Ο αντίστροφος πίνακας για ένα δεδομένο είναι ένας τέτοιος πίνακας, πολλαπλασιασμός του αρχικού με τον οποίο δίνει τον πίνακα ταυτότητας: Μια υποχρεωτική και επαρκής συνθήκη για την παρουσία αντίστροφη μήτραείναι η ανισότητα μηδέν της ορίζουσας του αρχικού (που με τη σειρά του σημαίνει ότι ο πίνακας πρέπει να είναι τετράγωνος). Εάν η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε ονομάζεται εκφυλισμένη και ένας τέτοιος πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Στα ανώτερα μαθηματικά, οι αντίστροφοι πίνακες είναι σημαντικοί και χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Για παράδειγμα, στις βρίσκοντας τον αντίστροφο πίνακακατασκευάζεται μια μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Το σέρβις μας το επιτρέπει υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα onlineδύο μέθοδοι: η μέθοδος Gauss-Jordan και η χρήση του πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών. Το πρώτο υπονοεί ένας μεγάλος αριθμός απόστοιχειώδεις μετασχηματισμοί μέσα στον πίνακα, ο δεύτερος - ο υπολογισμός της ορίζουσας και οι αλγεβρικές προσθήκες σε όλα τα στοιχεία. Για τον υπολογισμό της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την άλλη υπηρεσία μας - Υπολογισμός της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο
.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα στον ιστότοπο
δικτυακός τόποςσας επιτρέπει να βρείτε αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηγρήγορα και δωρεάν. Στο site γίνονται υπολογισμοί από την υπηρεσία μας και εμφανίζεται αποτέλεσμα με αναλυτική λύση για εύρεση αντίστροφη μήτρα. Ο διακομιστής δίνει πάντα μόνο την ακριβή και σωστή απάντηση. Σε εργασίες εξ ορισμού αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεση, είναι απαραίτητο η ορίζουσα μήτρεςήταν διαφορετικό από το μηδέν, αλλιώς δικτυακός τόποςθα αναφέρει την αδυναμία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα λόγω του γεγονότος ότι η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν. Εύρεση εργασίας αντίστροφη μήτρασυναντάται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, αποτελώντας μια από τις πιο βασικές έννοιες της άλγεβρας και μαθηματικό εργαλείο σε εφαρμοσμένα προβλήματα. Ανεξάρτητος ορισμός αντίστροφου πίνακαθέλει αρκετή προσπάθεια, πολύ χρόνο, υπολογισμούς και μεγάλη προσοχή για να μην γίνει ολίσθημα ή μικρό λάθος στους υπολογισμούς. Ως εκ τούτου, η υπηρεσία μας εύρεση του αντίστροφου πίνακα onlineθα διευκολύνει πολύ το έργο σας και θα γίνει ένα απαραίτητο εργαλείο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ακόμα και αν εσύ βρείτε τον αντίστροφο πίνακασας συνιστούμε να ελέγξετε τη λύση σας στον διακομιστή μας. Εισαγάγετε τον αρχικό σας πίνακα στο Υπολογισμός αντίστροφου πίνακα online και ελέγξτε την απάντησή σας. Το σύστημά μας δεν κάνει ποτέ λάθος και βρίσκει αντίστροφη μήτραδεδομένης διάστασης στη λειτουργία Σε σύνδεσηστη στιγμή! Στην τοποθεσία δικτυακός τόποςΟι καταχωρίσεις χαρακτήρων επιτρέπονται σε στοιχεία μήτρες, σε αυτήν την περίπτωση αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηθα παρουσιαστεί σε γενική συμβολική μορφή.
Ο πίνακας $A^(-1)$ ονομάζεται αντίστροφος του τετραγωνικού πίνακα $A$ εάν $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, όπου $E $ είναι ο πίνακας ταυτότητας, η σειρά του οποίου είναι ίση με τη σειρά του πίνακα $A$.
Ένας μη ενικός πίνακας είναι ένας πίνακας του οποίου η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, ένας εκφυλισμένος πίνακας είναι αυτός του οποίου η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.
Ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ υπάρχει εάν και μόνο εάν ο πίνακας $A$ είναι μη ενικός. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, τότε είναι μοναδικός.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και θα δούμε δύο από αυτούς. Αυτή η σελίδα θα καλύπτει τη μέθοδο πρόσθετης μήτρας, η οποία θεωρείται τυπική στα περισσότερα μαθήματα. ανώτερα μαθηματικά. Ο δεύτερος τρόπος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα (μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών), ο οποίος περιλαμβάνει τη χρήση της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου Gauss-Jordan, εξετάζεται στο δεύτερο μέρος.
Μέθοδος συμπληρωματικής (ενωτικής) μήτρας
Ας δοθεί ο πίνακας $A_(n\times n)$. Για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, απαιτούνται τρία βήματα:
- Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα $A$ και βεβαιωθείτε ότι $\Delta A\neq 0$, δηλ. ότι η μήτρα Α είναι μη εκφυλισμένη.
- Συνθέστε αλγεβρικά συμπληρώματα $A_(ij)$ για κάθε στοιχείο του πίνακα $A$ και γράψτε τον πίνακα $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ από τον πίνακα που βρέθηκε αλγεβρικά συμπληρώματα.
- Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.
Η μήτρα $(A^(*))^T$ αναφέρεται συχνά ως η πρόσθετη (αμοιβαία, συμμαχική) μήτρα του $A$.
Εάν η απόφαση λαμβάνεται με μη αυτόματο τρόπο, τότε η πρώτη μέθοδος είναι καλή μόνο για πίνακες σχετικά μικρών παραγγελιών: δεύτερη (), τρίτη (), τέταρτη (). Για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα ανώτερης τάξης, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι. Για παράδειγμα, η μέθοδος Gauss, η οποία συζητείται στο δεύτερο μέρος.
Παράδειγμα #1
Βρείτε τον πίνακα αντίστροφο προς τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.
Εφόσον όλα τα στοιχεία της τέταρτης στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\Delta A=0$ (δηλαδή ο πίνακας $A$ είναι εκφυλισμένος). Εφόσον $\Delta A=0$, δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας του $A$.
Παράδειγμα #2
Βρείτε τον πίνακα αντίστροφο προς τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.
Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της πρόσθετης μήτρας. Αρχικά, ας βρούμε την ορίζουσα του δεδομένου πίνακα $A$:
$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
Αφού $\Delta A \neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Εύρεση Αλγεβρικών Συμπληρωμάτων
\begin(στοιχισμένο) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(στοίχιση)
Συνθέστε έναν πίνακα αλγεβρικών συμπληρωμάτων: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
Μεταφέρετε τον προκύπτοντα πίνακα: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (το προκύπτον ο πίνακας ονομάζεται συχνά ο συνδεδεμένος ή ο ενιαίος πίνακας του πίνακα $A$). Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, έχουμε:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
Βρέθηκε λοιπόν ο αντίστροφος πίνακας: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \δεξιά) $. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A^(-1)\cdot A=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ αλλά ως $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$:
Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.
Παράδειγμα #3
Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.
Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα $A$. Άρα, η ορίζουσα του πίνακα $A$ είναι:
$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
Αφού $\Delta A\neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου του δεδομένου πίνακα:
Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών και τον μεταφέρουμε:
$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \δεξιά) $$
Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, παίρνουμε:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
Άρα $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A\cdot A^(-1)=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, αλλά ως $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:
Ο έλεγχος πέρασε με επιτυχία, ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ βρέθηκε σωστά.
Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.
Παράδειγμα #4
Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.
Για έναν πίνακα τέταρτης τάξης, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες είναι κάπως δύσκολη. Ωστόσο, τέτοια παραδείγματα εργασίες ελέγχουσυναντώ.
Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα $A$. Ο καλύτερος τρόπος για να το κάνετε αυτό σε αυτήν την περίπτωση είναι να επεκτείνετε την ορίζουσα σε μια σειρά (στήλη). Επιλέγουμε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη και βρίσκουμε το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου της επιλεγμένης γραμμής ή στήλης.
