Σε αυτό το άρθρο, θα δημιουργήσουμε μια σχέση μεταξύ των βασικών μονάδων μέτρησης γωνίας - μοίρες και ακτίνια. Αυτή η σύνδεση θα μας επιτρέψει τελικά να πραγματοποιήσουμε μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα. Για να μην προκαλούν δυσκολίες αυτές οι διαδικασίες, θα λάβουμε έναν τύπο για τη μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και έναν τύπο για τη μετατροπή από ακτίνια σε μοίρες, μετά τον οποίο θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις των παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Σχέση μοιρών και ακτίνων

Η σύνδεση μεταξύ μοιρών και ακτίνων θα δημιουργηθεί εάν είναι γνωστά τόσο το μέτρο μοίρας όσο και το ακτίνιο μιας γωνίας (το μέτρο της μοίρας και του ακτινίου μιας γωνίας βρίσκονται στην ενότητα).

Πάρτε την κεντρική γωνία με βάση τη διάμετρο ενός κύκλου ακτίνας r. Μπορούμε να υπολογίσουμε το μέτρο αυτής της γωνίας σε ακτίνια: για αυτό πρέπει να διαιρέσουμε το μήκος του τόξου με το μήκος της ακτίνας του κύκλου. Αυτή η γωνία αντιστοιχεί σε μήκος τόξου ίσο με το μισό περιφέρεια, αυτό είναι, . Διαιρώντας αυτό το μήκος με το μήκος της ακτίνας r, παίρνουμε το μέτρο του ακτινίου της γωνίας που έχουμε πάρει. Άρα η γωνία μας είναι rad. Από την άλλη, αυτή η γωνία επεκτείνεται, είναι ίση με 180 μοίρες. Επομένως, τα ακτίνια pi είναι 180 μοίρες.

Έτσι, εκφράζεται με τον τύπο π ακτίνια = 180 μοίρες, αυτό είναι, .

Τύποι μετατροπής μοιρών σε ακτίνια και ακτίνων σε μοίρες

Από την ισότητα της μορφής , που αποκτήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο, είναι εύκολο να εξαχθεί τύποι μετατροπής ακτίνων σε μοίρες και μοιρών σε ακτίνια.

Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το pi, παίρνουμε έναν τύπο που εκφράζει ένα ακτίνιο σε μοίρες: . Αυτός ο τύπος σημαίνει ότι το μέτρο μοίρας μιας γωνίας ενός ακτινίου είναι 180/π. Αν ανταλλάξουμε το αριστερό και το δεξί μέρος της ισότητας, στη συνέχεια διαιρέσουμε και τα δύο μέρη με 180, τότε παίρνουμε έναν τύπο της μορφής . Εκφράζει έναν βαθμό σε ακτίνια.

Για να ικανοποιήσουμε την περιέργειά μας, υπολογίζουμε την κατά προσέγγιση τιμή μιας γωνίας ενός ακτινίου σε μοίρες και την τιμή μιας γωνίας μιας μοίρας σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε την τιμή του αριθμού pi ακριβείας στα δέκα χιλιοστά, αντικαταστήστε τον στους τύπους Και και κάντε τους υπολογισμούς. Εχουμε Και . Άρα, ένα ακτίνι είναι περίπου 57 μοίρες και ένας βαθμός είναι 0,0175 ακτίνια.

Τέλος, από τις σχέσεις που προέκυψαν Και Ας προχωρήσουμε στους τύπους για τη μετατροπή των ακτίνων σε μοίρες και αντίστροφα, και ας εξετάσουμε επίσης παραδείγματα εφαρμογής αυτών των τύπων.

Ο τύπος για τη μετατροπή ακτίνων σε μοίρεςμοιάζει με: . Έτσι, εάν η τιμή της γωνίας σε ακτίνια είναι γνωστή, τότε πολλαπλασιάζοντάς την με 180 και διαιρώντας με το pi, παίρνουμε την τιμή αυτής της γωνίας σε μοίρες.

Παράδειγμα.

Δίνεται γωνία 3,2 ακτίνων. Ποιο είναι το μέτρο αυτής της γωνίας σε μοίρες;

Λύση.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη μετατροπή από ακτίνια σε μοίρες, έχουμε

Απάντηση:

.

Τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνιαέχει τη μορφή . Δηλαδή, εάν είναι γνωστή η τιμή της γωνίας σε μοίρες, τότε πολλαπλασιάζοντάς την με το pi και διαιρώντας με 180, παίρνουμε την τιμή αυτής της γωνίας σε ακτίνια. Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα λύσης.

