Τα πολυώνυμα παραγοντοποίησης είναι ένας μετασχηματισμός ταυτότητας, ως αποτέλεσμα του οποίου ένα πολυώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο πολλών παραγόντων - πολυωνύμων ή μονοωνύμων.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι παραγοντοποίησης πολυωνύμων.
Μέθοδος 1. Αφαίρεση του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Αυτός ο μετασχηματισμός βασίζεται στον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού: ac + bc = c(a + b). Η ουσία του μετασχηματισμού είναι να απομονωθεί ο κοινός παράγοντας στις δύο υπό εξέταση συνιστώσες και να τον «βγάλει» από αγκύλες.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο 28x 3 – 35x 4.
Διάλυμα.
1. Βρείτε τα στοιχεία 28x3 και 35x4 κοινός διαιρέτης. Για 28 και 35 θα είναι 7? για x 3 και x 4 – x 3. Με άλλα λόγια, ο κοινός μας παράγοντας είναι 7x3.
2. Αντιπροσωπεύουμε καθένα από τα στοιχεία ως προϊόν παραγόντων, ένας από τους οποίους
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Μέθοδος 2. Χρήση συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Η «κυριότητα» της χρήσης αυτής της μεθόδου είναι να παρατηρήσετε έναν από τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού στην έκφραση.
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 6 – 1.
Διάλυμα.
1. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο διαφοράς τετραγώνων σε αυτήν την έκφραση. Για να το κάνετε αυτό, φανταστείτε το x 6 ως (x 3) 2 και το 1 ως 1 2, δηλ. 1. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά των κύβων στην παράσταση που προκύπτει:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Ετσι,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Μέθοδος 3. Ομαδοποίηση. Η μέθοδος ομαδοποίησης περιλαμβάνει το συνδυασμό των συστατικών ενός πολυωνύμου με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι εύκολο να εκτελεστούν πράξεις σε αυτά (πρόσθεση, αφαίρεση, αφαίρεση κοινού παράγοντα).
Ας συνυπολογίσουμε το πολυώνυμο x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Διάλυμα.
1. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά με αυτόν τον τρόπο: 1η με 2η και 3η με 4η
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. Στην παράσταση που προκύπτει, βγάζουμε τους κοινούς παράγοντες από αγκύλες: x 2 στην πρώτη περίπτωση και 5 στη δεύτερη.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x – 3 από αγκύλες και παίρνουμε:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Ετσι,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Ας εξασφαλίσουμε το υλικό.
Συντελεστής το πολυώνυμο a 2 – 7ab + 12b 2.
Διάλυμα.
1. Ας παραστήσουμε το μονώνυμο 7ab ως άθροισμα 3ab + 4ab. Η έκφραση θα έχει τη μορφή:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας πάρουμε:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Ας ομαδοποιήσουμε τα συστατικά του πολυωνύμου με αυτόν τον τρόπο: 1ος με 2ο και 3ος με 4ο. Παίρνουμε:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Ας βγάλουμε τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Ας βγάλουμε από αγκύλες τον κοινό παράγοντα (a – 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Ετσι,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, κατά την πλήρη ή μερική αντιγραφή υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην αρχική πηγή.
Λαμβάνοντας υπόψη τον πολλαπλασιασμό των πολυωνύμων, θυμηθήκαμε αρκετούς τύπους, δηλαδή: τύπους για (a + b)², για (a – b)², για (a + b) (a – b), για (a + b)³ και για (α – β)³.
