Ερευνητικό έγγραφο για τα σχήματα αντιγραφής δοκιμών Bernoulli.

Διαβήτης

Διαφάνεια 2 Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k Εάν η πιθανότητα p της εμφάνισης του συμβάντος A σε κάθε δοκιμή είναι σταθερή, τότε η πιθανότητα Pn(k) ότι το γεγονός A θα συμβεί k φορές σε n ανεξάρτητες δοκιμές είναι ίση με: T Δήλωση του θεωρήματος Τύπος Bernoulli - ένας τύπος στη θεωρία πιθανοτήτων που σας επιτρέπει να βρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α κατά τη διάρκεια ανεξάρτητων δοκιμών. Ο τύπος του Bernoulli σάς επιτρέπει να απαλλαγείτε από μεγάλο αριθμό υπολογισμών - πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων - με επαρκήμεγάλες ποσότητες

δοκιμές.

Διαφάνεια 3

Ιστορικές πληροφορίες JACOB BERNOULLI (1654–1705) Ημερομηνία γέννησης: 27 Δεκεμβρίου 1654 Τόπος γέννησης: Βασιλεία Ημερομηνία θανάτου: 16 Αυγούστου 1705 Τόπος θανάτου: Βασιλεία Ιθαγένεια: Ελβετία Επιστημονικό πεδίο: Μαθηματικός Τόπος εργασίας: Πανεπιστήμιο της Βασιλείας Επιστημονικό . σκηνοθέτης: Leibniz Jacob Bernoulli (Γερμανικά Jakob Bernoulli, 27 Δεκεμβρίου 1654, Βασιλεία, - 16 Αυγούστου 1705, ό.π.) - Ελβετός μαθηματικός, αδελφός του Johann Bernoulli; καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας (από το 1687). Ο Jacob Bernoulli έχει σημαντικά επιτεύγματα στη θεωρία σειρών, στον διαφορικό λογισμό των μεταβολών, στη θεωρία πιθανοτήτων και στη θεωρία αριθμών, όπου αριθμοί με ορισμένες ιδιότητες ονομάζονται από αυτόν. Ο Jacob Bernoulli έγραψε επίσης έργα για τη φυσική, την αριθμητική, την άλγεβρα και τη γεωμετρία.

Διαφάνεια 4

Ένα παράδειγμα χρήσης του τύπου Bernoulli Κάθε μέρα, οι μετοχές της ABC Corporation αυξάνονται σε τιμή ή πέφτουν σε τιμή κατά μία μονάδα με πιθανότητες 0,75 και 0,25, αντίστοιχα. Βρείτε την πιθανότητα η μετοχή να επιστρέψει στην αρχική της τιμή μετά από έξι ημέρες. Αποδεχτείτε την προϋπόθεση ότι οι αλλαγές στην τιμή της μετοχής προς τα πάνω και προς τα κάτω είναι ανεξάρτητα γεγονότα. ΛΥΣΗ: Για να επιστρέψουν οι μετοχές στην αρχική τους τιμή σε 6 ημέρες, πρέπει να αυξηθούν στην τιμή 3 φορές και να πέσει τρεις φορές σε αυτό το διάστημα. Η επιθυμητή πιθανότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli P6(3) =C36(3/4)3(1/4)3=0,13

Δοκιμάστε τον εαυτό σας Υπάρχουν 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες σε μια λάρνακα. Βγάζονται 4 μπάλες στη σειρά και κάθε μπάλα που αφαιρείται επιστρέφεται στη λάρνακα πριν βγει η επόμενη και αναμειχθούν οι μπάλες στη λάρνακα. Ποια είναι η πιθανότητα από τις τέσσερις μπάλες που κληρώθηκαν, οι δύο να είναι λευκές; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΛΥΣΗ: ΛΥΣΗ: Ο ελεγκτής εντοπίζει οικονομικές παρατυπίες στην ελεγχόμενη εταιρεία με πιθανότητα 0,9. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 4 παραβατικών επιχειρήσεων να εντοπιστούν περισσότερες από τις μισές. Το ζάρι ρίχνεται 3 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα 6 βαθμοί να εμφανιστούν ακριβώς 2 φορές σε αυτή τη σειρά τεστ; 0,01389 8/27 0,9477

Διαφάνεια 6

Δοκιμάστε τον εαυτό σας Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Βρείτε την πιθανότητα το εθνόσημο να εμφανιστεί όχι περισσότερες από 2 φορές. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ΛΥΣΗ: Αφήστε το ποσοστό βλάστησης των σπόρων σιταριού να είναι 90%. Ποια είναι η πιθανότητα από τους 7 σπόρους που έχουν σπαρθεί να φυτρώσουν οι 5; 0,124 0,344

