Τύπος Newton - Leibniz
Κύριο θεώρημα ανάλυσηςή Τύπος Newton - Leibnizδίνει μια σχέση μεταξύ δύο πράξεων: λήψη ορισμένου ολοκληρώματος και υπολογισμός της αντιπαράγωγης
Διατύπωση
Θεωρήστε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = φά(x) που κυμαίνονται από σταθερός αριθμός έναμέχρι τον αριθμό x, το οποίο θα θεωρήσουμε μεταβλητό. Ας γράψουμε το ολοκλήρωμα με την ακόλουθη μορφή:
Αυτός ο τύπος ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωμα με μεταβλητό ανώτερο όριο. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα της μέσης τιμής σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η συνάρτηση είναι συνεχής και διαφοροποιήσιμη. Και επίσης η παράγωγος μιας δεδομένης συνάρτησης στο σημείο x είναι ίση με την ίδια την ολοκληρωτή συνάρτηση. Από αυτό προκύπτει ότι οποιαδήποτε συνεχής λειτουργίαέχει ένα αντιπαράγωγο με τη μορφή τετραγώνου: . Και δεδομένου ότι η κατηγορία των αντιπαραγώγων συναρτήσεων της συνάρτησης f διαφέρει κατά μια σταθερά, είναι εύκολο να δείξουμε ότι: το οριστικό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f είναι ίσο με τη διαφορά στις τιμές των αντιπαραγώγων στα σημεία b και a
Ίδρυμα Wikimedia.
- 2010.
- Τύπος Συνολικών Πιθανοτήτων
Φόρμουλα Rayleigh-Jeans
Δείτε τι είναι ο "φόρμουλα Newton-Leibniz" σε άλλα λεξικά:Τύπος Newton-Leibniz
- Το κύριο θεώρημα της ανάλυσης ή ο τύπος Leibniz του Νεύτωνα δίνει τη σχέση μεταξύ δύο πράξεων: λήψη ορισμένου ολοκληρώματος και υπολογισμός της διατύπωσης αντιπαραγώγου Ας θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = f(x) στην περιοχή από έναν σταθερό αριθμό a έως.. ... ΒικιπαίδειαΤύπος πεπερασμένης αύξησης
- Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, δείτε το Θεώρημα του Lagrange. Ο τύπος της πεπερασμένης αύξησης ή το θεώρημα μέσης τιμής του Lagrange δηλώνει ότι εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και... WikipediaΦόρμουλα Stokes - Το θεώρημα Stokes είναι ένα από τα κύρια θεωρήματα της διαφορικής γεωμετρίας καιμαθηματική ανάλυση
σχετικά με την ολοκλήρωση διαφορικών μορφών, που γενικεύει αρκετά θεωρήματα ανάλυσης. Πήρε το όνομά του από τον J. G. Stokes. Περιεχόμενα 1 Γενική διατύπωση 2… … WikipediaΦΟΡΜΟΥΛΑ NEWTON - LEIBNITZ - ένας τύπος που εκφράζει την τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος μιας δεδομένης συνάρτησης f σε ένα τμήμα με τη μορφή της διαφοράς μεταξύ των τιμών στα άκρα του τμήματος οποιουδήποτε αντιπαραγώγου F αυτής της συνάρτησης Λάιμπνιτς, επειδή ο κανόνας ……
Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια- ο βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού. Εκφράζει τη σύνδεση μεταξύ ενός ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης f(x) και οποιασδήποτε από τις αντιπαράγωγές της F(x) ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
τύπος Leibniz- Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Λίστα αντικειμένων που ονομάζονται από τον Leibniz. Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Τύπος Leibniz (έννοιες). Ο τύπος Leibniz στον ολοκληρωτικό λογισμό είναι ο κανόνας... ... Wikipedia
Τύπος Newton-Leibniz- Τύπος Newton Leibniz, ο βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού. Εκφράζει τη σύνδεση μεταξύ του ορισμένου ολοκληρώματος της συνάρτησης f(x) και οποιασδήποτε από τις αντιπαράγωγές της F(x). . * * * ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΝΙΟΥΤΟΝ ΛΕΙΜΠΝΙΤΣ ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΝΙΟΥΤΟΝ ΛΕΙΜΠΝΙΤΣ, βασική φόρμουλα... ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό
Ο τύπος ορθογωνίου
Τραπεζοειδής τύπος - Ορισμένο ολοκλήρωμαως το εμβαδόν του σχήματος Αριθμητική ολοκλήρωση ( ιστορικό όνομα: τετράγωνο) υπολογισμός της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος (συνήθως κατά προσέγγιση), με βάση το γεγονός ότι η τιμή του ολοκληρώματος είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν ... ... Wikipedia
Θεώρημα του Νεύτωνα- Ο τύπος Leibniz του Νεύτωνα ή το θεμελιώδες θεώρημα της ανάλυσης δίνει τη σχέση μεταξύ δύο πράξεων: τη λήψη ορισμένου ολοκληρώματος και τον υπολογισμό της αντιπαράγωγης. Αν είναι συνεχές σε ένα τμήμα και οποιοδήποτε αντιπαράγωγό του σε αυτό το τμήμα έχει ... Wikipedia
Πρεμιέρα:
Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφάνειας:
Ολοκλήρωμα. Τύπος Newton–Leibniz. Συντάχθηκε από: Καθηγήτρια Μαθηματικών του Κρατικού Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Εκπαιδευτικού Ιδρύματος PU No. 27 Shchelyayur Semyashkina Irina Vasilievna
Στόχος του μαθήματος: Εισάγετε την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, χρησιμοποιώντας γνώσεις για το αντιπαράγωγο και τους κανόνες για τον υπολογισμό του. Απεικονίστε την πρακτική εφαρμογή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας παραδείγματα εύρεσης του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Ενισχύστε όσα μάθατε κατά τη διάρκεια των ασκήσεων.
