Αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσειςκαι τα γραφήματα τους
(γενική επανάληψη του καλυπτόμενου υλικού)
Ποιο γράφημα αντιστοιχεί στο γράφημα της συνάρτησης y=x 3 εχει το αντιθετο?
Ποιο γράφημα αντιστοιχεί στη γραφική παράσταση της συνάρτησης και έχει αντίστροφο;
Ποιο από τα γραφήματα ταιριάζει με το γράφημα;
έχει αντίστροφη συνάρτηση;
Ποιο γράφημα αντιστοιχεί στη συνάρτηση;
Ομάδα 1: απαντήστε α) εξηγήστε γιατί
Σε ποια συνάρτηση αντιστοιχεί το γράφημα; 1. y = x 3 2. 3. y = x 4 4 . y = x -2 5 . 6. y = x -1
στο γράφημα συνάρτησης
D(y)=(-:0) U(0;+)
Προσδιορίστε το πεδίο εφαρμογής αυτού του ορισμού
στο γράφημα συνάρτησης
Καθορίστε το εύρος τιμών για αυτό στο γράφημα συνάρτησης
E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)
Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση ενός δεδομένου στο = σολ ( x )
Εάν η συνάρτηση (2) είναι αντίστροφη της συνάρτησης (1), τότε τέτοιες συναρτήσεις ονομάζονται αμοιβαία αντίστροφες.
Βρείτε τον τομέα ορισμού και το σύνολο τιμών για αυτές τις συναρτήσεις.
- D (y)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
- E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)
- D (y)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)
2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)
- Τομέας της αντίστροφης συνάρτησης g(x) συμπίπτει με το σύνολο των τιμών του πρωτοτύπου λειτουργίες φά ( x ), και το σύνολο τιμών της αντίστροφης συνάρτησης g(x) συμπίπτει με το πεδίο ορισμού της αρχικής συνάρτησης f(x) :
ΡΕ( g(x) ) = Ε( f(x )), Ε( g(x )) = Δ( f(x )).
- Μια μονοτονική συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη:
- εάν η λειτουργία φά (x) αυξάνεται, τότε η αντίστροφη συνάρτησή του σολ (x) αυξάνει επίσης?
- Εάν η συνάρτηση φά (x) μειώνεται, τότε η αντίστροφη συνάρτησή του σολ (x) επίσης μειώνεται.
Δίνεται: y = x 3
Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης, εκφράστε τον τύπο για την αντίστροφη συνάρτηση μιας δεδομένης και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.
3. Αν μια συνάρτηση έχει αντίστροφο, τότε η γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης σε σχέση με την ευθεία y = x.
Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αντίστροφη σε μια δεδομένη.
Εκπαιδευτικός ανεξάρτητη εργασία
Επιλογή II
Επιλογή Ι
- Βρείτε το αντίστροφο της δεδομένης συνάρτησης:
2. Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης αντίστροφα από το δεδομένο:
3. Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης αντίστροφη προς τη δεδομένη:
Επιλογή II
Επιλογή Ι
2. D(y)=(- ; +)
E (y)=(- ; +)
2. D(y)=(- ; +)
E (y)=(- ; +)
Σχολική εργασία στο σπίτι:
επίλυση Αρ. 579, Νο. 576(c,d
προαιρετικό Νο. 581(1,2)
- Κατά τη διάρκεια του μαθήματος έμαθα…………………………………….
- Κατά τη διάρκεια του μαθήματος με ενδιέφερε η ………………………
- Ήταν δύσκολο……………………………………………….
- Μπορώ να χρησιμοποιήσω τις γνώσεις που απέκτησα στο μάθημα ……………………………………………
Αντανακλάσεις:
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
- να αναπτύξουν γνώσεις για ένα νέο θέμα σύμφωνα με το υλικό του προγράμματος.
- Μελετήστε την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας μιας συνάρτησης και διδάξτε πώς να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση μιας δεδομένης.
Αναπτυξιακή:
- ανάπτυξη δεξιοτήτων αυτοελέγχου, ουσιαστικής ομιλίας.
- κατακτήστε την έννοια της αντίστροφης συνάρτησης και μάθετε μεθόδους εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης.
Εκπαιδευτική: ανάπτυξη επικοινωνιακής ικανότητας.
Εξοπλισμός:υπολογιστής, προβολέας, οθόνη, διαδραστικός πίνακας SMART Board, φυλλάδια (ανεξάρτητη εργασία) για ομαδική εργασία.
Η πρόοδος του μαθήματος.
1. Οργανωτική στιγμή.
Στόχος – προετοιμασία των μαθητών για εργασία στην τάξη:
Ορισμός απουσιών,
Να αποκτήσουν οι μαθητές τη διάθεση για δουλειά, να οργανώσουν την προσοχή.
