Διατύπωση ιδιοτήτων παραλληλογράμμου. Παραλληλόγραμμο. Χαρακτηριστικά παρακείμενων γωνιών

Εργασία 4.

Μία από τις διαγώνιους ενός παραλληλογράμμου με μήκος 4√6 σχηματίζει γωνία 60° με τη βάση και η δεύτερη διαγώνιος σχηματίζει γωνία 45° με την ίδια βάση. Βρείτε τη δεύτερη διαγώνιο.

Διάλυμα.

1. AO = 2√6.

2. Εφαρμόζουμε το ημιτονικό θεώρημα στο τρίγωνο AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Απάντηση: 12.

Εργασία 5.

Για παραλληλόγραμμο με πλευρές 5√2 και 7√2, η μικρότερη γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι ίση με τη μικρότερη γωνία του παραλληλογράμμου. Να βρείτε το άθροισμα των μηκών των διαγωνίων.

Διάλυμα.

Έστω d 1, d 2 οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου και η γωνία μεταξύ των διαγωνίων και της μικρότερης γωνίας του παραλληλογράμμου είναι ίση με φ.

1. Ας μετρήσουμε δύο διαφορετικά
τρόπους περιοχής του.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Λαμβάνουμε την ισότητα 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ή

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των πλευρών και των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, γράφουμε την ισότητα

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Ας πολλαπλασιάσουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος επί 2 και ας την προσθέσουμε στην πρώτη.

Παίρνουμε (d 1 + d 2) 2 = 576. Επομένως Id 1 + d 2 I = 24.

Επειδή τα d 1, d 2 είναι τα μήκη των διαγωνίων του παραλληλογράμμου, τότε d 1 + d 2 = 24.

Απάντηση: 24.

Εργασία 6.

Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι 4 και 6. Η οξεία γωνία μεταξύ των διαγωνίων είναι 45 μοίρες. Βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου.

Διάλυμα.

1. Από το τρίγωνο ΑΟΒ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, γράφουμε τη σχέση μεταξύ της πλευράς του παραλληλογράμμου και των διαγωνίων.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 (d 1 /2) (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Ομοίως γράφουμε τη σχέση για το τρίγωνο ΑΟΔ.

Ας το λάβουμε υπόψη<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Παίρνουμε την εξίσωση d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Έχουμε σύστημα
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Αφαιρώντας την πρώτη από τη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 2d 1 · d 2 √2 = 80 ή

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Σημείωμα:Σε αυτό και στο προηγούμενο πρόβλημα δεν χρειάζεται να λυθεί πλήρως το σύστημα, προβλέποντας ότι σε αυτό το πρόβλημα χρειαζόμαστε το γινόμενο των διαγωνίων για να υπολογίσουμε το εμβαδόν.

Απάντηση: 10.

Εργασία 7.

Το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι 96 και οι πλευρές του είναι 8 και 15. Βρείτε το τετράγωνο της μικρότερης διαγωνίου.

Διάλυμα.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Ας κάνουμε μια αντικατάσταση στον τύπο.

Παίρνουμε 96 = 8 · 15 · sin VAD. Ως εκ τούτου αμαρτία VAD = 4/5.

2. Ας βρούμε το cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, βρίσκουμε το μήκος της μικρότερης διαγωνίου. Η διαγώνιος ΒD θα είναι μικρότερη εάν η γωνία ВАD είναι οξεία. Τότε cos VAD = 3 / 5.

3. Από το τρίγωνο ΑΒΔ, χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου, βρίσκουμε το τετράγωνο της διαγωνίου ΒΔ.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Απάντηση: 145.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε ένα πρόβλημα γεωμετρίας;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την αρχική πηγή.

Παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες ανά ζεύγη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το παραλληλόγραμμο ABCD. Έχει την πλευρά ΑΒ παράλληλη προς την πλευρά CD και την πλευρά BC παράλληλη στην πλευρά ΑΔ.

Όπως ίσως έχετε μαντέψει, ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Ας εξετάσουμε τις βασικές ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

Ιδιότητες παραλληλογράμμου

1. Σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες και οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Ας αποδείξουμε αυτήν την ιδιότητα - θεωρήστε το παραλληλόγραμμο που παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήμα.

Η διαγώνια BD τη χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα: ABD και CBD. Είναι ίσες κατά μήκος της πλευράς BD και των δύο παρακείμενων γωνιών, αφού οι γωνίες που βρίσκονται εγκάρσια στην τέμνουσα BD των παράλληλων ευθειών BC και AD και AB και CD, αντίστοιχα. Επομένως ΑΒ = CD και
π.Χ. = μ.Χ. Και από την ισότητα των γωνιών 1, 2, 3 και 4 προκύπτει ότι γωνία Α = γωνία1 + γωνία3 = γωνία2 + γωνία 4 = γωνία Γ.

