Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, ένας πίνακας τριγωνομετρικών ταυτοτήτων θα είναι χρήσιμος, ο οποίος θα διευκολύνει πολύ την εκτέλεση μετασχηματισμών συναρτήσεων:

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Το πηλίκο της διαίρεσης του ημιτόνου της γωνίας άλφα με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας είναι ίσο με την εφαπτομένη αυτής της γωνίας (Τύπος 1). Δείτε επίσης την απόδειξη της ορθότητας του μετασχηματισμού των απλούστερων τριγωνομετρικών ταυτοτήτων.
Το πηλίκο της διαίρεσης του συνημίτονος της γωνίας άλφα με το ημίτονο της ίδιας γωνίας είναι ίσο με τη συνεφαπτομένη της ίδιας γωνίας (Τύπος 2)
Η τομή μιας γωνίας είναι ίση με το ένα διαιρούμενο με το συνημίτονο της ίδιας γωνίας (Τύπος 3)
Το άθροισμα των τετραγώνων του ημιτόνου και του συνημιτόνου της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα (Τύπος 4). δείτε επίσης την απόδειξη του αθροίσματος των τετραγώνων συνημιτόνου και ημιτόνου.
Το άθροισμα της μονάδας και της εφαπτομένης της γωνίας είναι ίσο με το λόγο της μονάδας προς το τετράγωνο του συνημιτόνου αυτής της γωνίας (Τύπος 5)
Η μονάδα συν την συνεφαπτομένη της γωνίας είναι ίση με το πηλίκο της διαίρεσης της μονάδας με το ημιτονοειδές τετράγωνο αυτής της γωνίας (Τύπος 6)
Το γινόμενο της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης της ίδιας γωνίας είναι ίσο με ένα (Τύπος 7).

Μετατροπή αρνητικών γωνιών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (άρτιων και περιττών)

Για να απαλλαγούμε από την αρνητική τιμή μέτρο βαθμούγωνία κατά τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου ή της εφαπτομένης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς μετασχηματισμούς (ταυτότητες) με βάση τις αρχές των άρτιων ή περιττών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Όπως φαίνεται, συνημίτονοκαι secant είναι ομοιόμορφη λειτουργία , ημιτονοειδές, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις.

Το ημίτονο αρνητικής γωνίας είναι αρνητική τιμήημίτονο της ίδιας θετικής γωνίας (μείον ημιτονικό άλφα).
Το συνημίτονο "μείον άλφα" θα δώσει την ίδια τιμή με το συνημίτονο της γωνίας άλφα.
Η εφαπτομένη μείον άλφα είναι ίση με την εφαπτομένη μείον άλφα.

Τύποι μείωσης διπλής γωνίας (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη διπλής γωνίας)

Εάν πρέπει να διαιρέσετε τη γωνία στο μισό ή το αντίστροφο, να μεταβείτε από διπλή γωνία σε μία, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες:

Μετατροπή διπλής γωνίας (διπλής γωνίας ημίτονο, διπλής γωνίας συνημίτονο και διπλής γωνίας εφαπτομένης) στο single εμφανίζεται από τους ακόλουθους κανόνες:

Ημίτονο διπλής γωνίαςισούται με το διπλάσιο του γινομένου του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας

Συνημίτονο διπλής γωνίαςισούται με τη διαφορά μεταξύ του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας και του τετραγώνου του ημιτόνου αυτής της γωνίας

Συνημίτονο διπλής γωνίαςίσο με το διπλάσιο του τετραγώνου του συνημιτόνου μιας μόνο γωνίας μείον ένα

Συνημίτονο διπλής γωνίαςισούται με ένα μείον το διπλό ημιτονικό τετράγωνο μιας απλής γωνίας

Εφαπτομένη διπλής γωνίαςισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι διπλάσιος της εφαπτομένης μιας απλής γωνίας και του οποίου ο παρονομαστής είναι ίσος με ένα μείον την εφαπτομένη του τετραγώνου μιας απλής γωνίας.

Συνεφαπτομένη διπλής γωνίαςείναι ίσο με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το τετράγωνο της συνεφαπτομένης μιας απλής γωνίας μείον ένα και ο παρονομαστής είναι ίσος με το διπλάσιο της συνεφαπτομένης μιας μοναδικής γωνίας

Καθολικοί τύποι τριγωνομετρικής αντικατάστασης

Οι παρακάτω τύποι μετατροπής μπορούν να είναι χρήσιμοι όταν πρέπει να διαιρέσετε το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης (sin α, cos α, tg α) με δύο και να φέρετε την έκφραση στην τιμή της μισής γωνίας. Από την τιμή του α παίρνουμε α/2 .

