Μεταπτυχιακές εργασίες σε Έντυπο Ενιαίας Κρατικής Εξέτασηςγια τους μαθητές της 11ης τάξης περιέχει απαραίτητα εργασίες για τον υπολογισμό ορίων, τα διαστήματα φθίνουσας και αύξησης των παραγώγων μιας συνάρτησης, την αναζήτηση ακραίων σημείων και την κατασκευή γραφημάτων. Η καλή γνώση αυτού του θέματος σάς επιτρέπει να απαντάτε σωστά σε πολλές ερωτήσεις εξετάσεων και να μην αντιμετωπίζετε δυσκολίες στην περαιτέρω επαγγελματική κατάρτιση.
Βασικές αρχές του διαφορικού λογισμού - ένα από τα κύρια θέματα των μαθηματικών σύγχρονο σχολείο. Μελετά τη χρήση της παραγώγου για τη μελέτη των εξαρτήσεων των μεταβλητών - μέσω της παραγώγου μπορεί κανείς να αναλύσει την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης χωρίς να καταφύγει σε σχέδιο.
Ολοκληρωμένη προετοιμασία των αποφοίτων για περνώντας από την Ενιαία Κρατική Εξέτασηεπί εκπαιδευτική πύληΤο "Shkolkovo" θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε σε βάθος τις αρχές της διαφοροποίησης - να κατανοήσετε τη θεωρία λεπτομερώς, να μελετήσετε παραδείγματα επίλυσης τυπικών προβλημάτων και να δοκιμάσετε τις δυνάμεις σας σε ανεξάρτητη εργασία. Θα σας βοηθήσουμε να κλείσετε τα κενά στη γνώση - να αποσαφηνίσετε την κατανόησή σας για τις λεξιλογικές έννοιες του θέματος και τις εξαρτήσεις των ποσοτήτων. Οι μαθητές θα μπορούν να επανεξετάσουν τον τρόπο εύρεσης διαστημάτων μονοτονίας, που σημαίνει ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης αυξάνεται ή μειώνεται σε ένα συγκεκριμένο τμήμα όταν τα οριακά σημεία περιλαμβάνονται και δεν περιλαμβάνονται στα διαστήματα που βρίσκονται.
Πριν ξεκινήσετε την απευθείας επίλυση θεματικών προβλημάτων, σας συνιστούμε να μεταβείτε πρώτα στην ενότητα "Θεωρητικό υπόβαθρο" και να επαναλάβετε τους ορισμούς των εννοιών, των κανόνων και των τύπων πινάκων. Εδώ μπορείτε να διαβάσετε πώς να βρείτε και να γράψετε κάθε διάστημα αυξανόμενης και φθίνουσας συνάρτησης στο γράφημα της παραγώγου.
Όλες οι πληροφορίες που προσφέρονται παρουσιάζονται με την πιο προσιτή μορφή για κατανόηση, πρακτικά από την αρχή. Η ιστοσελίδα παρέχει υλικό για αντίληψη και αφομοίωση σε πολλά διάφορες μορφές– ανάγνωση, προβολή βίντεο και άμεση εκπαίδευση υπό την καθοδήγηση έμπειρων δασκάλων. Επαγγελματίες καθηγητέςθα σας πει αναλυτικά πώς να βρείτε αναλυτικά τα διαστήματα αυξανόμενων και φθίνων παραγώγων μιας συνάρτησης και γραφικά. Κατά τη διάρκεια των διαδικτυακών σεμιναρίων, θα μπορείτε να κάνετε οποιαδήποτε ερώτηση ενδιαφέροντος, τόσο για τη θεωρία όσο και για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων.
Έχοντας θυμηθεί τα κύρια σημεία του θέματος, δείτε παραδείγματα αύξησης της παραγώγου μιας συνάρτησης, παρόμοια με τις εργασίες στις επιλογές εξέτασης. Για να εμπεδώσετε αυτά που μάθατε, ρίξτε μια ματιά στον «Κατάλογο» - εδώ θα βρείτε πρακτικές ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία. Οι εργασίες της ενότητας επιλέγονται σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας, λαμβάνοντας υπόψη την ανάπτυξη των δεξιοτήτων. Για παράδειγμα, καθένα από αυτά συνοδεύεται από αλγόριθμους λύσης και σωστές απαντήσεις.
