Trapecio se llama cuadrilátero cuyo solo dos los lados son paralelos entre sí.
Se llaman bases de la figura, el resto se llama lados. Los paralelogramos se consideran casos especiales de la figura. También hay un trapecio curvo, que incluye la gráfica de una función. Las fórmulas para el área de un trapezoide incluyen casi todos sus elementos y mejor solución se selecciona dependiendo de los valores especificados.
Los papeles principales en el trapezoide se asignan a la altura y la línea media. linea media- Esta es una línea que conecta los puntos medios de los lados. Altura El trapezoide se dibuja en ángulo recto desde la esquina superior hasta la base.
El área de un trapezoide a través de su altura es igual al producto de la mitad de la suma de las longitudes de las bases multiplicada por la altura:
Si la línea media se conoce según las condiciones, entonces esta fórmula se simplifica significativamente, ya que es igual a la mitad de la suma de las longitudes de las bases:
Si, de acuerdo con las condiciones, se dan las longitudes de todos los lados, entonces podemos considerar un ejemplo de cálculo del área de un trapezoide utilizando estos datos: 
Supongamos que nos dan un trapezoide con bases a = 3 cm, b = 7 cm y lados c = 5 cm, d = 4 cm. Hallemos el área de la figura: 
Área de un trapezoide isósceles
Un trapezoide isósceles o, como también se le llama, trapezoide isósceles, se considera un caso aparte.
Un caso especial es encontrar el área de un trapezoide isósceles (equilátero). La fórmula se deriva de varias maneras– a través de diagonales, a través de ángulos adyacentes a la base y al radio del círculo inscrito.
Si la longitud de las diagonales se especifica según las condiciones y se conoce el ángulo entre ellas, se puede utilizar la siguiente fórmula:
¡Recuerda que las diagonales de un trapecio isósceles son iguales entre sí!
Es decir, conociendo una de sus bases, lado y ángulo, podrás calcular fácilmente el área.
Área de un trapecio curvo
Un caso especial es trapecio curvo. Está ubicado en el eje de coordenadas y está limitado por la gráfica de una función positiva continua.
Su base se ubica en el eje X y está limitada por dos puntos: 
Las integrales ayudan a calcular el área de un trapecio curvo.
La fórmula está escrita así:
Consideremos un ejemplo de cálculo del área de un trapecio curvo. La fórmula requiere algunos conocimientos para trabajar con ella. ciertas integrales. Primero, veamos el valor de la integral definida: 
Aquí F(a) es el valor función antiderivada f(x) en el punto a, F(b) es el valor de la misma función f(x) en el punto b. 
Ahora resolvamos el problema. La figura muestra un trapezoide curvo acotado por la función. Función 
Necesitamos encontrar el área de la figura seleccionada, que es un trapecio curvilíneo delimitado desde arriba por la gráfica, a la derecha por la recta x =(-8), a la izquierda por la recta x =(- 10) y el eje OX debajo.
Calcularemos el área de esta figura usando la fórmula: 
Las condiciones del problema nos dan una función. Utilizándolo encontraremos los valores de la antiderivada en cada uno de nuestros puntos:
Ahora
Respuesta: El área de un trapecio curvo dado es 4.
No hay nada complicado en calcular este valor. Lo único importante es extremar el cuidado en los cálculos.
trapezoide es tipo especial un cuadrilátero en el que dos lados opuestos son paralelos entre sí, pero los otros dos no. Varios objetos reales tienen forma trapezoidal, por lo que es posible que necesites calcular el perímetro de dicha figura geométrica para resolver problemas cotidianos o escolares.
Geometría trapezoidal
Un trapezoide (del griego “trapezion” - mesa) es una figura en un plano limitada por cuatro segmentos, dos de los cuales son paralelos y dos no. Los segmentos paralelos se llaman bases del trapezoide y los segmentos no paralelos se llaman lados de la figura. Los lados y sus ángulos de inclinación determinan el tipo de trapezoide, que puede ser escaleno, isósceles o rectangular. Además de las bases y los lados, el trapezoide tiene dos elementos más:
- altura - distancia entre bases paralelas figuras;
- línea media: un segmento que conecta los puntos medios de los lados.