2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής. Έστω σημείο Ο το σημείο τομής των διαγωνίων AC και BD του παραλληλογράμμου ABCD.

Τότε το τρίγωνο AOB και το τρίγωνο COD είναι ίσα μεταξύ τους, κατά μήκος της πλευράς και δύο παρακείμενες γωνίες. (AB = CD δεδομένου ότι αυτές είναι αντίθετες πλευρές του παραλληλογράμμου. Και η γωνία 1 = γωνία 2 και η γωνία 3 = γωνία 4 είναι σαν εγκάρσιες γωνίες όταν οι ευθείες AB και CD τέμνονται με τις τομές AC και BD, αντίστοιχα.) Από αυτό προκύπτει ότι AO = OC και OB = OD, τα οποία και έπρεπε να αποδειχθούν.

Όλες οι κύριες ιδιότητες απεικονίζονται στα ακόλουθα τρία σχήματα.

Θέμα μαθήματος

• Ιδιότητες των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου.

Στόχοι μαθήματος

• Εξοικειωθείτε με νέους ορισμούς και θυμηθείτε μερικούς ήδη μελετημένους.
• Να αναφέρετε και να αποδείξετε την ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου.
• Μάθετε να εφαρμόζετε τις ιδιότητες των σχημάτων κατά την επίλυση προβλημάτων.
• Αναπτυξιακή - για να αναπτύξουν την προσοχή των μαθητών, την επιμονή, την επιμονή, τη λογική σκέψη, τη μαθηματική ομιλία.
• Εκπαιδευτικό - μέσα από το μάθημα, καλλιεργήστε μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλον, ενσταλάξτε την ικανότητα να ακούτε τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια και την ανεξαρτησία.

Στόχοι μαθήματος

• Δοκιμάστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών.

Σχέδιο μαθήματος

1. Εναρκτήρια σχόλια.
2. Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως.
3. Παραλληλόγραμμο, οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά του.
4. Παραδείγματα εργασιών.
5. Αυτοέλεγχος.

Εισαγωγή

«Μια μεγάλη επιστημονική ανακάλυψη δίνει λύση σε ένα μεγάλο πρόβλημα, αλλά στη λύση κάθε προβλήματος υπάρχει ένας κόκκος ανακάλυψης».

Ιδιότητα των απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου

Ένα παραλληλόγραμμο έχει απέναντι πλευρές που είναι ίσες.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Και αφήστε τις διαγώνιές του να τέμνονται στο σημείο Ο.
Αφού Δ AOB = Δ COD με το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων (∠ AOB = ∠ COD, ως κατακόρυφα, AO=OC, DO=OB, από την ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου), τότε AB=CD. Με τον ίδιο τρόπο, από την ισότητα των τριγώνων BOC και DOA, προκύπτει ότι BC = DA. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ιδιότητα απέναντι γωνιών παραλληλογράμμου

Σε ένα παραλληλόγραμμο οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Και αφήστε τις διαγώνιές του να τέμνονται στο σημείο Ο.
Από όσα αποδείχθηκαν στο θεώρημα για τις ιδιότητες των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου Δ ABC = Δ CDA σε τρεις πλευρές (AB=CD, BC=DA από ότι αποδείχθηκε, AC – γενική). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι ∠ ABC = ∠ CDA.
Αποδεικνύεται επίσης ότι ∠ DAB = ∠ BCD, που προκύπτει από το ∠ ABD = ∠ CDB. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ιδιότητα των διαγωνίων παραλληλογράμμου

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου τέμνονται και διχοτομούνται στο σημείο τομής.

Απόδειξη.

Έστω ABCD το δεδομένο παραλληλόγραμμο. Ας σχεδιάσουμε τη διαγώνιο AC. Ας σημειώσουμε το μεσαίο O στη συνέχεια του τμήματος DO, θα αφήσουμε στην άκρη το τμήμα OB 1 ίσο με DO.
Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, το AB 1 CD είναι ένα παραλληλόγραμμο. Επομένως, η ευθεία AB 1 είναι παράλληλη με το DC. Αλλά μέσω του σημείου Α μπορεί να σχεδιαστεί μόνο μία ευθεία παράλληλη προς το DC. Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΒ 1 συμπίπτει με την ευθεία ΑΒ.
Αποδεικνύεται επίσης ότι το 1 π.Χ. συμπίπτει με το π.Χ. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο C συμπίπτει με το C 1. το παραλληλόγραμμο ABCD συμπίπτει με το παραλληλόγραμμο AB 1 CD. Κατά συνέπεια, οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου τέμνονται και διχοτομούνται στο σημείο τομής. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Στα σχολικά βιβλία για τα κανονικά σχολεία (για παράδειγμα, στο Pogorelovo) αποδεικνύεται ως εξής: οι διαγώνιοι χωρίζουν ένα παραλληλόγραμμο σε 4 τρίγωνα. Ας εξετάσουμε ένα ζευγάρι και ας μάθουμε - είναι ίσες: οι βάσεις τους είναι απέναντι πλευρές, οι αντίστοιχες γωνίες που γειτνιάζουν με αυτό είναι ίσες, όπως κάθετες γωνίες με παράλληλες γραμμές. Δηλαδή, τα τμήματα των διαγωνίων είναι ίσα σε ζεύγη. Ολοι.

