Συναρτήσεις, δεν είναι καθόλου απαραίτητο να γνωρίζουμε την παρουσία της πρώτης και δεύτερης παραγώγου και να τις κατανοούμε φυσική έννοια. Πρώτα πρέπει να κατανοήσετε τα εξής:
- άκρα της συνάρτησης μεγιστοποίηση ή, αντίθετα, ελαχιστοποίηση της τιμής της συνάρτησης σε μια αυθαίρετα μικρή γειτονιά.
- Δεν πρέπει να υπάρχει ασυνέχεια της συνάρτησης στο ακραίο σημείο.
Και τώρα είναι το ίδιο πράγμα, μόνο σε απλή γλώσσα. Κοιτάξτε την άκρη της ράβδου στυλό στυλό. Εάν το στυλό είναι τοποθετημένο κάθετα, με το τέλος της γραφής, τότε η μέση της μπάλας θα είναι το άκρο - το υψηλότερο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για το μέγιστο. Τώρα, αν γυρίσετε το στυλό με το τέλος της γραφής προς τα κάτω, τότε στη μέση της μπάλας θα υπάρχει ήδη μια ελάχιστη λειτουργία. Χρησιμοποιώντας το σχήμα που δίνεται εδώ, μπορείτε να φανταστείτε τους αναφερόμενους χειρισμούς για ένα μολύβι χαρτικής. Έτσι, τα άκρα μιας συνάρτησης είναι πάντα κρίσιμα σημεία: το μέγιστο ή το ελάχιστο της. Το διπλανό τμήμα του γραφήματος μπορεί να είναι τόσο αιχμηρό ή λείο όσο επιθυμείτε, αλλά πρέπει να υπάρχει και στις δύο πλευρές, μόνο που σε αυτήν την περίπτωση το σημείο είναι ακρότατο. Εάν το γράφημα υπάρχει μόνο στη μία πλευρά, αυτό το σημείο δεν θα είναι ακρότατο ακόμη και αν στη μία πλευρά πληρούνται οι προϋποθέσεις ακραίου. Τώρα ας μελετήσουμε τα άκρα της συνάρτησης με επιστημονικό σημείοόραμα. Για να θεωρηθεί ένα σημείο ακραίο, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι:
- η πρώτη παράγωγος ήταν μηδέν ή δεν υπήρχε στο σημείο.
- η πρώτη παράγωγος άλλαξε πρόσημο σε αυτό το σημείο.
Η συνθήκη ερμηνεύεται ελαφρώς διαφορετικά από την άποψη των παραγώγων υψηλότερης τάξης: για μια συνάρτηση που είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο, αρκεί να υπάρχει μια παράγωγος περιττής τάξης που δεν είναι ίση με μηδέν, ενώ όλες οι παράγωγοι κατώτερης τάξης πρέπει να υπάρχουν και να είναι ίσο με μηδέν. Αυτή είναι η απλούστερη δυνατή ερμηνεία των θεωρημάτων από τα σχολικά βιβλία απλοί άνθρωποιΑξίζει να διευκρινιστεί αυτό το σημείο με ένα παράδειγμα. Η βάση είναι μια συνηθισμένη παραβολή. Ας κάνουμε μια κράτηση αμέσως: στο σημείο μηδέν έχει ένα ελάχιστο. Λίγα μαθηματικά μόνο:
- πρώτη παράγωγος (Χ 2) | = 2Χ, για το σημείο μηδέν 2Χ = 0;
- δεύτερη παράγωγος (2Χ) | = 2, για σημείο μηδέν 2 = 2.
Αυτός ο απλός τρόπος απεικονίζει τις συνθήκες που καθορίζουν τα άκρα της συνάρτησης τόσο για παραγώγους πρώτης τάξης όσο και για παραγώγους ανώτερης τάξης. Μπορούμε να προσθέσουμε σε αυτό ότι η δεύτερη παράγωγος είναι ακριβώς η ίδια παράγωγος περιττής τάξης, όχι ίση με το μηδέν, η οποία συζητήθηκε ακριβώς παραπάνω. Όταν πρόκειται για άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών, οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται και για τα δύο ορίσματα. Όταν συμβαίνει γενίκευση, χρησιμοποιούνται μερικές παράγωγοι. Δηλαδή, για την παρουσία ενός άκρου σε ένα σημείο, είναι απαραίτητο και οι δύο παράγωγοι πρώτης τάξης να είναι ίσες με μηδέν, ή τουλάχιστον μία από αυτές να μην υπάρχει. Για να διασφαλιστεί ότι η παρουσία ενός άκρου είναι επαρκής, μελετάται μια έκφραση που είναι η διαφορά μεταξύ του γινομένου των παραγώγων δεύτερης τάξης και του τετραγώνου της μικτής παραγώγου δεύτερης τάξης της συνάρτησης. Εάν αυτή η έκφραση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε υπάρχει ένα άκρο, αλλά εάν είναι ίσο με μηδέν, τότε το ερώτημα παραμένει ανοιχτό και χρειάζεται να διεξαχθεί πρόσθετη έρευνα.
