Ο παρακάτω τύπος ονομάζεται ενσωμάτωση με τύπο εξαρτημάτων στο αόριστο ολοκλήρωμα:
Για να εφαρμοστεί ο τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη, το ολοκλήρωμα πρέπει να χωριστεί σε δύο παράγοντες. Ένα από αυτά συμβολίζεται με u, και το υπόλοιπο αναφέρεται στον δεύτερο παράγοντα και συμβολίζεται με dv. Στη συνέχεια με διαφοροποίηση βρίσκουμε duκαι ενσωμάτωση - λειτουργία v. Ταυτόχρονα, για u dv- ένα τέτοιο τμήμα του ολοκληρώματος που μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί.
Πότε είναι επωφελής η χρήση της μεθόδου ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα; Τότε όταν το ολοκλήρωμα περιέχει :
1) - λογαριθμικές συναρτήσεις, καθώς και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις(με το πρόθεμα "τόξο"), στη συνέχεια, με βάση τη μακροχρόνια εμπειρία ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα, αυτές οι συναρτήσεις συμβολίζονται με u;
2) , , - ημίτονο, συνημίτονο και εκθέτης πολλαπλασιασμένο επί Π(x) είναι ένα αυθαίρετο πολυώνυμο στο x, τότε αυτές οι συναρτήσεις συμβολίζονται με dv, και το πολυώνυμο είναι μέσω u;
3) , , , , σε αυτήν την περίπτωση η ενσωμάτωση από εξαρτήματα εφαρμόζεται δύο φορές.
Ας εξηγήσουμε την αξία της μεθόδου ολοκλήρωσης ανά μέρη χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της πρώτης περίπτωσης. Αφήστε την έκφραση κάτω από το ολοκληρωτικό πρόσημο να περιέχει μια λογαριθμική συνάρτηση (αυτό θα είναι το παράδειγμα 1). Χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με μέρη, ένα τέτοιο ολοκλήρωμα ανάγεται στον υπολογισμό του ολοκληρώματος μόνο αλγεβρικών συναρτήσεων (τις περισσότερες φορές πολυωνύμου), δηλαδή δεν περιέχει λογαριθμική ή αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης ανά μέρη που δόθηκε στην αρχή του μαθήματος
λαμβάνουμε στον πρώτο όρο (χωρίς ολοκλήρωμα) μια λογαριθμική συνάρτηση και στον δεύτερο όρο (κάτω από το ολοκλήρωμα) μια συνάρτηση που δεν περιέχει λογάριθμο. Το ολοκλήρωμα μιας αλγεβρικής συνάρτησης είναι πολύ πιο απλό από το ολοκλήρωμα κάτω από το πρόσημο της οποίας βρίσκονται χωριστά ή μαζί με αλγεβρικός παράγονταςλογαριθμική ή αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.
Έτσι, χρησιμοποιώντας ενσωμάτωση με τύπους εξαρτημάτων η ολοκλήρωση δεν εκτελείται αμέσως: η εύρεση ενός δεδομένου ολοκληρώματος μειώνεται στην εύρεση ενός άλλου. Το νόημα της φόρμουλας ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα είναι ότι ως αποτέλεσμα της εφαρμογής του, το νέο ολοκλήρωμα αποδεικνύεται πίνακας ή τουλάχιστον γίνεται απλούστερο από το αρχικό.
Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα βασίζεται στη χρήση του τύπου για τη διαφοροποίηση του γινομένου δύο συναρτήσεων:
τότε μπορεί να γραφτεί στη μορφή
που δόθηκε στην αρχή κιόλας του μαθήματος.
Κατά την εύρεση με την ενσωμάτωση της συνάρτησης vγια αυτό υπάρχει ένα άπειρο σύνολο αντιπαράγωγες συναρτήσεις. Για να εφαρμόσετε τον τύπο ολοκλήρωσης κατά εξαρτήματα, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε από αυτά, και επομένως αυτό που αντιστοιχεί σε μια αυθαίρετη σταθερά ΜΕ, ίσο με μηδέν. Επομένως, κατά την εύρεση της συνάρτησης vαυθαίρετη σταθερά ΜΕδεν πρέπει να εισαχθεί.
Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη έχει μια πολύ ειδική εφαρμογή: μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή επαναλαμβανόμενων τύπων για την εύρεση αντιπαραγώγων συναρτήσεων όταν είναι απαραίτητο να μειωθεί ο βαθμός των συναρτήσεων κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος. Η μείωση του βαθμού είναι απαραίτητη όταν δεν υπάρχουν ολοκληρώματα πίνακα για, για παράδειγμα, συναρτήσεις όπως ημίτονο και συνημίτονο σε δυνάμεις μεγαλύτερες από το δεύτερο και τα προϊόντα τους. Ένας επαναλαμβανόμενος τύπος είναι ένας τύπος για την εύρεση του επόμενου μέλους μιας ακολουθίας μέσω του προηγούμενου μέλους. Για τις υποδεικνυόμενες περιπτώσεις, ο στόχος επιτυγχάνεται με διαδοχική μείωση του βαθμού. Έτσι, εάν το ολοκλήρωμα είναι ένα ημίτονο στην τέταρτη δύναμη του x, τότε με την ολοκλήρωση κατά μέρη μπορείτε να βρείτε έναν τύπο για το ολοκλήρωμα του ημιτονοειδούς στην τρίτη δύναμη, και ούτω καθεξής. Η τελευταία παράγραφος αυτού του μαθήματος είναι αφιερωμένη στην περιγραφόμενη εργασία.
Εφαρμογή ολοκλήρωσης από μέρη μαζί
Παράδειγμα 1. Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη:
Διάλυμα. Στην έκφραση του ολοκληρώματος - ο λογάριθμος, ο οποίος, όπως ήδη γνωρίζουμε, μπορεί εύλογα να συμβολιστεί με u. Πιστεύουμε ότι, .
Βρίσκουμε (όπως ήδη αναφέρθηκε στην εξήγηση για τη θεωρητική αναφορά, λαμβάνουμε αμέσως μια λογαριθμική συνάρτηση στον πρώτο όρο (χωρίς ολοκλήρωμα) και μια συνάρτηση που δεν περιέχει λογάριθμο στον δεύτερο όρο (κάτω από το σύμβολο του ολοκληρώματος):
Και πάλι ο λογάριθμος...
Παράδειγμα 2.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα:
Διάλυμα. Αφήστε , .
Ο λογάριθμος υπάρχει στο τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να διαφοροποιηθεί ως σύνθετη συνάρτηση. βρίσκουμε
,
.
Βρίσκουμε πάλι το δεύτερο ολοκλήρωμα ανά μέρη και αποκτάμε το ήδη αναφερθέν πλεονέκτημα (στον πρώτο όρο (χωρίς το ολοκλήρωμα) υπάρχει μια λογαριθμική συνάρτηση και στον δεύτερο όρο (κάτω από το ολοκλήρωμα) υπάρχει μια συνάρτηση που δεν περιέχει λογάριθμος).
Βρίσκουμε το αρχικό ολοκλήρωμα:
Παράδειγμα 3.
Διάλυμα. Το τόξο, όπως και ο λογάριθμος, συμβολίζεται καλύτερα με u. Ας λοιπόν , .
Τότε,
.
Εφαρμόζοντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη, λαμβάνουμε:
Βρίσκουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα αλλάζοντας μια μεταβλητή.
Επιστρέφοντας στη μεταβλητή x, παίρνουμε
.
Βρίσκουμε το αρχικό ολοκλήρωμα:
.
Παράδειγμα 4. Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη:
Διάλυμα. Είναι προτιμότερο να συμβολίζουμε τον εκθέτη με dv. Χωρίζουμε το ολοκλήρωμα σε δύο παράγοντες. Το πιστεύοντας αυτό
Παράδειγμα 5. Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη:
.
Διάλυμα. Αφήστε , . Στη συνέχεια, .
Χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη (1), βρίσκουμε:
Παράδειγμα 6.Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα με ολοκλήρωση κατά μέρη:
Διάλυμα. Το ημίτονο, όπως και το εκθετικό, μπορεί εύκολα να υποδηλωθεί με dv. Αφήστε , .
Χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη βρίσκουμε:
Εφαρμόζουμε ξανά την ενοποίηση ανά εξαρτήματα μαζί
Παράδειγμα 10.Βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα με ολοκλήρωση κατά μέρη:
.
Διάλυμα. Όπως σε όλες τις παρόμοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να συμβολίζουμε το συνημίτονο με dv. Δηλώνουμε , .
Τότε 
,
.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη, λαμβάνουμε:
Εφαρμόζουμε επίσης την ενσωμάτωση ανά μέρη στον δεύτερο όρο. Δηλώνουμε , .
Χρησιμοποιώντας αυτούς τους συμβολισμούς, ενσωματώνουμε τον αναφερόμενο όρο:
Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ολοκλήρωμα:
Μεταξύ των ολοκληρωμάτων που μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη, υπάρχουν επίσης εκείνα που δεν περιλαμβάνονται σε καμία από τις τρεις ομάδες που αναφέρονται στο θεωρητικό μέρος, για τα οποία είναι γνωστό από την πράξη ότι είναι καλύτερο να υποδηλωθούν με u, και τι μέσω dv. Επομένως, σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη συνεκτίμηση της ευκολίας, που δίνεται επίσης στην παράγραφο "Η ουσία της μεθόδου ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα": για uθα πρέπει να λάβει κανείς ένα μέρος της ολοκλήρωσης που δεν γίνεται πολύ πιο περίπλοκο κατά τη διαφοροποίηση, αλλά dv- ένα τέτοιο τμήμα του ολοκληρώματος που μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί. Το τελευταίο παράδειγμα αυτού του μαθήματος είναι η λύση ενός τέτοιου ολοκληρώματος.
Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων
Γεια σας και πάλι. Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να ενσωματώνουμε ανά μέρη. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του ολοκληρωτικού λογισμού. Κατά τη διάρκεια δοκιμών ή εξετάσεων, οι μαθητές καλούνται σχεδόν πάντα να λύσουν τους ακόλουθους τύπους ολοκληρωμάτων: το απλούστερο ολοκλήρωμα (δείτε άρθρο)ή ολοκλήρωμα αντικαθιστώντας μια μεταβλητή (δείτε άρθρο)ή το ολοκλήρωμα είναι απλώς ενεργοποιημένο μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά.
Όπως πάντα, θα πρέπει να έχετε σε ετοιμότητα: Πίνακας ολοκληρωμάτωνΚαι Πίνακας παραγώγων. Εάν εξακολουθείτε να μην τα έχετε, επισκεφθείτε τον αποθηκευτικό χώρο του ιστότοπού μου: Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώσετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνέπεια, απλά και ξεκάθαρα, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση των μερών.
Ποιο πρόβλημα λύνει η μέθοδος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα; Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα, σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, εργασίασυναρτήσεις, και σε ορισμένες περιπτώσεις – ακόμη και πηλίκα. Όπως θυμόμαστε, δεν υπάρχει βολική φόρμουλα: 
. Υπάρχει όμως αυτό: 
– τύπος για ενσωμάτωση από εξαρτήματα αυτοπροσώπως. Ξέρω, ξέρω, είσαι ο μόνος - θα συνεργαστούμε μαζί της καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος (είναι πιο εύκολο τώρα).
Και αμέσως η λίστα στο στούντιο. Τα ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων λαμβάνονται ανά μέρη:
1) , 
, – λογάριθμος, λογάριθμος πολλαπλασιασμένος με κάποιο πολυώνυμο.
2) ,
είναι μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο πολυώνυμο. Αυτό περιλαμβάνει επίσης ολοκληρώματα όπως - εκθετική συνάρτηση, πολλαπλασιαζόμενο με ένα πολυώνυμο, αλλά στην πράξη το ποσοστό είναι 97, υπάρχει ένα ωραίο γράμμα "e" κάτω από το ολοκλήρωμα. ... το άρθρο αποδεικνύεται κάπως λυρικό, ω ναι ... ήρθε η άνοιξη.
3) , 
, είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.
4) , – αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις («καμάρες»), «καμάρες» πολλαπλασιασμένες με κάποιο πολυώνυμο.
Μερικά κλάσματα λαμβάνονται επίσης σε μέρη, θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.