Ορισμός: Ας δοθεί θετική λειτουργία f(x) που ορίζεται στο πεπερασμένο τμήμα [ a;b ] . Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) στο [a;b] είναι το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς της. y=f(x) b a 0 x y
Ονομασία: «ολοκληρωμένο από το a στο b eff από το x de x»
Ιστορικό υπόβαθρο: Ο Leibniz εξήγαγε τη σημειογραφία για το ολοκλήρωμα από το πρώτο γράμμα της λέξης "Summa". Ο Νεύτωνας δεν πρότεινε εναλλακτικό συμβολισμό για το ολοκλήρωμα στα έργα του, αν και προσπάθησε διάφορες επιλογές. Ο ίδιος ο όρος ολοκλήρωμα επινοήθηκε από τον Jacob Bernoulli. S umma Isaac Newton Gottfried Wilhelm von Leibniz Jacob Bernoulli
Ο Euler εισήγαγε τη σημειογραφία για το αόριστο ολοκλήρωμα. Jean Baptiste Joseph Fourier Leonard Euler Ο σχεδιασμός του ορισμένου ολοκληρώματος με τη μορφή που γνωρίζουμε επινοήθηκε από τον Fourier.
Τύπος Newton - Leibniz
Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα: = Λύση:
Παράδειγμα 2. Υπολογίστε οριστικά ολοκληρώματα: 5 9 1
Παράδειγμα 3. S y x Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες και τον άξονα x. Αρχικά, ας βρούμε τα σημεία τομής του άξονα x με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να γίνει αυτό, ας λύσουμε την εξίσωση. = Λύση: S =
y x S A B D C Παράδειγμα 4. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες και βρείτε τα σημεία τομής (τετμήματα) αυτών των ευθειών λύνοντας την εξίσωση S=S BADC - S BAC S BADC = = S BAC = S = 9 – 4,5 = 4,5 Δείτε το παράδειγμα 1 Λύση:
ΚΑΝΟΝΕΣ SINCWAIN 1 γραμμή - το θέμα του syncwine 1 λέξη 2 γραμμή - 2 επίθετα που περιγράφουν τα σημεία και τις ιδιότητες του θέματος 3 γραμμή - 3 ρήματα που περιγράφουν τη φύση της ενέργειας 4 γραμμή - μια σύντομη πρόταση 4 λέξεων που δείχνει την προσωπική σας στάση το θέμα 5 γραμμή - 1 λέξη, συνώνυμο ή το θέμα συσχέτισης του θέματος .
Ολοκλήρωμα 2. Οριστική, θετική μέτρηση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμός 4. Υπολογίστε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz 5. Εμβαδόν
Κατάλογος χρησιμοποιημένης λογοτεχνίας: εγχειρίδιο A.N. και άλλα Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης 10 - 11 τάξεις.
Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας! «Το ΤΑΛΕΝΤΟ είναι το 99% της εργασίας και το 1% της ικανότητας» λαϊκή σοφία
Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα: = Λύση: παράδειγμα 4
Πρεμιέρα:
Θέμα: μαθηματικά (άλγεβρα και αρχές ανάλυσης), βαθμός: 11η τάξη.
Θέμα μαθήματος: "Ολοκλήρωμα. τύπος Newton-Leibniz."
Τύπος μαθήματος: Εκμάθηση νέου υλικού.
Διάρκεια μαθήματος: 45 λεπτά.
Στόχοι μαθήματος: Εισαγάγετε την έννοια του ολοκληρώματος και τον υπολογισμό του χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, χρησιμοποιώντας γνώσεις σχετικά με το αντιπαράγωγο και τους κανόνες για τον υπολογισμό του. επεξηγήστε την πρακτική εφαρμογή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας παραδείγματα εύρεσης της περιοχής ενός καμπύλου τραπεζοειδούς. εμπεδώστε όσα μάθατε κατά τη διάρκεια των ασκήσεων.
