Όλες οι άκρες της πυραμίδας. Πυραμίδα. Κόλουρη πυραμίδα

Οδηγίες

Σε περίπτωση που στη βάση πυραμίδεςβρίσκεται ένα τετράγωνο, το μήκος της διαγωνίου του είναι γνωστό, καθώς και το μήκος της άκρης αυτού πυραμίδες, Αυτό ύψοςαυτό πυραμίδεςμπορεί να εκφραστεί από το Πυθαγόρειο θεώρημα, επειδή ένα τρίγωνο σχηματίζεται από μια ακμή πυραμίδες, και η μισή διαγώνιος στη βάση είναι ορθογώνιο τρίγωνο.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο σε μέγεθος με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών της (a² = b² + c²). Ακρη πυραμίδες- υποτείνουσα, το ένα σκέλος έχει τη μισή διαγώνιο του τετραγώνου. Στη συνέχεια, το μήκος του άγνωστου ποδιού (ύψος) βρίσκεται χρησιμοποιώντας τους τύπους:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².

Για να κάνετε και τις δύο καταστάσεις όσο το δυνατόν πιο σαφείς και κατανοητές, μπορείτε να σκεφτείτε ένα ζευγάρι.
Παράδειγμα 1: Εμβαδόν βάσης πυραμίδες 46 cm², ο όγκος του είναι 120 cm³. Με βάση αυτά τα δεδομένα, το ύψος πυραμίδεςβρίσκεται ως εξής:
h = 3*120/46 = 7,83 cm
Απάντηση: το ύψος αυτού πυραμίδεςθα είναι περίπου 7,83 εκ
Παράδειγμα 2: U πυραμίδες, στη βάση του οποίου βρίσκεται ένα πολύγωνο - ένα τετράγωνο, η διαγώνιος του είναι 14 cm, το μήκος της άκρης είναι 15 cm Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα, για να βρείτε ύψος πυραμίδες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο (που είναι συνέπεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29 cm
Απάντηση: το ύψος αυτού πυραμίδεςείναι √29 cm ή περίπου 5,4 cm

Παρακαλώ σημειώστε

Εάν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα τετράγωνο ή άλλο κανονικό πολύγωνο, τότε αυτή η πυραμίδα μπορεί να ονομαστεί κανονική. Μια τέτοια πυραμίδα έχει μια σειρά από ιδιότητες:
οι πλευρικές νευρώσεις του είναι ίσες.
Οι όψεις του είναι ισοσκελές τρίγωνα που είναι ίσα μεταξύ τους.
γύρω από μια τέτοια πυραμίδα μπορεί κανείς να περιγράψει μια σφαίρα, αλλά και να την εγγράψει.

Πηγές:

• Σωστή πυραμίδα

Μια πυραμίδα είναι μια μορφή που η βάση της είναι ένα πολύγωνο και οι όψεις της είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή για όλους. Σε τυπικά προβλήματα, είναι συχνά απαραίτητο να κατασκευάσουμε και να προσδιορίσουμε το μήκος μιας κάθετης που λαμβάνεται από μια κορυφή πυραμίδεςστο επίπεδο της βάσης του. Το μήκος αυτού του τμήματος ονομάζεται ύψος πυραμίδες.

θα χρειαστείτε

• - κυβερνήτης
• - μολύβι
• - πυξίδα

Οδηγίες

Για να ολοκληρώσετε, κατασκευάστε μια πυραμίδα σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας. Για παράδειγμα, για να φτιάξετε ένα κανονικό τετράεδρο, πρέπει να σχεδιάσετε ένα σχήμα έτσι ώστε και οι 6 άκρες να είναι ίσες μεταξύ τους. Εάν χρειάζεται να χτίσετε ύψοςτετράγωνο, τότε μόνο 4 άκρες της βάσης πρέπει να είναι ίσες. Στη συνέχεια, μπορείτε να δημιουργήσετε τις άκρες των πλευρικών όψεων άνισες με τις άκρες του πολυγώνου. Ονομάστε την πυραμίδα, επισημαίνοντας όλες τις κορυφές με λατινικά γράμματα. Για παράδειγμα, για πυραμίδεςμε ένα τρίγωνο στη βάση μπορείτε να επιλέξετε A, B, C (για τη βάση), S (για την κορυφή). Εάν η συνθήκη καθορίζει συγκεκριμένες διαστάσεις των νευρώσεων, τότε κατά την κατασκευή του σχήματος, προχωρήστε από αυτές τις τιμές.

