Το μάθημα βίντεο "Περιοδικότητα συναρτήσεων y \u003d sin x, y \u003d cos x" αποκαλύπτει την έννοια της περιοδικότητας μιας συνάρτησης, εξετάζει μια περιγραφή παραδειγμάτων επίλυσης προβλημάτων που χρησιμοποιούν την έννοια της περιοδικότητας μιας συνάρτησης. Αυτό το βίντεο μάθημα είναι ένα οπτικό βοήθημα για την εξήγηση του θέματος στους μαθητές. Επίσης, αυτό το εγχειρίδιο μπορεί να γίνει ανεξάρτητο μέρος του μαθήματος, απελευθερώνοντας τον δάσκαλο για ατομική εργασία με μαθητές.
Η ορατότητα στην παρουσίαση αυτού του θέματος είναι πολύ σημαντική. Για να αναπαραστήσουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης, σχεδιάζοντας, πρέπει να οπτικοποιηθεί. Δεν είναι πάντα δυνατό να γίνουν κατασκευές χρησιμοποιώντας μαυροπίνακα και κιμωλία ώστε να είναι κατανοητές σε όλους τους μαθητές. Στο εκπαιδευτικό βίντεο, είναι δυνατό, κατά την κατασκευή, να επισημάνετε με χρώμα μέρη της εικόνας, να εκτελέσετε μετασχηματισμούς χρησιμοποιώντας κινούμενα σχέδια. Έτσι, οι κατασκευές γίνονται πιο κατανοητές στους περισσότερους μαθητές. Επίσης, οι δυνατότητες του βιντεομαθήματος συμβάλλουν στην καλύτερη απομνημόνευση της ύλης.
Η επίδειξη ξεκινάει εισάγοντας το θέμα του μαθήματος, καθώς και υπενθυμίζοντας στους μαθητές το υλικό που έμαθαν στα προηγούμενα μαθήματα. Συγκεκριμένα, συνοψίζεται η λίστα των ιδιοτήτων που έχουν εντοπιστεί στις συναρτήσεις y = sin x, καθώς και y = cos x. Μεταξύ των ιδιοτήτων των υπό εξέταση συναρτήσεων, σημειώνεται ο τομέας ορισμού, το εύρος τιμών, η ομοιότητα (περίεργο), άλλα χαρακτηριστικά - περιορισμός, μονοτονία, συνέχεια, σημεία της μικρότερης (μεγαλύτερης) τιμής. Οι μαθητές ενημερώνονται ότι σε αυτό το μάθημα μελετάται μια ακόμη ιδιότητα μιας συνάρτησης - η περιοδικότητα.
Παρουσιάζεται ο ορισμός μιας περιοδικής συνάρτησης y=f(x), όπου xϵX, στην οποία η συνθήκη f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) ικανοποιείται για κάποια Т≠0. Διαφορετικά, ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Για τις συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς υπό εξέταση, η εκπλήρωση της συνθήκης ελέγχεται χρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής. Είναι προφανές ότι η μορφή της ταυτότητας sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) αντιστοιχεί στη μορφή της έκφρασης που ορίζει την προϋπόθεση για την περιοδικότητα της συνάρτησης. Η ίδια ισότητα μπορεί να σημειωθεί για το συνημίτονο cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Επομένως, αυτές οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές.
Σημειώνεται περαιτέρω πώς η ιδιότητα περιοδικότητας βοηθά στην γραφική παράσταση περιοδικών συναρτήσεων. Η συνάρτηση y \u003d sin x θεωρείται. Στην οθόνη είναι χτισμένο ένα επίπεδο συντεταγμένων, στο οποίο σημειώνονται τετμημένα από -6π έως 8π με βήμα π. Ένα μέρος του ημιτονογράφου σχεδιάζεται στο επίπεδο, που αντιπροσωπεύεται από ένα κύμα στο τμήμα. Το σχήμα δείχνει πώς σχηματίζεται το γράφημα της συνάρτησης σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα και λαμβάνοντας ένα μακρύ ημιτονοειδές.
