Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους
Θεωρητικές πληροφορίες
Θεωρητικές πληροφορίες
Γεωμετρική πρόοδος |
||
Ορισμός |
Αριθμητική πρόοδος a nείναι μια ακολουθία στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος που προστέθηκε στον ίδιο αριθμό ρε (ρε- διαφορά εξέλιξης) |
Γεωμετρική πρόοδος b nείναι μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε όρος των οποίων, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό q (q- παρονομαστής προόδου) |
Φόρμουλα υποτροπής |
Για κάθε φυσικό n |
Για κάθε φυσικό n |
Φόρμουλα ντος όρος |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Χαρακτηριστική ιδιότητα |  |
|
| Άθροισμα των πρώτων ν όρων |  |
 |
Παραδείγματα εργασιών με σχόλια
Εργασία 1
Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) α 1 = -6, α 2
Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:
ένα 22 = α 1+ d (22 - 1) = α 1+ 21 d
Σύμφωνα με την προϋπόθεση:
α 1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21 d .
Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:
d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2
ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Απάντηση: ένα 22 = -48.
Εργασία 2
Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου: -3; 6;....
1η μέθοδος (χρησιμοποιώντας τον τύπο n-term)
Σύμφωνα με τον τύπο για τον nο όρο μιας γεωμετρικής προόδου:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Επειδή β 1 = -3,
2η μέθοδος (χρησιμοποιώντας επαναλαμβανόμενο τύπο)
Εφόσον ο παρονομαστής της προόδου είναι -2 (q = -2), τότε:
β 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
β 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
β 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Απάντηση: β 5 = -48.
Εργασία 3
Σε αριθμητική πρόοδο ( α ν ) α 74 = 34; ένα 76= 156. Βρείτε τον εβδομήντα πέμπτο όρο αυτής της προόδου.
Για μια αριθμητική πρόοδο, η χαρακτηριστική ιδιότητα έχει τη μορφή 
.
Από αυτό προκύπτει:
.
Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:
Απάντηση: 95.
Εργασία 4
Σε αριθμητική πρόοδο ( a n ) a n= 3n - 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δεκαεπτά όρων.
Για να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούνται δύο τύποι:
.
Ποιο είναι μέσα σε αυτή την περίπτωσηπιο βολικό στη χρήση;
Κατά συνθήκη, ο τύπος για τον nο όρο της αρχικής προόδου είναι γνωστός ( a n) a n= 3n - 4. Μπορείτε να βρείτε αμέσως και α 1, Και ένα 16χωρίς να βρεθεί δ. Επομένως, θα χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο.
Απάντηση: 368.
Εργασία 5
Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) α 1 = -6; α 2= -8. Βρείτε τον εικοστό δεύτερο όρο της προόδου.
Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = α 1+ 21η.
Κατά όρο, εάν α 1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21η . Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:
d = α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2
ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Απάντηση: ένα 22 = -48.
Εργασία 6
Γράφονται αρκετοί διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής προόδου:
Βρείτε τον όρο της προόδου με την ένδειξη x.
Κατά την επίλυση, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον nο όρο b n = b 1 ∙ q n - 1Για γεωμετρικές προόδους. Ο πρώτος όρος της προόδου. Για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου q, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε από τους δεδομένους όρους της προόδου και να διαιρέσετε με τον προηγούμενο. Στο παράδειγμά μας, μπορούμε να πάρουμε και να διαιρέσουμε με. Λαμβάνουμε ότι q = 3. Αντί για n, αντικαθιστούμε 3 στον τύπο, αφού είναι απαραίτητο να βρούμε τον τρίτο όρο μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.
Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε:
.
Απάντηση:.
Εργασία 7
Από τις αριθμητικές προόδους που δίνονται από τον τύπο του nου όρου, επιλέξτε αυτή για την οποία ικανοποιείται η συνθήκη ένα 27 > 9:
Εφόσον η δεδομένη συνθήκη πρέπει να ικανοποιηθεί για τον 27ο όρο της προόδου, αντικαθιστούμε 27 αντί για n σε καθεμία από τις τέσσερις προόδους. Στην 4η εξέλιξη παίρνουμε:
.
Απάντηση: 4.