Για να ξεκινήσετε, επιλέξτε υπό όρους, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, εφαπτομένη από το εσωτερικό σε όλα τα άκρα του πολυγώνου. Εάν μια πυραμίδα, τότε το σημείο (ονομάστε το, για παράδειγμα, H) στη βάση πυραμίδες, στο οποίο κατεβαίνει το ύψος, πρέπει να αντιστοιχεί στο κέντρο του κύκλου που είναι εγγεγραμμένο στη σωστή βάση πυραμίδες. Το κέντρο θα αντιστοιχεί σε ένα σημείο σε ίση απόσταση από οποιοδήποτε άλλο σημείο του κύκλου. Αν συνδέσετε την κορυφή πυραμίδες S με το κέντρο του κύκλου H, τότε το τμήμα SH θα είναι το ύψος πυραμίδες. Θυμηθείτε ότι ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές έχουν το ίδιο άθροισμα. Αυτό ισχύει για το τετράγωνο και τον ρόμβο. Στην περίπτωση αυτή, το σημείο Η θα βρίσκεται στο τετράπλευρο. Για οποιοδήποτε τρίγωνο είναι δυνατό να εγγραφεί και να περιγραφεί ένας κύκλος.

Να χτίσει ύψος πυραμίδες, χρησιμοποιήστε μια πυξίδα για να σχεδιάσετε έναν κύκλο και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να συνδέσετε το κέντρο του H με την κορυφή S. SH είναι το επιθυμητό ύψος. Αν στη βάση πυραμίδεςΤο SABC είναι ένα ακανόνιστο σχήμα, τότε το ύψος θα συνδέσει την κορυφή πυραμίδεςμε το κέντρο του κύκλου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το πολύγωνο βάσης. Όλες οι κορυφές του πολυγώνου βρίσκονται σε έναν τέτοιο κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό το τμήμα θα είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης πυραμίδες. Μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από ένα τετράπλευρο εάν το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180°. Τότε το κέντρο ενός τέτοιου κύκλου θα βρίσκεται στην τομή των διαγωνίων του αντίστοιχου

Ορισμός. Πλαϊνή άκρη- αυτό είναι ένα τρίγωνο στο οποίο η μία γωνία βρίσκεται στην κορυφή της πυραμίδας και η απέναντι πλευρά συμπίπτει με την πλευρά της βάσης (πολύγωνο).

Ορισμός. Πλαϊνά πλευρά- αυτές είναι οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων. Μια πυραμίδα έχει τόσες άκρες όσες και οι γωνίες ενός πολυγώνου.

Ορισμός. Ύψος πυραμίδας- αυτή είναι μια κάθετη χαμηλωμένη από την κορυφή στη βάση της πυραμίδας.

Ορισμός. Απόθεμ- αυτή είναι μια κάθετη προς την πλευρική όψη της πυραμίδας, χαμηλωμένη από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης.

Ορισμός. Διαγώνιο τμήμα- αυτό είναι ένα τμήμα μιας πυραμίδας από ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας και τη διαγώνιο της βάσης.

Ορισμός. Σωστή πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, και το ύψος κατεβαίνει στο κέντρο της βάσης.