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
- σχηματίζουν την έννοια του ολοκληρώματος.
- ανάπτυξη δεξιοτήτων στον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.
- διαμόρφωση δεξιοτήτων πρακτική εφαρμογήαναπόσπαστο για να βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς.
Εκπαιδευτικός:
- ανάπτυξη γνωστικό ενδιαφέρονοι μαθητές, αναπτύσσουν μαθηματική ομιλία, την ικανότητα παρατήρησης, σύγκρισης και εξαγωγής συμπερασμάτων.
- αναπτύξουν ενδιαφέρον για το θέμα χρησιμοποιώντας τις ΤΠΕ.
Εκπαιδευτικός:
- εντείνουν το ενδιαφέρον για την απόκτηση νέων γνώσεων, αναπτύσσοντας ακρίβεια και ακρίβεια κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος και την κατασκευή σχεδίων.
Εξοπλισμός: Η/Υ, λειτουργικό σύστημα Microsoft Windows 2000/XP, MS Office 2007: Power Point, Microsoft Word; προβολέας πολυμέσων, οθόνη.
Λογοτεχνία: εγχειρίδιο Kolmagorov A.N. και άλλα Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης 10-11 τάξεις.
Τεχνολογίες: ΤΠΕ, ατομική προπόνηση.
ΠΡΟΟΔΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Στάδιο μαθήματος | Δραστηριότητες εκπαιδευτικών | Δραστηριότητες μαθητών | Φορά |
|
Εισαγωγικό μέρος | ||||
Οργανωτική στιγμή | Χαιρετίζει, ελέγχει την ετοιμότητα των μαθητών για το μάθημα, οργανώνει την προσοχή. Διανέμει υποστηρικτικές σημειώσεις. | Άκου, γράψε την ημερομηνία. | 3 λεπτά |
|
Επικοινωνία του θέματος και των στόχων του μαθήματος | Ενημέρωση βασικών γνώσεων και υποκειμενικής εμπειρίας με πρόσβαση στους στόχους του μαθήματος. | Ακούστε και σημειώστε το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό σας.Συμμετέχει ενεργά στη νοητική δραστηριότητα. Αναλύστε, συγκρίνετε, βγάλτε συμπεράσματα για να φτάσετε στους στόχους του μαθήματος. | Παρουσίαση ΤΠΕ 3 λεπτά |
|
Κύριο μέρος του μαθήματος Παρουσίαση νέου υλικού με συνοδευτικό τεστ γνώσεων παλαιότερων θεμάτων. | ||||
Ορισμός του ολοκληρώματος (διαφάνεια 3) | Δίνει έναν ορισμό. ΤΠΕ Τι είναι ένα καμπύλο τραπεζοειδές; | Ένα σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, ενός τμήματος και ευθείες x=a και x=b. | 10 λεπτά |
|
Ολοκληρωμένη σημειογραφία (διαφάνεια 4) | Εισάγει τη σημειογραφία για το ολοκλήρωμα και τον τρόπο ανάγνωσης του. | Άκου, γράψε. | ||
Ιστορικό του ολοκληρώματος (διαφάνειες 5 και 6) | Αφηγείται την ιστορία του όρου "αναπόσπαστο". | Ακούστε και γράψτε εν συντομία. | ||
Τύπος Newton–Leibniz (διαφάνεια 7) | Δίνει τον τύπο Newton–Leibniz. Τι σημαίνει το F στον τύπο; | Ακούστε, κρατήστε σημειώσεις, απαντήστε στις ερωτήσεις του δασκάλου. Αντιπαράγωγο. | ||
Το τελευταίο μέρος του μαθήματος. | ||||
Στερέωση του υλικού. Επίλυση παραδειγμάτων χρησιμοποιώντας το υλικό που μελετήθηκε | ||||
Παράδειγμα 1 (διαφάνεια 8) | Αναλύει τη λύση του παραδείγματος, θέτοντας ερωτήσεις σχετικά με την εύρεση αντιπαραγώγων για τα ολοκληρώματα. | Ακούστε, γράψτε, δείξτε γνώση του πίνακα των αντιπαραγώγων. | 20 λεπτά |
|
Παράδειγμα 2 (διαφάνεια 9). Παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφασηφοιτητόκοσμος. | Επιβλέπει τη λύση παραδειγμάτων. | Ολοκληρώστε την εργασία μία προς μία, σχολιάζοντας (ατομική τεχνολογία μάθησης), ακούστε ο ένας τον άλλον, σημειώστε, δείξτε γνώσεις για θέματα του παρελθόντος. | ||
Παράδειγμα 3 (διαφάνεια 10) | Αναλύει τη λύση του παραδείγματος. Πώς να βρείτε τα σημεία τομής του άξονα x με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; | Ακούνε, απαντούν σε ερωτήσεις, δείχνουν γνώσεις για θέματα του παρελθόντος και γράφουν. Εξισώστε το ολοκλήρωμα με 0 και λύστε την εξίσωση. | ||
