Antes de proceder con el teorema de Vieta, presentamos una definición. Ecuación cuadrática de la forma X² + píxeles + q= 0 se llama reducido. En esta ecuación, el coeficiente principal es igual a uno. Por ejemplo, la ecuación X² - 3 X- 4 = 0 se reduce. Cualquier ecuación cuadrática de la forma hacha² + segundo X + C= 0 se puede hacer reducido, para ello dividimos ambos lados de la ecuación por A≠ 0. Por ejemplo, Ecuación 4 X² + 4 X- 3 \u003d 0 dividido por 4 se reduce a la forma: X² + X- 3/4 = 0. Derivamos la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática reducida, para ello usamos la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática general: hacha² + bx + C = 0
Ecuación reducida X² + píxeles + q= 0 coincide con una ecuación general en la que A = 1, b = pag, C = q. Por lo tanto, para la ecuación cuadrática dada, la fórmula toma la forma: 
la última expresión se llama fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática reducida, es especialmente conveniente usar esta fórmula cuando R- número par. Por ejemplo, resolvamos la ecuación X² - 14 X — 15 = 0
En respuesta, escribimos que la ecuación tiene dos raíces.
Para una ecuación cuadrática reducida con positivo, se cumple el siguiente teorema.
teorema de Vieta
Si X 1 y X 2 - raíces de la ecuación X² + píxeles + q= 0, entonces las fórmulas son válidas:
X 1 + X 2 = — R
x 1 * x 2 \u003d q, es decir, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al segundo coeficiente, tomado con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual al término libre.
Basado en la fórmula de las raíces de la ecuación cuadrática anterior, tenemos:
Sumando estas igualdades, obtenemos: X 1 + X 2 = —r
Multiplicando estas igualdades, usando la fórmula de la diferencia de cuadrados, obtenemos:
Nótese que el teorema de Vieta también es válido cuando el discriminante es cero, si suponemos que en este caso la ecuación cuadrática tiene dos raíces idénticas: X 1 = X 2 = — R/2.
No resolver ecuaciones X² - 13 X+ 30 = 0 hallar la suma y el producto de sus raíces X 1 y X 2. esta ecuacion D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, por lo que puede aplicar el teorema de Vieta: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Considere algunos ejemplos más. Una de las raíces de la ecuación. X² — píxeles- 12 = 0 es X 1 = 4. Encontrar coeficiente R y segunda raiz X 2 de esta ecuación. Según el teorema de Vieta x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — r Porque X 1 = 4 luego 4 X 2 = - 12, de donde X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. En respuesta, escribimos la segunda raíz X 2 = - 3, coeficiente pag = - 1.
No resolver ecuaciones X² + 2 X- 4 = 0 hallar la suma de los cuadrados de sus raíces. Dejar X 1 y X 2 son las raíces de la ecuación. Según el teorema de Vieta X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Porque X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2, entonces X 1²+ X 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.
Encuentra la suma y el producto de las raíces de la ecuación 3 X² + 4 X- 5 \u003d 0. Esta ecuación tiene dos raíces diferentes, ya que el discriminante D= 16 + 4*3*5 > 0. Para resolver la ecuación, usamos el teorema de Vieta. Este teorema ha sido probado para la ecuación cuadrática reducida. Así que dividamos esta ecuación por 3.
Por lo tanto, la suma de las raíces es -4/3 y su producto es -5/3.
En general, las raíces de la ecuación hacha² + segundo X + C= 0 están relacionados por las siguientes igualdades: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Para obtener estas fórmulas, basta con dividir ambos lados de esta ecuación cuadrática por A ≠ 0 y aplique el teorema de Vieta a la ecuación cuadrática reducida resultante. Considere un ejemplo, necesita componer una ecuación cuadrática dada, cuyas raíces X 1 = 3, X 2 = 4. Porque X 1 = 3, X 2 = 4 son las raíces de la ecuación cuadrática X² + píxeles + q= 0, entonces por el teorema de Vieta R = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. En respuesta, escribimos X² - 7 X+ 12 = 0. El siguiente teorema se usa para resolver algunos problemas.