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα- ένα πρόβλημα που τις περισσότερες φορές επιλύεται με δύο μεθόδους:
- η μέθοδος των αλγεβρικών προσθηκών, στην οποία απαιτείται η εύρεση οριζόντων και η μεταφορά πινάκων·
- η μέθοδος εξάλειψης Gauss, η οποία απαιτεί στοιχειώδεις μετασχηματισμούς πινάκων (προσθήκη σειρών, πολλαπλασιασμός σειρών με τον ίδιο αριθμό, κ.λπ.).
Για όσους είναι ιδιαίτερα περίεργοι, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, για παράδειγμα, η μέθοδος των γραμμικών μετασχηματισμών. Σε αυτό το μάθημα, θα αναλύσουμε τις τρεις μεθόδους που αναφέρονται και αλγόριθμους για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα με αυτές τις μεθόδους.
αντίστροφη μήτρα ΕΝΑ, μια τέτοια μήτρα ονομάζεται
ΕΝΑ
. (1)
αντίστροφη μήτρα , που απαιτείται να βρεθεί για έναν δεδομένο τετραγωνικό πίνακα ΕΝΑ, μια τέτοια μήτρα ονομάζεται
το γινόμενο με το οποίο οι πίνακες ΕΝΑστα δεξιά είναι ο πίνακας ταυτότητας, δηλ.
. (1)
Ένας πίνακας ταυτότητας είναι ένας διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλες οι διαγώνιες εγγραφές είναι ίσες με μία.
Θεώρημα.Για κάθε μη ενικό (μη ενικό, μη ενικό) τετραγωνικό πίνακα, μπορεί κανείς να βρει έναν αντίστροφο πίνακα, και επιπλέον, μόνο έναν. Για έναν ειδικό (εκφυλισμένο, ενικό) τετραγωνικό πίνακα, ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.
Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται μη ειδικός(ή μη εκφυλισμένος, μη ενικός) αν η ορίζουσα του δεν είναι ίση με μηδέν, και ειδικός(ή εκφυλισμένος, ενικός) αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.
Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί μόνο για τετράγωνο πίνακα. Φυσικά, ο αντίστροφος πίνακας θα είναι επίσης τετράγωνος και της ίδιας τάξης με τον δεδομένο πίνακα. Ένας πίνακας για τον οποίο μπορεί να βρεθεί ένας αντίστροφος πίνακας ονομάζεται αντιστρέψιμος πίνακας.
Για αντίστροφη μήτρα υπάρχει μια εύστοχη αναλογία με το αντίστροφο ενός αριθμού. Για κάθε αριθμό ένα, που δεν ισούται με μηδέν, υπάρχει ένας αριθμός σιότι το έργο έναΚαι σιίσο με ένα: αβ= 1 . Αριθμός σιλέγεται το αντίστροφο ενός αριθμού σι. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 7, το αντίστροφο είναι ο αριθμός 1/7, αφού 7*1/7=1.
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των αλγεβρικών προσθηκών (πίνακας ένωσης)
Για μη ενικό τετράγωνο πίνακα ΕΝΑτο αντίστροφο είναι η μήτρα
πού είναι η ορίζουσα μήτρας ΕΝΑ, α είναι ο πίνακας που σχετίζεται με τον πίνακα ΕΝΑ.
Συμμαχία με τετράγωνη μήτρα ΕΝΑείναι ένας πίνακας ίδιας τάξης του οποίου τα στοιχεία είναι τα αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων της ορίζουσας του πίνακα που μετατίθεται ως προς τον πίνακα Α. Έτσι, αν
Οτι 
Και 
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των αλγεβρικών προσθηκών
1. Βρείτε την ορίζουσα αυτού του πίνακα ΕΝΑ. Εάν η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα σταματά, καθώς ο πίνακας είναι εκφυλισμένος και δεν υπάρχει αντίστροφος για αυτόν.
2. Βρείτε έναν πίνακα μεταφερόμενο σε σχέση με ΕΝΑ.
3. Υπολογίστε τα στοιχεία του πίνακα ένωσης ως τα αλγεβρικά συμπληρώματα του marita που βρέθηκαν στο βήμα 2.