Δηλώστε το θέμα και το σκοπό του μαθήματος.
2. Ενημέρωση βασικών γνώσεων των μαθητών.Μετωπική έρευνα.
στόχος - διαπιστώνει την ορθότητα και επίγνωση του μελετημένου θεωρητικού υλικού, επανάληψη του καλυπτόμενου υλικού.<Приложение 1 >
Ένα γράφημα μιας συνάρτησης εμφανίζεται στον διαδραστικό πίνακα για τους μαθητές. Ο δάσκαλος διατυπώνει μια εργασία - εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και απαριθμήστε τις ιδιότητες της συνάρτησης που μελετήθηκαν. Οι μαθητές απαριθμούν τις ιδιότητες μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον ερευνητικό σχεδιασμό. Ο δάσκαλος, στα δεξιά της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, σημειώνει τις ονομαστικές ιδιότητες με έναν δείκτη στον διαδραστικό πίνακα.
Ιδιότητες λειτουργίας:
Στο τέλος της μελέτης, ο δάσκαλος αναφέρει ότι σήμερα στο μάθημα θα εξοικειωθούν με μια άλλη ιδιότητα μιας συνάρτησης - την αντιστρεψιμότητα. Για να μελετήσει ουσιαστικά το νέο υλικό, ο δάσκαλος καλεί τα παιδιά να εξοικειωθούν με τις κύριες ερωτήσεις που πρέπει να απαντήσουν οι μαθητές στο τέλος του μαθήματος. Οι ερωτήσεις είναι γραμμένες σε έναν κανονικό πίνακα και κάθε μαθητής τις έχει ως φυλλάδια (διανέμονται πριν από το μάθημα)
- Ποια συνάρτηση ονομάζεται αντιστρεπτή;
- Είναι κάποια συνάρτηση αντιστρέψιμη;
- Ποια συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφο σημείου αναφοράς;
- Πώς σχετίζονται το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης και το αντίστροφό της;
- Εάν μια συνάρτηση δίνεται αναλυτικά, πώς μπορεί κανείς να ορίσει την αντίστροφη συνάρτηση με έναν τύπο;
- Αν μια συνάρτηση δίνεται γραφικά, πώς να γραφτεί η αντίστροφη συνάρτησή της;
3. Επεξήγηση νέου υλικού.
Στόχος - δημιουργία γνώσεων για ένα νέο θέμα σύμφωνα με το υλικό του προγράμματος. Μελετήστε την ιδιότητα της αντιστρεψιμότητας μιας συνάρτησης και διδάξτε πώς να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση μιας δεδομένης. αναπτύξουν ουσιαστικό λόγο.
Ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει το υλικό σύμφωνα με το υλικό της παραγράφου. Στον διαδραστικό πίνακα, ο δάσκαλος συγκρίνει τα γραφήματα δύο συναρτήσεων των οποίων τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών είναι τα ίδια, αλλά η μία από τις συναρτήσεις είναι μονότονη και η άλλη όχι, εισάγοντας έτσι τους μαθητές στην έννοια της αντιστρεπτής συνάρτησης .
Στη συνέχεια, ο δάσκαλος διατυπώνει τον ορισμό μιας αντιστρεπτής συνάρτησης και πραγματοποιεί μια απόδειξη του θεωρήματος της αντιστρεπτής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης στον διαδραστικό πίνακα.
Ορισμός 1: Καλείται η συνάρτηση y=f(x), x X αναστρεπτός, εάν λάβει κάποια από τις τιμές του μόνο σε ένα σημείο του συνόλου X.
Θεώρημα: Αν μια συνάρτηση y=f(x) είναι μονότονη σε ένα σύνολο Χ, τότε είναι αντιστρέψιμη.
Απόδειξη:
- Αφήστε τη λειτουργία y=f(x)αυξάνεται κατά Χκαι ας x 1 ≠ x 2- δύο σημεία του σετ Χ.
- Για να γίνουμε συγκεκριμένοι, ας x 1<
x 2.
Στη συνέχεια από το γεγονός ότι x 1< x 2προκύπτει ότι f(x 1) < f(x 2). - Έτσι, αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές του ορίσματος διαφορετικές έννοιεςλειτουργίες, δηλ. η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.
(Καθώς προχωρά η απόδειξη του θεωρήματος, ο δάσκαλος χρησιμοποιεί ένα μαρκαδόρο για να κάνει όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις στο σχέδιο)
Πριν διατυπώσει τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, ο δάσκαλος ζητά από τους μαθητές να προσδιορίσουν ποια από τις προτεινόμενες συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμη; Ο διαδραστικός πίνακας εμφανίζει γραφήματα συναρτήσεων και γράφει πολλές αναλυτικά καθορισμένες συναρτήσεις:
ΣΙ) 
ΣΟΛ) y = 2x + 5
ΡΕ) y = -x 2 + 7
Ο δάσκαλος εισάγει τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης.