Η ανάγκη μέτρησης των γωνιών εμφανίστηκε στους ανθρώπους από τότε που ο πολιτισμός έφτασε στο ελάχιστο τεχνικό επίπεδο. Όλοι γνωρίζουν την εκπληκτική ακρίβεια της τήρησης της κλίσης και του προσανατολισμού στα βασικά σημεία, που παρέχεται από τους κατασκευαστές Αιγυπτιακές πυραμίδες. Το σύγχρονο μέτρο βαθμών των γωνιών πιστεύεται τώρα ότι επινοήθηκε από τους αρχαίους Ακκάδιους.

Τι είναι τα πτυχία;

Ο βαθμός είναι μια κοινή μονάδα μέτρησης για τις γωνίες. Σε πλήρη κύκλο 360 μοιρών. Ο λόγος επιλογής του συγκεκριμένου αριθμού είναι άγνωστος. Οι Ακκάδιοι πιθανώς χώρισαν τον κύκλο σε τομείς χρησιμοποιώντας τη γωνία ενός ισόπλευρου τριγώνου και στη συνέχεια χώρισαν τα τμήματα που προέκυψαν ξανά σε 60 μέρη σύμφωνα με το σύστημα αριθμών τους. Ένας βαθμός χωρίζεται επίσης σε 60 λεπτά και τα λεπτά σε 60 δευτερόλεπτα. Οι κοινώς αποδεκτές σημειώσεις είναι:

° - γωνιακές μοίρες

' - λεπτά,

'' - δευτερόλεπτα.

Κατά τη διάρκεια των χιλιετιών, το μέτρο του βαθμού των γωνιών έχει εισχωρήσει σταθερά σε πολλές σφαίρες της ανθρώπινης δραστηριότητας. Είναι ακόμα απαραίτητο σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας - από τη χαρτογραφία μέχρι τον υπολογισμό των τροχιών των τεχνητών δορυφόρων της Γης.

Τι είναι τα ακτίνια;

Στον Αρχιμήδη αποδίδεται η ανακάλυψη της σταθερότητας του λόγου της περιφέρειας ενός κύκλου και της διαμέτρου του. Το λέμε πι. Είναι παράλογο, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως συνηθισμένο ή περιοδικό κλάσμα. Τις περισσότερες φορές, η τιμή του αριθμού π χρησιμοποιείται με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων - 3,14. Η περιφέρεια L με ακτίνα R υπολογίζεται εύκολα με τον τύπο: L=2πR.

Ένας κύκλος ακτίνας R=1 έχει μήκος 2π. Αυτή η σχέση χρησιμοποιείται στη γεωμετρία ως διατύπωση του μέτρου ακτινίου μιας γωνίας.

Εξ ορισμού, ακτίνιο είναι μια γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου, που βασίζεται σε ένα τόξο με μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ο διεθνής χαρακτηρισμός του radian είναι rad, ο εγχώριος είναι rad. Δεν έχει διάσταση.

Ένα τόξο κύκλου με ακτίνα R, με γωνιακή τιμή α ακτίνια, έχει μήκος α * R.

Γιατί ήταν απαραίτητο να εισαχθεί μια νέα μονάδα μέτρησης γωνίας;

Η ανάπτυξη της επιστήμης και της τεχνολογίας οδήγησε στην εμφάνιση της τριγωνομετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης, απαραίτητες για ακριβείς υπολογισμούς μηχανικών και οπτικών συσκευών. Ένα από τα καθήκοντά του είναι να μετρήσει το μήκος μιας καμπύλης γραμμής. Η πιο συνηθισμένη περίπτωση είναι ο προσδιορισμός του μήκους ενός τόξου ενός κύκλου. Η χρήση του βαθμού μέτρησης των γωνιών για το σκοπό αυτό είναι εξαιρετικά άβολη. Η ιδέα να συγκριθεί το μήκος ενός τόξου με την ακτίνα ενός κύκλου προέκυψε μεταξύ πολλών μαθηματικών, αλλά ο ίδιος ο όρος "ακτίνιο" εισήχθη στην επιστημονική χρήση μόνο στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Τώρα όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι μέσα μαθηματική ανάλυσηΑπό προεπιλογή, χρησιμοποιείται το μέτρο ακτινίου της γωνίας.

Πώς να μετατρέψετε μοίρες σε ακτίνια

Από τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου, προκύπτει ότι 2π ακτίνες χωρούν σε αυτόν. Αυτό σημαίνει ότι: 1⁰=2π/360= π/180 rad.

Και ένας απλός τύπος μετατροπής από ακτίνια σε μοίρες: 1 rad = 180/π.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε γωνία Ν μοιρών. Τότε ο τύπος για τη μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια θα είναι: α(ακτίνιο) = N/(180/π) = N*π/180.