Διαφάνεια 7

Η πιθανότητα ανάκτησης της λευκής μπάλας p=20/30=2/3 μπορεί να θεωρηθεί ίδια σε όλες τις δοκιμές. 1-p=1/3 Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli, παίρνουμε P4(2) = C42·p2·(1-p)2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8 / 27 ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Διαφάνεια 8

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΛΥΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Το γεγονός είναι ότι από τις 4 εταιρείες που παραβαίνουν, θα εντοπιστούν τρεις ή τέσσερις, δηλ. P(A)=P4(3)+P4(4) P(A)= C340,93∙0,1+C44 0,94 = 0,93 (0,4+0,9)=0,9477

Διαφάνεια 1

Θεώρημα Bernoulli
17.03.2017

Διαφάνεια 2

Πραγματοποιείται μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές. Κάθε τεστ έχει 2 αποτελέσματα: Α - «επιτυχία» και - «αποτυχία». Η πιθανότητα «επιτυχίας» σε κάθε δοκιμή είναι η ίδια και είναι ίση με P(A) = p. Κατά συνέπεια, η πιθανότητα «αποτυχίας» δεν αλλάζει από πείραμα σε πείραμα και είναι ίση.
Σχέδιο Bernoulli
Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε μια σειρά από n πειράματα θα υπάρξει επιτυχία k φορές; Βρείτε το Pn(k) .

Διαφάνεια 3

Το κέρμα πετιέται n φορές. Ένα φύλλο τραβιέται από την τράπουλα n φορές και κάθε φορά που επιστρέφεται το φύλλο, η τράπουλα ανακατεύεται. n προϊόντα μιας συγκεκριμένης παραγωγής, που επιλέγονται τυχαία, εξετάζονται ως προς την ποιότητα. Ο σκοπευτής πυροβολεί στον στόχο n φορές.
Παραδείγματα

Διαφάνεια 4

Εξηγήστε γιατί οι παρακάτω ερωτήσεις ταιριάζουν στο σχήμα του Bernoulli. Να αναφέρετε τι είναι η «επιτυχία» και τι ισούνται τα n και k. α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε ένα "2" τρεις φορές όταν ρίχνετε μια μήτρα δέκα φορές; β) Ποια είναι η πιθανότητα σε εκατό ρίψεις νομισμάτων, τα κεφάλια να εμφανιστούν 73 φορές; γ) Ένα ζευγάρι ζάρια πετάχτηκαν είκοσι φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να μην είναι ποτέ ίσο με δέκα; δ) Τρία φύλλα τραβήχτηκαν από μια τράπουλα 36 φύλλων, το αποτέλεσμα καταγράφηκε και επέστρεψε στην τράπουλα και στη συνέχεια τα φύλλα ανακατεύτηκαν. Αυτό επαναλήφθηκε 4 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα κάθε φορά που η βασίλισσα των μπαστούνι να ήταν ανάμεσα στα χαρτιά που τραβούσαν;

Διαφάνεια 5

Για τον αριθμό των συνδυασμών από n έως k, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
Για παράδειγμα:

Διαφάνεια 6

Θεώρημα Bernoulli
Η πιθανότητα Pn(k) να εμφανιστούν ακριβώς k επιτυχίες σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής βρίσκεται από τον τύπο, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας», q = 1- p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» στο ένα ξεχωριστό πείραμα.

Διαφάνεια 7

Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει το εθνόσημο 0, 1, ...6 φορές; Διάλυμα. Αριθμός πειραμάτων n=6.
;
;
;
;
;
;

Γεγονός Α – «επιτυχία» – απώλεια του εθνόσημου. Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Διαφάνεια 8
;
;
;
;
;
;

Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει το εθνόσημο 0, 1, ...6 φορές; Διάλυμα. Αριθμός πειραμάτων n=6.

Γεγονός Α – «επιτυχία» – απώλεια του εθνόσημου.
;
;
;
;
;
;

Διαφάνεια 9

Το κέρμα πετιέται 10 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί δύο φορές το εθνόσημο; Διάλυμα. Αριθμός πειραμάτων n=10, m=2.