Εργασία 8
Σε αριθμητική πρόοδο α 1= 3, d = -1,5. Προσδιορίζω υψηλότερη τιμή n για το οποίο ισχύει η ανισότητα a n > -6.
Ή αριθμητική είναι ένας τύπος διατεταγμένης αριθμητικής ακολουθίας, οι ιδιότητες της οποίας μελετώνται σε ένα μάθημα σχολικής άλγεβρας. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς το ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Τι είδους εξέλιξη είναι αυτή;
Πριν προχωρήσουμε στην ερώτηση (πώς να βρούμε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου), αξίζει να καταλάβουμε για τι πράγμα μιλάμε.
Οποιαδήποτε ακολουθία πραγματικών αριθμών που προκύπτει προσθέτοντας (αφαιρώντας) κάποια τιμή από κάθε προηγούμενο αριθμό ονομάζεται αλγεβρική (αριθμητική) πρόοδος. Αυτός ο ορισμός, όταν μεταφράζεται σε μαθηματική γλώσσα, έχει τη μορφή:
Εδώ i είναι ο σειριακός αριθμός του στοιχείου της σειράς a i. Έτσι, γνωρίζοντας μόνο έναν αριθμό έναρξης, μπορείτε εύκολα να επαναφέρετε ολόκληρη τη σειρά. Η παράμετρος d στον τύπο ονομάζεται διαφορά προόδου.
Μπορεί εύκολα να φανεί ότι για την υπό εξέταση σειρά αριθμών ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
a n = a 1 + d * (n - 1).
Δηλαδή, για να βρείτε την τιμή του nου στοιχείου με τη σειρά, θα πρέπει να προσθέσετε τη διαφορά d στο πρώτο στοιχείο a 1 n-1 φορές.
Ποιο είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου: τύπος
Πριν δώσετε τον τύπο για το αναγραφόμενο ποσό, αξίζει να εξετάσετε μια απλή ειδική περίπτωση. Η εξέλιξη είναι δεδομένη φυσικούς αριθμούςαπό το 1 έως το 10, πρέπει να βρείτε το άθροισμά τους. Δεδομένου ότι υπάρχουν λίγοι όροι στην πρόοδο (10), είναι δυνατό να λυθεί το πρόβλημα κατά μέτωπο, δηλαδή να αθροιστούν όλα τα στοιχεία με τη σειρά.
S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Ένα πράγμα που αξίζει να εξεταστεί ενδιαφέρον πράγμα: αφού κάθε όρος διαφέρει από τον επόμενο κατά την ίδια τιμή d = 1, τότε το άθροισμα κατά ζεύγη του πρώτου με το δέκατο, του δεύτερου με το ένατο κ.ο.κ. ίδιο αποτέλεσμα. Πραγματικά:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο 5 από αυτά τα αθροίσματα, δηλαδή ακριβώς δύο φορές λιγότερα από τον αριθμό των στοιχείων της σειράς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό των αθροισμάτων (5) με το αποτέλεσμα κάθε αθροίσματος (11), θα καταλήξετε στο αποτέλεσμα που προέκυψε στο πρώτο παράδειγμα.
Αν γενικεύσουμε αυτά τα επιχειρήματα, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:
S n = n * (a 1 + a n) / 2.
Αυτή η έκφραση δείχνει ότι δεν είναι καθόλου απαραίτητο να αθροίσουμε όλα τα στοιχεία σε μια σειρά, αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου a 1 και του τελευταίου a n , καθώς και συνολικός αριθμός n όροι.
Πιστεύεται ότι ο Gauss ήταν ο πρώτος που σκέφτηκε αυτή την ισότητα όταν αναζητούσε μια λύση σε ένα δεδομένο πρόβλημα. δασκάλα σχολείουεργασία: άθροισμα των πρώτων 100 ακεραίων.
