Se da la gráfica de la función primitiva para encontrar el valor de la función. La antiderivada de una función. La principal propiedad de la antiderivada.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x) (que es una línea discontinua formada por tres segmentos de línea recta). Usando la figura, calcule F(9)-F(5), donde F(x) es una de las antiderivadas de f(x).

Mostrar solución

Solución

Según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(9)-F(5), donde F(x) es una de las primitivas de la función f(x), es igual al área del trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función y=f(x), rectas y=0 , x=9 y x=5. Según la gráfica, determinamos que el trapezoide curvilíneo especificado es un trapezoide con bases iguales a 4 y 3 y una altura de 3.

Su área es igual a \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Respuesta

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=F(x), una de las primitivas de alguna función f(x) definida en el intervalo (-5; 5). Usando la figura, determine el número de soluciones de la ecuación f(x)=0 en el segmento [-3; 4].

Mostrar solución

Solución

Según la definición de primitiva, se cumple la igualdad: F "(x) \u003d f (x). Por lo tanto, la ecuación f (x) \u003d 0 se puede escribir como F "(x) \u003d 0. Dado que la figura muestra la gráfica de la función y=F(x), necesitamos encontrar esos puntos de intervalo [-3; 4], en el que la derivada de la función F(x) es igual a cero. Se puede ver en la figura que estas serán las abscisas de los puntos extremos (máximo o mínimo) del gráfico F(x). Hay exactamente 7 de ellos en el intervalo indicado (cuatro puntos mínimos y tres puntos máximos).

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. Nivel de perfil". Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=f(x) (que es una línea discontinua formada por tres segmentos de línea recta). Usando la figura, calcule F(5)-F(0), donde F(x) es una de las antiderivadas de f(x).

Mostrar solución

Solución

Según la fórmula de Newton-Leibniz, la diferencia F(5)-F(0), donde F(x) es una de las primitivas de la función f(x), es igual al área del trapezoide curvilíneo acotado por la gráfica de la función y=f(x), rectas y=0 , x=5 y x=0. Según la gráfica, determinamos que el trapezoide curvilíneo especificado es un trapezoide con bases iguales a 5 y 3 y una altura de 3.

Su área es igual a \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de la función y=F(x), una de las primitivas de alguna función f(x), definida en el intervalo (-5; 4). Usando la figura, determine el número de soluciones de la ecuación f (x) = 0 en el segmento (-3; 3].

Mostrar solución

Solución

Se puede ver en la figura que estas serán las abscisas de los puntos extremos (máximo o mínimo) del gráfico F(x). Hay exactamente 5 de ellos en el intervalo especificado (dos puntos mínimos y tres puntos máximos).

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de alguna función y=f(x). La función F(x)=-x^3+4.5x^2-7 es una de las primitivas de la función f(x).

Encuentra el área de la figura sombreada.

Mostrar solución

Solución

La figura sombreada es un trapecio curvilíneo delimitado desde arriba por la gráfica de la función y=f(x), las rectas y=0, x=1 y x=3. Según la fórmula de Newton-Leibniz, su área S es igual a la diferencia F(3)-F(1), donde F(x) es la antiderivada de la función f(x) especificada en la condición. Es por eso S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Respuesta

Fuente: "Matemáticas. Preparación para el examen-2017. nivel de perfil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipo de trabajo: 7
Tema: Una antiderivada de una función.

Condición

La figura muestra una gráfica de alguna función y=f(x). La función F(x)=x^3+6x^2+13x-5 es una de las primitivas de la función f(x). Encuentra el área de la figura sombreada.

Función F(X ) llamado primitivo para función F(X) en un intervalo dado, si para todos X de este intervalo la igualdad

F"(X ) = F(X ) .

Por ejemplo, la función F(x) = x 2 F(X ) = 2X , porque

f "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

La principal propiedad de la antiderivada.

Si F(x) es la antiderivada de la función f(x) en un intervalo dado, entonces la función f(x) tiene infinitas antiderivadas, y todas estas antiderivadas se pueden escribir como F(x) + C, Dónde CON es una constante arbitraria.

Por ejemplo.