Όγκος και επιφάνεια της πυραμίδας

Τύπος. Όγκος της πυραμίδαςμέσω του εμβαδού και του ύψους της βάσης:

Ιδιότητες της πυραμίδας

Εάν όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες, τότε μπορεί να σχεδιαστεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας και το κέντρο της βάσης να συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου. Επίσης, από το κέντρο της βάσης (κύκλος) περνάει μια κάθετη που πέφτει από την κορυφή.

Αν όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες, τότε έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης στις ίδιες γωνίες.

Οι πλευρικές νευρώσεις είναι ίσες όταν σχηματίζονται με το επίπεδο της βάσης ίσες γωνίεςή αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Αν πλαϊνά πρόσωπαείναι κεκλιμένα προς το επίπεδο της βάσης σε μία γωνία, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί στη βάση της πυραμίδας και η κορυφή της πυραμίδας προβάλλεται στο κέντρο της.

Αν οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς το επίπεδο της βάσης στην ίδια γωνία, τότε τα αποθέματα των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

Ιδιότητες μιας κανονικής πυραμίδας

1. Η κορυφή της πυραμίδας έχει ίση απόσταση από όλες τις γωνίες της βάσης.

2. Όλες οι πλευρικές άκρες είναι ίσες.

3. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση σε ίσες γωνίες ως προς τη βάση.

4. Τα αποθέματα όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

5. Τα εμβαδά όλων των πλευρικών όψεων είναι ίσα.

6. Όλες οι όψεις έχουν τις ίδιες δίεδρες (επίπεδες) γωνίες.

7. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από την πυραμίδα. Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των κάθετων που διέρχονται από το μέσο των άκρων.

8. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε μια πυραμίδα. Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων που προέρχονται από τη γωνία μεταξύ της άκρης και της βάσης.

9. Αν το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας συμπίπτει με το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, τότε το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι ίσο με π ή αντίστροφα, μια γωνία είναι ίση με π/n, όπου n είναι ο αριθμός των γωνιών στη βάση της πυραμίδας.

Η σύνδεση μεταξύ της πυραμίδας και της σφαίρας

Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα όταν στη βάση της πυραμίδας υπάρχει ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Το κέντρο της σφαίρας θα είναι το σημείο τομής των επιπέδων που διέρχονται κάθετα από τα μέσα των πλευρικών άκρων της πυραμίδας.

Είναι πάντα δυνατό να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική ή κανονική πυραμίδα.

Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα επίπεδα διχοτόμων των εσωτερικών διεδρικών γωνιών της πυραμίδας τέμνονται σε ένα σημείο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη). Αυτό το σημείο θα είναι το κέντρο της σφαίρας.

Σύνδεση πυραμίδας με κώνο

Ένας κώνος λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένος σε μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι εγγεγραμμένη στη βάση της πυραμίδας.

Ένας κώνος μπορεί να εγγραφεί σε μια πυραμίδα εάν τα αποθέματα της πυραμίδας είναι ίσα μεταξύ τους.

Ένας κώνος λέγεται ότι περιβάλλεται γύρω από μια πυραμίδα εάν οι κορυφές τους συμπίπτουν και η βάση του κώνου είναι περιγεγραμμένη γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Ένας κώνος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν όλες οι πλευρικές ακμές της πυραμίδας είναι ίσες μεταξύ τους.

Σχέση πυραμίδας και κυλίνδρου

Μια πυραμίδα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε έναν κύλινδρο εάν η κορυφή της πυραμίδας βρίσκεται σε μια βάση του κυλίνδρου και η βάση της πυραμίδας είναι εγγεγραμμένη σε μια άλλη βάση του κυλίνδρου.

Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Ορισμός. Κόλουρη πυραμίδα (πυραμιδικό πρίσμα)- αυτό είναι ένα πολύεδρο που βρίσκεται μεταξύ της βάσης της πυραμίδας και του επιπέδου τομής, παράλληλα με τη βάση. Έτσι μια πυραμίδα έχει μια μεγαλύτερη βάση και μια μικρότερη βάση που είναι παρόμοια με τη μεγαλύτερη. Οι πλευρικές όψεις είναι τραπεζοειδείς.