Αυτή είναι μια αρκετά ενδιαφέρουσα ενότητα των μαθηματικών, την οποία αντιμετωπίζουν όλοι οι μεταπτυχιακοί φοιτητές και οι φοιτητές. Ωστόσο, δεν αρέσει σε όλους το matan. Μερικοί δεν μπορούν να κατανοήσουν ακόμη και βασικά πράγματα, όπως μια φαινομενικά τυπική μελέτη συναρτήσεων. Αυτό το άρθρο έχει σκοπό να διορθώσει μια τέτοια παράβλεψη. Θέλετε να μάθετε περισσότερα σχετικά με την ανάλυση συνάρτησης; Θα θέλατε να μάθετε τι είναι τα ακραία σημεία και πώς να τα βρείτε; Τότε αυτό το άρθρο είναι για εσάς.
Μελετώντας τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης
Πρώτον, αξίζει να καταλάβετε γιατί πρέπει να αναλύσετε καθόλου το γράφημα. Υπάρχουν απλές συναρτήσεις που δεν είναι δύσκολο να σχεδιαστούν. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμαΜια παραβολή μπορεί να εξυπηρετήσει παρόμοια λειτουργία. Δεν θα είναι δύσκολο να σχεδιάσετε ένα γράφημα. Το μόνο που χρειάζεται είναι, χρησιμοποιώντας έναν απλό μετασχηματισμό, να βρείτε τους αριθμούς στους οποίους η συνάρτηση παίρνει την τιμή 0. Και καταρχήν, αυτό είναι το μόνο που χρειάζεται να γνωρίζετε για να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας παραβολής.
Τι γίνεται όμως αν η συνάρτηση που πρέπει να γράψουμε είναι πολύ πιο περίπλοκη; Δεδομένου ότι οι ιδιότητες σύνθετες λειτουργίεςείναι αρκετά αφανείς, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ολόκληρη ανάλυση. Μόνο μετά από αυτό μπορεί η λειτουργία να απεικονιστεί γραφικά. Πώς να το κάνετε αυτό; Μπορείτε να βρείτε την απάντηση σε αυτήν την ερώτηση σε αυτό το άρθρο.
Σχέδιο Ανάλυσης Συναρτήσεων
Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να κάνουμε μια επιφανειακή μελέτη της συνάρτησης, κατά την οποία βρίσκουμε το πεδίο ορισμού. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με τη σειρά. Ο τομέας ορισμού είναι το σύνολο των τιμών με το οποίο ορίζεται η συνάρτηση. Με απλά λόγια, αυτοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε μια συνάρτηση αντί για x. Για να προσδιορίσετε το εύρος, πρέπει απλώς να δείτε την εγγραφή. Για παράδειγμα, είναι προφανές ότι η συνάρτηση y (x) = x 3 + x 2 - x + 43 έχει ένα πεδίο ορισμού που είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Λοιπόν, με μια συνάρτηση όπως (x 2 - 2x)/x όλα είναι λίγο διαφορετικά. Εφόσον ο αριθμός στον παρονομαστή δεν πρέπει να είναι ίσος με 0, το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης θα είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το μηδέν.