Este figura geométrica muy extendido en la vida real.
Trapezoide en realidad
EN la vida cotidiana Muchos objetos reales adoptan forma trapezoidal. Puede encontrar fácilmente trapecios en las siguientes áreas de actividad humana:
- diseño y decoración de interiores: sofás, tableros de mesa, paredes, alfombras, falsos techos;
- diseño de paisajes: límites de césped y embalses artificiales, formas de elementos decorativos;
- moda: la forma de ropa, zapatos y accesorios;
- arquitectura: ventanas, paredes, cimientos de edificios;
- producción: diversos productos y piezas.
Con el uso tan extendido de los trapecios, los especialistas a menudo tienen que calcular el perímetro de una figura geométrica.
Perímetro trapezoidal
El perímetro de una figura es una característica numérica que se calcula como la suma de las longitudes de todos los lados del n-gon. Un trapezoide es un cuadrilátero y en general todos sus lados tienen diferentes longitudes, por lo que el perímetro se calcula mediante la fórmula:
P = a + b + c + d,
donde a y c son las bases de la figura, b y d son sus lados.
Aunque no necesitamos saber la altura al calcular el perímetro de un trapezoide, el código de la calculadora requiere ingresar esta variable. Dado que la altura no tiene ningún efecto en los cálculos, al utilizar nuestra calculadora en línea puede ingresar cualquier valor de altura que sea mayor que cero. Veamos un par de ejemplos.
Ejemplos de la vida real
Pañuelo
Digamos que tienes una bufanda en forma de trapezoide y quieres adornarla con flecos. Necesitarás conocer el perímetro de la bufanda para no comprar material extra ni ir a la tienda dos veces. Deje que su bufanda isósceles tenga los siguientes parámetros: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Ingresamos estos datos en el formulario en línea y obtenemos la respuesta en el formulario:
Así, el perímetro de la bufanda es de 340 cm, y este es exactamente el largo de la trenza de flecos para rematarla.
Pendientes
Por ejemplo, decide hacer pendientes para ventanas de metal y plástico no estándar que tienen forma trapezoidal. Estas ventanas se utilizan ampliamente en el diseño de edificios, creando una composición de varias hojas. Muy a menudo, estas ventanas se fabrican en forma trapezoide rectangular. Averigüemos cuánto material se necesita para hacer las pendientes de dicha ventana. Una ventana estándar tiene los siguientes parámetros a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Usamos estos datos y obtenemos el resultado en el formulario.
Por lo tanto, el perímetro de la ventana trapezoidal es de 390 cm, y esa es exactamente la cantidad de paneles de plástico que necesitarás comprar para formar las pendientes.
Conclusión
El trapezoide es una figura popular en la vida cotidiana, cuya determinación de parámetros puede ser necesaria en las situaciones más inesperadas. Calcular perímetros trapezoidales es necesario para muchos profesionales: desde ingenieros y arquitectos hasta diseñadores y mecánicos. Nuestro catálogo de calculadoras en línea le permitirá realizar cálculos para cualquier forma y cuerpo geométrico.
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ZONA DEL TRAPEZOIDE
Elige la fórmula para calcular el área de un trapezoide que piensas utilizar para resolver el problema que te asignan:
Teoría general para calcular el área de un trapezoide.
trapezoide - Esta es una figura plana que consta de cuatro puntos, tres de los cuales no se encuentran en la misma línea, y cuatro segmentos (lados) que conectan estos cuatro puntos en pares, en los cuales dos lados opuestos son paralelos (se encuentran en líneas paralelas), y el los otros dos no son paralelos.
Los puntos se llaman vértices de un trapezoide y se indican en letras latinas mayúsculas.
Los segmentos se llaman lados trapezoidales y se indican con un par de letras mayúsculas letras latinas correspondiente a los vértices que conectan los segmentos.