Función F(x) = x 2 + 1 es la antiderivada de la función

F(X ) = 2X , porque F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

función F(x) = x 2 - 1 es la antiderivada de la función

F(X ) = 2X , porque f "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

función F(x) = x 2 - 3 es la antiderivada de la función

F(X) = 2X , porque f "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

cualquier función F(x) = x 2 + CON , Dónde CON es una constante arbitraria, y sólo dicha función es antiderivada de la función F(X) = 2X . ◄

Reglas para calcular antiderivadas

Si F(x) - originales para f(x) , A G(x) - originales para gramo(x) , Eso F(x) + G(x) - originales para f(x) + g(x) . En otras palabras, la primitiva de la suma es igual a la suma de las primitivas .
Si F(x) - originales para f(x) , Y k es constante, entonces k · F(x) - originales para k · f(x) . En otras palabras, el factor constante se puede sacar del signo de la derivada .
Si F(x) - originales para f(x) , Y k,b- permanente, y k ≠ 0 , Eso 1 / k F( k x + b ) - originales para F(k x + b) .

Integral indefinida

No integral definida de la función f(x) llamada expresión F(x) + C, es decir, el conjunto de todas las primitivas de la función dada f(x) . La integral indefinida se denota de la siguiente manera:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- llamado integrando ;

f(x)dx- llamado integrando ;

X - llamado variable de integración ;

F(x) es una de las antiderivadas de la función f(x) ;

CON es una constante arbitraria.

Por ejemplo, ∫ 2 x dx =X 2 + CON , ∫ porquex dx = pecado X + CON etcétera. ◄

La palabra "integral" proviene del latín entero , que significa "restaurado". Considerando la integral indefinida de 2 X, en cierto modo restauramos la función X 2 , cuya derivada es 2 X. Restaurar una función a partir de su derivada, o lo que es lo mismo, encontrar una integral indefinida sobre un integrando dado, se llama integración esta función. La integración es la operación inversa de la diferenciación, para comprobar si la integración se realiza correctamente basta con diferenciar el resultado y obtener el integrando.

Propiedades básicas de la integral indefinida.

La derivada de la integral indefinida es igual al integrando:

(∫ f(x)dx )" =f(x) .

El factor constante del integrando se puede sacar del signo integral:

∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .

Integral de la suma (diferencia) de funciones. es igual a la suma(diferencias) de integrales de estas funciones:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .

Si k,b- permanente, y k ≠ 0 , Eso

∫ F( k x + b) dx = 1 / k F( k x + b ) +C .

Tabla de integrales antiderivadas e indefinidas.

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
v.	$$\pecado x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\pecado x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ $$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatriz)+C $$
Las integrales primitivas e indefinidas dadas en esta tabla generalmente se llaman primitivas tabulares Y integrales de tabla .

Integral definida

dejar en el medio [a; b] dado función continua y = f(x) , Entonces integral definida de a a b funciones f(x) se llama incremento de la primitiva F(x) esta función, es decir

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Números a Y b se llaman respectivamente más bajo Y arriba límites de integración.

Reglas básicas para calcular la integral definida.

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ donde k - constante;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx $;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, donde f(x) es una función par;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, donde f(x) es una función extraña.

Comentario . En todos los casos, se supone que los integrandos son integrables en intervalos numéricos cuyas fronteras son los límites de integración.

Significado geométrico y físico de la integral definida.

sentido geométrico integral definida	significado fisico integral definida

Cuadrado S trapezoide curvilíneo (una figura delimitada por una gráfica de positivo continuo en el intervalo [a; b] funciones f(x) , eje Buey y directo x=un , x=b ) se calcula mediante la fórmula $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Camino s, que el punto material ha superado, moviéndose en línea recta con una velocidad que cambia según la ley Vermont) , durante un intervalo de tiempo a ; b], luego el área de la figura delimitada por las gráficas de estas funciones y líneas rectas x = un , x = segundo , se calcula mediante la fórmula $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Por ejemplo. Calcular el área de una figura delimitada por rectas y=x 2 Y y= 2-X . Representaremos esquemáticamente las gráficas de estas funciones y resaltaremos la figura cuyo área debe encontrarse en un color diferente. Para encontrar los límites de integración, resolvemos la ecuación: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumen del cuerpo de revolución.

Si el cuerpo se obtiene como resultado de la rotación alrededor del eje. Buey trapecio curvilíneo delimitado por una gráfica continua y no negativa en el intervalo [a; b] funciones y = f(x) y directo x = un Y x = segundo , entonces se llama cuerpo de revolución .

El volumen de un cuerpo de revolución se calcula mediante la fórmula

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Si el cuerpo de revolución se obtiene como resultado de la rotación de una figura delimitada arriba y abajo por gráficas de funciones y = f(x) Y y = g(x) , respectivamente, entonces

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Por ejemplo. Calcular el volumen de un cono con radio. r y altura h .