Αυτοί οι τύποι ονομάζονται τύποι της καθολικής τριγωνομετρικής υποκατάστασης. Η αξία τους έγκειται στο γεγονός ότι η τριγωνομετρική έκφραση με τη βοήθειά τους ανάγεται στην έκφραση της εφαπτομένης μισής γωνίας, ανεξάρτητα από το ποιες τριγωνομετρικές συναρτήσεις (sin cos tg ctg) ήταν αρχικά στην έκφραση. Μετά από αυτό, η εξίσωση με την εφαπτομένη της μισής γωνίας είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες μετασχηματισμού μισής γωνίας

Ακολουθούν οι τύποι για την τριγωνομετρική μετατροπή του μισού της τιμής μιας γωνίας στην ακέραια τιμή της.
Η τιμή του ορίσματος της τριγωνομετρικής συνάρτησης α/2 ανάγεται στην τιμή του ορίσματος της τριγωνομετρικής συνάρτησης α.

Τριγωνομετρικοί τύποι για την προσθήκη γωνιών

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

αμαρτία (α + β) = αμαρτία α cos β + αμαρτία β cos α

αμαρτία (α - β) = αμαρτία α cos β - αμαρτία β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιώνΤο άλφα και το βήτα μπορούν να μετατραπούν σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες για τη μετατροπή τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

Εφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιώνισούται με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το άθροισμα της εφαπτομένης της πρώτης και της εφαπτομένης της δεύτερης γωνίας και ο παρονομαστής είναι ένα μείον το γινόμενο της εφαπτομένης της πρώτης γωνίας και της εφαπτομένης της δεύτερης γωνίας.

Εφαπτομένη διαφορά γωνίαςισούται με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ της εφαπτομένης της μειωμένης γωνίας και της εφαπτομένης της προς αφαίρεση γωνίας και ο παρονομαστής είναι ένα συν το γινόμενο των εφαπτομένων αυτών των γωνιών.

Συμεφαπτομένη αθροίσματος γωνιώνισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με το γινόμενο των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών συν ένα και ο παρονομαστής είναι ίσος με τη διαφορά μεταξύ της συνεφαπτομένης της δεύτερης γωνίας και της συνεφαπτομένης της πρώτης γωνίας.

Συμεφαπτομένη διαφοράς γωνίαςισούται με ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι το γινόμενο των συνεφαπτομένων αυτών των γωνιών μείον ένα και του παρονομαστή ισούται με το άθροισμασυμεφαπτομένες αυτών των γωνιών.

Αυτές οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι βολικές για χρήση όταν χρειάζεται να υπολογίσετε, για παράδειγμα, την εφαπτομένη των 105 μοιρών (tg 105). Εάν αντιπροσωπεύεται ως tg (45 + 60), τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα πανομοιότυπες μετατροπέςεφαπτομένη του αθροίσματος των γωνιών, μετά την οποία απλώς αντικαταστήστε τις πινακικές τιμές της εφαπτομένης των 45 και της εφαπτομένης των 60 μοιρών.

Τύποι μετατροπής του αθροίσματος ή της διαφοράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι εκφράσεις που αντιπροσωπεύουν το άθροισμα της μορφής sin α + sin β μπορούν να μετατραπούν χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Τύποι τριπλής γωνίας - μετατροπή sin3α cos3α tg3α σε sinα cosα tgα

Μερικές φορές είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε την τριπλή τιμή της γωνίας έτσι ώστε η γωνία α να γίνει το όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησης αντί για 3α.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους (ταυτότητες) για τον μετασχηματισμό της τριπλής γωνίας:

Τύποι μετατροπής του γινομένου τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Εάν καταστεί απαραίτητο να μετατρέψετε το γινόμενο ημιτόνου διαφορετικών γωνιών συνημιτόνων διαφορετικών γωνιών ή ακόμα και το γινόμενο ημιτόνου και συνημιτόνου, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες:


Σε αυτήν την περίπτωση, το γινόμενο των συναρτήσεων ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς ή εφαπτομένης διαφορετικών γωνιών θα μετατραπεί σε άθροισμα ή διαφορά.

Τύποι μείωσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα χύτευσης ως εξής. Στη γραμμή, επιλέξτε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει. Η στήλη είναι γωνία. Για παράδειγμα, το ημίτονο της γωνίας (α+90) στην τομή της πρώτης σειράς και της πρώτης στήλης, διαπιστώνουμε ότι sin (α+90) = συν α .

Πώς να βρείτε το ημίτονο;

Η μελέτη της γεωμετρίας βοηθά στην ανάπτυξη της σκέψης. Αυτό το μάθημα περιλαμβάνεται στο πρόγραμμα σπουδών. Στη ζωή, η γνώση αυτού του θέματος μπορεί να είναι χρήσιμη - για παράδειγμα, όταν σχεδιάζετε ένα διαμέρισμα.

