Factorizar polinomios es una transformación de identidad, como resultado de lo cual un polinomio se transforma en el producto de varios factores: polinomios o monomios.
Hay varias formas de factorizar polinomios.
Método 1. Quitar el factor común de paréntesis.
Esta transformación se basa en la ley distributiva de la multiplicación: ac + bc = c(a + b). La esencia de la transformación es aislar el factor común en los dos componentes considerados y "sacarlo" de paréntesis.
Factoricemos el polinomio 28x 3 – 35x 4.
Solución.
1. Encuentra los elementos 28x 3 y 35x 4. común divisor. Para 28 y 35 serán 7; para x 3 y x 4 – x 3. En otras palabras, nuestro factor común es 7x 3.
2. Representamos cada uno de los elementos como un producto de factores, uno de los cuales
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Sacamos el factor común de paréntesis.
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Método 2. Usar fórmulas de multiplicación abreviadas. El "dominio" del uso de este método es notar una de las fórmulas de multiplicación abreviadas en la expresión.
Factoricemos el polinomio x 6 – 1.
Solución.
1. Podemos aplicar la fórmula de diferencia de cuadrados a esta expresión. Para hacer esto, imagine x 6 como (x 3) 2 y 1 como 1 2, es decir 1. La expresión tomará la forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Podemos aplicar la fórmula de suma y diferencia de cubos a la expresión resultante:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Entonces,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).
Método 3. Agrupación. El método de agrupación consiste en combinar los componentes de un polinomio de tal manera que sea fácil realizar operaciones sobre ellos (suma, resta, resta de un factor común).
Factoricemos el polinomio x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Solución.
1. Agrupemos los componentes de esta manera: 1º con 2º y 3º con 4º.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. En la expresión resultante, quitamos de paréntesis los factores comunes: x 2 en el primer caso y 5 en el segundo.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Sacamos el factor común x – 3 de paréntesis y obtenemos:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Entonces,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Aseguremos el material.
Factoriza el polinomio a 2 – 7ab + 12b 2 .
Solución.
1. Representemos el monomio 7ab como la suma 3ab + 4ab. La expresión tomará la forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Abramos los corchetes y obtengamos:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Agrupemos los componentes del polinomio de esta forma: 1º con 2º y 3º con 4º. Obtenemos:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Saquemos los factores comunes de paréntesis:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Saquemos el factor común (a – 3b) de paréntesis:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).
Entonces,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= un 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
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Considerando la multiplicación de polinomios, recordamos varias fórmulas, a saber: fórmulas para (a + b)², para (a – b)², para (a + b) (a – b), para (a + b)³ y para (a – b)³.
Si un polinomio dado coincide con una de estas fórmulas, entonces será posible factorizarlo. Por ejemplo, el polinomio a² – 2ab + b², lo sabemos, es igual a (a – b)² [o (a – b) · (a – b), es decir, logramos factorizar a² – 2ab + b² en 2 factores. ]; También
Veamos el segundo de estos ejemplos. Vemos que el polinomio aquí dado se ajusta a la fórmula que se obtiene al elevar al cuadrado la diferencia de dos números (el cuadrado del primer número, menos el producto de dos por el primer número y el segundo, más el cuadrado del segundo número): x 6 es el cuadrado del primer número y, por lo tanto, el primer número en sí es x 3, el cuadrado del segundo número es el último término del polinomio dado, es decir, 1, el segundo número en sí es, por lo tanto, también 1; el producto de dos por el primer número y el segundo es el término –2x 3, porque 2x 3 = 2 x 3 1. Por lo tanto, nuestro polinomio se obtuvo elevando al cuadrado la diferencia de los números x 3 y 1, es decir, es igual a (x 3 – 12 . Veamos otro cuarto ejemplo. Vemos que este polinomio a 2 b 2 – 25 se puede considerar como la diferencia de los cuadrados de dos números, es decir, el cuadrado del primer número es a 2 b 2, por lo tanto, el primer número en sí es ab, el cuadrado del El segundo número es 25, ¿por qué el segundo número en sí es 5? Por lo tanto, nuestro polinomio puede considerarse obtenido al multiplicar la suma de dos números por su diferencia, es decir,
(ab + 5) (ab – 5).