Επιλέγοντας την ενότητα «Κατασκευαστής», οι μαθητές θα μπορούν να εξασκηθούν στη μελέτη της αύξησης και της μείωσης της παραγώγου μιας συνάρτησης σε πραγματικό Επιλογές Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης, ενημερώνεται συνεχώς λαμβάνοντας υπόψη τις τελευταίες αλλαγές και καινοτομίες.
Πολύ σημαντικές πληροφορίεςσχετικά με τη συμπεριφορά της συνάρτησης παρέχουν διαστήματα αύξησης και μείωσης. Η εύρεση τους είναι μέρος της διαδικασίας εξέτασης της συνάρτησης και σχεδίασης του γραφήματος. Επιπλέον, δίνονται τα ακραία σημεία στα οποία υπάρχει αλλαγή από αύξουσα σε φθίνουσα ή από φθίνουσα σε αύξουσα ιδιαίτερη προσοχήόταν βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.
Σε αυτό το άρθρο θα δώσουμε τους απαραίτητους ορισμούς, θα διατυπώσουμε ένα επαρκές κριτήριο για την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα και επαρκείς συνθήκες για την ύπαρξη ενός άκρου και θα εφαρμόσουμε όλη αυτή τη θεωρία στην επίλυση παραδειγμάτων και προβλημάτων.
Πλοήγηση στη σελίδα.
Συνάρτηση αύξησης και μείωσης σε ένα διάστημα.
Ορισμός αυξανόμενης συνάρτησης.
Η συνάρτηση y=f(x) αυξάνεται στο διάστημα X εάν υπάρχει και 
η ανισότητα ισχύει. Με άλλα λόγια - υψηλότερη τιμήτο όρισμα αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.
Ορισμός φθίνουσας συνάρτησης.
Η συνάρτηση y=f(x) μειώνεται στο διάστημα X εάν υπάρχει και η ανισότητα ισχύει 
. Με άλλα λόγια, μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε μια μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: εάν η συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής στα άκρα του αυξανόμενου ή φθίνοντος διαστήματος (a;b), δηλαδή στα x=a και x=b, τότε αυτά τα σημεία περιλαμβάνονται στο αυξανόμενο ή φθίνον διάστημα. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με τους ορισμούς μιας αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης στο διάστημα X.
Για παράδειγμα, από τις ιδιότητες των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων γνωρίζουμε ότι το y=sinx είναι καθορισμένο και συνεχές για όλες τις πραγματικές τιμές του ορίσματος. Επομένως, από την αύξηση της ημιτονοειδούς συνάρτησης στο διάστημα, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι αυξάνεται στο διάστημα.
Ακραία σημεία, άκρα μιας συνάρτησης.
Το σημείο λέγεται μέγιστο σημείοσυνάρτηση y=f(x) αν η ανίσωση ισχύει για όλα τα x στη γειτονιά της. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο μέγιστο σημείο μέγιστο της συνάρτησηςκαι δηλώνουν .
Το σημείο λέγεται ελάχιστο σημείοσυνάρτηση y=f(x) αν η ανίσωση ισχύει για όλα τα x στη γειτονιά της. Καλείται η τιμή της συνάρτησης στο ελάχιστο σημείο ελάχιστη λειτουργίακαι δηλώνουν .
Ως γειτονιά ενός σημείου νοείται το διάστημα 
, όπου είναι ένας αρκετά μικρός θετικός αριθμός.
Ο ελάχιστος και ο μέγιστος βαθμός καλούνται ακραία σημεία, και καλούνται οι τιμές συναρτήσεων που αντιστοιχούν στα ακραία σημεία άκρα της συνάρτησης.
Μην συγχέετε το άκρο μιας συνάρτησης με το μεγαλύτερο και χαμηλότερη τιμήλειτουργίες.