Coloquemos el cono en un sistema de coordenadas rectangular de modo que su eje coincida con el eje Buey , y el centro de la base estaba ubicado en el origen de coordenadas. Rotación del generador AB define un cono. Desde la ecuación AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

y para el volumen del cono tenemos

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$

◄

Objetivo:

Formación del concepto de primitivo.
Preparación para la percepción de la integral.
Formación de habilidades informáticas.
Educación del sentido de la belleza (la capacidad de ver la belleza en lo inusual).

Análisis matemático: un conjunto de ramas de las matemáticas dedicadas al estudio de funciones y sus generalizaciones mediante métodos de cálculo diferencial e integral.

Hasta ahora hemos estudiado una sección del análisis matemático llamada cálculo diferencial, cuya esencia es estudiar una función en “pequeño”.

Aquellos. estudio de la función en vecindades suficientemente pequeñas de cada punto de definición. Una de las operaciones de diferenciación es encontrar la derivada (diferencial) y aplicarla al estudio de funciones.

Igualmente importante es el problema inverso. Si se conoce el comportamiento de una función en las proximidades de cada punto de su definición, entonces cómo restaurar la función en su conjunto, es decir en todo el rango de su definición. Este problema es objeto de estudio del llamado cálculo integral.

La integración es la acción inversa de la diferenciación. O la restauración de la función f(x) a partir de la derivada dada f`(x). palabra latina“integro” significa restauración.

Ejemplo 1.

Sea (x)`=3x 2 .
Encuentre f(x).

Solución:

Con base en la regla de diferenciación, es fácil adivinar que f (x) \u003d x 3, porque (x 3)` \u003d 3x 2
Sin embargo, es fácil ver que f(x) se encuentra de manera ambigua.
Como f(x) podemos tomar
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, etc.

Porque la derivada de cada uno de ellos es 3x2. (La derivada de la constante es 0). Todas estas funciones se diferencian entre sí por un término constante. Por tanto, la solución general del problema se puede escribir como f(x)= x 3 +C, donde C es cualquier número real constante.

Cualquiera de las funciones encontradas f(x) se llama PRIMARIO para la función F`(x) = 3x 2

Definición. La función F(x) se llama antiderivada para la función f(x) en un intervalo dado J, si para todo x de este intervalo F`(x) = f(x). Entonces la función F (x) \u003d x 3 es antiderivada para f (x) \u003d 3x 2 en (- ∞ ; ∞).
Ya que, para todo x ~ R, la igualdad es verdadera: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Como ya hemos notado, esta función tiene un conjunto infinito de antiderivadas (ver ejemplo No. 1).

Ejemplo #2. La función F(x)=x es la antiderivada para todo f(x)= 1/x en el intervalo (0; +), porque para todo x de este intervalo, se cumple la igualdad.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Ejemplo #3 La función F(x)=tg3x es la antiderivada de f(x)=3/cos3x en el intervalo (-n/ 2; PAG/ 2),
porque F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Ejemplo #4 La función F(x)=3sin4x+1/x-2 es antiderivada para f(x)=12cos4x-1/x 2 en el intervalo (0;∞)
porque F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Conferencia 2

Asunto: Primordial. La principal propiedad de la función antiderivada.

Al estudiar la primitiva, nos basaremos en la siguiente afirmación. Signo de constancia de la función: Si en el intervalo J la derivada Ψ(х) de la función es igual a 0, entonces en este intervalo la función Ψ(х) es constante.

Esta afirmación se puede demostrar geométricamente.

Se sabe que Ψ`(x)=tgα, γde α-ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica de la función Ψ(x) en el punto de abscisa x 0 . Si Ψ`(υ)=0 en cualquier punto del intervalo J, entonces tgα=0 δ para cualquier tangente a la gráfica de la función Ψ(x). Esto significa que la tangente a la gráfica de la función en cualquier punto es paralela al eje x. Por tanto, en el intervalo indicado, la gráfica de la función Ψ(x) coincide con el segmento de recta y=C.

Entonces, la función f(x)=c es constante en el intervalo J si f`(x)=0 en este intervalo.

De hecho, para x 1 y x 2 arbitrarios del intervalo J, según el teorema del valor medio de la función, podemos escribir:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), porque f`(c)=0, entonces f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (Propiedad básica de una función antiderivada)

Si F(x) es una de las primitivas de la función f(x) en el intervalo J, entonces el conjunto de todas las primitivas de esta función tiene la forma: F(x)+C, donde C es cualquier número real.