Έχετε ερωτήσεις;

Οι απαντήσεις σε αυτές μπορούν να βρεθούν, όπου οι έννοιες της περιφέρειας ενός κύκλου, του ακτινικού μέτρου των γωνιών και συγκεκριμένα παραδείγματαΔείχνει τη μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια. Η γνώση των προαναφερθέντων είναι εξαιρετικά σημαντική για την κατανόηση των μαθηματικών, χωρίς τα οποία η ύπαρξη του σύγχρονου πολιτισμού είναι αδύνατη.

Είναι αρκετά σύνηθες οι άνθρωποι στα μαθηματικά να αντιμετωπίζουν το καθήκον να μετατρέψουν τους βαθμούς σε ακτίνια ή το αντίστροφο. Η ολοκλήρωση αυτής της εργασίας είναι αρκετά απλή και για αυτό δεν χρειάζεται να έχετε βαθιά γνώση σε διάφορες εφαρμοσμένες επιστήμες ή μαθηματικά. Επομένως, πρώτα πρέπει να ασχοληθείτε με αυτές τις τιμές μέτρησης. Ο βαθμός και το ακτίνιο είναι οι βασικές μονάδες που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των επίπεδων γωνιών στα μαθηματικά και τη φυσική. Αυτές οι μονάδες χρησιμοποιούνται επίσης στη χαρτογραφία για τον προσδιορισμό συντεταγμένων οπουδήποτε στον κόσμο.

Αυτά τα μεγέθη μέτρησης ορίζονται ως εξής:

• rad - radian
• βαθμός - º

Πώς να μετατρέψετε μοίρες σε ακτίνια

Αρχικά, για να γίνει σαφής ο τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνια, πρέπει να μάθετε πώς να μεταφράζετε μια γωνία σε ακτίνια και τα ακτίνια σε γωνία:

• 1 rad = (180/π)ºπ 57,295779513 όπου το π είναι γνωστό ότι είναι 3,14
• 1° = (π/180) rad π 0,017453293 rad

Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους, γίνεται αμέσως σαφές ότι π rad \u003d 180 °, από αυτούς προέρχονται απλοί και κατανοητοί τύποι για τη μετάφραση των τιμών μέτρησης. Τώρα ας δούμε τους κύριους τύπους που χρησιμοποιούνται στη μετάφραση:

1. Μοίρες σε ακτίνια

Zº=Z rad × (180/π), όπου Zº είναι η γωνία σε μοίρες και Z rad είναι η γωνία σε ακτίνια, π = 3,14

2. Ακτίνια σε μοίρες

Z rad = Z° × (π/180)

Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα για να γίνει πιο σαφής ο τρόπος χρήσης των παραπάνω τύπων στην πράξη. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε δύο γωνίες 20º και 100º:

1. Μετατρέψτε τις μοίρες σε ακτίνια

• 20º = 20 rad × (π/180) π 0,35 rad
• 100º = 100 rad × (180/π) π 1,7453 rad

2. Μετατρέψτε τα ακτίνια σε μοίρες

• 20 rad = 20º × (180/π) π 1146,15 όπου π = 3,14
• 100 rad = 100° × (180/π) π 5729,577 όπου π = 3,14

Έχοντας εξετάσει τους τύπους για τη μετατροπή των τιμών μέτρησης, γίνεται σαφές ότι είναι αρκετά απλό να αντιμετωπίσετε την εργασία. Για εκείνους τους ανθρώπους που δεν θέλουν να κάνουν υπολογισμούς μόνοι τους, υπάρχουν πολλοί ιστότοποι στο Διαδίκτυο όπου μπορούν να χρησιμοποιηθούν ηλεκτρονικές αριθμομηχανές για τη μετατροπή βαθμών σε ακτίνια ή αντίστροφα, η χρήση τους θα διευκολύνει σημαντικά την απόδοσή σας σε διάφορες εργασίες τριγωνομετρίας.

Αριθμομηχανή σε απευθείας σύνδεση αποδίδει μετατρέπουν τις μοίρες σε ακτίνια, μετατρέπουν τα ακτίνια σε μοίρες, μετατροπή κλασματικών μοιρών (οι μοίρες αντιπροσωπεύονται δεκαδικός) ως μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτακαι εμφανίζει τύπους με λεπτομερείς λύσεις.

Μετατρέψτε τις μοίρες σε ακτίνια: οι μοίρες πρέπει να πολλαπλασιάζονται επί π/180. Εάν οι μοίρες δίνονται με τη μορφή "μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα", τότε πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε δεκαδική μορφή χρησιμοποιώντας τον τύπο: μοίρες + λεπτά / 60 + δευτερόλεπτα / 3600.

Ο τύπος για τη μετατροπή ακτίνων σε μοίρες: αν η γωνία είναι α rad ακτίνια, τότε είναι τύπος μετατροπής ακτίνων σε μοίρες μοίρες, όπου π ≈ 3,1415.