Στην πρώτη εικόνα υψηλότερη τιμήη συνάρτηση στο τμήμα επιτυγχάνεται στο μέγιστο σημείο και είναι ίση με το μέγιστο της συνάρτησης, και στο δεύτερο σχήμα - η μέγιστη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο σημείο x=b, που δεν είναι το μέγιστο σημείο.
Επαρκείς συνθήκες για αύξηση και μείωση συναρτήσεων.
Με βάση επαρκείς συνθήκες (σημάδια) για την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης, εντοπίζονται διαστήματα αύξησης και μείωσης της συνάρτησης.
Ακολουθούν οι διατυπώσεις των σημείων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων σε ένα διάστημα:
- αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) είναι θετική για οποιοδήποτε x από το διάστημα X, τότε η συνάρτηση αυξάνεται κατά Χ.
- αν η παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) είναι αρνητική για οποιοδήποτε x από το διάστημα X, τότε η συνάρτηση μειώνεται στο X.
Έτσι, για τον προσδιορισμό των διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο:
Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα εύρεσης των διαστημάτων αύξησης και μείωσης των συναρτήσεων για να εξηγήσουμε τον αλγόριθμο.
Παράδειγμα.
Να βρείτε τα διαστήματα της αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης.
Διάλυμα.
Το πρώτο βήμα είναι να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, η έκφραση στον παρονομαστή δεν πρέπει να πάει στο μηδέν, επομένως, .
Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης: 
Για να προσδιορίσουμε τα διαστήματα αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης με βάση ένα επαρκές κριτήριο, λύνουμε ανισώσεις στο πεδίο ορισμού. Ας χρησιμοποιήσουμε μια γενίκευση της μεθόδου διαστήματος. Η μόνη πραγματική ρίζα του αριθμητή είναι x = 2, και ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν στο x=0. Αυτά τα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης διατηρεί το πρόσημό της. Ας σημειώσουμε αυτά τα σημεία στην αριθμητική γραμμή. Συμβατικά δηλώνουμε με συν και πλην τα διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι θετική ή αρνητική. Τα παρακάτω βέλη δείχνουν σχηματικά την αύξηση ή τη μείωση της συνάρτησης στο αντίστοιχο διάστημα. 
Ετσι, 
Και 
.
Στο σημείο Η συνάρτηση x=2 είναι καθορισμένη και συνεχής, επομένως θα πρέπει να προστεθεί και στα διαστήματα αύξησης και μείωσης. Στο σημείο x=0 η συνάρτηση δεν ορίζεται, οπότε δεν συμπεριλαμβάνουμε αυτό το σημείο στα απαιτούμενα διαστήματα.
Παρουσιάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης για να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που λαμβάνονται με αυτήν.
Απάντηση:
Η λειτουργία αυξάνεται με 
, μειώνεται στο διάστημα (0;2] .
Επαρκείς συνθήκες για το άκρο μιας συνάρτησης.
Για να βρείτε τα μέγιστα και ελάχιστα μιας συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε από τα τρία σημάδια του ακραίου, φυσικά, εάν η συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες τους. Το πιο κοινό και βολικό είναι το πρώτο από αυτά.
Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση για ένα εξτρέμ.
Έστω η συνάρτηση y=f(x) διαφορίσιμη στη -γειτονιά του σημείου και συνεχής στο ίδιο το σημείο.
Με άλλα λόγια:
Αλγόριθμος για την εύρεση ακραίων σημείων με βάση το πρώτο πρόσημο άκρου μιας συνάρτησης.
- Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
- Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού.
- Καθορίζουμε τα μηδενικά του αριθμητή, τα μηδενικά του παρονομαστή της παραγώγου και τα σημεία του τομέα ορισμού στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγος (όλα τα σημεία που αναφέρονται ονομάζονται σημεία πιθανής ακρότητας, περνώντας από αυτά τα σημεία, η παράγωγος μπορεί απλώς να αλλάξει πρόσημο).