Από την ιστορία

Στο πλαίσιο του μαθήματος της γεωμετρίας, μελετάται και η τριγωνομετρία, η οποία διερευνά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Στην τριγωνομετρία, μελετάμε τα ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες μιας γωνίας.

Αλλά επάνω αυτή τη στιγμήΑς ξεκινήσουμε με το πιο απλό - ημιτονοειδή. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην πρώτη ιδέα - το ημίτονο μιας γωνίας στη γεωμετρία. Τι είναι το ημίτονο και πώς να το βρείτε;

Η έννοια του "ημιτονοειδούς της γωνίας" και των ημιτονοειδών

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος των τιμών του απέναντι σκέλους και της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Αυτή είναι μια άμεση τριγωνομετρική συνάρτηση, η οποία συμβολίζεται γραπτώς ως "sin (x)", όπου (x) είναι η γωνία του τριγώνου.

Στο γράφημα, το ημίτονο μιας γωνίας υποδεικνύεται από ένα ημιτονοειδές με τα δικά του χαρακτηριστικά. Ένα ημιτονοειδές μοιάζει με μια συνεχή κυματιστή γραμμή που βρίσκεται εντός ορισμένων ορίων στο επίπεδο συντεταγμένων. Η συνάρτηση είναι περιττή, επομένως είναι συμμετρική ως προς το 0 στο επίπεδο συντεταγμένων (φεύγει από την αρχή των συντεταγμένων).

Ο τομέας αυτής της συνάρτησης βρίσκεται στην περιοχή από -1 έως +1 στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η περίοδος της συνάρτησης ημιτονικής γωνίας είναι 2 Pi. Αυτό σημαίνει ότι κάθε 2 Pi το μοτίβο επαναλαμβάνεται και το ημιτονοειδές κύμα περνάει από έναν πλήρη κύκλο.

Ημιτονοειδής εξίσωση

• αμαρτία x = α / γ
• όπου a είναι το σκέλος απέναντι από τη γωνία του τριγώνου
• γ - υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου

Ιδιότητες του ημιτόνου μιας γωνίας

1. sin(x) = - sin(x). Αυτό το χαρακτηριστικό δείχνει ότι η συνάρτηση είναι συμμετρική και εάν οι τιμές x και (-x) παραμεριστούν στο σύστημα συντεταγμένων και στις δύο κατευθύνσεις, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι αντίθετες. Θα βρίσκονται σε ίση απόσταση μεταξύ τους.
2. Ένα άλλο χαρακτηριστικό αυτής της συνάρτησης είναι ότι το γράφημα της συνάρτησης αυξάνεται στο τμήμα [- P / 2 + 2 Pn]. [P/2 + 2Pn], όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Μια μείωση στο γράφημα του ημιτόνου της γωνίας θα παρατηρηθεί στο τμήμα: [P / 2 + 2 Pn]. [ 3P/2 + 2Pn].
3. sin (x) > 0 όταν το x βρίσκεται στην περιοχή (2Pn, P + 2Pn)
4. (Χ)< 0, когда х находится в диапазоне (-П+2Пn, 2Пn)

Οι τιμές των ημιτόνων της γωνίας καθορίζονται από ειδικούς πίνακες. Τέτοιοι πίνακες έχουν δημιουργηθεί για να διευκολύνουν τη διαδικασία υπολογισμού σύνθετων τύπων και εξισώσεων. Είναι εύκολο στη χρήση και περιέχει τις τιμές όχι μόνο της συνάρτησης sin(x), αλλά και τις τιμές άλλων συναρτήσεων.

Επιπλέον, ο πίνακας των τυπικών τιμών αυτών των συναρτήσεων περιλαμβάνεται στην υποχρεωτική μελέτη μνήμης, όπως ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τάξεις με φυσική και μαθηματική προκατάληψη. Στον πίνακα μπορείτε να δείτε τις τιμές των κύριων γωνιών που χρησιμοποιούνται στην τριγωνομετρία: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 120, 135, 150, 180, 270 και 360 μοίρες.

Υπάρχει επίσης ένας πίνακας που ορίζει τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μη τυπικών γωνιών. Χρησιμοποιώντας διαφορετικούς πίνακες, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη ορισμένων γωνιών.

Οι εξισώσεις γίνονται με τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η επίλυση αυτών των εξισώσεων είναι εύκολη εάν γνωρίζετε απλές τριγωνομετρικές ταυτότητες και μειώσεις συναρτήσεων, για παράδειγμα, όπως η αμαρτία (P / 2 + x) \u003d cos (x) και άλλες. Ένας ξεχωριστός πίνακας έχει επίσης καταρτιστεί για τέτοια καστ.