Teorema inverso al teorema de Vieta
si los números R, q, X 1 , X 2 son tales que X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, Eso x1 Y x2 son las raices de la ecuacion X² + píxeles + q= 0. Sustituir en el lado izquierdo X² + píxeles + q en lugar de R expresión - ( X 1 + X 2), pero en cambio q- trabajar x 1 * x 2 . Obtenemos: X² + píxeles + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Así, si los números R, q, X 1 y X 2 están relacionados por estas relaciones, entonces para todos X igualdad X² + píxeles + q = (x - x 1) (x - x 2), de lo que se deduce que X 1 y X 2 - raíces de la ecuación X² + píxeles + q= 0. Usando el teorema contrario al teorema de Vieta, a veces es posible encontrar las raíces de una ecuación cuadrática por selección. Considere un ejemplo, X² - 5 X+ 6 = 0. Aquí R = — 5, q= 6. Elige dos números X 1 y X 2 para que X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Observando que 6 = 2 * 3, y 2 + 3 = 5, por el teorema inverso al teorema de Vieta, obtenemos que X 1 = 2, X 2 = 3 - raíces de la ecuación X² - 5 X + 6 = 0.
Formulación y demostración del teorema de Vieta para ecuaciones cuadráticas. Teorema de Vieta inversa. Teorema de Vieta para ecuaciones cúbicas y ecuaciones de orden arbitrario.
ContenidoVer también: Las raíces de una ecuación cuadrática
Ecuaciones cuadráticas
teorema de Vieta
Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática reducida
(1)
.
Entonces la suma de las raíces es igual al coeficiente en tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces es igual al término libre:
;
.
Una nota sobre raíces múltiples
Si el discriminante de la ecuación (1) es cero, entonces esta ecuación tiene una raíz. Pero, para evitar formulaciones engorrosas, generalmente se acepta que en este caso, la ecuación (1) tiene dos raíces múltiples o iguales:
.
Prueba uno
Encontremos las raíces de la ecuación (1). Para hacer esto, aplique la fórmula para las raíces de la ecuación cuadrática:
;
;
.
Encontrar la suma de las raíces:
.
Para encontrar el producto, aplicamos la fórmula:
.
Entonces
.
El teorema ha sido probado.
prueba dos
Si los números y son las raíces de la ecuación cuadrática (1), entonces
.
Abrimos los paréntesis.
.
Así, la ecuación (1) tomará la forma:
.
Comparando con (1) encontramos:
;
.
El teorema ha sido probado.
Teorema de Vieta inversa
Que haya números arbitrarios. Entonces y son las raíces de la ecuación cuadrática
,
Dónde
(2)
;
(3)
.
Prueba del teorema inverso de Vieta
Considere la ecuación cuadrática
(1)
.
Necesitamos demostrar que si y , entonces y son las raíces de la ecuación (1).
Sustituye (2) y (3) en (1):
.
Agrupamos los términos del lado izquierdo de la ecuación:
;
;
(4)
.
Sustituir en (4) :
;
.
Sustituir en (4) :
;
.
La ecuación se cumple. Es decir, el número es la raíz de la ecuación (1).
El teorema ha sido probado.
Teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa
Ahora considere la ecuación cuadrática completa
(5)
,
donde , y son algunos números. Y .
Dividimos la ecuación (5) por:
.
Es decir, hemos obtenido la ecuación anterior
,
Dónde ; .
Entonces el teorema de Vieta para la ecuación cuadrática completa tiene la siguiente forma.
Sean y denoten las raíces de la ecuación cuadrática completa
.
Entonces la suma y el producto de las raíces están determinados por las fórmulas:
;
.
Teorema de Vieta para una ecuación cúbica
De manera similar, podemos establecer conexiones entre las raíces de una ecuación cúbica. Considere la ecuación cúbica
(6)
,
donde , , , son algunos números. Y .
