Για να εκφράσετε ένα μέρος ως κλάσμα του συνόλου, πρέπει να διαιρέσετε το μέρος με το σύνολο.
Εργασία 1.Υπάρχουν 30 μαθητές στην τάξη, τέσσερις αγνοούνται. Ποιο ποσοστό μαθητών λείπει;
Λύση:
Απάντηση:δεν υπάρχουν μαθητές στην τάξη.
Εύρεση κλάσματος από έναν αριθμό
Για την επίλυση προβλημάτων στα οποία απαιτείται να βρεθεί μέρος ενός συνόλου, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:
Εάν ένα μέρος του συνόλου εκφράζεται ως κλάσμα, τότε για να βρείτε αυτό το μέρος, μπορείτε να διαιρέσετε το σύνολο με τον παρονομαστή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμητή του.
Εργασία 1.Υπήρχαν 600 ρούβλια, αυτό το ποσό δαπανήθηκε. Πόσα χρήματα έχετε ξοδέψει;
Λύση:για να βρείτε από 600 ρούβλια, πρέπει να διαιρέσετε αυτό το ποσό σε 4 μέρη, έτσι θα μάθουμε πόσα χρήματα είναι το ένα τέταρτο:
600: 4 = 150 (σελ.)
Απάντηση:ξόδεψε 150 ρούβλια.
Εργασία 2.Ήταν 1000 ρούβλια, αυτό το ποσό δαπανήθηκε. Πόσα χρήματα έχουν δαπανηθεί;
Λύση:Από την κατάσταση του προβλήματος, γνωρίζουμε ότι τα 1000 ρούβλια αποτελούνται από πέντε ίσα μέρη. Πρώτα βρίσκουμε πόσα ρούβλια είναι το ένα πέμπτο των 1000 και μετά ανακαλύπτουμε πόσα ρούβλια είναι τα δύο πέμπτα:
1) 1000: 5 = 200 (σ.) - το ένα πέμπτο.
2) 200 2 \u003d 400 (σελ.) - δύο πέμπτα.
Αυτές οι δύο ενέργειες μπορούν να συνδυαστούν: 1000: 5 2 = 400 (σελ.).
Απάντηση:Ξοδεύτηκαν 400 ρούβλια.
Ο δεύτερος τρόπος για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου:
Για να βρείτε ένα μέρος ενός συνόλου, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε το σύνολο με ένα κλάσμα που εκφράζει αυτό το μέρος του συνόλου.
Εργασία 3.Σύμφωνα με το καταστατικό του συνεταιρισμού, για την εγκυρότητα της απολογιστικής συνεδρίασης πρέπει να παρίστανται τουλάχιστον μέλη της οργάνωσης. Ο συνεταιρισμός αριθμεί 120 μέλη. Με ποια σύνθεση μπορεί να πραγματοποιηθεί η συνάντηση αναφοράς;
Λύση: 
Απάντηση:η συνάντηση αναφοράς μπορεί να πραγματοποιηθεί εάν υπάρχουν 80 μέλη της οργάνωσης.
Βρίσκοντας έναν αριθμό με το κλάσμα του
Για την επίλυση προβλημάτων στα οποία απαιτείται να βρεθεί το σύνολο από το μέρος του, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας:
Εάν ένα μέρος του επιθυμητού ακέραιου αριθμού εκφράζεται ως κλάσμα, τότε για να βρείτε αυτόν τον ακέραιο, μπορείτε να διαιρέσετε αυτό το μέρος με τον αριθμητή του κλάσματος και να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα με τον παρονομαστή του.
Εργασία 1.Ξοδέψαμε 50 ρούβλια, αυτό ανήλθε στο αρχικό ποσό. Βρείτε το αρχικό χρηματικό ποσό.
Λύση:από την περιγραφή του προβλήματος, βλέπουμε ότι τα 50 ρούβλια είναι 6 φορές λιγότερα από το αρχικό ποσό, δηλαδή το αρχικό ποσό είναι 6 φορές περισσότερο από 50 ρούβλια. Για να βρείτε αυτό το ποσό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 50 επί 6:
50 6 = 300 (r.)
Απάντηση:το αρχικό ποσό είναι 300 ρούβλια.
Εργασία 2.Ξοδέψαμε 600 ρούβλια, αυτό ήταν το αρχικό χρηματικό ποσό. Βρείτε το αρχικό ποσό.
Λύση:θα υποθέσουμε ότι ο επιθυμητός αριθμός αποτελείται από τρία τρίτα. Κατά συνθήκη, τα δύο τρίτα του αριθμού είναι ίσα με 600 ρούβλια. Πρώτα, βρίσκουμε το ένα τρίτο του αρχικού ποσού και, στη συνέχεια, πόσα ρούβλια είναι τα τρία τρίτα (αρχικό ποσό):
1) 600: 2 3 = 900 (σελ.)