- Αυτά τα σημεία διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος διατηρεί το πρόσημο της. Καθορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα (για παράδειγμα, υπολογίζοντας την τιμή της παραγώγου μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο ενός συγκεκριμένου διαστήματος).
- Επιλέγουμε σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και, περνώντας από τα οποία, η παράγωγος αλλάζει πρόσημο - αυτά είναι τα ακραία σημεία.
Υπάρχουν πάρα πολλές λέξεις, ας δούμε καλύτερα μερικά παραδείγματα εύρεσης ακραίων σημείων και άκρων μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας την πρώτη επαρκή συνθήκη για το άκρο μιας συνάρτησης.
Παράδειγμα.
Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.
Διάλυμα.
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός από x=2.
Εύρεση της παραγώγου: 
Τα μηδενικά του αριθμητή είναι τα σημεία x=-1 και x=5, ο παρονομαστής πηγαίνει στο μηδέν στο x=2. Σημειώστε αυτά τα σημεία στον αριθμητικό άξονα 
Καθορίζουμε τα πρόσημα της παραγώγου σε κάθε διάστημα για να το κάνουμε αυτό, υπολογίζουμε την τιμή της παραγώγου σε οποιοδήποτε από τα σημεία κάθε διαστήματος, για παράδειγμα, στα σημεία x=-2, x=0, x=3 και. x=6.
Επομένως, στο διάστημα η παράγωγος είναι θετική (στο σχήμα βάζουμε πρόσημο σε αυτό το διάστημα). Επίσης 
Επομένως, βάζουμε ένα μείον πάνω από το δεύτερο διάστημα, ένα μείον πάνω από το τρίτο και ένα συν πάνω από το τέταρτο.
Μένει να επιλέξουμε σημεία στα οποία η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγός της αλλάζει πρόσημο. Αυτά είναι τα ακραία σημεία.
Στο σημείο x=-1 η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην, επομένως, σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο του άκρου, x=-1 είναι το μέγιστο σημείο, το μέγιστο της συνάρτησης αντιστοιχεί σε αυτό 
.
Στο σημείο x=5 η συνάρτηση είναι συνεχής και η παράγωγος αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επομένως, x=-1 είναι το ελάχιστο σημείο, το ελάχιστο της συνάρτησης αντιστοιχεί σε αυτό 
.
Γραφική απεικόνιση.
Απάντηση:
ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΣΗΜΕΙΩΣΤΕ: το πρώτο επαρκές κριτήριο για ένα άκρο δεν απαιτεί διαφοροποίηση της συνάρτησης στο ίδιο το σημείο.
Παράδειγμα.
Βρείτε τα ακραία σημεία και τα άκρα της συνάρτησης 
.
Διάλυμα.
Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η ίδια η συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως: 
Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης: 
Στο σημείο x=0 η παράγωγος δεν υπάρχει, αφού οι τιμές των μονόπλευρων ορίων δεν συμπίπτουν όταν το όρισμα τείνει στο μηδέν: 
Ταυτόχρονα, η αρχική συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο x=0 (δείτε την ενότητα για τη μελέτη της συνάρτησης για συνέχεια): 
Ας βρούμε την τιμή του ορίσματος στο οποίο η παράγωγος πηγαίνει στο μηδέν: 
Ας σημειώσουμε όλα τα ληφθέντα σημεία στην αριθμητική γραμμή και ας προσδιορίσουμε το πρόσημο της παραγώγου σε κάθε ένα από τα διαστήματα. Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τις τιμές της παραγώγου σε αυθαίρετα σημεία κάθε διαστήματος, για παράδειγμα, στο x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.
Ήτοι, 
Έτσι, σύμφωνα με το πρώτο σημάδι ενός ακραίου, οι ελάχιστοι πόντοι είναι 
, οι μέγιστοι βαθμοί είναι 
.
Υπολογίζουμε τα αντίστοιχα ελάχιστα της συνάρτησης 
Υπολογίζουμε τα αντίστοιχα μέγιστα της συνάρτησης 
Γραφική απεικόνιση.