Dos lados paralelos de un trapezoide se llaman bases trapezoidales .
Dos lados no paralelos de un trapezoide se llaman lados del trapezoide .
Figura No. 1: Trapezoide ABCD
La figura 1 muestra el trapezoide ABCD con vértices A, B,C, D y lados AB, BC, CD, DA.
AB ǁ DC - bases del trapezoide ABCD.
AD, BC - lados laterales del trapezoide ABCD.
El ángulo formado por los rayos AB y AD se llama ángulo en el vértice A. Se denota como ÐA o ÐBAD, o ÐDAB.
El ángulo formado por los rayos BA y BC se llama ángulo en el vértice B. Se denota como ÐB o ÐABC, o ÐCBA.
El ángulo formado por los rayos CB y CD se llama ángulo de vértice C. Se denota como ÐC o ÐDCB, o ÐBCD.
El ángulo formado por los rayos AD y CD se llama ángulo de vértice D. Se denota como ÐD o ÐADC, o ÐCDA.
Figura No. 2: Trapezoide ABCD
En la Figura 2, el segmento MN que conecta los puntos medios de los lados laterales se llama línea media del trapezoide.
Línea media del trapezoide paralelo a las bases e igual a su mitad de la suma. Eso es, 
.
Figura No. 3: Trapecio isósceles ABCD
En la Figura 3, AD=BC.
El trapecio se llama isósceles (isosceles), si sus lados son iguales.
Figura No. 4: Trapezoide rectangular ABCD
En la Figura No. 4, el ángulo D es recto (igual a 90°).
El trapecio se llama rectangular, si el ángulo del lado es recto.
Zona S plana Las figuras, entre las que se incluye el trapezoide, se denominan espacio cerrado limitado en un plano. Cuadrado figura plana muestra el tamaño de esta figura.
La zona tiene varias propiedades:
1. No puede ser negativo.
2. Si se da una determinada área cerrada en el plano, que está formada por varias figuras que no se cruzan entre sí (es decir, las figuras no tienen puntos internos comunes, pero bien pueden tocarse), entonces el área de tal área es igual a la suma de las áreas de sus figuras constitutivas.
3. Si dos figuras son iguales, entonces sus áreas son iguales.
4. El área de un cuadrado, que está construido sobre un segmento unitario, es igual a uno.
Para unidad medidas área toma el área de un cuadrado cuyo lado es igual a unidad medidas segmentos.
Al resolver problemas, a menudo se utilizan las siguientes fórmulas para calcular el área de un trapezoide:
1. El área de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases multiplicada por su altura:
2. El área de un trapezoide es igual al producto de su línea media por su altura:
3. Con longitudes conocidas de las bases y lados del trapezoide, su área se puede calcular mediante la fórmula: 
4. Es posible calcular el área de un trapezoide isósceles con una longitud conocida del radio del círculo inscrito en el trapezoide y significado conocidoángulo en la base según la siguiente fórmula:
Ejemplo 1: Calcula el área de un trapecio con bases a=7, b=3 y altura h=15.
Solución:
Respuesta:
Ejemplo 2: Encuentra el lado de la base de un trapezoide con área S = 35 cm 2, altura h = 7 cm y segunda base b = 2 cm.
Solución:
Para encontrar el lado de la base de un trapezoide utilizamos la fórmula para calcular el área:
Expresemos a partir de esta fórmula el lado de la base del trapezoide:
Así, tenemos lo siguiente:
Respuesta:
Ejemplo 3: Encuentre la altura de un trapezoide con área S = 17 cm 2 y bases a = 30 cm, b = 4 cm.
Solución:
Para encontrar la altura de un trapezoide utilizamos la fórmula para calcular el área:
Así, tenemos lo siguiente:
Respuesta:
Ejemplo 4: Calcula el área de un trapezoide con altura h=24 y recta central m=5.
Solución:
Para encontrar el área de un trapecio, utilizamos la siguiente fórmula para calcular el área:
Así, tenemos lo siguiente:
Respuesta:
Ejemplo 5: Encuentre la altura de un trapezoide con área S = 48 cm 2 y línea central m = 6 cm.
