Πώς να βγάλετε τη ρίζα από κάτω από τη ρίζα. Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας

Στα μαθηματικά, το ερώτημα πώς να εξαγάγετε μια ρίζα θεωρείται σχετικά απλό. Αν τετραγωνίσουμε αριθμούς από τις φυσικές σειρές: 1, 2, 3, 4, 5...n, τότε παίρνουμε τις ακόλουθες σειρές τετραγώνων: 1, 4, 9, 16...n 2. Η σειρά των τετραγώνων είναι άπειρη, και αν την κοιτάξετε προσεκτικά, θα δείτε ότι δεν υπάρχουν πολλοί ακέραιοι αριθμοί σε αυτήν. Το γιατί συμβαίνει αυτό θα εξηγηθεί λίγο αργότερα.

Ρίζα αριθμού: κανόνες υπολογισμού και παραδείγματα

Έτσι, τετραγωνίσαμε τον αριθμό 2, δηλαδή τον πολλαπλασιάσαμε με τον εαυτό του και πήραμε 4. Πώς να εξαγάγουμε τη ρίζα του αριθμού 4; Ας πούμε αμέσως ότι οι ρίζες μπορεί να είναι τετράγωνες, κυβικές και οποιοσδήποτε βαθμός μέχρι το άπειρο.

Βαθμός ρίζας – πάντα φυσικός αριθμός, δηλαδή, είναι αδύνατο να λυθεί μια τέτοια εξίσωση: μια ρίζα στη δύναμη του 3,6 του n.

Τετραγωνική ρίζα

Ας επιστρέψουμε στο ερώτημα πώς να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα του 4. Αφού τετραγωνίσαμε τον αριθμό 2, θα εξαγάγουμε και την τετραγωνική ρίζα. Για να εξαγάγετε σωστά τη ρίζα του 4, απλά πρέπει να επιλέξετε τον σωστό αριθμό που, όταν τετραγωνιστεί, θα έδινε τον αριθμό 4. Και αυτό, φυσικά, είναι το 2. Δείτε το παράδειγμα:

• 2 2 =4
• Ρίζα 4 = 2

Αυτό το παράδειγμα είναι αρκετά απλό. Ας προσπαθήσουμε να εξαγάγουμε την τετραγωνική ρίζα του 64. Ποιος αριθμός όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει το 64; Προφανώς είναι 8.

• 8 2 =64
• Ρίζα του 64=8

Κυβική ρίζα

Όπως ειπώθηκε παραπάνω, οι ρίζες δεν είναι μόνο τετράγωνες χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε με μεγαλύτερη σαφήνεια πώς να εξαγάγουμε μια ρίζα κύβου ή μια ρίζα τρίτου βαθμού. Η αρχή της εξαγωγής μιας κυβικής ρίζας είναι η ίδια με αυτή μιας τετραγωνικής ρίζας, η μόνη διαφορά είναι ότι ο απαιτούμενος αριθμός αρχικά πολλαπλασιάστηκε από μόνος του όχι μία, αλλά δύο φορές. Δηλαδή, ας πούμε ότι πήραμε το ακόλουθο παράδειγμα:

• 3x3x3=27
• Φυσικά, η κυβική ρίζα του 27 είναι τρεις:
• Ρίζα 3 από 27 = 3

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την κυβική ρίζα του 64. Για να λύσετε αυτή την εξίσωση, αρκεί να βρείτε έναν αριθμό που, όταν ανυψωθεί στην τρίτη δύναμη, θα έδινε το 64.

• 4 3 =64
• Ρίζα 3 από 64 = 4

Εξάγετε τη ρίζα ενός αριθμού σε μια αριθμομηχανή

Φυσικά, είναι καλύτερο να μάθουμε να εξάγουμε τετράγωνες, κύβους και άλλες ρίζες μέσω της εξάσκησης, λύνοντας πολλά παραδείγματα και απομνημονεύοντας πίνακες τετραγώνων και κύβων μικρών αριθμών. Στο μέλλον, αυτό θα διευκολύνει και θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για την επίλυση των εξισώσεων. Αν και, πρέπει να σημειωθεί ότι μερικές φορές είναι απαραίτητο να εξαχθεί η ρίζα αυτού του είδους μεγάλο αριθμόότι η εύρεση του σωστού τετράγωνου αριθμού θα ήταν πολύ δύσκολη, αν ήταν δυνατόν. Για να βοηθήσει στην εξαγωγή τετραγωνική ρίζαθα έρθει μια κανονική αριθμομηχανή. Πώς να εξαγάγετε τη ρίζα σε μια αριθμομηχανή; Πολύ απλά εισάγετε τον αριθμό από τον οποίο θέλετε να βρείτε το αποτέλεσμα. Τώρα ρίξτε μια προσεκτική ματιά στα κουμπιά της αριθμομηχανής. Ακόμη και το πιο απλό από αυτά έχει ένα κλειδί με εικονίδιο root. Κάνοντας κλικ σε αυτό, θα έχετε αμέσως το τελικό αποτέλεσμα.

Δεν μπορεί να εξαχθεί κάθε αριθμός ολόκληρη ρίζα, εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα:

Root of 1859 = 43,116122…

Μπορείτε ταυτόχρονα να προσπαθήσετε να λύσετε αυτό το παράδειγμα σε μια αριθμομηχανή. Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός που προκύπτει δεν είναι ακέραιος, επιπλέον, το σύνολο των ψηφίων μετά την υποδιαστολή δεν είναι πεπερασμένο. Οι ειδικοί αριθμομηχανές μηχανικής μπορούν να δώσουν πιο ακριβές αποτέλεσμα, αλλά το πλήρες αποτέλεσμα απλά δεν ταιριάζει στην οθόνη των συνηθισμένων. Και αν συνεχίσετε τη σειρά των τετραγώνων που ξεκινήσατε νωρίτερα, δεν θα βρείτε τον αριθμό 1859 σε αυτήν ακριβώς επειδή ο αριθμός που τετραγωνίστηκε για να τον αποκτήσετε δεν είναι ακέραιος.

Εάν πρέπει να εξαγάγετε την τρίτη ρίζα σε μια απλή αριθμομηχανή, τότε πρέπει να κάνετε διπλό κλικ στο κουμπί με το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, πάρτε τον αριθμό 1859 που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω και πάρτε την κυβική ρίζα από αυτόν:

Root 3 of 1859 = 6,5662867…

Δηλαδή, αν ο αριθμός 6.5662867... ανυψωθεί στην τρίτη δύναμη, τότε παίρνουμε περίπου 1859. Έτσι, η εξαγωγή ριζών από αριθμούς δεν είναι δύσκολη, απλά πρέπει να θυμάστε τους παραπάνω αλγόριθμους.