Ολοκληρώματα λογαρίθμων
Παράδειγμα 1
Κλασσικός. Κατά καιρούς αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει ανεπάρκεια βιταμινών της άνοιξης και θα βρίζει βαριά. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Αποφασίζουμε:
Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη: 
Ο τύπος εφαρμόζεται από αριστερά προς τα δεξιά
Κοιτάμε την αριστερή πλευρά: . Προφανώς, στο παράδειγμά μας (και σε όλα τα άλλα που θα εξετάσουμε) κάτι πρέπει να οριστεί ως , και κάτι ως .
Στα ολοκληρώματα του υπό εξέταση τύπου, ο λογάριθμος συμβολίζεται πάντα.
Τεχνικά, ο σχεδιασμός της λύσης υλοποιείται ως εξής:
Δηλαδή, συμβολίσαμε τον λογάριθμο με και με - τα υπόλοιπαολοκληρωμένη έκφραση.
Επόμενο στάδιο: βρείτε το διαφορικό:
Ένα διαφορικό είναι σχεδόν το ίδιο με ένα παράγωγο, έχουμε ήδη συζητήσει πώς να το βρούμε σε προηγούμενα μαθήματα.
Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση. Για να βρείτε τη συνάρτηση που πρέπει να ενσωματώσετε δεξιά πλευράχαμηλότερη ισότητα:
Τώρα ανοίγουμε τη λύση μας και κατασκευάζουμε τη δεξιά πλευρά του τύπου: .
Παρεμπιπτόντως, εδώ είναι ένα δείγμα της τελικής λύσης με μερικές σημειώσεις:
Το μόνο σημείο στο έργο είναι ότι αντάλλαξα αμέσως και , αφού συνηθίζεται να γράφουμε τον παράγοντα πριν από τον λογάριθμο.
Όπως μπορείτε να δείτε, η εφαρμογή της φόρμουλας ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα μείωσε ουσιαστικά τη λύση μας σε δύο απλά ολοκληρώματα.
Σημειώστε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις αμέσως μετάΕφαρμογή του τύπου, πραγματοποιείται αναγκαστικά μια απλοποίηση κάτω από το υπόλοιπο ολοκλήρωμα - στο υπό εξέταση παράδειγμα, μειώσαμε το ολοκλήρωμα σε "x".
Ας ελέγξουμε. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την παράγωγο της απάντησης:
Έχει ληφθεί η αρχική συνάρτηση ολοκλήρωσης, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα έχει λυθεί σωστά.
Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων: 
. Και αυτό δεν είναι τυχαίο.
Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα 
και φόρμουλα 
– αυτοί είναι δύο αμοιβαία αντίστροφοι κανόνες.
Παράδειγμα 2
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Το ολοκλήρωμα είναι το γινόμενο ενός λογάριθμου και ενός πολυωνύμου.
Ας αποφασίσουμε.
Θα περιγράψω για άλλη μια φορά λεπτομερώς τη διαδικασία εφαρμογής του κανόνα στο μέλλον, παραδείγματα θα παρουσιαστούν πιο συνοπτικά και εάν έχετε δυσκολίες να το λύσετε μόνοι σας, πρέπει να επιστρέψετε στα δύο πρώτα παραδείγματα του μαθήματος. .
Όπως ήδη αναφέρθηκε, είναι απαραίτητο να υποδηλωθεί ο λογάριθμος (το γεγονός ότι είναι δύναμη δεν έχει σημασία). Δηλώνουμε με τα υπόλοιπαολοκληρωμένη έκφραση.
Γράφουμε στη στήλη:
Πρώτα βρίσκουμε τη διαφορά:
Εδώ χρησιμοποιούμε τον κανόνα διαφοροποίησης σύνθετη λειτουργία 
. Δεν είναι τυχαίο ότι στο πρώτο κιόλας μάθημα του θέματος Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνΕστίασα στο γεγονός ότι για να κατακτήσετε τα ολοκληρώματα, πρέπει να "πάρετε στα χέρια σας" παράγωγα. Θα χρειαστεί να ασχοληθείτε με παράγωγα περισσότερες από μία φορές.