Στη συνέχεια, πρέπει να βρείτε τα λεγόμενα μηδενικά της συνάρτησης. Αυτές είναι οι τιμές ορίσματος στις οποίες ολόκληρη η συνάρτηση παίρνει την τιμή μηδέν. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εξισώσετε τη συνάρτηση με το μηδέν, να την εξετάσετε λεπτομερώς και να εκτελέσετε ορισμένους μετασχηματισμούς. Ας πάρουμε την ήδη γνωστή συνάρτηση y(x) = (x 2 - 2x)/x. Από το σχολικό μάθημα γνωρίζουμε ότι ένα κλάσμα είναι ίσο με 0 όταν ο αριθμητής είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, απορρίπτουμε τον παρονομαστή και αρχίζουμε να εργαζόμαστε με τον αριθμητή, εξισώνοντάς τον με μηδέν. Παίρνουμε x 2 - 2x = 0 και βάζουμε x εκτός παρενθέσεων. Άρα x (x - 2) = 0. Ως αποτέλεσμα, βρίσκουμε ότι η συνάρτησή μας είναι ίση με μηδέν όταν το x είναι 0 ή 2.
Κατά τη μελέτη του γραφήματος μιας συνάρτησης, πολλοί άνθρωποι αντιμετωπίζουν προβλήματα με τη μορφή ακραίων σημείων. Και είναι περίεργο. Εξάλλου, τα άκρα είναι ένα αρκετά απλό θέμα. Δεν με πιστεύεις; Δείτε μόνοι σας διαβάζοντας αυτό το μέρος του άρθρου, στο οποίο θα μιλήσουμε για ελάχιστους και μέγιστους βαθμούς.
Πρώτον, αξίζει να καταλάβουμε τι είναι ακραίο. Ένα άκρο είναι η οριακή τιμή που φτάνει μια συνάρτηση σε ένα γράφημα. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν δύο ακραίες τιμές - μέγιστη και ελάχιστη. Για σαφήνεια, μπορείτε να δείτε την παραπάνω εικόνα. Στην περιοχή που μελετήθηκε, το σημείο -1 είναι το μέγιστο της συνάρτησης y (x) = x 5 - 5x, και το σημείο 1, αντίστοιχα, είναι το ελάχιστο.
Επίσης, μην μπερδεύετε τις έννοιες. Τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης είναι εκείνα τα ορίσματα στα οποία μια δεδομένη συνάρτηση αποκτά ακραίες τιμές. Με τη σειρά του, το άκρο είναι η τιμή των ελαχίστων και μεγίστων μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, εξετάστε ξανά το παραπάνω σχήμα. Το -1 και το 1 είναι τα ακρότατα σημεία της συνάρτησης και τα 4 και -4 είναι τα ίδια τα άκρα.
Εύρεση ακραίων σημείων
Πώς όμως βρίσκετε τα ακραία σημεία μιας συνάρτησης; Όλα είναι αρκετά απλά. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε την παράγωγο της εξίσωσης. Ας πούμε ότι λάβαμε την εργασία: «Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης y (x), x είναι το όρισμα για λόγους σαφήνειας, ας πάρουμε τη συνάρτηση y (x) = x 3 + 2x 2 + x + 54. Ας διαφοροποιήσουμε και. πάρτε την ακόλουθη εξίσωση: 3x 2 + 4x + 1. Ως αποτέλεσμα, έχουμε μια τυπική τετραγωνική εξίσωση το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να την εξισώσουμε με το μηδέν και να βρούμε τις ρίζες (Δ = 16 - 12 = 4), αυτή η εξίσωση καθορίζεται από δύο ρίζες και τις παίρνουμε: 1/3 και -1 είναι ποιο σημείο είναι το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο, πρέπει να πάρετε το γειτονικό σημείο και να λάβετε τον αριθμό -2, που βρίσκεται στα αριστερά κατά μήκος της γραμμής συντεταγμένων; 1. Αντικαταστήστε αυτή την τιμή στην εξίσωσή μας y(-2) = 12 - 8 + 1 = 5. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν θετικό αριθμό Αυτό σημαίνει ότι στο διάστημα από 1/3 έως -1 η συνάρτηση αυξάνεται. Αυτό, με τη σειρά του, σημαίνει ότι στα διαστήματα από μείον άπειρο έως 1/3 και από -1 έως συν άπειρο η συνάρτηση μειώνεται. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο αριθμός 1/3 είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης στο διάστημα που μελετήθηκε και -1 είναι το μέγιστο σημείο.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η Ενιαία Κρατική Εξέταση απαιτεί όχι μόνο την εύρεση ακραίων σημείων, αλλά και την εκτέλεση κάποιου είδους λειτουργίας με αυτούς (προσθήκη, πολλαπλασιασμό κ.λπ.). Αυτός είναι ο λόγος που αξίζει να πληρώσετε ιδιαίτερη προσοχήστις συνθήκες του προβλήματος. Εξάλλου, λόγω απροσεξίας, μπορεί να χάσεις πόντους.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το πρόσημο ενός άκρου μιας συνάρτησης απαιτεί την ύπαρξη μιας παραγώγου τουλάχιστον δεύτερης τάξης στο σημείο.