Ορισμός 2: Έστω η αντιστρεπτή λειτουργία y=f(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι E(f)=Y. Ας ταιριάξουμε το καθένα yαπό Υαυτό είναι το μόνο νόημα Χ, στο οποίο f(x)=y.Τότε παίρνουμε μια συνάρτηση που ορίζεται στο Υ, Α Χ– εύρος λειτουργιών
Αυτή η λειτουργία έχει καθοριστεί x=f -1 (y)και ονομάζεται αντίστροφος της συνάρτησης y=f(x).
Ζητείται από τους μαθητές να βγάλουν ένα συμπέρασμα σχετικά με τη σύνδεση μεταξύ του πεδίου ορισμού και του συνόλου των τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων.
Για να εξετάσει το ερώτημα πώς να βρείτε το αντίστροφο μιας δεδομένης συνάρτησης, ο δάσκαλος προσέλκυσε δύο μαθητές. Την προηγούμενη μέρα, τα παιδιά έλαβαν μια εργασία από τον δάσκαλο να αναλύσουν ανεξάρτητα τις αναλυτικές και γραφικές μεθόδους εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης μιας δεδομένης συνάρτησης. Ο δάσκαλος ενήργησε ως σύμβουλος στην προετοιμασία των μαθητών για το μάθημα.
Μήνυμα από τον πρώτο μαθητή.
Σημείωση: η μονοτονία της συνάρτησης είναι επαρκήςπροϋπόθεση για την ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης. Αλλά αυτό δεν είναιαπαραίτητη προϋπόθεση.
Ο μαθητής έδωσε παραδείγματα διαφόρων καταστάσεων όταν μια συνάρτηση δεν είναι μονότονη αλλά αντιστρέψιμη, όταν μια συνάρτηση δεν είναι μονότονη και όχι αντιστρέψιμη, όταν είναι μονότονη και αντιστρέψιμη
Στη συνέχεια ο μαθητής εισάγει τους μαθητές σε μια μέθοδο εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης που δίνεται αναλυτικά.
Αλγόριθμος εύρεσης
- Βεβαιωθείτε ότι η λειτουργία είναι μονότονη.
- Να εκφράσετε τη μεταβλητή x ως y.
- Μετονομασία μεταβλητών. Αντί για x=f -1 (y) γράψτε y=f -1 (x)
Στη συνέχεια λύνει δύο παραδείγματα για να βρει την αντίστροφη συνάρτηση μιας δεδομένης.
Παράδειγμα 1:Δείξτε ότι για τη συνάρτηση y=5x-3 υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση και βρείτε την αναλυτική της έκφραση.
Διάλυμα. Γραμμική συνάρτησηΤο y=5x-3 ορίζεται στο R, αυξάνεται στο R και το εύρος τιμών του είναι R. Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει στο R. Για να βρείτε την αναλυτική του έκφραση, λύστε την εξίσωση y=5x-3 για το x. παίρνουμε Αυτή είναι η απαιτούμενη αντίστροφη συνάρτηση. Ορίζεται και αυξάνεται στο R.
Παράδειγμα 2:Δείξτε ότι για τη συνάρτηση y=x 2, x≤0 υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση και βρείτε την αναλυτική της έκφραση.
Η συνάρτηση είναι συνεχής, μονότονη στο πεδίο ορισμού της, επομένως είναι αντιστρεπτή. Έχοντας αναλύσει τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών της συνάρτησης, προκύπτει ένα αντίστοιχο συμπέρασμα σχετικά με την αναλυτική έκφραση για την αντίστροφη συνάρτηση.
Ο δεύτερος μαθητής κάνει μια παρουσίαση για γραφικόςμέθοδος εύρεσης της αντίστροφης συνάρτησης. Κατά την εξήγησή του ο μαθητής χρησιμοποιεί τις δυνατότητες του διαδραστικού πίνακα.
Για να ληφθεί μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f -1 (x), αντίστροφη της συνάρτησης y=f(x), είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=f(x) συμμετρικά ως προς την ευθεία γραμμή. y=x.
Κατά την επεξήγηση στον διαδραστικό πίνακα, εκτελείται η ακόλουθη εργασία:
Κατασκευάστε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και μια γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησής της στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Γράψτε την αναλυτική έκφραση για την αντίστροφη συνάρτηση.
4. Πρωτογενής ενοποίηση νέου υλικού.
στόχος - να προσδιορίσει την ορθότητα και την επίγνωση της κατανόησης του υλικού που μελετήθηκε, να εντοπίσει κενά στην πρωταρχική κατανόηση του υλικού και να τα διορθώσει.