Εάν ένα δεδομένο πολυώνυμο συμπίπτει με έναν από αυτούς τους τύπους, τότε θα είναι δυνατό να το παραγοντοποιήσουμε. Για παράδειγμα, το πολυώνυμο a² – 2ab + b², ξέρουμε, είναι ίσο με (a – b)² [ή (a – b) · (a – b), δηλαδή καταφέραμε να συντελεστή a² – 2ab + b² σε 2 παράγοντες ]; Επίσης
Ας δούμε το δεύτερο από αυτά τα παραδείγματα. Βλέπουμε ότι το πολυώνυμο που δίνεται εδώ ταιριάζει με τον τύπο που προκύπτει από τον τετραγωνισμό της διαφοράς δύο αριθμών (το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, μείον το γινόμενο του δύο από τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο, συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού): x 6 είναι το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, και επομένως, ο ίδιος ο πρώτος αριθμός είναι x 3, το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού είναι ο τελευταίος όρος του δεδομένου πολυωνύμου, δηλ. 1, ο δεύτερος αριθμός είναι, επομένως, επίσης 1. το γινόμενο του δύο με τον πρώτο αριθμό και ο δεύτερος είναι ο όρος –2x 3, γιατί 2x 3 = 2 x 3 1. Επομένως, το πολυώνυμο μας προέκυψε τετραγωνίζοντας τη διαφορά των αριθμών x 3 και 1, δηλαδή ισούται με (x 3 – 1) 2. Ας δούμε ένα άλλο 4ο παράδειγμα. Βλέπουμε ότι αυτό το πολυώνυμο a 2 b 2 – 25 μπορεί να θεωρηθεί ως η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών, δηλαδή το τετράγωνο του πρώτου αριθμού είναι a 2 b 2, επομένως, ο ίδιος ο πρώτος αριθμός είναι ab, το τετράγωνο του ο δεύτερος αριθμός είναι 25, γιατί ο ίδιος ο δεύτερος αριθμός είναι 5. Επομένως, το πολυώνυμο μας μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του αθροίσματος δύο αριθμών με τη διαφορά τους, δηλ.
(ab + 5) (ab – 5).
Μερικές φορές συμβαίνει ότι σε ένα δεδομένο πολυώνυμο οι όροι δεν είναι διατεταγμένοι με τη σειρά που έχουμε συνηθίσει, για παράδειγμα.
9a 2 + b 2 + 6ab – διανοητικά μπορούμε να αναδιατάξουμε τον δεύτερο και τον τρίτο όρο και τότε θα μας καταστεί σαφές ότι το τριώνυμο μας = (3a + b) 2.
... (αναδιατάσσουμε νοερά τον πρώτο και τον δεύτερο όρο).
25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2, κ.λπ.
Ας εξετάσουμε ένα άλλο πολυώνυμο
a 2 + 2ab + 4b 2 .
Βλέπουμε ότι ο πρώτος όρος του είναι το τετράγωνο του αριθμού a και ο τρίτος όρος είναι το τετράγωνο του αριθμού 2b, αλλά ο δεύτερος όρος δεν είναι το γινόμενο του δύο από τον πρώτο αριθμό και ο δεύτερος - ένα τέτοιο γινόμενο θα ήταν ίσο με 2 · a · 2b = 4ab. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί ο τύπος για το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών σε αυτό το πολυώνυμο. Αν κάποιος έγραψε ότι a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, τότε αυτό θα ήταν λάθος - πρέπει να εξετάσει κανείς προσεκτικά όλους τους όρους του πολυωνύμου πριν εφαρμόσει την παραγοντοποίηση σε αυτό χρησιμοποιώντας τύπους.
40. Συνδυασμός και των δύο τεχνικών. Μερικές φορές, κατά την παραγοντοποίηση πολυωνύμων, πρέπει να συνδυάσετε τόσο την τεχνική της αφαίρεσης του κοινού παράγοντα εκτός παρενθέσεων όσο και την τεχνική της χρήσης τύπων. Ακολουθούν παραδείγματα:
1. 2a 3 – 2ab 2. Ας βγάλουμε πρώτα τον κοινό παράγοντα 2a από αγκύλες και παίρνουμε 2a (a 2 – b 2). Ο παράγοντας a 2 – b 2, με τη σειρά του, διασπάται σύμφωνα με τον τύπο σε παράγοντες (a + b) και (a – b).
Μερικές φορές πρέπει να χρησιμοποιήσετε την τεχνική αποσύνθεσης του τύπου πολλές φορές:
1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)
Βλέπουμε ότι ο πρώτος παράγοντας a 2 + b 2 δεν ταιριάζει με κανέναν από τους γνωστούς τύπους. Επιπλέον, υπενθυμίζοντας ειδικές περιπτώσεις διαίρεσης (στοιχείο 37), θα διαπιστώσουμε ότι το a 2 + b 2 (το άθροισμα των τετραγώνων δύο αριθμών) δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί καθόλου. Ο δεύτερος από τους συντελεστές που προκύπτουν a 2 – b 2 (η διαφορά με το τετράγωνο δύο αριθμών) διασπάται σε παράγοντες (a + b) και (a – b). Ετσι,
41. Εφαρμογή ειδικών περιπτώσεων διαίρεσης. Με βάση την παράγραφο 37, μπορούμε αμέσως να γράψουμε ότι, για παράδειγμα,
Γενικά, αυτό το έργο απαιτεί μια δημιουργική προσέγγιση, καθώς δεν υπάρχει καθολική μέθοδος επίλυσής του. Αλλά ας προσπαθήσουμε να δώσουμε μερικές συμβουλές.
Στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου βασίζεται σε μια απόρροια του θεωρήματος του Bezout, δηλαδή, η ρίζα βρίσκεται ή επιλέγεται και ο βαθμός του πολυωνύμου μειώνεται κατά ένα διαιρώντας με . Αναζητείται η ρίζα του πολυωνύμου που προκύπτει και η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι την πλήρη επέκταση.
Εάν δεν μπορεί να βρεθεί η ρίζα, τότε χρησιμοποιούνται συγκεκριμένες μέθοδοι επέκτασης: από την ομαδοποίηση έως την εισαγωγή πρόσθετων αμοιβαία αποκλειστικών όρων.
Η περαιτέρω παρουσίαση βασίζεται στις δεξιότητες επίλυσης εξισώσεων υψηλότερων βαθμών με ακέραιους συντελεστές.
Διακρίνοντας τον κοινό παράγοντα.
Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση, όταν ο ελεύθερος όρος είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή το πολυώνυμο έχει τη μορφή .
Προφανώς, η ρίζα ενός τέτοιου πολυωνύμου είναι , δηλαδή, μπορούμε να αναπαραστήσουμε το πολυώνυμο με τη μορφή .
Αυτή η μέθοδος δεν είναι τίποτα άλλο από βάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρένθεσης.
Παράδειγμα.
Συντελεστής πολυωνύμου τρίτου βαθμού.
Διάλυμα.
Προφανώς ποια είναι η ρίζα του πολυωνύμου, δηλαδή Χμπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες:
Ας βρούμε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου 
Ετσι, 
Αρχή σελίδας
Παραγοντοποίηση πολυωνύμου με ορθολογικές ρίζες.
Αρχικά, ας εξετάσουμε μια μέθοδο για την επέκταση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές της μορφής , ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού είναι ίσος με ένα.
Στην περίπτωση αυτή, εάν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι διαιρέτες του ελεύθερου όρου.
Παράδειγμα.
Διάλυμα.
Ας ελέγξουμε αν υπάρχουν άθικτες ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε τους διαιρέτες του αριθμού -18
: . Δηλαδή, αν ένα πολυώνυμο έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι μεταξύ των γραμμένων αριθμών. Ας ελέγξουμε αυτούς τους αριθμούς διαδοχικά χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner. Η ευκολία του έγκειται επίσης στο γεγονός ότι στο τέλος λαμβάνουμε τους συντελεστές διαστολής του πολυωνύμου: 
Ήτοι, x=2Και x=-3είναι οι ρίζες του αρχικού πολυωνύμου και μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως γινόμενο:
Το μόνο που μένει είναι να αποσυντεθεί τετραγωνικό τριώνυμο.
Η διάκριση αυτού του τριωνύμου είναι αρνητική, επομένως δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Απάντηση:
Σχόλιο:
Αντί για το σχήμα του Horner, θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει την επιλογή της ρίζας και την επακόλουθη διαίρεση του πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο.
Τώρα θεωρήστε την επέκταση ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές της μορφής , και ο συντελεστής του υψηλότερου βαθμού δεν είναι ίσος με ένα.
Σε αυτή την περίπτωση, το πολυώνυμο μπορεί να έχει κλασματικά ορθολογικές ρίζες.
Παράδειγμα.
Υπολογίστε την έκφραση.
Διάλυμα.
Εκτελώντας μια αλλαγή μεταβλητής y=2x, ας προχωρήσουμε σε ένα πολυώνυμο με συντελεστή ίσο με ένα στον υψηλότερο βαθμό. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε πρώτα την έκφραση με 4
.
Εάν η συνάρτηση που προκύπτει έχει ακέραιες ρίζες, τότε είναι μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου. Ας τα γράψουμε:
Ας υπολογίσουμε διαδοχικά τις τιμές της συνάρτησης g(y)σε αυτά τα σημεία μέχρι να επιτευχθεί το μηδέν. 
Τι έγινε παραγοντοποίηση;Αυτός είναι ένας τρόπος να μετατρέψετε ένα άβολο και σύνθετο παράδειγμα σε απλό και ωραίο.) Πολύ πολύ δυνατή κίνηση! Βρίσκεται σε κάθε βήμα τόσο στα δημοτικά όσο και στα ανώτερα μαθηματικά.