Απάντηση:το αρχικό ποσό είναι 900 ρούβλια.
Ο δεύτερος τρόπος για να βρείτε το σύνολο από το μέρος του:
Για να βρείτε ένα σύνολο με την τιμή του μέρους του, μπορείτε να διαιρέσετε αυτήν την τιμή με ένα κλάσμα που εκφράζει αυτό το μέρος.
Εργασία 3.Ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, ίσο με 42 cm, είναι το μήκος του τμήματος CD. Βρείτε το μήκος ενός τμήματος CD.
Λύση: 
Απάντηση:μήκος τμήματος CD 70 εκ
Εργασία 4.Στο μαγαζί έφεραν καρπούζια. Πριν από το μεσημεριανό γεύμα, το κατάστημα πούλησε, μετά το μεσημεριανό - έφερε καρπούζια, και μένει να πουλήσει 80 καρπούζια. Πόσα καρπούζια έφεραν συνολικά στο κατάστημα;
Λύση:πρώτα, ανακαλύπτουμε ποιο μέρος των εισαγόμενων καρπουζιών είναι ο αριθμός 80. Για να γίνει αυτό, λαμβάνουμε ως μονάδα τον συνολικό αριθμό των εισαγόμενων καρπουζιών και αφαιρούμε από αυτόν τον αριθμό των καρπουζιών που καταφέραμε να πουλήσουμε (πουλήσουμε):
Και έτσι, μάθαμε ότι 80 καρπούζια είναι από το σύνολο των καρπουζιών που φέρθηκαν. Τώρα θα μάθουμε πόσα είναι τα καρπούζια της συνολικής ποσότητας και, στη συνέχεια, πόσα είναι τα καρπούζια (ο αριθμός των καρπουζιών που φέρθηκαν):
2) 80: 4 15 = 300 (καρπούζια)
Απάντηση:Συνολικά στο κατάστημα έφεραν 300 καρπούζια.
Περιεχόμενο μαθήματοςΠρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:
- Προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.
- Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Αρχικά, θα μελετήσουμε την πρόσθεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:
Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος ξεχωρίζει εύκολα - δύο διαιρούμενα με δύο θα είναι ένα:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:
Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .
Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:
Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.
Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.
Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.
Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι αναζητείται πρώτα (LCM) από τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.
Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και
Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6
LCM (2 και 3) = 6
Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.
Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.
Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:
Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:
Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).
Σημειώστε ότι έχουμε ζωγραφίσει αυτό το παράδειγμα με πάρα πολλές λεπτομέρειες. Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα δεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:
Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.
Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:
- Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
- Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
- Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
- Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
.
Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.
Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων
Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4
Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας
Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:
Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:
Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.
Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό
Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:
Πήρε μια απάντηση
Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:
- Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
- Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.
Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:
Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:
- Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
- Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.
Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12
LCM (3 και 4) = 12
Τώρα πίσω στα κλάσματα και
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:
Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:
Πήρε μια απάντηση
Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.
Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:
Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):
Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.
Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης 
Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.
Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.
Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.
Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:
Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:
Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:
Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.
Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο εύκολο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.
Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (gcd) τους αριθμούς 20 και 30.
Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:
Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με το 10
Πήρε μια απάντηση
Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό
Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1
Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα
Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:
Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.
Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:
Ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα και ο παρονομαστής του κλάσματος επιλύονται αν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του ενός.
Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.
Πρώτος τρόπος. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή του κλάσματος αμετάβλητος:
Δεύτερος τρόπος. Ο τετραπλασιασμός που πολλαπλασιάζεται και ο τετραπλασιασμός στον παρονομαστή του κλάσματος μπορούν να μειωθούν. Μπορείτε να μειώσετε αυτά τα τέσσερα κατά 4, αφού ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για δύο τέσσερα είναι το ίδιο το τέσσερα:
Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, στη θέση τους σχηματίζονται νέοι αριθμοί: δύο ένας. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός με ένα τριπλό και μετά η διαίρεση με ένα δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:
Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο του πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3, αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:
Αλλά για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε το 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο από ένα και, κατά συνέπεια, δεν μειώνονται.
Μερικοί μαθητές συντομεύουν κατά λάθος τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται και τον αριθμητή του κλάσματος. Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Για παράδειγμα, η ακόλουθη καταχώριση δεν είναι σωστή:
Η αναγωγή του κλάσματος συνεπάγεται ότι και αριθμητής και παρονομαστήςθα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Στην κατάσταση με την έκφραση, η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή, αφού η γραφή αυτού είναι ίδια με τη σύνταξη . Βλέπουμε ότι η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή και δεν γίνεται διαίρεση στον παρονομαστή.
Πολλαπλασιασμός κλασμάτων
Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.
Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.
Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:
Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:
Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:
Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:
Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:
Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι
Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:
Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης
Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:
Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.
Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:
Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD που βρήκαμε τώρα, δηλαδή, με το 15
Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος
Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα", και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:
Αντίστροφοι αριθμοί
Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».
Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει μια μονάδα.
Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:
Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.
Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:
Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:
Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:
Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.
Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.
Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.
Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό
Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:
Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόσες πίτσες θα πάρει ο καθένας;
Μπορεί να φανεί ότι μετά το χωρισμό της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.
Στόχοι μαθήματος:
- Να αναπτύξουν δεξιότητες σύγκρισης κλασμάτων,
- Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές,
- Να εμπεδώσουν τις γνώσεις για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου αριθμών.
Σήμερα στο μάθημα συνεχίζουμε να εργαζόμαστε με το θέμα "Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές".
Αυτό είναι ήδη το δεύτερο μάθημα του θέματος, θα αντιμετωπίσετε στόχος:
Εάν στο πρώτο μάθημα ασχοληθήκαμε με κλάσματα, στα οποία οι παρονομαστές είναι συμπρώτοι ή πολλαπλάσιο του άλλου, τότε σήμερα το έργο μας γίνεται πιο περίπλοκο, για ορισμένες περιπτώσεις θα πρέπει να βρούμε έναν κοινό παρονομαστή επεκτείνοντας τους παρονομαστές σε πρώτους παράγοντες σύμφωνα με στον κανόνα για την εύρεση του LCM.
Στο τέλος του μαθήματος, θα πρέπει να γνωρίζετε καλά τον κανόνα:
πώς να προσθέτετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές και να μπορείτε να εφαρμόζετε αυτόν τον κανόνα κατά την επίλυση προβλημάτων.
Μετά από 3 μαθήματα, θα γίνει ένα τεστ, στο οποίο θα υπάρχουν εργασίες που ελέγχουν πώς μάθατε το θέμα. Στη δοκιμή θα υπάρχουν 2 εργασίες για το θέμα μας: η τρίτη εργασία είναι να εκτελέσουμε την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και η τέταρτη εργασία: επίλυση του προβλήματος εφαρμογής του κανόνα. Έτσι, σήμερα εργαζόμαστε σε εργασίες για το πρότυπο.
1. α) Ας δουλέψουμε προφορικά.
| 42 | 48 | 6 |
| 36 | 54 | 12 |
| 30 | 24 | 18 |
Κοιτάξτε προσεκτικά αυτό το ορθογώνιο και προσπαθήστε να θυμηθείτε τη θέση των αριθμών, ίσως παρατηρήσετε κάποιο σχέδιο.
Τώρα προσπαθήστε να επαναφέρετε αυτούς τους αριθμούς στο προσχέδιο.
Ποιος θυμάται τους αριθμούς;
Πώς θα μπορούσατε να θυμάστε καλά τη θέση αυτών των αριθμών;
(Οι αριθμοί που είναι πολλαπλάσιοι του 6 είναι σε αύξουσα σειρά δεξιόστροφα, ξεκινώντας από το πάνω δεξιά ορθογώνιο)
Ας επαναλάβουμε τη σύγκριση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές και με ίσους αριθμητές.
Συγκρίνετε τα ακόλουθα κλάσματα: ; .
Τακτοποιήστε τα με αύξουσα σειρά.
β) Κοιτάξτε προσεκτικά την ακόλουθη σειρά αριθμών:
16, 10, 8, , 2007, 1961.
Πόσοι αριθμοί γράφονται;
Πόσοι ζυγοί αριθμοί; Ονόμασέ τους.
Ονομάστε τον τρίτο αριθμό.
Δεύτερος αριθμός από το τέλος.
Τριψήφιος αριθμός.
Ένας αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 5.
Πολλαπλάσια από 10
Πολλαπλά 3.
Πολλαπλάσιο του 9. Γιατί είναι διάσημος ο αριθμός 1961;
Ποιος αριθμός διαφέρει από τους υπόλοιπους, δηλαδή δεν χωράει σε μια σειρά αριθμών;
Είναι σωστό ή λάθος αυτό το κλάσμα;
Μειώσιμο ή μη αναγόμενο;
Μειώστε αυτό το κλάσμα.
2. Έλεγχος της εργασίας.
Πώς συγκρίνετε δύο κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Πώς προσθέτετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Πώς αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
Έχετε ερωτήσεις σχετικά με την εργασία; Έλεγχος γραμμής από δάσκαλο.
3. Εργασία με τον κανόνασύμφωνα με το σχολικό βιβλίο μετά από ανακριβείς απαντήσεις μαθητών.
Στα μαθηματικά, δεν μπορείτε να παραλείψετε μια λέξη σε ορισμένους κανόνες. Ο κοινός παρονομαστής και ο χαμηλότερος κοινός παρονομαστής δεν είναι πάντα το ίδιο.