Dividamos esta ecuación por:
(7)
,
Dónde , , .
Sean , , las raíces de la ecuación (7) (y la ecuación (6)). Entonces
.
Comparando con la ecuación (7) encontramos:
;
;
.
Teorema de Vieta para una ecuación de grado n
De la misma manera, puedes encontrar conexiones entre las raíces , , ... , , para la ecuación de grado n
.
El teorema de Vieta para una ecuación de grado n tiene la siguiente forma:
;
;
;
.
Para obtener estas fórmulas, escribimos la ecuación de la siguiente forma:
.
Luego igualamos los coeficientes en , , , ... , y comparamos el término libre.
Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, MK Potapov et al., Álgebra: un libro de texto para el octavo grado de instituciones educativas, Moscú, Educación, 2006.
Cuando estudie formas de resolver ecuaciones de segundo orden en un curso de álgebra escolar, considere las propiedades de las raíces obtenidas. Ahora se conocen como los teoremas de Vieta. En este artículo se dan ejemplos de su uso.
Ecuación cuadrática
La ecuación de segundo orden es una igualdad, que se muestra en la foto de abajo.
Aquí los símbolos a, b, c son algunos números que se llaman los coeficientes de la ecuación bajo consideración. Para resolver una igualdad, necesitas encontrar valores de x que la hagan verdadera.
Tenga en cuenta que dado que el valor máximo de la potencia a la que se eleva x es dos, entonces el número de raíces en el caso general también es dos.
Hay varias formas de resolver este tipo de igualdad. En este artículo, consideraremos uno de ellos, que implica el uso del llamado teorema de Vieta.
Declaración del teorema de Vieta
A finales del siglo XVI, el célebre matemático Francois Viet (francés) observó, analizando las propiedades de las raíces de varias ecuaciones cuadráticas, que ciertas combinaciones de ellas satisfacen relaciones específicas. En particular, estas combinaciones son su producto y su suma.
El teorema de Vieta establece lo siguiente: las raíces de una ecuación cuadrática, cuando se suman, dan la razón de los coeficientes lineales a los cuadráticos tomados con el signo opuesto, y cuando se multiplican, dan como resultado la razón del término libre al coeficiente cuadrático. .
Si la forma general de la ecuación se escribe como se muestra en la foto de la sección anterior del artículo, entonces matemáticamente este teorema se puede escribir como dos igualdades:
- r 2 + r 1 \u003d -b / a;
- r 1 x r 2 \u003d c / a.
Donde r 1 , r 2 es el valor de las raíces de la ecuación considerada.
Estas dos igualdades se pueden utilizar para resolver una serie de problemas matemáticos muy diferentes. El uso del teorema de Vieta en ejemplos con solución se da en las siguientes secciones del artículo.
Entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática, además de las fórmulas de las raíces, existen otras relaciones útiles que vienen dadas por teorema de Vieta. En este artículo, daremos una formulación y prueba del teorema de Vieta para una ecuación cuadrática. A continuación, consideramos un teorema inverso al teorema de Vieta. A continuación, analizaremos las soluciones de los ejemplos más característicos. Finalmente, anotamos las fórmulas de Vieta que definen la conexión entre las raíces reales ecuación algebraica grado n y sus coeficientes.
Navegación de página.
Teorema de Vieta, formulación, prueba
De las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0 de la forma , donde D=b 2 −4 a c , las relaciones x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Estos resultados se confirman teorema de Vieta:
Teorema.
Si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 +b x+c=0, entonces la suma de las raíces es igual a la razón de los coeficientes b y a, tomados con signo opuesto, y el producto de las raíces es igual a la razón de los coeficientes c y a, es decir, .
Prueba.
Demostraremos el teorema de Vieta según el siguiente esquema: compondremos la suma y el producto de las raíces de la ecuación cuadrática utilizando las fórmulas de raíz conocidas, luego transformaremos las expresiones resultantes y nos aseguraremos de que sean iguales a −b /a y c/a, respectivamente.