Ένα γράφημα της συνάρτησης y \u003d cos x κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της περιοδικότητάς της. Για να γίνει αυτό, δημιουργείται ένα επίπεδο συντεταγμένων στο σχήμα, στο οποίο απεικονίζεται ένα τμήμα του γραφήματος. Σημειώνεται ότι συνήθως ένα τέτοιο θραύσμα χτίζεται στο διάστημα [-π/2;3π/2]. Παρόμοια με το γράφημα της ημιτονοειδούς συνάρτησης, η κατασκευή του γραφήματος συνημιτόνου πραγματοποιείται με μετατόπιση του θραύσματος. Ως αποτέλεσμα της κατασκευής, σχηματίζεται ένα μακρύ ημιτονοειδές.
Η σχεδίαση μιας περιοδικής συνάρτησης έχει χαρακτηριστικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Επομένως, δίνονται σε γενικευμένη μορφή. Σημειώνεται ότι για τη δημιουργία γραφήματος μιας τέτοιας συνάρτησης, πρώτα χτίζεται ένας κλάδος του γραφήματος σε ένα ορισμένο διάστημα μήκους T. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να μετατοπιστεί ο κατασκευασμένος κλάδος δεξιά και αριστερά κατά T, 2T, 3T, και τα λοιπά. Ταυτόχρονα, επισημαίνεται ένα ακόμη χαρακτηριστικό της περιόδου - για κάθε ακέραιο k≠0, ο αριθμός kT είναι και η περίοδος της συνάρτησης. Ωστόσο, η Τ ονομάζεται κύρια περίοδος, αφού είναι η μικρότερη από όλες. Για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημιτόνου και συνημιτόνου, η κύρια περίοδος είναι 2π. Περίοδοι όμως είναι και τα 4π, 6π κ.λπ.
Επιπλέον, προτείνεται να εξεταστεί το ενδεχόμενο εύρεσης της κύριας περιόδου της συνάρτησης y \u003d cos 5x. Η λύση ξεκινά με την υπόθεση ότι T είναι η περίοδος της συνάρτησης. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να εκπληρωθεί η συνθήκη f(x-T)= f(x)= f(x+T). Σε αυτήν την ταυτότητα, f (x) \u003d cos 5x και f (x + T) \u003d cos 5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T). Σε αυτήν την περίπτωση, cos (5x + 5T) \u003d cos 5x, επομένως 5T \u003d 2πn. Τώρα μπορούμε να βρούμε Τ=2π/5. Το πρόβλημα λύθηκε.
Στη δεύτερη εργασία, είναι απαραίτητο να βρεθεί η κύρια περίοδος της συνάρτησης y=sin(2x/7). Υποτίθεται ότι η κύρια περίοδος της συνάρτησης T. για αυτή τη συνάρτηση f(x)= sin(2x/7), και μετά την περίοδο f(x+T)=sin(2x/7)(x+T)= sin(2x/7 +(2/7)T). μετά τη μείωση παίρνουμε (2/7)Т=2πn. Ωστόσο, πρέπει να βρούμε την κύρια περίοδο, οπότε παίρνουμε τη μικρότερη τιμή (2/7)T=2π, από την οποία βρίσκουμε T=7π. Το πρόβλημα λύθηκε.
Στο τέλος της επίδειξης, τα αποτελέσματα των παραδειγμάτων συνοψίζονται, διαμορφώνοντας έναν κανόνα για τον προσδιορισμό της κύριας περιόδου της συνάρτησης. Σημειώνεται ότι για τις συναρτήσεις y=sinkx και y=coskx οι κύριες περίοδοι είναι 2π/k.
Το μάθημα βίντεο "Περιοδικότητα των συναρτήσεων y \u003d sin x, y \u003d cos x" μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα παραδοσιακό μάθημα μαθηματικών για να αυξήσει την αποτελεσματικότητα του μαθήματος. Επίσης, αυτό το υλικό συνιστάται να χρησιμοποιείται από δάσκαλο που παρέχει εξ αποστάσεως εκπαίδευση για να αυξήσει τη σαφήνεια της εξήγησης. Το βίντεο μπορεί να προταθεί στον καθυστερημένο μαθητή για να εμβαθύνει την κατανόηση του θέματος.
ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:
«Περιοδικότητα συναρτήσεων y = cos x, y = sin x».
Για να σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις y = sin x και y = cos x, χρησιμοποιήθηκαν οι ιδιότητες των συναρτήσεων:
1 πεδίο εφαρμογής,
Περιοχή 2 αξίας,
3 ζυγός ή περιττός,
4 μονοτονία,
5 περιορισμός,
6 συνέχεια,
7 μεγαλύτερη και μικρότερη τιμή.