Γεγονός Α – «επιτυχία» – απώλεια του εθνόσημου. Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Διαφάνεια 10

Υπάρχουν 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες σε ένα δοχείο. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που αφαιρείται επιστρέφεται στη λάρνακα πριν βγάλει την επόμενη και ανακατευτούν οι μπάλες στη λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα από τις τέσσερις κληρωμένες μπάλες να υπάρχουν 2 λευκές. Διάλυμα. Γεγονός Α – βγαίνει μια λευκή μπάλα. Τότε οι πιθανότητες Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Διαφάνεια 11

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Διάλυμα. Πιθανότητα να έχεις κορίτσι ή αγόρι Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Διαφάνεια 12

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να έχει ένα κορίτσι. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Διάλυμα. Πιθανότητα να έχεις κορίτσι ή αγόρι Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να έχει τρία κορίτσια. Διάλυμα. Πιθανότητα να έχεις κορίτσι ή αγόρι Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με

Διαφάνεια 15

Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι σε μια οικογένεια με 5 παιδιά δεν θα υπάρχουν περισσότερα από τρία κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Διάλυμα. Πιθανότητα να έχετε κορίτσι ή αγόρι Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
.

Διαφάνεια 16

Μεταξύ των εξαρτημάτων που επεξεργάζεται ένας εργαζόμενος, κατά μέσο όρο το 4% είναι μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα ότι μεταξύ 30 εξαρτημάτων που λαμβάνονται για δοκιμή, δύο θα είναι μη τυπικά. Διάλυμα. Εδώ η εμπειρία συνίσταται στον έλεγχο ποιότητας καθενός από τα 30 εξαρτήματα. Γεγονός Α - "εμφάνιση μη τυπικού εξαρτήματος",

Ο τύπος του Bernoulli

Belyaeva T.Yu. GBPOU KK "AMT" Armavir Καθηγήτρια μαθηματικών

Ένας από τους ιδρυτές της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής ανάλυσης

Ξένο μέλος της Ακαδημίας Επιστημών του Παρισιού (1699) και της Ακαδημίας Επιστημών του Βερολίνου (1701)

Ο μεγαλύτερος αδερφός του Johann Bernoulli (του πιο διάσημου εκπροσώπου της οικογένειας Bernoulli)

Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

Ελβετός μαθηματικός

Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Α είναι ίση με r , και επομένως η πιθανότητα να μην συμβεί είναι ίση με q = 1 - p .

Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ότι όταν n διαδοχικές δοκιμές, το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς Τ μια φορά.

Δηλώνουμε την επιθυμητή πιθανότητα r n ( Τ ) .

Είναι προφανές ότι

p 1 (1) = p, p 1 (0) = q

r 1 (1) + σελ 1 (0) = p + q = 1

Με δύο τεστ:

4 πιθανά αποτελέσματα:

p 2 (2) = p 2 ; р 2 (1) = 2ρ·q; p 2 (0) = q 2

r 2 (2) + σελ 2 (1) + σελ 2 (0) = (p + q) 2 = 1

Με τρία τεστ:

8 πιθανά αποτελέσματα:

Παίρνουμε:

p 3 (2) = 3p 2 q

p 3 (1) = 3pq 2

r 3 (3) + σελ 3 (2) + σελ 3 (1) + σελ 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Εργασία 1.

Το κέρμα πετιέται 8 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί το εθνόσημο 4 φορές;

Εργασία 2.

Υπάρχουν 20 μπάλες σε μια λάρνακα: 15 λευκές και 5 μαύρες. Βγάζονταν 5 μπάλες στη σειρά και κάθε μπάλα που έβγαζε επιστρεφόταν στη λάρνακα πριν βγει η επόμενη μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα από τις πέντε μπάλες που κληρώθηκαν να υπάρχουν 2 λευκές.

Τύποι για την εύρεση της πιθανότητας ότι V n δοκιμές η εκδήλωση θα έρθει :

ΕΝΑ) λιγότερο από t φορές

r n (0) + … + σελ n (t-1)

σι) περισσότερες από t φορές

r n (t+1) + … + σελ n (σ)

V) όχι περισσότερες από t φορές

r n (0) + … + σελ n (Τ)

ΣΟΛ) τουλάχιστον t φορές

r n (t) + … + r n (σ)

Εργασία 3.

Η πιθανότητα παραγωγής ενός μη τυποποιημένου ανταλλακτικού σε αυτόματο μηχάνημα είναι 0,02. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι μεταξύ έξι τμημάτων που λαμβάνονται τυχαία θα υπάρχουν περισσότερα από 4 τυπικά.

Εκδήλωση Α - « περισσότερα από 4 τυπικά εξαρτήματα" (5 ή 6) σημαίνει

« όχι περισσότερο από 1 ελαττωματικό εξάρτημα" (0 ή 1)

Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητα τεστ. Σε κάθε τέτοια δοκιμή, το συμβάν Α μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α είναι γνωστή.