Ακούστε την παραβολή ενός συγκεκριμένου δημάρχου.
Όταν δεν υπήρχε ακόμη ηλεκτρικό ρεύμα, ο δήμαρχος μιας πόλης άρεσε να περπατά στους δρόμους της πόλης το βράδυ. Μόλις έπεσε πάνω σε έναν κάτοικο της πόλης, ένα χτύπημα εμφανίστηκε στο μέτωπό του. την επομένη εξέδωσε διάταγμα: «Στο σκοτάδι βγες στο δρόμο με ένα φανάρι». Και το βράδυ έπεσε πάνω του ο ίδιος πολίτης. Ο δήμαρχος του ζήτησε ένα φανάρι.
Ορίστε, είπε ο περαστικός.
Πού είναι το κερί; ρώτησε ο δήμαρχος.
Και το διάταγμα δεν λέει ότι πρέπει να υπάρχει ένα κερί στο φανάρι, - απάντησε.
Ο δήμαρχος εξέδωσε ένα δεύτερο διάταγμα: «Στο σκοτάδι, βγείτε στο δρόμο με ένα φανάρι με ένα κερί».
Την τρίτη μέρα, η ιστορία επαναλήφθηκε.
Ο δήμαρχος έχει ήδη χάσει την ψυχραιμία του.
Πιστεύετε ότι ο περαστικός απάντησε στον δήμαρχο;
Η παραγγελία δεν λέει ότι πρέπει να ανάψει το κερί του φαναριού.
Ο δήμαρχος χρειάστηκε να εκδώσει διάταγμα για τρίτη φορά, μόνο μετά από αυτό ένας περαστικός τον άφησε μόνο του.
Το καθήκον μας είναι να γνωρίζουμε καλά τον κανόνα και να μπορούμε να τον εφαρμόζουμε. Για άλλη μια φορά, εργαζόμαστε σε ένα πρότυπο.
4. Άσκηση.
Λύστε τα παρακάτω παραδείγματα στον πίνακα όπως θέλετε.
Λύσατε παραδείγματα όπου οι παρονομαστές είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί και όταν ο μεγαλύτερος παρονομαστής είναι πολλαπλάσιο του μικρότερου.
Σε αυτό το μάθημα, θα λύσουμε πιο σύνθετες εργασίες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
Καταγράψτε την εργασία:
Εάν ο μαθητής αποφασίσει όπως αποφασίσαμε εμείς, τότε ξέρει καλά πώς να βρίσκει το LCM δύο αριθμών και ξέρει πώς να απομονώνει ένα ακέραιο μέρος από ένα ακατάλληλο κλάσμα, ξέρει ότι οι παρονομαστές δεν είναι συμπρώτοι αριθμοί.
Και αν ο μαθητής βρει έναν κοινό παρονομαστή πολλαπλασιάζοντας τους παρονομαστές, δείχνει άγνοια εύρεσης του LCM, δηλαδή των κανόνων: πώς να προσθέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Επομένως, πρώτα απ 'όλα, εάν οι παρονομαστές δεν είναι συμπρώτοι αριθμοί και δεν είναι πολλαπλάσια μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να βρεθεί το LCM των παρονομαστών.
Αρ. Αρ. είναι γραμμένα στον πίνακα, τα οποία πρέπει να λυθούν στην τάξη: 309 d - και, 328, 340 (επανάληψη)
μι) 
; εκτελέστε στο σανίδι
μι) 
; επανέλαβε τη μείωση του κλάσματος, αυτή η εργασία είναι στη δοκιμή, ελέγχει την αφομοίωση του προτύπου.
και) 
(από μόνος του)
η) 
; βρίσκουμε LCM(21,15) = 3*7*5 =105.
6. Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα Νο. 327.
7. Επανάληψη προηγουμένως μελετημένης ύλης. Νο. 340.
Μείωση κλασμάτων:
Υπάρχει επίσης μείωση των κλασμάτων στη δοκιμή, αυτό είναι ένα έργο για το πρότυπο.
8. Το αποτέλεσμα του μαθήματος.
α) Πώς προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;
β) Σήμανση.
γ) Εργασία για το σπίτι: στοιχείο 11,
Ενέργειες με κλάσματα.
Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")
Λοιπόν, τι είναι τα κλάσματα, τα είδη των κλασμάτων, οι μετασχηματισμοί - θυμηθήκαμε. Ας αντιμετωπίσουμε το κύριο ερώτημα.
Τι μπορείτε να κάνετε με τα κλάσματα;Ναι, όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς. Προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.