Έχετε εθισμός στην αριθμομηχανή? Ή πιστεύετε ότι είναι πολύ δύσκολο να υπολογιστεί, για παράδειγμα, εκτός από μια αριθμομηχανή ή χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τετραγώνων.

Συμβαίνει ότι οι μαθητές είναι δεμένοι σε μια αριθμομηχανή και μάλιστα πολλαπλασιάζουν το 0,7 επί 0,5 πατώντας τα πολύτιμα κουμπιά. Λένε, καλά, ξέρω ακόμα να υπολογίζω, αλλά τώρα θα κερδίσω χρόνο... Όταν έρθει η εξέταση... τότε θα ζοριστώ...

Γεγονός λοιπόν είναι ότι θα υπάρχουν ήδη πολλές “αγχωτικές στιγμές” κατά τη διάρκεια των εξετάσεων... Όπως λένε, το νερό φθείρει τις πέτρες. Σε μια εξέταση λοιπόν, τα μικροπράγματα, αν είναι πολλά, μπορούν να σε καταστρέψουν...

Ας ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό των πιθανών προβλημάτων.

Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα ενός μεγάλου αριθμού

Τώρα θα μιλήσουμε μόνο για την περίπτωση που το αποτέλεσμα της εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας είναι ακέραιος.

Περίπτωση 1.

Έτσι, ας χρειαστεί με οποιοδήποτε κόστος (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό του διαχωριστικού) να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του 86436.

Θα συνυπολογίσουμε τον αριθμό 86436 σε πρώτους παράγοντες. Διαιρούμε με το 2, παίρνουμε 43218. διαιρούμε πάλι με το 2, παίρνουμε 21609. Ένας αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί με το 2. Επειδή όμως το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με το 3, τότε ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 3 (γενικά μιλώντας, είναι σαφές ότι διαιρείται επίσης με το 9). . Διαιρέστε ξανά με το 3 και παίρνουμε το 2401. Το 2401 δεν διαιρείται πλήρως με το 3. Δεν διαιρείται με το πέντε (δεν τελειώνει σε 0 ή 5).

Υποπτευόμαστε τη διαιρετότητα με το 7. Πράγματι, και ,

Λοιπόν, Ολοκληρώστε την παραγγελία!

Περίπτωση 2.

Ας πρέπει να υπολογίσουμε. Δεν είναι βολικό να ενεργείτε με τον ίδιο τρόπο όπως περιγράφεται παραπάνω. Προσπαθούμε να παραγοντοποιήσουμε...

Ο αριθμός 1849 δεν διαιρείται με το 2 (δεν είναι ζυγός)…

Δεν διαιρείται πλήρως με το 3 (το άθροισμα των ψηφίων δεν είναι πολλαπλάσιο του 3)...

Δεν διαιρείται πλήρως με το 5 (το τελευταίο ψηφίο δεν είναι ούτε 5 ούτε 0)…

Δεν διαιρείται πλήρως με το 7, δεν διαιρείται με το 11, δεν διαιρείται με το 13... Λοιπόν, πόσο καιρό θα μας πάρει για να ταξινομήσουμε όλους τους πρώτους αριθμούς;

Ας σκεφτούμε λίγο διαφορετικά.

Το καταλαβαίνουμε

Περιορίσαμε την αναζήτησή μας. Τώρα περνάμε από τους αριθμούς από το 41 έως το 49. Επιπλέον, είναι σαφές ότι αφού το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι το 9, τότε θα πρέπει να σταματήσουμε στις επιλογές 43 ή 47 - μόνο αυτοί οι αριθμοί, όταν τετραγωνιστούν, θα δίνουν το τελευταίο ψηφίο 9 .

Λοιπόν, εδώ, φυσικά, σταματάμε στο 43. Πράγματι,

P.S.Πώς στο διάολο πολλαπλασιάζουμε το 0,7 με το 0,5;

Θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 7, αγνοώντας τα μηδενικά και τα σημάδια, και στη συνέχεια να διαχωρίσετε, πηγαίνοντας από τα δεξιά προς τα αριστερά, δύο δεκαδικά ψηφία. Παίρνουμε 0,35.

Ήρθε η ώρα να το λύσουμε μέθοδοι εξαγωγής ριζών. Βασίζονται στις ιδιότητες των ριζών, ιδίως στην ισότητα, η οποία ισχύει για κάθε μη αρνητικό αριθμό b.

Παρακάτω θα δούμε τις κύριες μεθόδους εξαγωγής ριζών μία προς μία.

Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση - εξαγωγή ριζών από φυσικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας έναν πίνακα τετραγώνων, έναν πίνακα με κύβους κ.λπ.

Εάν πίνακες τετραγώνων, κύβων κ.λπ. Εάν δεν το έχετε στη διάθεσή σας, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο εξαγωγής της ρίζας, η οποία περιλαμβάνει την αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες.

Αξίζει ιδιαίτερα να αναφέρουμε τι είναι δυνατό για ρίζες με περιττούς εκθέτες.

Τέλος, ας εξετάσουμε μια μέθοδο που μας επιτρέπει να βρίσκουμε διαδοχικά τα ψηφία της τιμής ρίζας.

Ας ξεκινήσουμε.

Χρησιμοποιώντας έναν πίνακα με τετράγωνα, έναν πίνακα με κύβους κ.λπ.

Στις πιο απλές περιπτώσεις, οι πίνακες με τετράγωνα, κύβους κ.λπ. σας επιτρέπουν να εξαγάγετε ρίζες. Τι είναι αυτοί οι πίνακες;

Ο πίνακας των τετραγώνων των ακεραίων αριθμών από το 0 έως το 99 (εμφανίζεται παρακάτω) αποτελείται από δύο ζώνες. Η πρώτη ζώνη του πίνακα βρίσκεται σε γκρι φόντο, επιλέγοντας μια συγκεκριμένη γραμμή και μια συγκεκριμένη στήλη, σας επιτρέπει να συνθέσετε έναν αριθμό από το 0 έως το 99. Για παράδειγμα, ας επιλέξουμε μια γραμμή 8 δεκάδων και μια στήλη 3 μονάδων, με αυτό διορθώσαμε τον αριθμό 83. Η δεύτερη ζώνη καταλαμβάνει το υπόλοιπο του πίνακα. Κάθε κελί βρίσκεται στην τομή μιας συγκεκριμένης γραμμής και μιας συγκεκριμένης στήλης και περιέχει το τετράγωνο του αντίστοιχου αριθμού από το 0 έως το 99. Στη διασταύρωση της επιλεγμένης σειράς των 8 δεκάδων και της στήλης 3 των μονάδων υπάρχει ένα κελί με τον αριθμό 6.889, που είναι το τετράγωνο του αριθμού 83.