Παράδειγμα 4 (διαφάνεια 11) | Αναλύει τη λύση του παραδείγματος. Πώς να βρείτε τα σημεία τομής (τετμημένα) γραφημάτων συναρτήσεων; Προσδιορίστε τον τύπο του τριγώνου ABC. Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου; | Ακούνε και απαντούν σε ερωτήσεις. Εξισώστε τις συναρτήσεις μεταξύ τους και λύστε την εξίσωση που προκύπτει. Ορθογώνιος. όπου α και β είναι τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου. | ||
Συνοψίζοντας το μάθημα (διαφάνειες 12 και 13) | Οργανώνει την εργασία για τη μεταγλώττιση του syncwine. | Συμμετέχετε στην προετοιμασία του syncwine. Αναλύστε, συγκρίνετε, εξάγετε συμπεράσματα για το θέμα. | 5 λεπτά. |
|
Ανάθεση εργασιών για το σπίτι ανάλογα με το επίπεδο δυσκολίας. | Δίνει εργασία και εξηγεί. | Άκου, γράψε. | 1 λεπτό. |
|
Αξιολόγηση της εργασίας των μαθητών στην τάξη. | Αξιολογεί τη δουλειά των μαθητών στο μάθημα και την αναλύει. | Ακούνε. | 1 λεπτό |
Πρεμιέρα:
Βασική περίληψη με θέμα «Ολοκληρωμένο. τύπος Newton-Leibniz."
Ορισμός: Ας δοθεί μια θετική συνάρτηση f(x) , που ορίζεται σε ένα πεπερασμένο τμήμα.Ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) onονομάζεται το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς του. | ||
Ονομασία: Διαβάζει: "ολοκλήρωμα από το α στο β εφ από το x de x" | ||
Τύπος Newton - Leibniz | ||
Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα: Διάλυμα: | ||
Παράδειγμα 3. και άξονας x. Διάλυμα: | ||
Παράδειγμα 3. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμέςΚαι . |
Με ορισμένο ολοκλήρωμα από μια συνεχή συνάρτηση φά(x) στο τελικό τμήμα [ ένα, σι] (όπου ) είναι η αύξηση ορισμένων από τα αντιπαράγωγά του σε αυτό το τμήμα. (Γενικά, η κατανόηση θα είναι αισθητά πιο εύκολη αν επαναλάβετε το θέμα του αόριστου ολοκληρώματος) Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός
Όπως φαίνεται στα παρακάτω γραφήματα (η αύξηση της αντιπαράγωγης συνάρτησης υποδεικνύεται με ) ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός(Υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ της τιμής του αντιπαραγώγου στο ανώτερο όριο και της τιμής του στο κατώτερο όριο, δηλ. φά(σι) - φά(ένα)).
Αριθμοί έναΚαι σιονομάζονται κατώτερο και ανώτερο όριο ολοκλήρωσης, αντίστοιχα, και το τμήμα [ ένα, σι] – τμήμα ολοκλήρωσης.
Έτσι, εάν φά(x) – κάποια αντιπαράγωγη συνάρτηση για φά(x), τότε, σύμφωνα με τον ορισμό,
(38)
Η ισότητα (38) ονομάζεται Τύπος Newton-Leibniz . Διαφορά φά(σι) – φά(ένα) γράφεται εν συντομία ως εξής:
Επομένως, θα γράψουμε τον τύπο Newton-Leibniz ως εξής:
(39)
Ας αποδείξουμε ότι το οριστικό ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από το ποιο αντιπαράγωγο του ολοκληρώματος λαμβάνεται κατά τον υπολογισμό του. Αφήνω φά(x) και F( Χ) είναι αυθαίρετα αντιπαράγωγα του ολοκληρώματος. Δεδομένου ότι αυτά είναι αντιπαράγωγα της ίδιας συνάρτησης, διαφέρουν με έναν σταθερό όρο: Ф( Χ) = φά(x) + ντο. Γι' αυτό
Αυτό καθορίζει ότι στο τμήμα [ ένα, σι] αυξάνει όλα αντιπαράγωγες συναρτήσεις φά(x) ταιριάζουν.
Έτσι, για να υπολογιστεί ένα οριστικό ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο να βρεθεί οποιοδήποτε αντιπαράγωγο του ολοκληρώματος, δηλ. Πρώτα πρέπει να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα. Συνεχής ΜΕ εξαιρούνται από μεταγενέστερους υπολογισμούς. Στη συνέχεια εφαρμόζεται ο τύπος Newton-Leibniz: η τιμή του ανώτατου ορίου αντικαθίσταται από την αντιπαράγωγη συνάρτηση σι , περαιτέρω - η τιμή του κατώτερου ορίου ένα και υπολογίζεται η διαφορά F(b) - F(a) . Ο αριθμός που προκύπτει θα είναι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα..