Παράδειγμα.
Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.
Διάλυμα.
Ας ξεκινήσουμε με τον τομέα ορισμού: 
Ας διαφοροποιήσουμε την αρχική συνάρτηση: 
x=1, δηλαδή αυτό είναι ένα σημείο πιθανής ακρότητας. Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης και υπολογίζουμε την τιμή της στο:
x = 1 x=1Ως εκ τούτου, από τη δεύτερη επαρκή προϋπόθεση για ένα ακραίο, 
- μέγιστο σημείο. Τότε
- μέγιστη λειτουργία.
Γραφική απεικόνιση.
Απάντηση:
Η τρίτη επαρκής συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης. Αφήστε τη λειτουργία y=f(x) έχει παράγωγα μέχρι n -η τάξη στη -γειτονιά του σημείου και παράγωγα μέχρι n+1
Παράδειγμα.
-η σειρά στο ίδιο το σημείο. Ας είναι. 
.
Διάλυμα.
Βρείτε τα ακραία σημεία της συνάρτησης
Η αρχική συνάρτηση είναι μια ορθολογική ολόκληρη συνάρτηση. 
Ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση: 
, λοιπόν, αυτά είναι σημεία πιθανής ακραίας. Ας χρησιμοποιήσουμε την τρίτη επαρκή συνθήκη για ένα ακραίο.
Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο και υπολογίζουμε την τιμή της σε σημεία πιθανού άκρου (θα παραλείψουμε τους ενδιάμεσους υπολογισμούς): 
Κατά συνέπεια, είναι το μέγιστο σημείο (για το τρίτο επαρκές σημάδι ακραίου που έχουμε n=1Και ).
Για να μάθετε τη φύση των σημείων 
βρίσκουμε την τρίτη παράγωγο και υπολογίζουμε την τιμή της σε αυτά τα σημεία: 
Επομένως, είναι το σημείο καμπής της συνάρτησης ( n=2Και ).
Μένει να ασχοληθούμε με το θέμα. Βρίσκουμε την τέταρτη παράγωγο και υπολογίζουμε την τιμή της σε αυτό το σημείο: 
Επομένως, είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
- μέγιστη λειτουργία.
Γραφική απεικόνιση.
Το μέγιστο σημείο είναι το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης.
10. Ακρότατο συνάρτησης Ορισμός άκρου
Καλείται η συνάρτηση y = f(x). αυξανόμενη (μειώνεται) σε ένα ορισμένο διάστημα, αν για x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Αν η διαφοροποιήσιμη συνάρτηση y = f(x) αυξάνεται (μειώνεται) σε ένα διάστημα, τότε η παράγωγός της σε αυτό το διάστημα f " (x) 0
(f " (x) 0).
Τελεία x Οκάλεσε τοπικό μέγιστο σημείο (ελάχιστο) συνάρτηση f(x), αν υπάρχει γειτονιά του σημείου x Ο, για όλα τα σημεία των οποίων η ανίσωση f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)) είναι αληθής.
Ο μέγιστος και ο ελάχιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι της άκρα.
Ακραία σημεία
Απαραίτητες προϋποθέσεις για εξτρέμ. Αν το σημείο x Οείναι ένα ακρότατο σημείο της συνάρτησης f(x), τότε είτε f " (x o) = 0, είτε f (x o) δεν υπάρχει. Τέτοια σημεία ονομάζονται κρίσιμος,και η ίδια η συνάρτηση ορίζεται στο κρίσιμο σημείο. Τα άκρα μιας συνάρτησης πρέπει να αναζητούνται μεταξύ των κρίσιμων σημείων της.
Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση.Αφήνω x Ο- κρίσιμο σημείο. Αν f "(x) όταν διέρχεται από ένα σημείο x Οαλλάζει το σύμβολο συν σε μείον και μετά στο σημείο x Οη συνάρτηση έχει μέγιστο, διαφορετικά έχει ελάχιστο. Εάν, όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο, η παράγωγος δεν αλλάξει πρόσημο, τότε στο σημείο x Οδεν υπάρχει ακραίο.