Πώς να βρείτε το ημίτονο μιας γωνίας

Όταν η εργασία είναι να βρούμε το ημίτονο μιας γωνίας, και κατά συνθήκη έχουμε μόνο το συνημίτονο, την εφαπτομένη ή την συνεφαπτομένη της γωνίας, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τι χρειαζόμαστε χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες.

• αμαρτία 2 x + cos 2 x = 1

Από αυτή την εξίσωση, μπορούμε να βρούμε τόσο ημιτονοειδές όσο και συνημίτονο, ανάλογα με το ποια τιμή είναι άγνωστη. Παίρνουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση με έναν άγνωστο:

• αμαρτία 2 x = 1 - συν 2 x
• sin x = ± √ 1 - cos 2 x
• ctg 2 x + 1 = 1 / αμαρτία 2 x

Από αυτή την εξίσωση, μπορείτε να βρείτε την τιμή του ημιτόνου, γνωρίζοντας την τιμή της συνεφαπτομένης της γωνίας. Για απλοποίηση, αντικαταστήστε το sin 2 x = y, και τότε έχετε μια απλή εξίσωση. Για παράδειγμα, η τιμή της συνεφαπτομένης είναι 1, τότε:

• 1 + 1 = 1/έτος
• 2 = 1 / έτος
• 2y = 1
• y = 1/2

Τώρα εκτελούμε την αντίστροφη αντικατάσταση της συσκευής αναπαραγωγής:

• αμαρτία 2 x = ½
• sin x = 1 / √2

Δεδομένου ότι λάβαμε την τιμή της συνεφαπτομένης για την τυπική γωνία (45 0), οι λαμβανόμενες τιμές μπορούν να ελεγχθούν στον πίνακα.

Εάν έχετε μια εφαπτομενική τιμή, αλλά πρέπει να βρείτε το ημίτονο, μια άλλη τριγωνομετρική ταυτότητα θα σας βοηθήσει:

• tg x * ctg x = 1

Από αυτό προκύπτει ότι:

• ctg x = 1 / tg x

Για να βρείτε το ημίτονο μιας μη τυπικής γωνίας, για παράδειγμα, 240 0, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους μείωσης γωνίας. Γνωρίζουμε ότι το π αντιστοιχεί σε 180 0 για εμάς. Έτσι, θα εκφράσουμε την ισότητά μας χρησιμοποιώντας τυπικές γωνίες με επέκταση.

• 240 0 = 180 0 + 60 0

Πρέπει να βρούμε τα εξής: αμαρτία (180 0 + 60 0). Στην τριγωνομετρία, υπάρχουν τύποι αναγωγής που, σε αυτή η υπόθεσηέρχονται σε βολικό. Αυτός είναι ο τύπος:

• αμαρτία (π + x) = - αμαρτία (x)

Έτσι, το ημίτονο μιας γωνίας 240 μοιρών είναι:

• αμαρτία (180 0 + 60 0) = - αμαρτία (60 0) = - √3/2

Στην περίπτωσή μας, x = 60, και P, αντίστοιχα, 180 μοίρες. Βρήκαμε την τιμή (-√3/2) από τον πίνακα τιμών των συναρτήσεων τυπικών γωνιών.

Με αυτόν τον τρόπο, οι μη τυπικές γωνίες μπορούν να αποσυντεθούν, για παράδειγμα: 210 = 180 + 30.

Οι βασικοί τύποι της τριγωνομετρίας είναι τύποι που δημιουργούν σχέσεις μεταξύ βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη συνδέονται μεταξύ τους με πολλές σχέσεις. Παρακάτω δίνουμε τους κύριους τριγωνομετρικούς τύπους και για ευκολία τους ομαδοποιούμε ανάλογα με τον σκοπό τους. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, μπορείτε να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα από το τυπικό μάθημα τριγωνομετρίας. Σημειώνουμε αμέσως ότι παρακάτω δίνονται μόνο οι ίδιοι οι τύποι και όχι η παράγωγή τους, στην οποία θα αφιερωθούν ξεχωριστά άρθρα.

Βασικές ταυτότητες της τριγωνομετρίας

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες δίνουν μια σχέση μεταξύ του ημιτόνου, του συνημίτονος, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μιας γωνίας, επιτρέποντας σε μια συνάρτηση να εκφραστεί με όρους μιας άλλης.

Τριγωνομετρικές ταυτότητες

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 αμαρτία 2α

Αυτές οι ταυτότητες προκύπτουν άμεσα από τους ορισμούς του μοναδιαίου κύκλου, του ημιτόνου (sin), του συνημίτονου (cos), της εφαπτομένης (tg) και της συνεφαπτομένης (ctg).