Comencemos con la suma de las raíces, componiéndola. Ahora llevamos las fracciones a un denominador común, tenemos. En el numerador de la fracción resultante , después de lo cual : . Finalmente, después de 2, obtenemos . Esto prueba la primera relación del teorema de Vieta para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática. Pasemos al segundo.
Componemos el producto de las raíces de la ecuación cuadrática:. De acuerdo con la regla de la multiplicación de fracciones, el último producto se puede escribir como. Ahora multiplicamos el paréntesis por el paréntesis en el numerador, pero es más rápido colapsar este producto por fórmula de diferencia de cuadrados, Entonces . Luego, recordando, realizamos la siguiente transición. Y dado que la fórmula D=b 2 −4 a·c corresponde al discriminante de la ecuación cuadrática, entonces b 2 −4·a·c se puede sustituir en la última fracción en lugar de D, obtenemos . Después de abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, llegamos a la fracción , y su reducción por 4·a da . Esto prueba la segunda relación del teorema de Vieta para el producto de raíces.
Si omitimos las explicaciones, entonces la prueba del teorema de Vieta tomará una forma concisa:
,
.
Solo queda notar que cuando el discriminante es igual a cero, la ecuación cuadrática tiene una raíz. Sin embargo, si asumimos que la ecuación en este caso tiene dos raíces idénticas, entonces también se cumplen las igualdades del teorema de Vieta. En efecto, para D=0 la raíz de la ecuación cuadrática es , entonces y , y dado que D=0 , es decir, b 2 −4·a·c=0 , de donde b 2 =4·a·c , entonces .
En la práctica, el teorema de Vieta se usa con mayor frecuencia en relación con la ecuación cuadrática reducida (con el coeficiente más alto a igual a 1) de la forma x 2 +p·x+q=0. A veces se formula para ecuaciones cuadráticas de este tipo, lo que no limita la generalidad, ya que cualquier ecuación cuadrática puede reemplazarse por una ecuación equivalente dividiendo ambas partes por un número a distinto de cero. Aquí está la formulación correspondiente del teorema de Vieta:
Teorema.
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 + p x + q \u003d 0 es igual al coeficiente en x, tomado con el signo opuesto, y el producto de las raíces es un término libre, es decir, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Teorema inverso al teorema de Vieta
La segunda formulación del teorema de Vieta, dada en el párrafo anterior, indica que si x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0, entonces las relaciones x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Por otro lado, de las relaciones escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, se sigue que x 1 yx 2 son las raíces de la ecuación cuadrática x 2 +p x+q=0. En otras palabras, la afirmación contraria al teorema de Vieta es verdadera. Lo formulamos en forma de teorema y lo demostramos.
Teorema.
Si los números x 1 y x 2 son tales que x 1 +x 2 =−p y x 1 x 2 =q, entonces x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 .
Prueba.
Después de reemplazar los coeficientes p y q en la ecuación x 2 +p x+q=0 de su expresión a través de x 1 y x 2, se convierte en una ecuación equivalente.
Sustituimos el número x 1 en lugar de x en la ecuación resultante, tenemos la igualdad X 1 2 − (X 1 + X 2) X 1 + X 1 X 2 = 0, que para cualquier x 1 y x 2 es la igualdad numérica correcta 0=0, ya que X 1 2 − (X 1 + X 2) X 1 + X 1 X 2 = X 1 2 − X 1 2 − X 2 X 1 + X 1 X 2 = 0. Por lo tanto, x 1 es la raíz de la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, lo que significa que x 1 es la raíz de la ecuación equivalente x 2 +p x+q=0 .
Si en la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 sustituimos el número x 2 en lugar de x, entonces obtenemos la igualdad X 2 2 − (X 1 + X 2) X 2 + X 1 X 2 = 0. Esta es la ecuación correcta porque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = X 2 2 − X 1 X 2 − X 2 2 + X 1 X 2 = 0. Por lo tanto, x 2 es también la raíz de la ecuación x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, y por lo tanto las ecuaciones x 2 +p x+q=0 .