Δεύτερη επαρκής συνθήκη.Έστω η συνάρτηση f(x) να έχει παράγωγο f" (x) κοντά στο σημείο x Οκαι η δεύτερη παράγωγος στο ίδιο το σημείο x Ο. Αν f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x Οείναι το τοπικό ελάχιστο (μέγιστο) σημείο της συνάρτησης f(x). Εάν =0, τότε πρέπει είτε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη επαρκή συνθήκη είτε να χρησιμοποιήσετε υψηλότερες παραγώγους.
Σε ένα τμήμα, η συνάρτηση y = f(x) μπορεί να φτάσει την ελάχιστη ή τη μέγιστη τιμή της είτε σε κρίσιμα σημεία είτε στα άκρα του τμήματος.
Παράδειγμα 3.22.Να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Διάλυμα. Δεδομένου ότι f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ‣-2) (x - 3), τότε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης x 1 = 2 και x 2 = 3. Το ακραίο μπορεί να είναι μόνο στο Αυτά τα σημεία, λοιπόν, καθώς όταν περνάει από το σημείο x 1 = 2 η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον, τότε σε αυτό το σημείο η συνάρτηση έχει μέγιστο στο συν, επομένως στο σημείο x 2 = 3 η συνάρτηση έχει ένα ελάχιστο Έχοντας υπολογίσει τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x 1 = 2 και x 2 = 3, βρίσκουμε το άκρο της συνάρτησης: μέγιστη f(. 2) = 14 και ελάχιστο f(3) = 13.
Ορισμοί:
Ακραίοκαλούμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σύνολο.
Ακραίο σημείοείναι το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.
Μέγιστο σημείοείναι το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.
Ελάχιστο σημείοείναι το σημείο στο οποίο επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης.
Εξήγηση.
Στο σχήμα, κοντά στο σημείο x = 3, η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της (δηλαδή στην περιοχή του συγκεκριμένου σημείου δεν υπάρχει σημείο υψηλότερο). Στη γειτονιά του x = 8, έχει και πάλι μια μέγιστη τιμή (ας διευκρινίσουμε ξανά: σε αυτή τη γειτονιά δεν υπάρχει σημείο ψηλότερα). Σε αυτά τα σημεία, η αύξηση δίνει τη θέση της σε μείωση. Είναι οι μέγιστοι βαθμοί:
x max = 3, x max = 8.
Στην περιοχή του σημείου x = 5, επιτυγχάνεται η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης (δηλαδή στην περιοχή του x = 5 δεν υπάρχει σημείο παρακάτω). Σε αυτό το σημείο η μείωση δίνει τη θέση της σε μια αύξηση. Είναι το ελάχιστο σημείο:
Οι μέγιστοι και οι ελάχιστοι βαθμοί είναι ακραία σημεία της συνάρτησης, και οι τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία είναι της άκρα.
Κρίσιμα και ακίνητα σημεία της συνάρτησης:
Απαραίτητη προϋπόθεση για εξτρέμ:
Επαρκής προϋπόθεση για ακραίο:
Σε ένα τμήμα η συνάρτηση y = φά(x) μπορεί να φτάσει τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή είτε σε κρίσιμα σημεία είτε στα άκρα του τμήματος.
Αλγόριθμος για τη μελέτη μιας συνεχούς συνάρτησηςy = φά(x) για μονοτονία και ακρότητες:
Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο;
Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.
Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (ακρότατο) μιας συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχουν.
Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να πάει στο μηδέν, στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.
Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);
Πρώτη προϋπόθεση:
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο σημείο x = a η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο σημείο x = a η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) εδώ είναι συνεχής.
Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης:
Έστω στο σημείο x = a η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανιστεί. αν η δεύτερη παράγωγος f??(a) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε έχει ελάχιστο.
Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;
Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος αυτής της συνάρτησης, είναι κρίσιμα σημεία, δηλαδή, τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο. Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται ασυνέχειες.
Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο μιας παραβολής.
Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Παράγωγος της συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2
Λύστε την εξίσωση: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Σε αυτή την περίπτωση, το κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Είναι με αυτήν την τιμή ορίσματος που έχει η συνάρτηση ακραίο. Σε αυτόν εύρημα, αντικαταστήστε τον αριθμό που βρέθηκε στην παράσταση για τη συνάρτηση αντί για "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές του;
Εάν το πρόσημο της παραγώγου όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0 αλλάξει από "συν" σε "πλην", τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάζει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:
Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμου σημείου: x = -1
Στο x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή το πρόσημο είναι "μείον").
Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1
Στο x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή το πρόσημο είναι "συν").
Όπως μπορείτε να δείτε, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης στο μεσοδιάστημα(σε ένα τμήμα) βρίσκονται χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου διαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
κατά διαστήματα:
Άρα, η παράγωγος της συνάρτησης είναι
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos (0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos (0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
Βρίσκουμε τις τιμές συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
και το μικρότερο - στο x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι ίση με y = 5,398.
Βρείτε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
y = 5,398 σε x = -4,88
μικρότερη τιμή -
y = 1,077 σε x = -3
Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε την κυρτή και την κοίλη πλευρά;
Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της ευθείας y = f(x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν, άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει στροφή.
Οι ρίζες της εξίσωσης f; (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη προς τα πάνω, και εάν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.
Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;
Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x,y), διαφοροποιήσιμη στο πεδίο των προδιαγραφών της, χρειάζεστε:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό - λύστε το σύστημα εξισώσεων
fх; (x,y) = 0, fу; (x,y) = 0
2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b) διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο
για όλα τα σημεία (x;y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά παραμένει θετική, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε έχουμε ένα μέγιστο. Εάν η διαφορά δεν διατηρεί το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει ακρότατο στο σημείο P0.
Τα άκρα μιας συνάρτησης προσδιορίζονται ομοίως για μεγαλύτερο αριθμό ορισμών.
Πότε γιορτάζεται η Παγκόσμια Ημέρα Τηλεόρασης τον Νοέμβριο;
Στις 17 Δεκεμβρίου 1996, η Γενική Συνέλευση κήρυξε την 21η Νοεμβρίου ως «Παγκόσμια Ημέρα Τηλεόρασης» σε ανάμνηση της ημερομηνίας του πρώτου Παγκόσμιου Φόρουμ Τηλεόρασης στα Ηνωμένα Έθνη. Ζητήθηκε από τα κράτη να τιμήσουν την ημέρα αυτή ανταλλάσσοντας τηλεοπτικά προγράμματα για θέματα όπως η ειρήνη, η ασφάλεια
Τι είναι το bird cherry
Το Bird cherry είναι ένα είδος κερασιού, της οικογένειας Rosaceae, εγγενές στη Βόρεια Ευρώπη και τη Βόρεια Ασία. Πρόκειται για έναν αρκετά ψηλό θάμνο που φτάνει τα 16 μέτρα ύψος. Συνήθως το ύψος της κερασιάς είναι περίπου 9 μέτρα. Χαρακτηρίζεται από το αρωματικό του άρωμα λουλουδιών. Αναπτύσσεται τουλάχιστον 800 μέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. Προτιμά τα όξινα δρύινα εδάφη