Πρέπει να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό μ (0, 1, …, n), για το οποίο η πιθανότητα P n (μ) θα είναι η μεγαλύτερη.

Εργασία 4.

Το μερίδιο των προϊόντων premium σε αυτήν την επιχείρηση είναι 31%. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός προϊόντων premium εάν επιλεγεί μια παρτίδα 75 προϊόντων;

Σύμφωνα με την συνθήκη: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Εργασία 6.

Δύο σκοπευτές πυροβολούν έναν στόχο. Η πιθανότητα αστοχίας με μία βολή για τον πρώτο σουτέρ είναι 0,2 και για τον δεύτερο - 0,4. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό βόλεϊ στα οποία δεν θα υπάρξουν χτυπήματα στον στόχο εάν οι σκοπευτές εκτοξεύσουν 25 βόλια.

Σύμφωνα με την συνθήκη: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων §54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.

Περιεχόμενα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή... Λύση 5α); Λύση 5β); Λύση 5γ); Λύση 5δ). Σημειώστε ότι... Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζετε... Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις... ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Λύση 6 α); Λύση 6 β); Λύση 6 γ); Λύση 6 δ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Πότε μεγάλο αριθμόαυτοτελείς επαναλήψεις... Για τον δάσκαλο. Πηγές. 02/08/2014 2

3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ. Μέρος 3. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 3

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο. Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. β) δεν θα επηρεαστεί. γ) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. δ) θα χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 4

Λύση στο παράδειγμα 5α) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 5

Λύση στο παράδειγμα 5β) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: β) να μην χτυπηθεί. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 6

Λύση στο παράδειγμα 5γ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 7

Λύση στο παράδειγμα 5δ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 8

Σημείωση Η λύση που δίνεται στην παράγραφο δ) του Παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, που αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανοτικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Διακριτικό χαρακτηριστικόαπό πολλά πιθανοτικά προβλήματα είναι ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 9

Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα εάν αυτό το γεγονός θα συμβεί ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί ή όχι να συμβεί αυτό το γεγονός. Για παράδειγμα, ένα ζάρι ρίχνεται δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα ένα «τεσσάρι» να κυληθεί ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή ποια είναι η πιθανότητα ότι με πέντε ρίψεις ενός νομίσματος, οι «κεφαλές» θα εμφανιστούν ακριβώς 4 φορές; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 10

Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις Ο Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα. Αφήστε την πιθανότητα τυχαίο συμβάνΚαι κατά την εκτέλεση κάποιας δοκιμής ισούται με P(A). Ας δούμε αυτή τη δοκιμή ως μια δοκιμή με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι το συμβάν Α θα συμβεί και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το συμβάν Α δεν θα συμβεί, δηλ. θα συμβεί το συμβάν Ᾱ. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Α) «επιτυχία», και το δεύτερο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Ᾱ) «αποτυχία». Δηλώνουμε την πιθανότητα P(A) «επιτυχίας» με p και την πιθανότητα P(Ᾱ) «αποτυχίας» με q. Αυτό σημαίνει q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 11

ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli) Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω P n (k) η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς k «επιτυχίες» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής. Τότε P n (k)= С n k  p k  q n- k, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας» και q=1 - p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» σε ένα συγκεκριμένο τεστ. Αυτό το θεώρημα (το παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη) έχει μεγάλη σημασίατόσο για θεωρία όσο και για πράξη. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 12

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ακριβώς 7 κεφαλές σε 10 ρίψεις νομισμάτων; β) Κάθε ένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Η Δευτέρα και η Παρασκευή θεωρούνται «άτυχες» μέρες. Ποια είναι η πιθανότητα η «τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; γ) Η ρίψη ενός ζαριού είναι «επιτυχής» εάν έχει 5 ή 6 πόντους. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 από τις 25 βολές θα είναι «επιτυχείς»; δ) Το τεστ αποτελείται από τη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» μεταξύ 7 βολών; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 13

Λύση 6α) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ακριβώς 7 κεφαλές σε 10 πετάξεις νομισμάτων; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 14

Λύση 6β) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). β) Κάθε ένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Η Δευτέρα και η Παρασκευή θεωρούνται «άτυχες» μέρες. Ποια είναι η πιθανότητα η «τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 15

Λύση 6γ) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). γ) Η ρίψη ενός ζαριού είναι «επιτυχής» εάν έχει 5 ή 6 πόντους. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 στις 25 βολές θα είναι «επιτυχείς»; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 16