Οι πίνακες των κύβων, οι πίνακες των τέταρτων δυνάμεων των αριθμών από το 0 έως το 99 και ούτω καθεξής είναι παρόμοιοι με τον πίνακα των τετραγώνων, μόνο που περιέχουν κύβους, τέταρτες δυνάμεις κ.λπ. στη δεύτερη ζώνη. αντίστοιχους αριθμούς.

Πίνακες τετραγώνων, κύβων, τέταρτων δυνάμεων κ.λπ. σας επιτρέπουν να εξαγάγετε τετραγωνικές ρίζες, ρίζες κυβισμού, τέταρτες ρίζες κ.λπ. αναλόγως από τους αριθμούς σε αυτούς τους πίνακες. Ας εξηγήσουμε την αρχή της χρήσης τους κατά την εξαγωγή ριζών.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εξαγάγουμε την nη ρίζα του αριθμού a, ενώ ο αριθμός a περιέχεται στον πίνακα των ντων δυνάμεων. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον πίνακα βρίσκουμε τον αριθμό b τέτοιο ώστε a=b n. Τότε , επομένως, ο αριθμός b θα είναι η επιθυμητή ρίζα του nου βαθμού.

Για παράδειγμα, ας δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα κύβων για να εξαγάγετε την κυβική ρίζα του 19.683. Βρίσκουμε τον αριθμό 19.683 στον πίνακα των κύβων, από αυτόν βρίσκουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι ο κύβος του αριθμού 27, επομένως, .

Είναι σαφές ότι οι πίνακες της νης δύναμης είναι πολύ βολικοί για την εξαγωγή ριζών. Ωστόσο, συχνά δεν είναι διαθέσιμα και η σύνταξή τους απαιτεί λίγο χρόνο. Επιπλέον, είναι συχνά απαραίτητο να εξαχθούν ρίζες από αριθμούς που δεν περιέχονται στους αντίστοιχους πίνακες. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να καταφύγετε σε άλλες μεθόδους εξαγωγής ριζών.

Παραγοντοποίηση ενός ριζικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες

Ένας αρκετά βολικός τρόπος για να εξαγάγετε τη ρίζα ενός φυσικού αριθμού (αν, φυσικά, εξάγεται η ρίζα) είναι η αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε πρώτους παράγοντες. Του το θέμα είναι αυτό: μετά από αυτό είναι αρκετά εύκολο να το αναπαραστήσουμε ως δύναμη με τον απαραίτητο δείκτη, που σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή της ρίζας. Ας διευκρινίσουμε αυτό το σημείο.

Έστω η ν η ρίζα ενός φυσικού αριθμού α και η τιμή του ίση b. Στην περίπτωση αυτή, η ισότητα a=b n είναι αληθής. Ο αριθμός b, όπως κάθε φυσικός αριθμός, μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων του p 1 , p 2 , …, p m με τη μορφή p 1 ·p 2 ·…·p m , και ο ριζικός αριθμός a σε αυτήν την περίπτωση παριστάνεται ως (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Δεδομένου ότι η αποσύνθεση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες είναι μοναδική, η αποσύνθεση του ριζικού αριθμού a σε πρώτους παράγοντες θα έχει τη μορφή (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, που καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της τιμής της ρίζας ως .

Σημειώστε ότι εάν η αποσύνθεση σε πρώτους συντελεστές ενός ριζικού αριθμού a δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, τότε η nη ρίζα ενός τέτοιου αριθμού a δεν εξάγεται πλήρως.

Ας το καταλάβουμε αυτό όταν λύνουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Πάρτε την τετραγωνική ρίζα του 144.

Διάλυμα.

Αν κοιτάξετε τον πίνακα με τα τετράγωνα που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, μπορείτε να δείτε καθαρά ότι 144 = 12 2, από το οποίο είναι σαφές ότι η τετραγωνική ρίζα του 144 είναι 12.

Αλλά υπό το φως αυτού του σημείου, μας ενδιαφέρει πώς εξάγεται η ρίζα με την αποσύνθεση του ριζικού αριθμού 144 σε πρώτους παράγοντες. Ας δούμε αυτή τη λύση.

Ας αποσυντεθεί 144 στους πρώτους παράγοντες:

Δηλαδή 144=2·2·2·2·3·3. Με βάση την προκύπτουσα αποσύνθεση, μπορούν να πραγματοποιηθούν οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Οθεν, .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των βαθμών και τις ιδιότητες των ριζών, το διάλυμα θα μπορούσε να διαμορφωθεί λίγο διαφορετικά: .

Απάντηση:

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε τις λύσεις σε δύο ακόμη παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την τιμή της ρίζας.

Διάλυμα.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του ριζικού αριθμού 243 έχει τη μορφή 243=3 5 . Ετσι, .

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Είναι η τιμή ρίζας ακέραιος;

Διάλυμα.

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας συνυπολογίσουμε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες και ας δούμε αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως κύβος ενός ακέραιου αριθμού.

Έχουμε 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Η προκύπτουσα επέκταση δεν αναπαρίσταται ως κύβος ακέραιου, αφού ο βαθμός πρωταρχικός παράγονταςΤο 7 δεν είναι πολλαπλάσιο του τρία. Επομένως, η κυβική ρίζα του 285.768 δεν μπορεί να εξαχθεί πλήρως.

Απάντηση:

Οχι.

Εξαγωγή ριζών από κλασματικούς αριθμούς

Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς να εξαγάγετε τη ρίζα ενός κλασματικού αριθμού. Έστω ο κλασματικός ριζικός αριθμός γραμμένος ως p/q. Σύμφωνα με την ιδιότητα της ρίζας ενός πηλίκου, ισχύει η παρακάτω ισότητα. Από αυτή την ισότητα προκύπτει κανόνας για την εξαγωγή της ρίζας ενός κλάσματος: Η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με το πηλίκο της ρίζας του αριθμητή διαιρούμενο με τη ρίζα του παρονομαστή.

Ας δούμε ένα παράδειγμα εξαγωγής ρίζας από κλάσμα.

Παράδειγμα.

Τι είναι η τετραγωνική ρίζα του κοινό κλάσμα 25/169 .

Διάλυμα.

Χρησιμοποιώντας τον πίνακα των τετραγώνων, βρίσκουμε ότι η τετραγωνική ρίζα του αριθμητή του αρχικού κλάσματος είναι ίση με 5 και η τετραγωνική ρίζα του παρονομαστή είναι ίση με 13. Τότε . Αυτό ολοκληρώνει την εξαγωγή της ρίζας του κοινού κλάσματος 25/169.