A veces sucede que en un polinomio determinado los términos no están ordenados en el orden al que estamos acostumbrados, por ejemplo.
9a 2 + b 2 + 6ab – mentalmente podemos reorganizar el segundo y tercer término, y luego nos quedará claro que nuestro trinomio = (3a + b) 2.
... (reorganizamos mentalmente el primer y segundo término).
25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, etc.
Consideremos otro polinomio
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Vemos que su primer término es el cuadrado del número a y el tercer término es el cuadrado del número 2b, pero el segundo término no es el producto de dos por el primer número y el segundo; tal producto sería igual a 2 a 2b = 4ab. Por tanto, es imposible aplicar la fórmula del cuadrado de la suma de dos números a este polinomio. Si alguien escribiera que a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, entonces esto sería incorrecto: uno debe considerar cuidadosamente todos los términos del polinomio antes de aplicarle la factorización usando fórmulas.
40. Una combinación de ambas técnicas.. A veces, al factorizar polinomios, es necesario combinar tanto la técnica de sacar el factor común entre paréntesis como la técnica de utilizar fórmulas. Aquí hay ejemplos:
1. 2a 3 – 2ab 2. Primero saquemos el factor común 2a de paréntesis y obtenemos 2a (a 2 – b 2). El factor a 2 – b 2, a su vez, se descompone según la fórmula en factores (a + b) y (a – b).
A veces hay que utilizar la técnica de descomposición de fórmulas varias veces:
1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)
Vemos que el primer factor a 2 + b 2 no se ajusta a ninguna de las fórmulas familiares; Además, recordando casos especiales de división (elemento 37), estableceremos que a 2 + b 2 (la suma de los cuadrados de dos números) no se puede factorizar en absoluto. El segundo de los factores resultantes a 2 – b 2 (la diferencia por el cuadrado de dos números) se descompone en factores (a + b) y (a – b). Entonces,
41. Aplicación de casos especiales de división.. Basándonos en el párrafo 37, podemos escribir inmediatamente que, por ejemplo,
En general, esta tarea requiere un enfoque creativo, ya que no existe un método universal para resolverla. Pero intentemos dar algunos consejos.
En la inmensa mayoría de los casos, la factorización de un polinomio se basa en un corolario del teorema de Bezout, es decir, se encuentra o selecciona la raíz y el grado del polinomio se reduce en uno dividiendo por. Se busca la raíz del polinomio resultante y se repite el proceso hasta completar la expansión.
Si no se puede encontrar la raíz, se utilizan métodos de expansión específicos: desde la agrupación hasta la introducción de términos adicionales mutuamente excluyentes.
La presentación adicional se basa en las habilidades para resolver ecuaciones de grados superiores con coeficientes enteros.
Dejando entre paréntesis el factor común.
Comencemos con el caso más simple, cuando el término libre es igual a cero, es decir, el polinomio tiene la forma.
Obviamente, la raíz de dicho polinomio es , es decir, podemos representar el polinomio en la forma .
Este método no es más que sacando el factor común de paréntesis.
Ejemplo.
Factoriza un polinomio de tercer grado.
Solución.
Obviamente, ¿cuál es la raíz del polinomio, es decir? X se puede sacar entre paréntesis:
Encontremos las raíces del trinomio cuadrático. 
De este modo, 
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Factorizar un polinomio con raíces racionales.
Primero, consideremos un método para expandir un polinomio con coeficientes enteros de la forma , el coeficiente de mayor grado es igual a uno.
En este caso, si un polinomio tiene raíces enteras, entonces son divisores del término libre.
Ejemplo.
Solución.