Οι μαθητές χωρίζονται σε ζευγάρια. Τους δίνονται φύλλα εργασιών, στα οποία κάνουν την εργασία ανά δύο. Ο χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας είναι περιορισμένος (5-7 λεπτά). Ένα ζευγάρι μαθητών δουλεύει στον υπολογιστή, ο προβολέας σβήνει κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου και τα υπόλοιπα παιδιά δεν μπορούν να δουν πώς δουλεύουν οι μαθητές στον υπολογιστή.
Στο τέλος του χρόνου (υποτίθεται ότι η πλειοψηφία των μαθητών έχει ολοκληρώσει την εργασία), η εργασία των μαθητών εμφανίζεται στον διαδραστικό πίνακα (ο προβολέας ενεργοποιείται ξανά), όπου καθορίζεται κατά τον έλεγχο εάν η εργασία συμπληρώθηκε σωστά ανά ζευγάρια. Αν χρειαστεί, ο δάσκαλος εκτελεί διορθωτικές και επεξηγηματικές εργασίες.
Ανεξάρτητη εργασία σε ζευγάρια<Παράρτημα 2 >
5. Περίληψη μαθήματος.Σχετικά με τις ερωτήσεις που τέθηκαν πριν από τη διάλεξη. Ανακοίνωση βαθμών για το μάθημα.
Εργασία για το σπίτι §10. Αρ. 10.6(α,γ) 10.8-10.9(β) 10.12 (β)
Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης. Βαθμός 10 Σε 2 μέρη για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) / A.G. Mordkovich, L.O Denishcheva, T.A. επιμελήθηκε από A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007
Σημειώσεις μαθήματος για το θέμα «Αντίστροφη συνάρτηση»
Μάθημα 1. Διάλεξη για το θέμα "Αντίστροφη συνάρτηση"
Στόχος: Σχηματίστε μια θεωρητική συσκευή για το θέμα. Εισάγω
Η έννοια της αναστρέψιμης συνάρτησης.
Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης.
Διατυπώστε και αποδείξτε μια επαρκή συνθήκη για αναστρεψιμότητα
λειτουργίες?
Βασικές ιδιότητες των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων.
Σχέδιο μαθήματος διάλεξης
Οργανωτική στιγμή.
Ενημέρωση των απαραίτητων γνώσεων των μαθητών για την αντίληψη ενός νέου θέματος.
Παρουσίαση νέου υλικού.
Συνοψίζοντας το μάθημα.
Πρόοδος μαθήματος-διάλεξης
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Ενημέρωση γνώσεων. ( Μετωπική έρευνα για το θέμα του προηγούμενου μαθήματος.)
Ένα γράφημα της συνάρτησης εμφανίζεται στον διαδραστικό πίνακα για μαθητές (Εικ. 1). Ο δάσκαλος διατυπώνει μια εργασία - εξετάστε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης και απαριθμήστε τις ιδιότητες της συνάρτησης που μελετήθηκαν. Οι μαθητές απαριθμούν τις ιδιότητες μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον ερευνητικό σχεδιασμό. Ο δάσκαλος, στα δεξιά της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, σημειώνει τις ονομαστικές ιδιότητες με έναν δείκτη στον διαδραστικό πίνακα.
Ρύζι. 1
Ιδιότητες λειτουργίας:
3. Θέτοντας στόχους για τους μαθητές.
Στο τέλος της μελέτης, ο δάσκαλος αναφέρει ότι σήμερα στο μάθημα θα εξοικειωθούν με μια άλλη ιδιότητα μιας συνάρτησης - την αντιστρεψιμότητα. Για να μελετήσει ουσιαστικά το νέο υλικό, ο δάσκαλος καλεί τα παιδιά να εξοικειωθούν με τις κύριες ερωτήσεις που πρέπει να απαντήσουν οι μαθητές στο τέλος του μαθήματος. Κάθε μαθητής έχει ερωτήσεις με τη μορφή φυλλαδίων (που διανέμονται πριν από το μάθημα).
Ερωτήσεις:
1. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αντιστρεπτή;
2. Ποια συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφη;
3. Πώς συνδέονται μεταξύ τους τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών άμεσων και αντίστροφων συναρτήσεων;
4. Διατυπώστε μια επαρκή συνθήκη για την αντιστρεψιμότητα μιας συνάρτησης.
5. Το αντίστροφο μιας αύξουσας συνάρτησης μειώνεται ή αυξάνεται;
6. Το αντίστροφο μιας περιττής συνάρτησης είναι άρτιο ή περιττό;
7. Πώς διατάσσονται οι γραφικές παραστάσεις των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων;
4. Παρουσίαση νέου υλικού.
1) Η έννοια της αντιστρεπτής συνάρτησης. Επαρκής συνθήκη για αναστρεψιμότητα.