Λύση 6δ) Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). δ) Το τεστ αποτελείται από τη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» μεταξύ 7 βολών; Λύση: δ) n = 7, k = 3. "Τύχη" σε μια εκτίναξη είναι ότι υπάρχουν λιγότερες "ουρές" από "κεφάλια". Υπάρχουν 8 πιθανά αποτελέσματα συνολικά: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - "ουρές", O - "κεφάλια"). Στα μισά ακριβώς από αυτά υπάρχουν λιγότερα κεφάλια από κεφάλια: ROO, ORO, OOP, OOO. Αυτό σημαίνει p = q = 0,5; P 7 (3) = C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7 . 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 17

Το θεώρημα του Bernoulli επιτρέπει... Το θεώρημα του Bernoulli μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον προσδιορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 για την επεξεργασία στατιστικών πληροφοριών. Εξετάστε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής με δύο αποτελέσματα - «επιτυχία» και «αποτυχία». Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων που αποτελείται από μια συγκεκριμένη σειρά δύο επιλογών: «επιτυχία» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n που αποτελείται από δύο γράμματα U ("τύχη") και H ("αποτυχία"). Για παράδειγμα, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ή N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, κ.λπ. n Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα των παραλλαγών Y, δηλαδή να βρούμε το κλάσμα k/n, όπου k είναι ο αριθμός των «τυχών» που συναντώνται μεταξύ των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k/n της εμφάνισης «επιτυχιών» θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p της «επιτυχίας» σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 18

ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος Α με αυξανόμενη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος Α: k/n ≈ P(A). Για παράδειγμα, με n > 2000, με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99%, μπορεί να δηλωθεί ότι απόλυτο λάθος| k/n - P(A)| η κατά προσέγγιση ισότητα k/n≈ Р(А) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, σε κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Αν, ας πούμε, 520 από αυτούς απάντησαν θετικά σε έθεσε ερώτηση, τότε k/n=520/2000=0,26 και είναι σχεδόν βέβαιο ότι για οποιαδήποτε περισσότεροτων ερωτηθέντων, αυτή η συχνότητα θα κυμαίνεται από 0,23 έως 0,29. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας. Έτσι, το θεώρημα του Bernoulli και οι συνέπειές του καθιστούν δυνατό (περίπου) την εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος σε περιπτώσεις όπου ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 19

Για τη δασκάλα 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 20

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 21

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 22

Πηγές Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης, τάξεις 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. ( Βασικό επίπεδο), A.G.Mordkovich, M., 2009 Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης, βαθμοί 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδικό εγχειρίδιογια τον δάσκαλο, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Πίνακες μεταγλωττισμένοι σε MS Word και MS Excel. Πηγές Διαδικτύου Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 02/08/2014 23

Πρεμιέρα:

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Διαφάνεια 1
Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων
§54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.