Comprobemos si hay raíces intactas. Para ello, escribe los divisores del número. -18
: . Es decir, si un polinomio tiene raíces enteras, entonces se encuentran entre los números escritos. Comprobemos estos números secuencialmente utilizando el esquema de Horner. Su conveniencia también radica en que al final obtenemos los coeficientes de expansión del polinomio: 
Eso es, x=2 Y x=-3 son las raíces del polinomio original y lo podemos representar como un producto:
Sólo queda descomponerse. trinomio cuadrático.
El discriminante de este trinomio es negativo, por tanto no tiene raíces reales.
Respuesta:
Comentario:
En lugar del esquema de Horner, se podría utilizar la selección de la raíz y la posterior división del polinomio por un polinomio.
Consideremos ahora el desarrollo de un polinomio con coeficientes enteros de la forma , y el coeficiente de mayor grado no es igual a uno.
En este caso, el polinomio puede tener raíces fraccionariamente racionales.
Ejemplo.
Factoriza la expresión.
Solución.
Al realizar un cambio de variable y=2x, pasemos a un polinomio con un coeficiente igual a uno en el grado más alto. Para hacer esto, primero multiplica la expresión por 4
.
Si la función resultante tiene raíces enteras, entonces se encuentran entre los divisores del término libre. Anotémoslos:
Calculemos secuencialmente los valores de la función. g(y) en estos puntos hasta llegar a cero. 
Qué ha pasado ¿factorización? Esta es una forma de convertir un ejemplo incómodo y complejo en uno simple y agradable.) Muy, muy movimiento poderoso! Se encuentra en cada paso de las matemáticas tanto elementales como superiores.
Estas transformaciones en lenguaje matemático se denominan transformaciones idénticas de expresiones. Para aquellos que no lo saben, miren el enlace. Hay muy poco, simple y útil.) El significado de cualquier transformación de identidad es una grabación de la expresión en otra forma manteniendo su esencia.
Significado factorización extremadamente simple y claro. Desde el nombre mismo. Quizás olvides (o no sepas) qué es un multiplicador, pero ¿puedes descubrir que esta palabra proviene de la palabra “multiplicar”?) Factorizar significa: representar una expresión en forma de multiplicar algo por algo. Que me perdonen las matemáticas y la lengua rusa...) Eso es todo.
Por ejemplo, necesitas expandir el número 12. Puedes escribir con seguridad:
Entonces presentamos el número 12 como una multiplicación de 3 por 4. Tenga en cuenta que los números de la derecha (3 y 4) son completamente diferentes a los de la izquierda (1 y 2). Pero entendemos perfectamente que 12 y 3 4 mismo. La esencia del número 12 de la transformación. no ha cambiado.
¿Es posible descomponer 12 de manera diferente? ¡Fácilmente!
12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........
Las opciones de descomposición son infinitas.
Factorizar números es algo útil. Ayuda mucho, por ejemplo, a la hora de trabajar con raíces. Pero factorizar expresiones algebraicas no sólo es útil, también es ¡necesario! Sólo por ejemplo:
Simplificar:
Aquellos que no saben cómo factorizar una expresión se quedan al margen. Aquellos que saben, simplifiquen y obtengan:
El efecto es asombroso, ¿verdad?) Por cierto, la solución es bastante sencilla. Lo verás por ti mismo a continuación. O, por ejemplo, esta tarea:
Resuelve la ecuación:
x5 - x4 = 0
Por cierto, se decide en la mente. Usando factorización. Resolveremos este ejemplo a continuación. Respuesta: x1 = 0; x2 = 1.
O lo mismo, pero para los mayores):
Resuelve la ecuación:
En estos ejemplos mostré propósito principal factorización: simplificar expresiones fraccionarias y resolver algunos tipos de ecuaciones. He aquí una regla general para recordar:
Si tenemos una expresión fraccionaria aterradora frente a nosotros, podemos intentar factorizar el numerador y el denominador. Muy a menudo la fracción se reduce y simplifica.