Απάντηση:
.
Το δεύτερο σημάδι ενός άκρου μιας συνάρτησης.
Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό το πρόσημο ενός άκρου μιας συνάρτησης απαιτεί την ύπαρξη μιας παραγώγου τουλάχιστον δεύτερης τάξης στο σημείο.
Extrema της συνάρτησης
Ορισμός 2
Ένα σημείο $x_0$ ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης $f(x)$ εάν υπάρχει μια γειτονιά αυτού του σημείου τέτοια ώστε για όλα τα $x$ σε αυτήν τη γειτονιά η ανισότητα $f(x)\le f(x_0) $ κρατά.
Ορισμός 3
Ένα σημείο $x_0$ ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης $f(x)$ εάν υπάρχει μια γειτονιά αυτού του σημείου τέτοια ώστε για όλα τα $x$ σε αυτήν τη γειτονιά η ανισότητα $f(x)\ge f(x_0) $ κρατά.
Η έννοια του άκρου μιας συνάρτησης σχετίζεται στενά με την έννοια του κρίσιμου σημείου μιας συνάρτησης. Ας παρουσιάσουμε τον ορισμό του.
Ορισμός 4
Το $x_0$ ονομάζεται κρίσιμο σημείο της συνάρτησης $f(x)$ εάν:
1) $x_0$ - εσωτερικό σημείο του τομέα ορισμού.
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ή δεν υπάρχει.
Για την έννοια του ακραίου, μπορούμε να διατυπώσουμε θεωρήματα για επαρκή και απαραίτητες προϋποθέσειςτην ύπαρξή του.
Θεώρημα 2
Επαρκής συνθήκη για εξτρέμ
Έστω το σημείο $x_0$ κρίσιμο για τη συνάρτηση $y=f(x)$ και βρίσκεται στο διάστημα $(a,b)$. Έστω σε κάθε διάστημα $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ η παράγωγος $f"(x)$ υπάρχει και διατηρεί ένα σταθερό πρόσημο. Τότε:
1) Εάν στο διάστημα $(a,x_0)$ η παράγωγος είναι $f"\left(x\right)>0$, και στο διάστημα $(x_0,b)$ η παράγωγος είναι $f"\left( x\δεξιά)
2) Εάν στο διάστημα $(a,x_0)$ η παράγωγος $f"\left(x\right)0$, τότε το σημείο $x_0$ είναι το ελάχιστο σημείο για αυτήν τη συνάρτηση.
3) Αν και στο διάστημα $(a,x_0)$ και στο διάστημα $(x_0,b)$ η παράγωγος $f"\left(x\right) >0$ ή η παράγωγος $f"\left(x \δικαίωμα)
Αυτό το θεώρημα απεικονίζεται στο σχήμα 1.
Εικόνα 1. Επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ακρών
Παραδείγματα ακραίων (Εικ. 2).
Εικόνα 2. Παραδείγματα ακραίων σημείων
Κανόνας για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ακραίο
2) Βρείτε την παράγωγο $f"(x)$;
7) Εξάγετε συμπεράσματα σχετικά με την παρουσία μεγίστων και ελαχίστων σε κάθε διάστημα, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2.
Αύξηση και μείωση συναρτήσεων
Ας εισαγάγουμε πρώτα τους ορισμούς των αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης.
Ορισμός 5
Μια συνάρτηση $y=f(x)$ που ορίζεται στο διάστημα $X$ λέγεται ότι αυξάνεται εάν για οποιαδήποτε σημεία $x_1,x_2\σε X$ στο $x_1
Ορισμός 6
Μια συνάρτηση $y=f(x)$ που ορίζεται στο διάστημα $X$ λέγεται ότι είναι φθίνουσα εάν για οποιαδήποτε σημεία $x_1,x_2\σε X$ για $x_1f(x_2)$.
Μελετώντας μια συνάρτηση για αύξηση και μείωση
Μπορείτε να μελετήσετε αύξουσες και φθίνουσες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας την παράγωγο.