Στο ένα = σιεξ ορισμού αποδεκτό
Παράδειγμα 1.
Διάλυμα. Αρχικά, ας βρούμε το αόριστο ολοκλήρωμα:
Εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz στο αντιπαράγωγο
(στο ΜΕ= 0), παίρνουμε
Ωστόσο, κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, είναι προτιμότερο να μην βρεθεί το αντιπαράγωγο χωριστά, αλλά να γραφεί αμέσως το ολοκλήρωμα στη μορφή (39).
Παράδειγμα 2.Υπολογίστε οριστικό ολοκλήρωμα
Διάλυμα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο
Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος
Θεώρημα 2.Η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος δεν εξαρτάται από τον προσδιορισμό της μεταβλητής ολοκλήρωσης, δηλ.
(40)
Αφήνω φά(x) – αντιπαράγωγο για φά(x). Για φά(t) το αντιπαράγωγο είναι η ίδια συνάρτηση φά(t), στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή ορίζεται μόνο διαφορετικά. Οθεν,
Με βάση τον τύπο (39), η τελευταία ισότητα σημαίνει την ισότητα των ολοκληρωμάτων
Θεώρημα 3.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ορισμένου ολοκληρώματος, δηλ.
(41)
Θεώρημα 4.Το οριστικό ολοκλήρωμα ενός αλγεβρικού αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα ορισμένων ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων, δηλ.
(42)
Θεώρημα 5.Εάν το τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε μέρη, τότε το οριστικό ολοκλήρωμα σε ολόκληρο το τμήμα ίσο με το άθροισμαοριστικά ολοκληρώματα στα μέρη του, δηλ. Αν
(43)
Θεώρημα 6.Κατά την αναδιάταξη των ορίων ολοκλήρωσης, η απόλυτη τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος δεν αλλάζει, αλλά αλλάζει μόνο το πρόσημο του, δηλ.
(44)
Θεώρημα 7(θεώρημα μέσης τιμής). Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα ισούται με το γινόμενο του μήκους του τμήματος ολοκλήρωσης και την τιμή του ολοκλήρωσης σε κάποιο σημείο μέσα σε αυτό, δηλ.
(45)
Θεώρημα 8.Αν το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερο από το κατώτερο και το ολοκλήρωμα είναι μη αρνητικό (θετικό), τότε το οριστικό ολοκλήρωμα είναι επίσης μη αρνητικό (θετικό), δηλ. Αν
Θεώρημα 9.Αν το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι μεγαλύτερο από το κατώτερο και οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς, τότε η ανισότητα
μπορεί να ενσωματωθεί όρο προς όρο, δηλ.
(46)
Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος καθιστούν δυνατή την απλούστευση του άμεσου υπολογισμού των ολοκληρωμάτων.
Παράδειγμα 5.Υπολογίστε οριστικό ολοκλήρωμα
Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα 4 και 3 και όταν βρίσκουμε αντιπαράγωγα - ολοκληρώματα πίνακα (7) και (6), λαμβάνουμε
Ορισμένο ολοκλήρωμα με μεταβλητό άνω όριο
Αφήνω φά(x) – συνεχής στο τμήμα [ ένα, σι] λειτουργία, και φά(x) είναι το αντιπαράγωγό του. Θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα
(47)
και μέσω tη μεταβλητή ολοκλήρωσης ορίζεται έτσι ώστε να μην συγχέεται με ανώτατο όριο. Κατά την αλλαγή Χαλλάζει και το οριστικό ολοκλήρωμα (47), δηλ. είναι συνάρτηση του ανώτερου ορίου ολοκλήρωσης Χ, το οποίο συμβολίζουμε με φά(Χ), δηλ.
(48)
Ας αποδείξουμε ότι η συνάρτηση φά(Χ) είναι ένα αντιπαράγωγο για φά(x) = φά(t). Πράγματι, διαφοροποιώντας φά(Χ), παίρνουμε
επειδή φά(x) – αντιπαράγωγο για φά(x), Α φά(ένα) είναι σταθερή τιμή.
Λειτουργία φά(Χ) – ένα από τα άπειρα αντιπαράγωγα για φά(x), δηλαδή αυτό που x = έναπάει στο μηδέν. Αυτή η δήλωση προκύπτει αν στην ισότητα (48) βάλουμε x = ένακαι χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 1 της προηγούμενης παραγράφου.
Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης κατά μέρη και τη μέθοδο μεταβολής της μεταβλητής
όπου, εξ ορισμού, φά(x) – αντιπαράγωγο για φά(x). Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα
τότε, σύμφωνα με τον τύπο (16), μπορούμε να γράψουμε
Σε αυτή την έκφραση
αντιπαράγωγη συνάρτηση για
Μάλιστα, το παράγωγό του, σύμφωνα με κανόνας διαφοροποίησης σύνθετων συναρτήσεων, είναι ίσο
Έστω α και β οι τιμές της μεταβλητής t, για την οποία η συνάρτηση
παίρνει αξίες ανάλογα έναΚαι σι, δηλ.
Αλλά, σύμφωνα με τον τύπο Newton-Leibniz, η διαφορά φά(σι) – φά(ένα) Υπάρχει
Έστω κάποια συνεχής συνάρτηση f δίνεται σε ένα ορισμένο τμήμα του άξονα Ox. Ας υποθέσουμε ότι αυτή η συνάρτηση δεν αλλάζει το πρόσημό της σε ολόκληρο το τμήμα.
Εάν η f είναι μια συνεχής και μη αρνητική συνάρτηση σε ένα συγκεκριμένο τμήμα και η F είναι κάποια αντιπαράγωγή της σε αυτό το τμήμα, τότε η περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς S είναι ίση με την αύξηση της αντιπαράγωγης σε αυτό το τμήμα.
Αυτό το θεώρημα μπορεί να γραφτεί ως εξής:
S = F(b) - F(a)
Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) από το a στο b θα είναι ίσο με το S. Εδώ και περαιτέρω, για να δηλώσουμε το οριστικό ολοκλήρωμα κάποιας συνάρτησης f(x), με τα όρια ολοκλήρωσης από το a στο b, θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω συμβολισμός (a;b)∫f( x). Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα για το πώς θα φαίνεται.
Τύπος Newton-Leibniz
Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εξισώσουμε αυτά τα δύο αποτελέσματα. Λαμβάνουμε: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), με την προϋπόθεση ότι η F είναι αντιπαράγωγος για τη συνάρτηση f στο . Αυτός ο τύπος ονομάζεται Τύποι Newton - Leibniz. Θα ισχύει για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα.
Ο τύπος Newton-Leibniz χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Παράδειγμα 1: υπολογίστε το ολοκλήρωμα. Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση ολοκλήρωσης x 2 . Ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση (x 3)/3.
Τώρα χρησιμοποιούμε τον τύπο Newton-Leibniz:
(-1;2)∫x 2 dx = (2 3)/3 - ((-1) 3)/3 = 3
Απάντηση: (-1;2)∫x 2 dx = 3.
Παράδειγμα 2: υπολογίστε το ολοκλήρωμα (0;pi)∫sin(x)dx.
Βρείτε την αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση ολοκλήρωσης sin(x). Ένα από τα αντιπαράγωγα θα είναι η συνάρτηση -cos(x). Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Newton-Leibniz:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Απάντηση: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Μερικές φορές, για απλότητα και ευκολία στην εγγραφή, η αύξηση της συνάρτησης F στο τμήμα (F(b)-F(a)) γράφεται ως εξής:
Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό για την αύξηση, ο τύπος Newton-Leibniz μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Όπως σημειώθηκε παραπάνω, αυτή είναι μόνο μια συντομογραφία για ευκολία εγγραφής. Αυτός ο συμβολισμός και ο τύπος (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) θα είναι ισοδύναμοι.
Η επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων εξαρτάται από τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, αλλά δεν είναι πάντα δυνατό να γίνει αυτό με ακρίβεια. Μερικές φορές είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος με συγκεκριμένο βαθμό ακρίβειας, για παράδειγμα, στο χιλιοστό.
Υπάρχουν προβλήματα όταν θα ήταν απαραίτητο να βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος με την απαιτούμενη ακρίβεια, τότε χρησιμοποιείται αριθμητική ολοκλήρωση όπως η μέθοδος Simposny, τραπεζοειδή και ορθογώνια. Δεν μας επιτρέπουν όλες οι περιπτώσεις να το υπολογίσουμε με συγκεκριμένη ακρίβεια.
Αυτό το άρθρο εξετάζει την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz. Αυτό είναι απαραίτητο για τον ακριβή υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. Θα δοθεί λεπτομερή παραδείγματα, λαμβάνονται υπόψη αλλαγές μεταβλητής στο οριστικό ολοκλήρωμα και βρίσκουμε τις τιμές του ορισμένου ολοκληρώματος κατά την ολοκλήρωση κατά μέρη.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Τύπος Newton-Leibniz
Ορισμός 1Όταν η συνάρτηση y = y (x) είναι συνεχής από το διάστημα [ a ; b ] , και το F (x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης αυτού του τμήματος, λοιπόν Τύπος Newton-Leibnizθεωρείται δίκαιο. Ας το γράψουμε ως εξής: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Αυτός ο τύπος θεωρείται ο βασικός τύπος του ολοκληρωτικού λογισμού.