Si tenemos una ecuación frente a nosotros, donde a la derecha hay cero y a la izquierda, no entiendo qué, podemos intentar factorizar el lado izquierdo. A veces ayuda).
Métodos básicos de factorización.
Aquí están los métodos más populares:
4. Desarrollo de un trinomio cuadrático.
Estos métodos deben recordarse. Exactamente en ese orden. Se comprueban ejemplos complejos. para todos formas posibles descomposición. Y es mejor comprobar en orden para no confundirse... Así que comencemos en orden.)
1. Quitar el factor común de paréntesis.
Simple y manera confiable. ¡Nada malo sale de él! Sucede bien o nada.) Por eso él es lo primero. Vamos a resolverlo.
Todo el mundo conoce (¡creo!) la regla:
a(b+c) = ab+ac
O más vista general:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Todas las igualdades funcionan tanto de izquierda a derecha como viceversa, de derecha a izquierda. Puedes escribir:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Ése es el objetivo de eliminar el factor común de los paréntesis.
En el lado izquierdo A - multiplicador común para todos los términos. Multiplicado por todo lo que existe). A la derecha está el más A ya esta ubicado fuera de los corchetes.
Uso práctico Veamos el método usando ejemplos. Al principio, la opción es simple, incluso primitiva). Pero sobre esta opción señalaré ( verde) Muy puntos importantes para cualquier factorización.
Factorizar:
ah+9x
Cual general¿Aparece el multiplicador en ambos términos? ¡X, por supuesto! Lo sacaremos de paréntesis. Hagámoslo. Inmediatamente escribimos X fuera de los corchetes:
hacha+9x=x(
Y entre paréntesis escribimos el resultado de la división. cada termino en esta misma X. En orden:
Eso es todo. Por supuesto, no es necesario describirlo con tanto detalle, esto se hace en la mente. Pero es recomendable entender qué es qué). Grabamos en la memoria:
Escribimos el factor común fuera de los paréntesis. Entre paréntesis escribimos los resultados de dividir todos los términos por este factor común. En orden.
Entonces hemos ampliado la expresión. ah+9x por multiplicadores. Lo convertí en multiplicar x por (a+9). Observo que en la expresión original también había una multiplicación, incluso dos: a·x y 9·x. Pero no fue factorizado! Porque además de la multiplicación, esta expresión también contenía la suma, ¡el signo “+”! Y en expresión x(un+9) ¡No hay nada más que multiplicación!
¿¡Cómo es eso!? - Escucho la voz indignada del pueblo - ¿¡Y entre paréntesis!?)
Sí, hay una suma dentro del paréntesis. Pero el truco es que mientras los corchetes no estén abiertos, los consideramos como una letra. Y hacemos todas las acciones entre paréntesis por completo, como con una letra. En este sentido, en la expresión x(un+9) No hay nada excepto la multiplicación. Este es el objetivo de la factorización.
Por cierto, ¿es posible comprobar de alguna manera si hicimos todo correctamente? ¡Fácilmente! Es suficiente multiplicar lo que pusiste (x) entre paréntesis y ver si funcionó. original¿expresión? Si funciona, ¡todo es genial!)
x(a+9)=ax+9x
Sucedió.)
No hay problemas en este ejemplo primitivo. Pero si hay varios términos, e incluso con diferentes signos... En resumen, uno de cada tres alumnos se equivoca). Por lo tanto:
Si es necesario, verifica la factorización por multiplicación inversa.
Factorizar:
3x+9x
Buscamos un factor común. Bueno, con X todo está claro, se puede sacar. Hay más general¿factor? ¡Sí! Este es un tres. Puedes escribir la expresión así:
3x+3 3x
Aquí queda inmediatamente claro que el factor común será 3x. Aquí lo sacamos:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Extendido.