Φόρμουλες cast

Οι τύποι χύτευσης σάς επιτρέπουν να μετακινηθείτε από την εργασία με αυθαίρετες και αυθαίρετα μεγάλες γωνίες στην εργασία με γωνίες που κυμαίνονται από 0 έως 90 μοίρες.

Φόρμουλες cast

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = συν α , συν π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - αμαρτία α , συν π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Οι τύποι αναγωγής είναι συνέπεια της περιοδικότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσης

Οι τύποι πρόσθεσης στην τριγωνομετρία σας επιτρέπουν να εκφράσετε την τριγωνομετρική συνάρτηση του αθροίσματος ή της διαφοράς των γωνιών ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών.

Τριγωνομετρικοί τύποι πρόσθεσης

αμαρτία α ± β = αμαρτία α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - αμαρτία α sin β cos α - β = cos α cos β + αμαρτία α αμαρτία β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Με βάση τους τύπους πρόσθεσης, προκύπτουν τριγωνομετρικοί τύποι για πολλαπλή γωνία.

Τύποι πολλαπλών γωνιών: διπλός, τριπλός κ.λπ.

Τύποι διπλής και τριπλής γωνίας

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α με t g 2 α \u003d με t g 2 α - 1 2 με t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Φόρμουλες μισής γωνίας

Οι τύποι μισής γωνίας στην τριγωνομετρία είναι συνέπεια των τύπων διπλής γωνίας και εκφράζουν τη σχέση μεταξύ των βασικών συναρτήσεων της μισής γωνίας και του συνημιτόνου ολόκληρης της γωνίας.

Φόρμουλες μισής γωνίας

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Φόρμουλες μείωσης

Φόρμουλες μείωσης

αμαρτία 2 α = 1 - συν 2 α 2 συν 2 α = 1 + συν 2 α 2 αμαρτία 3 α = 3 αμαρτία α - αμαρτία 3 α 4 συν 3 α = 3 συν α + συν 3 α 4 αμαρτία 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Συχνά, στους υπολογισμούς, δεν είναι βολικό να λειτουργεί κανείς με δυσκίνητες δυνάμεις. Οι τύποι μείωσης βαθμών σάς επιτρέπουν να μειώσετε τον βαθμό μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης από αυθαίρετα μεγάλη στην πρώτη. Ιδού η γενική τους άποψη:

Γενική μορφή τύπων αναγωγής

για ακόμη ν

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

για περιττό ν

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Άθροισμα και διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Η διαφορά και το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο. Η παραγοντοποίηση των διαφορών των ημιτόνων και των συνημιτόνων είναι πολύ βολική στη χρήση κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και την απλοποίηση παραστάσεων.

Άθροισμα και διαφορά τριγωνομετρικών συναρτήσεων

αμαρτία α + αμαρτία β = 2 αμαρτία α + β 2 συν α - β 2 αμαρτία α - αμαρτία β = 2 αμαρτία α - β 2 συν α + β 2 συν α + συν β = 2 συν α + β 2 συν α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Προϊόν τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Εάν οι τύποι για το άθροισμα και τη διαφορά των συναρτήσεων σας επιτρέπουν να μεταβείτε στο γινόμενο τους, τότε οι τύποι για το γινόμενο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων πραγματοποιούν την αντίστροφη μετάβαση - από το γινόμενο στο άθροισμα. Λαμβάνονται υπόψη οι τύποι για το γινόμενο ημιτόνων, συνημιτόνων και ημιτόνου προς συνημίτονο.

Τύποι για το γινόμενο τριγωνομετρικών συναρτήσεων

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (αμαρτία (α - β) + αμαρτία (α + β))

Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση

Όλες οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις - ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη - μπορούν να εκφραστούν με βάση την εφαπτομένη της μισής γωνίας.

Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να δηλώσει τετραγωνική ρίζα. Για να δηλώσετε ένα κλάσμα - το σύμβολο "/".

δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:

Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα ημίτονο 30 μοιρών - ψάχνουμε για μια στήλη με την επικεφαλίδα sin (sine) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης του πίνακα με τη γραμμή "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα δεύτερος. Ομοίως, βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin (sine) και της σειράς 60 μοιρών, βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών.

Ημίτονο του π, συνημίτονο του π, εφαπτομένη του π και άλλες γωνίες σε ακτίνια

Ο παρακάτω πίνακας συνημίτονων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.

Ο αριθμός pi εκφράζει μοναδικά την εξάρτηση της περιφέρειας ενός κύκλου από το μέτρο της μοίρας της γωνίας. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες.

Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνιο) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας τον αριθμό pi (π) με 180.

Παραδείγματα:
1. sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

2. συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του pi είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μείον ένα.

