Concepto de paralelogramo
Definición 1
Paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos entre sí (Fig. 1).
Foto 1.
Un paralelogramo tiene dos propiedades principales. Considerémoslos sin pruebas.
Propiedad 1: Los lados y ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, respectivamente.
Propiedad 2: Las diagonales dibujadas en un paralelogramo son bisecadas por su punto de intersección.
Signos de un paralelogramo
Consideremos tres características de un paralelogramo y presentémoslas en forma de teoremas.
Teorema 1
Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y además paralelos, entonces este cuadrilátero será un paralelogramo.
Prueba.
Tengamos un cuadrilátero $ABCD$. En el cual $AB||CD$ y $AB=CD$ Dibujemos una diagonal $AC$ en él (Fig. 2).
Figura 2.
Considere las rectas paralelas $AB$ y $CD$ y su secante $AC$. Entonces
\[\ángulo CAB=\ángulo DCA\]
como esquinas entrecruzadas.
Según el criterio $I$ de igualdad de triángulos,
ya que $AC$ es su lado común, y $AB=CD$ por condición. Medio
\[\ángulo DAC=\ángulo ACB\]
Considere las rectas $AD$ y $CB$ y su secante $AC$; por la última igualdad entre los ángulos horizontales obtenemos $AD||CB$.) En consecuencia, por definición $1$, este cuadrilátero es un paralelogramo.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema 2
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales, entonces es un paralelogramo.
Prueba.
Tengamos un cuadrilátero $ABCD$. En el cual $AD=BC$ y $AB=CD$. Dibujemos en él una diagonal $AC$ (Fig. 3).
Figura 3.
Dado que $AD=BC$, $AB=CD$ y $AC$ son un lado común, entonces, según el criterio $III$ para la igualdad de triángulos,
\[\triángulo DAC=\triángulo ACB\]
\[\ángulo DAC=\ángulo ACB\]
Consideremos las rectas $AD$ y $CB$ y su secante $AC$; por la última igualdad entre los ángulos horizontales obtenemos que $AD||CB$. Por lo tanto, por definición $1$, este cuadrilátero es un paralelogramo.
\[\ángulo DCA=\ángulo CAB\]
Consideremos las rectas $AB$ y $CD$ y su secante $AC$; por la última igualdad entre los ángulos horizontales obtenemos que $AB||CD$. Por lo tanto, según la Definición 1, este cuadrilátero es un paralelogramo.
El teorema ha sido demostrado.
Teorema 3
Si las diagonales dibujadas en un cuadrilátero se dividen en dos partes iguales por su punto de intersección, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba.
Tengamos un cuadrilátero $ABCD$. Dibujemos en él las diagonales $AC$ y $BD$. Déjelos que se crucen en el punto $O$ (Fig. 4).
Figura 4.
Dado que, por condición, $BO=OD,\ AO=OC$, y los ángulos $\angle COB=\angle DOA$ son verticales, entonces, según el criterio $I$ para la igualdad de triángulos,
\[\triangle BOC=\triangle AOD\]
\[\ángulo DBC=\ángulo BDA\]
Considere las rectas $BC$ y $AD$ y su secante $BD$; por la última igualdad entre los ángulos horizontales obtenemos que $BC||AD$. También $BC=AD$. Por lo tanto, según el teorema $1$, este cuadrilátero es un paralelogramo.
Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, es decir se encuentran en líneas paralelas
Propiedades de un paralelogramo: 
Teorema 22.
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.
Prueba. En el paralelogramo ABCD dibujamos una diagonal AC. Los triángulos ACD y ACB son iguales porque tienen un lado común AC y dos pares. ángulos iguales. adyacente a él: ∠ CAB=∠ ACD, ∠ ACB=∠ DAC (como ángulos transversales con líneas paralelas AD y BC). Esto significa que AB = CD y BC = AD, como los lados correspondientes de triángulos iguales, etc. De la igualdad de estos triángulos también se deduce que los ángulos correspondientes de los triángulos son iguales:
Teorema 23.