Ποια δύο στάδια περιλαμβάνει η περίοδος της κυτταρικής διαίρεσης (φάση Μ);
Ο κυτταρικός κύκλος είναι η περίοδος ύπαρξης του κυττάρου από τη στιγμή του σχηματισμού του μέσω της διαίρεσης του μητρικού κυττάρου μέχρι τη δική του διαίρεση ή θάνατο. Η διάρκεια του κυτταρικού κύκλου ποικίλλει μεταξύ διαφορετικών κυττάρων. Ταχέως πολλαπλασιαζόμενα κύτταρα ενήλικων οργανισμών, όπως αιμοποιητικά ή βασικά κύτταρα της επιδερμίδας και του λεπτού εντέρου, μπορούν να εισέλθουν στον κυτταρικό κύκλο
Γιατί το πρόγραμμα περιήγησης Opera δεν εμφανίζει το κύριο μενού;
Για να εξοικονομήσετε χώρο στην οθόνη στο πρόγραμμα περιήγησης Opera, ξεκινώντας από την έκδοση 10.5, το κύριο μενού είναι απενεργοποιημένο από προεπιλογή. Οι προγραμματιστές πήραν αυτήν την απόφαση σε σχέση με τον πολλαπλασιασμό των netbook με μικρές οθόνες και οθόνες LCD μεγάλου μεγέθους, των οποίων το ύψος της οθόνης είναι σημαντικά μικρότερο από το πλάτος της. Πρόσβαση σε όλες τις λειτουργίες που βρίσκονταν στο κύριο μενού
Πού βρίσκεται η πόλη Bratsk;
Το Bratsk είναι μια πόλη στη Ρωσία στην περιοχή του Ιρκούτσκ. Η γεωγραφική θέση του Μπρατσκ καθόρισε τη μετατροπή του στην «πύλη» του Βορρά. Η πόλη βρίσκεται στο κέντρο της περιοχής της Ανατολικής Σιβηρίας της Ρωσίας στο κεντρικό τμήμα της κορυφογραμμής Angara στις όχθες της δεξαμενής Bratsk στον ποταμό Angara. Απόσταση από το περιφερειακό κέντρο - την πόλη του Ιρκούτσκ:
Τι είναι αλληγορία
Η αλληγορία (από το ελληνικό αλληγορία - αλληγορία) είναι μια από τις μορφές αλληγορίας, η υπό όρους μετάδοση μιας αφηρημένης έννοιας ή κρίσης μέσω μιας συγκεκριμένης εικόνας. Η αλληγορία είναι πιο συνηθισμένη στις εικαστικές τέχνες (γυναίκα με δεμένα μάτια και λέπια στα χέρια - δικαιοσύνη, άγκυρα - ελπίδα κ.λπ.). Στη λογοτεχνία, πολλές αλληγορικές εικόνες
Πώς να φροντίζετε το ελίκρυσμα
Helichrysum (Immortelle, Tsmin) Λατινική ονομασία: Helichrysum Κατηγορίες: μονοετή φυτά, φυτά βραχόκηπου Οικογένεια: Asteraceae (Compositae). Πατρίδα: Το Helichrysum φύεται σε εύκρατες περιοχές της Ευρώπης, της Ασίας, της Αφρικής και της Αυστραλίας. Η πατρίδα της τσμίνας του Μίλφορντ είναι τα περίχωρα του Κέιπ Τάουν: ποώδες φυτό
Ποιος έγραψε το μυθιστόρημα "White and Black"
Το μυθιστόρημα «Λευκό και Μαύρο» αφορά το σκάκι και τους σκακιστές. Κεντρική φιγούρα του μυθιστορήματος είναι ο μεγάλος σκακιστής, παγκόσμιος πρωταθλητής Alexander Alyokhin. Ο συγγραφέας του μυθιστορήματος "White and Black" είναι ένας εξαιρετικός Σοβιετικός σκακιστής, διεθνής grandmaster, συγγραφέας, μέλος της Ένωσης Συγγραφέων
Ποιος είναι ο πλήρης τίτλος του δεύτερου βιβλίου της τριλογίας Ροβινσώνας Κρούσος του Ντάνιελ Ντεφόε;
Daniel Defoe (Αγγλικά Daniel Defoe, γεννημένος με το όνομα Daniel Foe, περίπου 1660 - 1731) - Άγγλος συγγραφέας και δημοσιογράφος, γνωστός σήμερα κυρίως ως συγγραφέας του μυθιστορήματος "Robinson Crusoe" (όπως συνηθίζεται στην επιστημονική λογοτεχνική κριτική και έκδοση
Τι τρώνε τα stoats;
Η ερμίνα (Mustela erminea) είναι πολύτιμο γουνοφόρα ζώο της οικογένειας των μουστελιδών. Εμφάνιση. Όλοι οι εκπρόσωποι του γένους κουνάβι είναι ζώα με εύκαμπτο, επίμηκες σώμα, πολύ χαριτωμένα και ευκίνητα και διαφέρουν από τα κουνάβια από την παρουσία λευκού χρώματος στην άκρη του ρύγχους. Τα αυτιά είναι μικρά, στρογγυλεμένα Το μήκος του σώματος της ερμίνας είναι 16-3
Ποιες ασθένειες δεν γίνονται δεκτές στο στρατό;
Οι κατηγορίες καταλληλότητας για στρατιωτική θητεία («Α», «Β», «Γ», «Δ», «Δ») καθορίζονται από στρατιωτική ιατρική επιτροπή κατά τη διάρκεια ιατρικής εξέτασης στρατεύσιμου. Α - κατάλληλο για στρατιωτική θητεία. B&nd