Prueba:

Sea F`(x) = f(x), entonces (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), para x − J.
Supongamos que existe Φ(x), otra primitiva para f (x) en el intervalo J, es decir Φ`(x) = f(x),
entonces (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, para x Є J.
Esto significa que Φ(x) - F(x) es constante en el intervalo J.
Por lo tanto, Φ(x) - F(x) = C.
De donde Φ(x)= F(x)+C.
Esto significa que si F (x) es la primitiva de la función f (x) en el intervalo J, entonces el conjunto de todas las primitivas de esta función tiene la forma: F (x) + C, donde C es cualquier número real.
Por lo tanto, dos primitivas cualesquiera de una función dada difieren entre sí por un término constante.

Ejemplo: Encuentra el conjunto de primitivas de la función f (x) = cos x. Dibuja las gráficas de los tres primeros.

Solución: Sin x - una de las primitivas de la función f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C es el conjunto de todas las antiderivadas.

F 1 (x) = Seno x-1
F 2 (x) = Seno x
F 3 (x) \u003d pecado x + 1

Ilustración geométrica: La gráfica de cualquier antiderivada F(x)+C se puede obtener a partir de la gráfica de la antiderivada F(x) usando la traducción paralela r (0;c).

Ejemplo: Para la función f (x) \u003d 2x, encuentre la antiderivada, cuya gráfica pasa por t.M (1; 4)

Solución: F(х)=х 2 +С es el conjunto de todas las antiderivadas, F(1)=4 - según la condición del problema.
Por lo tanto, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

función antiderivada f(x) entre (a;b) tal función se llama F(x), que la igualdad es válida para cualquier X del intervalo dado.

Si tenemos en cuenta el hecho de que la derivada de la constante CON es igual a cero, entonces se cumple la igualdad. Entonces la función f(x) tiene muchos prototipos F(x)+C, para una constante arbitraria CON, y estas antiderivadas difieren entre sí en un valor constante arbitrario.

Definición integral indefinida.

El conjunto completo de primitivas de una función. f(x) se llama integral indefinida de esta función y se denota .

La expresión se llama integrando, A f(x) – integrando. El integrando es el diferencial de la función. f(x).

La acción de encontrar una función desconocida mediante su diferencial dada se llama incierto integración, porque el resultado de la integración es más de una función F(x), y el conjunto de sus primitivas F(x)+C.

El significado geométrico de la integral indefinida. La gráfica de la primitiva D(x) se llama curva integral. En el sistema de coordenadas x0y, las gráficas de todas las primitivas de una función dada representan una familia de curvas que dependen del valor de la constante C y se obtienen unas de otras mediante un desplazamiento paralelo a lo largo del eje 0y. Para el ejemplo anterior, tenemos:

J 2 x^x = x2 + C.

La familia de antiderivadas (x + C) se interpreta geométricamente como un conjunto de parábolas.

Si necesita encontrar una de una familia de primitivas, entonces se establecen condiciones adicionales que le permiten determinar la constante C. Por lo general, para este propósito, se establecen condiciones iniciales: para el valor del argumento x = x0, la función tiene el valor D(x0) = y0.

Ejemplo. Se requiere encontrar una de las primitivas de la función y \u003d 2 x, que toma el valor 3 en x0 \u003d 1.

La antiderivada deseada: D(x) = x2 + 2.

Solución. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Propiedades básicas de la integral indefinida

1. La derivada de la integral indefinida es igual al integrando:

2. El diferencial de la integral indefinida es igual al integrando:

3. La integral indefinida del diferencial de alguna función es igual a la suma de esta función misma y una constante arbitraria:

4. Del signo integral se puede sacar un factor constante:

5. La integral de la suma (diferencia) es igual a la suma (diferencia) de las integrales:

6. La propiedad es una combinación de las propiedades 4 y 5:

7. La propiedad de invariancia de la integral indefinida:

Si , Eso

8. Propiedad:

Si , Eso

De hecho, esta propiedad es un caso especial de integración que utiliza el método de cambio de variable, que se analiza con más detalle en la siguiente sección.

Considere un ejemplo:

3. método de integración, en el que la integral dada se reduce a una o más integrales de tabla mediante transformaciones idénticas del integrando (o expresión) y aplicando las propiedades de la integral indefinida, se llama integración directa. Al reducir esta integral a una tabular, a menudo se utilizan las siguientes transformaciones del diferencial (la operación " colocando bajo el signo del diferencial»):

En absoluto, f'(u)du = d(f(u)). esta (fórmula se usa muy a menudo en el cálculo de integrales.

Encuentra la integral

Solución. Usamos las propiedades de la integral y reducimos esta integral a varias tabulares.

4. Integración por el método de sustitución.

La esencia del método es que introducimos una nueva variable, expresamos el integrando en términos de esta variable y, como resultado, llegamos a una forma tabular (o más simple) de la integral.