Για να δημιουργήσετε μια απόδειξη αυτού του τύπου, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε την έννοια του ολοκληρώματος με ένα διαθέσιμο μεταβλητό ανώτερο όριο.
Όταν η συνάρτηση y = f (x) είναι συνεχής από το διάστημα [ a ; b ], τότε η τιμή του ορίσματος x ∈ a; b , και το ολοκλήρωμα έχει τη μορφή ∫ a x f (t) d t και θεωρείται συνάρτηση του ανώτερου ορίου. Είναι απαραίτητο να λάβουμε τον συμβολισμό της συνάρτησης θα πάρει τη μορφή ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , είναι συνεχής, και μια ανισότητα της μορφής ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = Το f (x) ισχύει για αυτό.
Ας διορθώσουμε ότι η αύξηση της συνάρτησης Φ (x) αντιστοιχεί στην αύξηση του ορίσματος Δ x, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε την πέμπτη κύρια ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος και λαμβάνουμε
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (γ) ∆ x
όπου τιμή c ∈ x; x + ∆ x .
Ας καθορίσουμε την ισότητα στη μορφή Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (γ) . Εξ ορισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο να πάμε στο όριο ως Δ x → 0, τότε παίρνουμε έναν τύπο της μορφής Φ " (x) = f (x). Βρίσκουμε ότι το Φ (x) είναι ένα από τα αντιπαράγωγα για μια συνάρτηση της μορφής y = f (x), που βρίσκεται στο [a]
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, όπου η τιμή του C είναι σταθερή.
Ας υπολογίσουμε το F (a) χρησιμοποιώντας την πρώτη ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος. Τότε το καταλαβαίνουμε
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, επομένως παίρνουμε ότι C = F (a). Το αποτέλεσμα ισχύει κατά τον υπολογισμό του F (b) και παίρνουμε:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), με άλλα λόγια, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (α) . Η ισότητα αποδεικνύεται από τον τύπο Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Παίρνουμε την αύξηση της συνάρτησης ως F x a b = F (b) - F (a) . Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό, ο τύπος Newton-Leibniz παίρνει τη μορφή ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .
Για να εφαρμόσουμε τον τύπο, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε ένα από τα αντιπαράγωγα y = F (x) της συνάρτησης ολοκληρώματος y = f (x) από το τμήμα [ a ; b ], υπολογίστε την αύξηση του αντιπαραγώγου από αυτό το τμήμα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα υπολογισμών χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ 1 3 x 2 d x χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.
Διάλυμα
Θεωρήστε ότι το ολοκλήρωμα της μορφής y = x 2 είναι συνεχές από το διάστημα [ 1 ; 3 ], τότε μπορεί να ενσωματωθεί σε αυτό το διάστημα. Σύμφωνα με τον πίνακα αόριστα ολοκληρώματαβλέπουμε ότι η συνάρτηση y = x 2 έχει ένα σύνολο αντιπαραγώγων για όλες τις πραγματικές τιμές του x, που σημαίνει x ∈ 1. Το 3 θα γραφτεί ως F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Είναι απαραίτητο να πάρουμε το αντιπαράγωγο με C = 0, τότε λαμβάνουμε ότι F (x) = x 3 3.
Χρησιμοποιούμε τον τύπο Newton-Leibniz και βρίσκουμε ότι ο υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώματος παίρνει τη μορφή ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.
Απάντηση:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.
Διάλυμα
Η δεδομένη συνάρτηση είναι συνεχής από το διάστημα [-1; 2 ], που σημαίνει ότι μπορεί να ενσωματωθεί σε αυτό. Είναι απαραίτητο να βρούμε την τιμή του αόριστου ολοκληρώματος ∫ x · e x 2 + 1 d x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπαγωγής κάτω από το διαφορικό πρόσημο, τότε λαμβάνουμε ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .
Άρα έχουμε ένα σύνολο αντιπαραγώγων της συνάρτησης y = x · e x 2 + 1, που ισχύουν για όλα τα x, x ∈ - 1. 2.
Είναι απαραίτητο να ληφθεί το αντιπαράγωγο σε C = 0 και να εφαρμοστεί ο τύπος Newton-Leibniz. Τότε παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Απάντηση:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε τα ολοκληρώματα ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x και ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Διάλυμα
Τμήμα - 4; - Το 1 2 λέει ότι η συνάρτηση κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος είναι συνεχής, που σημαίνει ότι είναι ολοκληρωμένη. Από εδώ βρίσκουμε το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης y = 4 x 3 + 2 x 2. Το καταλαβαίνουμε
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
Είναι απαραίτητο να λάβουμε το αντιπαράγωγο F (x) = 2 x 2 - 2 x, στη συνέχεια, εφαρμόζοντας τον τύπο Newton-Leibniz, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα, το οποίο υπολογίζουμε:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Προχωράμε στον υπολογισμό του δεύτερου ολοκληρώματος.