Solución:
Para encontrar la altura de un trapecio, usamos la fórmula para calcular el área de un trapezoide:
Expresemos la altura del trapezoide a partir de esta fórmula:
Así, tenemos lo siguiente:
Respuesta:
Ejemplo 6: Encuentra la línea media de un trapezoide con área S = 56 y altura h = 4.
Solución:
Para encontrar la línea media de un trapecio, usamos la fórmula para calcular el área de un trapezoide:
Expresemos la línea media del trapezoide a partir de esta fórmula:
Así, tenemos lo siguiente.
Y . Ahora podemos comenzar a considerar la cuestión de cómo encontrar el área de un trapezoide. Esta tarea surge muy raramente en la vida cotidiana, pero a veces resulta necesario, por ejemplo, encontrar el área de una habitación en forma de trapezoide, que se utiliza cada vez más en la construcción de apartamentos modernos, o en diseñar proyectos de renovación.
Un trapezoide es una figura geométrica formada por cuatro segmentos que se cruzan, dos de los cuales son paralelos entre sí y se denominan bases del trapezoide. Los otros dos segmentos se llaman lados del trapezoide. Además, necesitaremos otra definición más adelante. Esta es la línea media del trapezoide, que es un segmento que conecta los puntos medios de los lados y la altura del trapezoide, que es igual a la distancia entre las bases.
Al igual que los triángulos, los trapecios tienen tipos especiales en forma de trapecio isósceles (equilátero), en el que las longitudes de los lados son iguales, y de trapezoide rectangular, en el que uno de los lados forma un ángulo recto con las bases.
Los trapecios tienen algunas propiedades interesantes:
- La línea media del trapezoide es igual a la mitad de la suma de las bases y es paralela a ellas.
- Los trapecios isósceles tienen lados iguales y los ángulos que forman con las bases.
- Los puntos medios de las diagonales de un trapezoide y el punto de intersección de sus diagonales están en la misma recta.
- Si la suma de los lados de un trapezoide es igual a la suma de las bases, entonces se puede inscribir en él una circunferencia.
- Si la suma de los ángulos formados por los lados de un trapezoide en cualquiera de sus bases es 90, entonces la longitud del segmento que conecta los puntos medios de las bases es igual a su media diferencia.
- Un trapezoide isósceles se puede describir mediante un círculo. Y viceversa. Si un trapezoide cabe en un círculo, entonces es isósceles.
- El segmento que pasa por los puntos medios de las bases de un trapezoide isósceles será perpendicular a sus bases y representa el eje de simetría.
Cómo encontrar el área de un trapezoide.
El área del trapezoide será igual a la mitad de la suma de sus bases multiplicada por su altura. En forma de fórmula, esto se escribe como una expresión:
donde S es el área del trapezoide, a, b es la longitud de cada una de las bases del trapezoide, h es la altura del trapezoide.
Puede comprender y recordar esta fórmula de la siguiente manera. Como se desprende de la figura siguiente, utilizando la línea central, un trapezoide se puede convertir en un rectángulo, cuya longitud será igual a la mitad de la suma de las bases.
También puedes descomponer cualquier trapezoide en figuras más simples: un rectángulo y uno o dos triángulos, y si te resulta más fácil, encuentra el área del trapezoide como la suma de las áreas de sus figuras constituyentes.
Existe otra fórmula sencilla para calcular su área. Según él, el área de un trapezoide es igual al producto de su línea media por la altura del trapezoide y se escribe de la forma: S = m*h, donde S es el área, m es la longitud del línea media, h es la altura del trapezoide. Esta fórmula es más adecuada para problemas matemáticos que para problemas cotidianos, ya que en condiciones reales no se sabrá la longitud de la línea central sin cálculos preliminares. Y sólo sabrás las longitudes de las bases y los lados.
En este caso, el área del trapezoide se puede encontrar mediante la fórmula:
S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2
donde S es el área, a, b son las bases, c, d son los lados del trapezoide.