Esto completa la demostración del teorema inverso al teorema de Vieta.
Ejemplos de uso del teorema de Vieta
Es hora de hablar de la aplicación práctica del teorema de Vieta y su teorema inverso. En esta subsección, analizaremos las soluciones de varios de los ejemplos más típicos.
Empezamos aplicando un teorema inverso al teorema de Vieta. Es conveniente usarlo para verificar si los dos números dados son las raíces de una ecuación cuadrática dada. En este caso, se calculan su suma y diferencia, después de lo cual se verifica la validez de las relaciones. Si ambas relaciones se cumplen, entonces, en virtud del teorema inverso al teorema de Vieta, se concluye que estos números son las raíces de la ecuación. Si al menos una de las relaciones no se cumple, entonces estos números no son las raíces de la ecuación cuadrática. Este enfoque se puede utilizar al resolver ecuaciones cuadráticas para verificar las raíces encontradas.
Ejemplo.
¿Cuál de los pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, o 2), o 3) es un par de raíces de la ecuación cuadrática 4 x 2 −16 x+9=0?
Solución.
Los coeficientes de la ecuación cuadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 son a=4 , b=−16 , c=9 . Según el teorema de Vieta, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática debe ser igual a −b/a, es decir, 16/4=4, y el producto de las raíces debe ser igual a c/a, es decir, 9 /4.
Ahora calculemos la suma y el producto de los números en cada uno de los tres pares dados y comparémoslos con los valores que acabamos de obtener.
En el primer caso, tenemos x 1 +x 2 =−5+3=−2 . El valor resultante es diferente de 4, por lo que no se puede realizar una verificación adicional, pero por el teorema, el inverso del teorema de Vieta, podemos concluir de inmediato que el primer par de números no es un par de raíces de una ecuación cuadrática dada.
Pasemos al segundo caso. Aquí, es decir, se cumple la primera condición. Verificamos la segunda condición: , el valor resultante es diferente de 9/4 . Por lo tanto, el segundo par de números no es un par de raíces de una ecuación cuadrática.
Queda el último caso. Aquí y . Se cumplen ambas condiciones, por lo que estos números x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática dada.
Respuesta:
El teorema, el reverso del teorema de Vieta, se puede utilizar en la práctica para seleccionar las raíces de una ecuación cuadrática. Por lo general, se seleccionan raíces enteras de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros, ya que en otros casos esto es bastante difícil de hacer. Al mismo tiempo, utilizan el hecho de que si la suma de dos números es igual al segundo coeficiente de la ecuación cuadrática, tomada con signo menos, y el producto de estos números es igual al término libre, entonces estos números son las raíces de esta ecuación cuadrática. Tratemos esto con un ejemplo.
Tomemos la ecuación cuadrática x 2 −5 x+6=0 . Para que los números x 1 y x 2 sean las raíces de esta ecuación, se deben cumplir dos igualdades x 1 +x 2 \u003d 5 y x 1 x 2 \u003d 6. Queda por elegir tales números. En este caso, esto es bastante simple de hacer: dichos números son 2 y 3, ya que 2+3=5 y 2 3=6. Por lo tanto, 2 y 3 son las raíces de esta ecuación cuadrática.
El teorema, el inverso del teorema de Vieta, es especialmente conveniente de aplicar para encontrar la segunda raíz de la ecuación cuadrática reducida, cuando una de las raíces ya se conoce o es obvia. En este caso, la segunda raíz se encuentra a partir de cualquiera de las relaciones.
Por ejemplo, tomemos la ecuación cuadrática 512 x 2 −509 x−3=0 . Aquí es fácil ver que la unidad es la raíz de la ecuación, ya que la suma de los coeficientes de esta ecuación cuadrática es cero. Entonces x 1 = 1 . La segunda raíz x 2 se puede encontrar, por ejemplo, a partir de la relación x 1 x 2 =c/a. Tenemos 1 x 2 =−3/512, de donde x 2 =−3/512. Así que hemos definido ambas raíces de la ecuación cuadrática: 1 y −3/512.