Στον διαδραστικό πίνακα, ο δάσκαλος συγκρίνει τα γραφήματα δύο συναρτήσεων των οποίων οι τομείς ορισμού και τα σύνολα τιμών είναι τα ίδια, αλλά η μία από τις συναρτήσεις είναι μονότονη και η άλλη όχι (Εικ. 2). Έτσι, η συνάρτηση έχει μια ιδιότητα που δεν είναι χαρακτηριστική της συνάρτησης: όποιον αριθμό από το σύνολο των τιμών της συνάρτησηςφά ( x ) ανεξάρτητα από το τι, είναι η τιμή μιας συνάρτησης μόνο σε ένα σημείο, έτσι ο δάσκαλος οδηγεί τους μαθητές στην έννοια της αντιστρεπτής συνάρτησης.
Ρύζι. 2
Στη συνέχεια, ο δάσκαλος διατυπώνει τον ορισμό μιας αντιστρεπτής συνάρτησης και πραγματοποιεί μια απόδειξη του θεωρήματος της αντιστρεπτής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση μιας μονότονης συνάρτησης στον διαδραστικό πίνακα.
Ορισμός 1. Η συνάρτηση καλείταιαναστρεπτός , εάν λάβει κάποια από τις τιμές του μόνο σε ένα σημείο του συνόλουΧ .
Θεώρημα. Εάν η συνάρτηση είναι μονότονη στο σετΧ , τότε είναι αναστρέψιμο.
Απόδειξη:
Αφήστε τη λειτουργία y=f(x) αυξάνεται στο σετΧκαι ας Χ 1 ≠х 2 – δύο σημεία του σετΧ .
Για να γίνουμε συγκεκριμένοι, αςΧ 1 < Χ 2 . Στη συνέχεια από το γεγονός ότιΧ 1 < Χ 2 λόγω της αύξησης της συνάρτησης προκύπτει ότιf(x 1 ) < f(x 2 ) .
Έτσι, διαφορετικές τιμές του ορίσματος αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές της συνάρτησης, δηλ. η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη.
Το θεώρημα αποδεικνύεται ομοίως στην περίπτωση μιας φθίνουσας συνάρτησης.
(Καθώς προχωρά η απόδειξη του θεωρήματος, ο δάσκαλος χρησιμοποιεί ένα μαρκαδόρο για να κάνει όλες τις απαραίτητες εξηγήσεις στο σχέδιο)
Πριν διατυπώσει τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης, ο δάσκαλος ζητά από τους μαθητές να προσδιορίσουν ποια από τις προτεινόμενες συναρτήσεις είναι αντιστρέψιμη; Ο διαδραστικός πίνακας εμφανίζει γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 3, 4) και γράφει πολλές αναλυτικά καθορισμένες συναρτήσεις:
ΕΝΑ
)
σι
)
Ρύζι. 3 Εικ. 4
V ) y = 2x + 5; σολ ) y = - + 7.
Σχόλιο. Η μονοτονία της συνάρτησης είναιεπαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη της αντίστροφης συνάρτησης. Αλλά αυτόδεν είναι απαραίτητη προϋπόθεση.
Ο δάσκαλος δίνει παραδείγματα διάφορες καταστάσεις, όταν η συνάρτηση δεν είναι μονότονη, αλλά αντιστρεπτή, όταν η συνάρτηση δεν είναι μονότονη και όχι αντιστρέψιμη, όταν είναι μονότονη και αντιστρεπτή.
2) Η έννοια της αντίστροφης συνάρτησης. Αλγόριθμος σύνθεσης αντίστροφης συνάρτησης.
Ορισμός 2. Αφήστε το αντιστρέψιμο να λειτουργήσειy=f(x) ορίζεται στο σετΧ και το εύρος των αξιών τουE(f)=Y . Ας ταιριάξουμε το καθέναyαπό Υ αυτό είναι το μόνο νόημαΧ, στο οποίο f(x)=y. Τότε παίρνουμε μια συνάρτηση που ορίζεται στοΥ, Α Χ – εύρος τιμών συνάρτησης. Αυτή η λειτουργία έχει καθοριστείx=f -1 (y),και καλέστε αντίστροφο σε σχέση με τη λειτουργίαy=f(x), .
Στη συνέχεια ο δάσκαλος εισάγει τους μαθητές σε μια μέθοδο εύρεσης μιας αντίστροφης συνάρτησης που δίνεται αναλυτικά.
Αλγόριθμος για τη σύνθεση μιας αντίστροφης συνάρτησης για μια συνάρτηση y = φά ( x ), .
Βεβαιωθείτε ότι η λειτουργίαy=f(x) αναστρέψιμη στο μεσοδιάστημαΧ .
Μεταβλητή ExpressΧδιά μέσου στοαπό την εξ. y=f(x), λαμβάνοντας υπόψη ότι.