¿Qué pasa si lo sacas? solo x? Nada especial:
3ax+9x=x(3a+9)
Esto también será una factorización. Pero en este fascinante proceso, se acostumbra poner todo al límite mientras existe la oportunidad. Aquí, entre paréntesis, existe la posibilidad de sacar un tres. Resultará:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Lo mismo, sólo que con una acción extra.) Recuerda:
Al sacar el factor común de paréntesis, intentamos sacar máximo factor común.
¿Continuamos la diversión?)
Factoriza la expresión:
3aj+9х-8а-24
¿Qué nos llevaremos? ¿Tres, X? No... No puedes. Te recuerdo que solo puedes sacar general multiplicador que es en todo términos de la expresión. Por eso el general. Aquí no existe tal multiplicador... ¿¡Qué, no tienes que expandirlo!? Pues sí, estábamos tan felices... Conoce:
2. Agrupación.
En realidad, es difícil nombrar el grupo. de manera independiente factorización. Es más una forma de salir ejemplo complejo.) Necesitamos agrupar los términos para que todo salga bien. Esto sólo puede demostrarse con el ejemplo. Entonces, tenemos la expresión:
3aj+9х-8а-24
Se puede ver que hay algunas letras y números comunes. Pero... General no hay ningún multiplicador que esté en todos los términos. No nos desanimemos y romper la expresión en pedazos. Agrupamiento. Para que cada pieza tenga un factor común, hay algo que sacar. ¿Cómo lo rompemos? Sí, simplemente ponemos paréntesis.
Permítame recordarle que los paréntesis se pueden colocar en cualquier lugar y como desee. Sólo la esencia del ejemplo. no ha cambiado. Por ejemplo, puedes hacer esto:
3aj+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
¡Preste atención a los segundos corchetes! Están precedidos por un signo menos y 8a Y 24 se volvió positivo! Si para comprobarlo volvemos a abrir los corchetes, los signos cambiarán y obtendremos original expresión. Aquellos. la esencia de la expresión entre paréntesis no ha cambiado.
Pero si simplemente insertaste paréntesis sin tener en cuenta el cambio de signo, por ejemplo, así:
3aj+9х-8а-24=(3x+9x) -(8a-24 )
sería un error. A la derecha - ya otro expresión. Abre los corchetes y todo se hará visible. No tienes que decidir más, sí...)
Pero volvamos a la factorización. Veamos los primeros corchetes. (3x+9x) y pensamos, ¿hay algo que podamos sacar? Bueno, resolvimos este ejemplo anterior, podemos tomarlo 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Estudiemos los segundos corchetes, podemos agregar un ocho allí:
(8a+24)=8(a+3)
Nuestra expresión completa será:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
¿Factorizado? No. El resultado de la descomposición debe ser solo multiplicacion pero entre nosotros el signo menos lo estropea todo. Pero… ¡Ambos términos tienen un factor común! Este (un+3). No en vano dije que todos los corchetes son, por así decirlo, una letra. Esto significa que estos corchetes se pueden quitar de los corchetes. Sí, eso es exactamente lo que parece).
Hacemos lo descrito anteriormente. Escribimos el factor común. (un+3), en el segundo paréntesis escribimos el resultado de dividir los términos por (un+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
¡Todo! ¡No hay nada a la derecha excepto la multiplicación! ¡Esto significa que la factorización se ha completado con éxito!) Aquí está:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Repitamos brevemente la esencia del grupo.
Si la expresión no general multiplicador para todos términos, dividimos la expresión entre paréntesis para que dentro de los paréntesis el factor común era. Lo sacamos y vemos qué pasa. Si tiene suerte y quedan expresiones absolutamente idénticas entre paréntesis, los sacamos de los paréntesis.
Agregaré que agrupar es un proceso creativo). No siempre funciona la primera vez. Está bien. A veces es necesario intercambiar términos y considerar diferentes opciones de agrupación hasta encontrar una exitosa. ¡Lo principal aquí es no desanimarse!)
Ejemplos.
Ahora, habiéndose enriquecido con conocimientos, podrá resolver ejemplos complicados.) Al comienzo de la lección había tres de estos...