Hay varias otras formas de encontrar el área de un trapezoide. Pero son tan inconvenientes como la última fórmula, lo que significa que no tiene sentido insistir en ellas. Por lo tanto, le recomendamos que utilice la primera fórmula del artículo y deseamos que siempre obtenga resultados precisos.
La práctica del Examen Estatal Unificado y del Examen Estatal del año pasado muestra que los problemas de geometría causan dificultades a muchos escolares. Podrás afrontarlos fácilmente si memorizas todas las fórmulas necesarias y practicas la resolución de problemas.
En este artículo verás fórmulas para encontrar el área de un trapezoide, así como ejemplos de problemas con solución. Es posible que te encuentres con los mismos en los KIM durante los exámenes de certificación o en las Olimpiadas. Por lo tanto, trátelos con cuidado.
¿Qué necesitas saber sobre el trapezoide?
Para empezar recordemos que trapezoide Se llama cuadrilátero en el que dos lados opuestos, también llamados bases, son paralelos y los otros dos no.
En un trapezoide también se puede reducir la altura (perpendicular a la base). Se dibuja la línea media: es una línea recta paralela a las bases e igual a la mitad de su suma. Así como diagonales que pueden cruzarse formando ángulos agudos y obtusos. O, en en algunos casos, en ángulo recto. Además, si el trapezoide es isósceles, se puede inscribir en él un círculo. Y describe un círculo a su alrededor.
Fórmulas del área trapezoidal
Primero, veamos las fórmulas estándar para encontrar el área de un trapezoide. Consideraremos formas de calcular el área de trapecios isósceles y curvilíneos a continuación.
Entonces, imagina que tienes un trapezoide con bases a y b, en el que la altura h se reduce a la base más grande. Calcular el área de una figura en este caso es tan fácil como pelar peras. Sólo necesitas dividir la suma de las longitudes de las bases por dos y multiplicar el resultado por la altura: S = 1/2(a + b)*h.
Tomemos otro caso: supongamos que en un trapezoide, además de la altura, existe una recta media m. Conocemos la fórmula para encontrar la longitud de la línea media: m = 1/2(a + b). Por lo tanto, podemos simplificar legítimamente la fórmula para el área de un trapezoide a la siguiente forma: S = m*h. En otras palabras, para encontrar el área de un trapezoide, debes multiplicar la línea central por la altura.
Consideremos otra opción: el trapezoide contiene diagonales d 1 y d 2, que no se cruzan en ángulos rectos α. Para calcular el área de dicho trapezoide, debes dividir el producto de las diagonales por dos y multiplicar el resultado por el pecado del ángulo entre ellas: S= 1/2d 1 d 2 *senα.
Ahora considere la fórmula para encontrar el área de un trapezoide si no se sabe nada sobre él excepto las longitudes de todos sus lados: a, b, cy d. Esta es una fórmula engorrosa y compleja, pero te será útil recordarla por si acaso: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Por cierto, los ejemplos anteriores también son válidos para el caso en el que se necesita la fórmula para el área de un trapezoide rectangular. Este es un trapezoide, cuyo lado linda con las bases en ángulo recto.
trapezoide isósceles
Un trapezoide cuyos lados son iguales se llama isósceles. Consideraremos varias opciones para la fórmula del área de un trapezoide isósceles.
Primera opción: para el caso en que un círculo con radio r está inscrito dentro de un trapezoide isósceles y el lado y la base más grande forman un ángulo agudo α. Un círculo puede inscribirse en un trapecio siempre que la suma de las longitudes de sus bases sea igual a la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un trapezoide isósceles se calcula de la siguiente manera: multiplica el cuadrado del radio del círculo inscrito por cuatro y divídelo todo por senα: S = 4r 2 /senα. Otra fórmula de área es un caso especial para la opción cuando el ángulo entre la base grande y el lado es 30 0: S = 8r2.