Σήμερα θα μελετήσουμε μια ακόμη ιδιότητα: την περιοδικότητα μιας συνάρτησης.
ΟΡΙΣΜΟΣ. Η συνάρτηση y \u003d f (x), όπου x ϵ X (y ισούται με eff από το x, όπου το x ανήκει στο σύνολο x), ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός T τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από το σύνολο X η διπλή ισότητα είναι αληθής: f (x - T) \u003d f (x) \u003d f (x + T) (ef από x μείον te ισούται με ef από x και ισούται με ef από x συν te ). Ο αριθμός Τ που ικανοποιεί αυτή τη διπλή ισότητα ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης
Και επειδή το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται σε ολόκληρη την αριθμητική ευθεία και για κάθε x ικανοποιούνται οι ισότητες sin (x - 2π) = sin x = sin (x + 2π) (το ημίτονο του x μείον δύο pi είναι ίσο με το ημίτονο του x και ισούται με το ημίτονο του x συν δύο pi ) και
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (το συνημίτονο του x μείον δύο pi είναι ίσο με το συνημίτονο του x και είναι ίσο με το συνημίτονο του x συν δύο pi), τότε το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο 2π.
Η περιοδικότητα σάς επιτρέπει να σχεδιάσετε γρήγορα ένα γράφημα συνάρτησης. Πράγματι, για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση y \u003d sin x, αρκεί να σχεδιάσετε ένα κύμα (συνήθως σε ένα τμήμα (από μηδέν έως δύο pi) και στη συνέχεια μετατοπίζοντας το κατασκευασμένο τμήμα του γραφήματος κατά μήκος του άξονα της τετμημένης σε δεξιά και αριστερά κατά 2π, μετά κατά 4π και ούτω καθεξής για να λάβετε ένα ημιτονοειδές κύμα.
(εμφάνιση μετατόπισης αριστερά και δεξιά κατά 2π, 4π)
Ομοίως για το γράφημα της συνάρτησης
y \u003d cos x, μόνο που χτίζουμε ένα κύμα πιο συχνά στο τμήμα [; ] (από μείον pi επί δύο σε τρία pi επί δύο).
Ας συνοψίσουμε όσα ειπώθηκαν παραπάνω και ας βγάλουμε ένα συμπέρασμα: για να σχεδιάσετε ένα γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο T, πρέπει πρώτα να σχεδιάσετε έναν κλάδο (ή κύμα, ή μέρος) του γραφήματος σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους T (τις περισσότερες φορές αυτό είναι ένα διάστημα με άκρα στα σημεία 0 και T ή - και (μείον te κατά δύο και te κατά δύο), και στη συνέχεια μετακινήστε αυτόν τον κλάδο κατά μήκος του άξονα x (x) δεξιά και αριστερά κατά T, 2T, 3T, κ.λπ. .
Προφανώς, εάν η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο T, τότε για οποιονδήποτε ακέραιο k0 (ka όχι ίσο με μηδέν) ο αριθμός της μορφής kT(ka te) είναι και η περίοδος αυτής της συνάρτησης. Συνήθως προσπαθούν να απομονώσουν τη μικρότερη θετική περίοδο, η οποία ονομάζεται κύρια περίοδος.
Ως περίοδος των συναρτήσεων y \u003d cos x, y \u003d sin x, θα μπορούσε κανείς να πάρει - 4π, 4π, - 6π, 6π, κ.λπ. (μείον τέσσερα pi, τέσσερα pi, μείον έξι pi, έξι pi, κ.λπ. επί). Όμως ο αριθμός 2π είναι η κύρια περίοδος και των δύο συναρτήσεων.
Εξετάστε παραδείγματα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης y \u003d cos5x (y είναι ίσο με το συνημίτονο του πέντε x).
Λύση. Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y = cos5x. Ας βάλουμε
f (x) \u003d cos5x, μετά f (x + T) \u003d cos5 (x + T) \u003d cos (5x + 5T) (ef από το x συν te ισούται με το συνημίτονο πέντε φορές το άθροισμα του x και το te είναι ίσο με το συνημίτονο του αθροίσματος πέντε x και πέντε te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Ως εκ τούτου, 5Т= 2πn (το πέντε te ισούται με δύο pi en), αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε την κύρια περίοδο, που σημαίνει 5Τ= 2π. Παίρνουμε T=
(η περίοδος αυτής της συνάρτησης είναι δύο pi διαιρούμενα με πέντε).