Simplificar:
En esencia, ya hemos resuelto este ejemplo. Sin que nosotros mismos lo sepamos.) Les recuerdo: si nos dan una fracción terrible, intentamos factorizar el numerador y el denominador. Otras opciones de simplificación simplemente no.
Bueno, aquí el denominador no está ampliado, pero el numerador... ¡Ya hemos ampliado el numerador durante la lección! Como esto:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Escribimos el resultado de la expansión en el numerador de la fracción:
Según la regla de reducción de fracciones (la propiedad principal de una fracción), podemos dividir (¡al mismo tiempo!) el numerador y el denominador por el mismo número o expresión. Fracción de esto no cambia. Entonces dividimos el numerador y el denominador por la expresión (3x-8). Y aquí y allá conseguiremos algunos. Resultado final simplificaciones:
Me gustaría enfatizar especialmente: reducir una fracción es posible si y solo si en el numerador y denominador, además de multiplicar expresiones. no hay nada. Por eso la transformación de la suma (diferencia) en multiplicación tan importante para la simplificación. Por supuesto, si las expresiones diferente, entonces nada se reducirá. Pasará. Pero la factorización da una oportunidad. Esta posibilidad sin descomposición simplemente no existe.
Ejemplo con ecuación:
Resuelve la ecuación:
x5 - x4 = 0
sacamos el factor común x4 fuera de paréntesis. Obtenemos:
x4 (x-1)=0
Nos damos cuenta de que el producto de factores es igual a cero. entonces y sólo entonces, cuando cualquiera de ellos es cero. En caso de duda, búsqueme un par de números distintos de cero que, al multiplicarlos, darán cero). Entonces escribimos, primero el primer factor:
Con tal igualdad, el segundo factor no nos concierne. Cualquiera puede serlo, pero al final seguirá siendo cero. ¿Qué número elevado a la cuarta potencia da el cero? ¡Solo cero! Y ningún otro... Por tanto:
Descubrimos el primer factor y encontramos una raíz. Veamos el segundo factor. Ahora ya no nos importa el primer factor):
Aquí encontramos una solución: x1 = 0; x2 = 1. Cualquiera de estas raíces se ajusta a nuestra ecuación.
Nota muy importante. Tenga en cuenta que resolvimos la ecuación. ¡pieza por pieza! Cada factor era igual a cero, independientemente de otros factores. Por cierto, si en una ecuación así no hay dos factores, como el nuestro, sino tres, cinco, tantos como quieras, lo resolveremos. similar. Pieza por pieza. Por ejemplo:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Cualquiera que abra los corchetes y multiplique todo quedará atrapado en esta ecuación para siempre). Un estudiante correcto verá inmediatamente que no hay nada a la izquierda excepto la multiplicación y cero a la derecha. Y comenzará (¡en su mente!) a igualar todos los paréntesis hasta llegar a cero. Y recibirá (¡en 10 segundos!) la decisión correcta: x1 = 1; x2 = -5; x3 = 3; x4 = -2.
Genial, ¿verdad?) Una solución tan elegante es posible si el lado izquierdo de la ecuación factorizado.¿Entendiste la pista?)
Bueno, un último ejemplo, para los mayores):
Resuelve la ecuación:
Es algo parecido al anterior, ¿no crees?) Por supuesto. ¡Es hora de recordar que en séptimo grado el álgebra, los senos, los logaritmos y cualquier otra cosa se pueden ocultar debajo de las letras! La factorización funciona en todas las matemáticas.
sacamos el factor común lg 4x fuera de paréntesis. Obtenemos:
iniciar sesión 4x=0
Esta es una raíz. Veamos el segundo factor.
Aquí está la respuesta final: x1 = 1; x2 = 10.
Espero que te hayas dado cuenta del poder de la factorización para simplificar fracciones y resolver ecuaciones).
En esta lección aprendimos sobre factorización y agrupación común. Queda por comprender las fórmulas de la multiplicación abreviada y del trinomio cuadrático.
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