Στην ισότητα που προκύπτει, αλλάξτε θέσειςΧΚαι στο. Αντί για x=f -1 (y)γράφω y=f -1 (x).
Επί συγκεκριμένα παραδείγματαΟ δάσκαλος δείχνει πώς να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον αλγόριθμο.
Παράδειγμα 1. Δείξτε το για μια συνάρτησηy=2x-5
Διάλυμα . Γραμμική συνάρτησηy=2x-5καθορίζεται στις R, αυξάνεται κατά R και το εύρος τιμών του είναιR. Αυτό σημαίνει ότι η αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει σεR . Για να βρούμε την αναλυτική του έκφραση, λύνουμε την εξίσωσηy=2x-5σχετικά Χ ; θα το πάρουμε. Ας επαναπροσδιορίσουμε τις μεταβλητές και ας αποκτήσουμε την επιθυμητή αντίστροφη συνάρτηση. Ορίζεται και αυξάνεται στο R.
Παράδειγμα 2. Δείξτε το για μια συνάρτησηy=x 2 , x ≤ 0 υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση και βρείτε την αναλυτική της έκφραση.
Διάλυμα . Η συνάρτηση είναι συνεχής, μονότονη στο πεδίο ορισμού της, επομένως είναι αντιστρεπτή. Έχοντας αναλύσει τα πεδία ορισμού και τα σύνολα τιμών της συνάρτησης, προκύπτει ένα αντίστοιχο συμπέρασμα σχετικά με την αναλυτική έκφραση για την αντίστροφη συνάρτηση, η οποία έχει τη μορφή.
3) Ιδιότητες αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων.
Ιδιοκτησία 1.Αν σολ – λειτουργία αντίστροφη προς φά , τότε φά – λειτουργία αντίστροφη προς σολ (οι συναρτήσεις είναι αμοιβαία αντίστροφες), ενώρε ( σολ )= μι ( φά ), μι ( σολ )= ρε ( φά ) .
Ιδιοκτησία 2. Εάν μια συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται) στο σύνολο X και το Y είναι το εύρος τιμών της συνάρτησης, τότε η αντίστροφη συνάρτηση αυξάνεται (μειώνεται) στο Y.
Ιδιοκτησία 3. Για να λάβετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που είναι αντίστροφη προς μια συνάρτηση, πρέπει να μετατρέψετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης συμμετρικά ως προς την ευθεία γραμμήy=x .
Ιδιοκτησία 4. Αν περιττή συνάρτησηείναι αντιστρέψιμο, τότε το αντίστροφό του είναι επίσης περιττό.
Ιδιοκτησία 5.Εάν οι λειτουργίες φά ( x ) Και αμοιβαία αντίστροφα, τότε ισχύει για οποιονδήποτε, και ισχύει για όλους.
Παράδειγμα 3. Σχεδιάστε ένα γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης, αν είναι δυνατόν.
Διάλυμα. Σε όλο το πεδίο ορισμού του αυτή τη λειτουργίαδεν έχει αντίστροφο γιατί δεν είναι μονοτονικό. Επομένως, ας εξετάσουμε το διάστημα στο οποίο η συνάρτηση είναι μονότονη: αυτό σημαίνει ότι υπάρχει το αντίστροφο. Θα βρούμεαυτήν . Για να το κάνουμε αυτό, ας εκφράσουμεx διά μέσουy : . Ας την επαναπροσδιορίσουμε ως αντίστροφη συνάρτηση. Ας σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις (Εικ. 5) και ας βεβαιωθούμε ότι είναι συμμετρικές ως προς την ευθείαy = x .
Ρύζι. 5
Παράδειγμα 4. Βρείτε το σύνολο τιμών καθεμιάς από τις αμοιβαίες συναρτήσεις αν είναι γνωστό ότι.
Διάλυμα. Σύμφωνα με την ιδιότητα 1 των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων, έχουμε.
5 . Ανακεφαλαίωση
Διεξαγωγή διαγνωστική εργασία. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι να προσδιορίσει το επίπεδο αφομοίωσης εκπαιδευτικό υλικόσυζητήθηκε στη διάλεξη. Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν στις ερωτήσεις που διατυπώθηκαν στην αρχή της διάλεξης.
6 . Ρύθμιση εργασιών για το σπίτι.
1. Κατανοήστε το υλικό της διάλεξης, μάθετε τους βασικούς ορισμούς και δηλώσεις των θεωρημάτων.
2. Να αποδείξετε τις ιδιότητες των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων.
Μάθημα 2. Εργαστήριο με θέμα «Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης. Επαρκής συνθήκη για την αντιστρεψιμότητα μιας συνάρτησης"
Στόχος: να αναπτύξει την ικανότητα εφαρμογής θεωρητικών γνώσεων για το θέμα κατά την επίλυση προβλημάτων, να εξετάσει τους κύριους τύπους προβλημάτων για τη μελέτη μιας συνάρτησης για αντιστρεψιμότητα, για την κατασκευή μιας αντίστροφης συνάρτησης.