Απάντηση:

Η ρίζα ενός δεκαδικού κλάσματος ή μικτού αριθμού εξάγεται μετά την αντικατάσταση των ριζικών αριθμών με συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα.

Πάρτε την κυβική ρίζα του δεκαδικού κλάσματος 474.552.

Διάλυμα.

Ας φανταστούμε το πρωτότυπο δεκαδικόςως κοινό κλάσμα: 474.552=474552/1000. Τότε . Απομένει να εξαγάγουμε τις κυβικές ρίζες που βρίσκονται στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος που προκύπτει. Επειδή 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 και 1 000 = 10 3, τότε Και . Το μόνο που μένει είναι να ολοκληρωθούν οι υπολογισμοί .

Απάντηση:

.

Λαμβάνοντας τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού

Αξίζει τον κόπο να σταθούμε στην εξαγωγή ριζών από αρνητικούς αριθμούς. Κατά τη μελέτη των ριζών, είπαμε ότι όταν ο ριζικός εκθέτης είναι περιττός αριθμός, τότε μπορεί να υπάρχει αρνητικός αριθμός κάτω από το πρόσημο της ρίζας. Δώσαμε σε αυτές τις εγγραφές την εξής σημασία: για έναν αρνητικό αριθμό −a και έναν περιττό εκθέτη της ρίζας 2 n−1, . Αυτή η ισότητα δίνει κανόνας εξαγωγής περιττών ριζών από αρνητικούς αριθμούς: για να εξαγάγετε τη ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, πρέπει να πάρετε τη ρίζα του αντίθετου θετικού αριθμού και να βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από το αποτέλεσμα.

Ας δούμε το παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Βρείτε την τιμή της ρίζας.

Διάλυμα.

Ας μετατρέψουμε την αρχική έκφραση έτσι ώστε να υπάρχει ένας θετικός αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας: . Τώρα αντικαταστήστε τον μικτό αριθμό με ένα συνηθισμένο κλάσμα: . Εφαρμόζουμε τον κανόνα για την εξαγωγή της ρίζας ενός συνηθισμένου κλάσματος: . Απομένει να υπολογίσουμε τις ρίζες στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλάσματος που προκύπτει: .

Ακολουθεί μια σύντομη περίληψη της λύσης: .

Απάντηση:

.

Προσδιορισμός δυαδικών ψηφίων της τιμής ρίζας

Στη γενική περίπτωση, κάτω από τη ρίζα υπάρχει ένας αριθμός που, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που συζητήθηκαν παραπάνω, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ν η δύναμη οποιουδήποτε αριθμού. Αλλά ταυτόχρονα υπάρχει ανάγκη να γνωρίζουμε το νόημα δεδομένη ρίζα, τουλάχιστον μέχρι ένα ορισμένο σημάδι. Σε αυτήν την περίπτωση, για να εξαγάγετε τη ρίζα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν αλγόριθμο που σας επιτρέπει να λαμβάνετε διαδοχικά έναν επαρκή αριθμό ψηφιακών τιμών του επιθυμητού αριθμού.

Το πρώτο βήμα αυτού του αλγορίθμου είναι να μάθετε ποιο είναι το πιο σημαντικό bit της τιμής ρίζας. Για να γίνει αυτό, οι αριθμοί 0, 10, 100, ... αυξάνονται διαδοχικά στην ισχύ n μέχρι τη στιγμή που ένας αριθμός υπερβαίνει τον ριζικό αριθμό. Στη συνέχεια, ο αριθμός που αυξήσαμε στην ισχύ n στο προηγούμενο στάδιο θα υποδεικνύει το αντίστοιχο πιο σημαντικό ψηφίο.

Για παράδειγμα, εξετάστε αυτό το βήμα του αλγορίθμου όταν εξάγετε την τετραγωνική ρίζα του πέντε. Πάρτε τους αριθμούς 0, 10, 100, ... και τετραγωνίστε τους μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το 5. Έχουμε 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, που σημαίνει ότι το πιο σημαντικό ψηφίο θα είναι το ένα ψηφίο. Η τιμή αυτού του bit, καθώς και των χαμηλότερων, θα βρεθεί στα επόμενα βήματα του αλγόριθμου εξαγωγής ρίζας.

Όλα τα ακόλουθα βήματα του αλγορίθμου στοχεύουν στη διαδοχική αποσαφήνιση της τιμής της ρίζας βρίσκοντας τις τιμές των επόμενων bits της επιθυμητής τιμής της ρίζας, ξεκινώντας από την υψηλότερη και μεταβαίνοντας στις χαμηλότερες. Για παράδειγμα, η τιμή της ρίζας στο πρώτο βήμα αποδεικνύεται ότι είναι 2, στο δεύτερο – 2,2, στο τρίτο – 2,23, και ούτω καθεξής 2,236067977…. Ας περιγράψουμε πώς βρίσκονται οι τιμές των ψηφίων.

Τα ψηφία τα βρίσκουμε με αναζήτηση μέσα από αυτά πιθανές τιμές 0, 1, 2, …, 9. Σε αυτή την περίπτωση, οι ν. δυνάμεις των αντίστοιχων αριθμών υπολογίζονται παράλληλα και συγκρίνονται με τον ριζικό αριθμό. Εάν σε κάποιο στάδιο η τιμή του βαθμού υπερβαίνει τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή του ψηφίου που αντιστοιχεί στην προηγούμενη τιμή θεωρείται ότι βρέθηκε και η μετάβαση γίνεται στο επόμενο βήμα του αλγορίθμου εξαγωγής ρίζας. τότε η τιμή αυτού του ψηφίου είναι ίση με 9.

Ας εξηγήσουμε αυτά τα σημεία χρησιμοποιώντας το ίδιο παράδειγμα εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας του πέντε.

Αρχικά βρίσκουμε την τιμή του ψηφίου των μονάδων. Θα περάσουμε από τις τιμές 0, 1, 2, ..., 9, υπολογίζοντας 0 2, 1 2, ..., 9 2, αντίστοιχα, μέχρι να πάρουμε μια τιμή μεγαλύτερη από τον ριζικό αριθμό 5. Είναι βολικό να παρουσιάζονται όλοι αυτοί οι υπολογισμοί με τη μορφή πίνακα:

Άρα η τιμή του ψηφίου των μονάδων είναι 2 (από 2 2<5 , а 2 3 >5). Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της αξίας της δέκατης θέσης. Σε αυτή την περίπτωση, θα τετραγωνίσουμε τους αριθμούς 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, συγκρίνοντας τις προκύπτουσες τιμές με τον ριζικό αριθμό 5:

Από 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, τότε η τιμή της δέκατης θέσης είναι 2. Μπορείτε να προχωρήσετε στην εύρεση της τιμής των εκατοστών θέσης:

Έτσι βρέθηκε η επόμενη τιμή της ρίζας του πέντε, είναι ίση με 2,23. Και έτσι μπορείτε να συνεχίσετε να βρίσκετε τιμές: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε την εξαγωγή της ρίζας με ακρίβεια εκατοστών χρησιμοποιώντας τον εξεταζόμενο αλγόριθμο.