Από το τμήμα [-1; 1 ] έχουμε ότι η συνάρτηση ολοκλήρωσης θεωρείται αδέσμευτη, επειδή lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , τότε προκύπτει ότι απαραίτητη προϋπόθεσηενσωμάτωση από ένα τμήμα. Τότε το F (x) = 2 x 2 - 2 x δεν είναι αντιπαράγωγο για y = 4 x 3 + 2 x 2 από το διάστημα [ - 1 ; 1 ], αφού το σημείο Ο ανήκει στο τμήμα, αλλά δεν περιλαμβάνεται στο πεδίο ορισμού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα Riemann και Newton-Leibniz για τη συνάρτηση y = 4 x 3 + 2 x 2 από το διάστημα [ - 1 ; 1].
Απάντηση: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,υπάρχει ένα ορισμένο ολοκλήρωμα Riemann και Newton-Leibniz για τη συνάρτηση y = 4 x 3 + 2 x 2 από το διάστημα [ - 1 ; 1].
Πριν χρησιμοποιήσετε τον τύπο Newton-Leibniz, πρέπει να γνωρίζετε ακριβώς την ύπαρξη ενός ορισμένου ολοκληρώματος.
Αλλαγή μεταβλητής σε καθορισμένο ολοκλήρωμα
Όταν η συνάρτηση y = f (x) είναι ορισμένη και συνεχής από το διάστημα [ a ; b], τότε το διαθέσιμο σύνολο [a; b] θεωρείται το εύρος τιμών της συνάρτησης x = g (z), που ορίζεται στο τμήμα α. β με την υπάρχουσα συνεχή παράγωγο, όπου g (α) = a και g β = b, προκύπτει από αυτό ότι ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται όταν χρειάζεται να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ a b f (x) d x, όπου το αόριστο ολοκλήρωμα έχει τη μορφή ∫ f (x) d x, υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης.
Παράδειγμα 4
Να υπολογίσετε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της μορφής ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .
Διάλυμα
Η συνάρτηση ολοκλήρωσης θεωρείται συνεχής στο διάστημα της ολοκλήρωσης, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Ας δώσουμε τον συμβολισμό ότι 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Η τιμή x = 9 σημαίνει ότι z = 2 9 - 9 = 9 = 3, και για x = 18 παίρνουμε ότι z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, τότε g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Όταν αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z παίρνουμε ότι
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Σύμφωνα με τον πίνακα των αόριστων ολοκληρωμάτων, έχουμε ότι μια από τις αντιπαράγωγες της συνάρτησης 2 z 2 + 9 παίρνει την τιμή 2 3 a r c t g z 3 . Στη συνέχεια, όταν εφαρμόζουμε τον τύπο Newton-Leibniz, το λαμβάνουμε
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 π 3
Η εύρεση θα μπορούσε να γίνει χωρίς τη χρήση του τύπου ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .
Εάν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης χρησιμοποιήσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής ∫ 1 x 2 x - 9 d x, τότε μπορούμε να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.
Από εδώ θα πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz και θα υπολογίσουμε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το καταλαβαίνουμε
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = = π 18
Τα αποτελέσματα ήταν τα ίδια.
Απάντηση: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Ολοκλήρωση κατά μέρη κατά τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος
Αν στο τμήμα [ a ; b ] οι συναρτήσεις u (x) και v (x) είναι καθορισμένες και συνεχείς, τότε οι παράγωγοι πρώτης τάξης τους v " (x) u (x) είναι ολοκληρωμένες, επομένως από αυτό το τμήμα για την ολοκληρωτή συνάρτηση u" (x) v ( x) η ισότητα ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x είναι αληθής.
Ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί τότε, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∫ a b f (x) d x, και ∫ f (x) d x ήταν απαραίτητο να το αναζητήσουμε χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση με μέρη.
Παράδειγμα 5
Να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Διάλυμα
Η συνάρτηση x · sin x 3 + π 6 είναι ενσωματώσιμη στο διάστημα - π 2 ; 3 π 2, που σημαίνει ότι είναι συνεχές.
Έστω u (x) = x, μετά d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, και d (u (x)) = u " (x) d x = d x, και v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Από τον τύπο ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x παίρνουμε ότι
∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · συν π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · συν - π 6 + π 6 + 9 αμαρτία x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 αμαρτία π 2 + π 6 - αμαρτία - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Το παράδειγμα μπορεί να λυθεί με άλλο τρόπο.
Βρείτε το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης x · sin x 3 + π 6 χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση ανά μέρη χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 συν x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Απάντηση: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