Segunda opción: esta vez tomaremos trapezoide isósceles, en el que además se dibujan las diagonales d 1 y d 2, así como la altura h. Si las diagonales de un trapezoide son mutuamente perpendiculares, la altura es la mitad de la suma de las bases: h = 1/2(a + b). Sabiendo esto, es fácil transformar la fórmula del área de un trapezoide que ya le resulta familiar a esta forma: S = h 2.
Fórmula para el área de un trapecio curvo
Comencemos por descubrir qué es un trapezoide curvo. Imagine un eje de coordenadas y una gráfica de una función f continua y no negativa que no cambia de signo dentro de un segmento determinado en el eje x. Un trapezoide curvilíneo está formado por la gráfica de la función y = f(x): en la parte superior, el eje x está en la parte inferior (segmento), y en los lados, líneas rectas trazadas entre los puntos a y b y la gráfica de la función.
Es imposible calcular el área de una figura tan no estándar utilizando los métodos anteriores. Aquí tienes que aplicar análisis matemático y usa la integral. A saber: la fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). En esta fórmula, F es la antiderivada de nuestra función en el segmento seleccionado. Y el área de un trapecio curvilíneo corresponde al incremento de la antiderivada en un segmento dado.
Ejemplos de problemas
Para que todas estas fórmulas sean más fáciles de entender en tu cabeza, aquí tienes algunos ejemplos de problemas para encontrar el área de un trapezoide. Lo mejor será que primero intente resolver los problemas usted mismo y solo después compare la respuesta recibida con la solución ya preparada.
Tarea #1: Dado un trapezoide. Su base más grande mide 11 cm, la más pequeña mide 4 cm. El trapezoide tiene diagonales, una de 12 cm de largo y la segunda de 9 cm.
Solución: Construya un AMRS trapezoide. Dibuja una línea recta РХ a través del vértice P de modo que sea paralela a la diagonal MC y corte a la línea recta AC en el punto X. Obtendrás un triángulo APХ.
Consideraremos dos figuras obtenidas como resultado de estas manipulaciones: el triángulo APX y el paralelogramo CMRX.
Gracias al paralelogramo aprendemos que PX = MC = 12 cm y CX = MR = 4 cm. De donde podemos calcular el lado AX del triángulo ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
También podemos demostrar que el triángulo APX es rectángulo (para hacer esto, aplique el teorema de Pitágoras - AX 2 = AP 2 + PX 2). Y calcula su área: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.
A continuación tendrás que demostrar que los triángulos AMP y PCX tienen el mismo área. La base será la igualdad de las partes MR y CX (ya probada anteriormente). Y también las alturas que bajas en estos lados son iguales a la altura del trapezoide AMRS.
Todo esto te permitirá decir que S AMPC = S APX = 54 cm 2.
Tarea #2: Se da el trapezoide KRMS. En sus lados laterales se encuentran los puntos O y E, mientras que OE y KS son paralelos. También se sabe que las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en la proporción 1:5. RM = a y KS = b. Necesitas encontrar OE.
Solución: Trazar una línea paralela a RK que pasa por el punto M y designar el punto de su intersección con OE como T. A es el punto de intersección de una línea trazada a través del punto E paralela a RK con la base KS.
Introduzcamos una notación más: OE = x. Y también la altura h 1 para el triángulo TME y la altura h 2 para el triángulo AEC (puedes probar de forma independiente la similitud de estos triángulos).
Supondremos que b > a. Las áreas de los trapecios ORME y OKSE están en una proporción de 1:5, lo que nos da derecho a crear la siguiente ecuación: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformemos y obtengamos: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Como los triángulos TME y AEC son semejantes, tenemos h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Combinemos ambas entradas y obtengamos: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Por tanto, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Conclusión
La geometría no es la ciencia más fácil, pero ciertamente podrás afrontar las preguntas del examen. Basta con mostrar un poco de perseverancia en la preparación. Y, por supuesto, recuerda todas las fórmulas necesarias.
Intentamos recopilar todas las fórmulas para calcular el área de un trapecio en un solo lugar para que puedas usarlas cuando te prepares para los exámenes y revises el material.
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