Πώς να ελέγξετε μια συνάρτηση για ισοτιμία. Πώς να αναγνωρίσετε άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Που σας ήταν οικεία σε έναν ή τον άλλο βαθμό. Σημειώθηκε επίσης ότι το απόθεμα των ιδιοτήτων λειτουργίας θα αναπληρωθεί σταδιακά. Δύο νέα ακίνητα θα συζητηθούν σε αυτήν την ενότητα.

Ορισμός 1.

Η συνάρτηση y = f(x), x є X, καλείται ακόμη και αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X ισχύει η ισότητα f (-x) = f (x).

Ορισμός 2.

Η συνάρτηση y = f(x), x є X, ονομάζεται περιττή αν για οποιαδήποτε τιμή x από το σύνολο X ισχύει η ισότητα f (-x) = -f (x).

Να αποδείξετε ότι η y = x 4 είναι άρτια συνάρτηση.

Διάλυμα. Έχουμε: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Αλλά(-x) 4 = x 4. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε x ισχύει η ισότητα f(-x) = f(x), δηλ. η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y - x 2, y = x 6, y - x 8 είναι άρτιες.

Να αποδείξετε ότι y = x 3 ~ περιττή συνάρτηση.

Διάλυμα. Έχουμε: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Αλλά (-x) 3 = -x 3. Αυτό σημαίνει ότι για οποιοδήποτε x ισχύει η ισότητα f (-x) = -f (x), δηλ. η συνάρτηση είναι περίεργη.

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις y = x, y = x 5, y = x 7 είναι περιττές.

Εσείς και εγώ έχουμε ήδη πειστεί πολλές φορές ότι οι νέοι όροι στα μαθηματικά έχουν τις περισσότερες φορές μια «γήινη» προέλευση, δηλ. μπορούν να εξηγηθούν με κάποιο τρόπο. Αυτό συμβαίνει και με τις άρτιες και τις περιττές συναρτήσεις. Βλέπε: y - x 3, y = x 5, y = x 7 είναι περιττές συναρτήσεις, ενώ y = x 2, y = x 4, y = x 6 είναι άρτιες συναρτήσεις. Και γενικά, για οποιαδήποτε συνάρτηση της μορφής y = x" (παρακάτω θα μελετήσουμε συγκεκριμένα αυτές τις συναρτήσεις), όπου το n είναι φυσικός αριθμός, μπορούμε να συμπεράνουμε: εάν το n δεν είναι ζυγός αριθμός, τότε η συνάρτηση y = x" είναι περιττή· εάν n είναι άρτιος αριθμός, τότε η συνάρτηση y = xn είναι άρτια.

Υπάρχουν επίσης συναρτήσεις που δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοια, για παράδειγμα, είναι η συνάρτηση y = 2x + 3. Πράγματι, f(1) = 5, και f (-1) = 1. Όπως μπορείτε να δείτε, εδώ, επομένως, ούτε η ταυτότητα f(-x) = f ( x), ούτε η ταυτότητα f(-x) = -f(x).

Άρα, μια συνάρτηση μπορεί να είναι άρτια, περιττή ή κανένα.

Μελετώντας το ερώτημα αν αυτή τη λειτουργίαάρτιος ή περιττός συνήθως ονομάζεται η μελέτη μιας συνάρτησης για ισοτιμία.

Οι ορισμοί 1 και 2 αναφέρονται στις τιμές της συνάρτησης στα σημεία x και -x. Αυτό προϋποθέτει ότι η συνάρτηση ορίζεται και στο σημείο x και στο σημείο -x. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο -x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ταυτόχρονα με το σημείο x. Αν σύνολο αριθμώνΤο X, μαζί με καθένα από τα στοιχεία του x, περιέχει επίσης το αντίθετο στοιχείο -x, τότε το X ονομάζεται συμμετρικό σύνολο. Ας πούμε, τα (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) είναι συμμετρικά σύνολα, ενώ \).

Εφόσον \(x^2\geqslant 0\) , τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (*) είναι μεγαλύτερη ή ίση με \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Έτσι, η ισότητα (*) μπορεί να ισχύει μόνο όταν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης είναι ίσες με \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Και αυτό σημαίνει ότι \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(περιπτώσεις) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(περιπτώσεις) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Επομένως, η τιμή \(a=-\mathrm(tg)\,1\) μας ταιριάζει.