Απάντηση: Τ=.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2. Βρείτε την κύρια περίοδο της συνάρτησης y \u003d sin (y είναι ίσο με το ημίτονο του πηλίκου δύο x επί επτά).
Λύση. Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y \u003d sin. Ας βάλουμε
f (x) \u003d sin, μετά f (x + T) \u003d sin (x + T) \u003d sin (x + T) (ef από το x συν te ισούται με το ημίτονο του γινομένου των δύο έβδομων και του άθροισμα των x και te είναι ίσο με το ημίτονο του αθροίσματος δύο έβδομων x και δύο έβδομων te).
Για να είναι ο αριθμός T η περίοδος της συνάρτησης, πρέπει να ικανοποιείται η ταυτότητα
αμαρτία (x + T) \u003d αμαρτία. Ως εκ τούτου, T= 2πn (δύο έβδομα te είναι ίσα με δύο pi en), αλλά σύμφωνα με την προϋπόθεση, πρέπει να βρείτε την κύρια περίοδο, που σημαίνει T= 2π. Παίρνουμε T=7
(η περίοδος αυτής της συνάρτησης είναι επτά pi).
Απάντηση: Τ=7.
Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα που λήφθηκαν στα παραδείγματα, μπορούμε να συμπεράνουμε: η κύρια περίοδος των συναρτήσεων y \u003d sin kx ή y \u003d cos kx (y ισούται με ημίτονο ka x ή y ισούται με συνημίτονο ka x) είναι ίση με ( δύο π διαιρούμενα με κα).
Το όρισμα x, τότε λέγεται περιοδικό αν υπάρχει ένας αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x F(x + T) = F(x). Αυτός ο αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης.
Μπορεί να υπάρχουν αρκετές περίοδοι. Για παράδειγμα, η συνάρτηση F = const παίρνει την ίδια τιμή για οποιεσδήποτε τιμές του ορίσματος, και επομένως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί περίοδος του.
Συνήθως ενδιαφέρεται για τη μικρότερη μη μηδενική περίοδο της συνάρτησης. Για συντομία, ονομάζεται απλώς περίοδος.
Ένα κλασικό παράδειγμα περιοδικών συναρτήσεων είναι οι τριγωνομετρικές: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η περίοδός τους είναι ίδια και ίση με 2π, δηλαδή sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) κ.ο.κ. Ωστόσο, φυσικά, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν είναι οι μόνες περιοδικές.
Όσον αφορά τις απλές, βασικές συναρτήσεις, ο μόνος τρόπος για να διαπιστωθεί η περιοδικότητα ή η μη περιοδικότητά τους είναι μέσω υπολογισμών. Αλλά για πολύπλοκες λειτουργίες, υπάρχουν ήδη κάποιοι απλοί κανόνες.
Εάν η F(x) είναι με περίοδο T και ορίζεται μια παράγωγος για αυτήν, τότε αυτή η παράγωγος f(x) = F′(x) είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T. Εξάλλου, η τιμή της παραγώγου στο Το σημείο x είναι ίσο με την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης του αντιπαραγώγου του σε αυτό το σημείο στον άξονα x, και εφόσον το αντιπαράγωγο επαναλαμβάνεται περιοδικά, η παράγωγος πρέπει επίσης να επαναλαμβάνεται. Για παράδειγμα, η παράγωγος της συνάρτησης sin(x) είναι cos(x) και είναι περιοδική. Λαμβάνοντας την παράγωγο του cos(x) σας δίνει -sin(x). Η περιοδικότητα παραμένει αμετάβλητη.
Ωστόσο, το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Έτσι, η συνάρτηση f(x) = const είναι περιοδική, αλλά η αντιπαράγωγός της F(x) = const*x + C δεν είναι.