Ορισμός. Τριγωνική πυραμίδα (τετράεδρο)είναι μια πυραμίδα στην οποία τρεις όψεις και η βάση είναι αυθαίρετα τρίγωνα.

Ένα τετράεδρο έχει τέσσερις όψεις και τέσσερις κορυφές και έξι ακμές, όπου οποιαδήποτε δύο ακμές δεν έχουν κοινές κορυφές αλλά δεν αγγίζονται.

Κάθε κορυφή αποτελείται από τρεις όψεις και ακμές που σχηματίζονται τριγωνική γωνία.

Το τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τετραέδρου με το κέντρο της απέναντι όψης ονομάζεται διάμεσος του τετραέδρου(GM).

Διδιάμεσοςονομάζεται τμήμα που συνδέει τα μέσα των απέναντι άκρων που δεν εφάπτονται (KL).

Όλα τα διμέσου και οι διάμεσοι ενός τετραέδρου τέμνονται σε ένα σημείο (S). Σε αυτή την περίπτωση, οι δίμεσοι χωρίζονται στο μισό και οι διάμεσοι χωρίζονται σε αναλογία 3:1 ξεκινώντας από την κορυφή.

Ορισμός. Κεκλιμένη πυραμίδα- είναι μια πυραμίδα στην οποία σχηματίζεται ένα από τα άκρα αμβλεία γωνία(β) με βάση.

Ορισμός. Ορθογώνια πυραμίδαείναι μια πυραμίδα στην οποία μία από τις πλευρικές όψεις είναι κάθετη στη βάση.

Ορισμός. Οξεία γωνιακή πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι περισσότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.

Ορισμός. Αμβλεία πυραμίδα- μια πυραμίδα στην οποία το απόθεμα είναι μικρότερο από το μισό μήκος της πλευράς της βάσης.

Ορισμός. Κανονικό τετράεδρο- ένα τετράεδρο στο οποίο και οι τέσσερις όψεις είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Είναι ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. Σε ένα κανονικό τετράεδρο, όλες οι διεδρικές γωνίες (μεταξύ όψεων) και οι τριεδρικές γωνίες (στην κορυφή) είναι ίσες.

Ορισμός. Ορθογώνιο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο υπάρχει ορθή γωνία μεταξύ τριών ακμών στην κορυφή (οι ακμές είναι κάθετες). Σχηματίζονται τρία πρόσωπα ορθογώνια τριγωνική γωνίακαι οι όψεις είναι ορθογώνια τρίγωνα, και η βάση είναι ένα αυθαίρετο τρίγωνο. Το απόθεμα οποιουδήποτε προσώπου ισούται με το ήμισυ της πλευράς της βάσης στην οποία πέφτει το απόθεμα.

Ορισμός. Ισοεδρικό τετράεδροονομάζεται τετράεδρο του οποίου οι πλευρικές όψεις είναι ίσες μεταξύ τους και η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο. Ένα τέτοιο τετράεδρο έχει όψεις που είναι ισοσκελές τρίγωνα.

Ορισμός. Ορθόκεντρο τετράεδροονομάζεται τετράεδρο στο οποίο τέμνονται σε ένα σημείο όλα τα ύψη (κάθετοι) που κατεβαίνουν από την κορυφή προς την απέναντι όψη.

Ορισμός. Αστρική πυραμίδαονομάζεται πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα αστέρι.

Ορισμός. Διπυραμίδα- ένα πολύεδρο που αποτελείται από δύο διαφορετικές πυραμίδες (οι πυραμίδες μπορούν επίσης να αποκοπούν) που έχει κοινά σημεία, και οι κορυφές βρίσκονται κατά μήκος διαφορετικές πλευρέςαπό το επίπεδο της βάσης.