Απάντηση:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Εργασία 2 #3923

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες το γράφημα της συνάρτησης \

συμμετρικά ως προς την προέλευση.

Εάν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή, τότε μια τέτοια συνάρτηση είναι περιττή, δηλαδή η \(f(-x)=-f(x)\) ισχύει για οποιοδήποτε \(x\) από τον τομέα του ορισμού της συνάρτησης. Έτσι, απαιτείται να βρεθούν εκείνες οι τιμές παραμέτρων για τις οποίες \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(ευθυγραμμισμένο)\]

Η τελευταία εξίσωση πρέπει να ικανοποιηθεί για όλα τα \(x\) από τον τομέα του \(f(x)\), επομένως, \(\sin(2\pi a)=0 \Δεξί βέλος a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Απάντηση:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Εργασία 3 #3069

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \ έχει 4 λύσεις, όπου \(f\) είναι μια άρτια περιοδική συνάρτηση με περίοδο \(T=\dfrac(16)3\) ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή , και \(f(x)=ax^2\) για \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Εργασία από συνδρομητές)

Εφόσον η \(f(x)\) είναι άρτια συνάρτηση, η γραφική παράσταση της είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων, επομένως, όταν \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Έτσι, όταν \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), και αυτό είναι ένα τμήμα μήκους \(\dfrac(16)3\) , συνάρτησης \(f(x)=ax^2\) .

1) Έστω \(a>0\) . Τότε το γράφημα της συνάρτησης \(f(x)\) θα μοιάζει με αυτό:


Τότε, για να έχει η εξίσωση 4 λύσεις, είναι απαραίτητο η γραφική παράσταση \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) να περάσει από το σημείο \(A\) :


Οθεν, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( συγκεντρώθηκαν)\σωστά.\]Εφόσον \(a>0\) , τότε το \(a=\dfrac(18)(23)\) είναι κατάλληλο.

2) Έστω \(α<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Είναι απαραίτητο το γράφημα \(g(x)\) να περάσει από το σημείο \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(στοίχιση) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(στοίχιση) \end(συγκεντρώθηκε)\δεξιά.\]Εφόσον \(α<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Η περίπτωση που το \(a=0\) δεν είναι κατάλληλο, αφού τότε \(f(x)=0\) για όλα τα \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) και το η εξίσωση θα έχει μόνο 1 ρίζα.

Απάντηση:

\(a\in \αριστερά\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Εργασία 4 #3072

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές του \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει τουλάχιστον μία ρίζα.

(Εργασία από συνδρομητές)

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) και \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) είναι άρτια και έχει ελάχιστο σημείο \(x=0\) (και \(g(0)=49\) ).
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) είναι φθίνουσα και για \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Πράγματι, όταν \(x>0\) η δεύτερη ενότητα θα ανοίξει θετικά (\(|x|=x\) ), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς θα ανοίξει η πρώτη ενότητα, το \(f(x)\) θα είναι ίσο σε \( kx+A\) , όπου \(A\) είναι η έκφραση του \(a\) , και \(k\) ισούται είτε με \(-9\) είτε \(-3\) . Όταν \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Ας βρούμε την τιμή του \(f\) στο μέγιστο σημείο: \

Για να έχει η εξίσωση τουλάχιστον μία λύση, είναι απαραίτητο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Επομένως, χρειάζεστε: \ \\]

Απάντηση:

\(a\in \(-7\)\κύπελλο\)

Εργασία 5 #3912

Επίπεδο εργασίας: Ίσο με την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου \(a\) , για καθεμία από τις οποίες η εξίσωση \

έχει έξι διαφορετικές λύσεις.