3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη του pi είναι ίδια με την εφαπτομένη των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (συχνές τιμές)

γωνία α (βαθμοί)	γωνία α σε ακτίνια (μέσω pi)	αμαρτία (κόλπος)	cos (συνημίτονο)	tg (εφαπτομένη γραμμή)	ctg (συνεφαπτομένη)	δευτ (διατέμνων)	αιτία (συντεμνούσα)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντί για την τιμή της συνάρτησης, εμφανίζεται μια παύλα (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε για μια δεδομένη τιμή του μέτρου του βαθμού η γωνία, η συνάρτηση δεν έχει καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, επομένως δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την επιθυμητή τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια αιτήματα έρχονται οι χρήστες σε εμάς και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")

τιμή γωνίας α (μοίρες)	τιμή της γωνίας α σε ακτίνια	αμαρτία (sine)	cos (συνημίτονο)	tg (εφαπτομένη)	ctg (συνεφαπτομένη)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Οι έννοιες του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης είναι οι κύριες κατηγορίες της τριγωνομετρίας - κλάδος των μαθηματικών, και είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με τον ορισμό μιας γωνίας. Η κατοχή αυτής της μαθηματικής επιστήμης απαιτεί απομνημόνευση και κατανόηση τύπων και θεωρημάτων, καθώς και ανεπτυγμένη χωρική σκέψη. Γι' αυτό οι τριγωνομετρικοί υπολογισμοί συχνά προκαλούν δυσκολίες σε μαθητές και μαθητές. Για να τα ξεπεράσετε, θα πρέπει να εξοικειωθείτε περισσότερο με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τους τύπους.

Έννοιες στην τριγωνομετρία

Για να κατανοήσετε τις βασικές έννοιες της τριγωνομετρίας, πρέπει πρώτα να αποφασίσετε τι είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο και μια γωνία σε έναν κύκλο και γιατί όλοι οι βασικοί τριγωνομετρικοί υπολογισμοί σχετίζονται με αυτά. Ένα τρίγωνο στο οποίο μια από τις γωνίες είναι 90 μοίρες είναι ορθογώνιο τρίγωνο. Ιστορικά, αυτή η φιγούρα χρησιμοποιήθηκε συχνά από ανθρώπους στην αρχιτεκτονική, τη ναυσιπλοΐα, την τέχνη, την αστρονομία. Κατά συνέπεια, μελετώντας και αναλύοντας τις ιδιότητες αυτού του αριθμού, οι άνθρωποι έφτασαν στον υπολογισμό των αντίστοιχων αναλογιών των παραμέτρων του.

Οι κύριες κατηγορίες που σχετίζονται με τα ορθογώνια τρίγωνα είναι η υποτείνουσα και τα πόδια. Η υποτείνουσα είναι η πλευρά ενός τριγώνου που είναι απέναντι ορθή γωνία. Τα πόδια, αντίστοιχα, είναι οι άλλες δύο πλευρές. Το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα 180 μοίρες.

Η σφαιρική τριγωνομετρία είναι ένα τμήμα της τριγωνομετρίας που δεν μελετάται στο σχολείο, αλλά σε εφαρμοσμένες επιστήμες όπως η αστρονομία και η γεωδαισία, οι επιστήμονες τη χρησιμοποιούν. Ένα χαρακτηριστικό ενός τριγώνου στη σφαιρική τριγωνομετρία είναι ότι έχει πάντα άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο από 180 μοίρες.

Γωνίες τριγώνου

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το ημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του σκέλους απέναντι από την επιθυμητή γωνία προς την υποτείνουσα του τριγώνου. Αντίστοιχα, το συνημίτονο είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους και της υποτείνουσας. Και οι δύο αυτές τιμές έχουν πάντα τιμή μικρότερη από μία, αφού η υποτείνουσα είναι πάντα μεγαλύτερη από το πόδι.

Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι μια τιμή ίση με την αναλογία του απέναντι σκέλους προς το διπλανό σκέλος της επιθυμητής γωνίας ή ημιτόνου προς συνημίτονο. Η συνεφαπτομένη, με τη σειρά της, είναι η αναλογία του παρακείμενου σκέλους της επιθυμητής γωνίας προς τον αντίθετο κάκτο. Η συνεφαπτομένη μιας γωνίας μπορεί επίσης να ληφθεί διαιρώντας τη μονάδα με την τιμή της εφαπτομένης.

