta. ¿Cuánto del recorrido les queda por recorrer?
165 . Dos conductores de tractor cortaron 5/9 de la pradera y el primer conductor de tractor cortó 2/9 de la pradera. ¿Qué parte del prado cortó el segundo conductor del tractor?
166 . El primer conductor del tractor aró 2/7 del campo, el segundo, 3/7 del campo. Juntos araron 10 Ja. Determina el área del campo.
167 . Resuelva los problemas 150 (a-c) usando la resta de fracciones.
168 . Resuelva los problemas 154 (1-2) usando la resta de fracciones.
169 . 1) Los gorriones estaban sentados en una rama. Cuando la tercera parte de los gorriones se fue volando, quedaban 6. ¿Cuántos gorriones había inicialmente en la rama?
2) Alguien gastó 3/4 de su dinero y le sobraron 200 r.¿Cuánto dinero tenía?
3) El primer día los turistas recorrieron 2/5 del recorrido previsto, y el segundo día los 15 restantes. kilómetros. ¿Cuánto dura la ruta?
4) Vasya tiene 200 sellos en su colección. Detrás El año pasado el número de sellos de la colección aumentó en 1/4. ¿Cuántas estampillas había en la colección hace un año?
170 . Antes del almuerzo, el tornero completó 2/8 tareas, después del almuerzo, 3/8 tareas, después de lo cual le quedaron 24 piezas por girar. ¿Cuántas partes tuvo que moler?
171 . De « Aritmética » LN Tolstoi. El marido y la mujer sacaron dinero del mismo cofre y no quedó nada. El marido se quedó con 7/10 de todo el dinero y la mujer con 690 r.¿A cuánto fue todo el dinero?
172 . Resuelve problemas de papiros egipcios de dos maneras.
1) La cantidad y su cuarta parte juntas dan 15. Encuentra
cantidad.
2) El número y su mitad forman 9. Encuentra el número.
173 . Redacte un problema similar a los problemas egipcios y resuélvalo de dos maneras.
Comenzando con el siguiente problema, las soluciones implican suma y resta de fracciones con diferentes denominadores. Si este material no se estudió en quinto grado, los problemas restantes relacionados con fracciones deben posponerse hasta sexto grado.
174 . a) Cada hora, el primer tubo llena 1/2 de la piscina y el segundo tubo llena 1/3 de la piscina. ¿Qué parte de la piscina pueden llenar ambas tuberías? 1 h¿trabajando juntos?
b) La primera brigada puede completar 1/12 de la tarea por día y la segunda, 1/8 de la tarea. ¿Qué parte de la tarea completarán dos equipos en 1 día de trabajo conjunto?
c) Un automóvil de pasajeros recorre 1/10 de la distancia entre ciudades por hora y un camión recorre 1/12 de esta distancia. ¿A qué fracción de esta distancia se acercan entre sí en 1 h¿Los coches se acercan unos a otros?
175 . a) Dos tractoristas araron 2/3 de los campos en 1 día de trabajo conjunto. El primer conductor del tractor aró la mitad del campo. ¿Qué parte del campo aró el segundo conductor del tractor?
b) Dos automóviles que iban uno hacia el otro se acercaron en 1 h a 1/3 de la distancia entre las dos ciudades. El primer coche recorrió 1/8 de esta distancia. ¿Qué parte de la distancia total recorrió el segundo auto?
c) A través de dos tuberías se llena 1/3 de la piscina cada hora. A través del primer tubo en 1 h Se llena 1/10 de la piscina. ¿Qué parte de la piscina se llena en 1? h por el segundo tubo?
176 . Primero, se vertió del barril la mitad del agua que contenía, luego 1/3, 1/15 y 1/10. ¿Qué parte del agua se derramó?
177 .* Bebí media taza de café solo y la rellené con leche. Luego bebí 1/3 de taza y lo rellené con leche. Luego bebí 1/6 de taza y lo rellené con leche. Finalmente, terminé el contenido de la taza. ¿Qué bebí más: café o leche?
178 . Problemas antiguos. 1) Dos peatones salieron al mismo tiempo hacia el otro desde dos pueblos. El primero puede cubrir la distancia entre dos pueblos en 8 h, y el segundo por 6 h.¿A qué fracción de la distancia se acercan en 1 h?
2) Se contrataron tres carpinteros para construir la casa de baños; el primero hizo 2/33 de todo el trabajo del día, el segundo 1/11, el tercero 7/55. ¿Cuánto del trabajo total hicieron todos en un día?
3) Se contrataron 4 escribanos para copiar la obra; el primero pudo reescribir el ensayo solo en 24 días, el segundo en 36 días, el tercero en 20 y el cuarto en 18 días. ¿Qué parte del ensayo reescribirán en un día si trabajan juntos?
179 . 1) El mecanógrafo volvió a escribir la tercera parte del manuscrito, luego otras 10 páginas. Como resultado, volvió a escribir la mitad del manuscrito completo. ¿Cuántas páginas tiene el manuscrito?
2) Un problema antiguo. Un transeúnte que alcanzó al otro preguntó: « ¿A qué distancia está el pueblo que tenemos delante? » Otro transeúnte respondió: « La distancia desde el pueblo desde el que caminas es igual a un tercio de la distancia total entre los pueblos, y si caminas otras 2 millas, estarás exactamente en el medio entre los pueblos. » . ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer al primer transeúnte?
180 . El problema de Adam Riese (siglo XVI). Los tres ganaron algo de dinero. El primero representó 1/4 de esta cantidad, el segundo 1/7 y el tercero 17 florines. ¿Qué tan grandes son las ganancias totales?