Πρώτα προσδιορίζουμε το πιο σημαντικό ψηφίο. Για να γίνει αυτό, κύβουμε τους αριθμούς 0, 10, 100 κ.λπ. μέχρι να πάρουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο από 2.151.186. Έχουμε 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , άρα το πιο σημαντικό ψηφίο είναι το ψηφίο των δεκάδων.

Ας προσδιορίσουμε την αξία του.

Από το 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, τότε η τιμή του τόπου των δεκάδων είναι 1. Ας περάσουμε στις μονάδες.

Έτσι, η τιμή του ψηφίου ενός είναι 2. Ας περάσουμε στα δέκατα.

Εφόσον ακόμη και το 12,9 3 είναι μικρότερο από τον ριζικό αριθμό 2 151,186, τότε η τιμή της δέκατης θέσης είναι 9. Μένει να εκτελέσουμε το τελευταίο βήμα του αλγορίθμου θα μας δώσει την τιμή της ρίζας με την απαιτούμενη ακρίβεια.

Σε αυτό το στάδιο, η τιμή της ρίζας βρίσκεται με ακρίβεια στα εκατοστά: .

Ολοκληρώνοντας αυτό το άρθρο, θα ήθελα να πω ότι υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι εξαγωγής ριζών. Αλλά για τις περισσότερες εργασίες, αυτές που μελετήσαμε παραπάνω είναι επαρκείς.

Αναφορές.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για την 8η τάξη. εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).

Πριν από την αριθμομηχανή, οι μαθητές και οι δάσκαλοι υπολόγιζαν τις τετραγωνικές ρίζες με το χέρι. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού με μη αυτόματο τρόπο. Μερικά από αυτά προσφέρουν μόνο μια κατά προσέγγιση λύση, άλλα δίνουν μια ακριβή απάντηση.

Βήματα

Πρωταρχική παραγοντοποίηση

Συντελεστές του ριζικού αριθμού σε παράγοντες που είναι τετράγωνοι αριθμοί.Ανάλογα με τον ριζικό αριθμό, θα λάβετε μια κατά προσέγγιση ή ακριβή απάντηση. Οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι αριθμοί από τους οποίους μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα. Οι συντελεστές είναι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιαστούν, δίνουν τον αρχικό αριθμό. Για παράδειγμα, οι συντελεστές του αριθμού 8 είναι 2 και 4, αφού 2 x 4 = 8, οι αριθμοί 25, 36, 49 είναι τετράγωνοι αριθμοί, αφού √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Τετράγωνοι συντελεστές είναι παράγοντες , οι οποίοι είναι τετράγωνοι αριθμοί. Αρχικά, προσπαθήστε να συνυπολογίσετε τον ριζικό αριθμό σε τετράγωνους παράγοντες.

• Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 400 (με το χέρι). Πρώτα δοκιμάστε να συνυπολογίσετε το 400 σε τετράγωνους συντελεστές. Το 400 είναι πολλαπλάσιο του 100, δηλαδή διαιρείται με το 25 - αυτός είναι ένας τετράγωνος αριθμός. Η διαίρεση του 400 με το 25 δίνει 16. Ο αριθμός 16 είναι επίσης τετράγωνος αριθμός. Έτσι, το 400 μπορεί να συνυπολογιστεί στους τετράγωνους συντελεστές 25 και 16, δηλαδή 25 x 16 = 400.
• Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής: √400 = √(25 x 16).

1. Η τετραγωνική ρίζα του γινόμενου ορισμένων όρων είναι ίση με το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών κάθε όρου, δηλαδή √(a x b) = √a x √b.

   • Χρησιμοποιήστε αυτόν τον κανόνα για να πάρετε την τετραγωνική ρίζα κάθε τετραγωνικού παράγοντα και να πολλαπλασιάσετε τα αποτελέσματα για να βρείτε την απάντηση.
     • Στο παράδειγμά μας, πάρτε τη ρίζα των 25 και 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • Εάν ο ριζικός αριθμός δεν συνυπολογίζεται σε δύο τετράγωνους παράγοντες (και αυτό συμβαίνει στις περισσότερες περιπτώσεις), δεν θα μπορείτε να βρείτε την ακριβή απάντηση με τη μορφή ακέραιου αριθμού.
     • Αλλά μπορείτε να απλοποιήσετε το πρόβλημα με την αποσύνθεση του ριζικού αριθμού σε έναν τετράγωνο παράγοντα και έναν συνηθισμένο παράγοντα (έναν αριθμό από τον οποίο δεν μπορεί να ληφθεί ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα). Τότε θα πάρετε την τετραγωνική ρίζα του τετραγωνικού παράγοντα και θα πάρετε τη ρίζα του κοινού παράγοντα.
     • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 147. Ο αριθμός 147 δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε δύο τετραγωνικούς συντελεστές, αλλά μπορεί να παραγοντοποιηθεί στους ακόλουθους παράγοντες: 49 και 3. Λύστε το πρόβλημα ως εξής:
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • Εάν είναι απαραίτητο, υπολογίστε την αξία της ρίζας.
     • Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή της ρίζας (να βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή) συγκρίνοντάς την με τις τιμές των ριζών των τετραγωνικών αριθμών που είναι πιο κοντά (και στις δύο πλευρές της αριθμογραμμής) στον ριζικό αριθμό. Θα λάβετε τη ρίζα ως δεκαδικό κλάσμα, το οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό πίσω από το σύμβολο της ρίζας.

4. Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. Ο ριζικός αριθμός είναι το 3. Οι πλησιέστεροι σε αυτόν τετράγωνοι αριθμοί θα είναι οι αριθμοί 1 (√1 = 1) και 4 (√4 = 2). Έτσι, η τιμή του √3 βρίσκεται μεταξύ 1 και 2. Εφόσον η τιμή του √3 είναι πιθανώς πιο κοντά στο 2 παρά στο 1, η εκτίμησή μας είναι: √3 = 1,7. Πολλαπλασιάζουμε αυτήν την τιμή με τον αριθμό στο σύμβολο της ρίζας: 7 x 1,7 = 11,9. Εάν κάνετε τα μαθηματικά σε μια αριθμομηχανή, θα λάβετε 12,13, που είναι πολύ κοντά στην απάντησή μας.Αυτή η μέθοδος λειτουργεί και με μεγάλους αριθμούς. Για παράδειγμα, εξετάστε το √35. Ο ριζικός αριθμός είναι το 35. Οι πλησιέστεροι τετράγωνοι αριθμοί σε αυτόν θα είναι οι αριθμοί 25 (√25 = 5) και 36 (√36 = 6). Έτσι, η τιμή του √35 βρίσκεται μεταξύ 5 και 6. Επειδή η τιμή του √35 είναι πολύ πιο κοντά στο 6 παρά στο 5 (επειδή το 35 είναι μόνο 1 μικρότερο από το 36), μπορούμε να πούμε ότι το √35 είναι ελαφρώς μικρότερο από το 6 Ο έλεγχος στην αριθμομηχανή μας δίνει την απάντηση 5,92 - είχαμε δίκιο.

   • Για παράδειγμα, υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα του 45. Συνυπολογίζουμε τον ριζικό αριθμό σε πρώτους παράγοντες: 45 = 9 x 5, και 9 = 3 x 3. Έτσι, √45 = √(3 x 3 x 5). Το 3 μπορεί να αφαιρεθεί ως σύμβολο ρίζας: √45 = 3√5. Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε √5.
   • Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Λάβατε τρεις πολλαπλασιαστές του 2. πάρτε μερικά από αυτά και μετακινήστε τα πέρα ​​από το σημάδι της ρίζας.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Τώρα μπορείτε να αξιολογήσετε τα √2 και √11 και να βρείτε μια κατά προσέγγιση απάντηση.

   Χειροκίνητος υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας

   Χρήση μακράς διαίρεσης

   1. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει μια διαδικασία παρόμοια με τη μακροχρόνια διαίρεση και παρέχει μια ακριβή απάντηση.Πρώτα, σχεδιάστε μια κατακόρυφη γραμμή που χωρίζει το φύλλο σε δύο μισά και, στη συνέχεια, προς τα δεξιά και ελαφρώς κάτω από την επάνω άκρη του φύλλου, σχεδιάστε μια οριζόντια γραμμή στην κατακόρυφη γραμμή. Τώρα διαιρέστε τον ριζικό αριθμό σε ζεύγη αριθμών, ξεκινώντας από το κλασματικό μέρος μετά την υποδιαστολή. Έτσι, ο αριθμός 79520789182.47897 γράφεται ως "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14. Σχεδιάστε δύο γραμμές (όπως φαίνεται στην εικόνα) και γράψτε τον αριθμό που δίνεται με τη μορφή «7 80, 14» επάνω αριστερά. Είναι φυσιολογικό το πρώτο ψηφίο από τα αριστερά να είναι μη ζευγαρωμένο ψηφίο. Θα γράψετε την απάντηση (τη ρίζα αυτού του αριθμού) πάνω δεξιά.

   2. Για το πρώτο ζεύγος αριθμών (ή απλού αριθμού) από τα αριστερά, βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο n του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με το εν λόγω ζεύγος αριθμών (ή απλού αριθμού).

      • Με άλλα λόγια, βρείτε τον τετράγωνο αριθμό που είναι πιο κοντά, αλλά μικρότερος από, στο πρώτο ζεύγος αριθμών (ή μεμονωμένο αριθμό) από τα αριστερά και πάρτε την τετραγωνική ρίζα αυτού του τετραγωνικού αριθμού. θα πάρετε τον αριθμό n. Γράψτε το n που βρήκατε πάνω δεξιά και γράψτε το τετράγωνο του n κάτω δεξιά.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Στην περίπτωσή μας, ο πρώτος αριθμός στα αριστερά θα είναι 7. Στη συνέχεια, 4Αφαιρέστε το τετράγωνο του αριθμού n που μόλις βρήκατε από το πρώτο ζευγάρι αριθμών (ή μεμονωμένο αριθμό) στα αριστερά.

      • Γράψτε το αποτέλεσμα του υπολογισμού κάτω από το υπόστρωμα (το τετράγωνο του αριθμού n).

   4. Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 4 από το 7 και λάβετε 3.Αφαιρέστε το δεύτερο ζεύγος αριθμών και σημειώστε το δίπλα στην τιμή που λάβατε στο προηγούμενο βήμα.

      • Στη συνέχεια διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με την προσθήκη "_×_=".

   5. Στο παράδειγμά μας, το δεύτερο ζεύγος αριθμών είναι "80". Γράψτε "80" μετά το 3. Στη συνέχεια, ο διπλάσιος αριθμός πάνω δεξιά δίνει 4. Γράψτε "4_×_=" κάτω δεξιά.

      • Στην περίπτωσή μας, αν βάλουμε τον αριθμό 8 αντί για παύλες, τότε 48 x 8 = 384, που είναι περισσότερο από 380. Επομένως, το 8 είναι πολύ μεγάλος αριθμός, αλλά το 7 θα κάνει. Γράψε 7 αντί για παύλες και πάρε: 47 x 7 = 329. Γράψε 7 πάνω δεξιά - αυτό είναι το δεύτερο ψηφίο στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα του αριθμού 780,14.

   6. Αφαιρέστε τον αριθμό που προκύπτει από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.Γράψτε το αποτέλεσμα από το προηγούμενο βήμα κάτω από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά, βρείτε τη διαφορά και γράψτε το κάτω από το υπόστρωμα.

      • Στο παράδειγμά μας, αφαιρέστε το 329 από το 380, το οποίο ισούται με 51.

   7. Επαναλάβετε το βήμα 4.Εάν το ζεύγος των αριθμών που μεταφέρεται είναι το κλασματικό μέρος του αρχικού αριθμού, τότε βάλτε ένα διαχωριστικό (κόμμα) μεταξύ του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην απαιτούμενη τετραγωνική ρίζα επάνω δεξιά. Στα αριστερά, κατεβάστε το επόμενο ζεύγος αριθμών. Διπλασιάστε τον αριθμό πάνω δεξιά και γράψτε το αποτέλεσμα κάτω δεξιά με την προσθήκη "_×_=".

      • Στο παράδειγμά μας, το επόμενο ζεύγος αριθμών που θα αφαιρεθεί θα είναι το κλασματικό μέρος του αριθμού 780.14, οπότε τοποθετήστε το διαχωριστικό του ακέραιου και των κλασματικών μερών στην επιθυμητή τετραγωνική ρίζα επάνω δεξιά. Κατεβάστε το 14 και γράψτε το κάτω αριστερά. Ο διπλάσιος αριθμός πάνω δεξιά (27) είναι 54, οπότε γράψτε "54_×_=" κάτω δεξιά.