4. Εφαρμόστε τον τύπο (2): πολλαπλασιάστε το αντίστροφο της ορίζουσας του πίνακα ΕΝΑ, στον πίνακα ένωσης που βρέθηκε στο βήμα 4.
5. Ελέγξτε το αποτέλεσμα που προκύπτει στο βήμα 4 πολλαπλασιάζοντας αυτόν τον πίνακα ΕΝΑστον αντίστροφο πίνακα. Εάν το γινόμενο αυτών των πινάκων είναι ίσο με τον πίνακα ταυτότητας, τότε ο αντίστροφος πίνακας βρέθηκε σωστά. Διαφορετικά ξεκινήστε ξανά τη διαδικασία επίλυσης.
Παράδειγμα 1Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση. Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα ΕΝΑ. Βρίσκουμε με τον κανόνα των τριγώνων:
Επομένως, η μήτρα ΕΝΑείναι μη ενικός (μη εκφυλισμένος, μη ενικός) και υπάρχει αντίστροφο για αυτό.
Ας βρούμε τον πίνακα που σχετίζεται με τον δεδομένο πίνακα ΕΝΑ.
Ας βρούμε τον πίνακα μεταφερόμενο σε σχέση με τον πίνακα ΕΝΑ:
Υπολογίζουμε τα στοιχεία του πίνακα ένωσης ως αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα που μετατίθεται σε σχέση με τον πίνακα ΕΝΑ:
Επομένως, η μήτρα συζευγνύεται με τη μήτρα ΕΝΑ, έχει τη μορφή
Σχόλιο.Η σειρά υπολογισμού των στοιχείων και η μεταφορά του πίνακα μπορεί να είναι διαφορετική. Μπορεί κανείς πρώτα να υπολογίσει τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα ΕΝΑ, και μετά μεταφέρετε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι τα ίδια στοιχεία του πίνακα ένωσης.
Εφαρμόζοντας τον τύπο (2), βρίσκουμε τον πίνακα αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ:
Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με Gaussian Elimination of Unknowns
Το πρώτο βήμα για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας με εξάλειψη Gauss είναι η αντιστοίχιση στον πίνακα ΕΝΑμήτρα ταυτότητας ίδιας σειράς, χωρίζοντάς τα με κάθετη ράβδο. Παίρνουμε έναν διπλό πίνακα. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέρη αυτού του πίνακα με , τότε παίρνουμε
,
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα με την Gaussian εξάλειψη των αγνώστων
1. Στη μήτρα ΕΝΑαντιστοιχίστε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς.
2. Μεταμορφώστε τον διπλό πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας να λαμβάνεται στο αριστερό του τμήμα, τότε ο αντίστροφος πίνακας θα ληφθεί αυτόματα στο δεξί μέρος στη θέση του πίνακα ταυτότητας. Μήτρα ΕΝΑστην αριστερή πλευρά μετατρέπεται στον πίνακα ταυτότητας με στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του πίνακα.
2. Αν στη διαδικασία μετασχηματισμού μήτρας ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας σε οποιαδήποτε γραμμή ή σε οποιαδήποτε στήλη θα υπάρχουν μόνο μηδενικά, τότε η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν και, επομένως, ο πίνακας ΕΝΑθα είναι εκφυλισμένος και δεν έχει αντίστροφη μήτρα. Σε αυτή την περίπτωση, η περαιτέρω εύρεση του αντίστροφου πίνακα σταματά.
Παράδειγμα 2Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
και θα το μετατρέψουμε έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας να λαμβάνεται στην αριστερή πλευρά. Ας ξεκινήσουμε τη μεταμόρφωση.
Πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά του αριστερού και δεξιού πίνακα με (-3) και προσθέστε τη στη δεύτερη σειρά και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά με (-4) και προσθέστε την στην τρίτη σειρά, τότε παίρνουμε
.
Έτσι ώστε, αν είναι δυνατόν, να μην υπάρχουν κλασματικοί αριθμοί κατά τους επόμενους μετασχηματισμούς, θα δημιουργήσουμε πρώτα μια μονάδα στη δεύτερη σειρά στην αριστερή πλευρά του διπλού πίνακα. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τη δεύτερη σειρά με 2 και αφαιρέστε την τρίτη σειρά από αυτήν και, στη συνέχεια, παίρνουμε
.