Muy a menudo, el método de sustitución ayuda a la hora de integrar funciones trigonométricas y funciones con radicales.

Ejemplo.

Encuentra la integral indefinida .

Solución.

Introduzcamos una nueva variable. Expresar X a través de z:

Realizamos la sustitución de las expresiones obtenidas en la integral original:

De la tabla de antiderivadas tenemos .

Queda por volver a la variable original. X:

Respuesta:

Una de las operaciones de diferenciación es encontrar la derivada (diferencial) y aplicarla al estudio de funciones.

La integración es la acción inversa de la diferenciación. O la restauración de la función f(x) a partir de la derivada dada f`(x). La palabra latina “integro” significa restauración.

Ejemplo 1.

Sea (f(x))' = 3x 2 . Encuentre f(x).

Solución:

Según la regla de diferenciación, es fácil adivinar que f (x) \u003d x 3, porque

(x 3) ' = 3x 2 Sin embargo, es fácil ver que f (x) se encuentra de manera ambigua. Como f (x) puedes tomar f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, etc.

Cualquiera de las funciones encontradas f(x) se llama primitivo para la función F`(x) = 3x 2

Definición.

La función F(x) se llama antiderivada para la función f(x) en un intervalo dado J, si para todo x de este intervalo F`(x) = f(x). Entonces la función F (x) \u003d x 3 es antiderivada para f (x) \u003d 3x 2 en (- ∞ ; ∞). Ya que, para todo x ~ R, la igualdad es verdadera: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Como ya hemos notado, esta función tiene un conjunto infinito de antiderivadas.

Ejemplo #2.

La función es antiderivada para todos en el intervalo (0; +∞), porque para todo h de este intervalo, se cumple la igualdad.

La tarea de la integración es encontrar todas sus antiderivadas para una función dada. La siguiente afirmación juega un papel importante en la solución de este problema:

Un signo de la constancia de una función. Si F "(x) = 0 en algún intervalo I, entonces la función F es una constante en este intervalo.

Prueba.

Fijemos algo de x 0 del intervalo I. Entonces, para cualquier número x de dicho intervalo, en virtud de la fórmula de Lagrange, se puede especificar un número c entre x y x 0 que

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Por condición, F’ (c) = 0, ya que c ∈1, por lo tanto,

F(x) - F(x 0) = 0.

Entonces, para todo x del intervalo I

es decir, la función F permanece constante.

Todas las funciones antiderivadas f se pueden escribir usando una fórmula, que se llama forma general de antiderivadas de la función F. El siguiente teorema es verdadero ( propiedad básica de los primitivos):

Teorema. Cualquier antiderivada de la función f en el intervalo I se puede escribir como

F(x) + C, (1) donde F(x) es una de las primitivas de la función f(x) en el intervalo I, y C es una constante arbitraria.

Expliquemos este enunciado, en el que se formulan brevemente dos propiedades de la antiderivada:

cualquier número que pongamos en la expresión (1) en lugar de C, obtenemos la antiderivada de f en el intervalo I;
Cualquiera que sea la antiderivada F para f en el intervalo I, se puede elegir un número C tal que para todo x del intervalo I se cumpla la igualdad.

Prueba.

Por condición, la función F es la antiderivada de f en el intervalo I. Por lo tanto, F "(x) \u003d f (x) para cualquier x∈1, por lo tanto (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" = f(x)+0=f(x), es decir, F(x) + C es la antiderivada de la función f.
Sea Ф (х) una de las antiderivadas de la función f en el mismo intervalo I, es decir, Ф "(x) = f (х) para todo x∈I.

Entonces (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

Se sigue de aquí. debido al signo de la constancia de la función, que la diferencia Ф (х) - F (х) es una función que toma algún valor constante C en el intervalo I.

Así, para todo x del intervalo I, se cumple la igualdad Ф(х) - F(x)=С, lo cual debía demostrarse. La propiedad principal de la antiderivada se puede dar. sentido geométrico: Las gráficas de dos primitivas cualesquiera para la función f se obtienen entre sí mediante traslación paralela a lo largo del eje y.

Preguntas para resúmenes

La función F(x) es una antiderivada de la función f(x). Encuentre F(1) si f(x)=9x2 - 6x + 1 y F(-1) = 2.

Encuentra todas las antiderivadas de una función.

Para la función (x) = cos2 * sin2x, encuentre la primitiva F(x) si F(0) = 0.

Para una función, encuentre la antiderivada cuya gráfica pasa por el punto