Για να εξετάσετε μια συνάρτηση για διαστήματα αύξησης και μείωσης, πρέπει να κάνετε τα εξής:
1) Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f(x)$;
2) Βρείτε την παράγωγο $f"(x)$;
3) Βρείτε τα σημεία στα οποία η ισότητα $f"\left(x\right)=0$;
4) Βρείτε τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει $f"(x)$.
5) Σημειώστε στη γραμμή συντεταγμένων όλα τα σημεία που βρέθηκαν και το πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης.
6) Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου $f"(x)$ σε κάθε προκύπτον διάστημα.
7) Εξάγετε ένα συμπέρασμα: σε διαστήματα όπου $f"\left(x\right)0$ η συνάρτηση αυξάνεται.
Παραδείγματα προβλημάτων για τη μελέτη συναρτήσεων για αύξηση, μείωση και παρουσία ακραίων σημείων
Παράδειγμα 1
Εξετάστε τη συνάρτηση για αύξηση και μείωση και την παρουσία μέγιστων και ελάχιστων σημείων: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Επειδή οι πρώτοι 6 βαθμοί είναι ίδιοι, ας τους περάσουμε πρώτα.
1) Τομέας ορισμού - όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) Το $f"(x)$ υπάρχει σε όλα τα σημεία του τομέα ορισμού.
5) Γραμμή συντεταγμένων:
Εικόνα 3.
6) Προσδιορίστε το πρόσημο της παραγώγου $f"(x)$ σε κάθε διάστημα:
\ \; .
Ας προσδιορίσουμε το πρόσημο των τιμών των συναρτήσεων στα άκρα του τμήματος.
φά(0) = 3, φά(0) > 0
φά(10) = , φά(10) < 0.
Εφόσον η συνάρτηση μειώνεται στο τμήμα και το πρόσημο των τιμών της συνάρτησης αλλάζει, τότε υπάρχει ένα μηδέν της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα.
Απάντηση: η συνάρτηση f(x) αυξάνεται στα διαστήματα: (-∞; 0]; ;
στο διάστημα η συνάρτηση έχει μία συνάρτηση μηδέν.
2. Ακραία σημεία της συνάρτησης: μέγιστοι και ελάχιστοι πόντοι. Απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για την ύπαρξη ακρότατου συνάρτησης. Κανόνας για τη μελέτη μιας συνάρτησης για ακραίο .
Ορισμός 1:Τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι μηδέν λέγονται κρίσιμα ή ακίνητα.
Ορισμός 2. Ένα σημείο ονομάζεται ελάχιστο (μέγιστο) σημείο μιας συνάρτησης εάν η τιμή της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι μικρότερη (μεγαλύτερη από) τις πλησιέστερες τιμές της συνάρτησης.
Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το μέγιστο και το ελάχιστο σε σε αυτή την περίπτωσηείναι τοπικά.
Στο Σχ. 1. Εμφανίζονται τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα.
Η μέγιστη και η ελάχιστη λειτουργία συνδυάζονται κοινό όνομα: άκρο της συνάρτησης.Θεώρημα 1.(απαραίτητο σημάδι ύπαρξης ακρότατου συνάρτησης). Εάν μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο έχει μέγιστο ή ελάχιστο σε αυτό το σημείο, τότε η παράγωγός της στο εξαφανίζεται, .
Θεώρημα 2.(επαρκές σημάδι ύπαρξης ακρότατου της συνάρτησης). Αν συνεχής λειτουργίαέχει παράγωγο σε όλα τα σημεία κάποιου διαστήματος που περιέχει κρίσιμο σημείο(εκτός ίσως από αυτό το ίδιο το σημείο), και εάν η παράγωγος, όταν το όρισμα περνά από αριστερά προς τα δεξιά μέσω του κρίσιμου σημείου, αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον, τότε η συνάρτηση σε αυτό το σημείο έχει ένα μέγιστο και όταν το πρόσημο αλλάζει από μείον σε συν, έχει ένα ελάχιστο.