Ας προσθέσουμε την πρώτη σειρά στη δεύτερη και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με (-9) και την προσθέτουμε στην τρίτη σειρά. Μετά παίρνουμε
.
Στη συνέχεια, διαιρέστε την τρίτη σειρά με το 8
.
Πολλαπλασιάστε την τρίτη σειρά με 2 και προσθέστε τη στη δεύτερη σειρά. Αποδεικνύεται:
.
Ανταλλάσσοντας τις θέσεις της δεύτερης και τρίτης γραμμής, τότε τελικά παίρνουμε:
.
Βλέπουμε ότι ο πίνακας ταυτότητας λαμβάνεται στην αριστερή πλευρά, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας λαμβάνεται στη δεξιά πλευρά. Ετσι:
.
Μπορείτε να ελέγξετε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα με τον αντίστροφο πίνακα που βρέθηκε:
Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας αντίστροφος πίνακας.
Παράδειγμα 3Για μήτρα
βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.
Λύση. Σύνταξη διπλού πίνακα
και θα το μεταμορφώσουμε.
Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με 3, και τη δεύτερη με 2, και αφαιρούμε από τη δεύτερη, και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά με 5, και την τρίτη κατά 2 και αφαιρούμε από την τρίτη σειρά, τότε παίρνουμε
.
Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη σειρά επί 2 και την προσθέτουμε στη δεύτερη και στη συνέχεια αφαιρούμε τη δεύτερη από την τρίτη σειρά, τότε παίρνουμε
.
Βλέπουμε ότι στην τρίτη γραμμή στην αριστερή πλευρά, όλα τα στοιχεία ήταν ίσα με μηδέν. Επομένως, ο πίνακας είναι εκφυλισμένος και δεν έχει αντίστροφη μήτρα. Σταματάμε την περαιτέρω εύρεση της αντίστροφης Μαρίας.
Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας nης τάξης
Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.
Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:
αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνες μήτρες εκείνοι. για τους πίνακες που έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών.
Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα
Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι μη εκφυλισμένος.
Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένοςαν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.
Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα
- Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss και στα δεξιά (στη θέση των δεξιών τμημάτων των εξισώσεων) αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν.
- Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, φέρτε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μεμονωμένες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
- Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας Ε να λαμβάνεται κάτω από τον πίνακα Α του αρχικού πίνακα.
- Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.
Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1
Λύση: Καταγράφουμε τον πίνακα A και στα δεξιά εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E. Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα 31.1.
Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.
Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, λαμβάνεται ο πίνακας ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί είναι σωστοί.
Απάντηση: 
Επίλυση εξισώσεων μήτρας
Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:
AX = B, XA = B, AXB = C,
όπου A, B, C δίνονται πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.
Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.
Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από μια εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.
Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.
Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.
Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν 
Λύση: Εφόσον το αντίστροφο του πίνακα είναι ίσο (βλ. παράδειγμα 1)
Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση
Μαζί με άλλα βρίσκουν και εφαρμογή μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να συγκριθεί η λειτουργία των οργανισμών και τα δομικά τους τμήματα.
Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.
Στο πρώτο στάδιοδιαμορφώνεται σύστημα οικονομικούς δείκτεςκαι στη βάση του, καταρτίζεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους γραμμές του (i = 1,2,....,n), και κατά μήκος των κάθετων γραφημάτων - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).
Στο δεύτερο στάδιογια κάθε κάθετη στήλη, αποκαλύπτεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές των δεικτών, η οποία λαμβάνεται ως μονάδα.
Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που αντικατοπτρίζονται σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με υψηλότερη τιμήκαι σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.
Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη του πίνακα εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής στάθμισης κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από ειδικό.
Στο τελευταίο τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές βαθμολογιών Rjομαδοποιούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.
Οι παραπάνω μέθοδοι μήτρας θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων δεικτών οικονομικής απόδοσης των οργανισμών.