Αυτό είναι όλο;
Αποδείχθηκε παραπάνω ότι το σημείο τομής διχοτομεί τις διαγώνιες - αν υπάρχει. Ο παραπάνω συλλογισμός δεν αποδεικνύει με κανένα τρόπο την ίδια την ύπαρξή του. Δηλαδή, μέρος του θεωρήματος «οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου τέμνονται» παραμένει αναπόδεικτο.

Το αστείο είναι ότι αυτό το κομμάτι είναι πολύ πιο δύσκολο να αποδειχτεί. Αυτό προκύπτει, παρεμπιπτόντως, από ένα γενικότερο αποτέλεσμα: κάθε κυρτό τετράπλευρο θα έχει διαγώνιες που τέμνονται, αλλά κάθε μη κυρτό τετράπλευρο δεν θα έχει.

Σχετικά με την ισότητα των τριγώνων κατά μήκος μιας πλευράς και δύο παρακείμενων γωνιών (το δεύτερο σημάδι ισότητας τριγώνων) και άλλα.

Ο Θαλής βρήκε μια σημαντική πρακτική εφαρμογή στο θεώρημα της ισότητας δύο τριγώνων κατά μήκος μιας πλευράς και δύο γειτονικών γωνιών. Στο λιμάνι της Μιλήτου κατασκευάστηκε αποστασιόμετρο για να προσδιορίσει την απόσταση από ένα πλοίο στη θάλασσα. Αποτελούνταν από τρεις κινούμενους γόμφους A, B και C (AB = BC) και μια σημειωμένη ευθεία γραμμή SC, κάθετη στην CA. Όταν ένα πλοίο εμφανιζόταν στην ευθεία SK, βρήκαμε το σημείο D τέτοιο ώστε τα σημεία D, .B και E να βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Όπως φαίνεται από το σχέδιο, η απόσταση CD στο έδαφος είναι η επιθυμητή απόσταση από το πλοίο.

Ερωτήσεις

1. Διαιρούνται οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου στο μισό με το σημείο τομής;
   
2. Είναι ίσες οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου;
3. Είναι ίσες οι απέναντι γωνίες ενός παραλληλογράμμου;
4. Να αναφέρετε τον ορισμό του παραλληλογράμμου;
5. Πόσα σημάδια ενός παραλληλογράμμου;
   
6. Μπορεί ένας ρόμβος να είναι παραλληλόγραμμο;
   

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Kuznetsov A.V., δάσκαλος μαθηματικών (τάξεις 5-9), Κίεβο
2. «Ενιαία Κρατική Εξέταση 2006. Μαθηματικά. Εκπαιδευτικό και εκπαιδευτικό υλικό για την προετοιμασία των μαθητών / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. «Επίλυση των βασικών αγωνιστικών προβλημάτων στα μαθηματικά της συλλογής που επιμελήθηκε ο Μ. Ι. Σκαναβή»
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometry, 7 – 9: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα"

Δουλέψαμε στο μάθημα

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Μπορείτε να θέσετε μια ερώτηση σχετικά με τη σύγχρονη εκπαίδευση, να εκφράσετε μια ιδέα ή να λύσετε ένα πιεστικό πρόβλημα στο Εκπαιδευτικό φόρουμ, όπου ένα εκπαιδευτικό συμβούλιο φρέσκιας σκέψης και δράσης συνεδριάζει διεθνώς. Έχοντας δημιουργήσει blog,Δεν θα βελτιώσετε μόνο την κατάστασή σας ως ικανός δάσκαλος, αλλά και θα συμβάλετε σημαντικά στην ανάπτυξη του σχολείου του μέλλοντος. Συντεχνία Εκπαιδευτικών Ηγετώνανοίγει πόρτες σε κορυφαίους ειδικούς και τους προσκαλεί να συνεργαστούν για τη δημιουργία των καλύτερων σχολείων στον κόσμο.