Διαφάνεια 2
Περιεχόμενο
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή...Λύση 5α);Λύση 5β);Λύση 5γ);Λύση 5δ).Σημειώστε ότι...Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζετε... Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις...ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli ).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). Λύση 6a) Λύση 6β) ;Λύση 6γ);Λύση 6δ ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων... Για τον δάσκαλο.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 3
3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.
Μέρος 3.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή
Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο στόχος: α) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 5
Λύση στο παράδειγμα 5α)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 6
Λύση στο παράδειγμα 5β)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο στόχος: β) δεν θα χτυπηθεί Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 7
Λύση στο παράδειγμα 5γ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 8
Λύση στο παράδειγμα 5δ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 9
Σημείωμα
Η λύση που δίνεται στην παράγραφο δ) του Παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, το οποίο αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανοτικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα πολλών πιθανολογικών προβλημάτων είναι ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 10
Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζετε
Σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα εάν αυτό το γεγονός θα συμβεί ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί ή όχι να συμβεί αυτό το γεγονός. Για παράδειγμα, ένα ζάρι ρίχνεται δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα ένα «τεσσάρι» να κυληθεί ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή ποια είναι η πιθανότητα ότι με πέντε ρίψεις ενός νομίσματος, οι «κεφαλές» θα εμφανιστούν ακριβώς 4 φορές;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 11
Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις
Ο Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα, Jacob Bernoulli, συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα. Ας δούμε αυτή τη δοκιμή ως μια δοκιμή με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι το συμβάν Α θα συμβεί και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το συμβάν Α δεν θα συμβεί, δηλ. θα συμβεί το συμβάν Ᾱ. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Α) «επιτυχία», και το δεύτερο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Ᾱ) «αποτυχία». Δηλώνουμε την πιθανότητα P(A) «επιτυχίας» με p και την πιθανότητα P(Ᾱ) «αποτυχίας» με q. Αυτό σημαίνει q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 12
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli)
Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω Pn(k) η πιθανότητα να εμφανιστούν ακριβώς k «επιτυχίες» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής. Τότε Pn(k) = Сnk pk qn-k, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας» και q = 1-p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» σε ένα ξεχωριστό θεώρημα (το παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη ) έχει μεγάλη σημασία για τη θεωρία και την πράξη.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 13
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k) Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 7 «κεφάλια» σε 10 πετάγματα; Η Δευτέρα και η Παρασκευή θεωρούνται «άτυχες» μέρες. Ποια είναι η πιθανότητα η «επιτυχία» να είναι ακριβώς η μισή γ) Η ρίψη ενός ζαριού είναι «επιτυχής» εάν το αποτέλεσμα είναι 5 ή 6 πόντοι; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 από τις 25 ρίψεις θα είναι «επιτυχείς»; δ) Το τεστ αποτελείται από την ταυτόχρονη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» μεταξύ 7 βολών;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 14
Λύση 6α)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k) Ποια είναι η πιθανότητα Ακριβώς 7 "κεφαλές" σε 10 νομίσματα;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 15
Λύση 6β)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k) Κάθε ένα από τα 20 άτομα ανεξάρτητα ονομάζει μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Η Δευτέρα και η Παρασκευή θεωρούνται «άτυχες» μέρες. Ποια είναι η πιθανότητα η «τύχη» να είναι ακριβώς η μισή Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 16
Λύση 6γ)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k).γ) Η ρίψη μιας μήτρας είναι " επιτυχής» εάν φέρουν 5 ή 6 πόντους . Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 από τις 25 ρίψεις θα είναι «επιτυχείς»;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 17
Λύση 6δ)
Παράδειγμα 6. Σε καθένα από τα σημεία α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k) Το τεστ αποτελείται ταυτόχρονα ρίχνοντας τρία διαφορετικά νομίσματα. «Αποτυχία»: υπάρχουν περισσότερες «ουρές» παρά «κεφάλια». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» μεταξύ 7 ρίψεων Λύση: δ) n = 7, k = 3. «Τύχη» σε ένα πέταγμα είναι ότι υπάρχουν λιγότερες «ουρές» από «κεφάλια». Υπάρχουν 8 πιθανά αποτελέσματα συνολικά: PPP, PPO, POP, OPP, POO, OPO, OOP, LLC (P - "ουρές", O - "κεφάλια"). Στα μισά ακριβώς από αυτά υπάρχουν λιγότερα κεφάλια από κεφάλια: ROO, ORO, OOP, OOO. Αυτό σημαίνει p = q = 0,5; Р7(3) = С73∙0,53∙0,54 = С73∙0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 18
Το θεώρημα του Bernoulli επιτρέπει...
Το θεώρημα του Bernoulli μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον προσδιορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 για την επεξεργασία στατιστικών πληροφοριών. Εξετάστε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες επαναλήψεις της ίδιας δοκιμής με δύο αποτελέσματα - «επιτυχία» και «αποτυχία». Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων που αποτελείται από μια συγκεκριμένη σειρά δύο επιλογών: «επιτυχία» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n που αποτελείται από δύο γράμματα U ("τύχη") και H ("αποτυχία"). Για παράδειγμα, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ή N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, κ.λπ. n Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα της παραλλαγής Y, δηλ. να βρούμε το κλάσμα k/n, όπου k είναι ο αριθμός των «τυχών» που συναντώνται μεταξύ των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k/n της εμφάνισης «επιτυχιών» θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p της «επιτυχίας» σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 19
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος Α με αυξανόμενη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος A: k/n≈ P(A). n > 2000 με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99% , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα |k/n- Р(А)| η κατά προσέγγιση ισότητα k/n≈ Р(А) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, σε κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Εάν, ας πούμε, 520 από αυτούς απάντησαν θετικά στην ερώτηση που τέθηκε, τότε k/n=520/2000=0,26 και είναι σχεδόν βέβαιο ότι για κάθε μεγαλύτερο αριθμό ερωτηθέντων αυτή η συχνότητα θα είναι στην περιοχή από 0,23 έως 0,29. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας Έτσι, το θεώρημα του Bernoulli και οι συνέπειές του καθιστούν δυνατό (περίπου) την εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος σε περιπτώσεις όπου ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 20
Για τον δάσκαλο
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
*

Διαφάνεια 23
Πηγές
Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης, τάξεις 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. (Βασικό επίπεδο), A.G. Mordkovich, M., 2009 Άλγεβρα και αρχές ανάλυσης, τάξεις 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδολογικό εγχειρίδιο για δασκάλους, A.G. Mordkovich, P.V, M., 2010 Πίνακες που έχουν συνταχθεί σε πόρους MS Word και MS Excel
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών
08.02.2014
*