Αν η F(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο T, τότε G(x) = a*F(kx + b), όπου τα a, b και k είναι σταθερές και το k δεν είναι ίσο με μηδέν - επίσης περιοδική συνάρτηση, και η περίοδος του είναι ίση με Τ/κ. Για παράδειγμα το sin(2x) είναι μια περιοδική συνάρτηση και η περίοδος της είναι π. Οπτικά, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: πολλαπλασιάζοντας το x με κάποιο αριθμό, φαίνεται να συμπιέζετε το γράφημα της συνάρτησης οριζόντια ακριβώς τόσες φορές
Αν οι F1(x) και F2(x) είναι περιοδικές συναρτήσεις και οι περίοδοι τους είναι ίσες με T1 και T2, αντίστοιχα, τότε το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων μπορεί επίσης να είναι περιοδικό. Ωστόσο, η περίοδός του δεν θα είναι ένα απλό άθροισμα των περιόδων Τ1 και Τ2. Εάν το αποτέλεσμα της διαίρεσης των T1/T2 είναι ρητός αριθμός, τότε το άθροισμα των συναρτήσεων είναι περιοδικό και η περίοδος του είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των περιόδων T1 και T2. Για παράδειγμα, εάν η περίοδος της πρώτης συνάρτησης είναι 12 και η περίοδος της δεύτερης είναι 15, τότε η περίοδος του αθροίσματος τους θα είναι LCM (12, 15) = 60.
Αυτό μπορεί να απεικονιστεί ως εξής: οι συναρτήσεις έρχονται με διαφορετικά "πλάτη βημάτων", αλλά εάν η αναλογία των πλατών τους είναι ορθολογική, τότε αργά ή γρήγορα (ή μάλλον, ακριβώς μέσω του LCM των βημάτων), θα γίνουν ξανά ίσες και το άθροισμά τους θα ξεκινήσει μια νέα περίοδο.
Ωστόσο, εάν ο λόγος των περιόδων είναι παράλογος, τότε η συνολική συνάρτηση δεν θα είναι καθόλου περιοδική. Για παράδειγμα, έστω F1(x) = x mod 2 (το υπόλοιπο του x διαιρούμενο με 2) και F2(x) = sin(x). Το T1 εδώ θα είναι ίσο με 2 και το T2 είναι ίσο με 2π. Ο λόγος των περιόδων είναι ίσος με π - ένας παράλογος αριθμός. Επομένως, η συνάρτηση sin(x) + x mod 2 δεν είναι περιοδική.
>> Περιοδικότητα συναρτήσεων y = sin x, y = cos x
§ 11. Περιοδικότητα των συναρτήσεων y \u003d sin x, y \u003d cos x
Στις προηγούμενες παραγράφους, χρησιμοποιήσαμε επτά ιδιότητες λειτουργίες: τομέας, άρτιος ή περιττός, μονοτονία, περιορισμός, μέγιστες και ελάχιστες τιμές, συνέχεια, εύρος συναρτήσεων. Χρησιμοποιήσαμε αυτές τις ιδιότητες είτε για να κατασκευάσουμε το γράφημα συνάρτησης (όπως ήταν, για παράδειγμα, στην § 9), είτε για να διαβάσουμε το κατασκευασμένο γράφημα (όπως ήταν, για παράδειγμα, στην § 10). Τώρα έχει έρθει μια ευνοϊκή στιγμή για να εισαγάγουμε μια ακόμη (όγδοη) ιδιότητα των συναρτήσεων, η οποία είναι τέλεια ορατή στην παραπάνω κατασκευή διαγράμματασυναρτήσεις y \u003d sin x (βλ. Εικ. 37), y \u003d cos x (βλ. Εικ. 41).
Ορισμός.Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική αν υπάρχει ένας μη μηδενικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε x από τα σύνολα, το διπλάσιο ισότητα:
Ο αριθμός T που ικανοποιεί την υποδεικνυόμενη συνθήκη ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης y \u003d f (x).
Συνεπάγεται ότι, εφόσον για οποιοδήποτε x, οι ισότητες είναι αληθείς:
τότε οι συναρτήσεις y \u003d sin x, y \u003d cos x είναι περιοδικές και ο αριθμός 2 Πχρησιμεύει ως περίοδος και των δύο συναρτήσεων.
Η περιοδικότητα μιας συνάρτησης είναι η υποσχόμενη όγδοη ιδιότητα των συναρτήσεων.