Όλες αυτές οι ενέργειες με δεκαδικόςΟι πράξεις με κλάσματα δεν διαφέρουν από τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, για αυτό είναι καλοί, δεκαδικοί. Το μόνο πράγμα είναι ότι πρέπει να βάλετε σωστά το κόμμα.
μικτούς αριθμούς, όπως είπα, είναι ελάχιστα χρήσιμα για τις περισσότερες ενέργειες. Πρέπει ακόμα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.
Και εδώ είναι οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματαθα είναι πιο έξυπνος. Και πολύ πιο σημαντικό! Να σας θυμίσω: όλες οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις με γράμματα, ημίτονο, άγνωστα και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα! Οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα είναι η βάση για όλη την άλγεβρα. Για αυτόν τον λόγο θα αναλύσουμε όλη αυτή την αριθμητική με μεγάλη λεπτομέρεια εδώ.
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.
Ο καθένας μπορεί να προσθέσει (αφαιρέσει) κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές (ελπίζω πραγματικά!). Λοιπόν, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι είμαι εντελώς ξεχασιάρης: κατά την πρόσθεση (αφαίρεση), ο παρονομαστής δεν αλλάζει. Οι αριθμητές προστίθενται (αφαιρούνται) για να δώσουν τον αριθμητή του αποτελέσματος. Τύπος:
Εν ολίγοις, σε γενικές γραμμές:
Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί; Έπειτα, χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα του κλάσματος (εδώ μας ήρθε ξανά!), κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους! Για παράδειγμα:
Εδώ έπρεπε να κάνουμε το κλάσμα 4/10 από το κλάσμα 2/5. Αποκλειστικά για να γίνουν οι παρονομαστές ίδιοι. Σημειώνω, για παν ενδεχόμενο, ότι 2/5 και 4/10 είναι το ίδιο κλάσμα! Μόνο τα 2/5 είναι άβολα για εμάς και τα 4/10 δεν είναι τίποτα.
Παρεμπιπτόντως, αυτή είναι η ουσία της επίλυσης οποιωνδήποτε εργασιών στα μαθηματικά. Όταν είμαστε έξω άβολοςεκφράσεις κάνουν το ίδιο, αλλά πιο βολικό στην επίλυση.
Ενα άλλο παράδειγμα:
Η κατάσταση είναι παρόμοια. Εδώ κάνουμε 48 στα 16. Με απλό πολλαπλασιασμό με το 3. Όλα αυτά είναι ξεκάθαρα. Εδώ όμως συναντάμε κάτι σαν:
Πώς να είσαι;! Είναι δύσκολο να βγάλεις εννιά στα επτά! Αλλά είμαστε έξυπνοι, ξέρουμε τους κανόνες! Ας μεταμορφωθούμε κάθεκλάσμα έτσι ώστε οι παρονομαστές να είναι ίδιοι. Αυτό ονομάζεται "αναγωγή σε κοινό παρονομαστή":
Πως! Πώς ήξερα για το 63; Πολύ απλό! Το 63 είναι ένας αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με το 7 και το 9 ταυτόχρονα. Ένας τέτοιος αριθμός μπορεί πάντα να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τους παρονομαστές. Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 7, για παράδειγμα, τότε το αποτέλεσμα σίγουρα θα διαιρεθεί με το 7!
Εάν χρειάζεται να προσθέσετε (αφαιρέσετε) πολλά κλάσματα, δεν χρειάζεται να το κάνετε σε ζευγάρια, βήμα προς βήμα. Απλά πρέπει να βρείτε τον παρονομαστή που είναι κοινός για όλα τα κλάσματα και να φέρετε κάθε κλάσμα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα:
Και ποιος θα είναι ο κοινός παρονομαστής; Μπορείτε, φυσικά, να πολλαπλασιάσετε το 2, το 4, το 8 και το 16. Παίρνουμε 1024. Εφιάλτης. Είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε ότι ο αριθμός 16 διαιρείται απόλυτα με το 2, το 4 και το 8. Επομένως, είναι εύκολο να ληφθεί το 16 από αυτούς τους αριθμούς. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ας μετατρέψουμε το 1/2 σε 8/16, το 3/4 σε 16/12 και ούτω καθεξής.
Παρεμπιπτόντως, αν πάρουμε κοινό παρονομαστή το 1024, όλα θα πάνε καλά, στο τέλος όλα θα μειωθούν. Μόνο που δεν θα φτάσουν όλοι σε αυτό το τέλος, λόγω των υπολογισμών ...
Λύστε μόνοι σας το παράδειγμα. Όχι λογάριθμος... Θα έπρεπε να είναι 16/29.