Εκμάθηση βίντεο 2: Πρόβλημα πυραμίδας. Όγκος της πυραμίδας

Εκμάθηση βίντεο 3: Πρόβλημα πυραμίδας. Σωστή πυραμίδα

Διάλεξη: Πυραμίδα, βάση της, πλευρικές νευρώσεις, ύψος, πλευρική επιφάνεια. τριγωνική πυραμίδα? κανονική πυραμίδα

Πυραμίδα, οι ιδιότητές της

Πυραμίδαείναι ένα τρισδιάστατο σώμα που έχει ένα πολύγωνο στη βάση του και όλες οι όψεις του αποτελούνται από τρίγωνα.

Μια ειδική περίπτωση πυραμίδας είναι ένας κώνος με έναν κύκλο στη βάση του.

Ας δούμε τα κύρια στοιχεία της πυραμίδας:

Απόθεμ- αυτό είναι ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το μέσο του κάτω άκρου της πλευρικής όψης. Με άλλα λόγια, αυτό είναι το ύψος της άκρης της πυραμίδας.

Στο σχήμα μπορείτε να δείτε τρίγωνα ADS, ABS, BCS, CDS. Αν κοιτάξετε προσεκτικά τα ονόματα, μπορείτε να δείτε ότι κάθε τρίγωνο έχει ένα κοινό γράμμα στο όνομά του - S. Δηλαδή, αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις (τρίγωνα) συγκλίνουν σε ένα σημείο, το οποίο ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας .

Το τμήμα OS που συνδέει την κορυφή με το σημείο τομής των διαγωνίων της βάσης (στην περίπτωση τριγώνων - στο σημείο τομής των υψών) ονομάζεται ύψος πυραμίδας.

Διαγώνιο τμήμα είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή της πυραμίδας, καθώς και μία από τις διαγώνιες της βάσης.

Δεδομένου ότι η πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας αποτελείται από τρίγωνα, για να βρείτε το συνολικό εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας είναι απαραίτητο να βρείτε την περιοχή κάθε προσώπου και να τα προσθέσετε. Ο αριθμός και το σχήμα των όψεων εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος των πλευρών του πολυγώνου που βρίσκεται στη βάση.

Το μόνο επίπεδο σε μια πυραμίδα που δεν ανήκει στην κορυφή της ονομάζεται βάσηπυραμίδες.

Στο σχήμα βλέπουμε ότι η βάση είναι παραλληλόγραμμο, ωστόσο, μπορεί να είναι οποιοδήποτε αυθαίρετο πολύγωνο.

Σκηνικά θέατρου:

Εξετάστε την πρώτη περίπτωση μιας πυραμίδας, στην οποία έχει άκρα του ίδιου μήκους:

• Ένας κύκλος μπορεί να σχεδιαστεί γύρω από τη βάση μιας τέτοιας πυραμίδας. Εάν προβάλλετε την κορυφή μιας τέτοιας πυραμίδας, τότε η προβολή της θα βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.
• Οι γωνίες στη βάση της πυραμίδας είναι ίδιες σε κάθε όψη.
• Σε αυτή την περίπτωση, μια επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί γύρω από τη βάση της πυραμίδας, καθώς και ότι όλες οι ακμές έχουν διαφορετικά μήκη, μπορεί να θεωρηθούν οι ίδιες γωνίες μεταξύ της βάσης και κάθε άκρης των όψεων.

Αν συναντήσετε μια πυραμίδα στην οποία οι γωνίες μεταξύ των πλευρικών όψεων και της βάσης είναι ίσες, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

• Θα μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο γύρω από τη βάση της πυραμίδας, η κορυφή του οποίου προβάλλεται ακριβώς στο κέντρο.
• Εάν τραβήξετε κάθε πλευρικό άκρο του ύψους στη βάση, τότε θα έχουν ίσο μήκος.
• Για να βρείτε την πλευρική επιφάνεια μιας τέτοιας πυραμίδας, αρκεί να βρείτε την περίμετρο της βάσης και να την πολλαπλασιάσετε κατά το ήμισυ του μήκους του ύψους.
• S bp = 0,5P oc H.
• Τύποι πυραμίδας.
• Ανάλογα με το ποιο πολύγωνο βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, μπορούν να είναι τριγωνικά, τετράγωνα κ.λπ. Εάν ένα κανονικό πολύγωνο (με ίσες πλευρές) βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας, τότε μια τέτοια πυραμίδα θα ονομάζεται κανονική.