Los ángulos opuestos del paralelogramo son iguales: ∠ A=∠ C y ∠ B=∠ D.
La igualdad del primer par proviene de la igualdad de los triángulos ABD y CBD, y del segundo, ABC y ACD.
Teorema 24.
Ángulos adyacentes de un paralelogramo, es decir Los ángulos adyacentes a un lado suman 180 grados.
Esto es así porque son ángulos interiores unilaterales.
Teorema 25.
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan en su punto de intersección.
Prueba. Considere los triángulos BOC y AOD. Según la primera propiedad AD=BC ∠ OAD=∠ OCB y ∠ ODA=∠ OBC transversales para las rectas paralelas AD y BC. Por tanto, los triángulos BOC y AOD son iguales en ángulos laterales y adyacentes. Esto significa BO=OD y AO=OS, como los lados correspondientes de triángulos iguales, etc.
Signos de un paralelogramo
Teorema 26.
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces es un paralelogramo.
Prueba. Sea el cuadrilátero ABCD los lados AD y BC, AB y CD respectivamente iguales (Fig. 2). Dibujemos la diagonal AC. Los triángulos ABC y ACD son iguales en tres lados. Entonces los ángulos BAC y DCA son iguales y, por tanto, AB es paralelo a CD. El paralelismo de los lados BC y AD se deriva de la igualdad de los ángulos CAD y ACB.
Teorema 27.
Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces es un paralelogramo.
Sean ∠ A=∠ C y ∠ B=∠ D. Porque ∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360 o, entonces ∠ A+∠ B=180 o y los lados AD y BC son paralelos (basado en el paralelismo de rectas). También demostraremos el paralelismo de los lados AB y CD y concluiremos que ABCD es un paralelogramo por definición.
Teorema 28.
Si las esquinas adyacentes de un cuadrilátero, es decir Los ángulos adyacentes a un lado suman 180 grados, entonces es un paralelogramo.
Si los ángulos interiores de un lado suman 180 grados, entonces las rectas son paralelas. Entonces AB es paralelo a CD y BC es paralelo a AD. Un cuadrilátero resulta ser un paralelogramo por definición.
Teorema 29.
Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan en el punto de intersección, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Prueba. Si AO = OC, BO = OD, entonces los triángulos AOD y BOC son iguales, ya que tienen ángulos (verticales) iguales en el vértice O, encerrados entre pares de lados iguales. De la igualdad de los triángulos concluimos que AD y BC son iguales. Los lados AB y CD también son iguales y el cuadrilátero resulta ser un paralelogramo según el criterio 1.
Teorema 30.
Si un cuadrilátero tiene un par de lados iguales y paralelos, entonces es un paralelogramo.
Sean los lados AB y CD del cuadrilátero ABCD paralelos e iguales. Dibujemos las diagonales AC y BD. Del paralelismo de estas rectas se deduce que los ángulos transversales ABO = CDO y BAO = OCD son iguales. Los triángulos ABO y CDO son iguales en ángulos laterales y adyacentes. Por lo tanto AO=OS, VO=ОD, es decir Las diagonales se dividen por la mitad por el punto de intersección y el cuadrilátero resulta ser un paralelogramo según el criterio 4.
En geometría se consideran casos especiales de paralelogramos.
Al resolver problemas sobre este tema, excepto propiedades básicas paralelogramo y las fórmulas correspondientes, puedes recordar y aplicar lo siguiente:
- La bisectriz de un ángulo interior de un paralelogramo corta un triángulo isósceles.
- Las bisectrices de ángulos interiores adyacentes a uno de los lados de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares.
- Las bisectrices que provienen de esquinas interiores opuestas de un paralelogramo son paralelas entre sí o se encuentran en la misma línea recta.
- La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados.