Έτσι, με την πρόσθεση (αφαίρεση) των κλασμάτων είναι σαφές, ελπίζω; Φυσικά, είναι πιο εύκολο να δουλέψετε σε συντομευμένη έκδοση, με επιπλέον πολλαπλασιαστές. Αλλά αυτή η ευχαρίστηση είναι διαθέσιμη σε όσους εργάστηκαν τίμια στις κατώτερες τάξεις ... Και δεν ξέχασαν τίποτα.
Και τώρα θα κάνουμε τις ίδιες ενέργειες, αλλά όχι με κλάσματα, αλλά με κλασματικές εκφράσεις. Νέες τσουγκράνες θα βρεθούν εδώ, ναι...
Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε δύο κλασματικές εκφράσεις:
Πρέπει να κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους. Και μόνο με τη βοήθεια πολλαπλασιασμός! Άρα λέει η κύρια ιδιότητα του κλάσματος. Επομένως, δεν μπορώ να προσθέσω ένα στο x στο πρώτο κλάσμα στον παρονομαστή. (Αλλά θα ήταν ωραίο!). Αλλά αν πολλαπλασιάσετε τους παρονομαστές, βλέπετε, όλα θα μεγαλώσουν μαζί! Γράφουμε λοιπόν τη γραμμή του κλάσματος, αφήνουμε ένα κενό διάστημα από πάνω, το προσθέτουμε και γράφουμε το γινόμενο των παρονομαστών παρακάτω, για να μην ξεχάσουμε:
Και, φυσικά, δεν πολλαπλασιάζουμε τίποτα στη δεξιά πλευρά, δεν ανοίγουμε αγκύλες! Και τώρα, κοιτάζοντας τον κοινό παρονομαστή της δεξιάς πλευράς, σκεφτόμαστε: για να πάρουμε τον παρονομαστή x (x + 1) στο πρώτο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με (x + 1) . Και στο δεύτερο κλάσμα - x. Παίρνετε αυτό:
Σημείωση! Οι παρενθέσεις είναι εδώ! Αυτή είναι η γκανιότα που πολλοί πατούν. Όχι βέβαια παρενθέσεις, αλλά η απουσία τους. Οι παρενθέσεις εμφανίζονται γιατί πολλαπλασιάζουμε ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟπαρονομαστής! Και όχι τα μεμονωμένα κομμάτια τους...
Στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς, γράφουμε το άθροισμα των αριθμητών, όλα είναι όπως στα αριθμητικά κλάσματα, μετά ανοίγουμε τις αγκύλες στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς, δηλ. πολλαπλασιάστε τα πάντα και δώστε like. Δεν χρειάζεται να ανοίξετε τις αγκύλες στους παρονομαστές, δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε κάτι! Γενικά, σε παρονομαστές (οποιονδήποτε) το προϊόν είναι πάντα πιο ευχάριστο! Παίρνουμε:
Εδώ πήραμε την απάντηση. Η διαδικασία φαίνεται μακρά και δύσκολη, αλλά εξαρτάται από την πρακτική. Λύστε παραδείγματα, συνηθίστε το, όλα θα γίνουν απλά. Όσοι έχουν κατακτήσει τα κλάσματα στον καθορισμένο χρόνο, κάνουν όλες αυτές τις πράξεις με το ένα χέρι, στο μηχάνημα!
Και μια ακόμη σημείωση. Πολλοί ασχολούνται περίφημα με τα κλάσματα, αλλά βασίζονται σε παραδείγματα ολόκληροςαριθμοί. Τύπος: 2 + 1/2 + 3/4= ? Πού να στερεώσω ένα δίδυμο; Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε πουθενά, πρέπει να κάνετε ένα κλάσμα από ένα δίδυμο. Δεν είναι εύκολο, είναι πολύ απλό! 2=2/1. Σαν αυτό. Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Ο αριθμητής είναι ο ίδιος ο αριθμός, ο παρονομαστής είναι ένας. Το 7 είναι 7/1, το 3 είναι 3/1 και ούτω καθεξής. Το ίδιο συμβαίνει και με τα γράμματα. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, κ.λπ. Και μετά δουλεύουμε με αυτά τα κλάσματα σύμφωνα με όλους τους κανόνες.
Λοιπόν, στην πρόσθεση - αφαίρεση των κλασμάτων, οι γνώσεις φρεσκάρονταν. Μετασχηματισμοί κλασμάτων από τον ένα τύπο στον άλλο - επαναλαμβανόμενες. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε. Να τακτοποιηθούμε λίγο;)
Υπολογίζω:
Απαντήσεις (σε αταξία):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Πολλαπλασιασμός / διαίρεση κλασμάτων - στο επόμενο μάθημα. Υπάρχουν επίσης εργασίες για όλες τις ενέργειες με κλάσματα.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)
μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Σε μια πραγματική εκπαιδευτική διαδικασία, δεν απαιτούνται τόσες πολλές εργασίες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές - θα υπάρξουν αρκετές εργασίες από το σχολικό βιβλίο. Θα δώσουμε μεγαλύτερη προσοχή σε προβλήματα στα οποία λαμβάνεται ολόκληρη η ποσότητα ως μονάδα. Επιπλέον, στην αρχή είναι καλύτερο να το αντιπροσωπεύσετε ως 2/2, 3/3 κ.λπ. ποσότητες.