Άθροισμα στοιχείων από m έως n: τύπος
Ο τύπος που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο απαντά στο ερώτημα πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου (τα πρώτα στοιχεία), αλλά συχνά στα προβλήματα είναι απαραίτητο να αθροίσετε μια σειρά αριθμών στο μέσο της προόδου. Πώς να το κάνετε αυτό;
Ο ευκολότερος τρόπος για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση είναι λαμβάνοντας υπόψη το ακόλουθο παράδειγμα: ας είναι απαραίτητο να βρείτε το άθροισμα των όρων από το mth στο nth. Για να λύσετε το πρόβλημα, θα πρέπει να παρουσιάσετε το δεδομένο τμήμα από το m στο n της προόδου με τη μορφή μιας νέας σειράς αριθμών. Σε αυτό μ-η παράστασηο όρος a m θα είναι ο πρώτος και το a n θα αριθμηθεί με n-(m-1). Σε αυτήν την περίπτωση, εφαρμόζοντας τον τυπικό τύπο για το άθροισμα, θα ληφθεί η ακόλουθη έκφραση:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.
Παράδειγμα χρήσης τύπων
Γνωρίζοντας πώς να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, αξίζει να εξετάσετε ένα απλό παράδειγμα χρήσης των παραπάνω τύπων.
Παρακάτω δίνεται σειρά αριθμών, θα πρέπει να βρείτε το άθροισμα των όρων του, ξεκινώντας από την 5η και τελειώνοντας με την 12η:
Οι αριθμοί που δίνονται υποδεικνύουν ότι η διαφορά d είναι ίση με 3. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το nο στοιχείο, μπορείτε να βρείτε τις τιμές του 5ου και του 12ου όρου της προόδου. Αποδεικνύεται:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Γνωρίζοντας τις τιμές των αριθμών στα άκρα του δεδομένου αλγεβρική πρόοδος, και γνωρίζοντας επίσης ποιους αριθμούς στη σειρά καταλαμβάνουν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το ποσό που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Θα αποδειχθεί:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή η τιμή θα μπορούσε να ληφθεί διαφορετικά: πρώτα βρείτε το άθροισμα των πρώτων 12 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο, στη συνέχεια υπολογίστε το άθροισμα των πρώτων 4 στοιχείων χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο και, στη συνέχεια, αφαιρέστε το δεύτερο από το πρώτο άθροισμα.
Άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από βασικό έως αρκετά συμπαγές.
Αρχικά, ας κατανοήσουμε την έννοια και τον τύπο του ποσού. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του ποσού είναι τόσο απλή όσο ένα μουγκ. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, πρέπει απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλους τους όρους της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτή την περίπτωση, η φόρμουλα έρχεται να σώσει.
Ο τύπος για το ποσό είναι απλός:
Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολύ τα πράγματα.
S n - το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης καθέναςμέλη, με πρώταΜε τελευταίος.Αυτό είναι σημαντικό. Ακριβώς αθροίζονται Ολοιμέλη στη σειρά, χωρίς παράλειψη ή παράλειψη. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος από τον πέμπτο έως τον εικοστό όρο, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα απογοητεύσει.)
α 1 - πρώταμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.
a n- τελευταίομέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά όταν εφαρμόζεται στο ποσό, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.
n - αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των προστιθέμενων όρων.
Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Δύσκολη ερώτηση: ποιο μέλος θα είναι το τελευταίοαν δοθεί ατέλειωτοςαριθμητική πρόοδος;)
Για να απαντήσετε με σιγουριά, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)
Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα τελικό, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία αν δίνεται η πρόοδος: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: μια σειρά αριθμών ή ένας τύπος για τον nο όρο.
Το πιο σημαντικό είναι να καταλάβουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός των πρώτων αυτών μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Σε μια εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι... Αλλά δεν πειράζει, στα παρακάτω παραδείγματα αποκαλύπτουμε αυτά τα μυστικά.)
Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.
Προπαντός, χρήσιμες πληροφορίες:
Η κύρια δυσκολία σε εργασίες που περιλαμβάνουν το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι σωστός ορισμόςστοιχεία του τύπου.
Οι συντάκτες εργασιών κρυπτογραφούν αυτά ακριβώς τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας δούμε μερικά παραδείγματα αναλυτικά. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.
1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων του.
Επιτυχία. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο μέλος α 1, τελευταία θητεία a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους n.
Πού μπορώ να βρω τον αριθμό του τελευταίου μέλους; n? Ναι, εκεί, υπό όρους! Λέει: βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, με ποιο νούμερο θα είναι; τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nΘα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, και αντ' αυτού n- δέκα. Επαναλαμβάνω, ο αριθμός του τελευταίου μέλους συμπίπτει με τον αριθμό των μελών.
Μένει να καθοριστεί α 1Και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό; Παρακολουθήστε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό δεν υπάρχει τρόπος.
α 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
ένα 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Το μόνο που μένει είναι να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:
Αυτό είναι όλο. Απάντηση: 75.
Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:
2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 = 2,3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων του.
Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:
Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε όρου με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία στον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:
Απάντηση: 423.
Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο του αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαθιστούμε τον τύπο για τον nο όρο και παίρνουμε:
Ας παρουσιάσουμε παρόμοια και ας λάβουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των όρων μιας αριθμητικής προόδου:
 |
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν απαιτείται εδώ η θητεία a n. Σε ορισμένα προβλήματα αυτή η φόρμουλα βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτή τη φόρμουλα. Ή μπορείτε απλά να το εμφανίσετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, πρέπει πάντα να θυμάστε τον τύπο για το άθροισμα και τον τύπο για τον nο όρο.)
Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):
3. Βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιους αριθμούς, πολλαπλάσια των τριών.
Εκπληκτική επιτυχία! Ούτε το πρώτο σου μέλος, ούτε το τελευταίο σου, ούτε η εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;
Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε όλα τα στοιχεία του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου από τη συνθήκη. Γνωρίζουμε τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα είναι πρώτα? 10, πιθανώς.) Α τελευταίοςδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Θα τον ακολουθήσουν οι τριψήφιοι...
Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Σίγουρα! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά αυστηρά τρία. Εάν προσθέσετε 2 ή 4 σε έναν όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ο νέος αριθμός δεν διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου: d = 3.Θα σου φανεί χρήσιμο!)
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:
Ποιος θα είναι ο αριθμός; nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος... Οι αριθμοί πηγαίνουν πάντα στη σειρά, αλλά τα μέλη μας ξεπερνούν τα τρία. Δεν ταιριάζουν.
Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να γράψετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των μελών με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Αν εφαρμόσουμε τον τύπο στο πρόβλημά μας, βρίσκουμε ότι το 99 είναι ο τριακοστός όρος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.
Ας δούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:
Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε από τη δήλωση προβλήματος όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού:
α 1= 12.
ένα 30= 99.
S n = S 30.
Το μόνο που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαθιστούμε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίζουμε:
Απάντηση: 1665
Ένας άλλος τύπος δημοφιλούς παζλ:
4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Βρείτε το άθροισμα των όρων από το εικοστό έως το τριάντα τέσσερα.
Κοιτάμε τον τύπο για το ποσό και... στενοχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το ποσό από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.
Μπορείτε, φυσικά, να γράψετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να προσθέσετε όρους από 20 έως 34. Αλλά... είναι κάπως ανόητο και παίρνει πολύ χρόνο, σωστά;)
Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα είναι από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Δεύτερο μέρος - από είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε με το άθροισμα των όρων του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Τοιουτοτροπώς:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Από αυτό μπορούμε να δούμε ότι βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ας ξεκινήσουμε;
Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από τη δήλωση προβλήματος:
d = 1,5.
α 1= -21,5.
Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τα υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο για τον nο όρο, όπως στο πρόβλημα 2:
ένα 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
ένα 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Δεν μένει τίποτα. Από το άθροισμα των 34 όρων αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Απάντηση: 262,5
Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει ένα πολύ χρήσιμο κόλπο για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε κάτι που δεν φαίνεται να χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το ολοκληρωμένο αποτέλεσμα. Αυτό το είδος "προσποιήσεις με τα αυτιά σας" συχνά σας σώζει από κακά προβλήματα.)
Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)
Όταν επιλύετε οποιοδήποτε πρόβλημα που περιλαμβάνει το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.
Τύπος για το nο τρίμηνο:
Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε και προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.
Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.
5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.
Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.
6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων του.
Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τη σύνδεση, τέτοια προβλήματα βρίσκονται συχνά στην Κρατική Ακαδημία Επιστημών.
7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να δώσω στο αγαπημένο μου πρόσωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και κάθε επόμενη μέρα ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;
Δύσκολο;) Ένας επιπλέον τύπος από την εργασία 2 θα σας βοηθήσει.
Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