Τώρα βρίσκουμε τη συνάρτηση, για αυτό ενσωματώνουμε δεξιά πλευράχαμηλότερη ισότητα:
Για την ολοκλήρωση χρησιμοποιήσαμε τον απλούστερο πίνακα τύπου 
Τώρα όλα είναι έτοιμα για την εφαρμογή της φόρμουλας 
. Ανοίξτε με έναν αστερίσκο και «κατασκευάστε» τη λύση σύμφωνα με τη δεξιά πλευρά:
Κάτω από το ολοκλήρωμα έχουμε πάλι πολυώνυμο για τον λογάριθμο! Επομένως, η λύση διακόπτεται και πάλι και εφαρμόζεται για δεύτερη φορά ο κανόνας της ενσωμάτωσης κατά εξαρτήματα. Μην ξεχνάτε ότι σε παρόμοιες καταστάσεις ο λογάριθμος συμβολίζεται πάντα.
Καλό θα ήταν αν αυτή τη στιγμήΚαταφέρατε να βρείτε προφορικά τα απλούστερα ολοκληρώματα και παράγωγα.
(1) Μην μπερδεύεστε με τα σημάδια! Πολύ συχνά το μείον χάνεται εδώ, σημειώστε επίσης ότι το μείον αναφέρεται σε όλουςυποστήριγμα 
, και αυτές οι αγκύλες πρέπει να επεκταθούν σωστά.
(2) Ανοίξτε τις αγκύλες. Απλοποιούμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.
(3) Παίρνουμε το τελευταίο ολοκλήρωμα.
(4) «Χτενίζοντας» την απάντηση.
Η ανάγκη εφαρμογής του κανόνα της ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα δύο φορές (ή και τρεις φορές) δεν προκύπτει πολύ σπάνια.
Και τώρα μερικά παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφαση:
Παράδειγμα 3
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Αυτό το παράδειγμα λύνεται αλλάζοντας τη μεταβλητή (ή αντικαθιστώντας την κάτω από το διαφορικό πρόσημο)! Γιατί όχι - μπορείτε να δοκιμάσετε να το πάρετε σε μέρη, θα αποδειχθεί αστείο.
Παράδειγμα 4
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Αλλά αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται από μέρη (το υποσχεμένο κλάσμα).
Αυτά είναι παραδείγματα για να λύσετε μόνοι σας, λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.
Φαίνεται ότι στα παραδείγματα 3 και 4 τα ολοκληρώματα είναι παρόμοια, αλλά οι μέθοδοι επίλυσης είναι διαφορετικές! Αυτή είναι η κύρια δυσκολία στον έλεγχο των ολοκληρωμάτων - εάν επιλέξετε τη λάθος μέθοδο για την επίλυση ενός ολοκληρώματος, τότε μπορείτε να το πειράζετε για ώρες, όπως με ένα πραγματικό παζλ. Επομένως, όσο περισσότερα λύνετε διάφορα ολοκληρώματα, τόσο το καλύτερο, τόσο πιο εύκολο θα είναι το τεστ και η εξέταση. Επιπλέον, σε δεύτερο χρόνο θα υπάρξει διαφορικές εξισώσεις, και χωρίς εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων και παραγώγων δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε εκεί.
Όσον αφορά τους λογαρίθμους, αυτό είναι μάλλον υπεραρκετό. Για αρχή, μπορώ επίσης να θυμηθώ ότι οι φοιτητές μηχανικών αποκαλούν λογάριθμους γυναικείο στήθος=). Παρεμπιπτόντως, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε από καρδιάς τις γραφικές παραστάσεις των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων: ημίτονο, συνημίτονο, τοξοφθάνο, εκθέτη, πολυώνυμα τρίτου, τέταρτου βαθμού κ.λπ. Όχι, φυσικά, ένα προφυλακτικό στον κόσμο
Δεν θα το τεντώσω, αλλά τώρα θα θυμάστε πολλά από την ενότητα Διαγράμματα και λειτουργίες =).
Ολοκληρώματα μιας εκθετικής πολλαπλασιαζόμενης με ένα πολυώνυμο
Παράδειγμα 5
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Χρησιμοποιώντας έναν γνωστό αλγόριθμο, ενσωματώνουμε ανά μέρη:
Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες με το ολοκλήρωμα, τότε θα πρέπει να επιστρέψετε στο άρθρο Μέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα.
Το μόνο άλλο πράγμα που μπορείτε να κάνετε είναι να τροποποιήσετε την απάντηση:
Αλλά αν η τεχνική υπολογισμού σας δεν είναι πολύ καλή, τότε η πιο κερδοφόρα επιλογή είναι να την αφήσετε ως απάντηση 
ή ακόμα και 
Δηλαδή, το παράδειγμα θεωρείται λυμένο όταν ληφθεί το τελευταίο ολοκλήρωμα. Δεν θα είναι λάθος, είναι άλλο θέμα που ο δάσκαλος μπορεί να σας ζητήσει να απλοποιήσετε την απάντηση.
Παράδειγμα 6
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Αυτό το ολοκλήρωμα ενσωματώνεται δύο φορές από εξαρτήματα. Ιδιαίτερη προσοχήθα πρέπει να δώσετε προσοχή στα σημάδια - είναι εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτά, θυμόμαστε επίσης ότι αυτή είναι μια πολύπλοκη λειτουργία.
Δεν υπάρχει τίποτα άλλο να πούμε για τον εκθέτη. Μπορώ μόνο να προσθέσω ότι ο εκθέτης και φυσικός λογάριθμος αμοιβαίες λειτουργίες, είμαι εγώ στο θέμα των διασκεδαστικών γραφημάτων ανώτερα μαθηματικά=) Σταματήστε, σταματήστε, μην ανησυχείτε, ο λέκτορας είναι νηφάλιος.
Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο
Γενικός κανόνας: for δηλώνει πάντα ένα πολυώνυμο
Παράδειγμα 7
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Ας ενσωματώσουμε ανά μέρη:
Χμμμ...και δεν υπάρχει τίποτα να σχολιάσω.
Παράδειγμα 8
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας
Παράδειγμα 9
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα
Ένα άλλο παράδειγμα με ένα κλάσμα. Όπως και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα, το for υποδηλώνει ένα πολυώνυμο.
Ας ενσωματώσουμε ανά μέρη: 
Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες ή παρεξηγήσεις με την εύρεση του ολοκληρώματος, σας προτείνω να παρακολουθήσετε το μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Παράδειγμα 10
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα 
Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας.
Συμβουλή: Πριν χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο ολοκλήρωσης με μέρη, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε κάποιο τριγωνομετρικό τύπο που μετατρέπει το γινόμενο δύο τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε μία συνάρτηση. Ο τύπος μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά την εφαρμογή της μεθόδου ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα, όποιο είναι πιο βολικό για εσάς.
Αυτό είναι μάλλον όλο σε αυτή την παράγραφο. Για κάποιο λόγο θυμήθηκα μια γραμμή από τον ύμνο της φυσικής και των μαθηματικών «Και το ημιτονογράφημα τρέχει κύμα μετά κύμα κατά μήκος του άξονα της τετμημένης»….
Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ολοκληρώματα αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων πολλαπλασιαζόμενα με ένα πολυώνυμο
Γενικός κανόνας: δηλώνει πάντα την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση.
Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν τόξο, αρκοσίνη, τόξο και εφαπτομένη. Για λόγους συντομίας του δίσκου θα τα ονομάσω "καμάρες"
Παραδείγματα λύσεων ολοκληρωμάτων κατά μέρη, το ολοκλήρωμα των οποίων περιέχει τον λογάριθμο, το τόξο, την εφαπτομένη, καθώς και τον λογάριθμο στην ακέραια ισχύ και τον λογάριθμο του πολυωνύμου, εξετάζονται λεπτομερώς.
Φόρμουλα για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα
Παρακάτω, κατά την επίλυση παραδειγμάτων, χρησιμοποιείται ο τύπος ολοκλήρωσης ανά μέρη:
;
.
Παραδείγματα ολοκληρωμάτων που περιέχουν λογάριθμους και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Ακολουθούν παραδείγματα ολοκληρωμάτων που ενσωματώνονται ανά εξαρτήματα:
, , , , , , .
Κατά την ολοκλήρωση, εκείνο το τμήμα του ολοκληρώματος που περιέχει τον λογάριθμο ή τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συμβολίζεται με u, το υπόλοιπο με dv.