- El área de un paralelogramo es igual a la mitad del producto de las diagonales por el seno del ángulo entre ellas
Consideremos problemas en los que se utilizan estas propiedades.
Tarea 1.
La bisectriz del ángulo C del paralelogramo ABCD corta el lado AD en el punto M y la continuación del lado AB más allá del punto A en el punto E. Calcula el perímetro del paralelogramo si AE = 4, DM = 3.
Solución.
1. El triángulo CMD es isósceles. (Propiedad 1). Por tanto, CD = MD = 3 cm.
2. El triángulo EAM es isósceles.
Por tanto, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perímetro ABCD = 20 cm.
Respuesta. 20 centímetros.
Tarea 2.
Las diagonales se dibujan en un cuadrilátero convexo ABCD. Se sabe que las áreas de los triángulos ABD, ACD, BCD son iguales. Demuestra que este cuadrilátero es un paralelogramo.
Solución.
1. Sea BE la altura del triángulo ABD, CF la altura del triángulo ACD. Dado que, según las condiciones del problema, las áreas de los triángulos son iguales y tienen una base común AD, entonces las alturas de estos triángulos son iguales. SER = CF.
2. BE, CF son perpendiculares a AD. Los puntos B y C están ubicados en el mismo lado con respecto a la línea recta AD. SER = CF. Por tanto, la recta BC || ANUNCIO. (*)
3. Sea AL la altura del triángulo ACD y BK la altura del triángulo BCD. Dado que, según las condiciones del problema, las áreas de los triángulos son iguales y tienen una base común CD, entonces las alturas de estos triángulos son iguales. AL = BK.
4. AL y BK son perpendiculares a CD. Los puntos B y A están ubicados en el mismo lado con respecto a la línea recta CD. AL = BK. Por tanto, la recta AB || CD (**)
5. De las condiciones (*), (**) se deduce que ABCD es un paralelogramo.
Respuesta. Probado. ABCD es un paralelogramo.
Tarea 3.
En los lados BC y CD del paralelogramo ABCD, los puntos M y H están marcados, respectivamente, de modo que los segmentos BM y HD se cruzan en el punto O;<ВМD = 95 о,
Solución.
1. En el triángulo DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. En un triángulo rectángulo DHC Entonces<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Pero CD = AB. Entonces AB:HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Respuesta: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Tarea 4. Una de las diagonales de un paralelogramo de longitud 4√6 forma un ángulo de 60° con la base y la segunda diagonal forma un ángulo de 45° con la misma base. Encuentra la segunda diagonal. Solución.
1. AO = 2√6. 2. Aplicamos el teorema del seno al triángulo AOD. AO/sen D = OD/sen A. 2√6/sen 45 o = OD/sen 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Respuesta: 12.
Tarea 5. Para un paralelogramo con lados 5√2 y 7√2, el ángulo menor entre las diagonales es igual al ángulo menor del paralelogramo. Encuentra la suma de las longitudes de las diagonales. Solución.
Sean d 1, d 2 las diagonales del paralelogramo, y el ángulo entre las diagonales y el ángulo más pequeño del paralelogramo es igual a φ. 1. Contemos dos diferentes S ABCD = AB AD sen A = 5√2 7√2 sen f, S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen f. Obtenemos la igualdad 5√2 · 7√2 · sen f = 1/2d 1 d 2 sen f o 2 · 5√2 · 7√2 = re 1 re 2 ; 2. Usando la relación entre los lados y las diagonales del paralelogramo, escribimos la igualdad (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = re 1 2 + re 2 2. re 1 2 + re 2 2 = 296. 3. Creemos un sistema: (re 1 2 + re 2 2 = 296, Multipliquemos la segunda ecuación del sistema por 2 y sumémosla a la primera. Obtenemos (d 1 + d 2) 2 = 576. Por tanto, Id 1 + d 2 I = 24. Dado que d 1, d 2 son las longitudes de las diagonales del paralelogramo, entonces d 1 + d 2 = 24. Respuesta: 24.