Τώρα κοιτάξτε το γράφημα της συνάρτησης y \u003d sin x (Εικ. 37). Για την κατασκευή ενός ημιτονοειδούς, αρκεί να δημιουργήσουμε ένα από τα κύματα του (σε ένα τμήμα και μετά να μετατοπίσουμε αυτό το κύμα κατά μήκος του άξονα x κατά. Ως αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας ένα κύμα, θα κατασκευάσουμε ολόκληρο το γράφημα.
Ας δούμε από την ίδια οπτική γωνία το γράφημα της συνάρτησης y \u003d cos x (Εικ. 41). Βλέπουμε ότι και εδώ, για να σχεδιάσουμε ένα γράφημα, αρκεί πρώτα να σχεδιάσουμε ένα κύμα (για παράδειγμα, στο τμήμα
Και μετά μετακινήστε το κατά μήκος του άξονα x κατά
Συνοψίζοντας, καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα.
Εάν η συνάρτηση y \u003d f (x) έχει περίοδο T, τότε για να σχεδιάσετε το γράφημα της συνάρτησης, πρέπει πρώτα να σχεδιάσετε έναν κλάδο (κύμα, μέρος) του γραφήματος σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους T (τις περισσότερες φορές παίρνουν ένα διάστημα με άκρα σε σημεία και στη συνέχεια μετατοπίστε αυτόν τον κλάδο κατά μήκος του άξονα x προς τα δεξιά και αριστερά σε T, 2T, ZT, κ.λπ.
Μια περιοδική συνάρτηση έχει άπειρες περιόδους: εάν το T είναι περίοδος, τότε το 2T είναι περίοδος και το 3T είναι περίοδος και -T είναι περίοδος. γενικά, περίοδος είναι οποιοσδήποτε αριθμός της μορφής KT, όπου k \u003d ± 1, ± 2, ± 3 ... Συνήθως, αν είναι δυνατόν, προσπαθούν να ξεχωρίσουν τη μικρότερη θετική περίοδο, που ονομάζεται κύρια περίοδος.
Έτσι, οποιοσδήποτε αριθμός της μορφής 2pc, όπου k \u003d ± 1, ± 2, ± 3, είναι η περίοδος των συναρτήσεων y \u003d sinn x, y \u003d cos x; Το 2p είναι η κύρια περίοδος και των δύο συναρτήσεων.
Παράδειγμα.Βρείτε την κύρια περίοδο μιας συνάρτησης:
ένα)Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y \u003d sin x. Ας βάλουμε
Για να είναι ο αριθμός Τ η περίοδος της συνάρτησης, πρέπει να ισχύει η ταυτότητα Ho, αφού μιλάμε για εύρεση της κύριας περιόδου, παίρνουμε
σι)Έστω T η κύρια περίοδος της συνάρτησης y = cos 0,5x. Έστω f(x)=cos 0,5x. Στη συνέχεια, f (x + T) \u003d cos 0,5 (x + T) \u003d cos (0,5x + 0,5 T).
Για να είναι ο αριθμός T η περίοδος της συνάρτησης, πρέπει να ικανοποιείται η ταυτότητα cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.
Άρα, 0,5t = 2pp. Όμως, εφόσον μιλάμε για εύρεση της κύριας περιόδου, παίρνουμε 0,5T = 2 l, T = 4l.
Η γενίκευση των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται στο παράδειγμα είναι η ακόλουθη δήλωση: η κύρια περίοδος της συνάρτησης 
Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra Βαθμός 10
Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, κόμικ, παραβολές, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περίεργες κούνιες σχολικά βιβλία βασικά και επιπλέον γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός κομματιού στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος μεθοδολογικές συστάσεις του προγράμματος συζήτησης Ολοκληρωμένα ΜαθήματαΤον Ιούλιο του 2020, η NASA ξεκινά μια αποστολή στον Άρη. Το διαστημόπλοιο θα παραδώσει στον Άρη έναν ηλεκτρονικό φορέα με τα ονόματα όλων των εγγεγραμμένων μελών της αποστολής.
Οι εγγραφές των συμμετεχόντων είναι ανοιχτές. Πάρτε το εισιτήριό σας για τον Άρη σε αυτόν τον σύνδεσμο.
Εάν αυτή η ανάρτηση έλυσε το πρόβλημά σας ή απλά σας άρεσε, μοιραστείτε τον σύνδεσμο με τους φίλους σας στα κοινωνικά δίκτυα.