Μετατρέψτε τα ακτίνια σε μοίρες: τα ακτίνια πρέπει να πολλαπλασιαστούν επί 180/π. Το ακέραιο μέρος του προϊόντος που προκύπτει είναι ο αριθμός των μοιρών. Για να μετατρέψετε το κλασματικό μέρος σε λεπτά, πρέπει να το πολλαπλασιάσετε με το 60. Το ακέραιο μέρος του γινομένου που προκύπτει είναι ο αριθμός των λεπτών. Για να υπολογίσετε τα δευτερόλεπτα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε ξανά το κλασματικό μέρος της προηγούμενης λειτουργίας κατά 60, στρογγυλοποιώντας το προκύπτον γινόμενο στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό - αυτός είναι ο αριθμός των δευτερολέπτων.

Τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνια: αν η γωνία είναι α deg ακτίνια, τότε είναι τύπος μετατροπής μοιρών σε ακτίνια ακτίνια, όπου π ≈ 3,1415.

Βοήθεια για την ανάπτυξη του έργου του ιστότοπου

Αγαπητέ επισκέπτη του ιστότοπου.
Εάν δεν μπορούσατε να βρείτε αυτό που ψάχνατε - φροντίστε να γράψετε για αυτό στα σχόλια, τι λείπει τώρα από τον ιστότοπο. Αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε προς ποια κατεύθυνση πρέπει να προχωρήσουμε περαιτέρω, και οι άλλοι επισκέπτες θα μπορούν σύντομα να λάβουν το απαραίτητο υλικό.
Εάν ο ιστότοπος αποδείχθηκε χρήσιμος για εσάς, δωρίστε τον ιστότοπο στο έργο μόνο 2 ₽και θα ξέρουμε ότι κινούμαστε προς τη σωστή κατεύθυνση.

Σας ευχαριστώ που δεν περάσατε!

Σημειώνω:

1. Τα αποτελέσματα του υπολογισμού στρογγυλοποιούνται στον καθορισμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων (η προεπιλογή είναι στρογγυλοποίηση στα δέκα χιλιοστά).

II. Για αναφορά:

1. Μέτρο μοίρας γωνίας- ένα γωνιακό μέτρο στο οποίο μια γωνία 1 μοίρας λαμβάνεται ως μονάδα και δείχνει πόσες φορές μια μοίρα και τα μέρη της (λεπτό και δευτερόλεπτο) χωρούν σε μια δεδομένη γωνία.
2. Ακτινικό μέτρο γωνίας- ένα γωνιακό μέτρο στο οποίο λαμβάνεται ως μονάδα γωνία 1 ακτινίου και δείχνει πόσες φορές ένα ακτίνιο ταιριάζει σε μια δεδομένη γωνία.
3. Μοίρες και ακτίνια- μονάδες μέτρησης επίπεδων γωνιών στη γεωμετρία.
4. ένα βαθμόίσο με το 1/180 μιας ευθυγραμμισμένης γωνίας.
5. Ακτίνιοείναι η γωνία που αντιστοιχεί σε ένα τόξο του οποίου το μήκος είναι ίσο με την ακτίνα του.

Νομόγραμμα για τη μετατροπή ακτίνων σε μοίρες και μοιρών σε ακτίνια.

Πίνακας αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να δηλώσει τετραγωνική ρίζα. Για να δηλώσετε ένα κλάσμα - το σύμβολο "/".

δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:

Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα ημίτονο 30 μοιρών - ψάχνουμε για μια στήλη με την επικεφαλίδα sin (sine) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης του πίνακα με τη γραμμή "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα δεύτερος. Ομοίως, βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin (sine) και της σειράς 60 μοιρών, βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών.

Ημίτονο του π, συνημίτονο του π, εφαπτομένη του π και άλλες γωνίες σε ακτίνια

Ο παρακάτω πίνακας συνημίτονων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.

Ο αριθμός pi εκφράζει μοναδικά την εξάρτηση της περιφέρειας ενός κύκλου από το μέτρο της μοίρας της γωνίας. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες.

Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνιο) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας τον αριθμό pi (π) με 180.

Παραδείγματα:
1. sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

2. συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του pi είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μείον ένα.

3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη του pi είναι ίδια με την εφαπτομένη των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (συχνές τιμές)

Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντί για την τιμή της συνάρτησης, εμφανίζεται μια παύλα (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε για μια δεδομένη τιμή του μέτρου του βαθμού η γωνία, η συνάρτηση δεν έχει καθορισμένη τιμή. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, επομένως δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την επιθυμητή τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια αιτήματα έρχονται οι χρήστες σε εμάς και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")