Τέτοιοι μετασχηματισμοί στη μαθηματική γλώσσα ονομάζονται πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εκφράσεων. Για όσους δεν το γνωρίζουν, ρίξτε μια ματιά στον σύνδεσμο. Υπάρχει πολύ λίγο, απλό και χρήσιμο.) Η έννοια του οποιουδήποτε μετασχηματισμός ταυτότηταςείναι μια καταγραφή της έκφρασης σε άλλη μορφήδιατηρώντας παράλληλα την ουσία του.
Εννοια παραγοντοποίησηεξαιρετικά απλό και ξεκάθαρο. Ακριβώς από το ίδιο το όνομα. Μπορεί να ξεχάσετε (ή να μην ξέρετε) τι είναι ο πολλαπλασιαστής, αλλά μπορείτε να καταλάβετε ότι αυτή η λέξη προέρχεται από τη λέξη "πολλαπλασιάζω";) Factoring σημαίνει: αντιπροσωπεύουν μια έκφραση με τη μορφή πολλαπλασιασμού κάτι με κάτι. Να με συγχωρήσουν τα μαθηματικά και η ρωσική γλώσσα...) Αυτό είναι όλο.
Για παράδειγμα, πρέπει να αναπτύξετε τον αριθμό 12. Μπορείτε να γράψετε με ασφάλεια:
Έτσι παρουσιάσαμε τον αριθμό 12 ως πολλαπλασιασμό του 3 με το 4. Σημειώστε ότι οι αριθμοί στα δεξιά (3 και 4) είναι εντελώς διαφορετικοί από ό,τι στα αριστερά (1 και 2). Αλλά καταλαβαίνουμε πολύ καλά ότι 12 και 3 4 ίδιος ακριβώς.Η ουσία του αριθμού 12 από τη μεταμόρφωση δεν έχει αλλάξει.
Είναι δυνατόν να αποσυντεθεί 12 διαφορετικά; Εύκολα!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Οι επιλογές αποσύνθεσης είναι ατελείωτες.
Η παραγοντοποίηση αριθμών είναι χρήσιμη. Βοηθάει πολύ, για παράδειγμα, όταν δουλεύεις με ρίζες. Αλλά η παραγοντοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων δεν είναι μόνο χρήσιμη, αλλά και χρήσιμη απαραίτητος!Απλώς για παράδειγμα:
Απλοποιώ:
Όσοι δεν ξέρουν πώς να παραγοντοποιούν μια έκφραση μένουν στο περιθώριο. Όσοι ξέρουν πώς - απλοποιήστε και αποκτήστε:
Το αποτέλεσμα είναι εκπληκτικό, σωστά;) Παρεμπιπτόντως, η λύση είναι αρκετά απλή. Θα το δείτε μόνοι σας παρακάτω. Ή, για παράδειγμα, αυτή η εργασία:
Λύστε την εξίσωση:
x 5 - x 4 = 0
Αποφασίζεται στο μυαλό, παρεμπιπτόντως. Χρήση παραγοντοποίησης. Θα λύσουμε αυτό το παράδειγμα παρακάτω. Απάντηση: x 1 = 0; x 2 = 1.
Ή, το ίδιο πράγμα, αλλά για τους μεγαλύτερους):
Λύστε την εξίσωση:
Σε αυτά τα παραδείγματα έδειξα κύριος σκοπόςπαραγοντοποίηση: απλοποίηση κλασματικών εκφράσεων και επίλυση ορισμένων ειδών εξισώσεων. Ακολουθεί ένας εμπειρικός κανόνας που πρέπει να θυμάστε:
Αν έχουμε μια τρομακτική κλασματική έκφραση μπροστά μας, μπορούμε να δοκιμάσουμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Πολύ συχνά το κλάσμα μειώνεται και απλοποιείται.
Εάν έχουμε μια εξίσωση μπροστά μας, όπου στα δεξιά υπάρχει το μηδέν και στα αριστερά - δεν καταλαβαίνω τι, μπορούμε να προσπαθήσουμε να παραγοντοποιήσουμε την αριστερή πλευρά. Μερικές φορές βοηθάει).
Βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης.
Εδώ είναι οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι:
4. Διεύρυνση τετραγωνικού τριωνύμου.
Αυτές οι μέθοδοι πρέπει να θυμόμαστε. Ακριβώς με αυτή τη σειρά. Ελέγχονται σύνθετα παραδείγματα για όλα πιθανούς τρόπουςαποσύνθεση.Και είναι καλύτερο να το ελέγξετε με τη σειρά για να μην μπερδευτούμε... Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με τη σειρά.)
1. Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Απλό και αξιόπιστο τρόπο. Δεν βγαίνει τίποτα κακό από αυτόν! Συμβαίνει είτε καλά είτε καθόλου.) Γι’ αυτό έρχεται πρώτος. Ας το καταλάβουμε.
Όλοι γνωρίζουν (πιστεύω!) τον κανόνα:
a(b+c) = ab+ac
Ή, περισσότερο γενική άποψη:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Όλες οι ισότητες λειτουργούν και από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα, από δεξιά προς τα αριστερά. Μπορείτε να γράψετε:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = α(β+γ+δ+.....)
Αυτό είναι όλο το νόημα να βγάλουμε τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων.
Στην αριστερή πλευρά ΕΝΑ - κοινός πολλαπλασιαστήςγια όλους τους όρους. Πολλαπλασιάζεται με όλα όσα υπάρχουν). Στα δεξιά είναι τα περισσότερα ΕΝΑβρίσκεται ήδη έξω από τις αγκύλες.
Πρακτική ΕφαρμογήΑς δούμε τη μέθοδο χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Στην αρχή η επιλογή είναι απλή, ακόμη και πρωτόγονη.) Αλλά σε αυτήν την επιλογή θα σημειώσω ( πράσινος) Πολύ σημαντικά σημείαγια οποιαδήποτε παραγοντοποίηση.
Παραγοντοποιήστε:
αχ+9χ
Ο οποίος γενικόςεμφανίζεται ο πολλαπλασιαστής και στους δύο όρους; Χ φυσικά! Θα το βάλουμε εκτός παρένθεσης. Ας το κάνουμε αυτό. Γράφουμε αμέσως Χ έξω από τις αγκύλες:
ax+9x=x(
Και σε παρένθεση γράφουμε το αποτέλεσμα της διαίρεσης κάθε όροςσε αυτό ακριβώς το Χ. Με σειρά:
Αυτό είναι όλο. Φυσικά, δεν χρειάζεται να το περιγράψω με τόση λεπτομέρεια, αυτό γίνεται στο μυαλό. Αλλά καλό είναι να καταλάβουμε τι είναι τι). Καταγράφουμε στη μνήμη:
Γράφουμε τον κοινό παράγοντα έξω από τις αγκύλες. Σε παρένθεση γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης όλων των όρων με αυτόν τον κοινό παράγοντα. Κατά σειρά.
Επεκτείναμε λοιπόν την έκφραση αχ+9χμε πολλαπλασιαστές. Το μετέτρεψε σε πολλαπλασιασμό του x επί (α+9).Σημειώνω ότι στην αρχική έκφραση υπήρχε επίσης ένας πολλαπλασιασμός, έστω και δύο: a·x και 9·x.Αλλά αυτό δεν παραγοντοποιήθηκε!Γιατί εκτός από πολλαπλασιασμό, αυτή η έκφραση περιείχε και πρόσθεση, το πρόσημο «+»! Και στην έκφραση x(a+9) Δεν υπάρχει τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό!
Πώς έτσι!? - Ακούω την αγανακτισμένη φωνή του κόσμου - Και σε παρένθεση!;)
Ναι, υπάρχει προσθήκη μέσα στην παρένθεση. Αλλά το κόλπο είναι ότι ενώ οι αγκύλες δεν ανοίγουν, τις εξετάζουμε σαν ένα γράμμα.Και κάνουμε όλες τις ενέργειες με αγκύλες εξ ολοκλήρου, όπως με ένα γράμμα.Υπό αυτή την έννοια, στην έκφραση x(a+9)Δεν υπάρχει τίποτα εκτός από τον πολλαπλασιασμό. Αυτό είναι όλο το νόημα της παραγοντοποίησης.
Παρεμπιπτόντως, είναι δυνατόν να ελέγξουμε με κάποιο τρόπο αν τα κάναμε όλα σωστά; Εύκολα! Αρκεί να πολλαπλασιάσετε αυτό που βάλατε (x) με αγκύλες και να δείτε αν λειτούργησε πρωτότυποέκφραση; Αν λειτουργεί, όλα είναι υπέροχα!)
x(a+9)=ax+9x
Λειτούργησε.)
Δεν υπάρχουν προβλήματα σε αυτό το πρωτόγονο παράδειγμα. Αν όμως υπάρχουν αρκετοί όροι, και μάλιστα με διαφορετικά σημάδια... Εν ολίγοις, κάθε τρίτος μαθητής μπλέκει). Επομένως:
Εάν χρειάζεται, ελέγξτε την παραγοντοποίηση με αντίστροφο πολλαπλασιασμό.