Σχέδιο μαθήματος εργαστηρίου:
1. Οργανωτική στιγμή.
2. Επικαιροποίηση γνώσεων (μπροστινή εργασία μαθητών).
3. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης (επίλυση προβλημάτων).
4. Συνοψίζοντας το μάθημα.
5. Ρύθμιση εργασιών για το σπίτι.
Η πρόοδος του μαθήματος.
1. Οργανωτική στιγμή.
Χαιρετισμός του δασκάλου, έλεγχος της ετοιμότητας των μαθητών για το μάθημα.
2. Ενημέρωση γνώσεων. ( μετωπική εργασία των μαθητών).
Οι μαθητές καλούνται να ολοκληρώσουν προφορικά τις παρακάτω εργασίες:
1. Διατυπώστε μια επαρκή συνθήκη για την αντιστρεψιμότητα μιας συνάρτησης.
2. Μεταξύ των συναρτήσεων των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο σχήμα, να αναφέρετε εκείνες που είναι αναστρέψιμες.
3. Να διατυπώσετε έναν αλγόριθμο για τη σύνθεση μιας συνάρτησης αντίστροφη σε μια δεδομένη.
4. Υπάρχουν αντίστροφες συναρτήσεις δεδομένων; Εάν η απάντηση είναι ναι, βρείτε τα:
ΕΝΑ) ; σι ) ; ντο ) .
5. Οι συναρτήσεις των οποίων τα γραφήματα φαίνονται στο σχήμα είναι αμοιβαία αντίστροφες (Εικ. 6); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Ρύζι. 6
3. Εμπέδωση διδαγμένου υλικού (επίλυση προβλημάτων).
Η ενοποίηση του υλικού που μελετήθηκε αποτελείται από δύο στάδια:
Ατομική ανεξάρτητη εργασία των μαθητών.
Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα της ατομικής εργασίας.
Στο πρώτο στάδιο προσφέρονται στους μαθητές κάρτες με εργασίες που ολοκληρώνουν ανεξάρτητα.
Εργασία 1.
Είναι οι συναρτήσεις αντιστρέψιμες σε ολόκληρο τον τομέα τους; Αν ναι, τότε βρείτε το αντίστροφο σε αυτό.
ένα) ; β) ; γ) .
Εργασία 2.
Είναι οι συναρτήσεις αμοιβαία αντίστροφες;
Α) ;
σι ) .
Εργασία 3.
Εξετάστε τη συνάρτηση σε καθένα από τα υποδεικνυόμενα διαστήματα, εάν σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, τότε ορίστε την αντίστροφη αναλυτική της, υποδείξτε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών:
ένα ) R ; σι ) ; ρε ) [-2;0].
Εργασία 4.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι μη αναστρέψιμη. Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση στο διάστημα και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της.
Εργασία 5.
Γράφημα τη συνάρτηση και προσδιορίστε αν υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση για αυτήν. Εάν ναι, τότε σχεδιάστε την αντίστροφη συνάρτηση στο ίδιο σχέδιο και ορίστε την αναλυτικά:
ένα ) ; σι ) .
Στο στάδιο της σύνοψης των αποτελεσμάτων της ατομικής εργασίας των μαθητών, οι εργασίες ελέγχονται μόνο με την καταγραφή των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Τα προβλήματα που προκάλεσαν τις περισσότερες δυσκολίες εξετάζονται στον πίνακα, είτε αποκαλύπτοντας την αναζήτηση λύσεων, είτε καταγράφοντας ολόκληρη τη λύση.
4. Συνοψίζοντας το μάθημα (στοχασμός).
Στους μαθητές προσφέρεται ένα μίνι ερωτηματολόγιο:
Τι μου άρεσε στο μάθημα;________________________________
Τι δεν μου άρεσε στο μάθημα;________________________________
_________________________________________________________________
Παρακαλώ αναφέρετε τη μία δήλωση που σας ταιριάζει καλύτερα:
1) Μπορώ να εξετάσω ανεξάρτητα μια συνάρτηση για αντιστρεψιμότητα, να κατασκευάσω το αντίστροφό της και να είμαι σίγουρος για την ορθότητα του αποτελέσματος.
2) Μπορώ να εξετάσω μια συνάρτηση για αντιστρεψιμότητα, να κατασκευάσω το αντίστροφό της, αλλά δεν είμαι πάντα σίγουρος για την ορθότητα του αποτελέσματος, χρειάζομαι τη βοήθεια των φίλων μου.