κύκλος μονάδας

Ένας μοναδιαίος κύκλος στη γεωμετρία είναι ένας κύκλος του οποίου η ακτίνα είναι ίση με ένα. Ένας τέτοιος κύκλος κατασκευάζεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, με το κέντρο του κύκλου να συμπίπτει με το σημείο προέλευσης και η αρχική θέση του διανύσματος ακτίνας καθορίζεται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ (άξονας τετμημένης). Κάθε σημείο του κύκλου έχει δύο συντεταγμένες: XX και YY, δηλαδή τις συντεταγμένες της τετμημένης και της τεταγμένης. Επιλέγοντας οποιοδήποτε σημείο του κύκλου στο επίπεδο XX και χαμηλώνοντας την κάθετο από αυτόν στον άξονα της τετμημένης, έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται με ακτίνα στο επιλεγμένο σημείο (ας το συμβολίσουμε με το γράμμα C), μια κάθετη ο άξονας Χ (το σημείο τομής συμβολίζεται με το γράμμα G) και ένα τμήμα του άξονα της τετμημένης μεταξύ της αρχής (το σημείο συμβολίζεται με το γράμμα Α) και του σημείου τομής G. Το τρίγωνο ACG που προκύπτει είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε ένας κύκλος, όπου AG είναι η υποτείνουσα, και AC και GC είναι τα σκέλη. Η γωνία μεταξύ της ακτίνας του κύκλου AC και του τμήματος του άξονα της τετμημένης με την ένδειξη ΑΓ, ορίζουμε ως α (άλφα). Άρα, cos α = AG/AC. Δεδομένου ότι το AC είναι η ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, και είναι ίση με ένα, προκύπτει ότι cos α=ΑΓ. Ομοίως, sin α=CG.

Επιπλέον, γνωρίζοντας αυτά τα δεδομένα, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η συντεταγμένη του σημείου C στον κύκλο, αφού cos α=AG και sin α=CG, που σημαίνει ότι το σημείο C έχει τις δεδομένες συντεταγμένες (cos α, sin α). Γνωρίζοντας ότι η εφαπτομένη είναι ίση με την αναλογία του ημιτόνου προς το συνημίτονο, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι tg α \u003d y / x και ctg α \u003d x / y. Λαμβάνοντας υπόψη τις γωνίες σε ένα σύστημα αρνητικών συντεταγμένων, μπορεί κανείς να υπολογίσει ότι οι τιμές ημιτόνου και συνημιτόνου ορισμένων γωνιών μπορεί να είναι αρνητικές.

Υπολογισμοί και βασικοί τύποι

Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Έχοντας εξετάσει την ουσία των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μέσω του κύκλου μονάδας, μπορούμε να εξαγάγουμε τις τιμές αυτών των συναρτήσεων για ορισμένες γωνίες. Οι τιμές παρατίθενται στον παρακάτω πίνακα.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές ταυτότητες

Οι εξισώσεις στις οποίες υπάρχει άγνωστη τιμή κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης ονομάζονται τριγωνομετρικές. Ταυτότητες με την τιμή sin x = α, k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, δεν υπάρχουν λύσεις.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Ταυτότητες με την τιμή cos x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, δεν υπάρχουν λύσεις.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Ταυτότητες με την τιμή tg x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Ταυτότητες με τιμή ctg x = a, όπου k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Φόρμουλες cast

Αυτή η κατηγορία σταθεροί τύποιυποδηλώνει μεθόδους με τις οποίες μπορείτε να μεταβείτε από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της φόρμας σε συναρτήσεις του ορίσματος, δηλαδή να μετατρέψετε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη μιας γωνίας οποιασδήποτε τιμής στους αντίστοιχους δείκτες της γωνίας του διαστήματος από 0 σε 90 μοίρες για μεγαλύτερη ευκολία στους υπολογισμούς.

Οι τύποι για τη μείωση των συναρτήσεων για το ημίτονο μιας γωνίας μοιάζουν με αυτό:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = αμαρτία α.

Για το συνημίτονο μιας γωνίας:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Η χρήση των παραπάνω τύπων είναι δυνατή με την επιφύλαξη δύο κανόνων. Πρώτον, εάν η γωνία μπορεί να αναπαρασταθεί ως τιμή (π/2 ± a) ή (3π/2 ± a), η τιμή της συνάρτησης αλλάζει:

• από την αμαρτία στο cos?
• από cos στην αμαρτία?
• από tg σε ctg?
• από ctg σε tg.

Η τιμή της συνάρτησης παραμένει αμετάβλητη εάν η γωνία μπορεί να αναπαρασταθεί ως (π ± a) ή (2π ± a).

Δεύτερον, το πρόσημο της μειωμένης συνάρτησης δεν αλλάζει: αν ήταν αρχικά θετικό, παραμένει έτσι. Το ίδιο ισχύει και για τις αρνητικές συναρτήσεις.

Τύποι προσθήκης

Αυτοί οι τύποι εκφράζουν τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης του αθροίσματος και της διαφοράς δύο γωνιών περιστροφής ως προς τις τριγωνομετρικές τους συναρτήσεις. Οι γωνίες συνήθως συμβολίζονται ως α και β.