Παραγοντοποιήστε:
3ax+9x
Αναζητούμε έναν κοινό παράγοντα. Λοιπόν, όλα είναι ξεκάθαρα με το Χ, μπορεί να αφαιρεθεί. Υπάρχει κι άλλο γενικόςπαράγοντας; Ναί! Αυτό είναι ένα τρία. Μπορείτε να γράψετε την έκφραση ως εξής:
3ax+3 3x
Εδώ είναι αμέσως ξεκάθαρο ότι ο κοινός παράγοντας θα είναι 3x. Εδώ το βγάζουμε:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Απλώστε.
Τι γίνεται αν το βγάλεις μόνο x;Τίποτα το ιδιαίτερο:
3ax+9x=x(3a+9)
Αυτό θα είναι και παραγοντοποίηση. Αλλά σε αυτή τη συναρπαστική διαδικασία, συνηθίζεται να τα βάζουμε όλα στο όριο όσο υπάρχει η ευκαιρία. Εδώ σε αγκύλες υπάρχει η ευκαιρία να βάλετε ένα τρία. Θα αποδειχθεί:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Το ίδιο πράγμα, μόνο με μια επιπλέον ενέργεια.) Θυμηθείτε:
Όταν βγάζουμε τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, προσπαθούμε να βγάλουμε ανώτατο όριοκοινός πολλαπλασιαστής.
Συνεχίζουμε τη διασκέδαση;)
Υπολογίστε την έκφραση:
3akh+9х-8а-24
Τι θα αφαιρέσουμε; Τρία, Χ; Όχι... Δεν μπορείς. Σας υπενθυμίζω ότι μπορείτε μόνο να βγάλετε γενικόςπολλαπλασιαστής δηλαδή σε όλαόρους της έκφρασης. Γι' αυτό εκείνος γενικός.Δεν υπάρχει τέτοιος πολλαπλασιαστής εδώ... Τι, δεν χρειάζεται να το επεκτείνετε!; Λοιπόν, ναι, ήμασταν τόσο χαρούμενοι... Γνωρίστε:
2. Ομαδοποίηση.
Στην πραγματικότητα, είναι δύσκολο να ονομάσουμε την ομάδα με ανεξάρτητο τρόποπαραγοντοποίηση. Είναι περισσότερο ένας τρόπος να βγεις έξω σύνθετο παράδειγμα.) Πρέπει να ομαδοποιήσουμε τους όρους έτσι ώστε όλα να πάνε καλά. Αυτό μπορεί να φανεί μόνο με παράδειγμα. Έτσι, έχουμε την έκφραση:
3akh+9х-8а-24
Μπορεί να φανεί ότι υπάρχουν μερικά κοινά γράμματα και αριθμοί. Αλλά... Γενικόςδεν υπάρχει πολλαπλασιαστής σε όλους τους όρους. Ας μην χάσουμε την καρδιά μας και σπάστε την έκφραση σε κομμάτια.Ας ομαδοποιηθούμε. Έτσι ώστε κάθε κομμάτι να έχει έναν κοινό παράγοντα, υπάρχει κάτι να αφαιρέσετε. Πώς το σπάμε; Ναι, απλά βάζουμε παρενθέσεις.
Να σας υπενθυμίσω ότι οι παρενθέσεις μπορούν να τοποθετηθούν οπουδήποτε και όπως θέλετε. Μόνο η ουσία του παραδείγματος δεν έχει αλλάξει.Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε αυτό:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8α+24)
Παρακαλώ δώστε προσοχή στις δεύτερες αγκύλες! Προηγείται το σύμβολο μείον και 8αΚαι 24 έγινε θετικός! Αν, για έλεγχο, ανοίξουμε τις αγκύλες πίσω, τα σημάδια θα αλλάξουν, και παίρνουμε πρωτότυποέκφραση. Εκείνοι. η ουσία της έκφρασης από τις αγκύλες δεν έχει αλλάξει.
Αλλά αν μόλις εισαγάγατε παρενθέσεις χωρίς να λάβετε υπόψη την αλλαγή του πρόσημου, για παράδειγμα, ως εξής:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8α-24 )
θα ήταν λάθος. Στα δεξιά - ήδη άλλοςέκφραση. Ανοίξτε τις αγκύλες και όλα θα γίνουν ορατά. Δεν χρειάζεται να αποφασίσετε περαιτέρω, ναι...)