Ακολουθούν παραδείγματα με λεπτομερείς λύσεις αυτών των ολοκληρωμάτων.
Απλό παράδειγμα με λογάριθμο
Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα που περιέχει το γινόμενο ενός πολυωνύμου και ενός λογάριθμου:
Διάλυμα
Εδώ το ολοκλήρωμα περιέχει έναν λογάριθμο. Κάνοντας αντικαταστάσεις
u = Στο x, dv = x 2 dx .
,
.
Τότε
.
.
Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη.
.
Τότε
Στο τέλος των υπολογισμών, προσθέστε τη σταθερά C.
Απάντηση
Παράδειγμα λογαρίθμου ισχύος 2
Διάλυμα
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο το ολοκλήρωμα περιλαμβάνει έναν λογάριθμο σε μια ακέραια δύναμη. Τέτοια ολοκληρώματα μπορούν επίσης να ενσωματωθούν με εξαρτήματα.
u = Κάνοντας αντικαταστάσεις(στο x) 2
,
.
, dv = x dx .
.
Τότε
.
Στο τέλος των υπολογισμών, προσθέστε τη σταθερά C.
Υπολογίζουμε επίσης το υπόλοιπο ολοκλήρωμα ανά μέρη:
Ας αντικαταστήσουμε
.
Διάλυμα
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο το ολοκλήρωμα περιλαμβάνει έναν λογάριθμο σε μια ακέραια δύναμη. Τέτοια ολοκληρώματα μπορούν επίσης να ενσωματωθούν με εξαρτήματα.
u = Ένα παράδειγμα στο οποίο το όρισμα του λογάριθμου είναι πολυώνυμοΤα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν με μέρη, το ολοκλήρωμα των οποίων περιλαμβάνει έναν λογάριθμο του οποίου το όρισμα είναι πολυωνυμική, ορθολογική ή ανορθολογική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα με έναν λογάριθμο του οποίου το όρισμα είναι πολυώνυμο.
Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη.
,
.
ln( x 2 - 1)
.
, dv = x dx . Υπολογίζουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα:, αφού το ολοκλήρωμα ορίζεται στο x 2 - 1 > 0
.
.
Στο τέλος των υπολογισμών, προσθέστε τη σταθερά C.
Ας αντικαταστήσουμε
Παράδειγμα Arcsine
.
Διάλυμα
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα στο οποίο το ολοκλήρωμα περιλαμβάνει έναν λογάριθμο σε μια ακέραια δύναμη. Τέτοια ολοκληρώματα μπορούν επίσης να ενσωματωθούν με εξαρτήματα.
u = Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα ολοκληρώματος του οποίου το ολοκλήρωμα περιλαμβάνει το τόξο.,
.
Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη.
,
.
arcsin x< 1 Στη συνέχεια, σημειώνουμε ότι το ολοκλήρωμα ορίζεται για |x| .Και Ας επεκτείνουμε το πρόσημο του συντελεστή κάτω από το λογάριθμο, λαμβάνοντας υπόψη ότι.
Στο τέλος των υπολογισμών, προσθέστε τη σταθερά C.
1 - x > 0
1 + x > 0
.
Διάλυμα
Τότε
.
Παράδειγμα εφαπτομένης τόξου
Ας λύσουμε το παράδειγμα με το arctantgent: Ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα του κλάσματος: x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x;
.
2 - x 2 - 1 + 1 =
.
(x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1
.
Στο τέλος των υπολογισμών, προσθέστε τη σταθερά C.
Ας ενσωματώσουμε:
Τέλος έχουμε:
.
Διάλυμα
Τότε
.
Ένα άλλο παράδειγμα με το arcsine > 0
Λύστε το ολοκλήρωμα:
.
.
.
Υπολογίζουμε το υπόλοιπο ολοκλήρωμα. Στο x < 0
έχουμε: > 0
:
.
Στο x
Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Παραδείγματα λύσεων
ας κάνουμε μια αντικατάσταση x = - t, t
Επιτέλους έχουμε.
Διάλυμα.
Για παράδειγμα.
Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα), ᴛ.ᴇ. , το ανάγουμε σε ένα ολοκλήρωμα πίνακα, το παίρνουμε αυτόΓεια σας και πάλι. Σήμερα στο μάθημα θα μάθουμε πώς να ενσωματώνουμε ανά μέρη. Η μέθοδος ολοκλήρωσης με μέρη είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους του ολοκληρώματος υπολογισμού. Κατά τη διάρκεια δοκιμών ή εξετάσεων, οι μαθητές καλούνται σχεδόν πάντα να λύσουν τους ακόλουθους τύπους ολοκληρωμάτων: το απλούστερο ολοκλήρωμα ) ή ολοκλήρωμα αντικαθιστώντας μια μεταβλητή Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ολοκληρώματος (γραμμικότητα), ᴛ.ᴇ. , το ανάγουμε σε ένα ολοκλήρωμα πίνακα, το παίρνουμε αυτό(βλ. άρθρο ) ή το ολοκλήρωμα είναι απλώς ενεργοποιημένο μέθοδος ενσωμάτωσης με ανταλλακτικά.
Αόριστο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων Πίνακας ολοκληρωμάτωνΚαι Πίνακας παραγώγωνΜέθοδος μεταβλητής μεταβολής σε αόριστο ολοκλήρωμα Μαθηματικοί τύποι και πίνακες. Δεν θα κουραστώ να επαναλαμβάνω - είναι καλύτερα να εκτυπώσετε τα πάντα. Θα προσπαθήσω να παρουσιάσω όλο το υλικό με συνέπεια, απλά και ξεκάθαρα, δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες στην ενσωμάτωση των μερών.
Ποιο πρόβλημα λύνει η μέθοδος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα; Η μέθοδος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα λύνει ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα, σας επιτρέπει να ενσωματώσετε ορισμένες λειτουργίες που δεν περιλαμβάνονται στον πίνακα, εργασίαΌπως πάντα, θα πρέπει να έχετε στο χέρι:
Και αμέσως η λίστα στο στούντιο. Τα ολοκληρώματα των ακόλουθων τύπων λαμβάνονται ανά μέρη:
. Αν πάλι δεν τα έχετε, επισκεφθείτε την αποθήκη του ιστότοπού μου:
συναρτήσεις, και σε ορισμένες περιπτώσεις – ακόμη και πηλίκα. Όπως θυμόμαστε, δεν υπάρχει βολική φόρμουλα: . Αλλά υπάρχει αυτό: - η φόρμουλα για την ενσωμάτωση από μέρη αυτοπροσώπως. Ξέρω, ξέρω, είσαι η μόνη - θα συνεργαστούμε μαζί της καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος (είναι πιο εύκολο τώρα).
1) , – λογάριθμος, λογάριθμος πολλαπλασιασμένος με κάποιο πολυώνυμο.
2) , είναι μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με κάποιο πολυώνυμο. Αυτό περιλαμβάνει επίσης ολοκληρώματα όπως - μια εκθετική συνάρτηση πολλαπλασιαζόμενη με ένα πολυώνυμο, αλλά στην πράξη αυτό είναι 97 τοις εκατό, κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ένα ωραίο γράμμα ʼʼеʼʼ. ... το άρθρο αποδεικνύεται κάπως λυρικό, ω ναι ... ήρθε η άνοιξη.
Μερικά κλάσματα λαμβάνονται επίσης σε μέρη, θα εξετάσουμε επίσης τα αντίστοιχα παραδείγματα λεπτομερώς.
Παράδειγμα 1
3) , – τριγωνομετρικές συναρτήσεις πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.
Κλασσικός. Κατά καιρούς αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί σε πίνακες, αλλά δεν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσετε μια έτοιμη απάντηση, καθώς ο δάσκαλος έχει ανεπάρκεια βιταμινών της άνοιξης και θα βρίζει βαριά. Επειδή το ολοκλήρωμα που εξετάζουμε δεν είναι σε καμία περίπτωση πίνακα - λαμβάνεται σε μέρη. Αποφασίζουμε:
Διακόπτουμε τη λύση για ενδιάμεσες εξηγήσεις.
4) , – αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις («καμάρες»), «καμάρες», πολλαπλασιαζόμενες με κάποιο πολυώνυμο.
Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα.