Οι τύποι μοιάζουν με αυτό:

1. sin(α ± β) = αμαρτία α * cos β ± cos α * αμαρτία.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Αυτοί οι τύποι ισχύουν για οποιεσδήποτε γωνίες α και β.

Τύποι διπλής και τριπλής γωνίας

Οι τριγωνομετρικοί τύποι διπλής και τριπλής γωνίας είναι τύποι που συσχετίζουν τις συναρτήσεις των γωνιών 2α και 3α, αντίστοιχα, με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας α. Προέρχεται από τύπους προσθήκης:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Μετάβαση από το άθροισμα στο προϊόν

Λαμβάνοντας υπόψη ότι 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), απλοποιώντας αυτόν τον τύπο, λαμβάνουμε την ταυτότητα sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Ομοίως, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Μετάβαση από το προϊόν στο άθροισμα

Αυτοί οι τύποι προκύπτουν από τις ταυτότητες για τη μετάβαση του αθροίσματος στο γινόμενο:

• sina * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sina * cosβ = 1/2*.

Φόρμουλες μείωσης

Σε αυτές τις ταυτότητες, το τετράγωνο και οι κυβικές δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου μπορούν να εκφραστούν ως προς το ημίτονο και το συνημίτονο της πρώτης ισχύος μιας πολλαπλής γωνίας:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Καθολική αντικατάσταση

Οι γενικοί τύποι τριγωνομετρικής υποκατάστασης εκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς την εφαπτομένη μισής γωνίας.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ενώ x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), όπου x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), όπου x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ενώ x \u003d π + 2πn.

Ειδικές περιπτώσεις

Ιδιαίτερες περιπτώσεις των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων δίνονται παρακάτω (k είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός).

Ιδιωτικό για sine:

αμαρτία x τιμή	x τιμή
0	πκ
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk ή 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk ή -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk ή 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk ή -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk ή 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk ή -2π/3 + 2πk

Πηλίκο συνημίτονου:

cos x τιμή	x τιμή
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Ιδιωτικό για εφαπτομένη:

tg x τιμή	x τιμή
0	πκ
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Συνεφαπτομενικά πηλίκα:

ctg x τιμή	x τιμή
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Θεωρήματα

Θεώρημα ημιτόνου

Υπάρχουν δύο εκδοχές του θεωρήματος - απλή και εκτεταμένη. Απλό ημιτονικό θεώρημα: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Στην περίπτωση αυτή, a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου και οι α, β, γ είναι οι αντίθετες γωνίες, αντίστοιχα.

Θεώρημα εκτεταμένου ημιτόνου για αυθαίρετο τρίγωνο: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Σε αυτή την ταυτότητα, το R υποδηλώνει την ακτίνα του κύκλου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο το δεδομένο τρίγωνο.

Θεώρημα συνημιτονίου

Η ταυτότητα εμφανίζεται με αυτόν τον τρόπο: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Στον τύπο, a, b, c είναι οι πλευρές του τριγώνου και α είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά a.

Θεώρημα εφαπτομένης

Ο τύπος εκφράζει τη σχέση μεταξύ των εφαπτομένων δύο γωνιών και του μήκους των πλευρών απέναντι τους. Οι πλευρές φέρουν την ένδειξη a, b, c και οι αντίστοιχες απέναντι γωνίες είναι α, β, γ. Ο τύπος του θεωρήματος της εφαπτομένης: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Θεώρημα συνεφαπτομένης

Συσχετίζει την ακτίνα ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο με το μήκος των πλευρών του. Αν a, b, c είναι οι πλευρές ενός τριγώνου και οι A, B, C, αντίστοιχα, οι αντίθετες γωνίες τους, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p είναι η μισή περίμετρος του τριγώνου, οι ακόλουθες ταυτότητες Κρατήστε:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Εφαρμογές

Η τριγωνομετρία δεν είναι μόνο μια θεωρητική επιστήμη που συνδέεται με μαθηματικούς τύπους. Οι ιδιότητες, τα θεωρήματα και οι κανόνες του χρησιμοποιούνται στην πράξη από διάφορους κλάδους της ανθρώπινης δραστηριότητας - αστρονομία, εναέρια και θαλάσσια πλοήγηση, θεωρία μουσικής, γεωδαισία, χημεία, ακουστική, οπτική, ηλεκτρονική, αρχιτεκτονική, οικονομία, μηχανολογία, εργασίες μέτρησης, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, ωκεανογραφία και πολλά άλλα.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι οι βασικές έννοιες της τριγωνομετρίας, με τις οποίες μπορείτε να εκφράσετε μαθηματικά τη σχέση μεταξύ γωνιών και μηκών πλευρών σε ένα τρίγωνο και να βρείτε τα επιθυμητά μεγέθη μέσω ταυτοτήτων, θεωρημάτων και κανόνων.