Κανονική τριγωνική πυραμίδα

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας e-mailκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Οι μαθητές συναντούν την έννοια της πυραμίδας πολύ πριν μελετήσουν τη γεωμετρία. Το λάθος έγκειται στα περίφημα μεγάλα αιγυπτιακά θαύματα του κόσμου. Επομένως, όταν αρχίζουν να μελετούν αυτό το υπέροχο πολύεδρο, οι περισσότεροι μαθητές το φαντάζονται ήδη ξεκάθαρα. Όλα τα προαναφερθέντα αξιοθέατα έχουν το σωστό σχήμα. Τι έγινε κανονική πυραμίδα, και ποιες ιδιότητες έχει θα συζητηθούν περαιτέρω.

Ορισμός

Υπάρχουν πολλοί ορισμοί της πυραμίδας. Από τα αρχαία χρόνια, ήταν πολύ δημοφιλές.

Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης το όρισε ως μια σωματική φιγούρα που αποτελείται από επίπεδα που ξεκινώντας από το ένα συγκλίνουν σε ένα ορισμένο σημείο.

Ο Heron έδωσε μια πιο ακριβή διατύπωση. Επέμεινε ότι αυτή ήταν η φιγούρα που έχει βάση και επίπεδα με τη μορφή τριγώνων,συγκλίνουν σε ένα σημείο.

Με βάση σύγχρονη ερμηνεία, η πυραμίδα αναπαρίσταται ως ένα χωρικό πολύεδρο που αποτελείται από ένα ορισμένο k-gon και k επίπεδες φιγούρεςτριγωνικού σχήματος με ένα κοινό σημείο.

Ας το δούμε πιο αναλυτικά, από ποια στοιχεία αποτελείται:

• Το k-gon θεωρείται η βάση του σχήματος.
• Τα 3-γωνικά σχήματα προεξέχουν ως τις άκρες του πλευρικού τμήματος.
• το πάνω μέρος από το οποίο προέρχονται τα πλευρικά στοιχεία ονομάζεται κορυφή.
• Όλα τα τμήματα που συνδέουν μια κορυφή ονομάζονται ακμές.
• εάν μια ευθεία γραμμή χαμηλώσει από την κορυφή στο επίπεδο του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών, τότε το τμήμα της που περιέχεται στον εσωτερικό χώρο είναι το ύψος της πυραμίδας.
• Σε οποιοδήποτε πλευρικό στοιχείο, μια κάθετη, που ονομάζεται απόθεμα, μπορεί να τραβηχτεί προς την πλευρά του πολύεδρου μας.

Ο αριθμός των ακμών υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο 2*k, όπου k είναι ο αριθμός των πλευρών του k-gon. Πόσες όψεις έχει ένα πολύεδρο όπως μια πυραμίδα μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την έκφραση k+1.

Σπουδαίος!Μια πυραμίδα κανονικού σχήματος είναι ένα στερεομετρικό σχήμα του οποίου το επίπεδο βάσης είναι ένα k-gon με ίσες πλευρές.