Μια σειρά από ανεξάρτητες δοκιμές πραγματοποιούνται στο
καθένα από τα οποία έχει 2 πιθανά αποτελέσματα,
που υπό όρους θα ονομάσουμε Επιτυχία και Αποτυχία.
Για παράδειγμα, ένας μαθητής δίνει 4 εξετάσεις, το καθένα
από τα οποία είναι πιθανά 2 αποτελέσματα Επιτυχία: μαθητής
πέρασε τις εξετάσεις και Αποτυχία: δεν πέρασε.

Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε τεστ είναι ίση με
σελ. Η πιθανότητα Αποτυχίας είναι q=1-p.
Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα ότι στη σειρά
από n δοκιμές η επιτυχία θα συμβεί m φορές
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Σε κάθε περίπτωση, η Επιτυχία εμφανίζεται m φορές και
Αποτυχία (n-m) φορές.
Αριθμός
καθένας
κομπινεζόν
ισοδυναμεί
αριθμός
τρόπους από n δοκιμές για να επιλέξετε αυτά τα m, in
του οποίου υπήρξε Επιτυχία, δηλ. εκ
n

Η πιθανότητα κάθε τέτοιου συνδυασμού είναι
θεώρημα
για
πολλαπλασιασμός
πιθανότητες
θα είναι Pmqn-m.
Αφού αυτοί οι συνδυασμοί είναι ασυμβίβαστοι, λοιπόν
η επιθυμητή πιθανότητα του συμβάντος Bm θα είναι
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
vâñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Είναι γνωστό ότι αν το κέρμα προσγειωθεί στα κεφάλια, ο μαθητής
πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στα κεφάλια

φοιτητόκοσμος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι
1) τρεις από αυτούς θα είναι στη διάλεξη
2) θα υπάρχουν τουλάχιστον 3 μαθητές στη διάλεξη
2) Θα παρακολουθήσει τουλάχιστον ένας από τους μαθητές τη διάλεξη;

1) Σε αυτό το πρόβλημα πραγματοποιείται μια σειρά n=5
ανεξάρτητα τεστ. Ας το πούμε Επιτυχία
πηγαίνοντας σε μια διάλεξη (πέφτουν κεφάλια) και
Η αποτυχία είναι ένα ταξίδι στον κινηματογράφο (το εθνόσημο πέφτει έξω).
p=q=1/2.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli βρίσκουμε την πιθανότητα ότι
τι θα συμβεί τρεις φορές σε 5 ρίψεις ενός νομίσματος;
επιτυχία:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Να βρεθεί η πιθανότητα ότι με 5 πετά
τουλάχιστον μια φορά το νόμισμα πέσει στα κεφάλια,
ας περάσουμε στο ενδεχόμενο του αντίθετου
εκδηλώσεις - το νόμισμα θα εμφανίζεται ως εθνόσημο και τις 5 φορές:
P5 (0).
Τότε η επιθυμητή πιθανότητα θα είναι: P = 1 - P5 (0).
Σύμφωνα με τον τύπο του Bernoulli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Τότε η πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος θα είναι
P 1 0,03125 0,96875

Μπερνούλι
ο μαθητής περπατάει
στον κινηματογράφο, αν το κέρμα πέσει, ο μαθητής το πάει
διάλεξη. 5 μαθητές πέταξαν ένα κέρμα. Τι είναι το πιο
πιθανός αριθμός μαθητών που παρακολουθούν τη διάλεξη;
Πιθανότητα
τα κέρδη για 1 δελτίο είναι 0,2. Τι είναι το πιο
πιθανός αριθμός εισιτηρίων που κερδίζουν;

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι

np q k np p

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Φόρμουλα για τον πιο πιθανό αριθμό επιτυχιών
np q k np p
Εάν το np-q είναι ακέραιος, τότε αυτό το διάστημα περιέχει 2
ακέραιοι αριθμοί. Και τα δύο είναι εξίσου πιθανά.
Εάν ο np-q είναι ένας μη ακέραιος αριθμός, τότε αυτό το διάστημα περιέχει 1
ακέραιος αριθμός

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι αν ένα νόμισμα πέσει στα κεφάλια,