163 . Η κοπέλα διάβασε τα 2/5 και μετά άλλο 1/5 του βιβλίου. Ποιο μέρος του βιβλίου διάβασε;
164 . Οι τουρίστες έχουν περάσει το 1/7 και μετά άλλα 3/7 της όλης διαδρομής. Ποιο μέρος της διαδρομής τους έχει απομείνει για να διανύσουν;
165 . Δύο οδηγοί τρακτέρ κούρεψαν τα 5/9 του λιβαδιού και ο πρώτος οδηγός τρακτέρ κούρεψε τα 2/9 του λιβαδιού. Ποιο μέρος του λιβαδιού κούρεψε ο δεύτερος οδηγός τρακτέρ;
166 . Ο πρώτος οδηγός τρακτέρ όργωσε τα 2/7 του χωραφιού, ο δεύτερος - τα 3/7 του χωραφιού. Μαζί όργωσαν 10 χα. Προσδιορίστε την περιοχή του γηπέδου.
167 . Να λύσετε προβλήματα 150 (α-γ) χρησιμοποιώντας την αφαίρεση του κλάσματος.
168 . Να λύσετε προβλήματα 154 (1-2) χρησιμοποιώντας την αφαίρεση του κλάσματος.
169 . 1) Τα σπουργίτια κάθονταν σε ένα κλαδί. Όταν το τρίτο μέρος των σπουργιτιών πέταξε μακριά, έμειναν 6. Πόσα σπουργίτια ήταν αρχικά στο κλαδί;
2) Κάποιος ξόδεψε τα 3/4 των χρημάτων του και του έμειναν 200 R.Πόσα χρήματα είχε;
3) Την πρώτη μέρα οι τουρίστες κάλυψαν τα 2/5 της προγραμματισμένης διαδρομής και τη δεύτερη μέρα τα υπόλοιπα 15 χλμ. Ποιο είναι το μήκος της διαδρομής;
4) Ο Βάσια έχει στη συλλογή του 200 γραμματόσημα. Τον τελευταίο χρόνο ο αριθμός των γραμματοσήμων της συλλογής αυξήθηκε κατά 1/4. Πόσα γραμματόσημα υπήρχαν στη συλλογή πριν από ένα χρόνο;
170 . Πριν από το μεσημεριανό γεύμα, ο τορντέρ ολοκλήρωσε τα 2/8 της εργασίας, μετά το μεσημεριανό γεύμα - τα 3/8 της εργασίας, μετά την οποία είχε 24 μέρη να γυρίσει. Πόσα μέρη έπρεπε να αλέσει;
171 . Από « Αριθμητική » L.N. Τολστόι. Ο σύζυγος πήρε χρήματα από το ίδιο μπαούλο και δεν έμεινε τίποτα. Ο σύζυγος πήρε τα 7/10 όλων των χρημάτων και η γυναίκα 690 R.Πόσα ήταν όλα τα λεφτά;
172 . Λύστε προβλήματα από αιγυπτιακούς παπύρους με δύο τρόπους.
1) Η ποσότητα και το τέταρτο μέρος της δίνουν μαζί 15. Βρείτε
ποσότητα.
2) Ο αριθμός και το μισό του είναι 9. Βρείτε τον αριθμό.
173 . Δημιουργήστε ένα πρόβλημα παρόμοιο με τα αιγυπτιακά προβλήματα και λύστε το με δύο τρόπους.
Ξεκινώντας από το επόμενο πρόβλημα, στις λύσεις εμφανίζονται πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Εάν αυτό το υλικό δεν μελετήθηκε στην 5η τάξη, τότε οι υπόλοιπες εργασίες που σχετίζονται με τα κλάσματα θα πρέπει να αναβληθούν για την 6η τάξη.
174 . α) Κάθε ώρα, ο πρώτος σωλήνας γεμίζει το 1/2 της πισίνας και ο δεύτερος - το 1/3 της πισίνας. Ποιο μέρος της πισίνας γεμίζει και οι δύο σωλήνες σε 1 ησυνεργασία?
β) Η πρώτη ταξιαρχία μπορεί να ολοκληρώσει το 1/12 της εργασίας ανά ημέρα και η δεύτερη - το 1/8 της εργασίας. Ποιο μέρος της εργασίας θα ολοκληρώσουν δύο ομάδες σε 1 ημέρα κοινής εργασίας;
γ) Ένα επιβατικό αυτοκίνητο διανύει το 1/10 της απόστασης μεταξύ πόλεων ανά ώρα, και ένα φορτηγό - το 1/12 αυτής της απόστασης. Πόσο από αυτήν την απόσταση συγκλίνουν σε 1 ηαυτοκίνητα που κινούνται το ένα προς το άλλο;
175 . α) Δύο οδηγοί τρακτέρ όργωσαν τα 2/3 του χωραφιού σε 1 μέρα κοινής εργασίας. Ο πρώτος τρακτερτζής όργωσε το 1/2 του χωραφιού. Ποιο μέρος του χωραφιού όργωσε ο δεύτερος οδηγός τρακτέρ;
β) Δύο αυτοκίνητα που ταξίδευαν το ένα προς το άλλο πλησίασαν εντός 1 ηΤο 1/3 της απόστασης μεταξύ δύο πόλεων. Το πρώτο αυτοκίνητο διένυσε το 1/8 αυτής της απόστασης. Ποιο κλάσμα της συνολικής απόστασης διένυσε το δεύτερο αυτοκίνητο;
γ) Μέσα από δύο σωλήνες γεμίζει το 1/3 της πισίνας κάθε ώρα. Μέσω του πρώτου σωλήνα για 1 ηΤο 1/10 της πισίνας είναι γεμάτο. Ποιο μέρος της πισίνας είναι γεμάτο 1 ημέσω του δεύτερου σωλήνα;
176 . Αρχικά, χύθηκε το 1/2 του νερού σε αυτό από το βαρέλι, μετά το 1/3, το 1/15 και το 1/10. Ποιο μέρος του νερού χύθηκε;
177 .* Ήπια μισό φλιτζάνι μαύρο καφέ και συμπλήρωσα με γάλα. Μετά ήπια 1/3 φλιτζάνι και συμπλήρωσα με γάλα. Μετά ήπια 1/6 φλιτζάνι και συμπλήρωσα με γάλα. Τέλος, ήπια το περιεχόμενο της κούπας μέχρι το τέλος. Τι έπινα περισσότερο: καφέ ή γάλα;
178 . Vintage προβλήματα. 1) Δύο πεζοί βγήκαν ταυτόχρονα ο ένας προς τον άλλο από δύο χωριά. Ο πρώτος μπορεί να περπατήσει την απόσταση μεταξύ δύο χωριών σε 8 η, και το δεύτερο για 6 η.Ποιο μέρος της απόστασης πλησιάζουν σε 1 η?
2) Τρεις ξυλουργοί προσλήφθηκαν για την κατασκευή του λουτρού. ο πρώτος έκανε την ημέρα 2/33 όλης της δουλειάς, ο δεύτερος 1/11, ο τρίτος 7/55. Ποιο κλάσμα της συνολικής εργασίας έκαναν όλοι σε μια μέρα;
3) Προσλήφθηκαν 4 γραφείς για να αντιγράψουν το δοκίμιο. ο πρώτος μπορούσε να ξαναγράψει το δοκίμιο μόνος του σε 24 ημέρες, ο δεύτερος σε 36 ημέρες, ο τρίτος σε 20 και ο τέταρτος σε 18 ημέρες. Ποιο μέρος του δοκιμίου θα ξαναγράψουν σε μια μέρα αν συνεργαστούν;
179 . 1) Η δακτυλογράφος πληκτρολόγησε ξανά το τρίτο μέρος του χειρογράφου και μετά άλλες 10 σελίδες. Ως αποτέλεσμα, πληκτρολόγησε ξανά το μισό ολόκληρο το χειρόγραφο. Πόσες σελίδες υπάρχουν στο χειρόγραφο;
2) Παλιό πρόβλημα. Ένας περαστικός, προλαβαίνοντας έναν άλλο, ρώτησε: « Πόσο μακριά είναι το χωριό που έχουμε μπροστά μας; » Ένας άλλος περαστικός απάντησε: « Η απόσταση από το χωριό από το οποίο περπατάτε είναι ίση με το ένα τρίτο της συνολικής απόστασης μεταξύ των χωριών, και αν περπατήσετε άλλα 2 βερστ, τότε θα είστε ακριβώς στη μέση μεταξύ των χωριών » . Πόσα βερστ απομένουν για να περπατήσει ο πρώτος περαστικός;
180 . Πρόβλημα του Adam Riese (XVI αιώνας).Τρεις κέρδισαν κάποιο χρηματικό ποσό. Το πρώτο αντιπροσώπευε το 1/4 αυτού του ποσού, το δεύτερο το 1/7 και το τρίτο 17 φλώρινα. Πόσο μεγάλα είναι όλα τα κέρδη;