Μία από αυτές τις επιλογές κώδικα πρέπει να αντιγραφεί και να επικολληθεί στον κώδικα της ιστοσελίδας σας, κατά προτίμηση μεταξύ ετικετών
καιή αμέσως μετά την ετικέτα . Σύμφωνα με την πρώτη επιλογή, το MathJax φορτώνει πιο γρήγορα και επιβραδύνει λιγότερο τη σελίδα. Αλλά η δεύτερη επιλογή παρακολουθεί και φορτώνει αυτόματα τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του MathJax. Εάν εισάγετε τον πρώτο κωδικό, τότε θα πρέπει να ενημερώνεται περιοδικά. Εάν επικολλήσετε τον δεύτερο κώδικα, τότε οι σελίδες θα φορτωθούν πιο αργά, αλλά δεν θα χρειάζεται να παρακολουθείτε συνεχώς τις ενημερώσεις του MathJax.Ο ευκολότερος τρόπος σύνδεσης του MathJax είναι στο Blogger ή στο WordPress: στον πίνακα ελέγχου του ιστότοπου, προσθέστε ένα γραφικό στοιχείο σχεδιασμένο για την εισαγωγή κώδικα JavaScript τρίτων, αντιγράψτε την πρώτη ή τη δεύτερη έκδοση του κώδικα φόρτωσης που παρουσιάζεται παραπάνω σε αυτό και τοποθετήστε το γραφικό στοιχείο πιο κοντά στην αρχή του προτύπου (παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι καθόλου απαραίτητο, καθώς το σενάριο MathJax φορτώνεται ασύγχρονα). Αυτό είναι όλο. Τώρα μάθετε τη σύνταξη σήμανσης MathML, LaTeX και ASCIIMathML και είστε έτοιμοι να ενσωματώσετε μαθηματικούς τύπους στις ιστοσελίδες σας.
Άλλο ένα ρεβεγιόν... παγωμένος καιρός και νιφάδες χιονιού στο τζάμι... Όλα αυτά με ώθησαν να γράψω ξανά για τα... φράκταλ, και τι ξέρει ο Wolfram Alpha γι' αυτό. Με αυτή την ευκαιρία, υπάρχει ένα ενδιαφέρον άρθρο στο οποίο υπάρχουν παραδείγματα δισδιάστατων φράκταλ δομών. Εδώ θα εξετάσουμε πιο περίπλοκα παραδείγματα τρισδιάστατων φράκταλ.
Ένα φράκταλ μπορεί να αναπαρασταθεί (περιγραφεί) οπτικά ως ένα γεωμετρικό σχήμα ή σώμα (που σημαίνει ότι και τα δύο είναι ένα σύνολο, σε αυτήν την περίπτωση, ένα σύνολο σημείων), οι λεπτομέρειες του οποίου έχουν το ίδιο σχήμα με το ίδιο το αρχικό σχήμα. Δηλαδή, είναι μια αυτο-όμοια δομή, λαμβάνοντας υπόψη τις λεπτομέρειες της οποίας, όταν μεγεθύνονται, θα δούμε το ίδιο σχήμα με χωρίς μεγέθυνση. Ενώ στην περίπτωση ενός συνηθισμένου γεωμετρικού σχήματος (όχι φράκταλ), όταν γίνει μεγέθυνση, θα δούμε λεπτομέρειες που έχουν απλούστερο σχήμα από το ίδιο το αρχικό σχήμα. Για παράδειγμα, σε αρκετά υψηλή μεγέθυνση, μέρος μιας έλλειψης μοιάζει με ευθύγραμμο τμήμα. Αυτό δεν συμβαίνει με τα φράκταλ: με οποιαδήποτε αύξηση τους, θα δούμε ξανά το ίδιο σύνθετο σχήμα, το οποίο με κάθε αύξηση θα επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά.
Ο Benoit Mandelbrot, ο ιδρυτής της επιστήμης των φράκταλ, στο άρθρο του Fractals and Art for Science έγραψε: "Τα φράκταλ είναι γεωμετρικά σχήματα που είναι τόσο περίπλοκα στις λεπτομέρειές τους όσο και στη συνολική τους μορφή. Δηλαδή, εάν μέρος της βούλησης φράκταλ να μεγεθύνεται στο μέγεθος του συνόλου, θα μοιάζει με ολόκληρο, ή ακριβώς, ή ίσως με μια μικρή παραμόρφωση.