   8. Επαναλάβετε τα βήματα 5 και 6.Βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό στη θέση των παύλων στα δεξιά (αντί για τις παύλες πρέπει να αντικαταστήσετε τον ίδιο αριθμό) έτσι ώστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού να είναι μικρότερο ή ίσο με τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά.

      • Στο παράδειγμά μας, 549 x 9 = 4941, που είναι μικρότερο από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά (5114). Γράψτε το 9 πάνω δεξιά και αφαιρέστε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τον τρέχοντα αριθμό στα αριστερά: 5114 - 4941 = 173.

   9. Εάν θέλετε να βρείτε περισσότερα δεκαδικά ψηφία για την τετραγωνική ρίζα, γράψτε μερικά μηδενικά στα αριστερά του τρέχοντος αριθμού και επαναλάβετε τα βήματα 4, 5 και 6. Επαναλάβετε τα βήματα μέχρι να λάβετε την ακρίβεια της απάντησης (αριθμός δεκαδικών ψηφίων) ανάγκη.

   Κατανόηση της Διαδικασίας

   Για να κυριαρχήσετε αυτή τη μέθοδο, φανταστείτε τον αριθμό του οποίου η τετραγωνική ρίζα πρέπει να βρείτε ως το εμβαδόν του τετραγώνου S. Σε αυτήν την περίπτωση, θα αναζητήσετε το μήκος της πλευράς L ενός τέτοιου τετραγώνου. Υπολογίζουμε την τιμή του L έτσι ώστε L² = S.

   Δώστε ένα γράμμα για κάθε αριθμό στην απάντηση.Ας συμβολίσουμε με Α το πρώτο ψηφίο στην τιμή του L (την επιθυμητή τετραγωνική ρίζα). Το B θα είναι το δεύτερο ψηφίο, το C το τρίτο και ούτω καθεξής.

   Καθορίστε ένα γράμμα για κάθε ζεύγος πρώτων ψηφίων.Ας συμβολίσουμε με S a το πρώτο ζεύγος ψηφίων στην τιμή του S, με S b το δεύτερο ζεύγος ψηφίων κ.ο.κ.

   Κατανοήστε τη σχέση μεταξύ αυτής της μεθόδου και της μακράς διαίρεσης.Ακριβώς όπως στην πράξη της διαίρεσης, όπου μας ενδιαφέρει μόνο το επόμενο ψηφίο του αριθμού που διαιρούμε κάθε φορά, όταν υπολογίζουμε μια τετραγωνική ρίζα, δουλεύουμε με ένα ζεύγος ψηφίων διαδοχικά (για να λάβουμε το επόμενο ένα ψηφίο στο τετράγωνο ρίζα).

   1. Θεωρήστε το πρώτο ζεύγος ψηφίων Sa του αριθμού S (Sa = 7 στο παράδειγμά μας) και βρείτε την τετραγωνική του ρίζα.Σε αυτήν την περίπτωση, το πρώτο ψηφίο A της επιθυμητής τιμής της τετραγωνικής ρίζας θα είναι ένα ψηφίο του οποίου το τετράγωνο είναι μικρότερο ή ίσο με S a (δηλαδή, αναζητούμε ένα A έτσι ώστε η ανισότητα A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να διαιρέσουμε το 88962 με το 7. εδώ το πρώτο βήμα θα είναι παρόμοιο: θεωρούμε το πρώτο ψηφίο του διαιρετέου αριθμού 88962 (8) και επιλέγουμε τον μεγαλύτερο αριθμό που, πολλαπλασιαζόμενος με το 7, δίνει τιμή μικρότερη ή ίση με 8. Δηλαδή, αναζητούμε έναν αριθμό d για τον οποίο είναι αληθής η ανίσωση: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Φανταστείτε νοερά ένα τετράγωνο του οποίου το εμβαδόν πρέπει να υπολογίσετε.Ψάχνετε για το L, δηλαδή το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με S. A, B, C είναι οι αριθμοί στον αριθμό L. Μπορείτε να το γράψετε διαφορετικά: 10A + B = L (για ένας διψήφιος αριθμός) ή 100A + 10B + C = L (για τριψήφιο αριθμό) και ούτω καθεξής.

      • Αφήνω (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Θυμηθείτε ότι το 10A+B είναι ένας αριθμός στον οποίο το ψηφίο B αντιπροσωπεύει μονάδες και το ψηφίο Α σημαίνει δεκάδες. Για παράδειγμα, αν A=1 και B=2, τότε το 10A+B είναι ίσο με τον αριθμό 12. (10A+B)²είναι το εμβαδόν ολόκληρης της πλατείας, 100A²- περιοχή της μεγάλης εσωτερικής πλατείας, B²- περιοχή της μικρής εσωτερικής πλατείας, 10A×B- το εμβαδόν καθενός από τα δύο ορθογώνια. Προσθέτοντας τα εμβαδά των περιγραφόμενων σχημάτων, θα βρείτε το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου.

Οδηγίες

Επιλέξτε έναν παράγοντα για τον ριζικό αριθμό, η αφαίρεση του οποίου από κάτω ρίζαείναι πραγματικά μια έκφραση - διαφορετικά η λειτουργία θα χάσει. Για παράδειγμα, αν κάτω από την πινακίδα ρίζαμε εκθέτη ίσο με τρία (κύβικη ρίζα), κοστίζει αριθμός 128, τότε από κάτω από την πινακίδα μπορείτε να βγάλετε, για παράδειγμα, αριθμός 5. Ταυτόχρονα το ριζοσπαστικό αριθμόςΤο 128 θα πρέπει να διαιρεθεί με 5 κύβους: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Αν η παρουσία κλασματικού αριθμού κάτω από το πρόσημο ρίζαδεν έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος, τότε είναι δυνατό σε αυτή τη μορφή. Εάν χρειάζεστε μια απλούστερη επιλογή, τότε πρώτα σπάστε τη ριζική έκφραση σε τέτοιους ακέραιους παράγοντες, η κυβική ρίζα ενός από τους οποίους θα είναι ακέραιος αριθμός m Για παράδειγμα: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Χρησιμοποιήστε το για να επιλέξετε παράγοντες ενός ριζικού αριθμού εάν δεν είναι δυνατός ο υπολογισμός των δυνάμεων ενός αριθμού στο κεφάλι σας. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για ρίζα m με εκθέτη μεγαλύτερο από δύο. Εάν έχετε πρόσβαση στο Διαδίκτυο, μπορείτε να εκτελέσετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τις αριθμομηχανές που είναι ενσωματωμένες στις μηχανές αναζήτησης Google και Nigma. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε τον μεγαλύτερο ακέραιο παράγοντα που μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το κυβικό πρόσημο ρίζαγια τον αριθμό 250, μεταβείτε στον ιστότοπο της Google και εισαγάγετε το ερώτημα "6^3" για να ελέγξετε εάν είναι δυνατό να το αφαιρέσετε κάτω από την πινακίδα ρίζαέξι. Η μηχανή αναζήτησης θα εμφανίσει ένα αποτέλεσμα ίσο με 216. Δυστυχώς, το 250 δεν μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με αυτό αριθμός. Στη συνέχεια, πληκτρολογήστε το ερώτημα 5^3. Το αποτέλεσμα θα είναι 125, και αυτό σας επιτρέπει να διαιρέσετε το 250 σε συντελεστές 125 και 2, που σημαίνει ότι θα το βγάλετε από το ζώδιο ρίζα αριθμός 5, φεύγοντας από εκεί αριθμός 2.