Está claro que la selección de raíces es conveniente solo en los casos más simples. En otros casos, para encontrar las raíces, puedes aplicar las fórmulas de las raíces de la ecuación cuadrática a través del discriminante.
Otra aplicación práctica del teorema, el inverso del teorema de Vieta, es la compilación de ecuaciones cuadráticas para raíces dadas x 1 y x 2. Para ello, basta con calcular la suma de las raíces, que da el coeficiente de x con el signo opuesto de la ecuación cuadrática dada, y el producto de las raíces, que da el término libre.
Ejemplo.
Escribe una ecuación cuadrática cuyas raíces sean los números −11 y 23.
Solución.
Denote x 1 =−11 y x 2 =23 . Calculamos la suma y el producto de estos números: x 1 + x 2 \u003d 12 y x 1 x 2 \u003d −253. Por lo tanto, estos números son las raíces de la ecuación cuadrática dada con el segundo coeficiente -12 y el término libre -253. Es decir, x 2 −12·x−253=0 es la ecuación deseada.
Respuesta:
X2 −12 X−253=0 .
El teorema de Vieta se usa muy a menudo para resolver tareas relacionadas con los signos de las raíces de ecuaciones cuadráticas. ¿Cómo se relaciona el teorema de Vieta con los signos de las raíces de la ecuación cuadrática reducida x 2 +p x+q=0 ? Aquí hay dos declaraciones relevantes:
- Si el intercepto q es un número positivo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces ambos son positivos o ambos son negativos.
- Si el término libre q es un número negativo y si la ecuación cuadrática tiene raíces reales, entonces sus signos son diferentes, es decir, una raíz es positiva y la otra negativa.
Estas declaraciones se derivan de la fórmula x 1 x 2 =q, así como de las reglas para multiplicar números positivos, negativos y números con diferentes signos. Considere ejemplos de su aplicación.
Ejemplo.
R es positivo. De acuerdo con la fórmula discriminante, encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , el valor de la expresión r 2 +8 es positivo para cualquier r real, por lo tanto, D>0 para cualquier r real. Por lo tanto, la ecuación cuadrática original tiene dos raíces para cualquier valor real del parámetro r.
Ahora averigüemos cuándo las raíces tienen signos diferentes. Si los signos de las raíces son diferentes, entonces su producto es negativo y, por el teorema de Vieta, el producto de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al término libre. Por tanto, nos interesan aquellos valores de r para los que el término libre r−1 es negativo. Así, para encontrar los valores de r que nos interesan, necesitamos resolver una desigualdad lineal r−1<0 , откуда находим r<1 .
Respuesta:
en r<1 .
fórmulas vieta
Anteriormente, hablamos sobre el teorema de Vieta para una ecuación cuadrática y analizamos las relaciones que establece. Pero hay fórmulas que conectan las raíces reales y los coeficientes no solo de ecuaciones cuadráticas, sino también de ecuaciones cúbicas, ecuaciones cuádruples y, en general, ecuaciones algebraicas grado nm. Se les llama fórmulas vieta.
Escribimos las fórmulas de Vieta para una ecuación algebraica de grado n de la forma, mientras suponemos que tiene n raíces reales x 1, x 2, ..., x n (entre ellas puede haber las mismas): 
Obtener fórmulas Vieta permite teorema de factorización de polinomios, así como la definición de polinomios iguales mediante la igualdad de todos sus coeficientes correspondientes. Entonces el polinomio y su expansión en factores lineales de la forma son iguales. Abriendo los paréntesis en el último producto e igualando los coeficientes correspondientes, obtenemos las fórmulas de Vieta.
En particular, para n=2 ya tenemos fórmulas familiares de Vieta para la ecuación cuadrática.
Para una ecuación cúbica, las fórmulas de Vieta tienen la forma 
Solo resta señalar que en el lado izquierdo de las fórmulas de Vieta se encuentran las llamadas fórmulas elementales polinomios simétricos.
Bibliografía.
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