Βασικές ιδιότητες

Σωστή πυραμίδα έχει πολλές ιδιότητες,που είναι μοναδικά για αυτήν. Ας τα απαριθμήσουμε:

1. Η βάση είναι μια φιγούρα με το σωστό σχήμα.
2. Οι άκρες της πυραμίδας που περιορίζουν τα πλευρικά στοιχεία έχουν ίσες αριθμητικές τιμές.
3. Τα πλευρικά στοιχεία είναι ισοσκελή τρίγωνα.
4. Η βάση του ύψους του σχήματος πέφτει στο κέντρο του πολυγώνου, ενώ είναι ταυτόχρονα το κεντρικό σημείο του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου.
5. Όλες οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς το επίπεδο της βάσης με την ίδια γωνία.
6. Όλες οι πλευρικές επιφάνειες έχουν την ίδια γωνία κλίσης σε σχέση με τη βάση.

Χάρη σε όλες τις αναφερόμενες ιδιότητες, η εκτέλεση υπολογισμών στοιχείων είναι πολύ πιο απλή. Με βάση τις παραπάνω ιδιότητες, δίνουμε προσοχή δύο σημάδια:

1. Στην περίπτωση που το πολύγωνο χωράει σε κύκλο, οι πλευρικές όψεις θα έχουν ίσες γωνίες με τη βάση.
2. Όταν περιγράφουμε έναν κύκλο γύρω από ένα πολύγωνο, όλες οι άκρες της πυραμίδας που προέρχονται από την κορυφή θα έχουν ίσα μήκη και ίσες γωνίες με τη βάση.

Η βάση είναι ένα τετράγωνο

Κανονική τετραγωνική πυραμίδα - ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα τετράγωνο.

Έχει τέσσερις πλευρικές όψεις, οι οποίες είναι ισοσκελές στην όψη.

Ένα τετράγωνο απεικονίζεται σε ένα επίπεδο, αλλά βασίζεται σε όλες τις ιδιότητες ενός κανονικού τετράπλευρου.

Για παράδειγμα, εάν είναι απαραίτητο να συσχετίσετε την πλευρά ενός τετραγώνου με τη διαγώνιό του, χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο τύπο: η διαγώνιος είναι ίση με το γινόμενο της πλευράς του τετραγώνου και την τετραγωνική ρίζα του δύο.

Βασίζεται σε κανονικό τρίγωνο

Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο του οποίου η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο.

Εάν η βάση είναι ένα κανονικό τρίγωνο και οι πλευρικές άκρες είναι ίσες με τις άκρες της βάσης, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται τετράεδρο.

Όλες οι όψεις ενός τετραέδρου είναι ισόπλευρες 3-γωνίες. ΣΕ σε αυτή την περίπτωσηΠρέπει να γνωρίζετε ορισμένα σημεία και να μην χάνετε χρόνο σε αυτά κατά τον υπολογισμό:

• η γωνία κλίσης των νευρώσεων σε οποιαδήποτε βάση είναι 60 μοίρες.
• το μέγεθος όλων των εσωτερικών όψεων είναι επίσης 60 μοίρες.
• οποιοδήποτε πρόσωπο μπορεί να λειτουργήσει ως βάση.
• , σχεδιασμένα μέσα στο σχήμα, αυτά είναι ίσα στοιχεία.

Τομές ενός πολυέδρου

Σε οποιοδήποτε πολύεδρο υπάρχουν διάφορους τύπους τμημάτωνεπίπεδα. Συχνά σε ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας δουλεύουν με δύο:

• αξονικός;
• παράλληλα με τη βάση.

Μια αξονική τομή λαμβάνεται με τομή ενός πολύεδρου με ένα επίπεδο που διέρχεται από την κορυφή, τις πλευρικές ακμές και τον άξονα. Στην περίπτωση αυτή, ο άξονας είναι το ύψος που αντλείται από την κορυφή. Το επίπεδο κοπής περιορίζεται από τις γραμμές τομής με όλες τις όψεις, με αποτέλεσμα ένα τρίγωνο.

Προσοχή!Σε μια κανονική πυραμίδα, το αξονικό τμήμα είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Εάν το επίπεδο κοπής τρέχει παράλληλα με τη βάση, τότε το αποτέλεσμα είναι η δεύτερη επιλογή. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε ένα σχήμα διατομής παρόμοιο με τη βάση.