Πηγές:

• πώς να το βγάλεις κάτω από τις ρίζες
• Τετραγωνική ρίζα του προϊόντος

Βγάλτε το από κάτω ρίζαένας από τους παράγοντες είναι απαραίτητος σε καταστάσεις όπου χρειάζεται να απλοποιήσετε μια μαθηματική έκφραση. Υπάρχουν φορές που είναι αδύνατο να εκτελέσετε τους απαραίτητους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή. Για παράδειγμα, εάν χρησιμοποιούνται χαρακτηρισμοί γραμμάτων για μεταβλητές αντί για αριθμούς.

Οδηγίες

Αναλύστε τη ριζική έκφραση σε απλούς παράγοντες. Δείτε ποιος από τους παράγοντες επαναλαμβάνεται τον ίδιο αριθμό φορές, που υποδεικνύεται στους δείκτες ρίζα, ή περισσότερα. Για παράδειγμα, πρέπει να πάρετε την τέταρτη ρίζα του a. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Δείκτης ρίζασε αυτή την περίπτωση θα αντιστοιχεί με παράγονταςα3. Πρέπει να αφαιρεθεί από την ταμπέλα.

Εξάγετε τη ρίζα των ριζών που προκύπτουν ξεχωριστά όπου είναι δυνατόν. Εξαγωγή ρίζαείναι η αλγεβρική πράξη αντίστροφη της εκθέσεως. Εξαγωγή ρίζαμιας αυθαίρετης ισχύος, βρείτε έναν αριθμό από έναν αριθμό που, όταν αυξηθεί σε αυτήν την αυθαίρετη δύναμη, θα έχει ως αποτέλεσμα τον δεδομένο αριθμό. Εάν η εξαγωγή ρίζαδεν μπορεί να παραχθεί, αφήστε τη ριζοσπαστική έκφραση κάτω από το σημάδι ρίζαόπως ακριβώς είναι. Ως αποτέλεσμα των παραπάνω ενεργειών, θα αφαιρεθείτε από κάτω σημείο ρίζα.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Παρακαλώ σημειώστε

Να είστε προσεκτικοί όταν γράφετε ριζικές εκφράσεις με τη μορφή παραγόντων - ένα σφάλμα σε αυτό το στάδιο θα οδηγήσει σε εσφαλμένα αποτελέσματα.

Χρήσιμες συμβουλές

Κατά την εξαγωγή ριζών, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε ειδικούς πίνακες ή πίνακες λογαριθμικών ριζών - αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που χρειάζεται για να βρεθεί η σωστή λύση.

Πηγές:

• σημάδι εξαγωγής ρίζας το 2019

Απαιτείται απλοποίηση των αλγεβρικών παραστάσεων σε πολλούς τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της επίλυσης εξισώσεων υψηλότερης τάξης, της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι, συμπεριλαμβανομένης της παραγοντοποίησης. Για να εφαρμόσετε αυτή τη μέθοδο, πρέπει να βρείτε και να κάνετε μια γενική παράγονταςγια αγκύλες.

Οδηγίες

Εκτέλεση του συνολικού πολλαπλασιαστή αγκύλες- μία από τις πιο κοινές μεθόδους αποσύνθεσης. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται για την απλοποίηση της δομής μακρών αλγεβρικών παραστάσεων, δηλ. πολυώνυμα. Ο γενικός αριθμός μπορεί να είναι αριθμός, μονώνυμο ή διώνυμο και για να τον βρούμε χρησιμοποιείται η κατανεμητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

Αριθμός Κοιτάξτε προσεκτικά τους συντελεστές κάθε πολυωνύμου για να δείτε αν μπορούν να διαιρεθούν με τον ίδιο αριθμό. Για παράδειγμα, στην έκφραση 12 z³ + 16 z² – 4 είναι προφανές παράγοντας 4. Μετά τον μετασχηματισμό, παίρνετε 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Με άλλα λόγια, αυτός ο αριθμός είναι ο λιγότερο κοινός ακέραιος διαιρέτης όλων των συντελεστών.

Μονωνύμου Να προσδιορίσετε αν η ίδια μεταβλητή βρίσκεται σε καθέναν από τους όρους του πολυωνύμου. Υποθέτοντας ότι συμβαίνει αυτό, τώρα κοιτάξτε τους συντελεστές όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Παράδειγμα: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Κάθε στοιχείο αυτού του πολυωνύμου περιέχει μια μεταβλητή z. Επιπλέον, όλοι οι συντελεστές είναι αριθμοί πολλαπλάσιοι του 3. Επομένως, ο κοινός παράγοντας θα είναι το μονώνυμο 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Διωνυμικό.Για αγκύλεςγενικός παράγονταςτου δύο, μιας μεταβλητής και ενός αριθμού, που είναι κοινό πολυώνυμο. Επομένως, εάν παράγοντας-το διώνυμο δεν είναι προφανές, τότε πρέπει να βρείτε τουλάχιστον μία ρίζα. Επιλέξτε τον ελεύθερο όρο του πολυωνύμου αυτός είναι ένας συντελεστής χωρίς μεταβλητή. Τώρα εφαρμόστε τη μέθοδο αντικατάστασης στη γενική έκφραση όλων των ακεραίων διαιρετών του ελεύθερου όρου.

Σκεφτείτε: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Ελέγξτε εάν κάποιος από τους ακέραιους παράγοντες του 4 είναι z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Με απλή αντικατάσταση, βρείτε z1 = 1 και z2 = 2, που σημαίνει για αγκύλεςμπορούμε να αφαιρέσουμε τα διώνυμα (z - 1) και (z - 2). Για να βρείτε την υπόλοιπη έκφραση, χρησιμοποιήστε διαδοχική διαίρεση.