Tarea 6. Los lados del paralelogramo son 4 y 6. El ángulo agudo entre las diagonales es de 45 grados. Encuentra el área del paralelogramo. Solución.
1. Del triángulo AOB, usando el teorema del coseno, escribimos la relación entre el lado del paralelogramo y las diagonales. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. re 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64. 2. De manera similar, escribimos la relación para el triángulo AOD. tomemos en cuenta que<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Obtenemos la ecuación d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Tenemos un sistema Restando la primera de la segunda ecuación, obtenemos 2d 1 · d 2 √2 = 80 o re 1 re 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sen AOB = 1/2 d 1 d 2 sen α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Nota: En este problema y en el anterior no es necesario resolver el sistema por completo, anticipando que en este problema necesitamos el producto de diagonales para calcular el área. Respuesta: 10. Tarea 7. El área del paralelogramo es 96 y sus lados son 8 y 15. Encuentra el cuadrado de la diagonal más pequeña. Solución.
1. S ABCD = AB · AD · sen ВAD. Hagamos una sustitución en la fórmula. Obtenemos 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Por tanto sen ВAD = 4/5. 2. Busquemos cos VAD. sen 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25. Según las condiciones del problema, encontramos la longitud de la diagonal menor. La diagonal ВАD será menor si el ángulo ВАD es agudo. Entonces cos VAD = 3/5. 3. Del triángulo ABD, usando el teorema del coseno, encontramos el cuadrado de la diagonal BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Respuesta: 145.
¿Aún tienes preguntas? ¿No sabes cómo resolver un problema de geometría? sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. La siguiente figura muestra el paralelogramo ABCD. Tiene el lado AB paralelo al lado CD y el lado BC paralelo al lado AD. Como habrás adivinado, un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Consideremos las propiedades básicas de un paralelogramo. 1. En un paralelogramo, los ángulos opuestos y los lados opuestos son iguales. Demostremos esta propiedad: considere el paralelogramo presentado en la siguiente figura. La diagonal BD lo divide en dos triángulos iguales: ABD y CBD. Son iguales a lo largo del lado BD y los dos ángulos adyacentes a él, ya que los ángulos que se encuentran transversalmente en la secante BD de las líneas paralelas BC y AD y AB y CD, respectivamente. Por lo tanto AB = CD y 2. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección. Sea el punto O el punto de intersección de las diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD. Entonces el triángulo AOB y el triángulo COD son iguales entre sí, en el lado y en dos ángulos adyacentes. (AB = CD ya que estos son lados opuestos del paralelogramo. Y ángulo1 = ángulo2 y ángulo3 = ángulo4 son como ángulos transversales cuando las líneas AB y CD se cruzan con las secantes AC y BD, respectivamente.) De esto se deduce que AO = OC y OB = OD, que necesitaba ser probado. Todas las propiedades principales se ilustran en las tres figuras siguientes. "Un descubrimiento científico importante proporciona una solución a un problema importante, pero en la solución de cualquier problema hay una pizca de descubrimiento". Un paralelogramo tiene lados opuestos que son iguales. Prueba. Sea ABCD el paralelogramo dado. Y dejemos que sus diagonales se crucen en el punto O. En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. Prueba. Las diagonales de un paralelogramo se cortan y se bisecan en el punto de intersección. Prueba. Sea ABCD el paralelogramo dado. Dibujemos la diagonal AC. Marquemos en él la O del medio. En la continuación del segmento DO, dejaremos a un lado el segmento OB 1 igual a DO. En los libros de texto de las escuelas regulares (por ejemplo, en Pogorelovo) se demuestra así: las diagonales dividen un paralelogramo en 4 triángulos. Consideremos un par