Ας επιστρέψουμε όμως στην παραγοντοποίηση. Ας δούμε τις πρώτες αγκύλες (3ax+9x)και σκεφτόμαστε, υπάρχει κάτι που μπορούμε να βγάλουμε; Λοιπόν, λύσαμε αυτό το παράδειγμα παραπάνω, μπορούμε να το πάρουμε 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
Ας μελετήσουμε τις δεύτερες αγκύλες, μπορούμε να προσθέσουμε ένα οκτώ εκεί:
(8a+24)=8(a+3)
Ολόκληρη η έκφρασή μας θα είναι:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Factored; Οχι. Το αποτέλεσμα της αποσύνθεσης πρέπει να είναι μόνο πολλαπλασιασμόςαλλά μαζί μας το μείον τα χαλάει όλα. Όμως... Και οι δύο όροι έχουν έναν κοινό παράγοντα! Αυτό (a+3). Δεν ήταν τυχαίο που είπα ότι ολόκληρες οι αγκύλες είναι, σαν να λέγαμε, ένα γράμμα. Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι αγκύλες μπορούν να αφαιρεθούν από αγκύλες. Ναι, αυτό ακριβώς ακούγεται.)
Κάνουμε όπως περιγράφεται παραπάνω. Γράφουμε τον κοινό παράγοντα (a+3), στις δεύτερες αγκύλες γράφουμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης των όρων με (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Ολοι! Δεν υπάρχει τίποτα στα δεξιά εκτός από τον πολλαπλασιασμό! Αυτό σημαίνει ότι η παραγοντοποίηση ολοκληρώθηκε με επιτυχία!) Εδώ είναι:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Ας επαναλάβουμε εν συντομία την ουσία της ομάδας.
Αν η έκφραση δεν το κάνει γενικόςπολλαπλασιαστής για καθέναςόρους, σπάμε την έκφραση σε αγκύλες έτσι ώστε μέσα στις αγκύλες ο κοινός παράγοντας ήταν.Το βγάζουμε και βλέπουμε τι θα γίνει. Εάν είστε τυχεροί και υπάρχουν απολύτως πανομοιότυπες εκφράσεις στις αγκύλες, μετακινούμε αυτές τις αγκύλες εκτός αγκύλων.
Θα προσθέσω ότι η ομαδοποίηση είναι μια δημιουργική διαδικασία). Δεν βγαίνει πάντα την πρώτη φορά. Είναι εντάξει. Μερικές φορές πρέπει να ανταλλάξετε όρους και να εξετάσετε διαφορετικές επιλογές ομαδοποίησης μέχρι να βρείτε μια επιτυχημένη. Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην χάσετε την καρδιά!)
Παραδείγματα.
Τώρα, έχοντας εμπλουτιστεί με γνώσεις, μπορείτε να λύσετε δύσκολα παραδείγματα.) Στην αρχή του μαθήματος υπήρχαν τρία από αυτά...
Απλοποιώ:
Στην ουσία, έχουμε ήδη λύσει αυτό το παράδειγμα. Εν αγνοία μας.) Σας υπενθυμίζω: αν μας δοθεί ένα τρομερό κλάσμα, προσπαθούμε να συνυπολογίσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Άλλες επιλογές απλοποίησης απλά όχι.
Λοιπόν, εδώ δεν επεκτείνεται ο παρονομαστής, αλλά ο αριθμητής... Έχουμε ήδη επεκτείνει τον αριθμητή κατά τη διάρκεια του μαθήματος! Τοιουτοτροπώς:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Γράφουμε το αποτέλεσμα της επέκτασης στον αριθμητή του κλάσματος:
Σύμφωνα με τον κανόνα της αναγωγής των κλασμάτων (η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος), μπορούμε να διαιρέσουμε (ταυτόχρονα!) τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή έκφραση. Κλάσμα από αυτό δεν αλλάζει.Άρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με την παράσταση (3x-8). Και που και που θα πάρουμε. Τελικό αποτέλεσμααπλοποιήσεις:
Θα ήθελα να τονίσω ιδιαίτερα: η μείωση ενός κλάσματος είναι δυνατή εάν και μόνο εάν είναι στον αριθμητή και στον παρονομαστή, εκτός από τον πολλαπλασιασμό των παραστάσεων δεν υπάρχει τίποτα.Γι' αυτό και η μετατροπή του αθροίσματος (διαφορά) σε πολλαπλασιασμόςτόσο σημαντικό για την απλοποίηση. Φυσικά, αν οι εκφράσεις διαφορετικός,τότε τίποτα δεν θα μειωθεί. Θα συμβεί. Αλλά παραγοντοποίηση δίνει μια ευκαιρία.Αυτή η ευκαιρία χωρίς αποσύνθεση απλά δεν υπάρχει.
Παράδειγμα με εξίσωση:
Λύστε την εξίσωση:
x 5 - x 4 = 0
Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα x 4εκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:
x 4 (x-1)=0
Αντιλαμβανόμαστε ότι το γινόμενο των παραγόντων είναι ίσο με μηδέν τότε και μόνο τότε,όταν κάποιο από αυτά είναι μηδέν. Εάν έχετε αμφιβολίες, βρείτε μου μερικούς μη μηδενικούς αριθμούς που, όταν πολλαπλασιαστούν, θα δίνουν μηδέν.) Έτσι γράφουμε, πρώτα τον πρώτο παράγοντα:
Με μια τέτοια ισότητα, ο δεύτερος παράγοντας δεν μας αφορά. Ο καθένας μπορεί να είναι, αλλά στο τέλος θα είναι ακόμα μηδέν. Ποιος αριθμός στην τέταρτη δύναμη δίνει το μηδέν; Μόνο μηδέν! Και κανένα άλλο... Επομένως:
Καταλάβαμε τον πρώτο παράγοντα και βρήκαμε μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα. Τώρα δεν μας ενδιαφέρει πια ο πρώτος παράγοντας.):
Εδώ βρήκαμε μια λύση: x 1 = 0; x 2 = 1. Οποιαδήποτε από αυτές τις ρίζες ταιριάζει στην εξίσωσή μας.
Πολύ σημαντική σημείωση. Σημειώστε ότι λύσαμε την εξίσωση κομμάτι κομμάτι!Κάθε παράγοντας ήταν ίσος με μηδέν, ανεξάρτητα από άλλους παράγοντες.Παρεμπιπτόντως, αν σε μια τέτοια εξίσωση δεν υπάρχουν δύο παράγοντες, όπως ο δικός μας, αλλά τρεις, πέντε, όσοι θέλετε, θα λύσουμε ακριβώς το ίδιο.Κομμάτι-κομμάτι. Για παράδειγμα:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Όποιος ανοίξει τις αγκύλες και πολλαπλασιάσει τα πάντα θα μείνει για πάντα σε αυτή την εξίσωση.) Ένας σωστός μαθητής θα δει αμέσως ότι δεν υπάρχει τίποτα στα αριστερά εκτός από τον πολλαπλασιασμό και το μηδέν στα δεξιά. Και θα αρχίσει (στο μυαλό του!) να εξισώνει όλες τις αγκύλες με σκοπό το μηδέν. Και θα λάβει (σε 10 δευτερόλεπτα!) σωστή απόφαση: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Cool, σωστά;) Μια τέτοια κομψή λύση είναι δυνατή εάν η αριστερή πλευρά της εξίσωσης παραγοντοποιούνται.Καταλάβατε την υπόδειξη;)
Λοιπόν, ένα τελευταίο παράδειγμα, για τους παλαιότερους):
Λύστε την εξίσωση:
Είναι κάπως παρόμοιο με το προηγούμενο, δεν νομίζετε;) Φυσικά. Ήρθε η ώρα να θυμηθούμε ότι στην άλγεβρα της έβδομης δημοτικού, τα ημιτόνια, οι λογάριθμοι και οτιδήποτε άλλο μπορούν να κρυφτούν κάτω από τα γράμματα! Το Factoring λειτουργεί σε όλα τα μαθηματικά.
Βγάζουμε τον κοινό παράγοντα lg 4 xεκτός παρενθέσεων. Παίρνουμε:
log 4 x=0
Αυτή είναι μια ρίζα. Ας δούμε τον δεύτερο παράγοντα.
Εδώ είναι η τελική απάντηση: x 1 = 1; x 2 = 10.
Ελπίζω να έχετε συνειδητοποιήσει τη δύναμη της παραγοντοποίησης στην απλοποίηση των κλασμάτων και στην επίλυση εξισώσεων.)
Σε αυτό το μάθημα μάθαμε για την κοινή παραγοντοποίηση και ομαδοποίηση. Μένει να κατανοήσουμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό και το τετραγωνικό τριώνυμο.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε ένα αίτημα στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας e-mailκαι τα λοιπά.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, τις νομικές διαδικασίες ή/και με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