3) Πρακτικά δεν μπορώ να μελετήσω τη συνάρτηση για αντιστρεψιμότητα, να κατασκευάσω το αντίστροφο, χρειάζομαι επιπλέον συμβουλές από τον δάσκαλο.
Πού μπορώ να εφαρμόσω τις γνώσεις που έχω αποκτήσει;___________________ _________________________________________________________________
5. Ρύθμιση εργασιών για το σπίτι.
№ 10.3, 10.6 (γ, δ), 10.7 (γ, δ), 10.9 (γ, δ), 10.13 (γ, δ), 10.18.(Mordkovich, A.G. Άλγεβρα και αρχές μαθηματικής ανάλυσης 10ης τάξης. Στις 2 μ.μ. Μέρος 2. Βιβλίο προβλημάτων για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (επίπεδο προφίλ) / Α.Γ. Mordkovich, P.V. Σεμένοφ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2014. - 384 σελ.)
Θέμα: «Αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις».
Στόχοι μαθήματος:
Εκπαιδευτικός:
Επαναλάβετε και συνοψίστε τις γνώσεις των μαθητών για το θέμα «Συνάρτηση» που μελετήθηκε στην 9η τάξη. Εξοικειωθείτε με αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις, μελετήστε τις συνθήκες ύπαρξης μιας αντίστροφης συνάρτησης και τις ιδιότητές της, μάθετε πώς να δημιουργείτε γραφήματα αντίστροφων συναρτήσεων.
Εκπαιδευτικός:
Να αναπτύξουν τη δημιουργική και διανοητική δραστηριότητα των μαθητών, τις πνευματικές τους ιδιότητες: την ικανότητα να «βλέπουν» ένα πρόβλημα.
Αναπτύξτε την ικανότητα να εκφράζετε καθαρά και ξεκάθαρα τις σκέψεις σας, να ερευνάτε, να αναλύετε, να συγκρίνετε και να βγάζετε συμπεράσματα.
Να αναπτύξει το ενδιαφέρον των μαθητών για την ανεξάρτητη δημιουργικότητα.
Να αναπτύξουν τη χωρική φαντασία των μαθητών.
Εκπαιδευτικός:
Να αναπτύξει την ικανότητα εργασίας με τις διαθέσιμες πληροφορίες σε μια ασυνήθιστη κατάσταση.
Καλλιεργήστε την ακρίβεια και την ευσυνειδησία.
Παροχή αισθητικής αγωγής.
Τύπος μαθήματος:σε συνδυασμό.
Εξοπλισμός:
προβολέας πολυμέσων?
Συμπλήρωμα μαθήματος: (Παρουσίαση) – σε ηλεκτρονικά μέσα.
Εργαλεία μάθησης: υπολογιστές, πρόγραμμαΠροέχω, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση διαφανειών.
Demos: γραφήματα συναρτήσεων που κατασκευάζονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων.
Μορφές οργάνωσης εκπαιδευτικές δραστηριότητες: ατομικό, διάλογος, εργασία με κείμενο διαφανειών, ερευνητική εργασίασε ένα σημειωματάριο.
Μέθοδοι: οπτική, λεκτική,γραφικό, έρευνα.
Η πρόοδος του μαθήματος.
1. Εισαγωγική ομιλία από τον εκπαιδευτικό. Εισαγωγική συνομιλία. Ψυχολογική στάσηφοιτητόκοσμος.
Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, εσείς και εγώ πρέπει να επαναλάβουμε και να γενικεύσουμε τις γνώσεις σχετικά με το θέμα "Συνάρτηση" που μελετήθηκε στην τάξη 9, να εξοικειωθούμε με αμοιβαία αντίστροφες συναρτήσεις, να μελετήσουμε τις συνθήκες ύπαρξης μιας αντίστροφης συνάρτησης και τις ιδιότητές της, να μάθουμε πώς να κατασκευάζουμε γραφήματα των αντίστροφων συναρτήσεων. Ας ευχηθούμε ο ένας στον άλλον επιτυχία και γόνιμη δουλειά.
2. Επανάληψη του υλικού που καλύπτεται με θέμα «Συναρτήσεις και τα γραφήματα τους». Παρουσίαση.
Διαφάνειες 2-10. Μετωπική εργασία με την τάξη.
3. Μελέτη νέου υλικού. Εκπαιδευτική συνομιλία με στοιχεία έρευνας και επίδειξης (διαφάνειες 11-24)
Ένα παράδειγμα εξάρτησης. Κάθε τιμή συνάρτησης αντιστοιχεί σε μία τιμή ορίσματος.
Για τέτοιες συναρτήσεις, είναι δυνατό να εκφραστεί η αντίστροφη εξάρτηση των τιμών των ορισμάτων από τις τιμές της συνάρτησης.
Ασκηση.
Βρείτε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των αμοιβαία αντίστροφων συναρτήσεων.
4. Εμπέδωση γνώσεων.