Ας κάνουμε την αντικατάσταση \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή \ Σταδιακά θα γράψουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η αρχική εξίσωση θα έχει έξι λύσεις.
Σημειώστε ότι η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) μπορεί να έχει το πολύ δύο λύσεις. Οποιαδήποτε κυβική εξίσωση \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Επομένως, εάν η εξίσωση \((*)\) έχει δύο διαφορετικές λύσεις (θετική!, αφού το \(t\) πρέπει να είναι μεγαλύτερο από μηδέν) \(t_1\) και \(t_2\) , τότε κάνοντας την αντίστροφη αντικατάσταση , παίρνουμε: \[\αριστερά[\αρχή(συγκέντρωσε)\αρχή(στοίχιση) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(στοίχιση)\end(συγκέντρωση)\δεξιά.\]Εφόσον οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως \(\sqrt2\) σε κάποιο βαθμό, για παράδειγμα, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), τότε η πρώτη εξίσωση του συνόλου θα ξαναγραφεί στη φόρμα \ Όπως έχουμε ήδη πει, οποιαδήποτε κυβική εξίσωση δεν έχει περισσότερες από τρεις λύσεις, επομένως, κάθε εξίσωση στο σύνολο δεν θα έχει περισσότερες από τρεις λύσεις. Αυτό σημαίνει ότι ολόκληρο το σετ δεν θα έχει περισσότερες από έξι λύσεις.
Αυτό σημαίνει ότι για να έχει έξι λύσεις η αρχική εξίσωση, η δευτεροβάθμια εξίσωση \((*)\) πρέπει να έχει δύο διαφορετικές λύσεις και κάθε κυβική εξίσωση που προκύπτει (από το σύνολο) πρέπει να έχει τρεις διαφορετικές λύσεις (και όχι μία λύση του μία εξίσωση πρέπει να συμπίπτει με οποιαδήποτε -με απόφαση της δεύτερης!)
Προφανώς, αν η τετραγωνική εξίσωση \((*)\) έχει μία λύση, τότε δεν θα πάρουμε έξι λύσεις στην αρχική εξίσωση.

Έτσι, το σχέδιο λύσης γίνεται σαφές. Ας γράψουμε σημείο προς σημείο τις προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται.

1) Για να έχει δύο διαφορετικές λύσεις η εξίσωση \((*)\), η διάκρισή της πρέπει να είναι θετική: \

2) Είναι επίσης απαραίτητο και οι δύο ρίζες να είναι θετικές (αφού \(t>0\) ). Αν το γινόμενο δύο ριζών είναι θετικό και το άθροισμά τους θετικό, τότε οι ίδιες οι ρίζες θα είναι θετικές. Επομένως, χρειάζεστε: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Έτσι, έχουμε ήδη εφοδιαστεί με δύο διαφορετικές θετικές ρίζες \(t_1\) και \(t_2\) .

3) Ας δούμε αυτή την εξίσωση \ Για ποιο \(t\) θα έχει τρεις διαφορετικές λύσεις;
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Μπορεί να παραγοντοποιηθεί: \ Επομένως, τα μηδενικά του είναι: \(x=-1;2\) .
Αν βρούμε την παράγωγο \(f"(x)=3x^2-6x\) , τότε παίρνουμε δύο ακραία σημεία \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Επομένως, το γράφημα μοιάζει με αυτό:


Βλέπουμε ότι οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή \(y=k\) , όπου \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)είχε τρεις διαφορετικές λύσεις, είναι απαραίτητο να \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Έτσι, χρειάζεστε: \[\αρχή(περιπτώσεις) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Ας σημειώσουμε επίσης αμέσως ότι εάν οι αριθμοί \(t_1\) και \(t_2\) είναι διαφορετικοί, τότε οι αριθμοί \(\log_(\sqrt2)t_1\) και \(\log_(\sqrt2)t_2\) θα είναι διαφορετικό, που σημαίνει τις εξισώσεις \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Και \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)θα έχει διαφορετικές ρίζες.
Το σύστημα \((**)\) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: \[\αρχή(περιπτώσεις) 1

Έτσι, προσδιορίσαμε ότι και οι δύο ρίζες της εξίσωσης \((*)\) πρέπει να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\) . Πώς γράφεται αυτή η συνθήκη;
Δεν θα γράψουμε ρητά τις ρίζες.
Θεωρήστε τη συνάρτηση \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, η οποία έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα x (αυτή τη συνθήκη την καταγράψαμε στην παράγραφο 1)). Πώς πρέπει να μοιάζει η γραφική παράσταση του ώστε τα σημεία τομής με τον άξονα x να βρίσκονται στο διάστημα \((1;4)\); Ετσι:


Πρώτον, οι τιμές \(g(1)\) και \(g(4)\) της συνάρτησης στα σημεία \(1\) και \(4\) πρέπει να είναι θετικές και, δεύτερον, η κορυφή του Η παραβολή \(t_0\ ) πρέπει επίσης να βρίσκεται στο διάστημα \((1;4)\) . Επομένως, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα: \[\begin(περιπτώσεις) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4Το \(a\) έχει πάντα τουλάχιστον μία ρίζα \(x=0\) . Αυτό σημαίνει ότι για να εκπληρωθούν οι συνθήκες του προβλήματος είναι απαραίτητο η εξίσωση \

είχε τέσσερις διαφορετικές ρίζες, διαφορετικές από το μηδέν, που αντιπροσωπεύουν, μαζί με το \(x=0\), μια αριθμητική πρόοδο.

Σημειώστε ότι η συνάρτηση \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) είναι άρτια, πράγμα που σημαίνει ότι αν \(x_0\) είναι η ρίζα της εξίσωσης \( (*)\ ) , τότε \(-x_0\) θα είναι επίσης η ρίζα του. Τότε είναι απαραίτητο οι ρίζες αυτής της εξίσωσης να είναι αριθμοί διατεταγμένοι σε αύξουσα σειρά: \(-2d, -d, d, 2d\) (τότε \(d>0\)). Τότε είναι που αυτοί οι πέντε αριθμοί θα σχηματίσουν μια αριθμητική πρόοδο (με τη διαφορά \(d\)).

Για να είναι αυτές οι ρίζες οι αριθμοί \(-2d, -d, d, 2d\) , είναι απαραίτητο οι αριθμοί \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) να είναι οι ρίζες του η εξίσωση \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Στη συνέχεια, σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta:

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση στη φόρμα \ και θεωρήστε δύο συναρτήσεις: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) και \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Η συνάρτηση \(g(x)\) έχει μέγιστο σημείο \(x=0\) (και \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Μηδενική παράγωγος: \(x=0\) . Όταν \(x<0\) имеем: \(g">0\) , για \(x>0\) : \(g"<0\) .
Η συνάρτηση \(f(x)\) για \(x>0\) αυξάνεται και για \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Πράγματι, όταν \(x>0\) η πρώτη ενότητα θα ανοίξει θετικά (\(|x|=x\)), επομένως, ανεξάρτητα από το πώς θα ανοίξει η δεύτερη ενότητα, το \(f(x)\) θα είναι ίσο σε \( kx+A\) , όπου \(A\) είναι η έκφραση του \(a\) , και \(k\) ισούται με \(13-10=3\) ή \(13+10 =23\) . Όταν \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Ας βρούμε την τιμή του \(f\) στο ελάχιστο σημείο: \

Για να έχει η εξίσωση τουλάχιστον μία λύση, είναι απαραίτητο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f\) και \(g\) να έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής. Επομένως, χρειάζεστε: \ Επιλύοντας αυτό το σύνολο συστημάτων, παίρνουμε την απάντηση: \\]

Απάντηση:

\(a\σε \(-2\)\κύπελλο\)

Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε γραφικό χαρτί ή μια αριθμομηχανή γραφικών. Επιλέξτε οποιονδήποτε αριθμό ανεξάρτητων τιμών μεταβλητών x (\displaystyle x)και συνδέστε τα στη συνάρτηση για να υπολογίσετε τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y (\displaystyle y). Σχεδιάστε τις ευρεθείσες συντεταγμένες των σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων και, στη συνέχεια, συνδέστε αυτά τα σημεία για να δημιουργήσετε ένα γράφημα της συνάρτησης.

• Αντικαταστήστε τις θετικές αριθμητικές τιμές στη συνάρτηση x (\displaystyle x)και αντίστοιχες αρνητικές αριθμητικές τιμές. Για παράδειγμα, δεδομένης της συνάρτησης . Αντικαταστήστε τις παρακάτω τιμές σε αυτό x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1 , 3) ​​(\displaystyle (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (2 , 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (− 1 , 3) ​​(\displaystyle (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Πήραμε ένα βαθμό με συντεταγμένες (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).