– ένας μαθητής πηγαίνει σε μια διάλεξη. 5 πέταξε ένα νόμισμα

φοιτητές που πηγαίνουν σε μια διάλεξη;
np q k np p
ν 5
1
p q
2

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι αν ένα νόμισμα πέσει στα κεφάλια,
ο μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα φτάσει στο κεφάλι
– ένας μαθητής πηγαίνει σε μια διάλεξη. 5 πέταξε ένα νόμισμα
φοιτητόκοσμος. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές που πηγαίνουν σε μια διάλεξη;
np q k np p
ν 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np σελ 5 3
2 2

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι αν ένα νόμισμα πέσει στα κεφάλια,
ο μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα φτάσει στο κεφάλι
– ένας μαθητής πηγαίνει σε μια διάλεξη. 5 πέταξε ένα νόμισμα
φοιτητόκοσμος. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές που πηγαίνουν σε μια διάλεξη;
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι αν ένα νόμισμα πέσει στα κεφάλια,
ο μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα φτάσει στο κεφάλι
– ένας μαθητής πηγαίνει σε μια διάλεξη. 5 πέταξε ένα νόμισμα
φοιτητόκοσμος. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές που πηγαίνουν σε μια διάλεξη;
πιθανότητα, Pn(k)
Πιθανότητες του αριθμού των μαθητών που παρακολουθούν
διάλεξη
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
αριθμός μαθητών, κ
4
5

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράστηκαν 10 λαχεία.

εισιτήρια;
np q k np p
ν 10
p 0,2 q 0,8

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράστηκαν 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
np q k np p
ν 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράστηκαν 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράστηκαν 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
Πιθανότητες του αριθμού των κερδισμένων δελτίων
πιθανότητα, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
αριθμός εισιτηρίων, κ
7
8
9
10

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι

Συνήφθησαν 10 συμβάσεις

πληρώσει το ασφαλιστικό ποσό

μία από τις συμφωνίες

παρά βάσει τριών συμφωνιών
δ) βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό συμβάσεων, σύμφωνα με
που θα πρέπει να καταβάλει το ασφαλιστικό ποσό

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, το 20% των συμβολαίων είναι ασφάλιση
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Συνήφθησαν 10 συμβάσεις
α) Να βρείτε την πιθανότητα ότι σε τρία
πληρώσει το ασφαλιστικό ποσό
0,201327

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, το 20% των συμβολαίων είναι ασφάλιση
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Συνήφθησαν 10 συμβάσεις
β) Δεν θα χρειαστεί να καταβληθεί ούτε το ασφαλισμένο ποσό
μία από τις συμφωνίες
0,107374

Πιθανότερος αριθμός επιτυχιών σε ένα σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, το 20% των συμβολαίων είναι ασφάλιση
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Συνήφθησαν 10 συμβάσεις
γ) το ποσό της ασφάλισης θα πρέπει να καταβληθεί όχι περισσότερο από
παρά βάσει τριών συμφωνιών
0,753297

Εάν το n είναι μεγάλο, χρησιμοποιήστε τον τύπο
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
δύσκολος
Επομένως, χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση τύποι

Θεώρημα: Αν η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος Α
σε κάθε δοκιμή είναι κοντά στο μηδέν,
και ο αριθμός των ανεξάρτητων δοκιμών n είναι αρκετά μεγάλος,
τότε η πιθανότητα Pn(m) ότι σε n ανεξάρτητες δοκιμές
Το γεγονός Α θα συμβεί m φορές, περίπου ίσο με:
Pn(m)
m
μ!
μι
όπου λ=np
Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος του Πουασόν (νόμος των σπάνιων γεγονότων)

Pn(m)
m
μ!
e, np
Συνήθως χρησιμοποιείται ο κατά προσέγγιση τύπος Poisson,
όταν σ<0,1, а npq<10.

Παράδειγμα Ας είναι γνωστό ότι στην παρασκευή ενός συγκεκριμένου φαρμάκου
ελαττωματικό (αριθμός συσκευασιών που δεν πληρούν το πρότυπο)
είναι 0,2%. Υπολογίστε κατά προσέγγιση την πιθανότητα ότι
από 1000 τυχαία επιλεγμένα πακέτα θα υπάρχουν τρία πακέτα,
δεν πληρούν τα πρότυπα.
Pn(k)
κ
κ!
P1000 (3) ?
μι,
n.p.

δεν συνδέονται περισσότερα από 5 συμβόλαια.

Παράδειγμα: Κατά μέσο όρο, το 1% των συμβολαίων καλύπτεται από ασφαλιστική εταιρεία
καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό. Βρείτε την πιθανότητα ότι από
100 συμβόλαια με επέλευση ασφαλιστικού συμβάντος θα είναι
δεν συνδέονται περισσότερα από 5 συμβόλαια.