y descubramos: son iguales: sus bases son lados opuestos, los ángulos correspondientes adyacentes son iguales, como ángulos verticales con líneas paralelas. Es decir, los segmentos de las diagonales son iguales por pares. Todo. ¿Eso es todo? Lo curioso es que esta parte es mucho más difícil de demostrar. Esto se desprende, por cierto, de un resultado más general: cualquier cuadrilátero convexo tendrá diagonales que se cruzan, pero cualquier cuadrilátero no convexo no. Sobre la igualdad de triángulos según un lado y dos ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de triángulos) y otros. Tales encontró una importante aplicación práctica al teorema sobre la igualdad de dos triángulos a lo largo de un lado y dos ángulos adyacentes. En el puerto de Mileto se construyó un telémetro para determinar la distancia a un barco en el mar. Constaba de tres clavijas impulsadas A, B y C (AB = BC) y una línea recta marcada SC, perpendicular a CA. Cuando apareció un barco en la recta SK, encontramos el punto D tal que los puntos D, .B y E estaban en la misma recta. Como se desprende claramente del dibujo, la distancia CD en tierra es la distancia deseada al barco. Trabajamos en la lección. Kuznetsov A.V. Poturnak S.A. Evgeniy Petrov Puedes plantear una pregunta sobre la educación moderna, expresar una idea o resolver un problema urgente en foro educativo, donde se reúne a nivel internacional un consejo educativo de pensamiento y acción frescos. habiendo creado Blog, No sólo mejorará su condición de profesor competente, sino que también contribuirá de forma significativa al desarrollo de la escuela del futuro. Gremio de líderes educativos abre las puertas a especialistas de primer nivel y los invita a cooperar en la creación de las mejores escuelas del mundo.
(
(Ya que en un triángulo rectángulo el cateto opuesto al ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa).
maneras su área.
(d 1 + d 2 = 140.
(re 1 2 + re 2 2 – re 1 · re 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
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Propiedades de un paralelogramo
antes de Cristo = d.C. Y de la igualdad de los ángulos 1, 2, 3 y 4 se deduce que ángulo A = ángulo1 + ángulo3 = ángulo2 + ángulo4 = ángulo C.
Tema de la lección
Objetivos de la lección
Objetivos de la lección
Plan de estudios
Introducción
Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo
Dado que Δ AOB = Δ COD por el primer criterio de igualdad de los triángulos (∠ AOB = ∠ COD, como verticales, AO=OC, DO=OB, por la propiedad de las diagonales de un paralelogramo), entonces AB=CD. De la misma forma, de la igualdad de los triángulos BOC y DOA se sigue que BC = DA. El teorema ha sido demostrado. Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.
Sea ABCD el paralelogramo dado. Y dejemos que sus diagonales se crucen en el punto O.
De lo demostrado en el teorema sobre las propiedades de los lados opuestos de un paralelogramo Δ ABC = Δ CDA en tres lados (AB=CD, BC=DA de lo demostrado, AC – general). De la igualdad de triángulos se deduce que ∠ ABC = ∠ CDA.
También se demuestra que ∠ DAB = ∠ BCD, lo que se deriva de ∠ ABD = ∠ CDB. El teorema ha sido demostrado.Propiedad de las diagonales de un paralelogramo.
Según el teorema anterior, AB 1 CD es un paralelogramo. Por tanto, la recta AB 1 es paralela a DC. Pero por el punto A sólo se puede trazar una recta paralela a DC. Esto significa que la recta AB 1 coincide con la recta AB.
También se demuestra que BC 1 coincide con BC. Esto significa que el punto C coincide con C 1. El paralelogramo ABCD coincide con el paralelogramo AB 1 CD. En consecuencia, las diagonales del paralelogramo se cruzan y se bisecan en el punto de intersección. El teorema ha sido demostrado.
Anteriormente se demostró que el punto de intersección biseca las diagonales, si existe. El razonamiento anterior no prueba de ninguna manera su existencia. Es decir, parte del teorema “las diagonales de un paralelogramo se cruzan” sigue sin demostrarse.
Preguntas
Lista de fuentes utilizadas