Για παράδειγμα, εάν η βάση είναι τετράγωνο, τότε το τμήμα παράλληλο στη βάση θα είναι επίσης τετράγωνο, μόνο μικρότερων διαστάσεων.

Κατά την επίλυση προβλημάτων υπό αυτήν την προϋπόθεση, χρησιμοποιούν σημεία και ιδιότητες ομοιότητας των σχημάτων, με βάση το θεώρημα του Θαλή. Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί ο συντελεστής ομοιότητας.

Αν το επίπεδο τραβηχτεί παράλληλα με τη βάση και αποκοπεί πάνω μέροςπολύεδρο, τότε λαμβάνεται μια κανονική κολοβωμένη πυραμίδα στο κάτω μέρος. Τότε οι βάσεις ενός κόλουρου πολυέδρου λέγονται ότι είναι παρόμοια πολύγωνα. Στην περίπτωση αυτή, οι πλευρικές όψεις είναι ισοσκελές τραπεζοειδή. Το αξονικό τμήμα είναι επίσης ισοσκελές.

Προκειμένου να προσδιοριστεί το ύψος ενός κόλουρου πολυέδρου, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε το ύψος στην αξονική τομή, δηλαδή στο τραπέζιο.

Επιφάνειες

Τα κύρια γεωμετρικά προβλήματα που πρέπει να λυθούν σε ένα σχολικό μάθημα γεωμετρίας είναι βρίσκοντας την επιφάνεια και τον όγκο μιας πυραμίδας.

Υπάρχουν δύο τύποι τιμών επιφάνειας:

• περιοχή των πλευρικών στοιχείων.
• περιοχή ολόκληρης της επιφάνειας.

Από το ίδιο το όνομα είναι ξεκάθαρο για τι πράγμα μιλάμε. Η πλαϊνή επιφάνεια περιλαμβάνει μόνο τα πλαϊνά στοιχεία. Από αυτό προκύπτει ότι για να το βρείτε, πρέπει απλώς να προσθέσετε τις περιοχές των πλευρικών επιπέδων, δηλαδή τις περιοχές των ισοσκελές 3-γωνίων. Ας προσπαθήσουμε να εξαγάγουμε τον τύπο για την περιοχή των πλευρικών στοιχείων:

1. Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς 3-γωνίου είναι Str=1/2(aL), όπου a είναι η πλευρά της βάσης, L είναι το απόθεμα.
2. Ο αριθμός των πλευρικών επιπέδων εξαρτάται από τον τύπο του k-gon στη βάση. Για παράδειγμα, μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα έχει τέσσερα πλευρικά επίπεδα. Επομένως, είναι απαραίτητο να προσθέσουμε τα εμβαδά τεσσάρων σχημάτων Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Η έκφραση απλοποιείται με αυτόν τον τρόπο επειδή η τιμή είναι 4a = Rosn, όπου Rosn είναι η περίμετρος της βάσης. Και η έκφραση 1/2*Rosn είναι η ημιπερίμετρός του.
3. Έτσι, συμπεραίνουμε ότι το εμβαδόν των πλευρικών στοιχείων μιας κανονικής πυραμίδας είναι ίσο με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου της βάσης και του αποθέματος: Sside = Rosn * L.

Πλατεία πλήρη επιφάνειαη πυραμίδα αποτελείται από το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών επιπέδων και της βάσης: Sp.p = Sside + Sbas.

Όσον αφορά την περιοχή της βάσης, εδώ ο τύπος χρησιμοποιείται σύμφωνα με τον τύπο του πολυγώνου.

Όγκος κανονικής πυραμίδαςίσο με το γινόμενο του εμβαδού του επιπέδου βάσης και του ύψους διαιρούμενο με τρία: V=1/3*Sbas*H, όπου H είναι το ύψος του πολυέδρου.

Τι έγινε σωστή πυραμίδαστη γεωμετρία

Ιδιότητες κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας